Двумя наиболее значительными успехами классического естествознания, основанного на механике Ньютона, были практически исчерпывающее описание наблюдаемого движения небесных тел и объяснение известных из эксперимента законов идеального газа.
Законы Кеплера. Первоначально считалось, что Земля неподвижна, а движение небесных тел казалось весьма сложным. Галилей одним из первых высказал предположение о том, что наша планета не является исключением и тоже движется вокруг Солнца. Эта концепция была встречена достаточно враждебно. Тихо Браге решил не принимать участия в дискуссиях, а заняться непосредственным измерениями координат тел на небесной сфере. Он посвятил этому всю свою жизнь, но не только не сделал каких-либо выводов из своих наблюдений, но даже не опубликовал результатов. Позднее данные Тихо попали к Кеплеру, который нашел простое объяснение наблюдаемым сложным траекториям, сформулировав три законов движения планет (и Земли) вокруг Солнца (рис.6_1):
1. Планеты двигаются по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
2. Скорость движения планеты изменяется таким образом, что площади, заметаемые ее радиус-вектором за равные промежутки времени, оказываются равными.
3. Периоды обращения планет одной Солнечной системы и большие полуоси их орбит связаны соотношением:
Сложное движение планет на “небесной сфере”, наблюдаемой с Земли, согласно Кеплеру, возникало вследствие сложения этих планет по эллиптическим орбитам с движением наблюдателя, совершающего вместе с Землей орбитальное движение вокруг солнца и суточное вращение вокруг оси планеты.
Прямым доказательством суточного вращения Земли был эксперимент, поставленный Фуко, в котором плоскость колебаний маятника поворачивалась относительно поверхности вращающейся Земли.
Закон Всемирного тяготения . Законы Кеплера прекрасно описывали наблюдаемое движение планет, но не вскрывали причин, приводящих к такому движению (напр. вполне можно было считать, что причиной движения тел по кеплеровым орбитам являлась воля какого-либо существа или стремление самих небесных тел к гармонии). Теория гравитации Ньютона указала причину, обусловившую движение космических тел по законам Кеплера, правильно предсказала и объяснила особенности их движения в более сложных случаях, позволила в одних терминах описать многие явления космического и земного масштабов (движение звезд в галактическом скоплении и падение яблока на поверхность Земли).
Ньютон нашел правильное выражение для гравитационной силы , возникающей при взаимодействии двух точечных тел (тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними):
(2)
,
которое совместно со вторым законом в случае, если масса планеты m много меньше массы звезды M, приводило к дифференциальному уравнению
(3)
,
допускающему аналитическое решение. Не привлекая каких-либо дополнительных физических идей, чисто математическими методами модно показать, что при соответствующих начальных условиях (достаточно малые начальные расстояние до звезды и скорость планеты) космическое тело будет совершать вращение по замкнутой, устойчивой эллиптической орбите в полном согласии с законами Кеплера (в частности второй закон Кеплера является прямым следствием закона сохранения момента импульса, выполняющегося при гравитационных взаимодействиях, поскольку момент силы (2) относительно массивного центра всегда равен нулю). При достаточно высокой начальной скорости (ее значение зависит от массы звезды и начального положения) космическое тело движется по гиперболической траектории, в конце концов уходя от звезды на бесконечно большое расстояние.
Важным свойством закона гравитации (2) является сохранение его математической формы в случае гравитационного взаимодействия неточечных тел в случае сферически-симметричного распределения их масс по объему. При этом роль R играет расстояние между центрами этих тел.
Движение небесных тел при наличии возмущений. Строго говоря, законы Кеплера выполняются точно лишь в случае движения лишь одного тела вблизи другого, обладающего значительно большей массой, при условии сферичности этих тел. При незначительных отступлениях от сферической формы (напр. из-за вращения звезды она может несколько “сплющиться”) орбита планеты перестает быть замкнутой и представляет собой прецессирующий вокруг звезды эллипс.
Другим часто встречающимся возмущением является гравитационное влияние планет одной звездной системы друг на друга. Кеплеровы орбиты являются устойчивыми относительно слабых возмущений, т.е., испытав воздействие от близко пролетающего соседа, планета стремится вернуться на исходную траекторию. При наличии сильных возмущений (пролет массивного тела на небольшом расстоянии) задача о движении существенно усложняется и не может быть решена аналитические. численные расчеты показывают, что в этом случае траектории планет перестают быть эллипсами и представляют собой незамкнутые кривые.
Согласно третьему закону Ньютона существует сила, действующая на звезду со стороны планет. В случае M>>m ускорение звезды пренебрежимо мало и ее можно считать неподвижной. При наличии двух тел соизмеримых масс, притягивающихся друг к другу, возможно их устойчивое совместное движение по эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс . Очевидно, что более массивное тело совершает движение по орбите меньшего радиуса. В случае движения планет вокруг звезды указанный эффект малозаметен. однако в космосе были обнаружены системы, совершающие описанное движение - двойные звезды . Численный расчет движения планет в системе двойной звезды показывает, что их орбиты существенно нестационарны, расстояние от планеты до звезд быстро меняется в весьма широких пределах. Неизбежные при этом быстрые изменения климата на планетах делает там весьма проблематичной возможность биологической эволюции. Еще менее вероятно возникновение технических цивилизаций на планетах систем двойных звезд, поскольку сложное непериодическое движение планет приводит к трудно расшифровываемому наблюдаемому движению тел на “небесной сфере”, существенно затрудняя формулировку законов Кеплера и, как следствие, развитие классической механики (рис. 6_2).
Строение Солнечной системы. Хорошо известно, что основная масса Солнечной системы (около 99.8%) приходится на ее единственную звезду - Солнце. Суммарная масса планет составляет только 0.13% от общей. На остальные тела системы (кометы, спутники планет, астероиды и метеоритное вещество) приходится только 0.0003% массы. Из приведенных цифр следует, что законы Кеплера для движения планет в нашей системе должны выполняться очень хорошо. Существенные отклонения от эллиптических орбит могут возникать лишь в случае близкого (по сравнению с расстоянием до Солнца) пролета мимо одной из планет: Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна или Плутона (особенно это касается самой массивной из планет - Юпитера). Именно наблюдения возмущения орбиты Нептуна позволили предсказать, а потом и обнаружить Плутон - самую удаленную из известных планет нашей системы.
Ньютоновский закон гравитации и законы Кеплера позволяют связать размеры орбит планет с периодами вращения, но не позволяют рассчитывать сами орбиты. Еще в 18 веке была предложена эмпирическая формула для радиусов орбит планет солнечной системы:
где 
- радиус орбиты Земли. В отличие от
законов Кеплера соотношение (4) никак
не следует из законов Ньютона и до сих
пор не получило теоретического
обоснования, хотя орбиты всех известных
на сегодняшний день планет удовлетворительно
описываются этой формулой. Исключение
составляет лишь значение n=3
,
для которого на рассчитанной орбите
планеты не существует. Вместо нее был
обнаружен пояс
астероидов
- небольших по планетным масштабам тел
неправильной формы. Эмпирические
законы, не подтвержденные имеющейся
теорией, могут играть положительную
роль в исследованиях, поскольку тоже
отражают объективную реальность
(возможно в несовсем точном и даже в
несколько искаженном виде).
Привлекательной казалась гипотеза о ранее существовавшей пятой планете - Фаэтоне, разрушенной на куски гигантским гравитационным притяжением ее массивного соседа - Юпитера, однако количественный анализ движения планеты - гиганта показал несостоятельность этого предположения. По-видимому упомянутая проблема может быть разрешена лишь на основе законченной теории возникновения и эволюции планет Солнечной системы, пока еще несуществующей. Весьма привлекательная теория совместного происхождения солнца и планет из единого газового облака, сжавшегося под действием гравитационных сил, оказывается в противоречии с наблюдаемым неравномерным распределением вращательного момента (момента импульса) между звездой и планетами. Обсуждаются модели происхождения планет в результате гравитационного захвата Солнцем тел, прилетающих из далекого космоса, эффекты, вызванные взрывом сверх-новых. В большинстве “сценариев” развития солнечной системы существование пояса астероидов так или иначе связывается с его близким соседством с самой массивной планетой системы.
Известные на сегодняшний день свойства планет Солнечной системы позволяют разделить их на две группы. Первые четыре планеты земной группы характеризуются сравнительно малыми массами и большими плотностями слагающих их веществ. Они состоят из расплавленного железного ядра, окруженного силикатной оболочкой - корой. Планеты обладают газовыми атомосферами. Их температуры главным образом определяются расстоянием до Солнца и убывают с его увеличением. Начинающаяся с Юпитера группа планет - гигантов в основном сложена из легких элементов (водорода и гелия), давление которых во внутренних слоях возрастает до огромных величин, вследствие гравитационного сжатия. В результате по пере приближения к центру газы постепенно переходят в жидкое и, возможно, в твердотельное состояния. Предполагается, что в центральных областях давления столь велико, что водород существует в металлической фазе, пока не наблюдавшейся на Замле даже в лабораторных условиях. Планеты второй группы обладают большим числом спутников. У сатурна их число столь велико, что при недостаточном увеличении планета кажется опоясанной системой непрерывных колец (рис. 6_3).
Проблема существования жизни на других планетах до сих пор вызывает повышенный интерес в околонаучных сферах. В настоящее время можно с достаточной степенью достоверности можно утверждать, что в привычных для современного естествознания белковых формах жизнь на планетах Солнечной системы (разумеется, за исключением Земли) не существует. Причиной этому прежде всего является малость физико-химического диапозона условий, допускающих возможности существования органических молекул и протекания жизненно важных химических реакций с их участием (не слишком высокие и низкие температуры, узкий интервал давлений, наличие кислорода и т.д.). Единственной, помимо Земли, планетой, условия на которой явно не противоречат возможности существования белковой жизни, является Марс. Однако достаточно детальные исследования его поверхности с помощью межпланетных станций “Марс”, “Марионер” и “Викинг” показали, что жизнь на этих планетах не существует даже в виде микроорганизмов (рис. 6_4).
Что же касается вопроса о существовании небелковых форм внеземной жизни, его серьезному обсуждению должна предшествавать строгая формулировка самого обобщенного понятия жизни, но эта проблема до сих пор не получила общепризнанного удовлетворительного решения. (Создатся впечатление, что открытие форм жизни, существенно отличающихся от привычных для нашего воображения, вообще может не вызвать сколько-нибудь заметного интереса у ненаучной общественности. Не очень трудно вообразить себе создание компьютерных вирусов, способних размножаться в сетях и способных эволюционировать, гораздо труднее представить реакцию на это в обществе, отличную от досады пользователей, потерявших программы).
О природе гравитационных сил . Сформулированный Ньютоном закон всемирного тяготения относится к фундаментальным законам классического естествознания. Методологической слабостью концепции Ньютона был его отказ обсуждать механизмы, приводящие к возникновению гравитационных сил (“Я гипотез не измышляю”). После Ньютона неоднократно предпринимались попытки создания теории гравитации. Подавляющее большинство подходов связано с так называемыми гидродинамическими моделями гравитации , пытающимися объяснить возникновение сил тяготения механическими взаимодействиями массивных тел с промежуточной субстанцией, которой приписывается то или иное название: “эфир”, “поток гравитонов”, “вакуум” и т.д. Притяжение между телами возникает вследствие разряжения Среды, возникающей либо при ее поглощении массивными телами, либо при экранировке ими ее потоков. Все эти теории имеют общий существенный недостаток: правильно предсказывая зависимость силы от расстояния (2), они неизбежно приводят к еще одному ненаблюдаемому эффекту: торможению тел, движущихся относительно введенной субстанции.
Существенно новый шаг в развитии концепции гравитационного взаимодействия был сделан А. Эйнштейном, создавшим общую теорию относительности .
Освоение космоса давно шагнуло за рамки воображения:
– каждый год космонавты отправляются за пределы Земли;
– люди запускают спутники, часть которых уже сейчас преодолела Солнечную систему;
– огромные телескопы наблюдают за звездами с орбиты нашей планеты.
Кто был первым первопроходцем в небе? Какие невероятные теории стоят за нашими космическими достижениями? Что нас ждет в будущем? Эта книга кратко и понятно расскажет о самых важных открытиях в области астрономии, о людях, которые их сделали.
Будьте в курсе научных открытий – всего за час!
Книга:
| <<< Назад
|
Вперед >>>
|
Наблюдения и измерения Тихо Браге позволили его ученику, немецкому ученому Иоганну Кеплеру, сделать следующий шаг в развитии астрономии.
Геоцентрическая система мира Птолемея и гелиоцентрическая система Коперника
Рассчитывая орбиту Марса, Кеплер обнаружил, что она представляет собой не окружность, как считал Коперник и другие ученые, а эллипс. Поначалу он не распространял этот вывод на другие планеты , но позже понял, что не только Марс, а все планеты имеют эллипсоидную орбиту Таким образом был открыт первый закон движения планет Кеплера. В современной формулировке он звучит так: каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Второй закон движения планет явился логичным следствием первого. Еще до формулировки первого закона, наблюдая за перемещением Марса, Кеплер заметил, что планета движется тем медленнее, чем дальше она находится от Солнца. Эллиптическая форма орбиты полностью объясняет эту особенность движения. За равные промежутки времени прямая, соединяющая планету с Солнцем, описывает равные площади – это второй закон Кеплера.
Второй закон объясняет изменение скорости движения планеты, но не дает никаких расчетов. Формула, позволяющая вычислить, с какой скоростью вращаются планеты и какое время занимает их путь вокруг Солнца, заключается в третьем законе Кеплера.
Исследования Кеплера поставили точку в споре между системами мира Птолемея и Коперника. Он убедительно доказал, что в центре нашей системы находится Солнце, а не Земля. После Кеплера в научном мире больше не предпринимались попытки реанимировать геоцентрическую систему.
Точность трех законов движения планет, открытых Кеплером, подтвердили многочисленные астрономические наблюдения. Тем не менее основания и причины этих законов оставались неясными до тех пор, пока в конце XVII в. не проявился гений Ньютона.
Всем известна история о том, как Ньютон открыл закон всемирного тяготения: ему на голову упало яблоко, и Ньютон понял, что яблоко притянула к себе Земля. В расширенной версии этой легенды присутствует еще и Луна, на которую смотрел ученый, сидя под яблоней.
После падения яблока Ньютон осознал, что сила, заставившая яблоко упасть, и сила, удерживающая Луну на земной орбите, имеет одну и ту же природу.
На самом деле, конечно, все было далеко не так просто До открытия знаменитого закона Ньютон много лет посвятил изучению механики, закономерностей движения и взаимодействия между телами. Он был не первым, кто предположил существование сил тяготения. Об этом говорил еще Галилео Галилей, но он считал, что притяжение к Земле действует только на нашей планете и простирается всего лишь до Луны. Кеплер, открывший законы движения планет, был уверен, что они работают исключительно в космосе и не имеют отношения к земной физике. Ньютон же смог объединить эти два подхода – он был первым, кто осознал, что физические законы, в первую очередь закон всемирного тяготения, универсальны и применимы ко всем материальным телам.
Суть закона всемирного тяготения сводится к тому, что между абсолютно всеми телами во Вселенной существует притяжение. Сила притяжения зависит от двух главных величин – массы тел и расстояния между ними. Чем тяжелее тело, тем сильнее оно притягивает к себе более легкие тела. Земля притягивает Луну и удерживает ее на своей орбите. Луна тоже оказывает на нашу планету определенное воздействие (оно вызывает приливы), но сила притяжения Земли, за счет большей массы, значительнее.
Кроме закона всемирного тяготения, Ньютон сформулировал три закона движения. Первый из них называют законом инерции. Он гласит: если на тело не воздействует сила, оно будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Второй закон вводит понятие силы и ускорения, и эти две величины, как доказал Ньютон, зависят от массы тела. Чем больше масса, тем меньшим будет ускорение при определенной приложенной силе. Третий закон Ньютона описывает взаимодействие двух материальных объектов. Самая простая его формулировка гласит: действие равно противодействию.
Открытия, совершенные Исааком Ньютоном, и выведенные им формулы дали астрономии мощный инструмент, позволивший продвинуть эту науку далеко вперед. Многие явления, не имевшие раньше объяснений, раскрыли свою природу. Стало понятно, почему планеты вращаются вокруг Солнца, а спутники вокруг планет, не улетая в открытый космос: их удерживает сила притяжения. Скорость движения планет остается равномерной благодаря закону инерции. Округлая форма небесных тел также получила свое объяснение: она приобретается благодаря гравитации, притяжению к более массивному центру.
| <<< Назад
|
Вперед >>>
|
II ОСНОВЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ.
УРОК № 10. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ.
4. Законы Кеплера.
6. Конические сечения.
7. Ревизия законов Кеплера.
1. Развитие представлений о Солнечной системе.
Первая научная геоцентрическая система мира начала формироваться в трудах Аристотеля и других ученых древней Греции. Свое завершение она получила в работах древнегреческого астронома Птолемея. Согласно этой системе в центре мира расположена Земля, откуда и название геоцентрическая. Вселенная ограничена хрустальной сферой, на которой расположены звезды. Между Землей и сферой движутся планеты, Солнце и Луна. Древние считали, что равномерное круговое движение – это идеальное движение, и что небесные тела именно так и движутся. Но наблюдения показывали, что Солнце и Луна движутся неравномерно и для устранения этого очевидного противоречия, пришлось предположить, что они движутся по окружностям, центры которых не совпадают ни с центром Земли, ни между собой. Еще более сложное петлеобразное движение планет пришлось представить как сумму двух круговых равномерных движений. Такая система позволяла с достаточной для наблюдений точностью рассчитывать взаимное расположение планет на будущее. Петлеобразное движение планет еще долгое время оставалось загадкой и нашло свое объяснение только в учении великого польского астронома Николая Коперника
В 1543 году вышла в свет его книга «О вращении небесных сфер». В ней была изложена новая гелиоцентрическая система мира. Согласно этой системе в центре мира находится Солнце. Планеты, в том числе и Земля, обращаются вокруг Солнца по круговым орбитам, а Луна вокруг Земли и одновременно с ней вокруг Солнца. Точность в определение положений планет возросла правда ненамного, но именно система Коперника позволила просто объяснить петлеобразное движение планет. Учение Коперника нанесло сокрушительный удар по геоцентрической системе мира. Оно далеко вышло за рамки астрономии дало мощный толчок развитию всего естествознания.
2. Петлеобразное движение планет.
Невооруженным глазом мы можем наблюдать пять планет - Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер и Сатурн. Планеты относятся к тем светилам, которые не только участвуют в суточном вращении небесной сферы, но еще и смещаются на фоне зодиакальных созвездий, так как они вращаются вокруг Солнца. Если проследить за ежегодным перемещением какой-нибудь планеты, каждую неделю отмечая его положение на звездной карте, то может выявиться главная особенность видимого движения планеты: планета описывает на фоне звездного неба петлю, которая объясняется тем, что мы наблюдаем движение планет не с неподвижной Земли, а с Земли, вращающейся вокруг Солнца.
3. Иоганн Кеплер и Исаак Ньютон.
Два величайших ученых намного обогнавшие свое время, они создали науку, которая называется небесной механикой, то есть открыли законы движения небесных тел под действием сил тяготения, и даже если бы этим их достижения ограничились, они все равно бы вошли в пантеон великих мира сего. Так случилось, что они не пересеклись во времени. Только через тринадцать лет после смерти Кеплера родился Ньютон. Оба они являлись сторонниками гелиоцентрической системы Коперника. Много лет изучая движение Марса, Кеплер экспериментально открывает три закона движения планет, за пятьдесят с лишним лет до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Еще не понимая, почему планеты движутся так, а не иначе. Это был каторжный труд и гениальное предвидение. Зато Ньютон именно законами Кеплера проверял свой закон тяготения. Все три закона Кеплера являются следствиями закона тяготения. И открыл его Ньютон в 23 года. В это время 1664 – 1667 годы в Лондоне свирепствовала чума. Тринити колледж , в котором преподавал Ньютон, был распущен на неопределенный срок, дабы не усугубить эпидемию. Ньютон возвращается к себе на родину и за два года совершает переворот в науке, сделав три важнейших открытия: дифференциальное и интегральное исчисление, объяснение природы света и закон всемирного тяготения. Исаак Ньютон был торжественно похоронен в Вестминстерском аббатстве. Над его могилой высится памятник с бюстом и эпитафией «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти божественным разумом первый доказал с факелом математики в руке движение планет, пути комет и приливы океанов… Пусть смертные радуются, что существует такое украшение рода человеческого».
4. Законы Кеплера.
Основная задача небесной механики – это исследование движения небесных тел под действием сил всемирного тяготения. А именно расчет орбит планет, комет, астероидов , искусственных спутников Земли, космических аппаратов, звезд в двойных и кратных системах. Все задачи в математическом смысле очень трудны и за редким исключением решаются только численными методами с помощью самых больших ЭВМ. Однако модельные задачи, в которых тела рассматриваются как материальные точки и можно пренебречь влиянием других тел, можно решить в общем виде, т. е. получить формулы для орбит планет и спутников. Простейшей считается задача двух тел, когда одно значительно больше другого и система отсчета связана с этим большим телом.
Именно для этого случая три закона движения планет относительно Солнца были получены эмпирически Иоганном Кеплером. Как же он это сделал? Кеплеру были известны: координаты Марса на небесной сфере с точностью до 2” по данным наблюдений его учителя Тихо Браге; относительные расстояния планет от Солнца; синодические и сидерические периоды обращения планет. Далее он рассуждал примерно так.
Известно положение Марса во время противостояния (см. рис.). В треугольнике АВС
буква А
обозначает положение Марса, В
- Земли, С
– Солнца. Через промежуток времени, равный сидерическому периоду обращения Марса (687 дней) планета вернется в точку А
, а Земля за это время переместится в точку В’
. Поскольку угловые скорости движения Земли в течение года известны (они равны угловым скоростям видимого движения Солнца по эклиптике), можно вычислить угол АСВ’
. Определив координаты Марса и Солнца в момент прохождения Землей через точку В’
, мы можем, зная в треугольнике 2 угла, по теореме синусов рассчитать отношение стороны СВ’
к АС
. Еще через один оборот Марса Земля придет в положение В"
и можно будет определить отношение СВ"
к тому же отрезку АС
и т. д. Таким образом, точка за точкой можно получить представление об истинной форме орбиты Земли, установить, что она является эллипсом, в фокусе которого находится Солнце. Можно определить что, если время движения по дуге M3M4 = времени движения по дуге M1M2, то Пл. SM3M4 = Пл. SM1M2.
F1 и F2–фокусы эллипса, c-фокусное расстояние, а - большая полуось эллипса и среднее расстояние от планеты до Солнца.
5. Закон всемирного тяготения Ньютона.
Исаак Ньютон смог объяснить движение тел в космическом пространстве с помощью закона всемирного тяготения . Он пришел к своей теории в результате многолетних исследований движения Луны и планет. Но упрощенный вывод закона всемирного тяготения можно сделать и из третьего закона Кеплера.
Пусть планеты движутся по круговым орбитам, их центростремительные ускорения равны: 
, где Т
– период обращения планеты вокруг Солнца, R
- радиус орбиты планеты. Из III закона Кеплера или . Следовательно, ускорение любой планеты независимо от ее массы обратно пропорционально квадрату радиуса ее орбиты: 
.
Согласно II закону Ньютона, сила F , сообщающая планете это ускорение, равна: https://pandia.ru/text/78/063/images/image010_95.gif" width="125" height="51 src=">, где М – масса Солнца. Поскольку F = F’ , =https://pandia.ru/text/78/063/images/image013_78.gif" width="161" height="54">, где G = 6,67∙10–11 Н∙м2/кг2 – гравитационная постоянная ..gif" width="109" height="51">. Сила тяготения между Солнцем и планетой пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними . Этот закон справедлив для любых сферически симметричных тел, а приближенно он выполняется для любых тел, если расстояние между ними велико по сравнению с их размерами. Ускорение, которое, согласно второму закону Ньютона, испытывает тело m , находящееся на расстоянии r от тела M , равно: https://pandia.ru/text/78/063/images/image017_68.gif" width="47" height="47">, где -масса Земли, – расстояние до ее центра. Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения равно g = 9,8 м/с2. Сплюснутость Земли и ее вращение приводят к отличию силы тяжести на экваторе и возле полюсов: ускорение свободного падения в точке наблюдения может приближенно высчитываться по формуле g = 9,78 ∙ (1 + 0,0053 sin φ ), где φ – широта этой точки.
Необычно ведет себя сила тяжести внутри Земли. Если Землю принять за однородный шар, сила тяжести растет пропорционально расстоянию до центра шара r.
6. Конические сечения.
Конические сечения образуются при пересечении прямого кругового конуса с плоскостью. К коническим сечениям относятся кривые второго порядка: эллипс , парабола и гипербола . Все они является геометрическим местом точек, расстояния от которых до заданных точек (фокусов ) или до заданной прямой (директрисы) есть величина постоянная. Например, эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов F1 и F2) есть величина постоянная и равная длине большой оси: F1M+F2M=2а=const. Степень вытянутости эллипса характеризуется его эксцентриситетом е. Эксцентриситет е =с/а. При совпадении фокусов с центром е = 0, и эллипс превращается в окружность . Большая полуось а является средним расстоянием от фокуса до эллипса. Ближайшая к фокусу точка эллипса называется перицентром, самая удаленная – апоцентром. Расстояние от фокуса до перицентра равно ПF1 = a (1 – e ), до апоцентра – F1A = a (1 + e ).
7. Ревизия законов Кеплера.
Итак, Кеплер открыл свои законы эмпирическим путем. Ньютон же вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. В результате этого претерпели изменения первый и третий законы. Первый закон Кеплера был обобщен и его современная формулировка звучит так: Траектории движения небесных тел в центральном поле тяготения представляют собой конические сечения: эллипс, окружность, параболу или гиперболу, в одном из фокусов которой находится центр масс системы . Форма траектории определяется величиной полной энергии движущегося тела, которая складывается из кинетической энергии К тела массы m , движущегося со скоростью v , и потенциальной энергии U тела, находящегося в гравитационном поле на расстоянии r от тела с массой М . При этом действует закон сохранения полной энергии тела. Е=К + U = const ; К = mv 2 /2, U =- GMm / r .
Закон сохранения энергии можно переписать в виде: (2).
Константа h
называется постоянной энергии
. Она прямо пропорциональна полной механической энергии тела E
и зависит только от начального радиус-вектора r0
и начальной скорости v
0. При h
< 0 кинетической энергии тела недостаточно для преодоления гравитационной связи. Величина радиус-вектора тела ограничена сверху и имеет место обращение по замкнутой, эллиптической орбите. Такое движение можно уподобить движению маятника – тот же самый переход кинетической энергии в потенциальную во время подъема и обратный – при опускании. Подобное движение называется финитным
, т. е. замкнутым. Для h
= 0 при неограниченном возрастании радиус-вектора тела его скорость уменьшается до нуля – это движение по параболе. Такое движение – инфинитно
, неограниченно в пространстве. При h
> 0 кинетическая энергия тела достаточно велика, и на бесконечном расстоянии от притягивающего центра тело будет иметь ненулевую скорость удаления от него – это движение по гиперболе. Таким образом, можно сказать, что тело движется относительно притягивающего центра только по орбитам, являющимися коническими сечениями. Как следует из формулы (2), приближение тела к притягивающему центру всегда должно сопровождаться увеличением орбитальной скорости тела, а удаление – уменьшением в соответствии со вторым законом Кеплера. Второй закон Кеплера не подвергся ревизии, а вот третий был уточнен, и звучит он так: отношение куба большой полуоси. планетной орбиты к квадрату периода обращения планеты вокруг Солнца равно сумме масс Солнца и планеты, г
де (3)
M
Q
и m
массы Солнца и планеты, соответственно; а
и Т
– большая полуось и период обращения планеты. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам.
В обобщенном виде этот закон обычно формулируется (4)
так: Произведение сумм масс небесных тел и их спутников с квадратами их сидерических периодов обращения относятся как кубы больших полуосей их орбит,
где М
1 и М
2 - массы небесных тел, m
1 и m
2 - соответственно массы их спутников, а
1 и а
2 - большие полуоси их орбит, Т
1 и Т
2 - сидерические периоды обращения. Необходимо понять, что закон Кеплера связывает характеристики движения компонентов любых произвольных и независимых космические систем.
В эту формулу могут входить одновременно Марс со спутником, и Земля с Луной, или Солнце с Юпитером.
Если мы применим этот закон к планетам Солнечной системы и пренебрежем массами планет М1 и М
2 в сравнении с массой Солнца М☼ (т. е. M
1 << М
☼, M
2 << М
☼), то получится формулировка третьего закона, данная самим Кеплером.
8. Определение масс небесных тел.
https://pandia.ru/text/78/063/images/image026_47.gif" width="157" height="53 src=">. Подставив сюда значения больших полуосей Земли и Луны и их периодов обращения, получим, что М U=3,3·10-6М ☼. Ну а абсолютную массу Солнца вычислить совсем просто. Воспользовавшись непосредственно формулой (3), для пары Солнце-Земля, отбросив при этом массу Земли в силу ее малости в сравнении с массой Солнца, получим для М ☼=2·1030 кг.
Третий закон Кеплера позволяет вычислить не только массу Солнца, но и массы других звезд. Правда, это можно сделать только для двойных систем, массу одиночных звезд определить таким образом невозможно. Измеряя взаимное положение двойных звезд в течение длительного времени, часто удается определить период их обращения Т и выяснить форму их орбит. Если известно расстояние R до двойной звезды и максимальный αmax и минимальный αmin угловые размеры орбиты, то можно определить большую полуось орбиты а= R (α max + α min )/2 , далее воспользовавшись уравнением (3) мы можем вычислить суммарную массу двойной звезды. Если при этом на основании наблюдений определить расстояние от звезд до центра масс х1 и х2 , а точнее отношение х1/х2, которое сохраняется постоянным, то появляется второе уравнение x 1 / x 2 = m 2 / m 1 , дающее возможность определить массу каждой звезды в отдельности.
Д. З. § 8,9, 10. Задачи 7,8 стр.47.
Вопросы экспресс-опроса
1. Как называется ближайшая к Солнцу точка орбиты планеты?:
2. Как называется самая удаленная точка орбиты Луны?
3. Как меняется значение скорости движения кометы при ее перемещении от перигелия к афелию?
5. Как зависит синодический период внешних планет от расстояния до Солнца?
6. Почему космодромы стараются строить ближе к экватору?
7. Как изменяется гравитационное поле внутри Земли?
8. Сформулируйте законы Кеплера.
9. Чему равно средний радиус орбиты планеты?
Все космогонические гипотезы можно разделить на несколько групп. Согласно одной из них Солнце и все тела Солнечной системы: планеты, спутники, астероиды, кометы и метеорные тела - образовались из единого газовопылевого, или пылевого облака. Согласно второй Солнце и его семейство имеют различное происхождение, так что Солнце образовалось из одного газовопылевого облака (туманности, глобулы), а остальные небесные тела Солнечной системы - из другого облака, которое было захвачено каким-то, не совсем понятным, образом Солнцем на свою орбиту и разделилось каким-то, еще более непонятным образом на множество самых различных тел (планет, их спутников, астероидов, комет и метеорных тел), имеющих самые различные характеристики: массу, плотность, эксцентриситет, направление обращения по орбите и направление вращения вокруг своей оси, наклонение орбиты к плоскости экватора Солнца (или эклиптики) и наклон плоскости экватора к плоскости своей орбиты.
Девять больших планет обращаются вокруг Солнца по эллипсам (мало отличающимся от окружностей) почти в одной плоскости. В порядке удаления от Солнца - это Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и Плутон
. Кроме них в Солнечной системе множество малых планет (астероидов), большинство которых движется между орбитами Марса и Юпитера. Пространство между планетами заполнено крайне разреженным газом и космической пылью. Его пронизывают электромагнитные излучения.
Солнце в 109 раз больше Земли по диаметру и примерно в 333 000 раз массивнее Земли
. Масса всех планет составляет всего лишь около 0,1% от массы Солнца, поэтому оно силой своего притяжения управляет движением всех членов Солнечной системы.
Конфигурация и условия видимости планет
Конфигурациями планет называют некоторые характернее взаимные расположения планет, Земли и Солнца.
Условия видимости планет с Земли резко различаются для планет внутренних (Венера и Меркурий), орбиты которых лежат внутри земной орбиты, и для планет внешних (все остальные).
Внутренняя планета может оказаться между Землей и Солнцем или за Солнцем. В таких положениях планета невидима, так как теряется в лучах Солнца. Эти положения называются соединениями планеты с Солнцем. В нижнем соединении планета ближе всего к Земле, а в верхнем соединении она от нас дальше всего.
Синодические периоды обращения планет и их связь с сидерическими периодами
Период обращения планет вокруг Солнца по отношению к звездам называется звездным или сидерическим периодом.
Чем ближе планета к Солнцу, тем больше ее линейная и угловая скорости и короче звездный период обращения вокруг Солнца.
Однако из непосредственных наблюдений определяют не сидерический период обращения планеты, а промежуток времени, протекающий между ее двумя последовательными одноименными конфигурациями, например между двумя последовательными соединениями (противостояниями). Этот период называется синодическим периодом обращения. Определив из наблюдений синодические периоды, путем вычислений находят звездные периоды обращения планет.
Синодический период внешней планеты - это промежуток времени, по истечении которого Земля обгоняет планету на 360° при их движении вокруг Солнца.
Законы Кеплера
Заслуга открытия законов движения планет принадлежит выдающемуся немецкому ученому Иоганну Кеплеру (1571 -1630). В начале XVII в. Кеплер, изучая обращение Марса вокруг Солнца, установил три закона движения планет.
Первый закон Кеплера . Каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Второй закон Кеплера (закон площадей). Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади.
Третий закон Кеплера . Квадраты звездных периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.
Среднее расстояние всех планет от Солнца в астрономических единицах можно вычислить, используя третий закон Кеплера. Определив среднее расстояние Земли от Солнца (т. е. значение 1 а.е.) в километрах, можно найти в этих единицах расстояния до всех планет Солнечной системы.Большая полуось земной орбиты принята за астрономическую единицу расстояний (=1 a.e.)
Классическим способом определения расстояний был и остается угломерный геометрический способ. Им определяют расстояния и до далеких звезд, к которым метод радиолокации неприменим. Геометрический способ основан на явлении параллактического смещения
.
Параллактическим смещением называется изменение направления на предмет при перемещении наблюдателя .
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Задача . Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось ее орбиты?
| Дано
|
РЕШЕНИЕ
Большую полуось орбиты можно определить из третьего закона Кеплера: |
| - ? |
Размер и форма Земли
На фотоснимках, сделанных из космоса, Земля выглядит как шар, освещенный Солнцем.
Точный ответ о форме и размере Земли дают градусные измерения
, т. е. измерения в километрах длины дуги в 1° в разных местах на поверхности Земли. Градусные измерения показали, что длина 1° дуги меридиана в километрах в полярной области наибольшая (111,7 км), а на экваторе наименьшая (110,6 км). Следовательно, на экваторе кривизна поверхности Земли больше, чем у полюсов, а это говорит о том, что Земля не является шаром. Экваториальный радиус Земли больше полярного на 21,4 км. Поэтому Земля (как и другие планеты) вследствие вращения сжата у полюсов.
Шар, равновеликий нашей планете, имеет радиус, равный 6370 км. Это значение принято считать радиусом Земли.
Угол, под которым со светила виден радиус Земли, перпендикулярный к лучу зрения, называется горизонтальным параллаксом.
Масса и плотность Земли
Закон всемирного тяготения позволяет определить одну из важнейших характеристик небесных тел - массу, в частности массу нашей планеты. Действительно, исходя из закона всемирного тяготения, ускорение свободного падения g=(G*M)/r 2 . Следовательно, если известны значения ускорения свободного падения, гравитационной постоянной и радиуса Земли, то можно определить ее массу.
Подставив в указанную формулу значение g = 9,8 м/с 2 , G =6,67 * 10 -11 Н * м 2 /кг 2 ,
R =6370 км, найдем, что масса Земли М=6 x 10 24 кг. Зная массу и объем Земли, можно вычислить ее среднюю плотность.