الأكاديمية الصغيرة لعلوم أطفال المدارس في شبه جزيرة القرم

"الباحث"

قسم "الرياضيات"

إنشاءات هندسية باستخدام مسطرة ذات وجهين

لقد أنجزت العمل أ

_____________

طالب الصف

المدير العلمي

مقدمة …………………………………………………………………………………………………………………….3

I. الإنشاءات الهندسية على المستوى .......................... 4

I.1. البديهيات العامة للهندسة البناءة. بديهيات الأدوات الرياضية ……………………………………………………………………………………………………………………………….4

I.2. ……………………….....5

I.3. الانشاءات الهندسية ذات المسطرة الواحدة ............................ 7

أنا.4. المهام الأساسية للبناء باستخدام مسطرة ذات وجهين.................8

I.5. حل مشاكل البناء المختلفة ………………………… 12

I.6. الإنشاءات ذات المسطرة الواحدة ........................................ 20

I.7. إمكانية تبديل المسطرة ذات الوجهين مع البوصلة والمسطرة....21

الخلاصة …………………………………………………….24

قائمة المراجع ………………………………….25

مقدمة

المشاكل التي تنطوي على البناء بوسائل محدودة تشمل المشاكل التي تنطوي على البناء باستخدام البوصلات والمسطرة فقط، والتي يتم أخذها في الاعتبار في المناهج الدراسية. هل يمكن حل مشاكل البناء بمسطرة واحدة فقط؟ في كثير من الأحيان لا يكون لديك بوصلة في متناول اليد، ولكن يمكنك دائمًا العثور على مسطرة.

تعد المشكلات المتعلقة بالإنشاءات في الهندسة قسمًا رائعًا. ويعود الاهتمام به إلى جمال وبساطة محتواه الهندسي. تزداد أهمية النظر في هذه المشكلات نظرًا لاستخدامها في الممارسة العملية. إن القدرة على استخدام مسطرة واحدة لحل المشكلات التي تم تناولها في هذا العمل لها أهمية كبيرة في الأنشطة العملية، لأن نحن نواجه دائمًا مشاكل في تقسيم جزء ما إلى النصف، أو مضاعفة جزء معين، وما إلى ذلك.

تتناول هذه الورقة مشاكل البناء الرئيسية التي تكون بمثابة أساس لحل المشاكل الأكثر تعقيدا.

كما تظهر التجربة، فإن مهام البناء تثير الاهتمام وتساهم في تنشيط النشاط العقلي. عند حلها، يتم استخدام المعرفة حول خصائص الأشكال بنشاط، ويتم تطوير القدرة على التفكير، وتحسين مهارات الإنشاءات الهندسية. ونتيجة لذلك تتطور القدرات البناءة، وهو أحد أهداف دراسة الهندسة.

الفرضية: جميع مسائل البناء التي يمكن حلها باستخدام البوصلة والمسطرة لا يمكن حلها إلا باستخدام مسطرة ذات وجهين.

موضوع الدراسة: مهام البناء ومسطرة ذات وجهين.

أهداف البحث: إثبات أن جميع مشاكل البناء لا يمكن حلها إلا بمساعدة مسطرة ذات وجهين.

أهداف البحث: دراسة الأسس النظرية لحل مشاكل البناء. حل مشاكل البناء الأساسية باستخدام مسطرة ذات وجهين؛ إعطاء أمثلة على مهام البناء الأكثر تعقيدا؛ تنظيم المواد النظرية والعملية.

I. الإنشاءات الهندسية على المستوى

I.1. البديهيات العامة للهندسة البناءة. بديهيات الأدوات الرياضية

بالنسبة للهندسة البناءة، من الضروري أن يكون لديك وصف دقيق وكامل لأداة معينة، للأغراض الرياضية. ويرد هذا الوصف في شكل البديهيات. تعبر هذه البديهيات في شكل رياضي مجرد عن خصائص أدوات الرسم الحقيقية المستخدمة في الإنشاءات الهندسية.

أدوات البناء الهندسية الأكثر استخدامًا هي:حاكم (أحادي الجانب) , بوصلة، ذو وجهين المسطرة (مع حواف متوازية) وبعض الآخرين.

أ. بديهية المسطرة.

تتيح لك المسطرة إجراء الإنشاءات الهندسية التالية:
أ) إنشاء قطعة تربط بين نقطتين مبنيتين؛

ب) إنشاء خط مستقيم يمر عبر نقطتين مبنيتين؛

ج) إنشاء شعاع يخرج من نقطة مبنية ويمر بنقطة مبنية أخرى.

ب. بديهية البوصلة.

تتيح لك البوصلة تنفيذ الإنشاءات الهندسية التالية:
أ) إنشاء دائرة إذا تم إنشاء مركز الدائرة وقطعة مساوية لنصف قطر الدائرة (أو طرفيها)؛

ب. بديهية المسطرة ذات الوجهين.

تسمح لك المسطرة ذات الوجهين بما يلي:

أ) تنفيذ أي من الإنشاءات المدرجة في البديهية أ؛

ب) في كل من أنصاف المستويات المحددة بالخط المشيد، قم بإنشاء خط موازي لهذا الخط ويمر منه على مسافةأ، أين أ - قطعة ثابتة لمسطرة معينة (عرض المسطرة)؛

ج) إذا تم إنشاء النقطتين A وB، فحدد ما إذا كانت AB أكبر من مقطع ثابت معينأ (عرض المسطرة)، وإذا كان AB>أ ثم قم ببناء زوجين من الخطوط المتوازية التي تمر بالنقطتين A و B على التوالي ومتباعدتين عن بعضهما البعضأ .

بالإضافة إلى الأدوات المدرجة، يمكنك استخدام أدوات أخرى للإنشاءات الهندسية: زاوية تعسفية، مربع، مسطرة ذات علامات، زوج من الزوايا القائمة، أجهزة مختلفة لرسم منحنيات خاصة، إلخ.

I.2. المبادئ العامة لحل مشاكل البناء

مهمة البناء يتكون من حقيقة أنه مطلوب إنشاء شكل معين باستخدام الأدوات المحددة إذا تم إعطاء شكل آخر وتم الإشارة إلى علاقات معينة بين عناصر الشكل المطلوب وعناصر هذا الشكل.

يسمى كل رقم يحقق شروط المشكلةقرارهذه المهمة.

إيجاد حل تعني مهمة البناء تقليلها إلى عدد محدود من الإنشاءات الأساسية، أي الإشارة إلى تسلسل محدود من الإنشاءات الأساسية، وبعد ذلك سيتم بالفعل اعتبار الشكل المطلوب مبنيًا بموجب البديهيات المقبولة للهندسة البناءة. تعتمد قائمة الإنشاءات الأساسية المقبولة، وبالتالي التقدم المحرز في حل المشكلة، بشكل كبير على الأدوات المحددة المستخدمة في الإنشاءات.

حل مشكلة البناء - وسائل، تجد كل حلولها .

التعريف الأخير يتطلب بعض التوضيح. يمكن للأشكال التي تستوفي شروط المشكلة أن تختلف في الشكل أو الحجم أو الموضع على المستوى. تؤخذ الاختلافات في الموضع على المستوى في الاعتبار أو لا تؤخذ في الاعتبار اعتمادًا على صياغة مشكلة البناء نفسها، وما إذا كانت حالة المشكلة توفر أو لا توفر موقعًا معينًا للشكل المطلوب بالنسبة لأي أرقام معينة .

إذا تم العثور على حل لمشكلة ما، فيسمح في المستقبل باستخدام هذا الحل "ككل"، أي دون تقسيمه إلى إنشاءات رئيسية.

هناك عدد من مسائل البناء الهندسية البسيطة، والتي غالبًا ما يتم تضمينها كمكونات في حل المشكلات الأكثر تعقيدًا. سوف نسميها مشاكل البناء الهندسية الأولية. قائمة المهام الأولية مشروطة بالطبع. تتضمن المهام الأساسية عادةً ما يلي:

قسم هذا الجزء إلى النصف.

قسمة زاوية معينة إلى نصفين.

إنشاء قطعة على مستقيم معين تساوي القطعة المعطاة.

بناء زاوية تساوي زاوية معينة.

بناء مستقيم يمر بنقطة معينة موازيا لمستقيم معين.

إنشاء خط يمر بنقطة معينة وعمودي على مستقيم معين.

تقسيم الجزء في هذا الصدد.

بناء مثلث باستخدام ثلاثة أضلاع معينة.

بناء مثلث باستخدام ضلع وزاويتين متجاورتين.

بناء مثلث باستخدام الضلعين والزاوية بينهما.

عند حل أي مشكلة إنشائية معقدة إلى حد ما، يطرح السؤال حول كيفية التفكير من أجل إيجاد طريقة لحل المشكلة، والحصول على جميع الحلول للمشكلة، ومعرفة شروط إمكانية حل المشكلة، وما إلى ذلك. لذلك عند حل المشكلات البناءة يستخدمون مخطط الحل الذي يتكون من المراحل الأربع التالية:

1) التحليل؛
2) البناء.
3) إثبات؛
4) البحث.

I.3. إنشاءات هندسية بمسطرة واحدة

سننظر إلى المسطرة من وجهتي نظر: مسطرة ومسطرة ذات وجهين.

1. حاكم على الوجهينعرض أ سوف نسمي مسطرة ذات حواف متوازية تقع على مسافة أ من بعضها البعض، مما يجعل من الممكن بناء مباشرة:

أ) خط مستقيم تعسفي؛

ب) خط مستقيم يمر عبر نقطتين معينتين أو تم الحصول عليهما في عملية حل المشكلة؛

ج) مستقيمان متوازيان يمر كل منهما بإحدى النقاط التي تكون المسافات بينها أكبرأ (في هذا البناء، تكون المسطرة في وضع بحيث توجد على كل من حافتيها المتوازيتين إحدى النقطتين المعطاتين؛ وفي هذه الحالة، سنتحدث عن البناء المباشر).

يعتبر عرض المسطرة في هذا البناء ثابتًا، وبالتالي، إذا كان من الضروري أثناء عملية حل مشكلة معينة إجراء بناء مباشر بالنسبة لبعض النقاط التي تم الحصول عليهاأو في ، ثم يجب علينا أن نثبت أن الطولأ.بطويل أ .

سنعتبر النقطة المراد إنشاؤها إذا كانت إحدى البيانات أو كانت تقاطع خطين مبنيين؛ وبدورنا سنعتبر الخط المستقيم مبنيًا إذا مر بالنقاط المشيدة أو المعطاة.

باستخدام مسطرة ذات وجهين، يمكنك بناء ما يلي.

أ) من خلال أي نقطتين يمكنك رسم خط مستقيم واحد فقط.

ب) مهما كان الخط المستقيم، فإن في المستوى خطين مستقيمين، موازيين له، ويفصل بينهما مسافةأ .

ج) من خلال النقطتين A و B عند AB أ من الممكن رسم زوجين متوازيينمستقيم؛ مع أ ب = أ يمكنك رسم زوج من الخطوط المتوازية، والمسافة بينهما متساويةأ .

إذا تم إعطاء نقطة واحدة أو نقطتين أو ثلاث نقاط، فلا يمكن إنشاء نقاط جديدة

(شكل 1)؛

إذا تم إعطاء أربع نقاط، ثلاث منها (أو الأربع كلها) تقع على نفس الخط، فلا يمكن بناء نقاط أخرى (الشكل 2)؛

إذا تم إعطاؤك أربع نقاط تقع على رؤوس متوازي الأضلاع، فيمكنك إنشاء نقطة واحدة فقط - مركزه. (تين. 3).

بعد قبول ما ورد أعلاه، دعونا نفكر بشكل منفصل في المشكلات التي تم حلها بواسطة مسطرة ذات وجهين.

أنا.4. المهام الأساسية للبناء باستخدام مسطرة ذات وجهين

1
. أنشئ منصف الزاوية ABC .

حل: (الشكل 4)

أ  (في ج) و ب  (مجموعة  ب = د .

نحصل على ب د- منصف  اي بي سي.

وبالفعل حصل عليها

بناء متوازي الأضلاع هو

المعين، لأن ارتفاعاته متساوية. فيد –

قطر المعين هو منصف اي بي سي. الشكل 4

2
. مضاعفة الزاوية المعطاة ABC

حل : (الشكل 5) أ) أ  (أب)،

أ  (في ج)= د , من خلال النقطتين B و د

ب مباشرة؛

ب) من خلال النقاط B ود م  ب

مباشرة،ب Ç أ = F .

نحن نحصل Ð أ.ب F = 2 Ð اي بي سي .

الشكل 5

3 . إلى خط مستقيم معطى ن في هذا

ارسم عموديًا على النقطة A

حل : (الشكل 6)

1) (أ أ 1) || (ب ب 1) || (س س 1) –

مباشرة (ب (م ن),

مع Î (م ن)); 2) من خلال أ و ب

م || ن - مباشرة،

م Ç (س1) = د .

نحصل على (أ د )  (م ن ).

الشكل 6.

4
. من خلال نقطة معينة لا تكذب على

خط معين, رسم عمودي

ل هذا الخط.

حل: من خلال هذه النقطة يا نرسم

خطين يتقاطعان مع المعطى

الخط المستقيم AB، ومضاعفة زوايا الناتج

المثلثات المجاورة لهذا

مستقيم.  الزراعة العضوية ن = 2  أواف و

أوب ن = 2  البويضات (الشكل 7).

الشكل 7

5. أنشئ نقطة متناظرة مع خط معين بالنسبة إلى خط معين.

حل: انظر المشكلة 4. (النقطة O متناظرة مع النقطةن. الشكل 7)

6. تنفيذ خط مستقيم بالتوازي مع هذا واحد

ص
مستقيم م ن ، من خلال النقطة أ، لا

تابعة للخط م ن .

الحل 1: (الشكل 8)

1)(أأ1) || (ب ب 1) || (س س 1) || (د 1 ) || (ك ك 1) -

– مباشرة (س.أ)Ç (ب ب 1) = ج 2؛

2) (مع 2 ك) Ç (د 1 ) = F .

(أ F ) هو الخط المستقيم المطلوب.

الشكل 8

الحل 2 . في الشكل 8 1 مرقمة

تسلسل الخطوط المستقيمة,

منها 1 و 2 و 3 متوازية

البناء المباشر

(أ F) || (م ن).

الشكل 8 1

7
. اقسم هذا الجزء AB إلى نصفين.

الحل 1. (الشكل 9) (فقط في الحالة التي يكون فيها عرض المسطرة أقل من طول هذا الجزء). ارسم زوجين من الخطوط المتوازية مباشرة

نهايات هذا الجزء، ثم قطري

المعين الناتج. O – الأوسط AB.

أرز. 9.

الحل 2. (الشكل 9،أ)

1) أ || (مجموعة ب || (أ ب) - مباشرة؛

2) (ع)، (ع)Ç أ = ج، (أ ف ب) Ç ب = د ;

3) (د في) Ç أ = م، (SV) Ç ب = ن ;

4) (م ن ) Ç (أب) = ك؛

5) (د ل) Ç (أ ن ) = F ;

6) (ب F ) Ç ب = د 1، (ب F ) Ç أ = ج 1؛

7) (د في ) Ç (أ د 1 ) = س،

(أ ف 1) Ç (SV) = ز.

8) (x ز) Ç (أ ب) = س. نحصل على AO = OB.

الشكل 9، أ

الحل 3 .(أرز. 9،ب)

وكما هو معروف , في شبه منحرف الأوسط

القواعد، نقطة التقاطع

الأقطار ونقطة التقاطع

امتدادات الجوانب

تقع على نفس الخط المستقيم.

1) م || (أ ب) - مباشرة؛

2) ج Î م , د Î م ، (مثل) Ç (في د ) = ل؛ الشكل 9، ب

3) (شمال شرق) Ç (أ د ) = F ; 4) (ك F ) Ç (أ ب) = س. نحصل على AO = OB.

I.5. حل مشاكل البناء المختلفة

في حل مسائل البناء التالية باستخدام مسطرة ذات وجهين فقط، يتم استخدام البناء المباشر للخطوط المتوازية والمسائل السبعة الرئيسية المذكورة أعلاه.

1. ارسم خطين متعامدين بشكل متبادل عبر هذه النقطة.

ر حل: دعونا نمر عبر هذه النقطة

خطين تعسفيين ،

وبعد ذلك - منصفات

الزوايا المجاورة. (الشكل 10)

الشكل 10

2. نظرا للجزء أ د الطول المعطى أ.

أنشئ قطعة طولها يساوي .

ر
قرار : دعونا ننفذ م  أو ح || م خلال

النقطة أ. F || (أ د ) , ك || (إعلان) مباشرة.

لنرسم AB وAC، حيث B =F  م ,

ج = م  ك . بطريقة معروفة

قسّم AB وAC إلى نصفين و

دعونا نرسم متوسطات المثلث

اي بي سي. بملكية الوسيطات

مثلث، O د = - طلب

الجزء (الشكل 11)

أرز. أحد عشر

3. بناء قطعة طولها

يساوي محيط المثلث المعطى.

حل: (الشكل 12). دعونا نبني منصفات

الزاويتين الخارجيتين للمثلث، ثم

3 قمم في دعونا نرسم الخطوط المتعامدة

إلى هذه المنصفات.

دي = أ + ب + س

الشكل 12

4. نظرا لجزء من الطول أ. بناء قطاعات الطول 2 أ، 3 أ.

ر حل: (الشكل 13)

1 م ن) || (أ ب) و (م1 ن 1 ) || (م ن) || (م2 ن 2 ) –

مباشرة؛

2) (CA) و (CB) من خلال A وB.

الأجزاء A 1 B 1 و A 2 B 2 مطلوبة.

يمكن حل آخر لهذه المشكلة

تم الحصول عليها من حل المشكلة 7.

أرز. 13

5. يتم إعطاء جزأين على خط مستقيم، أطوالهما هي و ب . أنشئ مقاطع أطوالها تساوي + ب , ب - أ، ( أ + ب )/2 و ( ب - أ )/2 .

حل: ولل أ + ب(الشكل 14، أ)

الشكل 14، أ

ب) ل( أ + ب)/2 (الشكل 14، ب)

1) (أ1ب1) || (أ2ب2) || (أ ب) - مباشرة؛

2) م Î (أ2ب2)، (مكس) Ç (أ1ب1) = ن، (م ح) Ç (أ1ب1) = ص;

3) (السنة التحضيرية) Ç (أ2ب2)= ل, (LZ ) Ç (أ1ب1) = يا،

نحن نحصل: ن يا = NP + ص.ب. =
.

أرز. 14، ب

ج) ل ب - أ(الشكل 14، ج)

أرز. 14، ضد

ج) ل ( ب - أ )/2 (الشكل 14،د)

أرز. 14،ز

6
. بناء مركز هذه الدائرة.

حل : (الشكل 15) لنرسم خطًا مستقيمًا AB،

تقاطع الدائرة عند النقطتين A و B؛

شمس  AB، حيث C هي نقطة التقاطع

مع دائرة.

من خلال النقطة C نرسم موازيًا للخط AB

مستقيم ج د; معديتقاطع مع دائرة

عند هذه النقطةد.

توصيلدمع B و A مع C، نحصل على

النقطة المطلوبة هي مركز الدائرة. أرز. 15

الحل 2: (الشكل 16) باستخدام مسطرة ذات وجهين، قم ببناء وترين متوازيينإعلان وقبل الميلاد . نحصل على شبه منحرف متساوي الساقينا ب ت ث. يتركك وص - نقاط تقاطع الخطوطمكيف الهواء ودينار بحريني , أ.ب والعاصمة . ثم على التواليص ك يمر بمنتصف قاعدتي شبه المنحرف بشكل عمودي عليهما، مما يعني أنه يمر بمركز الدائرة المعطاة. وبإنشاء خط مستقيم آخر بالمثل، نجد مركز الدائرة.

أرز. 16

7. يتم إعطاء قوس الدائرة. بناء مركز الدائرة

حل . (الشكل 17) ضع علامة على ثلاث نقاط A وB وC على هذا القوس، ثم ضع مسطرة على أطراف القطعة AB وتتبع حوافها. نحصل على خطين متوازيين. من خلال تغيير موضع المسطرة، نرسم خطين متوازيين آخرين. نحصل على المعين (متوازي الأضلاع بارتفاعات متساوية). أحد أقطار المعين هو المنصف العمودي على القطعةأ.ب لأن قطر المعين يقع على المنصف العمودي على القطر الآخر. وبالمثل، نقوم ببناء المنصف العمودي على القطعةمكيف الهواء . نقطة تقاطع المنصفات المبنية هي مركز الدائرة المطلوبة.

أرز. 17

8. بالنظر إلى القطعة AB، يوجد خط غير متوازي l ونقطة M عليه. باستخدام مسطرة واحدة، أنشئ نقاط تقاطع الخط المستقيم l مع دائرة نصف قطرها AB ومركزها M.

حل: (الشكل 18)

دعونا نكمل المثلثايه بي ام. إلى متوازي الأضلاعABNM . دعونا نبني المنصفات MT وآنسةالزوايا بينمينيسوتاومستقيمل . دعونا نرسم من خلال هذه النقطةن الخطوط الموازية لهذه المنصفات:NQ || آنسة, ن.ر || إم تي.. طن متري│ آنسةكمنصفات للزوايا المجاورة. وسائل،NQ │ MT، أي في مثلثNMQالمنصف هو الارتفاع، وبالتالي فإن المثلث متساوي الساقين:إم كيو = مينيسوتا. على نفس المنوال،السيد. = مينيسوتا. نقاطسورطلب.

أرز. 18

9. بالنظر إلى الخط l والقطعة OA الموازية لـ l. باستخدام مسطرة واحدة، أنشئ نقاط تقاطع الخط المستقيم l مع دائرة نصف قطرها OA ومركزها O.

حل: (الشكل 19، أ)

دعونا نجعل مباشرةل 1 ، موازيًا للخطالزراعة العضوية. والبعيد عنه مسافةأ . دعونا نأخذ الأمر على خط مستقيمل نقطة تعسفيةب . يتركب 1 - نقطة تقاطع الخطوطأو.ب. ول 1 . دعونا نرسم من خلال هذه النقطةب 1 مستقيم، متوازيأ.ب ; هذا الخط يتقاطع مع الخطالزراعة العضوية. عند هذه النقطةأ 1 . دعونا الآن نرسم النقاطيا وأ 1 زوج من الخطوط المتوازية، والمسافة بينهما هيأ (يمكن أن يكون هناك زوجان من الخطوط)؛ يتركX وX 1 - نقاط تقاطع خط يمر عبر نقطة مايا ، بخطوط مستقيمةل ول 1 . لأنالزراعة العضوية. 1 = ثور 1 و ∆الزراعة العضوية. 1 X 1 ∆ أواكس ، ثم OA = OX، النقطةX سعى خلف.

وبالمثل، نقوم ببناء نقطة التقاطع الثانية للدائرة والخط - النقطةي(الشكل 18، ب).

أرز. 18، أ

أرز. 18، ب

I.6.الانشاءات مع مسطرة من جانب واحد

ز
هنا نعتبر حالة خاصة: دع النقاط P تعطى،س، ر 1 وس 1 . وهم يقعون في رؤوس شبه المنحرف.

1. تقسيم الجزء P س في النصف

حل هو مبين في الشكل 19

نظرا للنقاط P،س، ر 1 وس 1 والخطوط المتوازية

رس، ر 1 س 1 . دعونا ننفذ Rس 1  سر 1 = ب , ر.ر 1  ف ف 1 = أ

دعونا نربط النقطتين A و B. AB رس = F- وسط

الجزء صس.

أرز. 19

2. مضاعفة المقطع ر 1 س 1.

ر
قرار هو مبين في الشكل 20. دعونا نبني

نقطةF- منتصف القطعة Pسوتوصيله

معس 1. ر 1 س فيلق رئيسي 1 = M. لننفذ RM. آر إم ر 1 س 1 = ر

المساواةطلب البحثو ص 1 س 1 يتبع من التشابه

مثلثات آر إمFو رمس 1 ,

Fمسو ر 1 مس 1 والمساواة PFوفيلق رئيسي.

أرز. 20

3
. بناء قطعة الطول ن  ر 1 س 1 .

م – 1 قطع متساوية Pس 2 , س 2 س 3, … س م -1 س م

ثم نبني (ر.ر 1 ) وس م س 1 والاتصال

نقطة تقاطعهم A مع النقاط

س 2 , س 3, … س م تلقىم -1 مباشر

يقسمر 1 س 1 علىم متساوي القطع.

لم = 4 يظهر الحل في الشكل 22

الشكل 22

I.7. إمكانية تبديل المسطرة ذات الوجهين مع البوصلة والمسطرة

دعونا نثبت أن المسطرة ذات الوجهين قابلة للتبديل مع البوصلة والمسطرة. وللقيام بذلك نثبت العبارات التالية:

البيان 1: جميع الإنشاءات التي يمكن إجراؤها باستخدام البوصلة والمسطرة يمكن إجراؤها باستخدام مسطرة ذات وجهين.

نظرًا لأنه عند البناء باستخدام بوصلة ومسطرة، ترسم المسطرة خطًا عبر نقطتين، وتقوم البوصلة ببناء دائرة (تجد مجموعة من النقاط متساوية البعد عن نقطة معينة)، ثم يتم تقليل جميع الإنشاءات التي تحتوي على بوصلة ومسطرة إلى بناء تقاطع خطين مستقيمين ودائرتين ودائرة ذات خط مستقيم.

يمكن إنشاء تقاطع خطين مستقيمين باستخدام المسطرة.

تقاطع الدائرة والخط المستقيم (الشكل 23):

بناء:دع القطعة AB تعطى - نصف قطر الدائرة، خط مستقيمل ، مركز الدائرة O، ثم:

1) نقوم بتنفيذ نظام التشغيل ||ل ، نظام التشغيل = AB.

2) نقوم بتنفيذ نظام التشغيل ||كوالبعيد إلى أ.

3) نحن ننفذالتطوير التنظيمي, التطوير التنظيمي ل = د; التطوير التنظيمي ك) كنتيجة طبيعية لنظرية طاليس

4) وفقا لقانون العبور للمساواة

5) النظرOMQE. OMQEهو متوازي الأضلاع، منذ OM ||معادلو عمر الفاروق ||م.(جوانب المسطرة متوازية). دعونا نثبت أن هذا هو المعين.

5.1) السلوكQZ أوك.وكيو جي على، ثمكيو جي = QZ = أ.

5.2)  OMQ =  إدارة الجودة الشاملة(الكذب بالعرض) ؛  نظام التشغيل =على، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.

تقاطع دائرتين : متشابهتين .

البيان 2: جميع الإنشاءات التي يمكن إجراؤها باستخدام مسطرة ذات وجهين يمكن إجراؤها باستخدام البوصلة والمسطرة.

للقيام بذلك، سنقوم بتنفيذ الإنشاءات القياسية لمسطرة ذات وجهين باستخدام بوصلة ومسطرة.

1) يتم إنشاء خط مستقيم باستخدام نقطتين بسهولة باستخدام المسطرة.

2) إنشاء خط مستقيم موازي لخط معين ويبتعد عنه بمسافة معينة:

2.1) دع الخط المستقيم يعطىكوطول القطعةأ.

2.2) بناء خط مستقيم تعسفيب ك، يتركك ب= ب.

2.3) علىبعلى جانبي النقطةبعلى خط مستقيمبجانبا قطعة من الطولأ، دع النقاطجود.

2.4) من خلال نقطةجبناء خط مستقيمج ك.

2.5) من خلال نقطةدبناء خط مستقيمد ك.

2.6) مباشرجود-مطلوب، لأنقبل الميلادودينار بحرينيمتساويأبالبناء وهي تساوي المسافة بين الخط المستقيمكومستقيم

3) بناء خطوط مستقيمة متوازية وتمر بنقطتين معلومتين والمسافة بينهما تساوي القطعة المعطاة:

3.1) دعونا تعطى النقاطأوبوطول القطعةأ.

3.2) بناء دائرة مركزها نقطةأونصف القطرأ.

3.3) إنشاء مماس لدائرة معينة من خلال نقطةب; هناك نوعان من هذه الظلال إذابتقع خارج الدائرة (إذاأ.ب> أ)، واحد إذابتقع على الدائرة (إذاأ.ب= أ)، لا شيء إذابيقع داخل الدائرة (أ.ب< أ). هذا المماس هو أحد الخطوط التي نبحث عنها؛ يبقى أن تمر عبر هذه النقطةأخط مستقيم موازي لها.

3.4) بما أن أحد الخطين عمودي على نصف قطر الدائرة كمماس، فإن الخط الثاني عمودي عليه أيضًا (حيث أنهما متوازيان)، وبالتالي فإن المسافة بينهما تساوي نصف القطر، والذي بالبناء يساويأ، وهو ما كان مطلوبا الحصول عليه.

وهكذا أثبتنا قابلية التبادل بين المسطرة ذات الوجهين والبوصلة والمسطرة.

الخلاصة: المسطرة ذات الوجهين قابلة للتبديل مع البوصلة والمسطرة.

خاتمة

لذا فقد تم النظر في مسألة إمكانية استخدام مسطرة واحدة لحل مسائل البناء الكلاسيكي باستخدام البوصلة والمسطرة وحلها. اتضح أنه لا يمكن حل مشاكل البناء إلا باستخدام مسطرة ذات حواف متوازية. عند حل المشكلات الأكثر تعقيدًا، ينبغي للمرء أن يعتمد أيضًا على ما يسمى بالإنشاءات الأساسية التي تمت مناقشتها في هذا العمل.

يمكن تطبيق المواد المقدمة مباشرة ليس فقط في دروس الرياضيات، في فصول دائرة الرياضيات، ولكن أيضًا في الأنشطة العملية.

قائمة الأدب المستخدم

علييف أ.ف. الانشاءات الهندسية. الرياضيات في المدرسة. 1978 رقم 3

جليزر جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة. م، التنوير. 1981.

ديبمان آي.يا. خلف صفحات كتاب الرياضيات. م.. التنوير 1989.

إلينسكي ش... على خطى فيثاغورس. م، ديتجيز. 1961.

القاموس الموسوعي لعالم الرياضيات الشاب. م، علم أصول التدريس. 1985

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">الإنشاء باستخدام المسطرة والبوصلة الهندسة">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> أنشئ مقطعًا يساوي المشكلة Ú المعطاة AB"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> إنشاء زاوية مساوية لزاوية معينة النظر في المثلثات"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> مسألة إنشاء منصف زاوية Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> إنشاء خطوط متعامدة Ú مشكلة في إعطاء خط"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> إنشاء نقطة المنتصف لمقطع المهمة Ú إنشاء نقطة المنتصف لمقطع منح"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية

المدرسة الثانوية رقم 34 مع دراسة متعمقة للمواد الفردية

مان، قسم الفيزياء والرياضيات

"الانشاءات الهندسية باستخدام البوصلة والمسطرة"

أكمله: طالب في الصف السابع "أ"

باتيشيفا فيكتوريا

رئيس: كولتوفسكايا ف.

فورونيج، 2013

3. تكوين زاوية مساوية للزاوية المعطاة.

ص لنرسم دائرة عشوائية مركزها في الرأس A لزاوية معينة (الشكل 3). اجعل B و C نقطتي تقاطع الدائرة مع أضلاع الزاوية. بنصف القطر AB، نرسم دائرة مركزها النقطة O، نقطة بداية هذا النصف من الخط. دعونا نشير إلى نقطة تقاطع هذه الدائرة مع نصف الخط هذا بالرمز C 1 . دعونا نصف دائرة مركزها C 1 والشكل 3

نصف قطر الطائرة. النقطة ب 1 يقع تقاطع الدوائر المبنية في نصف المستوى المشار إليه على جانب الزاوية المطلوبة.

6. بناء الخطوط المتعامدة.

نرسم دائرة نصف قطرها عشوائي r ومركزها عند النقطة O في الشكل 6. الدائرة تتقاطع مع الخط عند النقطتين A و B.من النقطتين A و B نرسم دوائر نصف قطرها AB. دع الكآبة C تكون نقطة تقاطع هذه الدوائر. لقد حصلنا على النقطتين A وB في الخطوة الأولى، عند بناء دائرة ذات نصف قطر اختياري.

يمر الخط المستقيم المطلوب عبر النقطتين C و O.

الشكل 6

مشاكل معروفة

1.مشكلة براهماجوبتا

أنشئ شكلاً رباعيًا منقوشًا باستخدام أضلاعه الأربعة. أحد الحلول يستخدم دائرة أبولونيوس.دعونا نحل مشكلة أبولونيوس باستخدام التشابه بين الدائرة الثلاثية والمثلث. كيف نجد دائرة منقوشة في مثلث: نبني نقطة تقاطع المنصفات، ونسقط المتعامدين منها على جوانب المثلث، قواعد المتعامدين (نقاط تقاطع المتعامد مع الضلع الذي عليه) يتم إسقاطه) وتعطينا ثلاث نقاط ملقاة على الدائرة المطلوبة. ارسم دائرة عبر هذه النقاط الثلاث - الحل جاهز. سنفعل الشيء نفسه مع مشكلة أبولونيوس.

2. مشكلة أبولونيوس

باستخدام البوصلة والمسطرة، قم بإنشاء دائرة مماسة للدوائر الثلاث المعطاة. وفقًا للأسطورة، فإن المشكلة صاغها أبولونيوس من برجا حوالي عام 220 قبل الميلاد. ه. في كتاب "اللمس" الذي فُقد، ولكن تم استعادته عام 1600 على يد فرانسوا فييت، "الغالي أبولونيوس"، كما أطلق عليه معاصروه.

إذا لم تقع أي من الدوائر المعطاة داخل الأخرى، فإن هذه المشكلة لها 8 حلول مختلفة بشكل كبير.

بناء المضلعات المنتظمة.

ص

صحيح (أو متساوي الاضلاع ) مثلث - هذا مضلع منتظمبثلاثة أضلاع، أول المضلعات المنتظمة. الجميعجوانب مثلث منتظم متساوون مع بعضهم البعض، وجميعالزوايا 60 درجة. لبناء مثلث متساوي الأضلاع، تحتاج إلى تقسيم الدائرة إلى 3 أجزاء متساوية. للقيام بذلك، من الضروري رسم قوس نصف قطره R لهذه الدائرة من طرف واحد فقط من القطر، نحصل على القسمين الأول والثاني. القسم الثالث يقع في الطرف المقابل للقطر. وبربط هذه النقاط نحصل على مثلث متساوي الأضلاع.

مسدس منتظم يستطيعالبناء باستخدام البوصلة والمسطرة. أقليتم إعطاء طريقة البناءمن خلال تقسيم الدائرة إلى 6 أجزاء. نستخدم مساواة أضلاع الشكل السداسي المنتظم مع نصف قطر الدائرة المحددة. من الأطراف المقابلة لأحد أقطار الدائرة نصف أقواس نصف القطر R. نقاط تقاطع هذه الأقواس مع دائرة معينة ستقسمها إلى 6 أجزاء متساوية. من خلال ربط النقاط التي تم العثور عليها بالتتابع، يتم الحصول على مسدس منتظم.

بناء خماسي منتظم.

ص
يمكن أن يكون البنتاغون العاديتم إنشاؤها باستخدام البوصلة والمسطرة، أو عن طريق تركيبها في معيندائرة، أو بناء على جانب معين. هذه العملية وصفها إقليدسفي كتابه العناصر حوالي 300 قبل الميلاد. ه.

فيما يلي إحدى الطرق لبناء شكل خماسي منتظم في دائرة معينة:

أنشئ دائرة يُدرج فيها البنتاغون وحدد مركزها على أنهيا . (هذه هي الدائرة الخضراء في الرسم البياني على اليمين).

حدد نقطة على الدائرةأ والتي ستكون أحد رؤوس البنتاغون. بناء خط مستقيم من خلاليا وأ .

بناء خط عمودي على الخطالزراعة العضوية. ، مرورا بالنقطةيا . قم بتعيين أحد تقاطعاته مع الدائرة كنقطةب .

ارسم نقطةج في المنتصف بينيا وب .

ج من خلال النقطةأ . ضع علامة على تقاطعها مع الخطأو.ب. (داخل الدائرة الأصلية) كنقطةد .

ارسم دائرة مركزهاأ من خلال النقطة D، حدد تقاطع هذه الدائرة مع الأصل (الدائرة الخضراء) كنقاطه وF .

ارسم دائرة مركزهاه من خلال النقطةأ ز .

ارسم دائرة مركزهاF من خلال النقطةأ . قم بتسمية تقاطعها الآخر مع الدائرة الأصلية كنقطةح .

بناء خماسي منتظمإيغف .

مشاكل غير قابلة للحل

تم تحديد مهام البناء الثلاثة التالية في العصور القديمة:

تثليث الزاوية - تقسيم الزاوية التعسفية إلى ثلاثة أجزاء متساوية.

بمعنى آخر، من الضروري إنشاء مثلثات زاوية - أشعة تقسم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية. أثبت P. L. Wanzel في عام 1837 أن المشكلة قابلة للحل فقط عندما يكون، على سبيل المثال، التثليث ممكنًا للزوايا α = 360°/n، بشرط أن يكون العدد الصحيح n غير قابل للقسمة على 3. ومع ذلك، في الصحافة من وقت لآخر (غير صحيح ) تم نشر طرق لتثليث الزاوية باستخدام البوصلة والمسطرة.

مضاعفة المكعب - مشكلة كلاسيكية قديمة تتمثل في إنشاء حافة مكعب باستخدام البوصلة والمسطرة، ويبلغ حجمه ضعف حجم مكعب معين.

في التدوين الحديث، يتم تقليل المشكلة إلى حل المعادلة. كل ذلك يعود إلى مشكلة بناء جزء من الطول. أثبت P. Wantzel في عام 1837 أن هذه المشكلة لا يمكن حلها باستخدام البوصلة والحافة المستقيمة.

تربيع دائرة - مهمة تتمثل في إيجاد بناء باستخدام بوصلة ومسطرة مربع يساوي مساحة الدائرة المحددة.

كما تعلم، بمساعدة البوصلة والمسطرة، يمكنك إجراء جميع العمليات الحسابية الأربع واستخراج الجذر التربيعي؛ ويترتب على ذلك أن تربيع الدائرة ممكن فقط إذا كان من الممكن، باستخدام عدد محدود من هذه الإجراءات، إنشاء قطعة بطول π. وبالتالي، فإن عدم قابلية حل هذه المشكلة ينبع من الطبيعة غير الجبرية (التعالي) للرقم π، والتي أثبتها ليندمان في عام 1882.

هناك مشكلة أخرى معروفة لا يمكن حلها باستخدام البوصلة والمسطرةبناء مثلث باستخدام ثلاثة أطوال منصفات معينة .

علاوة على ذلك، تظل هذه المشكلة غير قابلة للحل حتى في وجود ثلاثي القطع.

لم يتم إثبات أن المشكلات الثلاث جميعها غير قابلة للحل إلا في القرن التاسع عشر باستخدام البوصلة والمسطرة فقط. يتم حل مسألة إمكانية البناء بالكامل من خلال الأساليب الجبرية القائمة على نظرية جالوا.

هل كنت تعلم هذا...

(من تاريخ الانشاءات الهندسية)

ذات مرة، تم استثمار معنى غامض في بناء المضلعات المنتظمة.

وهكذا فإن الفيثاغوريين أتباع التعاليم الدينية والفلسفية التي أسسها فيثاغورس والذين عاشوا في اليونان القديمة (الخامسأنا-أنا الخامسقرون قبل الميلاد قبل الميلاد)، اعتمدوا كعلامة على اتحادهم مضلعًا على شكل نجمة يتكون من أقطار خماسي منتظم.

قواعد البناء الهندسي الصارم لبعض المضلعات المنتظمة مذكورة في كتاب "العناصر" لعالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس الذي عاش فيثالثاالخامس. قبل الميلاد. لتنفيذ هذه الإنشاءات، اقترح إقليدس استخدام المسطرة والبوصلة فقط، والتي لم يكن بها في ذلك الوقت جهاز مفصلي لربط الأرجل (مثل هذا القيد في الأدوات كان متطلبًا ثابتًا للرياضيات القديمة).

تم استخدام المضلعات المنتظمة على نطاق واسع في علم الفلك القديم. إذا كان إقليدس مهتمًا ببناء هذه الأشكال من وجهة نظر الرياضيات، فقد تبين أنه بالنسبة لعالم الفلك اليوناني القديم كلوديوس بطليموس (حوالي 90 - 160 م) ضروري كأداة مساعدة في حل المشكلات الفلكية. لذلك، في الكتاب الأول من المجسطي، تم تخصيص الفصل العاشر بأكمله لبناء الخماسي المنتظم والأشكال العشرية.

ومع ذلك، بالإضافة إلى الأعمال العلمية البحتة، كان بناء المضلعات المنتظمة جزءًا لا يتجزأ من كتب البنائين والحرفيين والفنانين. القدرة على تصوير هذه الشخصيات كانت مطلوبة منذ فترة طويلة في الهندسة المعمارية والمجوهرات والفنون الجميلة.

تقول "الكتب العشرة في الهندسة المعمارية" للمهندس المعماري الروماني فيتروفيوس (الذي عاش حوالي 63-14 قبل الميلاد) إن أسوار المدينة يجب أن يكون لها شكل مضلع منتظم في المخطط، وأبراج القلعة "يجب أن تكون مستديرة أو متعددة الأضلاع". ، من أجل رباعي الزوايا تم تدميره بواسطة أسلحة الحصار.

كان تخطيط المدن ذا أهمية كبيرة لفيتروفيوس، الذي اعتقد أنه من الضروري تخطيط الشوارع حتى لا تهب الرياح الرئيسية عليها. وكان من المفترض أن تكون هناك ثماني رياح من هذا النوع وأنها تهب في اتجاهات معينة.

خلال عصر النهضة، لم يكن بناء المضلعات المنتظمة، وخاصة البنتاغون، لعبة رياضية بسيطة، بل كان شرطا ضروريا لبناء الحصون.

وكان الشكل السداسي المنتظم موضوع دراسة خاصة أجراها عالم الفلك والرياضيات الألماني الكبير يوهانس كيبلر (1571-1630)، تحدث عنها في كتابه “هدية رأس السنة، أو رقاقات الثلج السداسية”. وفي مناقشة أسباب كون رقاقات الثلج ذات شكل سداسي، يشير على وجه الخصوص إلى ما يلي: "... يمكن تغطية المستوى بدون فجوات فقط بالأشكال التالية: المثلثات متساوية الأضلاع والمربعات والأشكال السداسية المنتظمة. ومن بين هذه الأشكال، يغطي الشكل السداسي المنتظم المساحة الأكبر."

ومن أشهر العلماء العاملين في مجال الإنشاءات الهندسية الفنان وعالم الرياضيات الألماني الكبير ألبرشت دورر (1471-1528)، الذي أهدى لهم جزءاً كبيراً من كتابه "الأدلة...". واقترح قواعد لبناء مضلعات منتظمة ذات 3، 4، 5... 16 ضلعًا. إن طرق تقسيم الدائرة التي اقترحها دورر ليست عالمية، ويتم استخدام تقنية فردية في كل حالة محددة.

استخدم دورر طرقًا لبناء مضلعات منتظمة في الممارسة الفنية، على سبيل المثال، عند إنشاء أنواع مختلفة من الزخارف والأنماط للباركيه. لقد رسم هذه الأنماط خلال رحلة إلى هولندا، حيث تم العثور على أرضيات الباركيه في العديد من المنازل.

قام دورر بتأليف زخارف من مضلعات منتظمة متصلة بحلقات (حلقات من ستة مثلثات متساوية الأضلاع، وأربعة رباعيات، وثلاثة أو ستة سداسيات، وأربعة عشر سباعيًا، وأربعة مثمنات).

خاتمة

لذا،الانشاءات الهندسية هي طريقة لحل مشكلة يتم فيها الحصول على الإجابة بيانياً. يتم تنفيذ الإنشاءات باستخدام أدوات الرسم بأقصى قدر من الدقة والدقة في العمل، حيث أن صحة الحل تعتمد على ذلك.

بفضل هذا العمل، تعرفت على تاريخ أصل البوصلة، وأصبحت أكثر دراية بقواعد أداء الإنشاءات الهندسية، واكتسبت معرفة جديدة وطبقتها عمليًا.
يعد حل المشكلات التي تتضمن البناء باستخدام البوصلات والمسطرة هواية مفيدة تسمح لك بإلقاء نظرة جديدة على الخصائص المعروفة للأشكال الهندسية وعناصرها.يناقش هذا البحث المشاكل الأكثر إلحاحا المرتبطة بالإنشاءات الهندسية باستخدام البوصلات والمساطر. يتم النظر في المشاكل الرئيسية ويتم تقديم حلولها. تعتبر المشكلات المحددة ذات أهمية عملية كبيرة، وتعزز المعرفة المكتسبة في الهندسة ويمكن استخدامها في العمل العملي.
وبذلك يكون قد تم تحقيق الهدف من العمل، وتم إنجاز المهام الموكلة إليه.

في مهام البناء، سننظر في بناء شكل هندسي، والذي يمكن القيام به باستخدام المسطرة والبوصلة.

باستخدام المسطرة يمكنك:

خط مستقيم تعسفي

خط مستقيم عشوائي يمر عبر نقطة معينة؛

خط مستقيم يمر بنقطتين معلومتين.

باستخدام البوصلة، يمكنك وصف دائرة ذات نصف قطر معين من مركز معين.

باستخدام البوصلة، يمكنك رسم مقطع على خط معين من نقطة معينة.

دعونا ننظر في مهام البناء الرئيسية.

مهمة 1.أنشئ مثلثًا بأضلاع معينة أ، ب، ج (الشكل 1).

حل. باستخدام المسطرة، ارسم خطًا مستقيمًا عشوائيًا وحدد عليه نقطة عشوائية B. باستخدام فتحة بوصلة تساوي a، نصف دائرة مركزها B ونصف قطرها a. لتكن C نقطة تقاطعها مع الخط. مع فتحة بوصلة تساوي c، نصف دائرة من المركز B، ومع فتحة بوصلة تساوي b، نصف دائرة من المركز C. لتكن A نقطة تقاطع هذه الدوائر. المثلث ABC له أضلاع متساوية أ، ب، ج.

تعليق. لكي تكون الأجزاء الثلاثة المستقيمة بمثابة جوانب مثلث، من الضروري أن يكون أكبرها أقل من مجموع القطعتين الأخريين (و< b + с).

المهمة 2.

حل. تظهر هذه الزاوية مع الرأس A والشعاع OM في الشكل 2.

دعونا نرسم دائرة عشوائية مركزها عند الرأس A للزاوية المعطاة. دع B و C هما نقطتا تقاطع الدائرة مع جوانب الزاوية (الشكل 3، أ). بنصف القطر AB نرسم دائرة مركزها عند النقطة O - نقطة البداية لهذا الشعاع (الشكل 3، ب). ولنرمز إلى نقطة تقاطع هذه الدائرة مع هذا الشعاع بـ C 1 . دعونا نصف دائرة مركزها C 1 ونصف قطرها BC. تقع النقطة B 1 من تقاطع دائرتين على جانب الزاوية المطلوبة. يأتي هذا من المساواة Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (العلامة الثالثة لمساواة المثلثات).

المهمة 3.أنشئ منصف هذه الزاوية (الشكل 4).

حل. من الرأس A لزاوية معينة، ومن المركز، نرسم دائرة نصف قطرها اختياري. اجعل B و C نقطتي تقاطعها مع أضلاع الزاوية. من النقطتين B وC نصف الدوائر التي لها نفس نصف القطر. دع D تكون نقطة تقاطعهما، مختلفة عن A. الشعاع AD ينصف الزاوية A. وهذا يأتي من المساواة Δ ABD = Δ ACD (المعيار الثالث لمساواة المثلثات).

المهمة 4.ارسم منصفًا عموديًا على هذا الجزء (الشكل 5).

حل. باستخدام فتحة بوصلة عشوائية ولكنها متطابقة (أكبر من 1/2 AB)، نصف قوسين مركزهما عند النقطتين A وB، واللذان سيتقاطعان عند بعض النقاط C وD. سيكون القرص المضغوط للخط المستقيم هو المتعامد المطلوب. في الواقع، كما يتبين من البناء، كل نقطة من النقطتين C وD بعيدة بالتساوي عن A وB؛ لذلك، يجب أن تقع هذه النقاط على المنصف العمودي للقطعة AB.

المهمة 5.قسم هذا الجزء إلى النصف. يتم حلها بنفس طريقة المشكلة 4 (انظر الشكل 5).

المهمة 6.من خلال نقطة معينة ارسم خطًا عموديًا على الخط المعطى.

حل. هناك نوعان من الحالات الممكنة:

1) تقع نقطة معينة O على خط مستقيم معين أ (الشكل 6).

من النقطة O نرسم دائرة نصف قطرها عشوائيًا يتقاطع مع الخط a عند النقطتين A و B. ومن النقطتين A و B نرسم دوائر لها نفس نصف القطر. لنجعل O 1 نقطة تقاطعهما، مختلفة عن O. نحصل على OO 1 ⊥ AB. في الواقع، النقطتان O وO 1 متساويتان البعد عن طرفي القطعة AB، وبالتالي تقعان على المنصف العمودي على هذه القطعة.

مثال

تقسيم القطعة إلى نصفين

مشكلة القسمة. استخدم البوصلة والمسطرة لتقسيم هذا الجزء أ.بإلى قسمين متساويين. يظهر أحد الحلول في الشكل:

• باستخدام البوصلة نرسم دوائر مراكزها في نقاط أو بنصف القطر أ.ب.
• العثور على نقاط التقاطع صو سدائرتان مبنيتان (أقواس).
• باستخدام المسطرة، ارسم قطعة أو خطًا يمر عبر النقاط صو س.
• العثور على نقطة الوسط المطلوبة للقطعة أ.ب- نقطة التقاطع أ.بو PQ.

تعريف رسمي

في مسائل البناء تؤخذ في الاعتبار مجموعة جميع نقاط المستوى ومجموعة جميع الخطوط المستقيمة للمستوى ومجموعة جميع دوائر المستوى والتي يسمح فيها بالعمليات التالية:

1. حدد نقطة من مجموعة كل النقاط:
   1. نقطة تعسفية
   2. نقطة تعسفية على خط معين
   3. نقطة تعسفية على دائرة معينة
   4. نقطة تقاطع خطين محددين
   5. نقطة التقاطع/التماس خط معين ودائرة معينة
   6. نقاط التقاطع/التماس دائرتين معينتين
2. "باستخدام الحكام» حدد سطرًا من مجموعة جميع الأسطر:
   1. خط مستقيم تعسفي
   2. خط مستقيم عشوائي يمر عبر نقطة معينة
   3. خط مستقيم يمر بنقطتين معلومتين
3. "باستخدام بوصلة» اختر دائرة من مجموعة جميع الدوائر:
   1. دائرة تعسفية
   2. دائرة عشوائية مركزها عند نقطة معينة
   3. دائرة عشوائية نصف قطرها يساوي المسافة بين نقطتين محددتين
   4. دائرة مركزها نقطة معينة ونصف قطرها يساوي المسافة بين نقطتين معلومتين

في ظروف المشكلة يتم تحديد مجموعة معينة من النقاط. ويلزم، باستخدام عدد محدود من العمليات من بين العمليات المسموح بها المذكورة أعلاه، بناء مجموعة أخرى من النقاط التي تكون في علاقة معينة مع المجموعة الأصلية.

يتضمن حل مشكلة البناء ثلاثة أجزاء أساسية:

1. وصف طريقة بناء مجموعة معينة.
2. إثبات أن المجموعة التي تم إنشاؤها بالطريقة الموصوفة هي بالفعل في علاقة معينة مع المجموعة الأصلية. عادةً ما يتم إجراء إثبات البناء كدليل منتظم على النظرية، بناءً على البديهيات والنظريات الأخرى المثبتة.
3. تحليل طريقة البناء الموصوفة من حيث إمكانية تطبيقها على إصدارات مختلفة من الشروط الأولية، وكذلك من أجل التفرد أو عدم التفرد للحل الذي تم الحصول عليه بواسطة الطريقة الموصوفة.

مشاكل معروفة

• مسألة أبولونيوس في بناء دائرة مماسة لثلاث دوائر معينة. إذا لم تقع أي من الدوائر المعطاة داخل الأخرى، فإن هذه المشكلة لها 8 حلول مختلفة بشكل كبير.
• مسألة براهماجوبتا في بناء شكل رباعي منقوش باستخدام جوانبه الأربعة.

بناء المضلعات المنتظمة

عرف علماء الهندسة القدماء كيفية البناء بشكل صحيح ن- gons لـ و و و .

الإنشاءات الممكنة والمستحيلة

جميع الإنشاءات ليست أكثر من حلول لبعض المعادلات، وترتبط معاملات هذه المعادلة بأطوال قطاعات معينة. لذلك، من الملائم الحديث عن بناء رقم - حل رسومي لمعادلة من نوع معين. في إطار المتطلبات المذكورة أعلاه، من الممكن إنشاء الإنشاءات التالية:

• بناء حلول للمعادلات الخطية.
• بناء حلول المعادلات التربيعية.

بمعنى آخر، من الممكن فقط إنشاء أرقام مساوية للتعبيرات الحسابية باستخدام الجذر التربيعي للأرقام الأصلية (أطوال المقاطع). على سبيل المثال،

الاختلافات والتعميمات

• الإنشاءات باستخدام بوصلة واحدة.وفقا لنظرية موهر ماسكيروني، بمساعدة بوصلة واحدة، يمكنك بناء أي شكل يمكن بناؤه باستخدام بوصلة ومسطرة. وفي هذه الحالة يعتبر الخط المستقيم مبنيا إذا حددت عليه نقطتان.
• البناء باستخدام مسطرة واحدة.من السهل أن نرى أنه بمساعدة مسطرة واحدة فقط يمكن تنفيذ الإنشاءات الإسقاطية الثابتة. على وجه الخصوص، من المستحيل حتى تقسيم القطعة إلى جزأين متساويين، أو العثور على مركز الدائرة المرسومة. ولكن إذا كانت هناك دائرة مرسومة مسبقًا على المستوى بمركز محدد، فباستخدام المسطرة، يمكنك تنفيذ نفس الإنشاءات كما هو الحال مع البوصلات والمسطرة (نظرية بونسيليه شتاينر ( إنجليزي))، 1833. إذا كان هناك درجتان على المسطرة، فإن الإنشاءات باستخدامها تعادل الإنشاءات باستخدام البوصلات والمسطرة (لقد اتخذ نابليون خطوة مهمة في إثبات ذلك).
• الإنشاءات باستخدام أدوات ذات قدرات محدودة.في مشاكل من هذا النوع، تعتبر الأدوات (على عكس الصياغة الكلاسيكية للمشكلة) ليست مثالية، ولكنها محدودة: لا يمكن رسم خط مستقيم عبر نقطتين باستخدام المسطرة إلا إذا كانت المسافة بين هذه النقاط لا تتجاوز حدًا معينًا قيمة؛ يمكن تحديد نصف قطر الدوائر المرسومة باستخدام البوصلة من الأعلى أو الأسفل أو من الأعلى والأسفل معًا.
• البناء باستخدام اوريغامي مسطح.انظر قواعد هوجيت

أنظر أيضا

• تتيح لك برامج الهندسة الديناميكية إجراء الإنشاءات باستخدام البوصلة والمسطرة على جهاز الكمبيوتر.

ملحوظات

الأدب

• أ. أدلرنظرية الإنشاءات الهندسية / الترجمة من الألمانية بقلم ج.م. فيختنغولتس. - الطبعة الثالثة. - ل: أوتشبيدجيز، 1940. - 232 ص.
• I. I. الكسندروفمجموعة من مشاكل البناء الهندسية. - الطبعة الثامنة عشرة. - م: أوتشبيدجيز، 1950. - 176 ص.
• B. I. Argunov، M. B. Balk. - الطبعة الثانية. - م: أوتشبيدجيز، 1957. - 268 ص.
• صباحا فورونيتسهندسة البوصلة. - م.ل: أونتي، 1934. - 40 ص. - (المكتبة الشعبية في الرياضيات تحت رئاسة التحرير العامة لـ L. A. Lyusternik).
• V. A. جيلرمشاكل البناء غير القابلة للحل // المبرد. - 1999. - العدد 12. - ص115-118.
• V. A. كيريتشينكوالانشاءات بالبوصلة والمسطرة ونظرية جالوا // المدرسة الصيفية "الرياضيات الحديثة". - دوبنا، 2005.
• يو آي مانينالكتاب الرابع. الهندسة // موسوعة الرياضيات الابتدائية. - م: فيزماتجيز، 1963. - 568 ص.
• يو بيترسنطرق ونظريات حل المشكلات الإنشائية الهندسية. - م: مطبعة إي. ليسنر وي.رومان، 1892. - 114 ص.
• في في براسولوفثلاث مشاكل البناء الكلاسيكية. مضاعفة المكعب، تثليث الزاوية، تربيع الدائرة. - م: نوكا، 1992. - 80 ص. - (محاضرات شعبية في الرياضيات).
• جيه شتاينريتم تنفيذ الإنشاءات الهندسية باستخدام خط مستقيم ودائرة ثابتة. - م: أوتشبيدجيز، 1939. - 80 ص.
• دورة اختيارية في الرياضيات. 7-9 / شركات. آي إل نيكولسكايا. - م: التربية، 1991. - ص 80. - 383 ص. -ردمك 5-09-001287-3

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

انظر ما هو "البناء باستخدام البوصلة والمسطرة" في القواميس الأخرى:

المساطر - احصل على قسيمة عمل للحصول على خصم على AllInstruments في Akademika أو قم بشراء المساطر بربح مع توصيل مجاني للبيع في AllInstruments

فرع من فروع الهندسة الإقليدية، عرف منذ القدم. في مهام البناء، تكون العمليات التالية ممكنة: تحديد نقطة عشوائية على المستوى، أو نقطة على أحد الخطوط المنشأة، أو نقطة تقاطع خطين مبنيين. بمساعدة... ... ويكيبيديا

تعتبر الإنشاءات باستخدام البوصلات والمساطر فرعًا من الهندسة الإقليدية المعروفة منذ القدم. في مهام البناء، تكون العمليات التالية ممكنة: تحديد نقطة عشوائية على المستوى، أو نقطة على أحد الخطوط المبنية، أو نقطة... ... ويكيبيديا

اسم، س، مستعمل. يقارن في كثير من الأحيان مورفولوجية: (لا) ماذا؟ البناء، ماذا؟ البناء، (أرى) ماذا؟ البناء، ماذا؟ البناء، حول ماذا؟ حول البناء رر. ماذا؟ البناء، (لا) ماذا؟ الانشاءات، لماذا؟ الإنشاءات، (أرى) ماذا؟ البناء بماذا؟... قاموس دميترييف التوضيحي

يعود