Литература: Б.Б. с.132-134
При изучении темы «Сложение и вычитание многозначных чисел» основными задачами учителя являются:
· обобщить и систематизировать знания учащихся о действиях сложения и вычитания,
· выработать осознанные и прочные навыки письменных вычислений.
Сложение и вычитание многозначных чисел изучаются одновременно. Это создаёт лучшие условия для овладения знаниями, умениями и навыками, так как вопросы теории этих действий взаимосвязаны, а приёмы вычислений сходны.
С арифметическими действиями сложения, вычитания, а также с некоторыми устными и письменными приемами их выполнения в концентре «Тысяча», учащиеся уже хорошо знакомы. Поэтому при изучении темы «Сложение и вычитание многозначных чисел» целесообразно активно опираться на знания детей, увеличив объём и усилив самостоятельное выполнение заданий.
Подготовительную работу к изучению темы начинают ещё при изучении нумерации многозначных чисел. С этой целью, прежде всего, повторяют устные приёмы сложения и вычитания и свойства действий, на которые они опираются, например: 8400+600, 9800-700, 2000-1700, 740 000+160 000 т.п. Повторяют также письменные приёмы сложения и вычитания трёхзначных чисел. Полезно в устные упражнения на сложение и вычитание разрядных чисел включить примеры с пояснением вида:
6 сот.+8 сот.=14 сот.=1 тыс. 4 сот.;
1 сот. тыс. 5 дес. тыс. – 7 дес. тыс.=15 дес. тыс. -7 дес. тыс.= 8 дес. тыс.
Также полезно повторить и обобщить ранее свойства сложения (переместительное и сочетательное) с иллюстрацией различных случаев их практического применения для рационализации вычислений. Интересно в этом отношении упражнение, в котором предлагается вычислить сумму нескольких слагаемых разными способами и сравнить эти способы вычислений: 11+2+8+9+10, 11+2+(8+9)+10, 11+(2+8)+9+10, (11+9)+(2+8)+10. Это задание направлено на отработку умений практически применять изученные свойства сложения, распространенные на два и более слагаемых. При выполнении этого упражнения учитель обращает внимание учащихся на то, что использование свойств сложения помогает заметно упростить вычисления, просит детей провести сравнение предложенных способов вычислений, выбрать самый рациональный и обосновать свой выбор. Чтобы выработать у учащихся навык практического использования этих свойств сложения, в дальнейшем в устный счёт целесообразно включить аналогичные примеры с тем, чтобы дети чаще тренировались в их использовании для упрощения вычислений с учётом конкретных особенностей примера. Если пример содержит более трёх слагаемых, его нужно записать на доске.
Такая подготовительная работа создаёт возможность учащимся самостоятельно объяснить письменные приёмы сложение и вычитание многозначных чисел.
При ознакомлении с письменным сложением и вычитанием многозначных чисел учащиеся решают такие примеры, где каждый последующий включает в себя предыдущий, например:
752 4752 54752 _837 _6837 _76837 _376837
+246 +3246+43246425242552425152425
После решения таких примеров учащиеся сами сделают вывод о том, что письменное сложение и вычитание многозначных чисел выполняется так же как и трёхзначных чисел.
Далее случаи сложения и вычитания вводятся с нарастающей трудностью: постепенно увеличивается число переходов через разрядную единицу; включаются случаи вычитания, когда в уменьшаемом содержаться нули; изучается сложение нескольких слагаемых, а также сложение и вычитание величин.
При изучении темы «Сложение и вычитание» проводиться повторение уже известных учащимся случаев сложения и вычитания с нулём: b+0=b, d – 0 = d, 0+с = с, b – b =0, которые включаются сразу же в примеры на письменные вычисления с многозначным числами.
При изучении названной темы перед учителем стоит задача распространить уже знакомые алгоритмы письменного сложения и вычитания на действия с числами больше тысячи, но в пределах миллиона. Эта задача не так сложна при изучении сложения. Уже на первом уроке можно рассмотреть сложение многозначных чисел, как без перехода, так и с переходом через разряд, предварительно повторив алгоритм письменного сложения чисел в пределах 1000, таблицу сложения и вычитания чисел в пределах 20.
Значительно усложняется задача рассмотрения письменных алгоритмов при переходе к вычитанию. Особое внимание следует обратить на новые для учащихся случаи вычитания, чтобы суметь предупредить часто возникающие ошибки. Как показывают наблюдения на уроках и анализ проверочных работ, общий алгоритм вычитания учащиеся усваивают неплохо, а вот его частные случаи, когда в записи уменьшаемого содержаться нули, усваиваются плохо и впоследствии допускают большое число ошибок. Причина таких ошибок в неумении заменять единицу высшего разряда единицами более низшего разряда. Именно на этом необходимо обратить внимание при переходе к рассмотрению этого случая вычитания.
Прежде чем приступить к разъяснению алгоритма вычитания, когда в записи уменьшаемого имеется несколько нулей подряд, целесообразно вспомнить особенности десятичной системы счисления, соотношение между разрядными единицами, предложив учащимся, например, заполнить пропуски в следующих предложениях:
в 1 миллионе 10 сот. тыс.
в 1 миллионе … сот. тыс. и 10 дес.тыс.
в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. и 10 тыс.
в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. и 10 сот.
в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. … сот. 10 дес.
в 1 миллионе … сот. тыс. … дес.тыс. … тыс. … сот. … дес. и 10 ед.
Очень полезны в качестве подготовительных и примеры такого вида:
400 _ 300 _6000 _5000
8237 36
при решении которых необходимо подробно рассмотреть процесс занимания и замены взятой единицы высшего разряда 10 единицами среднего низшего разряда.
Объяснение нового для учащихся случая можно провести так:
Начинаем вычитание с единиц, но из 0 нельзя вычесть 2. в разряде десятков числа 4700 стоит нуль. Значит, придётся взять («развязать» - можно показать на счётных палочках, которые завязаны в пучки по 10 и 10 таких пучков завязаны в сотню) 1 сотню. Учитель показывает одну сотню палочек: «Сколько это десятков? (10 десятков.) Берём 1 десяток. Сколько же десятков из взятой нами сотни останется в разделе десятков? (9 десятков.) Запомним. Мы взяли одну сотню из 7. Чтобы не забыть об этом, поставим точку над цифрой 7 точку. Взятую сотню мы заменили десятками. В 1 сотне 10 десятков. Из этих 10 десятков (9+1) мы взяли один десяток и перенесли в разряд единиц. 1 десяток содержит 10 единиц. Тогда в разряде десятков останется 9 десятков. (При первом объяснении над нулём в разряде десятков можно записать цифру 9, а в дальнейшем делать это лишь тогда, когда ученик обнаружит непонимание этого момента.) Теперь из десятка, который мы взяли (10 единиц), вычтем число 2 (10-2 = 8), запишем 8 единиц под единицами; из 9 десятков вычтем 3 десятка, получим 6 десятков, записываем в разряде десятков. Точка над цифрой 7 показывает, что 1 сотня была взята, следовательно, осталось 6 сотен. Запишем 6 в разряд сотен и 4 в разряде тысяч ».
Дальнейшее расширение знаний письменных вычислений связано с рассмотрением приёмов письменного сложения трёх и большего числа слагаемых. Перед введением этих приёмов полезно вспомнить, что при сложении нескольких чисел их можно переставлять и объединять в группы любым способом.
Учитель объясняет, что при письменном сложении нескольких слагаемых, подписывают каждое слагаемое одно под другим: единицы под единицами, десятке под десятками и т.д. и складывают числа поразрядно. Как можно использовать этот способ при письменном сложении нескольких слагаемых, например: 3408+237.569+18.440 ? Пример записывается на доске. Учащиеся могут предложить сначала вычислить сумму двух первых слагаемых:
и затем к полученной сумме прибавить третье слагаемое:
+ 18440
На вопрос учителя: «Как находили сумму двух слагаемых?» - дети объясняют: «Мы подписали их одно под другим так, чтобы единицы одного числа стояли под единицами другого, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д., и складывали сначала единицы, потом десятки, потом сотни и т.д. по разрядам». Здесь следует задать вопрос, почему этот способ можно использовать при сложении трёх и более слагаемых. Далее учитель спрашивает: «Какое из трёх слагаемых удобно записать первым? Вторым? Третьим?» На доске появляется запись:
Учитель обращает внимание детей на то, что при такой записи знак «+» пишется только один раз. Вызванный к доске ученик с подробным объяснением выполняет сложение. Полученный ответ полезно сравнить с результатом вычислений при решении примера первым способом и сделать вывод.
Чтобы убедиться, овладели учащиеся умениями письменно овладевать несколько слагаемых, можно предложить им самостоятельно сложить четыре слагаемых.
В процессе изучения темы повторяются и обобщаются знание детей о взаимности между компонентами и результатом каждого из действий: сложения и вычитания. Желательно, чтобы дети сами вспомнили, что если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получиться другое слагаемое, и т.п.
Для закрепления, как и в других случаях, для выработки навыков вычислений необходимо включать разнообразные упражнения. Следует, как можно чаще предлагать задания: решить и выполнить проверку решения примеров одним из способов или реже двумя способами. Это помогает не только закрепить знания связей между результатами и компонентами действий, но и способствует выработке вычислительных навыков и воспитывает привычку контролировать себя.
Домашнее задание:
Составить тематическую проверочную работу по теме «Сложение и вычитание многозначных чисел», подобрать (составить) задания на все приемы.
Похожая информация.
Урок построен в технологии деятельностного подхода, обучающей способам творческой деятельности, направленной на самостоятельное приобретение и усвоение новых знаний. На уроке используются различные формы работы: фронтальная, индивидуально-самостоятельная, групповая, поисково-исследовательская, в которых у детей формируются умения самостоятельно добывать знания, делать выводы и умозаключения. Урок послужит развитию познавательной деятельности обучающихся по данной теме и станет опорой дальнейшего изучения этой темы в пятом классе.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Класс: 4 класс.
Учебный предмет: Математика.
Тема урока : Письменный алгоритм сложения многозначных чисел
Цели урока: формирование умений применять алгоритм письменного сложения чисел, складывать числа в пределах 1000 с переносом на область многозначных чисел до миллиарда; развитие умения выполнять проверку сложения перестановкой слагаемых.
Задачи урока:
- обеспечить усвоение алгоритма письменного сложения многозначных чисел; сформировать умения складывать многозначные числа до миллиарда;
- развивать умение складывать многозначные числа и осуществлять проверку путем перестановки слагаемых; развивать познавательные интересы учащихся;
- содействовать в ходе урока формированию мотивации; применение новых знаний в жизненных ситуациях.
Тип урока: открытие новых знаний.
Оборудование урока: учебник «Математика 4 класс» В.Н. Рудницкая, Т.В. Юдачева по программе «Начальная школа ХХI века»; классная доска, карточки для работы в парах и в группе, презентация «Многозначные числа»
Планируемые результаты
Предметные: научатся решать примеры с многозначными числами; анализировать действия при решении выражений нового вида; работать в группах; сотрудничать при выполнении и проверке заданий; слушать собеседника и вести диалог; оценивать себя и корректировать свои действия.
Метапредметные: Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение (Регулятивные УУД).
Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им (Коммуникативные УУД).
Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке (Познавательные УУД).
Личностные : проявляют учебно-познавательный интерес; владеют элементарными приёмами самооценки результатов деятельности по предложенным критериям и заданному алгоритму работы; умеют использовать полученные знания в повседневной жизни.
Этапы урока | Деятельность учителя | Формируемые УУД |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Организация начала занятия | Психологическая подготовка учащихся к общению. Прозвенел звонок, – Ребята, каким вы хотите видеть сегодняшний урок? | Личностные: выражают положительное отношение к процессу познания, проявляют интерес к изучаемому предмету. Коммуникативные: Регулятивные: уметь проговаривать последовательность действий на уроке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Актуализация субъектного опыта учащихся | Выяснение степени усвоения учащимися пройденного учебного материала. Устранение в ходе проверки обнаруженных пробелов в знаниях и способах деятельности. Математический диктант (Слайд 2) а) В каком числе 7 миллионов 32 тысяч 4 десятка и 7 единиц? б) Какое число меньше, чем 1000, на 1? в) Найди сумму чисел 800 и 200. г) Найди разность чисел 940 и 900. д) Найди число, в котором 3 сотни, 5 десятков, а единиц на 2 меньше, чем десятков. е) Какое число увеличили на 10, если получили 110? Математический диктант , ответы которого вы будете записывать в тетрадь. Первый множитель – 420, второй множитель – 100. Чему равно произведение? (42000) -й Какое число меньше 7200 на 100?(7100)- м Увеличьте 920 на 80. (1000) - у Найдите разность чисел 456 и 200. (256) -д Запишите наибольшее четырёхзначное число. (9999) – а Запишите числа в порядке возрастания, каждому числу соответствует определённая буква. (Слайд 3)
Работа в парах. Взаимопроверка. Обменяйтесь тетрадями и сверьте ответы с доской. Правильные ответы, отметив знаком «+», а неправильные – «-». Ребята, поднимите руки, кто решил все задания правильно. У кого одна ошибка? (две, три) У кого больше ошибок? Ребята, вам нужно больше тренироваться устно решать примеры! | Коммуникативные: ответы учащихся на вопросы учителя. Познавательные: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Постановка проблемы | Сейчас мы повторим устные приёмы сложения трёхзначных чисел: 370 + 30 510 + 160 380 + 9 210 + 90 340 + 100 576 + 3 Ребята, а сейчас мы решим примеры, записывая их в столбик, тем самым вспомним письменные приёмы сложения трёхзначных чисел. (Слайд 4) Проверка решения, проговаривание алгоритма сложения. Мы сейчас с вами складывали трехзначные числа. Ребята, на доске записаны примеры с многозначными числами: 153 375 + 38 004 62 347 + 106 532 513 026 + 6 932 А как же здесь быть? Как нам сложить два многозначных числа? (Точно также как и трехзначные числа, столбиком, поразрядно). Как будем записывать числа? (Класс под классом, разряды под разрядом). С какого класса начинаем складывать? (С класса единиц) С какого разряда? (С разряда единиц). | Познавательные: постановка и формулирование проблемы. Регулятивные: учитывать правило при выполнении учебного задания; выбирают порядок действий при вычислениях, формулируют правила порядка выполнения действий при нахождении значений выражений |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение темы и целей урока | Определяем тему и цель урока Кто догадался, какая тема урока? (Дети называют.) Тема: Письменный алгоритм сложения многозначных чисел. Сегодня мы будем складывать многозначные числа. Цель: научиться решать примеры с многозначными числами; анализировать действия при решении выражений нового вида, применять полученные знания при решении задач. Доброжелательно и уважительно относиться друг к другу. - Молодцы, ребята! Вы правильно догадались. А еще сегодня будем учиться использоваться таблицу умножения при решении задач на краткое сравнение. Наметим шаги деятельности на уроке (таблица) Девиз нашего урока: Что одному не под силу – легко коллективу. (Слайд 5) | Регулятивные: уметь определять и формировать цель, тему на уроке с помощью учителя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Физминутка | Приложение 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Закрепление нового материала | С какого разряда мы начинаем выполнять действие? (сложение чисел 5221 + 1532 ) 1 ряд 2 ряд 3 ряд 45 029 + 1 231 10 765 + 3 214 609 946 -1946 Сейчас проверим, как вы научились пользоваться алгоритмом сложения многозначных чисел. Перед вами карточки с примерами на сложение многозначных чисел. Решите их, выполнив проверку. Посоветуйтесь друг с другом и ответьте на вопрос: «Почему сложение многозначных чисел столбиком нужно начинать с единиц?» Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте, проверьте. Работа в парах Найдите сумму чисел. Приложение 2 60 303 и 9 286 673 и 12 269 Ребята, давайте сделаем вывод, так как нам сложить два многозначных числа? Как будем записывать числа? (Точно также как и трехзначные числа, столбиком, поразрядно. Класс под классом, разряды под разрядом) | Регулятивные: выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению Коммуникативные: умение слушать и понимать речь других |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Закрепление новых знаний и способов деятельности | Может ли встретиться задача с многозначными числами? Давайте решим такую задачу. Работа с учебником. стр.33, №10. Прочитайте задачу. Что известно? Прочитайте условие задачи. Что требуется найти? Прочитайте вопрос задачи. Составим краткую запись и решение задачи. | Познавательные: уметь проводить сравнение по заданным критериям |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Физминутка | Приложение 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Закрепление новых знаний Работа в группах | Приложение 4 Карточка для работы в группах (Проверка на слайде6) | Коммуникативные: коллективный разбор задания, обсуждение, защита |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Работа по учебнику № 5 – 7, стр. 32 Самостоятельная работа № 8, 9, стр. 32 Задача 11, 12, 13стр. 33 | Коммуникативные: коллективный разбор задания Сотрудничество учителя и ученика |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Повторение изученного | №16, стр. 33 Устное решение №15, стр.33, № 17, стр. 34 Самостоятельная работа 1.Задача В товарном вагоне 30 т зерна. До обеда выгрузили две третьих зерна. Сколько тонн зерна осталось в вагоне? 2.Пример 9 651 – 18 27 – 2 678 Коллективная проверка, оценивание своих работ Работа в малых группах (Слайд 7) Задание № 4. Нарисуйте в тетради четырехугольник, площадь которого равна 24 клеткам. Закрасьте пять шестых площади прямоугольника. | Регулятивные: вносить необходимые коррективы в действие Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Информация о домашнем задании. | №6, стр. 32 | Запись в дневники. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Оценивание | Учитель сообщает отметки с комментированием. Чьи отметки совпали с планируемой вами? Чьи не совпали? Как вы думаете, почему? | Регулятивные: оценивают собственную деятельность на уроке. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подведение итогов учебного занятия, рефлексия. | Подведём итог урока. Чем занимались на уроке? Достигли ли мы поставленной цели? Где в дальнейшем пригодятся знания, полученные сегодня? Продолжите фразу: Сегодня я узнал…. Было интересно… Было трудно… Для меня важно уметь складывать любые многозначные числа, потому что… | Регулятивные: осуществляют самооценку собственной учебной деятельности, соотносят цель и результаты. Смыслообразование (Личностные УУД) |
Список использованных материалов:
- В.Н Рудницкая, Т.В Юдачёва. Поурочное планирование. Технологические карты уроков. Математика. 4 класс. 1 полугодие. «Начальная школа 21 века»,2015.
- В.Н.Рудницкая, Т.В.Юдачёва. Математика. 4 класс. 1 часть. Учебник для общеобразовательных организаций. «Вентана – Граф», 2015.
Приложение 1
Гимнастика для глаз: Ребята, закройте глаза, я считаю до десяти, теперь откройте; посмотрите только глазами направо, налево, вниз, теперь нарисуйте глазами восьмерку.
Приложение 2
Карточка для работы в парах
Найдите сумму чисел.
60 303 и 9 286 673 и 12 269
12 000 и 6 375 1 480 и 260 387
306 250 и 13 748 453 207 и 205 564
Приложение 3
Физминутка
Вновь у нас физкультминутка, Наклонились, ну-ка, ну-ка! Распрямились, потянулись, А теперь назад прогнулись. Разминаем руки, плечи, Чтоб сидеть нам было легче, Чтоб писать, читать, считать И совсем не уставать. Голова устала тоже. Так давайте ей поможем! Вправо-влево, раз и два. Думай, думай, голова. Хоть зарядка коротка, Отдохнули мы слегка.
Сорокин А. С.
С65 Техника счета (Методы рациональных вы*
числений). М., «Знание», 1976.
120 с. (Нар. ун-т. Естественнонаучный фак.)
В книге в научно-популярной форме представлен один из
интересных разделов вычислительной математики.
Книга раcчитана на студентов технических вузов, инже-
неров и экономистов. Она может быть полезна учителям сред-
ней школы при организации лекций по устному счету, а также
слушателям народных университетов естественнонаучных зна-
ний и всем, кому приходится иметь дело с вычислительными
операциями.
г 20200-126 ,„
073(02Р76 Б3 ~ 16 -3-76 б1
(С) Издательство «Знание», 1976 г.
ВВЕДЕНИЕ
Современный уровень развития социалистического
народного хозяйства характеризуется повсеместным внед-
рением электронно-вычислительной техники и экономи-
ко-математических методов во все отрасли советской
экономики. Все чаще и чаще математические расчеты
входят в качестве необходимой составляющей в работу
Рабочего, инженера, экономиста, в работу специалистов,
Ранее никогда не сталкивавшихся с необходимостью вы-
полнять вычислительные работы. Но несмотря на то, что
математическая культура современного производствен-
ника стала несоизмеримо выше по сравнению с уровнем
рабочего первых пятилеток, на арифметические расче-
ты, когда их приходится выполнять, тратится неоправ-
данно много времени. «Неумение считать быстро и про-
сто является настолько общим и современным недостат-
ком, что мы его не замечаем, несмотря на весь
приносимый им вред»,- писал И. Ф. Слудский в 1925
году. К сожалению, эта цитата не устарела и сегодня,
правда, с учетом того, что сейчас под умением быстро и
просто считать понимается несколько иное, чем имелось
в виду в то время. Отсутствие навыков в быстрых при-
ближенных вычислениях часто заставляет отказываться
от оценочных расчетов, от рассмотрения ряда вариантов,
столь необходимых для принятия грамотного решения.
Преклонение перед математикой как самой точной на-
укой нередко переходит в веру непогрешимости и опти-
|мальности тех методов счета, которые мы познаем в
средней школе. Любое вмешательство в рутинные, но
|хорошо освоенные нами методы счета чаще всего вызы-
|ает протест (иногда неосознанный), который прежде
проявляется в отношении к новым методам,
Овладение рациональной, быстрой и изящной техни-
кой счета требует от человека определенных усилий, а|
главное-творческого отношения к вычислительному про-
цессу, ибо наиболее эффективные методы, дающие наи-
больший выигрыш в вычислительной работе, основаны
на сознательном использовании основных особенностей
чисел, применяемых в вычислениях. Знание же этихваж-
ных свойств конкретных чисел дает порой исключитель-
ные результаты. Например, даже при наличии арифмо-
метра выполнить умножение чисел 0,9999997-0,9999998-
дело нелегкое (подобные и еще более сложные вычис-
ления приходится производить при расчете надежности
элементов и систем). Но вычисление выполняется устно
проще и быстрее, чем на любой математической машине
Ознакомившись с методом дополнений, вы сможете убе
диться в правильности этого утверждения.
В настоящее время на русском языке отсутствует ли-
тература, хотя бы относительно полно освещающая при-
емы и методы, упрощающие вычисления. Одна из наибо-
лее известных в этой области книга математика Г. Н]
Бермана «Приемы счета» содержит очень небольшое
количество известных приемов и не может удовлетво-
рить требованиям сегодняшнего дня. Но и она стала биб-
лиографической редкостью. Интересная работа Э. Кот-
лера и Р. Мак-Шейна «Система быстрого счета по Трах
тенбергу», вышедшая в переводе с английского языка в
1967 году, включает в основном специфические разработ-
ки немецкого профессора.
Настоящая работа призвана по возможности воспол-
нить этот пробел, помочь всем, кому приходится иметь
дело с вычислениями, предоставить в их распоряжение
наиболее рациональные приемы вычислений, существен-
но сокращающие вычислительный процесс, упрощающие
его и способствующие повышению достоверности поли
чаемых результатов.
В работе представлены материалы по рационализа-
ции выполнения основных арифметических действии
проверке правильности полученных результатов. Наибо-|
лее перспективные и общие методы автор пытался осве-
тить полнее, показать различные аспекты их применения,
чтобы читатель мог активно их освоить, а иногда и раз-
вить дальше. Стремление показать все возможности ме
тода заставляли автора иногда нарушать порядок поме-
щения материала по главам. В частности, чтобы
показать логику развития и использования метода, ма-
териал по возведению в квадрат чисел определенного ви-
да оказался в главе об умножении.
При просмотре материала может возникнуть вопрос:
неужели все написанное здесь можно запомнить? Неуже-
ли все это надо запомнить? Принципы применения ос-
новных методов, безусловно, нужно освоить. Многое бу-
дет непосредственно следовать из этих основных положе-
ний (как, например, метод дополнений). Некоторые
способы, несмотря на относительно узкий круг примене-
ния, настолько просты, что запоминаются непроизволь-
но. В детстве еще мне сообщили способ возведения в
квадрат чисел, оканчивающихся на 5, - число десятков
надо умножить на следующее число и приписать 25:
65-65=? 6-(6+1) =42 65-65 = 4225.
Этого оказалось достаточным, чтобы такой простой ме-
тод навсегда остался в памяти, и вошел в активный ар-
сенал моих вычислительных способов. Но, безусловно,
книга может чему-то научить только заинтересованного
человека, читающего ее с карандашом и бумагой в ру-
ках.
Подавляющее большинство предлагаемых способов
предельно просто, но подробное формальное описание
занимает много места. Поэтому, сталкиваясь с длинными,
многошаговыми методами вычислений, не пугайтесь, раз-
беритесь. В итоге скорее всего все окажется очень про-
сто. Большая часть приемов рассчитана на устное вы-
числение с записью окончательного результата, некото-
рые методы упрощают письменные вычисления.
Иногда выполнение арифметических действий с
одними и теми же числами описывается с применением
разных методов. Читателю предоставляется возможность
выбрать тот из них, который конкретно для него будет
наиболее прост.
В начале второй главы автор дает рекомендации по
записи и расположению чисел в вычисляемых примерах,
но в дальнейшем сам этими рекомендациями не пользу-
йся. Это не случайно. Непривычное расположение чи-
сел, непривычная запись могут мешать восприятию
нового излагаемого материала и с этим необходимо счи-
таться.
Автор будет благодарен всем читателям за высказан-
ные замечания о работе, которые можно послать или в
адрес редакции или непосредственно автору: Москва,
129243, Ракетный бульвар, д. 15, кв. 46,
Глава 1
МЕТОДЫ, УПРОЩАЮЩИЕ
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
С
ложение и вычитание относятся к простей-
шим арифметическим действиям. Предпола-
гается, что читатель выполняет эти действия без затруд-
нения. Поэтому материал данной главы надо рассматри-
вать как попытку систематизировать наши знания по
технике выполнения сложения и вычитания, акцентиро-
вать внимание на тех деталях вычислительного процес-
са, которые позволяют выполнять его несколько быстрее
и с меньшими усилиями, ибо трудно назвать общие ме-
тоды, дающие существенный выигрыш в объеме вычис-
лений при выполнении сложения и вычитания.
УСТНОЕ СЛОЖЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Если возникает необходимость найти сумму ряда
многозначных чисел устно, не производя никаких запи-
сей, то можно рекомендовать следующий порядок вы-
числений, проиллюстрированный на примере сложения
чисел:
5754
2315
+ 6438
Суммируем старший разряд слагаемых
Сложив все цифры старшего разряда, приписываем
к сумме О
и продолжаем прибавлять цифры следующего разряда
220+7+3+4+3=237,
опять приписываем 0 и прибавляем цифры третьего разря-
да 237-2370; 2370+5+1+3+1=2380,
приписываем последний раз 0 и завершаем вычисление
суммы
2380-23 800; 23 800+4+5+8+3 = 23 820.
В конце вычислений приходится помнить относитель-
но большое число, но зато прибавляем к нему каждый
раз только число однозначное. Это существенно облегча-
ет устное вычисление.
Найдите самостоятельно суммы:
1) 2374 2) 2437 3) 1234 4) 659
3943 7538 124 3541
+ + + 35+
6513 1467 2343 2413
7231 9325 594 79
Ответы: 1) 20061, 2) 20 767, 3) 4330, 4) 6692.
Упражнения (при знакомстве):
63+35; 263+435; 1263+5435; 71263+25435 Вывод: многозначные числа складываются так же, так и 2-значные и 3-значные.
Ошибки и их предупреждение:
Неправильная запись слагаемых столбиком (не разряд под разрядом). Причина: не усвоен алгоритм
Пути исправления: проговаривание алгоритма, требование аккуратности письма (каждая цифра в своей клетке), решение с проверкой.
5329+2427=7746 (забыл прибавить десяток)
Пути исправления: подробное проговаривание алгоритма, подписывание карандашом, проверка вычитанием.
7538+1227=8766 (незнание таблицы сложения)
Пути исправления: вернуться к табличному сложению, проверка вычитанием.
Приём упрощения решения от преобразования компонента:
4599+4318=(4600+4318)-1=8817
502+475=(500+475)+2=977
256+346+444+254=(256+444)+(346+254)=1300
Вычитание.
Сложные случаи вычитания: 6000-248
1 способ решения: занимаем 1 тысячу. 1000=9сотен+9десятков+10единиц
Подготовка: упражнения на замену разрядного числа на сумму нижестоящих разрядов:
999+1, 990+10, 9990+10, 9900+100
Сначала на счётах, потом без счёт.
100=дес.=дес.ед.
1000=сот.=сот.дес.=сот.дес.ед.
6000-248. Беру 1 тысячу. 1000=10сотен. Беру 1 сотню. 100=10десятков.
Проверка сложением.
Ошибки и их предупреждение:
1). Неправильная запись чисел (разряд под разрядом) – проговаривание алгоритма, каждая цифра в своей клетке!
2). Неправильная замена высшего разряда низшим (задания вида 100=*дес. и т.д.)
3). Забыли, что ранее заняли какой-то разряд (точки)
4). Неверное вычитание в пределах 20 (таблица вычитания)
Упражнения:
В ответе цифры, каждая цифра обозначает букву – собрать слово
Примеры с окошечками и звёздочками
Найди ошибку
Даны 3 или более числа, что их связывает?
Работа в группах. Задачи.
Сравнить ответы
Круговые примеры
Ответы в порядке увеличения и др.
84. Методика формирования письменных приёмов умножения многозначных чисел в нкм.
После сложения и вычитания многозначных чисел. Порядок изучения темы:
Умножение многозначных чисел на 1-значное число
Умножение многозначных чисел на 2-3-значное разрядное число
Умножение многозначных чисел на 2-3-значное неразрядное число.
Умножение многозначных чисел на 1-значное число
Подготовка: названия компонентов умножения, повторить конкретный смысл умножения, таблицу умножения, частные случаи умножения, свойство умножения суммы на число
Ознакомление с приёмом:
275*3 1 способ : в строчку, 275*3=(200+70+5)*3=(200*3)+(70*3)+(5*3)=600+210+15=825
2 способ : в столбик (короче)
Сначала выполняют умножение 2-3-значных чисел на 1-значное, затем 4-значное на 1-значное (по аналогии). Затем числа с 0.
Упражнения: *Найди и исправь ошибки; усложнение: нули в конце 1-го множителя
Умножение многозначных чисел на 2-3-значное разрядное число
Подготовка: умножение разрядного числа на произведение, 300=*100, операции разложения числа на разряды, умножение 2-3-значных чисел на 1-значное число, умножение на круглые числа.
Ознакомление: 521*30
Усложнение: в середине 1 множителя появляется нуль: 5021*30 → нули в конце 1 множителя: 730*40
Сначала умножаем числа, не обращая внимания на нуль, потом в произведении приписываем столько нулей, сколько в конце 1 и 2 множителей.
Закрепление: *Найди ошибки; *Выбери удобную запись
Умножение многозначных чисел на 2-3-значное неразрядное число.
Подготовка: 43*21=43*(20+1)=(43*20)+(43*1)=860+43=903; состав чисел; умножение числа на сумму; умножение многозначного числа на разрядное число, на 1-значное, сложение многозначных чисел.
Введение приёма: 381*72 сначала в строчку – сложно. Затем столбиком.
Памятка: умножаю 1-й множитель на единицы, получаю 1-ое неполное произведение; умножаю 1-й множитель на десятки, получаю 2-ое неполное произведение; складываю 1-ое и 2-ое неполные произведения, читаю ответ.
Закрепление: * Вычисли 232*75. Используя полученную запись, назови… ; *Задание с окошечками; *Исправь ошибки.
| " |
После того как усвоено письменное сложение трехзначных чисел, сложение многозначных чисел не представляет для детей большой трудности. Однако необходимо проделать значительное количество упражнений, чтобы добиться безошибочного выполнения их.
Организуя упражнения, нужно предусмотреть различные варианты примеров на сложение: примеры без перехода и с переходом через разряд, примеры с одинаковым и разным количеством цифр в слагаемых, примеры, в которых первое слагаемое больше второго и наоборот, примеры без нулей и с нулями в слагаемых. Разнообразие примеров нужно не только для предупреждения ошибок, но и для формирования понятия сложения: применяя в разнообразных случаях сложения один и тот же способ решения, ученик начинает глубже понимать основной принцип сложения — его поразрядность.
Среди различных вариантов примеров большое место должно занимать сложение нескольких слагаемых. Подписывая слагаемые одно под другим, ученик вынужден анализировать структуру чисел, определять разрядное значение каждой цифры, приводить в соответствие одноименные разряды. Все это обогащает навык сложения. При суммировании разрядных чисел получаются суммы, выходящие за пределы таблицы сложения. Благодаря этому при сложении нескольких слагаемых закрепляются навыки устного сложения.
Приступая к объяснению сложения многозначных чисел, нужно прежде всего распространить имеющийся у детей навык сложения трехзначных чисел на любые числа, показав учащимся, что если 8 единиц да 5 единиц составляют 13 единиц, то 8 тысяч да 5 тысяч составляют 13 тысяч, 8 миллионов да 5 миллионов составляют 13 миллионов и т.д.
Письменное сложение, как известно, выполняется по определенному правилу, которое должно быть сообщено детям для того, чтобы они строго соблюдали его. Когда дается объяснение и проводятся первые упражнения, учитель, а вслед за ним и ученики называют разряды чисел и подробно поясняют каждую операцию, а в дальнейшем, когда переходят к упражнениям, направленным на автоматизацию навыка, от учеников требуют только краткие пояснения.
Чтобы сделать упражнения разнообразными и тем самым повысить у детей интерес к ним, полезно разнообразить не только материал, но и задания, предлагая ученикам «Сложить числа», «Выполнить действие», «Сравнить суммы», «Проверить равенство» и др. Например:
- Сравнить следующие суммы: 5489 + 13873 и 4378 + 10874.
- Проверить равенство: 6758 + 9870 = 10680 + 5498.
- Проверить, верно ли следующее неравенство: 28756 + 295064 > 36094 + 258506.
Выполнение таких заданий полезно для математического развития детей . При формировании навыков письменного сложения многозначных чисел применяют переместительный и сочетательный законы сложения. Переместительный закон сложения уже известен детям; теперь ученики должны усвоить его точную формулировку, используя для проверки сложения, для "рациональной записи сложения нескольких слагаемых (столбиком), для облегчения и ускорения устных вычислений.
Сочетательный закон сложения полезно рассмотреть в плане его практического применения. Учащимся дается для сложения несколько слагаемых и предлагается отыскать наиболее рациональный способ решения. В своих поисках ученики приходят к выводу о возможности группировки слагаемых, заменяя сложение нескольких слагаемых их суммой.
Даются задания: сравнить следующие суммы: 120 + 50 + 30 и 120 + 80; 380 + 50 + 70 и 380. + (50 + 70).
Почему между этими суммами можно поставить знак равенства?
Однако, используя эти законы главным образом для практических целей, не следует упускать возможности использования их для обобщений и для математического развития учащихся. В этих целях полезны упражнения, раскрывающие глубину и большую общность их применения.
Этому способствует работа над такими примерно вопросами:
- Почему 9 + 6 = 6 + 9?
- Какое свойство сложения выражают следующие равенства:
а) 64 + 28 = 28 + 64
б) а + Ь = Ь + а - Какие числа надо подставить вместо X, чтобы были верны следующие равенства:
а) X + 72 = 72 + 32
б) 26 + X = X + 26 - Чему равна сумма 2489 + априа = 13076?
- Покажите сначала на числах, а потом и на буквах переместительное свойство сложения.
Аналогичные вопросы решаются и по отношению к сочетательному закону сложения :
- Почему 16 + 12 + 8 = 16 + (12 + 8)?
- Что означает запись: 94 + 6 + 12 + 88 = (94 + 6) + (12 + 88)?
- Как удобнее и легче вычислить сумму: 75 + 84 + 16?
- Напишите пример, из которого видно, что при сложении полезно группировать слагаемые.
Такой разносторонний подход к данным законам обеспечит достаточно глубокое понимание их общности и условий их практического применения.