Является весьма распространенным способом анализа и прогнозирования экономической ситуации. Причем применять экономические модели может как на уровне обычного предпринимателя, либо инвестора, так и на уровне крупных компаний, государств и при изучении процессов, происходящих в мировой экономике.

Суть экономического моделирования заключается в построении упрощенной схемы процессов, протекающих в определенной области экономики и выделение наиболее важных факторов в компактной и сжатой форме.

Построение экономической модели требует соблюдения ряда факторов, к ним относятся:

— реалистичность принимаемых допущений

— возможность прогнозирования

— достаточное информационное обеспечение

— возможность практической проверки.

В различных случая, разные комплексы этих требований являются приоритетными, построить модель, полностью соответствующую всем им достаточно сложно и потребность в этом возникает достаточно редко. Это связано с тем, что главной целью экономического моделирования является практическое применение моделей и в зависимости от требований, меняться и приоритетные требования к свойствам модели.

Процесс построения экономической модели проходит ряд этапов. Основных этапов три:

1. Отбор используемых переменных
2. Принятие необходимых допущений
3. Выделение главных гипотез, которые объясняют связь параметров модели.

Переменные – конкретные данные, которые и составляют основу модели, их разделяют на экзогенные и эндогенные. То есть внутренние и внешние. Допущения позволяют упростить ряд процессов, протекающих в модели и таким образом упростить саму модель, ускорить процесс ее создания.

В наше время наиболее распространены два вида экономических моделей – равновесные и оптимизированные. Оптимизированные применяются в основном при маркетинговых исследованиях, исследованиях рынка. В таких моделях чаще всего фигурируют различные предельные показатели, такие как предельный доход, предельная полезность. Часто такой метод моделирования называют маржанализом.

Равновесные модели применяются для изучения взаимоотношений между различными объектами экономики. Основным допущением в таких моделях является то, что любая моделируемая система находится в равновесии и не учитываются факторы, которые могут ее из равновесия вывести. Обычно построение экономических моделей такого типа применяется для изучения различных рынков сбыта и взаимодействия компаний, работающих на одном рынке.

Именно равновесные модели наиболее применимы для частных предпринимателей и инвесторов, так как с их помощью они могут получить ценную информацию о рынке, на котором они работают и перспективах его развития.

Кроме этих разновидностей моделей их еще разделяют на позитивные и нормативные. В позитивных моделях основной целью построения является нахождение причин и следствий какого-либо события либо экономического явления. При этом оценки этим явлениям не даются.

Нормативные модели наоборот, позволяют дать оценку явлению либо событию, но не позволяют установить причины и следствия этого явления. Обе разновидности построения моделей взаимосвязаны и используются одновременно, для максимально точного моделирования экономических процессов.

А вы используете экономические модели в своей деятельности?

Андрей Малахов, профессиональный инвестор, финансовый консультант

Если Вы оказались на этой странице, очевидно, Вам пришлось столкнуться с необходимостью разобраться в некоторых вопросах управления организацией. И, скорее всего, эта тема для Вас нова.
Обычно вопросы, касающиеся управления, не возникают просто так, а являются следствием тех или иных проблем, «мешающих жизни» компании: низкая скорость принятия решений, безответственность сотрудников, сбои в работе. Как следствие: снижается доходность или конкурентоспособность, замедляется развитие, а возможно, компания даже закрывается.
Руководитель или собственник в один прекрасный момент понимает, что «ТАК РАБОТАТЬ ДАЛЬШЕ НЕВОЗМОЖНО!»
Естественно, далее возникают вопросы: «А как можно и нужно? И что следует сделать в первую очередь?»

Зачастую интуитивно понятно, что для решения проблем необходимо «навести порядок» , т. е. , объяснить сотрудникам как они должны работать, к чему стремиться. Представить всю деятельность организации сразу невозможно, поэтому ее нужно определенным образом описать, и, скорее всего, в соответствии с какими-то четкими правилами. Иными словами, назревшие проблемы требуют системного подхода и формализации деятельности организации — набора удобных и простых в использовании документов, определяющих, что и как должно происходить, кто за что отвечает.

Если Вы поставите себе задачу разобраться в вопросах управления досконально — это потребует достаточно серьезных затрат времени и сил, возможно, у Вас даже возникнет желание пройти дополнительное обучение. Здесь же мы ответим на некоторые реальные вопросы, которые часто задают собственники бизнеса и руководители отечественных компаний, находящихся на разных этапах своего развития.

1. Ваша компания находится в начале своего развития : она недавно вышла на рынок и только начинает его освоение. Обычно на этой стадии количество сотрудников организации невелико (до 30 человек), организационная структура не слишком формализована, уровней иерархии не больше 3, в центре внимания руководства чаще всего находится производство и продажа Продукта/Услуги.

«Организовали с компаньоном фирму, занимаемся производством и продажей печенья. Есть один постоянный менеджер по продажам, а остальные часто меняются. В последнее время участились жалобы от клиентов — то заказ потерялся, то привезли не вовремя… И дебиторка выросла значительно — это для нас сейчас критично… На производстве — свои проблемы. Но самое главное: все разом разрулить не можем, и как это сделать — тоже непонятно.»

• Отсутствие четко обозначенной стратегии дальнейшего развития (к чему и зачем идем?);
• Неопределенность в разграничении обязанностей и ответственности каждого сотрудника и целых подразделений, снижающая качество выполнения работ и вызывающая внутренние конфликты;
• Возникновение серьезных проблем при смене работников даже на нижнем уровне компании, поскольку нет механизмов передачи знаний и навыков новым сотрудникам, из-за чего им приходится учиться на своих ошибках. Столкнувшись с подобной ситуацией хотя бы пару раз, руководитель неизбежно начинает задумываться над необходимостью так или иначе формализовать правила работы подчиненных, выполняющих типовые операции изо дня в день;
• Невозможность дальнейшего развития компании без привлечения дополнительных специалистов , обладающих специальными знаниями и навыками.

Регулярность проявления этих и подобных трудностей свидетельствует о необходимости формирования в организации упорядоченной и формализованной системы управления. Иными словами, система управления должна стать, во-первых, правильно организованной, и, во-вторых, одинаково понятной для всех, т. е. , зафиксированной документально в точных терминах.

Можно разрабатывать регламенты и поддерживать их актуальность вручную, однако через некоторое время это станет затратной пыткой. Эту задачу быстрее и проще решать путем построения бизнес-модели, которая обеспечит основу для развития компании в будущем.

Помимо того, что разработка бизнес-модели — занятие само по себе полезное и интересное, ряд положительных эффектов Вы сможете почувствовать достаточно быстро:

• В процессе описания деятельности компании Вы начинаете лучше понимать, как же реально работает компания, т. е. , как проходят в ней основные процессы. Велика вероятность, что уже на этом этапе начнут возникать идеи по системному улучшению работы ;
• Результатом описания является набор документов (регламенты процессов, должностные инструкции, положения о подразделениях и др.), который фактически фиксирует Вашу технологию выполнения работ . Впоследствии ее удобно использовать в случае необходимости оперативно подготовить персонал (если сотрудник уходит, обучить нового становится значительно проще);
• Когда ясно представлена технология выполнения работ, руководителю оказывается гораздо проще разграничить сферы ответственности между сотрудниками;
• В целом наличие реальной рабочей бизнес-модели повышает управляемость компании и эффективность использования ее ресурсов : если модель непрерывно актуализируется, то руководитель имеет возможность «держать руку на пульсе» компании, контролируя соответствие ее организационной структуры и распределения ресурсов реальным задачам.

В принципе, построить бизнес-модель небольшой компании можно «на коленке», используя привычные инструменты MS Office и широко применяемый для работы с графикой MS Visio. Однако, в дальнейшем, при развитии компании, Вам однозначно будет необходимо вносить изменения и дополнения в созданную путем проб и ошибок модель, причем, чем динамичнее развивается фирма, тем больше исправлений придется делать в разнообразных схемах и таблицах, а значит, затрачивать на это все больше времени. Поддерживать актуальность модели намного удобнее, если она изначально строится в специальной среде, предназначенной для бизнес-моделирования.

Большинство руководителей компаний-лидеров своих рынков, с успехом применяющих технологии бизнес-моделирования, признают: решив начать преобразования в своих организациях, они не предполагали, что начальный этап будет требовать сильной воли — приходится перестраивать не только собственные представления и стереотипы, но и мышление коллег и подчиненных, систему оценки их деятельности, привычную организационную структуру. Однако, проявив упорство и преодолев сиюминутное желание бросить проект, руководитель получает удобный инструмент для наведения порядка в своем бизнесе. Дополнительным «бонусом» для тех, кто в самом начале формирования организации не пожалел времени и сил на ее проектирование, является возможность избежать многих проблем на более поздних стадиях развития, а значит, значительное повышение шансов на успех в конкурентной борьбе.
В частности, формализация стратегии и описание бизнес-процессов компании позволяет сфокусировать внимание руководства на результатах деятельности организации. Понимая бизнес-процесс как набор действий, который выполняется в компании для получения заданного результата , а всю деятельность компании рассматривая как совокупность некоторого количества бизнес-процессов, процессный подход позволяет избежать чрезмерного разрастания численности персонала и снижает вероятность внутренней конкуренции между подразделениями организации.

2. Компания прошла начальный этап и активно растет , в ней появляется все больше функциональных подразделений и уровней управления, количество сотрудников таково, что высшее руководство уже не знакомо с каждым лично.

На практике в компаниях, где работает более 50 человек, чаще всего приходится сталкиваться с функционально-иерархической системой управления. Суть ее можно кратко охарактеризовать как выделение в деятельности предприятия некоторого количества функциональных областей и построение в соответствии с ними системы управления. Причем, по мере роста организации, в каждой из функциональных областей выстраивается своя иерархия управленцев — от руководителя (своего рода, «эксперта» в данной области) до рядового исполнителя, причем уровней этой иерархии тем больше, чем крупнее организация. И если поначалу вся система функционирует более-менее успешно, обеспечивая организации управляемость, то по мере роста компании ее эффективность неизбежно снижается. Это обусловлено спецификой принятия решений в системе, когда для рассмотрения проблемы со всех сторон необходимо взаимодействие всех «экспертов» по различным функциональным направлениям. Пока уровней иерархии в подразделениях немного, взаимодействие организуется достаточно оперативно, но вот с ростом организации время, затрачиваемое на принятие решений, превышает все разумные пределы. Результатом этого является перенос ВСЕХ решений на самый высокий уровень и глобальное снижение управляемости.

«Кризис здорово ударил по моему строительному бизнесу: компания развивалась быстрыми темпами с 2000 года, росли объемы и прибыль. После 2008 мы, конечно, уже совсем по-другому работаем, пытаемся снижать себестоимость, но получается не очень… Эффективность работы компании низкая, а хочется не просто выжить, но и продолжать развиваться.»

Возможные проблемы, которые заставляют задуматься об оптимизации управления:

• Решение оперативных вопросов занимает все рабочее время руководителя;
• Рост штата компании опережает рост выручки;
• Конкуренция на рынке вынуждает искать резервы снижения себестоимости продукции;
• Каждое из функциональных подразделений компании «живет своей жизнью», координация между ними происходит только на самом верхнем уровне — на уровне директора.

На этом этапе руководству компании уже крайне трудно обойтись без четко оформленной модели системы управления, поскольку структура компании и информационные потоки в ней достаточно сложны, и управлять ими «по наитию» становится невозможно. При этом простое отображение иерархической функциональной структуры компании на листе бумаги, к сожалению, мало что дает для повышения эффективности ее деятельности. Особенно ярко проблемы функционального управления проявляются в крупных компаниях в период внешней нестабильности, когда скорость принятия решений становится критической характеристикой системы.

Решением проблем, присущих функциональному управлению, является переход к процессному управлению: всю деятельность, безотносительно того, к какому функциональному признаку она относится, группируют в смешанные подразделения , где каждый исполнитель отвечает за свой блок операций. Принципиальным различием этих подходов является переход от управления ФУНКЦИОНИРОВАНИЕМ организации (и ее структурных подразделений, объединенных на основе ПРЕДМЕТА деятельности: бухгалтерия, юротдел, снабжение, сбыт и т. п.) к управлению БИЗНЕС-ПРОЦЕССАМИ на основе РЕЗУЛЬТАТОВ деятельности. Таким образом, фокус внимания смещается в сторону эффективности работы организации. При этом все возможные ситуации при выполнении бизнес-процессов максимально подробно описываются, поскольку на практике 80% возникающих ситуаций являются типовыми, и для них целесообразно создавать подробный регламент деятельности. В этом случае персонал в типовых ситуациях может действовать максимально эффективным образом и, что особенно важно, самостоятельно, т. е. , без участия руководителя. Фактически, руководитель включается в процесс только при возникновении нестандартной ситуации, действия в которой не регламентированы.

Благодаря переходу к управлению процессами компаниям с большим масштабом операций удается систематизировать свою деятельность, получив выигрыш сразу по двум направлениям:

1. Сокращается количество уровней иерархии, поскольку структура управления строится в соответствии со структурой процессов, а их на практике крайне редко бывает больше 5-6;
2. Нормы управляемости при процессном подходе выше в 2-3 раза, поскольку управление заключается в координации сотрудников, и включении в процесс только при отклонении от его обычного протекания.

Чтобы реорганизовать систему управления на основе процессного подхода, руководству необходимо решить вопрос о проектировании новой системы, причем направление этого проектирования — сверху вниз , т. е. первоначально определяются стратегические цели и задачи организации, показатели их достижения, и на этой основе строится система процессов. Исходя из процессов, формируется организационная структура. Существенно уменьшить трудоемкость и ускорить проектирование позволяет использование современного программного обеспечения соответствующего назначения, в частности, системы бизнес-моделирования Business Studio. Кроме того, эта система позволяет не просто подготовить реорганизацию, но и осуществлять поддержку внедрения и последующего сопровождения процессного управления.

3. Организация вышла на новый этап своего развития: Вы открываете филиалы и превращаетесь в сетевую структуру.

Иногда развитие компании происходит настолько динамично, что она не успевает трансформировать систему управления. Обычно это происходит на быстрорастущих рынках при благоприятно складывающейся конъюнктуре.

«У нас бизнес по продаже запчастей. За последние 2 года свернули свою деятельность несколько наших конкурентов, в результате образовалась свободная ниша. Хотим воспользоваться моментом и открыть филиалы в нескольких ближайших регионах. Сейчас заканчиваем маркетинг рынков и встает вопрос, как лучше организовать процесс развития сети.»

Принимая решения решение об открытии удаленных подразделений, нельзя недооценивать значение внутренней готовности компании к такому шагу. Не секрет, что одни компании успешно воспроизводят и развивают бизнес вне зависимости от региона, тогда как у других многие филиалы убыточны.
Дело в том, что методы и технологии функционального управления, до определенного момента эффективные для «простого бизнеса», не могут работать на сетевых структурах.

Оценку готовности компании открывать региональные подразделения обычно проводят по следующим уровням:

• Управленческом;
• Финансовом;
• Маркетинговом;
• Процессном.

Если управляемая по функционально-иерархическому принципу компания начинает формировать сеть — переход к процессному управлению становится практически неизбежным, т. к. серьезный масштаб задач и проблемы дистанционного управления бизнесом делают внедрение методик регулярного менеджмента настоятельной необходимостью.

Возможные проблемы, которые заставляют задуматься об оптимизации управления:

• Отсутствие необходимой для быстрого старта филиалов формализованной эффективной технологии деятельности ;
• Невозможность (либо высокая затратность) контроля всех аспектов деятельности дочерних подразделений.

Обычно при открытии филиалов оптимальный со всех точек зрения путь — перенести туда уже наработанные технологии деятельности (да-да, те самые технологии, которые Вы получаете при описании и оптимизации бизнес-процессов организации). Это позволяет эффективно применить имеющийся опыт и «тиражировать» его с минимальными проблемами: ведь если технология деятельности не формализована, руководитель вынужден лично заниматься организацией филиала либо выделять для этого максимально компетентного сотрудника. А если открыть нужно не один и не два филиала, да еще в короткие сроки? Наличие бизнес-модели в этом случае решает немалую часть организационных вопросов.

Далее, просто открыть филиалы — это только первый шаг, и планируя такой путь развития, нужно отдавать себе отчет в том, что сетью придется управлять. Эффективное управление сетью филиалов невозможно без наличия у них высокой степени самостоятельности для адаптации к разнообразным внешним условиям. Корпоративный центр при этом выступает исключительно как координирующий орган, контролирующий финансовые и товарно-материальные потоки. Поэтому управление сетью сродни управлению процессами, когда внимание руководства сосредоточено не на функционировании, а на результатах деятельности.

Как показывает практика, большинство компаний с успешной региональной стратегией используют несколько инструментов:

1. Оптимальная структура — гибкая и отвечающая требованиям рынка;
2. Правильно выбранная модель управления филиалами , определяющая меру их самостоятельности;
3. Детально проработанные инструкции, регламенты и документы , определяющие работу филиальной сети.

В реальной рыночной ситуации корпоративный центр должен сформировать такую систему управления, которая, с одной стороны, обеспечит достаточно высокий уровень регламентации деятельности филиалов, а с другой, предоставит возможности гибкого реагирования на изменения рыночной конъюнктуры.
Каким образом определить оптимальную степень стандартизации отдельных процессов?

Одним из вариантов может быть использование такого алгоритма: определяя стандартные процессы, компания решает задачу по оптимальному распределению функций между центром и филиалами. Таким образом, каждый регламентированный процесс компании (управленческий, основной, вспомогательный), распределяется согласно правилу: выполняется только в центре , выполняется только в филиале , выполняется совместно . Очевидно, что процессы, выполняемые только в центре, являются стандартными и должны быть регламентированы. При выполнении процессов на обоих уровнях обычно бывает целесообразно также их стандартизировать и регламентировать. Для процессов уровня филиала возможно либо стандартизировать выполнение процесса — если все филиалы похожи, либо сделать стандартной отчетность по процессу — если выполнение процесса в разных филиалах может существенно отличаться.
В результате компания получает перечень процессов, которые нужно стандартизировать.

Чтобы успешно провести всю подготовительную работу и построить эффективную сетевую структуру, необходимо на основе четко определенных стратегических целей сформировать процессную систему управления с оптимальным распределением полномочий и ответственности между корпоративным центром и филиалами. Применение процессного подхода в данном случае диктуется логикой развития организации и необходимостью обеспечить ее адекватным управлением.

Таким образом, на какой бы стадии развития не находилась компания, чем раньше ее руководство и собственник обращают внимание на построение системы управления с использованием процессного подхода, тем больше вероятность опередить конкурентов и предупредить возникновение типичных «болезней роста». Проектирование системы управления, ее внедрение и последующее правильное функционирование существенно упрощается при использовании специализированного программного обеспечения для бизнес-моделирования.

Нас часто забывают спрашивать, почему мы так любим бизнес-процессы и какие задачи мы решаем с помощью процессного управления. В этой пилотной статье нашего блога рассмотрим, как с помощью одной модели одного бизнес-процесса можно решить несколько практических задач из жизни бизнеса любого размера.

Организационно-штатная структура

Давайте для примера создадим если не федеральный банк, то хотя бы отдел продаж новой компании для плановой продажи N единиц продукта в месяц. Для отдела нужны сотрудники и начальник. Сколько и каких сотрудников и начальников надо для продажи такого объема продукции? Пока не ясно, придется набросать модель. До появления BPM-сервиса «БП Симулятор» это приходилось делать на пляжном песке, на стенах и других доступных платформах.

Этого уже достаточно для ручного или автоматического формирования:

• Положения о подразделении «Отдел продаж»
• План найма сотрудников (9 штатных единиц)
• Должностные инструкции сотрудников:
  • Начальник отдела
  • Персональный менеджер
  • Менеджер по продажам
  • Специалист бэк-офиса

А если создать модель организационно-штатной структуры и модель компетенций, то можно сразу сформировать и:

• Вакансии для поиска персонала (4 роли)
• План обучения (9 сотрудников на 4 роли)

Формирование бизнес-требований для внедрения ПО

Мы подготовили ресурсы, необходимо подумать об инструменте - программном обеспечении. Проектный менеджер из ИТ-отдела будет рад, если вместо серии противоречивых интервью вы дадите ему более подробную модель будущего бизнес-процесса. Так вот-же она, мы добавили входы/выходы и ресурсы для выполнения функций:

В требованиях можно более подробно расписать последовательность выполнения функций, например «Привлечение клиентов»:

1. Импорт списка клиентов
2. Приоритезация списка клиентов для обзвона
3. Автоматический набор номера клиента
4. Фиксация результата контакта

На основании таких требований можно производить оценку возможности внедрения программного обеспечения.

Операционные расходы

С капитальными расходами на лицензии ПО определились, а что с операционными? Надо провести стоимостной анализ доли затрат на себестоимость продукта. Дополним нашу модель стоимостью ресурсов (или свяжем созданную ранее организационную модель с данными из ПО по начислению заработной платы).

Так просто? Теперь да, а вот раньше для проведения такого анализа необходимо было привлечь операционистов, продуктологов, технологов, финансистов и кадровиков. Если в процессе создания драйвера расходов сам процесс изменялся, то приходилось весь расчет начинать сначала.

Регламент выполнения

Казалось-бы, что может быть проще для формирование регламента выполнения бизнес-процесса дать задание тетушке в пуховом платке (методолог), объяснить, помолиться и подождать несколько месяцев до появления в муках рожденного Регламента. Может, если помнить, что и модель и регламент - это разные формы одной сущности. Берем нашу модель и пальчиком или курсором сверху вниз:

Получаем:

Ежедневно при получении документа «Список клиентов для обзвона» Персональный менеджер выполняет функцию «Привлечение клиентов» согласно нормо-регулирующего документа «Инструкция по обзвону» с помощью программного средства «CRM». В результате выполнения функции должен быть заполнен документ «Результат звонка». Нормативное время выполнения функции «Привлечение клиента» составляет 00:30:00.
Если в результате выполнения функции «Привлечение клиентов» произошло событие «Клиент принял предложение»… и т.д.

Все, актуальный и полный регламент, понятный и для исполнителя и для контролера готов, несите на подпись.

Проведение экспериментов

Эксперименты в боевых условиях очень дорого обходятся. Как узнать, как будет себя вести процесс, если в пятницу сделать рабочий день короче, в среду неожиданно уйдет в декрет главный специалист и сколько физически смогут продать цветочники 8 марта? Для этого надо модель нашего процесса поместить в имитационную среду, максимально приближенную к реальной.

Кроме модели бизнес-процесса понадобится модель внешней среды, но это просто необходимо знать, как часто запускается экземпляр процесса и события, влияющие на его выполнение. Например, днем в колл-центр входящий звонок поступает в среднем каждые 5 минут.

Симулятор будет запускать задачи в модель бизнес-процесса в том количестве и так долго, сколько необходимо. А по завершению у вас останутся результаты имитационного моделирования, необходимые для принятия решения, как будто процесс реально проработал нужное время.

В отличие от статичной модели, в результатах симуляции видно, что сотрудники не работают более 8 часов, их задачи переносятся и ждут своей очереди на выполнение или доступных ресурсов, приближая расчетные данные производительности к фактическим.

Заключение

Все описанные выше примеры применения модели реальны, часто применимы и доступны. Кроме этого, при помощи модели БП просто решаются и менее тривиальные задачи: составление карты рисков, анализ контуров управления качеством и источников дефектов для бережливого производства. Имея модель всего одного процесса для формирования перечисленных результатов экономится очень много человеко-часов, в случае изменения процесса так же легко, путем внесения изменений в модель актуализируются и результаты. Нам лень тратить время на рутину, вот почему мы любим процессы и, надеемся, полюбите и вы.

Подпишитесь на наш блог здесь и вы, возможно, узнаете:

• Как правильно идентифицировать бизнес-процессы, что бы не увеличились границы проекта
• Что делать, если моделируемый процесс успевает измениться к моменту окончания моделирования
• Реверс-инжиниринг процесса - это не сложно и законно, охота за моделями и многое другое.

Ну а пока мы ждем вас на нашем

РЕФЕРАТ

МАТЕМАТИКА - ЯЗЫК ПОЗНАНИЯ М И РА

ВВЕДЕНИЕ

ЗАЧЕМ НУЖНЫ МОДЕЛИ?

КАКИЕ БЫВАЮТ МОДЕЛИ

КАК ВЕДУТСЯ МОДЕЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ЛИТЕРАТРУА

ВВЕДЕНИЕ

Современный этап развития естествознания характеризуется широким проникновением во все его разделы идей и методов математики. Математика из покрытой ореолом таинственности науки все больше превращается в обычный инструмент исследования, потребность в использовании которого ощущает все большее число специалистов в самых разных областях знания.

Математика была, есть и будет элементом общей культуры. Но если в этом качестве раньше она была уделом небольшого числа посвященных людей, то теперь, особенно с появлением электронных вычислительных машин (ЭВМ), объективные тенденции научно-технического прогресса делают математические методы достоянием широкого круга людей, занятых в самых различных сферах науки и техники.

Чем же вызвана наблюдаемая в последнее время интенсивная математизация человеческого знания?

Вся история развития цивилизации на Земле проникнута идеями числа и измерения. По мере перехода от накопления фактов об окружающей людей природе к организованному знанию точность становилась все более необходимой. Возникла потребность в методах, которые бы обеспечили эту точность при формулировке представлений об окружающем мире. Так возникла математика, так она заняла главенствующее место во всех тех случаях, когда требовалась точность и однозначность суждений.

За несколько тысячелетий существования и совершенствования математикой выработан особый язык абстракций, который позволяет привести к единому виду описание самых разнообразных по своей природе объектов и процессов. Поэтому считается, что любая наука получает ранг “точной” только тогда, когда она в достаточной мере использует эту систему универсальных методов анализа, вырабатывая хорошо развитую систему строгих понятий, позволяющих делать широкие теоретические обобщения и предсказания. На этом пути одним из важнейших этапов, венчающим переход науки в разряд точных является математическое моделирование.

ЗАЧЕМ НУЖНЫ МОДЕЛИ?

Прежде, чем ответить этот вопрос следовало бы определить, что такое модель. Однако, мы поступим иначе. Сначала приведем несколько примеров, которые помогут сформировать интуитивное представление о понятии “модель”, а уж потом дадим определение.

Архитектор готовится построить здание невиданного доселе типа. Но прежде, чем воздвигнуть его, он сооружает это здание из кубиков на столе, чтобы посмотреть, как оно будет выглядеть. Это модель.

Перед тем как запустить в производство новый самолет, его помещают в аэродинамическую трубу и с помощью соответствующих датчиков определяют величины напряжений, возникающих в различных местах конструкций. Это модель.

Перечислять примеры моделей можно сколь угодно долго. Не будем этого делать, а попытаемся понять какова роль их в уже приведенных примерах.

Конечно, архитектор мог бы построить здание без предварительных экспериментов с кубиками. Но... он не уверен, что здание будет выглядеть достаточно хорошо. Если оно окажется некрасивым, то многие годы потом оно будет cлужить немым укором своему создателю, лучше уж поэкспериментировать с кубиками.

Конечно, можно запустить самолет в производство и не зная, какие напряжения возникают, скажем, в крыльях. Но... эти напряжения, если они окажутся достаточно большими, вполне могут привести к разрушению самолета. Лучше уж сначала исследовать самолет в аэродинамической трубе.

В приведенных примерах имеет место сопоставление некоторого объекта с другим, его заменяющим: реальное здание - здание из кубиков; серийный самолет - единичный самолет в аэродинамической трубе. И при этом предполагается, что какое-то свойство (свойства) сохраняется при переходе от исходного объекта к его заменяющему, или по крайней мере позволяет судить об исходном свойстве.

Хотя здание из кубиков и много меньше настоящего, но оно позволяет судить о внешнем виде этого здания. Хотя самолет, находящийся в аэродинамической трубе, и не летит, но напряжения, возникающие в его корпусе, соответствуют условиям полета.

После всего сказанного становится понятным такое определение.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект - оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

С незапамятных времен при изучении сложных процессов, явлений, конструировании новых сооружений и т.п. человек применяет модели. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, нежели реальный объект. Более того, некоторые объекты вообще не могут быть изучены непосредственным образом: недопустимы, например, эксперименты с экономикой страны в познавательных целях; принципиально неосуществимы эксперименты с прошлым или, скажем, с планетами Солнечной системы и т.д.

Другое не менее важное назначение модели состоит в том, что с ее помощью выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта, поскольку сама модель отражает лишь некоторые основные характеристики исходного объекта.

Модель позволяет также научиться правильно управлять объектом, апробируя различные варианты управления на модели этого объекта. Экспериментировать в этих целях с реальным объектом в лучшем случае бывает неудобно, а зачастую просто вредно или вообще невозможно в силу ряда причин (большой продолжительности эксперимента во времени, риска привести объект в нежелательное и необратимое состояние и т.п.)

Если объект исследования обладает динамическими характеристиками, т.е. характеристиками, зависящими от времени, особое значение приобретает задача прогнозирования динамики состояния такого объекта под действием различных факторов. При ее решении использование модели также может оказать неоценимую помощь. Итак, резюмируя, можно сказать, что модель нужна:

во-первых, для того чтобы понять, как устроен конкретный объект (процесс), какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;

во-вторых, для того чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;

в-третьих, для того чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект.

До сих пор мы говорили об использовании моделей в достаточно общих терминах. Конкретизируя эту проблему применительно, например, к биологии, увидим, что перечисленные выше цели, для которых нужны модели, сохраняются. Допустим, что требуется понять, как протекает, скажем, процесс роста дерева. Можно перечислить факторы, определяющие течение этого процесса, но это не дает полного понимания. А вот, если будет показано как, на что и в какой мере воздействуют эти факторы, т.е., если будет создана модель роста дерева, то тогда придет и понимание.

Или допустим, что требуется управлять хемостатом - устройством для культивирования микроорганизмов (регулировать скорость потока, выбирать концентрацию поступающего питательного бульона и т.д.) так, чтобы за некоторое фиксированное время получить на выходе наибольшую массу микробной популяции. Только используя математическую модель хемостата, можно избежать далекого от совершенства метода проб и ошибок.

Очень важно понимать, что одному объекту может сопоставляться не одна, а множество моделей. В связи с этим, естественно возникает вопрос - а какая же из них самая лучшая? Это непростой вопрос, и мы к нему будем неоднократно возвращаться в дальнейшем. Пока лишь отметим, что качество модели определяется ее ролью в проводимом исследовании. Может она дать ответы на вопросы, стоящие перед исследователем - модель хороша. Не может - значит она плоха для данного исследования.

Хорошая модель, как правило, обладает удивительным свойством: ее изучение дает некоторые новые знания об объекте - оригинале. Это, бе з условно, очень важное свойство, играющее притягательную роль для лиц, занимающихся построением и изучением моделей

КАКИЕ БЫВАЮТ МОДЕЛИ

Процесс построения модели называется моделированием. Существует несколько приемов моделирования, которые можно условно объединить в две большие группы: материальное (предметное) и идеальное моделирование.

К материальным относятся такие способы моделирования, при которых исследование ведется на основе модели, воспроизвод я щей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта. Основн ы ми разновидностями материального моделирования являются физические и аналоговое модел и рование.

Физическим принято называть моделирование, при котором реальному объекту сопоставляется его увеличенная или умен ь шенная копия, допускающая исследование (как правило, в лаб о раторных условиях) с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явления с мод е ли на объект на основе теории подобия. Вот несколько примеров физических моделей: в астрономии - планетарий, в гидротехнике - лотки с водой, моделирующие реки и водоемы, в архитектуре - макеты зданий, в самолетостроении - модели летательных аппаратов, в эк о логии - аквариумы с водными организмами, моделирующими водные экосистемы и т.п.

Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математич е скими уравнениями, логическими схемами, т.п.). Наиболее пр о стой пример - изучение механических колебаний с помощью электрической схемы, описываемой теми же дифференциальн ы ми уравнениями.

Заметим, что в обоих типах материального моделирования модели явл я лись материальным отражением исходного объекта и были связаны с ним своими геометрическими, физическими и другими характеристиками, причем процесс исследования был тесно связан с материальным воздействием на модель, т.е. состоял в натурном эксперименте с ней. Таким образом, физическое моделирование по своей природе является экспериментальным м е тодом.

От предметного моделирования принципиально отличается идеальное моделирование, которое основано не на материал ь ной аналогии объекта и модели, а на аналогии идеальной, мы с лимой.

Идеальное моделирование носит теоретический характер. Различают два типа идеального моделирования: интуитивное и знаковое. Под интуитивным понимаем моделирование, основанное на интуитивном предста в лении об объекте исследования, не поддающемся формализации либо не нуждающемся в ней. В этом смысле, например, жизненный опыт каждого человека может считаться его интуитивной м о делью окружающего мира.

Знаковым называется моделирование, использующее в кач е стве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: сх е мы, графики, чертежи, формулы, наборы символов и т.д., а также включающее совокупность законов по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и их эл е ментами.

Важнейшим видом знакового моделирования является мат е матическое моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели сформулированной на языке математики, с использованием тех или иных математ и ческих методов.

Классическим примером математического моделирования является описание и исследование И.Ньютоном основных законов механики средств а ми математики.

КАК МАТЕМАТИКА ПРОНИКАЕТ В ДРУГИЕ НАУКИ

С незапамятных времен человек познает окружающий мир. На заре цивилизации этот процесс шел стихийно. По мере нако п ления знаний оказалось целесообразным упорядочить их с п о мощью некоторых структур - так возникли различные науки. В рамках одной науки собирались не какие угодно знания, а лишь те, которые к этой науке относились. Здесь же разр а батывались методы, позволяющие получать новые знания, относящиеся именно к этой науке. Мало того, на место ученых античного мира, которые изучали мир во всем его многообразии, пришли гораздо более узкие специалисты, которые изучают мир с поз и ций конкретных наук. С течением времени специализация наук достигла такого уровня, науки настолько разошлись в своем развитии, что знания, полученные в одной, зачастую с о вершенно не понятны в другой. По сути, представители разных наук говорят на разли ч ных языках.

Чем более глубокие факты устанавливаются в современной науке, тем специфичнее делается ее язык, тем сложнее понять его представителям другой науки и, тем более, людям от науки далеким. Такое явление не может не огорчать, так как для многих оно скрывает всеобъемлющую картину мира. По счастью, одн а ко, дело не так уж и безнадежно. Существует, оказывается, такой язык, которым, в той или иной степени, пользуются представ и тели всех наук. Этот язык - математика. Проследим путь, по которому м а тематика проникает в самые разнообразные науки - в биологию и почвов е дение, в химию и географию, в геологию и гидрометеорологию, а также многие, многие другие.

Всякая наука в своем развитии проходит ряд этапов, которые, следуя академику А.Д.Дородницыну, можно представить в виде следующей схемы (Рис.1). Прокомментируем ее.

Естественно, развитие любой науки начинается с целен а правленного накопления фактов, сбора информации. Поскольку задача науки состоит в объяснении законов природы, одновр е менно с накоплением фактов происходит их классификация, с и стематизация, попытка установления взаимосвязей между объе к тами и явлениями. На каждом из первых трех этапов, кот о рые вместе могут быть охарактеризованы как описательные, есть место для математики. И не просто место, а важная роль! Накопление фактов можно существенно рационализировать, используя развитый в математике метод планирования экспер и мента. Объективная классификация немыслима без современн о го кластерного анализа, теории распознавания образов. Ну, а при поиске взаимосвязей между изучаемыми объектами или явлениями не обойтись без коррел я ционного анализа и других методов статистики.

Регулярно в процессе развития науки возникают ситуации, когда зн а ния, накопленные на описательных этапах развития, позволяют выделить некие главные или определяющие велич и ны. Успешный выбор этих величин чрезвычайно важен для пер е хода от описательного знания к точному, для создания возможности построения математических моделей различных проце с сов, явлений. Сколь часто возникают такие ситуации, сказать трудно, так как этап, связанный с поиском определяющих вел и чин, наиболее трудно формализуем и пока да и, повидимому, в обозримом будущем о с нован на интуиции ученого.

Хороший пример важности установления определяющих величин для прогресса науки дает физика. Еще во времена Арх и меда фактически были известны основные эмпирические факты, связанные с движением тел. Но п о требовалось почти две тысячи лет и гений Ньютона, чтобы установить, что определяющей величиной, связывающей силу и массу, является ускор е ние, а не скорость, как думали раньше. И только тогда появились законы Ньют о на, дающие точные знания о движении тел под действием внешних сил.

Теперь уже понятно, что этап, венчающий переход науки в разряд то ч ных - математическое моделирование - базируется на “двух китах” : знании определяющих величин и фактов конкре т ной науки, знании языка и методов математики, позволяющем строить модели. Только наличие обоих типов знаний может позволить ученому продуктивно работать на этом этапе разв и тия науки.

Какими же математическими знаниями должен владеть с о временный ученый не математик? Они достаточно обширны. Именно поэтому в этой книге читатель найдет элементы матем а тического анализа и алгебры, теории множеств и дискретной м а тематики, дифференциальных уравнений, теории вероятности и статистики. Изучив их, он познакомится с тем языком на кот о ром пишутся математические модели. Но знакомство, еще не означает подлинного владения языком. В настоящий учебник включен большой набор иллюстративных моделей, которые по з волят читателю приобрести опыт построения математических моделей, позволят как бы “заговорить на новом языке”.

Сделаем одно замечание. Выше мы говорили об этапах разв и тия наук. Важно отметить, что, в связи с относительностью нашего знания, этапы, сменяя друг друга, никогда не заканч и ваются, а лишь дополняют друг друга. Сколь бы ни была мат е матизирована та или иная наука, в ней всегда продолжаются и сбор информации, и ее классификация, и поиск связей между наблюдаемыми явлениями.

КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В том случае, когда относительно моделируемого объекта (явления, системы) предполагается, что происходящие в нем процессы детерминированны и средства, используемые при построении модели, также относятся к средствам детерминированного анализа, будем говорить, что и модель отн о сится к классу детерминированных.

Если происходящие в моделируемом объекте процессы им е ют случайный (стохастический) характер, а средства, использ у емые при построении модели, относятся к детерминированному анализу, то такую модель будем относить к классу детерм и нированно-стохастических.

Если же и процессы в моделируемом объекте, и средства моделирования имеют стохастическую природу, то модель относится к классу стохастич е ских.

Среди стохастических моделей важное место занимает класс имитационных моделей. Так называются модели, сопоставл я ющие объекту (процессу, явлению) алгоритм его функционир о вания.

Свой вклад в классификацию вносят и цели моделирования. Если м о дель нужна, чтобы описать какие-то процессы, явления, то такая модель называется дескриптивной (description - опис а ние, англ.).

Если модель нужна для того, чтобы найти в каком-то смысле наилучший способ управления моделируемым объектом (скажем, определить какой “урожай” следует собирать каждый год с п о пуляции, чтобы максимизировать “урожай” за N лет), то такая модель относится к классу оптимизацио н ных.

Если модель позволяет определить не зависящую от времени характер и стику объекта (процесса, явления), то она называется статической. В противном случае она называется динамич е ской.

Разумеется, одна и та же модель может входить в разные классы в зависимости от признака, по которому ведется класс и фикация.

КАК ВЕДУТСЯ МОДЕЛ Ь НЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Исходным пунктом такого исследования, его отправной точкой служит некоторая задача из той или иной предметной обл а сти (биология, химия, география, геология и др.). Для этой задачи строится математическая м о дель. Прежде, чем говорить о том как строится модель, откуда она берется, сделаем два замечания общего порядка.

Всякий объект (система), модель которой мы создаем, при своем функционировании подчиняется определенным законам - биологическим, физ и ческим, химическим и др. Причем вполне возможно, и это очень важно отметить, что далеко не все эти з а коны нам на сегодняшний день уже могут быть известны. Мы будем считать, что знание законов предполагает известными количественные соотношения, связывающие те или иные характ е ристики моделируемого объекта (системы). Можно сказать и иначе, законы формулируются в результате обработки результ а тов наблюдений за теми или иными характеристиками модел и руемого объекта (системы).

Всякая модель создается для определенной цели - для ответа на некоторое множество вопросов о моделируемом объекте(системе). Иными сл о вами, интересуясь некоторым набором вопросов относительно этого объекта (системы), мы должны взглянуть на этот объект под вполне определенным “углом зрения”. Выбранный “угол зрения” в значительной степени и опр е деляет выбор модели.

После этих общих замечаний перейдем к описанию проце с са построения математической модели некоторого объекта (с и стемы). Его можно представить себе состоящим из следующих этапов:

1. Формируются основные вопросы о поведении системы, ответы на к о торые мы хотим получить с помощью модели.

2. Из множества законов, управляющих поведением системы, учитываются те, влияние которых существенно при поиске отв е тов на поставленные вопросы (здесь проявляется искусство м о дельера).

3. В дополнение к этим законам, если необходимо, для системы в целом или отдельных ее частей формулируются опред е ленные гипотезы о функционировании. Как правило, эти гипот е зы правдоподобны в том смысле, что могут быть приведены н е которые теоретические доводы в пользу их принятия. (Здесь проявляется как искусство модельера, так и специалиста по функционированию моделируемой с и стемы).

4. Гипотезы так же, как и законы выражаются в форме опр е деленных математических соотношений, которые объединяются в некоторое формальное описание м о делей.

В последующих главах читатель найдет примеры, иллюстр и рующие все выше указанные этапы построения математических моделей.

Но пусть модель построена. Что делать дал ь ше?

На следующем этапе разрабатывается или используется созданный ра н нее алгоритм для анализа этой модели. Если модель и алгоритм не сли ш ком сложны, то может оказаться возможным аналитическое исследование модели. В противном случае составляется программа, реализующая этот алгоритм на ЭВМ. П о сле выполнения расчетов по модели на ЭВМ их результаты обязательно сравниваются с фактической информацией из с о ответствующей предметной области. Это сравнение необходимо для того, чтобы убедиться в адекватности модели, в том что м о дельным расчетам можно верить, их можно использовать.

Если окажется, что результаты расчетов не имеют ничего общего с р е альной действительностью, то следует вернуться к построенной модели - быть может, она нуждается в усове р шенствовании. Возможны также ошибки в алгоритме и (или) в программе для ЭВМ. Такие повторные просмотры продолжаю т ся до тех пор, пока результаты расчетов не удовлетворяют исследователя. Теперь модель готова к использ о ванию.

Подводя некоторый итог сказанному, обратим внимание на следующее. Не всякое использование математических формул представляет собой п о строение математических моделей. В тех случаях, когда существует теория изучаемых явлений, пусть на вербальном уровне, использование формул позволяет построить математический аппарат теории. И только тогда, когда уровень наших знаний в некоторой области еще недостаточен для построения теории, математический формализм приобретает самостоятельное зн а чение и может послужить зародышем будущей теории. При этом новые знания возникают не только из экспер и ментального изучения реальных явлений, но и с помощью анализа математических формул. Именно в этом случае можно говорить о п о строении и исследовании математических моделей.

А в заключение обратим внимание что ни ЭВМ, ни математическая м о дель, ни алгоритм ее исследования порознь не могут решить достаточно сложную исходную задачу. Только вместе (включая, естественно человека-исследователя) они представл я ют ту силу, которая позволяет познавать окружающий мир, управлять им в наших интер е сах.

ЛИТЕРАТРУА
Амосов А.А.,Дубинский Ю. А., Копченова Н.П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир,2008. — 575 с.

Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Г. Численные методы. 8-е изд. —М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2010. — 624 с.

Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.

Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. — М.: Мир, 2008. — 575.

Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. 2-е изд. — М.: Изд-во МФТИ, 2000. — 224 с.

Лобанов А.И., Петров И.Б. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. Часть 1. — М.: МФТИ, 2010. — 168 с.

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989. — 608 с.

Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. — М.: Наука–Физматлит, 1994. — 335 с. 2-е изд. М.: Физматлит, 2010. — 296 с.

Самарский А А., Гулин А В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.

Сборник задач для упражнений по курсу Основы вычис-лительной математики / Под ред. Рябенького В.С. – М.: МФТИ, 1988.

Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. — М.: Изд-во МФТИ, 2004. — 526 с.

Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999. — 685 с.

Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990. — 512 с.

Как указывалось выше, существует множество причин, в силу которых политологи прибегают к использованию математических моделей. Однако у данного метода есть и недостатки и преимущества. Моделирование – это процесс упрощения и дедуктивного вывода. Упрощение влечет за собой потерю информации о событии. Дедуктивный вывод зачастую включает в себя сложную математическую обработку, которая, по крайней мере на первых порах, затрудняет работу с моделью. Поэтому в отношении моделирования возникает резонный вопрос: а для чего нужны все эти сложности?

Первая причина, побуждающая нас к моделированию политического поведения, состоит в том, что модель помогает формализовать происходящие в обществе события. Дело в том, что политическая жизнь достаточно регулярна, для того чтобы упрощенная неформальная модель ее могла принести определенную пользу. Большая часть того, что случается в области политики, как правило, не является совсем уж неожиданным – на самом деле наличие элемента неожиданности указывает на то, что у нас имеются априорные представления о том, как могут развиваться события, и мы в состоянии осознать факт неожиданного поворота дел. Значит, у нас в мозгу имеются своего рода ментальные модели функционирования политических систем, даже если мы ни разу не пытались выразитьих эксплицитно. Математические модели как раз и помогают эксплицировать подобные неформальные модели.

В качестве примера ментальной модели можно привести следующий. Предположим, что на предстоящих президентских выборах один из кандидатов набирает 95% всех голосов. Очевидно, что это никак не противоречит ни конституции, ни устоявшимся избирательным процедурам. Однако мы будем склонны рассматривать такой факт как крайне маловероятный в силу целого ряда причин. Во-первых, мы допускаем, что со стороны каждой партии наберется достаточное число избирателей, чтобы свести к минимуму возможность чисто случайного результата голосования. Во-вторых, мы исходим из того, что ни одна партия не станет выставлять столь непопулярного кандидата, чтобы он мог собрать лишь 5% голосов. В-третьих, мы полагаем, что подсчет голосов производится без подтасовок. Можно было бы перечислять и далее, но суть в том, что относительно политической системы США у нас имеется целый ряд исходных допущений, в свете которых разбиение голосов на 5 и 95% представляется нам малоправдоподобным.

Все подобные допущения упрощают действительность. Мы не знаем, каково точное число избирателей, да нам это и не надо – мы просто знаем, что оно очень велико. Мы не знаем, какие конкретно особенности кандидата делают его приемлемым для одних избирателей и неприемлемым для других, но мы исходим из того, что совсем уж непопулярные кандидаты не будут выдвинуты на голосование. Мало у кого есть личный опыт в деле подсчета голосов, достаточный для того, чтобы знать, честно ли проводятся выборы, но весь опыт прошлого дает основания считать, что фальсификации на выборах места не имеют 2 . Поскольку эти допущения не столь уж часто приводят нас к неверным выводам, мы можем использовать эту модель политической системы для неформального прогнозирования будущего. В действительности те случаи, когда какой-либо кандидат получает 95% голосов, вызывают у населения сильное недоверие, иногда вплоть до требований о расследовании, так что наша модель отчасти определяет также поступки и отношения людей.

Другой причиной применения математического моделирования является необходимость эксплицитно описать механизмы, объясняющие наши неформальные прогнозы. Несмотря на то, что все индивиды знают, чего можно, а чего нельзя ожидать от данной политической системы, они зачастую не в состоянии определить точно, почему и что конкретно они от нее ожидают. Формальная модель как раз и помогает преодолеть чересчур свободные формулировки допущений неформальной модели и дать точный, а подчас и поддающийся проверке прогноз.

Вышеприведенный пример выводится из модели Даунса, которую мы будем рассматривать ниже в данной главе. Формальная модель Даунса предсказывает, что любая политическая партия в условиях альтернативных выборов будет выбирать своих кандидатов и платформу так, чтобы привлечь с их помощью как можно большее число избирателей. Это и некоторые дополнительные соображения приводят нас к заключению, что существует тенденция, в соответствии с которой политические партии должны получить на выборах примерно равное число голосов; именно такой исход обыкновенно и наблюдается на выборах в США. Таким образом, данная формальная модель предсказала не только то, что исход с распределением голосов в соотношении 95:5 является маловероятным, но и то, что ожидаемым будет распределение в соотношении 50:50, в пользу чего было приведено определенное обоснование.

Порой, кажется, что математические модели всего лишь подтверждают и так очевидные вещи. На самом деле это неотъемлемая особенность любых моделей постольку, поскольку от них ожидается, что они в той или иной степени должны воспроизводить все происходящее в каждодневной политической реальности. Однако люди, как правило, очень смутно представляют себе, что такое “очевидное”. Рассмотрение ряда противоречащих друг другу афоризмов (“волк волка чует издалека” и “крайности сходятся”, “с глаз долой – из сердца вон” и “чем дальше с глаз, тем ближе к сердцу” и т.п.) убеждает нас в том, что здравый смысл часто оказывается правильным именно потому, что он настолько расплывчат, что попросту не может быть неверным.

Строгость формальных моделей, напротив, означает как раз то, что они могут быть неверными, и в результате у модели “спортивные показатели” могут быть подчас хуже, чем у более неоднозначного здравого смысла. Однако это вовсе не слабость, а, наоборот, достоинство моделирования, ибо допущения и прогнозы модели оказываются достаточно точными, чтобы их можно было проверить, а также указать, в каком месте и как произошла возможная ошибка. Та модель, которая устояла против целого ряда попыток ее искажения, вполне вероятно, и в будущем будет давать правильные прогнозы. Модель же, которая раз за разом дает неверные предсказания, видимо, должна быть устранена из рассмотрения.

Короче говоря, модель бывает полезной только в том случае, если в принципе, возможно, продемонстрировать ее ошибочность. Если невозможно показать, что модель неверна, то невозможно также доказать, что она верна, а отсюда следует вывод о бесполезности такой модели. Неформальная интуитивная модель, позволяющая уходить от всевозможных ошибок, может быть большим тактическим подспорьем на переговорах, но она бессильна помочь нам яснее понять механизм политического поведения.

Третьим преимуществом формальных моделей, но сравнению с голой интуицией или даже с тщательно обоснованной аргументацией на естественном языке является их способность систематически оперировать с сущностями более высокого уровня сложности. Естественные языки (подобно английскому) возникли как средства общения, а не как средства логического вывода. Математика, напротив, изначально была задумана как средство логического вывода и систематического оперирования понятиями. И опыт показал, что математика в этом отношении – очень полезное орудие. Политологи со своей стороны только сейчас начинают осознавать, что может дать моделирование для более углубленного понимания политического поведения, а в ряде случаев должны были развиться целые отрасли математики (самый заметный пример – теория игр), прежде чем обществоведы смогли увидеть нечто общее в разрозненных типах социального поведения. Математическое моделирование социального поведения насчитывает не более 20 лет от роду, и пока нет оснований считать, что оно уже достигло пределов своего развития.

И наконец, преимуществом математического моделирования является также то, что оно позволяет различным научным дисциплинам обмениваться своими исследовательскими средствами и приемами. Тому можно привести много примеров: в моделях, используемых в политологии, задействованы не только основные математические средства, но и масса методик, заимствованных из эконометрики, социологии и биологии. Опросное исследование – представляющее собой, по сути дела, сложную математическую модель распределения общественного мнения между различными группами населения – является широко распространенным методом, используемым в большинстве социальных наук. Заимствование происходит и в обратном направлении: специалисты по системотехнике, разрабатывая крупные компьютерные модели глобальных социально-демографических процессов, для уточнения политических аспектов были вынуждены обратиться к политологическим моделям, а совсем недавно математики, работающие над новой теорией хаотического поведения, обнаружили, что модель Ричардсона гонки вооружений (см. пример 1) поддается весьма продуктивному анализу с применением методов вышеупомянутой теории. Подобным же образом и теория игр была изначально разработана экономистами и политологами для анализа явления конкуренции и лишь впоследствии превратилась в раздел чистой математики.

Помимо стимулирования междисциплинарного обмена методами и идеями, математические модели полезны также тем, что позволяют увидеть глубинную однородность явлений, которые на первый взгляд не имеют между собой ничего общего. Следующий пример, сам по себе довольно тривиальный, наглядно демонстрирует такой тип обобщения.

Представим себе нехитрую игру, в которой два игрока по очереди берут со стола фишки, пронумерованные от 1 до 9:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Выигрывает тот, кто первым наберет фишек на сумму, равную 15. Играя в эту игру, вы, несомненно, обнаружите, что в ней есть свои приемы – в частности, в порядке защитного приема вы можете забирать со стола именно те фишки, которые нужны второму игроку для получения окончательной суммы, – однако общая стратегия игры, по-видимому, не совсем очевидна. Чтобы обобщить игру, перепишем номера фишек следующим образом:

4 3 8

9 5 1

2 7 6

Заметим, что в такой записи каждая строка, столбец и диагональ в сумме дает желаемый исход – 15. Таким образом, для успешной игры нужно выбрать какой-то один из этих рядов чисел. В такой форме игра выглядит уже очень знакомо: это “крестики-нолики”, в которые умеет играть любой пятилетний ребенок. После того как мы представили игру в упорядоченном виде, то, что сначала нам казалось незнакомым, теперь стало выглядеть вполне узнаваемо, так что мы получили возможность использовать в новом контексте издавна известное нам решение.

Это упражнение – конечно, в более сложных формах и применительно к более значимым задачам – весьма характерно для процесса нахождения общих черт с использованием математических моделей. Известно множество случаев, когда математическая модель, разработанная изначально в расчете на одну какую-то проблему, оказывалась равным образом применимой и к другим проблемам. К примеру, модель Ричардсона гонки вооружений может быть использована для изучения не только международной гонки вооружений, но и динамики роста предвыборных расходов соперничающих политических партий или процесса взвинчивания участниками аукциона цены на “лакомый” товар. Игра “дилемма заключенного” применима не только к примеру позиционной войны (см. ниже), но и к случаю “войны цен” между двумя бензозаправочными станциями, а также к случаю принятия государством решения о необходимости разработки нового вида оружия. Разновидность игры “дилемма заключенного” под названием “цыпленок” берет свое начало от игр юных головорезов, носившихся в разбитых колымагах по заброшенным дорогам Калифорнийской пустыни; она теперь применяется к изучению политики ядерного сдерживания в условиях угрозы термоядерной войны. Перечислять примеры можно было бы до бесконечности; для нас, однако, существенно, что большинство хороших математических моделей находят применения, далеко выходящие за рамки тех проблем, ради которых они первоначально разрабатывались.

Итак, математические модели имеют четыре потенциальных преимущества по сравнению с естественно-языковыми моделями. Во-первых, они упорядочивают те ментальные модели, которыми мы обычно пользуемся. Во-вторых, они лишены неточности и неоднозначности. В-третьих, математическая запись в отличие от естественно-языковых выражений позволяет оперировать на очень высоком уровне дедуктивной сложности. И, наконец, математические модели способствуют нахождению общих решений для проблем, кажущихся на первый взгляд разнородными.

← Вернуться