Моделирование методом Монте-Карло в Crystal Ball для Excel. Основы моделирования методом монте-карло

Существует немало программ для моделирования методом Монте-Карло. С их обзором можно ознакомиться, например, в книге

Инструмент	Кем разработан	Описание
@Risk	Palisade Corporation, Итака, штат Нью-Йорк	Достаточно совершенный инструмент для работы на основе Excel; описывает большое число распределений; широкая база пользователей, предоставляется техническая поддержка
AIE	Hubbard Decision Research, Глен-Эллин, штат Иллинойс	Набор макросов на основе Excel; также позволяет рассчитывать стоимость информации и оптимальный портфель; подчеркивает приоритетность методологии над инструментарием; предоставляются консалтинговые услуги по практическим вопросам внедрения
Crystal Ball	Decisioneering, Inc, Денвер, штат Колорадо	Еще один инструмент на базе Excel. Продукт, успешно конкурирующий с @Risk. Много пользователей, предоставляется техническая поддержка
Risk Solver Engine	Frontline Systems, Инклин-Вилладж, штат Невада	Уникальная платформа разработки на базе Excel, позволяющая выполнять моделирование методом Монте-Карло с беспрецедентной скоростью. Поддерживает форматы SIP и SLURPs, необходимые для управления вероятностями
SAS	SAS Corporation, Роли, штат Северная Каролина	Пакет программ высшей степени сложности, используемый многими профессиональными статистиками и далеко выходящий за рамки метода Монте-Карло
SPSS	SPSS Inc., Чикаго, штат Иллинойс	Также выходит за пределы метода Монте-Карло; весьма популярен среди ученых
XLSim	Профессор Стэнфордского университета Сэм Сэвидж, AnalyCorp	Недорогой пакет программ, предназначенный для легкого изучения, удобен в применении. Сэвидж проводит в организациях семинары по методу Монте-Карло

Книга написана американским автором и вышла в США в 2007 г. Программа Crystal Ball, упомянутая в таблице сейчас принадлежит уже Oracle . Демо-версия программы доступна для скачивания с сайта компании. Описание базовых функциональных возможностей Crystal Ball я нашел на сайте Финансовое моделирование, бюджетирование, планирование .

Скачайте и установите Crystal Ball на ПК. Прежде чем запустить программу закройте все окна Excel. Запустите Crystal Ball. Сначала откроется Excel, а затем в нем появится закладка Crystal Ball (рис. 1).

Рис. 1. Запуск Crystal Ball сначала открывает Excel, а затем появляется закладка Crystal Ball

Воспользуемся примером Хаббарда, рассмотренным , и на его основе изучим основы работы в программе Crystal Ball.

Предположим, что вы хотите арендовать новый станок. Стоимость годовой аренды станка 400 000 дол., и договор нужно подписать на несколько лет. Поэтому, даже не достигнув , вы всё равно не сможете сразу вернуть станок. Вы собираетесь подписать договор, думая, что современное оборудование позволит сэкономить на трудозатратах и стоимости сырья и материалов, а также считаете, что материально-техническое обслуживание нового станка обойдется дешевле.

Ваши калиброванные специалисты по оценке дали следующие интервалы значений ожидаемой экономии и годового объема производства (в таблице приведены 90%-ные доверительные интервалы):

Шаг. 1. Формирование модели. Разместим исходные данные на листе Excel. Они будут включать названия параметров и их средние значения, а также формулу для расчета годовой экономии (рис. 2)

Рис. 2. Исходные данные

Таким образом, суть нашей модели – расчет годовой экономии от использования нового станка. Годовая экономия (зависимая переменная) есть функция трех видов экономии и объема производства (итого, четырех влияющих переменных).

Шаг. 2. Задание параметров распределения влияющих переменных. Встаньте в ячейку В2 и на вкладке Crystal Ball щелкните Define Assumption. В открывшемся окне выберите Normal и нажмите Ok

Рис. 3. Выбор нормального распределения для первого параметра «Экономия на материально-техническом обслуживании»

Задайте среднее значение – Mean и стандартное отклонение – Std. Dev. (рис. 4). Поскольку исходные данные сформулированы в терминах 90%-ного доверительного интервала (CI), формулы для расчета следующие:

Среднее (Mean) = (Верхняя граница 90%-ного CI + Нижняя граница 90%-ного С I)/2;

Стандартное отклонение (Std. Dev.) = (Верхняя граница 90%-ного CI – Нижняя граница 90%-ного С I)/3,29

а наша таблица, приспособленная для работы в Crystal Ball примет вид:

Параметр	Границы 90%-ного доверительного интервала	Среднее	Стандартное отклонение
экономия на материально-техническом обслуживании	от 10 до 20 дол. на единицу продукции	15	3,04
экономия на трудозатратах	от «–2» до 8 дол. на единицу продукции	3	3,04
экономия на сырье и материалах	от 3 до 9 дол. на единицу продукции	6	1,82
объем производства	от 15 000 до 35 000 единиц продукции в год	25 000	6 079
годовая экономия	(MS + LS + RMS) х PL

Рис. 4. Выбор параметров нормального распределения

Последовательно вставая курсором в ячейки В3:В5 выберите вид и параметры распределения для всех четырех влияющих переменных. После задания параметров ячейки окрашиваются в зеленый цвет.

Шаг 3. Выбор зависимой переменной. Встаньте в ячейку В6, содержащую формулу расчета годовой экономии, и щелкните Define Forecast. В открывшемся окне в поле «Units» укажите ссылку на ячейку (рис. 5).

Рис. 5. Выбор зависимой переменной

Шаг. 4. Выбор условий моделирования. Этот шаг не является обязательным, так как система предложит параметры моделирования по умолчанию. Учитывая, что наша модель довольно простая, можно увеличить число итераций (по умолчанию оно равно 1000). Щелкните Run Preferences, и выберите 10 000 (рис. 6). Чем больше итераций, тем надежней результаты моделирования!

Рис. 6. Выбор числа итераций

Шаг. 5. Запуск моделирования. Щелкните Start, и наслаждайте результатом вашего первого моделирования в Crystal Ball 🙂 После 10 000 итераций программа выведет результаты в графическом виде (рис. 7).

Рис. 7. Результаты моделирования – распределение годовой экономии

В будущем вы всегда можете увидеть результаты моделирования, если щелкните View Charts (рис. 8)

Рис. 8. Вывод диаграммы с результатами моделирования на экран монитора

Вы также можете создать отчет о моделировании (в отдельном файле Excel), если щелкните на Create Report (рис. 9).

Рис. 9. Фрагмент отчета.

Обратите внимание на величину стандартного отклонения прогнозного значения «Годовая экономия». Вспомним, что среднее значение и стандартное отклонение однозначно задают верхнюю и нижнюю границы 90%-ного доверительного интервала, и вычислим эти границы:

Нижняя граница = среднее – стандартное отклонение * 3,29 / 2 = 600 127 – 189 495 * 3,29 /2 = 288 408

Верхняя граница = среднее + стандартное отклонение * 3,29 / 2 = 600 127 + 189 495 * 3,29 /2 = 911 846

Видно, что не весь 90%-ный доверительный интервал «Годовой экономии» превышает точку безубыточности – 400 000 долл. То есть, существует вероятность того, что точка безубыточности достигнута не будет…

Заметим, что моделирование в Crystal Ball дало те же результаты, что и моделирование в Excel с помощью функции СЛЧИС (рис. 10).

Рис. 10. Результаты моделирования в Excel с помощью функции СЛЧИС

См. главу 5 упоминавшейся книги Дугласа Хаббарда

Вернуться в Оглавление

ПРИМЕНЕНИЕ ТАБЛИЧНОГО ПРОЦЕССОРА MS EXCEL ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО

Для моделирования различных физических, экономических и других процессов широко распространены методы, называемые методами Монте-Карло. В их основе лежит метод статистических испытаний. Суть его состоит в том, что результат испытания ставится в зависимость от значения некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого отдельного испытания носит случайный характер.

Особенность метода состоит в том, что он гарантирует высокое качество статистических оценок только при весьма большом числе испытаний, которое невозможно выполнить без помощи компьютера.

Табличные процессоры не очень удобны для проведения расчетов Монте-Карло, однако с их использованием можно достаточно просто проиллюстрировать основные особенности этого метода.

Применение метода Монте-Карло для вычисления площади круга

Рассмотрим применение этого метода для вычисления площади круга заданного радиуса. Данная задача хорошо иллюстрирует возможности метода. Пусть круг имеет радиус R = 1 (рис. 1). Уравнение соответствующей окружности имеет вид: (x – 1)+ (y – 1)= 1. (1)

Для решения задачи методом Монте-Карло впишем круг в квадрат. Вершины квадрата будут иметь координаты (0,0), (2,0), (0,2), (2,2). Любая точка внутри квадрата или на его границе должна удовлетворять неравенствам 0 < x < 2 и 0 < y < 2 . При случайном заполнении квадрата точками, координаты которых распределены равномерно в этих интервалах, часть точек будет попадать внутрь круга. Если выборка состоит из n наблюдений и m точек попали внутрь круга или на окружность, то оценку площади круга S можно получить из

соотношения

S = S m / n (2)

где S – площадь квадрата, в который вписан круг.

В Excel с помощью функции СЛЧИС() можно получать равномерно распределенные случайные числа в диапазоне от 0 до 1. Для получения значений x и y в нужном диапазоне следует вводить формулы =2*СЛЧИС().

Число точек, попавших внутрь круга или на окружность, можно подсчитать, использовать функцию ЕСЛИ. Если координаты x и y таковы, что

(x – 1) + (y – 1) ≤ 1 , тогда функция будет возвращать 1, иначе 0. Тогда число m в формуле (2) для площади круга определится как сумма всех значений, возвращаемых функцией ЕСЛИ, а число n равно числу испытаний, которое можно подсчитать с помощью функции СЧЕТ. Только при большом числе испытаний можно получить близкое к точному значение равное π /4 =0, 7854.

Поэтому нужными формулами необходимо заполнить сразу большое число строк, например 500. Так будет выглядеть электронная таблица в режиме отображения формул:

	А	В	С	D
	Х	У	=СУММ(С3:С502)	=C1/C2
			=СЧЁТ(С3:С502)
	=2*СЛЧИС()	=2*СЛЧИС()	=ЕСЛИ(А3^2+B3^2<=1;1;0)
…	…	…	…
	=2*СЛЧИС()	=2*СЛЧИС()	=ЕСЛИ(А502^2+В502^2<=1;1;0)

В ячейке D1 будет находиться результат – площадь фигуры.

Вычисляя отношение m/n при нарастающем числе испытаний, можно сделать выводы, справедливые для любого статистического эксперимента независимо от природы и типа моделируемой системы:

С увеличением продолжительности наблюдения отклонение измеряемой

величины от ее точного значения уменьшается;

Существует предел, за которым увеличение продолжительности модели уже

не дает существенного повышения точности результата.

ЗАДАНИЕ

В соответствии с вариантом, методом Монте – Карло определить площадь фигур (см. рис. 1), и сравнить полученный результат с результатом, вычисленным по формуле.

№ варианта
Фигура	Левая часть круга	Правая часть круга	Нижняя часть круга	Верхняя часть круга	Левая верхняя часть
№ варианта
Фигура	Левая верхняя часть круга	Правая верхняя часть круга	Правая нижняя часть круга	Левый верхний квадрант квадрата	Левый нижний квадрант квадрата
№ варианта
Фигура	Правый верхний квадрант квадрата	Правый нижний квадрант квадрата	Левый верхний треугольник	Правый верхний треугольник	Левый нижний треугольник
№ варианта
Фигура	Правый нижний треугольник	Верхняя половина квадрата	Нижняя половина квадрата	Левая половина квадрата	Правая половина квадрата

Применительно к управлению Проектами, использование метода Монте – Карло позволяет нам оценить риск невыполнения проекта в срок или риск не уложиться в бюджет Проекта.

Рассмотрим сетевой график из лабораторной работы № и возьмем работы, формирующие критический путь.

Работа	t о (i,j)	t нв (i,j)	t п (i, j):	t̄(i,j)
0,1
1,4
4,5
5,6

Длина критического пути равна 10 дням. Однако, учитывая, что каждая работа имеет оптимистическую и пессимистическую оценки длительности, встает вопрос, а какова вероятность выполнения Проекта за 10 дней или, например, за 12 дней?

Моделирование методом Монте-Карло – это способ решения подобных задач. Необходимо случайным образом выбрать в указанных интервалах (от t о (i,j) до t п (i, j)) длительностей работ значения, и рассчитать длительность Проекта. Одни результаты превысят 10 дней (или 12 дней), а другие окажутся меньше. Процент реализаций, не превышающих 10 дней (12 дней), и будет искомой вероятностью.

Для моделирования надо знать форму кривой распределения. Для разных величин больше подходят кривые одной формы, чем другой. Мы будем использовать кривую нормального (гауссова) распределения. Это колоколообразная кривая, на которой большинство возможных значений результатов группируются в центральной части графика и лишь немногие, менее вероятные, распределяются, сходя на нет к его краям (рис. 1).

Вот как выглядит нормальное распределение:

Рис.1. Нормальное распределение

Особенности:

Значения, располагающиеся в центральной части графика, более вероятны, чем значения по его краям;

Распределение симметрично; медиана находится точно посредине между верхней и нижней границами 90%-ного доверительного интервала (CI);

«хвосты» графика бесконечны; значения за пределами 90%-ного доверительного интервала маловероятны, но все же возможны.

Для построения нормального распределения в Excel можно воспользоваться функцией =НОРМРАСП(Х; Среднее; Стандартное_откл; Интегральная),

где Х – значение, для которого строится нормальное распределение;
Среднее – среднее арифметическое распределения; в нашем случае = 0;
Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения; в нашем случае = 1;
Интегральная – логическое значение, определяющее форму функции; если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения; в нашем случае = ЛОЖЬ.

С нормальным распределением связано такое понятие, как стандартное отклонение. Рисунок 1 показывает, что в одном 90%-ном доверительном интервале насчитывается 3,29 стандартного отклонения.

В нашем примере создадим в электронной таблице генератор случайных чисел для каждого интервала значений (т.е. для каждой работы). Начнем с первой работы.

Воспользуемся формулой Excel: =НОРМОБР(вероятность;среднее;стандартное_откл),

где вероятность – вероятность, соответствующая нормальному распределению;
среднее – среднее арифметическое распределения;
стандартное_откл – стандартное отклонение распределения.

В нашем случае:
Среднее (медиана) = (Верхняя граница 90%-ного CI + Нижняя граница 90%-ного СI)/2 = (3+2)/2;
Стандартное отклонение = (Верхняя граница 90%-ного CI – Нижняя граница 90%-ного СI)/3,29 = (3-2)/3,29.

Таким образом, формула имеет вид:

НОРМОБР(СЛЧИС();(3+2)/2;(3-2)/3,29),

где СЛЧИС – функция, генерирующая случайные числа в диапазоне от 0 до 1;

(3+2)/2 – среднее арифметическое диапазона MS;
(3-2)/3,29 – стандартное отклонение.

На рис. 2 представлен вариант исходных данных в Excel для данной задачи.

Рис. 2. Исходные данные для решения задачи

На рис. 3 представлена та же таблица в виде формул.

Рис.3. Таблица Excel с формулами

Предполагая, что количество экспериментов равно 100, заполним формулами 100 строчек – с 3 по 102.

Учитывая, что суммарная длина пути лежит в диапазоне от 7 до 14, а нам надо определить вероятность события, что мы выполним Проект за 10 (или 12) дней, разобьем весь диапазон на следующие отрезки: 7 и менее дней, от 7 до 10 дней, от 10 до 12 дней, от 12 до 14 дней, 14 и более дней. Формулы для подсчета попадания испытания в соответствующий интервал занесем в столбцы H,I,J,K,L.

Результаты представлены на рис. 4, а формулы для подсчета результатов и диаграмма, иллюстрирующая их, представлены на рис. 5.

Рис. 4. Результаты расчетов

Рис. 5. Формулы для подсчета результатов и диаграмма

Итак, по результатам работы можно сделать вывод, что Проект с вероятностью 36% мы закончим за 10 дней и с вероятностью 89% (36%+53%) за 12 дней.

ЗАДАНИЕ

Рассчитать вероятность завершения Проекта (в соответствии с выбранным вариантом) за время t кр и за время, большее, чем t кр на 10%. (округлить в большую сторону до целого числа дней) . В качестве исходных данных, взять данные из лабораторной работы № .

СРСП 5 8

Тема:

■ Кто использует моделирование методом Монте-Карло?

■ Что произойдет, если я введу в какую-либо ячейку формулу =СЛЧИС() [- RANDQ ]?

■ Как мне смоделировать значения дискретной случайной величины?

■ Как мне смоделировать значения случайной величины с нормальным рас­пределением?

■ На основе каких данных компания-производитель поздравительных от­крыток может определить, сколько открыток необходимо напечатать?

Нам хотелось бы точно оценивать вероятность точно неизвестных собы­тий. Например, какова вероятность того, что у денежных потоков, связанных с новым товаром, будет положительная чистая приведенная стоимость (ЧПС) Каков риск вложений в наш инвестиционный портфель? Метод Монте-Карло позволяет нам моделировать ситуации, неопределенные в данный момент, и тысячи раз проиграть их на компьютере.

ПРИМЕЧАНИЕ Название «моделирование методом Монте-Карло» пришло к нам из в 1930-1940 гг., когда физики на компьютере моделировались ситуации для оценки вероятности того, что цепная реакция, необходимая для атомной бомбы, пройдет ус­пешно. Специалисты, участвовавшие в этой работе, были страстными поклонниками азартных игр, они и дали операциям моделирования название «Монте-Карло».

В следующих пяти главах я на нескольких примерах покажу, как с помо­щью Excel реализовать моделирование методом Монте-Карло.

Основы моделирования методом Монте-Карло

Кто использует моделирование методом Монте-Карло?

Многие компании применяют моделирование методом Монте-Карло как важ­ное средство принятия решений. Вот несколько примеров.

■ Компании General Motors , Procter and Gamble и Eli Lilly применяют моде­лирование для оценки как средней доходности, так и риска, связанного с выпуском новых товаров. В General Motors эта информация помогает главному исполнительному директору Рику Ваггонеру (Rick Waggoner ) определять товары, выпуском которых стоит заняться.

■ General Motors применяет моделирование для таких операций, как про­гнозирование чистой прибыли корпорации, прогнозирование структур­ных затрат и затрат на приобретение, определение подверженности кор­порации различным видам рисков (например, изменению процентных ставок и колебаниям валютного курса).

■ Lilly применяет моделирование для определения оптимальной производ­ственной мощности, требуемой для производства каждого лекарства.

■ Компании с Wall Street применяют моделирование для оценки сложных финансовых показателей и суммы под риском (СПР) их инвестиционных портфелей.

■ Procter and Gamble применяет моделирование для примерной оценки и оптимального хеджирования (страхования) рисков, связанных с измене­нием курса иностранной валюты.

■ Sears применяет моделирование, чтобы оценить, сколько единиц каждого модельного ряда необходимо заказать у поставщиков - например, сколь­ко пар Dockers следует заказать в этом году.

■ Моделирование можно использовать для оценки «реальных возможнос­тей», например возможности развития, принятия обязательств или от­срочке проекта.

■ Специалисты по финансовому планированию применяют моделирование методом Монте-Карло, чтобы определять оптимальные инвестиционные стратегии для пенсионных вкладов.

Что произойдет, если я введу в какую-либо ячейку формулу =СЛЧИС()?

Если вы введете в какую-либо ячейку формулу =СЛЧИС(), то получите чи-. которое с одинаковой вероятностью может принять значение в диапазоне от 0 до 1. Таким образом, в примерно 25% случаев вы получите число, мень­шее или равное 0,25; в 10% случаев - число не менее 0,90 и так далее. (рис. 1).

Рис. 1Демонстрация работы функции СЛЧИС (RAND )

Я скопировал из ячейки СЗ в С4:С402 формулу =СЛЧИС(). Диапазону СЗ:С402 я задал имя Данные. После этого в столбце F я вычислил среднее 400 случайных чисел (ячейка F 2) и с помощью функции СЧЁТЕСЛИ (COUNTIF определил долю чисел от 0 до 0,25, от 0,25 до 0,50, от 0,50 до 0,75 и от 0,75 до 1. Если вы нажмете клавишу F 9, случайные числа будут сгенерированы заново. Обратите внимание: среднее 400 случайных чисел всегда близко к 0,5 и при­мерно 25% результатов попадают в каждый интервал, равный 0,25. Эти резуль­таты согласуются с определением случайных чисел. Заметьте также, что значе­ния, генерируемые функцией СЛЧИС (RAND ) в разных ячейках, независим!: Например, если случайное число, сгенерированное в ячейке СЗ - большое (на­пример, 0,99), это ничего не скажет нам о величине других сгенерированные случайных чисел.

Как мне смоделировать значения дискретной случайной величины?

Предположим, спрос на календари определяется следующей дискретной слу­чайной величиной:

Спрос	Вероятность
10000	0,10
20000	0,35
40000	0,30
60000	0,25

Как нам заставить Excel многократно проиграть, или смоделировать, этот спрос на календари? Хитрость в том, чтобы связать каждое возможное значе ние функции СЛЧИС ( RAND ) с возможным спросом на календари. Следую­ щее с опоставление гарантирует, что спрос на 10000 штук реализуется в 10% случаев и так далее.

спрос Присвоенное случайное число

10000	Меньше 0,10
20000	Больше или равно 0,10 и меньше 0,45
40000	Больше или равно 0,45 и меньше 0,75
60000	Больше или равно 0,75

Чтобы посмотреть, как моделируется спрос, откройте рис. 2.

Рис. 2 Пример моделирования дискретной случайной величины

Основной принцип нашего моделирования - воспользоваться случай­ным числом для просмотра в диапазоне таблицы F 2: G 5 (ему дано имя поиск). Случайные числа, большие или равные 0 и меньшие 0,10, соответствуют спросу в 10000 штук; случайные числа, большие или равные 0,10 и меньшие 0,45 соответствуют спросу в 20000 штук; случайные числа, большие или равные XI0, и меньшие 0,75, соответствуют спросу в 40000 штук; случайные числа, большие или равные 0,75, соответствуют спросу в 60000 штук. Я сгенериро­вал 400 случайных чисел, скопировав из ячейки СЗ в С4:С402 формулу СЛЧИС() [ RAND ()]. Затем я сгенерировал 400 испытаний, или итераций, скопировав из ячейки ВЗ в В4:В402 формулу ВПР(СЗ;поиск;2). Эта формула гаран­тирует, что любое случайное число меньше 0,10 сгенерирует спрос, равный 10000 ; любое случайное число в диапазоне от 0,10 до 0,45 сгенерирует спрос, равный 20000 единицам и так далее. В диапазоне ячеек F 8: F 11 я с помощью функции СЧЁТЕСЛИ (COUNTIF ) определил долю каждого значения спроса в аших 400 итерациях. Обратите внимание: когда бы вы ни нажали клавишу F 9 для повторной генерации случайных чисел, моделируемые вероятности оказываются близки к нашим предполагаемым вероятностям спроса.

Как мне смоделировать значения случайной величины с нормальным распределением?

Введя в какую-либо ячейку формулу НОРМОБР(СЛЧИС();мю;сигма), вы делируете значение случайной величины с нормальным распределением, нее значение которой равно мю и стандартное отклонение - сигма. (рис. 3).

Рис. 3 Моделирование случайной величины с нормальным распределением

Предположим, нам требуется смоделировать 400 испытаний, или итераций, для случайной величины с нормальным распределением, среднее кото­рой равно 40000, а стандартное отклонение - 10000 (я ввел эти значения в ячейки Е1 и Е2, и задал им имена среднее и станд. откл. соответственно l Скопировав формулу =СЛЧИС() из ячейки С4 в С5:С403, я сгенерировал 400 разных случайных чисел. Скопировав из ячейки В4 в В5:В403 формулу НОРМОБР (С4 ;среднее;сигма), я сгенерировал 400 итераций для случайной ве­ личины с нормальным распределением, среднее которой равно 40000, а стан­дартное отклонение - 10000. Когда мы нажимаем клавишу F 9 для повторной генерации случайных чисел, среднее остается близким к 40000, а стандартнее отклонение - близким к 10000.

По сути, для случайного числа х формула НОРМОБР(р;мю;сигма) генерирует р-ю персентиль случайной величины с нормальным распределение^ среднее которой равно мю, а стандартное отклонение - сигма. Например, сп -чайное число 0,73 в ячейке В13 (рис. 58-3) генерирует примерно 73-ю персен­тиль случайной величины с нормальным распределением, среднее которой равно 40000, а стандартное отклонение равно 10000.

На основе каких данных компания-производитель поздравительных открыток может определить, сколько открыток необходимо напечатать?

Метод Монте-Карло по могает принимать лучшие бизнес-решения. Предположим, спрос на открытки ко Дню Св. Валентина определяется следующей дискретной случайной в личиной:

Основы моделирования методом Монте-Карло

Спрос	Вероятность
10000	0,10
10000	0,35
40000	0,30
6 0000	0,25

Поздравительная открытка продается по цене $4,00, а переменные издер­жки на производство одной открытки составляют $1,50. Нереализованные открытки должны быть распроданы по цене $0,20 за штуку. Сколько открыток следует напечатать?

В сущности, мы моделируем каждый возможный объем производства (10000, 20000, 40000 и 60000 штук) множество раз (скажем, 1000 итераций). Затем мы определяем, какой объем обеспечивает максимальный средний до­ход для этих 1000 итераций. (рис. 4). Я назначил ячейкам С1:С11 имена диапазонов из ячеек 31:В11. Диапазону G 3: H 6 я назначил имя поиск. Наши параметры цены реали­зации и затрат указаны в ячейках С4:С6.

Рис. 4 Моделирование объема производства открыток ко Дню Св. Валентина

Пробный объем производства (в данном примере - 40000) в ячей­ку С1. Затем я сгенерировал случайное число в ячейке С2 с помощью форму-:ы =СЛЧИС(). Как я уже говорил, я моделирую спрос на открытку в ячейке 1: по формуле ВПР(случайное_число;понск;2) [в формуле ВПР ( VLOOKUP ) случайное_число - это имя, назначенное ячейке С2, а не функция СЛЧИС RAND )].

Число проданных открыток меньше нашего объема производства и спроса . В ячейке С8 я подсчитываю наш доход по формуле МИН (объем_производства;спрос) *цена_открытки. В ячейке С9 я вычисляю общие затраты на производство по формуле объем_производства*себестоимостъ_пр_ва_открытки.

Если мы производим открыток больше, чем нужно, число нереализованных открыток равно объему производства минус спрос; в противном случае -нереализованных открыток не будет. Мы вычисляем затраты на переработку в ячейке С10 по формуле =стоимостъ_при_распродаже*ЕСЛИ(объем_производ-опва>спрос;объем_производства-спрос;0). И, наконец, в ячейке СП мы вычи­сляем нашу прибыль по формуле =доход-общие_переменные_издержки-с щие_издержки_на_распродажу.

Нам требуется эффективный способ имитации многократного (скажи 1000 раз) нажатия клавиши F 9 и подсчета дохода для каждого объема производства. В этом случае нас спасет таблица подстановки с двумя переменными. Таблица подстановки, ис пользованная мной в данном примере, показана на рис. 5.

Рис. 5 Таблица подстановки с двумя переменными для моделирования объема производства поздравительных открыток

В диапазоне ячеек А16:А1015 я ввел числа от 1 до 1000 (соответствующие 1000 испытаний). Один из простых способов создать эти значения - ввести 1 в ячейку А16 и затем выбрать в меню Правка ( Edit ) команду Заполнить\Прог-рессия (Fill \ Series ). В поле Шаг ( Step value ) диалогового окна Прогрессия ( Series ) (рис. 58-6) введите 1, а в поле Предельное значение (Stop value ) - 1000. Установите переключатель по столбцам ( Columns ) и затем щелкните Столбец А, начиная с ячейки А16, будет заполнен числами от 1 до 1000.

Затем следует ввести возможные объемы производства (10000, 20000. 40000 и 60000 единиц) в ячейки В15:Е15. Мы хотим вычислить прибыль для каждого испытания (от 1 до 1000) и каждого объема производства. В верхней левой ячейке (А15) нашей таблицы подстановки мы ссылаемся на форм прибыли, которая задана в ячейке С11, вводя =С11.

Теперь все готово и мы можем заставить Excel моделировать 1000 итера­ций спроса для каждого объема производства. Выделите диапазон таблицы (А15:Е1014) и затем щелкните в меню Данные ( Data ) команду Таблица подстановки (Table ). Чтобы создать таблицу подстановки с двумя параметрами мы указываем в качестве ячейки для подстановки по строкам любую пустую ячейку (в данном случае - 114), а в качестве ячейки для подстановки по стол­бцам - объем производства (О). После того как вы щелкнете OK , Excel смо­делирует 1000 значений спроса для каждого объема производства.

Рис. 6 С помощью диалогового окна Прогрессия ( Series )и вставьте номера испытаний от 1 до 10ОО

Чтобы понять, почему это работает, рассмотрим значения, полученные в таблице подстановки (диапазон ячеек С16:С1015). Для каждой из этих ячеек Excel подставляет значение 20000 в ячейку С1. В С16 в пустую ячейку помеща­ется значение, подставляемое по строкам (1), и случайное число в ячейке С2 генерируется заново. После этого в ячейку С16 записывается соответствующее значение прибыли. Затем в пустую ячейку снова помещается значение, под­ставляемое по строкам (2), и случайное число в ячейке С2 генерируется за­ново. Соответствующее значение прибыли записывается в ячейку С17.

Скопировав из ячейки В13 в С13:Е13 формулу СРЗНАЧ(В16:В1015), мы подсчитаем среднюю прибыль для каждого объема производства. Скопировав формулу СТАНДОТКЛОН(В16:В1015) из ячейки В14 в диапазон С14:Е14, мы вычисляем стандартное отклонение прибыли для каждого объема производ­ства. При каждом нажатии клавиши F 9 для всех объемов производства модели­руются 1000 итераций спроса. Производство 40000 открыток всегда обеспечи­вает максимальную прибыль. Следовательно, ясно, что производство 40000 - правильное решение.

Влияние риска на наше решение. Если мы напечатаем 20000 открыток вместо 40000, наша ожидаемая прибыль упадет примерно на 22%, однако наш риск измеряемый стандартным отклонением прибыли) упадет практически на 3%. Следовательно, если риск для нас крайне неприемлем, печать 20000 от­крыток может оказаться правильным решением. Кстати, при печати 10000 от­крыток стандартное отклонение всегда равно нулю, поскольку мы в любом слу­чае продадим их, и ничего не останется.

ПРИМЕЧАНИЕ На этом листе я установил переключатель Вычисления ( Excelulation ) в положение автоматически кроме таблиц ( Automatic Except For Tables ) [см. вклад­ку Вычисления ( Excelulation ) диалогового окна Параметры ( Options )]. В результате таблица подстановки не будет пересчитывать значения, пока мы не нажмем клавишу F 9. Отличная идея, поскольку при большом объеме таблицы подстановки ваша работа замедлится, если Excel будет каждый раз пересчитывать значения при вводе новых данных в ячейки листа. Обратите внимание: в этом примере при каждом нажатии клавиши F 9 средняя прибыль изменяется. Это происходит потому, что каждом нажа­тии клавиши F 9 значения спроса для всех казанных объемов производства генериру­ются на основе новой последовательности из 1000 случайных чисел.

Доверительный интервал для средней прибыли. Естественный вопрос, возника­ющий в данной ситуации: «Для какого интервала значений мы можем быть уверены на 95%, что средняя прибыль верна?» Этот интервал называется 95-процентным доверительным интервалом для средней прибыли. Для среднего значения вывода любой операции моделирования 95-процентный доверитель­ный интервал вычисляется по формуле:

Средняя прибыль±

1,96*стандартное отклонение прибыли ■у ]число итераций

В ячейке J 11 я вычислил нижнюю границу 95-процентного доверитель­ного интервала для средней прибыли при производстве 40000 открыток, вос­пользовавшись формулой D 13- l ,96* D 14/ KOPEHb (1000). В ячейке J 12 я вычис­лил верхнюю границу 95-процентного доверительного интервала по формуле D 13+ l ,96* D 14/ KOPEHb (1000). Эти вычисления показаны на рис. 7.

Рис. 7 Девяностопятипроцентный доверительный интервал для средней прибыли при производстве 40000 открыток

Мы на 95% уверены, что средняя прибыль при производстве 40000 кален­дарей составит от $56578 до $62445.

Самостоятельно

1. Дилер General Motors Company считает, что спрос на модель « Envoy » вы­пуска 2005 г. будет распределен по нормальному закону со средним, рав­ным 200, и стандартным отклонением, равным 30. Его затраты на выпуск одной машины модели Envoy составляют $25000, и продает он ее по $40000. Половину всех нереализованных машин модели Envoy можно продать по $30000. В качестве возможного размера заказа дилер рассмат­ривает 200, 220, 240, 260, 280 и 300 машин модели Envoy . Сколько машин ей следует заказать?

Небольшой супермаркет пытается определить, сколько копий журнала «Реор1е» им следует заказывать каждую неделю. Они считают, что спрос на «Реор1е» в магазине регулируется следующей дискретной случайной величиной:

Спрос	Вероятность
	0,10
	0,20
	0,30
	0,25
	0,15

Супермаркет покупает каждую копию «Реорк» за $1,00 и продает ее по $1,95. Каждую нереализованную копию «Реор1е» они могут вернуть за $0,50. Сколько копий журнала «Реор1е» следует заказать супермаркету?

Цели:

образовательные: изучение численного метода Монте–Карло.

развивающие:

• научить анализировать при нахождении общего, частного в понятиях информатики и ЭТ;
• научить рассуждать;
• составлять алгоритм задач;
• уметь составлять формулы.

воспитательные: воспитание познавательного интереса к предмету путем введения новейших технологий обучения

Ход урока

I. Оргмомент.

Цель нашего урока – это знакомство с функцией случайного числа и применением метода Монте–Карло в электронных таблицах.

II. Усвоение новых знаний.

В математике для решения задач часто требуются математические модели. Одна из таких задач – вычисление площадей. Конечно для простейших фигур (прямоугольников, многоугольников, кругов) вычисление площади не составляет труда: надо в известные формулы подставить исходные данные. А как быть если фигура имеет сложные формы? Итак, задача: Дана фигура сложной формы. Вычислить её площадь.

Можно предложить разные модели для этой задачи. Например, в 6-м классе вас учили использовать палетку: на фигуру накладывается клетчатая прозрачная бумага или плёнка (палетка), и подсчитывается количество квадратиков, попавших в фигуру. В этой модели предполагается, что чем меньше клетки, тем точнее будет результат, независимо от того, каким образом наложить палетку на фигуру.

Можно придумать “физическую” модель, скопировать фигуру на картон, аккуратно вырезать её, взвесить и поделить на вес единичного квадрата из этого же картона.

В 11-м классе вы познакомитесь ещё с одним способом нахождения площадей фигур: с помощью интегралов.

Однако все эти модели трудно поддаются расчётам на ЭВМ. Мы попробуем построить математическую модель, которая позволит эффективно применять ЭВМ для решения задач на нахождение площадей, объемов и тому подобное.

Поместим данную фигуру в квадрат. Будем наугад (как говорят математики, случайным образом) бросать точки в этот квадрат. Естественно, что чем больше площадь фигуры, тем чаще в неё будут попадать точки. Представьте себе квадратный дворик и в нем детскую круглую площадку. Каждому ясно, что во время снегопада количество снежинок, попавших на детскую площадку, пропорционально её площади. Таким образом, можно сделать допущение: при большом числе точек, наугад выбранных внутри квадрата, доля точек, содержащихся в данной фигуре, приближенно равна отношению площади квадрата.

Такой метод приближенного нахождения площадей фигур носит название метода Монте–Карло (по названию города, где расположена знаменитая рулетка, которую можно рассматривать как “генератор” случайных чисел).

Только случайность поможет нам найти площадь фигуры методом Монте–Карло.

В Exсel имеется возможность проводить моделирование с использованием случайных чисел.

Функция СЛЧИС() (без аргументов) генерирует случайное число в диапазоне от 0 до 1. Совокупность этих чисел равномерно распределена на отрезке . При нажатии функциональной клавиши F9 (пересчет) в ячейках, содержащих формулу с функцией СЛЧИС , генерируется новое случайное число.

Показываю на ЭВМ (увеличив размер шрифта).

Вводим в ячейку формулу =СЛЧИС() и нажимаю F9 . В ячейках изменяется выводимое число.

Вопрос: Как изменить формулу, чтобы диапазон расширился от 0 до 10?

Ответ: Нужно умножить на 10, то есть =СЛЧИС()*10 .

Вопрос: Как изменить формулу, чтобы диапазон расширился от 2 до 3?

Ответ: Нужно сложить с числом 2, то есть =СЛЧИС()+2 .

Вопрос: Как изменить формулу, чтобы диапазон лежал на промежутке ?

Ответ: =(10–5)*СЛЧИС()+5 .

Вопрос: Как изменить формулу, чтобы диапазон лежал на промежутке ?

Ответ: Нужно записать формулу следующего вида =(b–a)*СЛЧИС()+a .

III. Проверка понимания материала. (Раздаю тесты.)

Тест на функцию генератор случайных чисел.

Вариант 1

Вопрос 1.

1. =СРЗНАЧ(A1: A5) .
2. =СЧЕТ(А1: А4) .
3. =ЕСЛИ(В1>В2; 1; 0) .
4. =(В – А)*СЛЧИС()+А .

Вопрос 2. Дана формула = СЛЧИС()* 1.4+3.2 .

1. [ 0; 3,2 ].
2. [ 1,4; 3,2 ].
3. [ 3,2; 4,6 ].
4. [ 0; 4,6 ].

Вопрос 3. Дана формула = СЛЧИС()* 50 .

В каком диапазоне будут получены числа.

1. [ 0; 1 ].
2. [ 0; 50 ].
3. [ 1; 50 ].
4. (0; 50).

Вопрос 4. Дана формула = (100 – 20)* СЛЧИС()+20 .

В каком диапазоне будут получены числа.

1. [ 0; 20 ].
2. [ 0; 100 ].
3. [ 20; 100 ].
4. [ 80; 100 ].

Вопрос 5.

Вопрос 6. Дана формула = СЛЧИС()+12 .

В каком диапазоне будут получены числа.

1. [ 0; 12 ].
2. [ 1; 12 ].
3. [ 11; 13 ].
4. [ 12; 13 ].

Вариант 2

Вопрос 1. Дана формула = СЛЧИС()* 30 .

В каком диапазоне будут получены числа.

1. [ 0; 1 ].
2. [ 0; 30 ].
3. [ 1; 30 ].
4. (0; 30) .

Вопрос 2. Дана формула = СЛЧИС()* 3.2+1.4 .

В каком диапазоне будут получены числа.

1. [ 0; 1,4 ].
2. [ 1,4; 3,2 ].
3. [ 3,2; 4,6 ].
4. [ 1,4; 4,6 ].

Вопрос 3. Выберите из предложенных выражений формулу, определяющую числа случайным образом:

1. =СРЗНАЧ(B1: B5) .
2. =ЕСЛИ(В1>В2; 1; 0) .
3. =СЛЧИС()+А .
4. =СЧЕТ(А1: А4) .

Вопрос 4. Дана формула = (50 – 10)* СЛЧИС()+10 .

В каком диапазоне будут получены числа.

1. [ 0; 10 ].
2. [ 0; 50 ].
3. [ 10; 40 ].
4. [ 10; 50 ].

Вопрос 5. Дана формула = 21+ СЛЧИС() .

В каком диапазоне будут получены числа.

1. [ 0; 21 ].
2. [ 1; 21 ].
3. [ 21; 22 ].
4. [ 21; 23 ].

Вопрос 6. Какую функциональную клавишу необходимо использовать для изменения выводимых случайных чисел.

Ответы.

Вариант 1 . 1.4, 2.3, 3.2, 4.3, 5.4, 6.4.

Вариант 2. 1.2, 2.4, 3.3, 4.4, 5.3, 6.3.

IV. Подготовка к практической работе.

Давайте вычислим число p методом Монте–Карло. Для этого вспомним формулу площади круга. Назовите её. Ответ: S = R 2 Посмотрите на рис. 1.

Пусть окружность вписана в квадрат со стороной а = 2. Скажите, пожалуйста, чему равен радиус окружности? (Ответ: 1). Тогда площадь круга чему будет равна? (Ответ: S = ).

Рассмотрим единичный квадрат, вершины которого имеют координаты (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). В квадрат будем бросать точку со случайными координатами. Этот квадрат высекает из окружности единичного радиуса с центром в начале координат сектор, площадь которого составляет четверть площади окружности, то есть /4.

Вспомним уравнение окружности с центром в начале координат.

Вопрос: Назовите запись данного факта. Ответ: x 2 + y 2 = 1.

Если точка оказалась внутри сектора, то фиксируем “удачное попадание” единицей, если точка оказалась вне сектора, записываем нуль.

Значит, если x 2 + y 2 < = 1, то точка попадает в круг, иначе она вне круга. Это и есть математическое соотношение, позволяющее определить, лежит ли точка в фигуре. После многократных бросаний вычислим отношение числа удачных исходов к общему количеству бросаний. Это число умножим на 4. Получим приближение к числу p .

Компьютерная модель .

Организуем вычисления на рабочем листе.

В ячейки А1 и В1 поместим заголовки x и y. В ячейку А2 поместим формулу генератора случайного числа =СЛЧИС() и скопируем ее до ячейки В1001 .

В ячейку С2 введем формулу, которая описывает условие попадания или не попадания точек в сектор, то есть =Если(А2^2+B2^2 < = 1; 1; 0) cкопируем до С1001 .

В ячейку С1002 разместим формулу подсчета удачных исходов =СУММ(С2:С1001)/250 или a / 250 . Таблица сконструирована. Теперь проведем компьютерный эксперимент.

Теперь нажимая F9 в ячейке С1002 сменяют друг друга десятичные приближения (не слишком точные) числа .

	A	B	C
1	x	y	попадание
2	=СЛЧИС()	=СЛЧИС()	=ЕСЛИ(A2^2+B2^2 <= 1; 1; 0)
3	=СЛЧИС()	=СЛЧИС()	=ЕСЛИ(A3^2+B3^2 <= 1; 1; 0)
	…	…	…
1001	=СЛЧИС()	=СЛЧИС()	=ЕСЛИ(A1001^2+B1001^2 <= 1; 1; 0)
1002			=СУММ(С2:С1001)/250

V. Подведение итога.

Сегодня мы познакомились с методом Монте–Карло, провели компьютерный эксперимент и нашли практически значение числа ПИ.

← Вернуться