Cтраница 1
Логарифмическая функция (80) осуществляет обратное отображение всей плоскости w с разрезом на полосу - я / /: я, бес-конечнолистную риманову поверхность на полную z - плоскость.
Логарифмическая функция: у logaх, где основание логарифмов а-положительное число, не равное единице.
Логарифмическая функция играет специальную роль в разработке и анализе алгоритмов, поэтому ее стоит рассмотреть подробнее. Поскольку мы часто имеем дело с аналитическими результатами, в которых опущен постоянный множитель, мы используем запись log TV, опуская основание. Изменение основания логарифма меняет значение логарифма лишь на постоянный множитель, однако, в определенном контексте возникают специальные значения основания логарифма.
Логарифмическая функция обратна показательной. График ее (рис. 247) получается из графика показательной функции (при том же основании) перегибом чертежа по биссектрисе первого координатного угла. Так же получается график всякой обратной функции.
Логарифмическая функция вводится Затем как обратная показательной. Свойства обеих функций выводятся без труда из этих определений. Именно это определение получило одобрение Гаусса, который вместе с тем выразил несогласие с оценкой, данной ему в рецензии Геттинген-ских ученых известий. При этом Гаусс подошел к вопросу с более широкой точки зрения, чем да Кунья. Последний ограничился рассмотрением показательной и логарифмической функций в действительной области, между тем как Гаусс распространил их определение на комплексные переменные.
Логарифмическая функция y logax монотонна во всей области своего определения.
Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а I, При 0 а 1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
Логарифмическая функция определена только для положительных значений х и взаимно однозначно отображает интервал (0; 4 - ос.
Логарифмическая функция у loga х является обратной функцией по отношению к показательной функции уах.
Логарифмическая функция: y ogax, где основание логарифмов а - положительное число, не равное единице.
Логарифмические функции хорошо сочетаются с физическими представлениями о характере ползучести полиэтилена в условиях, когда скорость деформации невелика. В этом отношении они совпадают с уравнением Андрааде, поэтому их иногда применяют для аппроксимации экспериментальных данных.
Логарифмическая функция, или натуральный логарифм, и In z, определяется решением трансцендентного уравнения г еи относительно и. В области действительных значений х и у при условии х 0 это уравнение допускает единственное решение.
Вещественный логарифм
Логарифм вещественного числа log a b имеет смысл при src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.
Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.
Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию , например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0 , непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).
Свойства
Натуральные логарифмы
При справедливо равенство
| (1) |
В частности,
Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.
Связь с десятичным логарифмом: .
Десятичные логарифмы
Рис. 2. Логарифмическая шкала
Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки . Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:
- Химия - активность водородных ионов ().
- Теория музыки - нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.
Комплексный логарифм
Многозначная функция
Риманова поверхность
Комплексная логарифмическая функция - пример римановой поверхности ; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна ; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1 , особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).
Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0 .
Исторический очерк
Вещественный логарифм
Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra » Михаэль Штифель , который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.
В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку , до появления карманных калькуляторов - незаменимый инструмент инженера.
Близкое к современному понимание логарифмирования - как операции, обратной возведению в степень - впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли , а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» () Эйлер дал современные определения как показательной , так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.
Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.
Комплексный логарифм
Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли , однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века - между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x) . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.
Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), однако точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.
Логарифмические таблицы
Логарифмические таблицы
Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование , то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.
При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n . Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3 . Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.
Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже - с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега () появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).
В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого . В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.
- Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.
Тип урока: изучение нового материала.
Цели урока:
- сформировать представление ологарифмической функции, ее основных свойствах;
- сформировать умение выполнять построение графика логарифмической функции;
- содействовать развитию умений выявлять свойства логарифмической функции по графику;
- развитие навыков работы с текстом, умения анализировать информацию, способность ее систематизировать, оценивать, использовать;
- развитие умений работать в парах, микрогруппах (навыки общения, диалога, принятие совместного решения)
Используемая технология: технология развития критического мышления, технология работы в сотрудничестве
Используемые приемы: верные, неверные утверждения, ИНСЕРТ, кластер, синквейн
На уроке применяются элементы технологии развития критического мышления для развития способности выявлять пробелы в своих знаниях и умениях при решении новой задачи, оценивать необходимость той или иной информации для своей деятельности, осуществлять информационный поиск, самостоятельно осваивать знания, необходимые для решения познавательных и коммуникативных задач. Этот тип мышления помогает критически относиться к любым утверждениям, ничего не принимать на веру без доказательств, быть открытым новым знаниям, идеям, способам.
Восприятие информации происходит в три этапа, что соответствует таким стадиям урока:
- подготовительный – стадия вызова;
- восприятие нового – смысловая стадия (или стадия реализации смысла);
- присвоение информации – стадия рефлексии.
Учащиеся работают в группах, сопоставляют свои предположения с информацией, полученной в ходе работы с учебником, построения графиков функций и описаний их свойств, вносят в предложенную таблицу «Верите ли вы, что…» изменения, делятся мыслями с классом, обсуждают ответы на каждый вопрос. На стадии вызова выясняют в каких случаях, при выполнении каких заданий можно применить свойства логарифмической функции. На стадии осмысления содержания идет работа на распознавание графиков логарифмических функций, нахождение области определения, определение монотонности функций.
Чтобы расширить знания по изучаемому вопросу, обучающимся предлагается текст «Применение логарифмической функции в природе и технике». Используем для сохранения интереса к теме. Ученики работают в группах, составляя кластеры «Применение логарифмической функции». Затем происходит защита кластеров, обсуждение их.
В качестве творческой формы рефлексии используется синквейн, развивающий способность резюмировать информацию, излагать сложные идеи, чувства и представления в нескольких словах.
Оборудование: презентация PowerPoint, интерактивная доска, раздаточный материал (карточки, текстовый материал, таблицы), листы бумаги в клетку.
Ход урока
Стадия вызова:
Вступление учителя . Мы работаем над освоением темы «Логарифмы». Что на данный момент мы знаем и умеем?
Ответы учащихся.
Знаем : определение, свойства логарифма, основное логарифмическое тождество, формулы перехода к новому основанию, области применения логарифмов.
Умеем : вычислять логарифмы, решать простейшие логарифмические уравнения, производить преобразования логарифмов.
С каким понятием тесно связано понятие логарифма? (с понятием степени, т.к. логарифм – показатель степени)
Задание учащимся . Используя понятие логарифма, заполните две любые таблицы при а > 1 и при 0 < a < 1 (Приложение №1)
Проверка работы групп.
Что представляют собой представленные выражения? (показательные уравнения, показательные функции)
Задание учащимся . Решите показательные уравнения с помощью выражения переменной х через переменную у .
В результате этой работы получаются формулы:
В полученных выражениях поменяем местами х и у . Что получилось у нас?
Как бы вы назвали эти функции? (логарифмические, так как переменная стоит под знаком логарифма). Как записать эту функцию в общем виде?
Тема нашего урока «Логарифмическая функция, её свойства и график».
Логарифмическая функция – это функция вида , где а – заданное число, а>0 , а≠1 .
Наша задача – научиться строить и исследовать графики логарифмических функций, применять их свойства.
На столах у вас лежат карточки с вопросами. Все они начинаются со слов «Верите ли вы, что…»
Ответ на вопрос может быть только «да» или «нет». Если «да», то справа от вопроса в первом столбце поставьте знак «+», если «нет», то знак «-». Если сомневаетесь - поставьте знак «?».
Работайте в парах. Время работы 3 минуты. (Приложение №2)
Заслушав ответы учащихся, заполняется первый столбец сводной таблицы на доске.
Стадия осмысления содержания (10 мин).
Подводя итоги работы с вопросами таблицы, учитель готовит учеников к мысли, что, отвечая на вопросы, мы пока не знаем, правы мы или нет.
Задание группам . Ответы на вопросы можно найти, изучив текст §4 стр.240-242. Но предлагаю не просто читать текст, а выбрать одну из четырёх ранее полученных функций: построить её график и выявить по графику свойства логарифмической функции. Каждый член группы это делает в тетради. А затем на большом листе в клетку строят график функции. После завершения работы представитель каждой из групп выступает с защитой своей работы.
Задание группам. Обобщите свойства функции для а > 1 и 0 < a < 1 (Приложение №3)
Ось Оу
является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда a>1
, и в случае, когда 0
График функции проходит через точку с координатами (1;0)
Задание группам. Докажите, что показательная и логарифмическая функции взаимно обратны.
Ученики в одной системе координат изображают график логарифмической и показательной функции
Рассмотрим одновременно две функции: показательную у = а х и логарифмическую у = log a х .
На рис.2 схематически изображены графики функций у = а х и у = log a х в случае, когда a>1 .
На рис.3 схематически изображены графики функций у = а х и у = log a х в случае, когда 0 < a < 1.
Справедливы следующие утверждения.
- График функции у = log a х симметричен графику функции у = аx относительно прямой у = х .
- Множеством значения функции у = а х является множество у>0 , а областью определения функции у = log a х является множество х>0.
- Ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = а х , а ось Оу является вертикальной асимптотой графика функции у = log a х.
- Функция у = а х возрастает при а>1 и функция у = log a х также возрастает при а>1. Функция у = а х убывает при 0<а<1 и функция у = log a х также убывает при 0<а<1
Поэтому показательная у = а х и логарифмическая у = log a х функции взаимно обратны.
График функции у = log a х называют логарифмической кривой, хотя на самом деле нового названия можно было не придумывать. Ведь это та же экспонента, что служит графиком показательной функции, только по-другому расположенная на координатной плоскости.
Стадия рефлексии . Предварительное подведение итогов.
Вернемся к вопросам, рассмотренным в начале урока, и обсудим полученные результаты . Посмотрим, может быть, наше мнение после работы изменилось.
Учащиеся в группах сопоставляют свои предположения с информацией, полученной в ходе работы с учебником, построения графиков функций и описаний их свойств, вносят в таблицу изменения, делятся мыслями с классом, обсуждают ответы на каждый вопрос.
Стадия вызова.
Как вы думаете, в каких случаях, при выполнении каких заданий можно применить свойства логарифмической функции?
Предполагаемые ответы учащихся: решения логарифмических уравнений, неравенств, сравнения числовых выражений, содержащих логарифмы, построения, преобразования и исследования более сложных логарифмических функций.
Стадия осмысления содержания .
Работа на распознавание графиков логарифмических функций, нахождение области определения, определение монотонности функций. (Приложение №4)
Ответы .
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1)а, 2)б, 3)в | 1)а, 2)в, 3)а | а, в | в | В, С | а)< б) > | а)<0 б) <0 |
Чтобы расширить знания по изучаемому вопросу, обучающимся предлагается текст «Применение логарифмической функции в природе и технике». (Приложение №5) Используем технологический прием «Кластер» для сохранения интереса к теме.
«Находит ли эта функция применение в окружающем нас мире?», ответим на этот вопрос после работы над текстом о логарифмической спирали.
Составление кластера «Применение логарифмической функции». Ученики работают в группах, составляя кластеры. Затем происходит защита кластеров, обсуждение их.
Пример кластера.
Рефлексия
- О чем вы не имели представления до сегодняшнего урока, и что теперь вам стало ясно?
- Что нового вы узнали о логарифмической функции и ее приложениях?
- С какими трудностями вы столкнулись при выполнении заданий?
- Выделите тот вопрос, который для вас оказался менее понятным.
- Какая информация вас заинтересовала?
- Составьте синквейн «логарифмическая функция»
- Оцените работу своей группы (Приложение №6 «Лист оценки работы группы»)
Синквейн.
- Логарифмическая функция
- Неограниченная, монотонная
- Исследовать, сравнивать, решать неравенства
- Свойства зависят от величины основания логарифмической функции
- Экспонента
Домашнее задание: § 4 стр.240-243, № 69-75 (четные)
Литература:
- Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. - М. : Школа-Пресс,1998.-160 с.: ил. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 7.)
- Заир-Бек С.И. Развитие критического мышления на уроке: пособие для учителей общеобразоват. учреждений. – М. Просвещение, 2011. – 223 с.
- Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни. – М.: Просвещение, 2010.
- Корчагин В.В. ЕГЭ-2009. Математика. Тематические тренировочные задания. – М.: Эксмо, 2009.
- ЕГЭ-2008. Математика. Тематические тренировочные задания/ Корешкова Т.А. и др.. – М.: Эксмо, 2008.
Логарифмическая функция базируется на понятии логарифма и свойства показательной функции , где (основание степени а больше нуля и не равно единице).
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Примеры:
Напомним основное правило : чтобы получить число, стоящее под логарифмом, необходимо основание логарифма возвести в степень - значение логарифма:
Напомним важные особенности и свойства показательной функции.
Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :
Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы
Такая функция монотонно возрастает на всей своей области определения.
Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :
Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы
Такая функция монотонно убывает на всей своей области определения.
В любом случае, показательная функция монотонна, принимает все положительные значения и, в силу своей монотонности, каждое положительное значение достигает при единственном значении аргумента. То есть, каждое конкретное значение функция достигает при единственном значении аргумента , корнем уравнения и есть логарифм:
По сути, мы получили обратную функцию. Прямая функция - это когда у нас есть независимая переменная х (аргумент), зависимая переменная у (функция), мы задали значение аргумента и по нему получаем значение функции. Обратная функция: пусть независимой переменной будет у, ведь мы уже оговорили, что каждому положительному значению у соответствует единственное значение х, определение функции соблюдается. Тогда х становится зависимой переменной.
Для монотонной прямой функции существует обратная функция . Суть функциональной зависимости не изменится, если мы введем переобозначение:
Получаем:
Но нам привычнее обозначать независимую переменную за х, а зависимую - за у:
Таким образом, мы получили логарифмическую функцию.
Используем общее правило получения обратной функции для конкретной показательной функции .
Заданная функция монотонно возрастает (согласно свойствам показательной функции), значит, существует обратная ей функция. Напоминаем, что для ее получения необходимо выполнить два действия:
Выразить х через у:
Поменять местами х и у:
Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:
Рис. 3. Графики функций и
Данная задача решается аналогично и справедлива для любого основания степени.
Решим задачу при
Заданная функция монотонно убывает, значит, существует обратная ей функция. Получим ее:
Выразить х через у:
Поменять местами х и у:
Итак, получили функцию, обратную заданной: 
. Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:
Рис. 4. Графики функций и
Заметим, что мы получили логарифмические функции как обратные к показательным.
У прямой и обратной функций есть много общего, но есть и отличия. Рассмотрим это подробнее на примере функций и .
Рис. 5. Графики функций (слева) и (справа)
Свойства прямой (показательной) функции:
Область определения: ;
Область значений: ;
Функция возрастает;
Выпукла вниз.
Свойства обратной (логарифмической) функции:
Область определения: ;
Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.
Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.
Разберем конкретный пример: а log a x = x, где a › 0, a ≠ 1.
Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:
Логарифмирование
Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.
Примеры:
Функция логарифма и ее свойства
Логарифмическая функция имеет вид
Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1. В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.
Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:
- область определения f(x) – множество всех положительных чисел, т.е. x может принимать любое значение из интервала (0; + ∞);
- ОДЗ функции – множество всех действительных чисел, т.е. y может быть равен любому числу из промежутка (— ∞; +∞);
- если основание логарифма а › 1, то f(x) возрастает на всей области определения;
- если основание логарифма 0 ‹ a ‹ 1, то F – убывающая;
- логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
- кривая графика всегда проходит через точку с координатами (1;0).
Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере
Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.
Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, заданной формулой y= а x . Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать обе кривые на одной координатной оси.
Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.
Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log 2 x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.
В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log 2 (x+2)-3 и сравним полученные значения с рисунком.
Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.
Примеры решения типовых задач ЕГЭ
Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.
Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.
F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.
Поэтому график y=-log 3 x убывает на всей области определения, а y= -log (1/3) x – возрастает, при том, что основание 0 ‹ a ‹ 1.
Ответ : 3,4,5.
Ответ : 4.
Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.
Задание 3.
Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.
Y = log 0.7 (0,1x-5)
Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля. Решим неравенство:
Ответ : область определения D(x) – интервал (50; + ∞).
Ответ : 3, 1, оси OX, направо.
Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 — 4 балла.
Задание 5 . Найти область значений для функции:
Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств.