Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.
Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).
Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .
Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R
Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R
Площадь круга : S=\pi R^{2}
Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.
Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.
Длину дуги можно найти по формуле:
- Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
- Используя радианную меру: CD = \alpha R
Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.
В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Касательная к окружности
Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.
Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .
Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.
Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.
AC = CB
Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.
AC^{2} = CD \cdot BC
Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Углы в окружности
Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}
Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.
Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}
Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.
Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.
Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.
В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.
Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.
Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:
S = pr ,
p — полупериметр многоугольника,
r — радиус вписанной окружности.
Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:
r = \frac{S}{p}
Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.
AB + DC = AD + BC
В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
r = \frac{S}{p} ,
где p = \frac{a + b + c}{2}
Описанная окружность
Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .
В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.
Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.
Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}
Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.
Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:
R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}
R = \frac{abc}{4 S}
a , b , c — длины сторон треугольника,
S — площадь треугольника.
Теорема Птолемея
Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.
Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Чтобы написать, как найти диаметр круга, необходимо сначала определить, что это такое. Итак, диаметр круга - это прямая, которая проходит через центр круга и соединяет точки на окружности.
Ниже мы рассмотрим способы нахождения диаметра окружности через её длину, площадь вписанного круга, и через радиус.
Определение диаметра
Принято считать, что какой бы величины ни была окружность, отношение ее длины к диаметру - это постоянное число «Пи», которое примерно равно 3,14. Чтобы понять, как найти диаметр круга, следует привести формулы и на примере показать вычисления данной величины.
Радиус
Если известен радиус круга, то диаметр вычислить очень просто:
D = 2R, где D - это диаметр, а R - радиус. Получается, диаметр равен двум радиусам. Например, известно, что радиус равен 10 см, тогда диаметр вычисляем так: D=2*10, получается, что диаметр равен 20 см.
Длина окружности
В случае, если известна длина окружности, для вычисления может быть полезным число . Вот какой формулой можно воспользоваться: D = l/, где l - это длина круга. Получается, если длина окружности равна 18 см, то диаметр вычисляем так: D = 18 / 3,14 ≈ 5,73 см.
Площадь круга
Если известна только площадь круга, то это значение также можно применить. При этом площадь обозначается буквой S. Исходя из формулы S=R 2 , можно найти радиус, а значит, и диаметр. Итак, радиус R = √ (S / ). Для нахождения радиуса делим площадь на число Пи и извлекаем из этого значения квадратный корень. Таким образом, если площадь равна 25 см, то радиус вычисляется так: R = √ (25 / 3,14) ≈ √8 ≈ 2,8 см. Затем можно вычислить диаметр: D = 2R, D = 2,8*2= 5,6 см.
Окружностью называется ряд равноудалённых точек от одной точки, которая, в свою очередь, является центром этой окружности. Окружность имеет также свой радиус, равный расстоянию этих точек от центра.
Отношение длины, какой либо окружности к её диаметру, для всех окружностей одинаково. Это отношение есть число, являющееся математической константой, которое обозначается греческой буквой π .
Определение длины окружности
Произвести расчёт окружности можно по следующей формуле:
L = π D = 2 π r
r - радиус окружности
D - диаметр окружности
L - длина окружности
π - 3.14
Задача:
Вычислить длину окружности , имеющей радиус 10 сантиметров.
Решение:Формула для вычисления дины окружности имеет вид:
L = π D = 2 π r
где L – длина окружности, π – 3,14 , r – радиус окружности, D – диаметр окружности.
Таким образом, длина окружности, имеющей радиус 10 сантиметров равна:
L = 2 × 3,14 × 10 = 62,8 сантиметра
Окружность представляет собой геометрическую фигуру, являющуюся совокупностью всех точек на плоскости, удаленных от заданной точки, которая называется ее центром, на некоторое расстояние, не равное нулю и именуемое радиусом. Определять ее длину с различной степенью точности ученые умели уже в глубокой древности: историки науки считают, что первая формула для вычисления длины окружности была составлена примерно в 1900 году до нашей эры в древнем Вавилоне.
С такими геометрическими фигурами, как окружности, мы сталкиваемся ежедневно и повсеместно. Именно ее форму имеет внешняя поверхность колес, которыми оснащаются различные транспортные средства. Эта деталь, несмотря на свою внешнюю простоту и незатейливость, считаются одним из величайших изобретений человечества, причем интересно, что аборигены Австралии и американские индейцы вплоть до прихода европейцев совершенно не имели понятия о том, что это такое.
По всей вероятности, самые первые колеса представляли собой отрезки бревен, которые насаживались на ось. Постепенно конструкция колеса совершенствовалась, их конструкция становилась все более и более сложной, а для их изготовления требовалось использовать массу различных инструментов. Сначала появились колеса, состоящие из деревянного обода и спиц, а затем, для того, чтобы уменьшить износ их внешней поверхности, ее стали обивать металлическими полосами. Для того чтобы определить длины этих элементов, и требуется использовать формулу расчета длины окружности (хотя на практике, вероятнее всего, мастера это делали «на глаз» или просто опоясывая колесо полосой и отрезая требуемый ее участок).
Следует заметить, что колесо используется отнюдь не только в транспортных средствах. Например, его форму имеет гончарный круг, а также элементы шестеренок зубчатых передач, широко применяемых в технике. Издавна колеса использовались в конструкциях водяных мельниц (самые древние из известных ученым сооружений такого рода строились в Месопотамии), а также прялок, применявшихся для изготовления нитей из шерсти животных и растительных волокон.
Окружности нередко можно встретить и в строительстве. Их форму имеют достаточно широко распространенные круглые окна, очень характерные для романского архитектурного стиля. Изготовление этих конструкций – дело весьма непростое и требует высокого мастерства, а также наличия специального инструмента. Одной из разновидностей круглых окон являются иллюминаторы, устанавливаемые в морских и воздушных судах.
Таким образом, решать задачу определения длины окружности часто приходится инженерам-конструкторам, разрабатывающим различные машины, механизмы и агрегаты, а также архитекторам и проектировщикам. Поскольку число π , необходимое для этого, является бесконечным, то с абсолютной точностью определить этот параметр не представляется возможным, и поэтому при вычислениях учитывается та ее степень, которая в том или ином конкретном случае является необходимой и достаточной.
Инструкция
В случае, если известен только диаметр, то формула будет выглядеть как «R = D/2».
Если длина окружности неизвестна, но есть данные о длине определенного , то формула будет иметь вид «R = (h^2*4 + L^2)/8*h», где h – высота сегмента (является расстоянием от середины хорды до самой выступающей части указанной дуги), а L – длина сегмента (которая не является длиной хорды).Хорда – отрезок , которая соединяет две точки окружности .
Обратите внимание
Следует различать понятия «окружность» и «круг». Круг является частью плоскости, которая, в свою очередь, ограничивается окружностью определенного радиуса. Чтобы найти радиус, необходимо знать площадь круга. В таком случае уравнение будет иметь вид «R = (S/π)^1/2», где S является площадью. Чтобы вычислить площадь, в свою очередь следует знать радиус («S = πr^2»).
Зная лишь длину диаметра окружности, можно вычислить не только площадь круга, но и площади некоторых других геометрических фигур. Это вытекает из того, что диаметры вписанных или описанных вокруг таких фигур окружностей совпадают с длинами их сторон либо диагоналей.
Инструкция
Если надо найти площадь (S) по известной длине его диаметра (D), умножайте число пи (π) на возведенную в длину диаметра , а результат делите на четыре: S=π ²*D²/4. Например, круга равен двадцати сантиметрам, то его площадь можно вычислить так: 3,14² * 20² / 4 = 9,86 * 400 / 4 = 986 сантиметров.
Если надо найти площадь квадрата (S) по диаметру вокруг него окружности (D), возводите длину диаметра в квадрат, а результат разделите пополам: S=D²/2. Например, если диаметр описанной окружности равен двадцати сантиметрам, то площадь квадрата можно вычислить так: 20² / 2 = 400 / 2 = 200 квадратных сантиметров.
Если площадь квадрата (S) нужно найти по диаметру вписанной в него окружности (D), достаточно возвести длину диаметра в квадрат: S=D². Например, если диаметр вписанной окружности равен двадцати сантиметрам, то площадь квадрата можно вычислить так: 20² = 400 квадратных сантиметров.
Если надо найти площадь (S) по известным диаметра м вписанной (d) и описанной (D) вокруг него окружностей, то возводите длину диаметра вписанной окружности в квадрат и делите на четыре, а к результату прибавляйте половину произведения длин вписанной и описанной окружностей: S=d²/4 + D*d/2. Например, если диаметр описанной окружности равен двадцати сантиметрам, а вписанной – десяти сантиметрам, то площадь треугольника можно вычислить так: 10² / 4 + 20*10/2 = 25 + 100 = 125 квадратных сантиметров.
Используйте встроенный в поисковую систему Google для проведения необходимых расчетов. Например, чтобы с помощью этого поисковика площадь прямоугольного треугольника по данным примера из четвертого шага, надо ввести такой поисковый запрос: «10^2 / 4 + 20*10/2», а нажать клавишу Enter.
Источники:
- как найти площадь окружности по диаметру
Круг - это плоская геометрическая фигура, все точки которой находятся на одинаковом и отличном от нуля удалении от выбранной точки, которую называют центром окружности. Прямую, соединяющую любые две точки круга и проходящую через центр, называют его диаметром . Суммарная длина всех границ двухмерной фигуры, которую обычно называют периметром, у круга чаще обозначается как «длина окружности». Зная длину окружности можно вычислить и ее диаметр.
Инструкция
Используйте для нахождения диаметра одно из основных свойств окружности, которое заключается в том, что соотношение длины ее периметра к диаметру одинаково для абсолютно всех окружностей. Конечно, постоянство не осталось не отмеченным математиками, и эта пропорция давно уже получила собственное - это число Пи (π - первая греческих слов «окружность » и «периметр»). Числовое этой определяется длиной окружности, у которой диаметр равен единице.
Делите известную длину окружности на число Пи, чтобы вычислить ее диаметр. Так как это число является « », то не имеет конечного значения - это дробь. Округляйте число Пи в соответствии с точностью результата, которую вам необходимо получить.
Используйте какой-либо , чтобы рассчитать длину диаметра, если сделать это в уме не получается. Например, можно воспользоваться тем, который встроен в поисковую систему Nigma или Google - он математические операции, вводимые на «человеческом» . Например, если известная длина окружности составляет четыре метра, то для нахождения диаметра можно «по-человечески» попросить поисковик: «4 метра разделить на пи». Но если вы введете в поле поискового запроса, например, «4/пи», то поисковик поймет и такую постановку задачи. В любом случае ответом будет «1.27323954 метра».
Вопрос о диаметре земного шара не так прост, как может показаться на первый взгляд, ведь само понятие «земной шар» весьма условно. У настоящего шара диаметр всегда будет одинаковым, в каком бы месте ни был проведен отрезок, соединяющий две точки на поверхности сферы и проходящий через центр.
Применительно к Земле не представляется возможным, поскольку ее шарообразность далеко не идеальна (в природе вообще не бывает идеальных геометрических фигур и тел, они представляют собой абстрактные геометрические понятия). Для точного обозначения Земли ученым даже пришлось ввести специальное понятие – «геоид».
Официальный диаметр Земли
Величина диаметра Земли определяется тем, в каком месте его будут измерять. Для удобства за официально признанный диаметр принимаются два показателя: диаметр Земли по экватору и расстояние между Северным и Южным полюсами. Первый показатель равен 12 756,274 км, а второй – 12 714, разница между ними составляет немногим менее 43 км.
Данные числа не производят особого впечатления, они уступают даже расстоянию между Москвой и Краснодаром – двумя городами, расположенными на территории одной страны. Тем не менее, вычислить их было непросто.
Вычисление диаметра Земли
Диаметр планеты высчитывается по такой же геометрической формуле, как и любой другой диаметр.
Чтобы найти периметр окружности, необходимо умножить ее диаметр на число πи. Следовательно, для нахождения диаметра Земли нужно измерить ее окружность в соответствующем сечении (по экватору или в плоскости полюсов) и разделить ее на число πи.
Первым человеком, попытавшимся измерить окружность Земли, был древнегреческий ученый Эратосфен Киренский. Он обратил внимание, что в Сиене (ныне – Асуан) в день летнего солнцестояния Солнце находится в зените, освещая дно глубокого колодца. В Александрии же в этот день оно отстояло от зенита на 1/50 окружности. Из этого ученый сделал вывод, что расстояние от Александрии до Сиена составляет 1/50 окружности Земли. Расстояние между этими городами равно 5 000 греческим стадиям (приблизительно 787,5 км), следовательно, окружность Земли равна 250 000 стадий (примерно 39 375 км).
В распоряжении современных ученых имеются более совершенные средства измерения, но их теоретическая основа соответствует идее Эратосфена. В двух точках, расположенных в нескольких сотнях километров друг от друга, фиксируют положение Солнца или определенных звезд на небосводе и вычисляют разницу между результатами двух измерений в градусах. Зная расстояние в километрах, несложно вычислить длину одного градуса, а затем умножить ее на 360.
Для уточнения размеров Земли используется и лазерная дальнометрия, и спутниковые системы наблюдения.
На сегодняшний день считается, что окружность Земли по экватору составляет 40 075,017 км, а по – 40 007,86. Эратосфен лишь немного ошибся.
Величина и окружности, и диаметра Земли увеличивается из-за метеоритного вещества, постоянно выпадающего на Землю, но процесс этот идет очень медленно.
Источники:
- Как измерили Землю в 2019
Множество предметов в окружающем мире имеют круглую форму. Это колеса, круглые оконные проемы, трубы, различная посуда и многое другое. Подсчитать, чему равна длина окружности, можно, зная ее диаметр или радиус.
Существует несколько определений этой геометрической фигуры.
- Это замкнутая кривая, состоящая из точек, которые располагаются на одинаковом расстоянии от заданной точки.
- Это кривая, состоящая из точек А и В, являющихся концами отрезка, и всех точек, из которых А и В видны под прямым углом. При этом отрезок АВ – диаметр.
- Для того же отрезка АВ эта кривая включает все точки С, такие, что отношение АС/ВС неизменно и не равняется 1.
- Это кривая, состоящая из точек, для которых справедливо следующее: если сложить квадраты расстояний от одной точки до двух данных других точек А и В, получится постоянное число, большее 1/2 соединяющего А и В отрезка. Это определение выводится из теоремы Пифагора.
Обратите внимание! Есть и другие определения. Круг – это область внутри окружности. Периметр круга и есть ее длина. По разным определениям круг может включать или не включать саму кривую, являющуюся его границей.
Определение окружности
Формулы
Как вычислить длину окружности через радиус? Это делается по простой формуле:
где L – искомая величина,
π – число пи, примерно равное 3,1413926.
Обычно для нахождения нужной величины достаточно использовать π до второго знака, то есть 3,14, это обеспечит нужную точность. На калькуляторах, в частности инженерных, может быть кнопка, которая автоматически вводит значение числа π.
Обозначения
Для нахождения через диаметр существует следующая формула:
Если L уже известно, можно легко узнать радиус или диаметр. Для этого L нужно поделить на 2π или на π соответственно.
Если уже дана круга, нужно понимать, как найти длину окружности по этим данным. Площадь круга равняется S = πR2. Отсюда находим радиус: R = √(S/π). Тогда
L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).
Вычислить площадь через L также несложно: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)
Резюмируя, можно сказать, что существует три основных формулы:
- через радиус – L = 2πR;
- через диаметр – L = πD;
- через площадь круга – L = 2√(Sπ).
Число пи
Без числа π решить рассматриваемую задачу не получится. Число π впервые и было найдено как отношение длины окружности к ее диаметру. Это сделали еще древние вавилоняне, египтяне и индийцы. Нашли они его довольно точно – их результаты отличались от известного сейчас значения π не больше, чем на 1%. Постоянную приближали такими дробями как 25/8, 256/81, 339/108.
Далее значение этой постоянной считали не только с позиции геометрии, но и с точки зрения математического анализа через суммы рядов. Обозначение этой константы греческой буквой π впервые использовал Уильям Джонс в 1706 году, а популярно оно стало после работ Эйлера.
Сейчас известно, что эта постоянная представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь, она иррациональна, то есть ее нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. С помощью вычислений на суперкомпьютерах в 2011 году узнали 10-триллионный знак константы.
Это интересно! Для запоминания нескольких первых знаков числа π были придуманы различные мнемонические правила. Некоторые позволяют хранить в памяти большое число цифр, например, одно французское стихотворение поможет запомнить пи до 126 знака.
Если вам необходима длина окружности, онлайн-калькулятор поможет в этом. Таких калькуляторов существует множество, в них нужно только ввести радиус или диаметр. У некоторых из них есть обе эти опции, другие вычисляют результат только через R. Некоторые калькуляторы могут рассчитать искомую величину с разной точностью, нужно указать число знаков после запятой. Также с помощью онлайн-калькуляторов можно посчитать площадь круга.
Такие калькуляторы легко найти любым поисковиком. Также существуют мобильные приложения, которые помогут решить задачу, как найти длину окружности.
Полезное видео: длина окружности
Практическое применение
Решать такую задачу чаще всего необходимо инженерам и архитекторам, но и в быту знание нужных формул тоже может пригодиться. Например, требуется обернуть бумажной полоской торт, испеченный в форме с поперечником 20 см. Тогда не составит труда найти длину этой полоски:
L = πD = 3,14 * 20 = 62,8 см.
Другой пример: нужно построить забор вокруг круглого бассейна на определенном расстоянии. Если радиус бассейна 10 м, а забор нужно поставить на расстоянии 3 м, то R для полученной окружности будет 13 м. Тогда ее длина равна:
L = 2πR = 2 * 3,14 * 13 = 81,68 м.
Полезное видео: круг — радиус, диаметр, длина окружности
Итог
Периметр круга легко рассчитать по простым формулам, включающим диаметр или радиус. Также можно найти искомую величину через площадь круга. Решить эту задачу помогут онлайн-калькуляторы или мобильные приложения, в которые нужно ввести единственное число – диаметр или радиус.