كيفية العثور على أكبر قيمة. الحد الأقصى للوظيفة

دعونا نرى كيفية فحص دالة باستخدام الرسم البياني. اتضح أنه من خلال النظر إلى الرسم البياني، يمكننا معرفة كل ما يهمنا، وهي:

مجال الوظيفة
نطاق الوظيفة
وظيفة الأصفار
فترات الزيادة والنقصان
الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط
أكبر وأصغر قيمة للدالة على القطعة.

دعونا نوضح المصطلحات:

الإحداثي السينيهو الإحداثي الأفقي للنقطة.
تنسيق- الإحداثيات العمودية.
محور الإحداثي السيني- المحور الأفقي، ويسمى في أغلب الأحيان بالمحور.
المحور ص- المحور الرأسي، أو المحور.

دعوى- متغير مستقل تعتمد عليه قيم الدالة. يشار في أغلب الأحيان.
بمعنى آخر، نختار ونستبدل الوظائف في الصيغة ونحصل على .

اِختِصاصوظائف - مجموعة قيم الوسيطات (وهذه فقط) التي توجد بها الوظيفة.
تمت الإشارة إليه بواسطة: أو .

في الشكل الذي لدينا، مجال تعريف الدالة هو القطعة. في هذا الجزء يتم رسم الرسم البياني للوظيفة. هذا هو المكان الوحيد الذي توجد فيه هذه الوظيفة.

نطاق الوظيفةهي مجموعة القيم التي يأخذها المتغير. في الشكل الخاص بنا، هذا مقطع - من القيمة الأدنى إلى القيمة الأعلى.

وظيفة الأصفار- النقاط التي تكون فيها قيمة الدالة صفراً. في الشكل لدينا هذه هي النقاط و .

قيم الوظيفة إيجابيةأين . في الشكل لدينا هذه هي الفواصل الزمنية و .
قيم الوظيفة سلبيةأين . بالنسبة لنا هذا هو الفاصل الزمني (أو الفاصل الزمني) من إلى .

أهم المفاهيم - وظيفة متزايدة ومتناقصةعلى مجموعة ما. كمجموعة، يمكنك أخذ قطعة، أو فاصل زمني، أو اتحاد فترات، أو خط الأعداد بأكمله.

وظيفة يزيد

بمعنى آخر، كلما زاد، زاد، أي أن الرسم البياني يتجه إلى اليمين وإلى الأعلى.

وظيفة يتناقصعلى مجموعة إذا كانت لأية وتنتمي إلى المجموعة، فإن عدم المساواة يعني عدم المساواة.

بالنسبة للدالة المتناقصة، تتوافق القيمة الأكبر مع القيمة الأصغر. الرسم البياني يذهب إلى اليمين وإلى الأسفل.

في الشكل الذي لدينا، تزيد الدالة على الفترة وتتناقص على الفواصل الزمنية و .

دعونا نحدد ما هو عليه الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الوظيفة.

النقطة القصوى- وهي نقطة داخلية من مجال التعريف، بحيث تكون قيمة الدالة فيها أكبر منها في جميع النقاط القريبة منها بدرجة كافية.
بمعنى آخر، النقطة القصوى هي النقطة التي تكون عندها قيمة الدالة أكثرمنه في الدول المجاورة. هذا "تل" محلي على الرسم البياني.

في الشكل لدينا هناك نقطة قصوى.

النقطة الدنيا- نقطة داخلية من مجال التعريف بحيث تكون قيمة الدالة فيها أقل منها في جميع النقاط القريبة منها بدرجة كافية.
أي أن النقطة الدنيا تكون بحيث تكون قيمة الدالة فيها أقل من قيمة جيرانها. هذه "ثغرة" محلية على الرسم البياني.

في الشكل لدينا هناك نقطة الحد الأدنى.

النقطة هي الحدود. إنها ليست نقطة داخلية لمجال التعريف وبالتالي لا تتناسب مع تعريف النقطة القصوى. بعد كل شيء، ليس لديها جيران على اليسار. وبنفس الطريقة، لا يمكن أن يكون هناك نقطة دنيا على الرسم البياني لدينا.

يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط معًا النقاط القصوى للوظيفة. في حالتنا هذا هو و .

ماذا تفعل إذا كنت بحاجة إلى العثور على، على سبيل المثال، وظيفة الحد الأدنىعلى الجزء؟ الجواب في هذه الحالة هو : . لأن وظيفة الحد الأدنىهي قيمته عند النقطة الدنيا.

وبالمثل، فإن الحد الأقصى لوظيفتنا هو . يتم الوصول إليه عند النقطة.

يمكننا القول أن الحدود القصوى للدالة تساوي و .

في بعض الأحيان تتطلب المشاكل العثور عليها أكبر وأصغر قيم للدالةعلى شريحة معينة. أنها لا تتزامن بالضرورة مع التطرف.

في حالتنا هذه أصغر قيمة دالةعلى المقطع يساوي ويتزامن مع الحد الأدنى من الوظيفة. لكن قيمته العظمى في هذا الجزء تساوي . يتم الوصول إليه في الطرف الأيسر من الجزء.

على أية حال، يتم تحقيق القيم الأكبر والأصغر للدالة المستمرة على قطعة ما إما عند أقصى النقاط أو عند نهايات القطعة.

من الناحية العملية، من الشائع جدًا استخدام المشتق لحساب أكبر وأصغر قيمة للدالة. نقوم بهذا الإجراء عندما نكتشف كيفية تقليل التكاليف، وزيادة الأرباح، وحساب الحمل الأمثل على الإنتاج، وما إلى ذلك، أي في الحالات التي نحتاج فيها إلى تحديد القيمة المثلى للمعلمة. لحل مثل هذه المشاكل بشكل صحيح، يجب أن يكون لديك فهم جيد للقيم الأكبر والأصغر للدالة.

عادةً ما نحدد هذه القيم ضمن فترة معينة x، والتي بدورها قد تتوافق مع مجال الدالة بالكامل أو جزء منها. يمكن أن يكون مثل المقطع [أ؛ ب ] ، وفاصل مفتوح (أ ; ب)، (أ ; ب ]، [ أ ; ب)، فاصل لا نهائي (أ ; ب)، (أ ; ب ]، [ أ ; ب) أو فاصل لا نهائي - ∞ ; أ , (- ∞ ; أ ] , [ أ ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

سنخبرك في هذه المادة بكيفية حساب القيم الأكبر والأصغر لدالة محددة بوضوح بمتغير واحد y=f(x) y = f (x) .

التعاريف الأساسية

لنبدأ، كما هو الحال دائمًا، بصياغة التعريفات الأساسية.

التعريف 1

أكبر قيمة للدالة y = f (x) في فترة معينة x هي القيمة m a x y = f (x 0) x ∈ X، والتي لأي قيمة x x ∈ X، x ≠ x 0 تجعل عدم المساواة f (x) ≥ و (خ) صالح 0) .

التعريف 2

أصغر قيمة للدالة y = f (x) في فترة زمنية معينة x هي القيمة m i n x ∈ X y = f (x 0) ، والتي لأي قيمة x ∈ X, x ≠ x 0 تجعل عدم المساواة f(X f (س) ≥ و (س 0) .

هذه التعريفات واضحة تماما. والأبسط من ذلك، يمكننا أن نقول ما يلي: أكبر قيمة للدالة هي أكبر قيمة لها على فترة معروفة عند الإحداثي السيني x 0، والأصغر هي أصغر قيمة مقبولة على نفس الفترة عند x 0.

التعريف 3

النقاط الثابتة هي قيم وسيطة الدالة التي يصبح عندها مشتقها 0.

لماذا نحتاج إلى معرفة ما هي النقاط الثابتة؟ للإجابة على هذا السؤال، علينا أن نتذكر نظرية فيرما. ويترتب على ذلك أن النقطة الثابتة هي النقطة التي يقع عندها الحد الأقصى للدالة القابلة للتفاضل (أي الحد الأدنى أو الحد الأقصى المحلي). وبالتالي، فإن الدالة سوف تأخذ أصغر أو أكبر قيمة في فترة زمنية معينة على وجه التحديد عند إحدى النقاط الثابتة.

يمكن أن تأخذ الدالة أيضًا القيمة الأكبر أو الأصغر عند تلك النقاط التي يتم فيها تعريف الدالة نفسها ولا يكون مشتقها الأول موجودًا.

السؤال الأول الذي يطرح نفسه عند دراسة هذا الموضوع: في كل الأحوال هل يمكننا تحديد أكبر أو أصغر قيمة للدالة في فترة معينة؟ لا، لا يمكننا القيام بذلك عندما تتطابق حدود فترة معينة مع حدود منطقة التعريف، أو إذا كنا نتعامل مع فترة لا نهائية. ويحدث أيضًا أن الدالة في مقطع معين أو عند اللانهاية ستأخذ قيمًا صغيرة بلا حدود أو كبيرة بلا حدود. في هذه الحالات، لا يمكن تحديد القيمة الأكبر و/أو الأصغر.

وستصبح هذه النقاط أكثر وضوحًا بعد توضيحها على الرسوم البيانية:

يوضح لنا الشكل الأول دالة تأخذ القيم الأكبر والأصغر (m a x y و m i n y) عند نقاط ثابتة تقع على القطعة [ - 6 ; 6].

دعونا نفحص بالتفصيل الحالة المشار إليها في الرسم البياني الثاني. دعونا نغير قيمة المقطع إلى [ 1 ; 6 ] ونجد أن القيمة القصوى للدالة ستتحقق عند النقطة التي يكون فيها الإحداثي الإحداثي عند الحد الأيمن للفاصل الزمني، والحد الأدنى - عند النقطة الثابتة.

في الشكل الثالث تمثل حروف النقاط النقاط الحدودية للمقطع [ - 3 ; 2]. إنها تتوافق مع أكبر وأصغر قيمة لوظيفة معينة.

الآن دعونا نلقي نظرة على الصورة الرابعة. فيه، تأخذ الدالة m a x y (أكبر قيمة) و m i n y (أصغر قيمة) عند نقاط ثابتة على الفترة المفتوحة (- 6 ; 6).

إذا أخذنا الفاصل الزمني [ 1 ; 6)، فيمكننا القول أن أصغر قيمة للدالة عليها ستتحقق عند نقطة ثابتة. القيمة الأكبر ستكون غير معروفة لنا. يمكن أن تأخذ الدالة قيمتها القصوى عند x تساوي 6 إذا كانت x = 6 تنتمي إلى الفاصل الزمني. وهذا هو بالضبط ما هو موضح في الرسم البياني 5.

في الرسم البياني 6، تكتسب هذه الدالة أصغر قيمة لها عند الحد الأيمن للفاصل الزمني (- 3; 2 ]، ولا يمكننا استخلاص استنتاجات محددة حول القيمة الأكبر.

في الشكل 7 نرى أن الدالة سيكون لها m a x y عند نقطة ثابتة لها حدود تساوي 1. ستصل الدالة إلى أدنى قيمة لها عند حدود الفاصل الزمني على الجانب الأيمن. عند علامة ناقص اللانهاية، ستقترب قيم الدالة بشكل مقارب من y = 3.

إذا أخذنا الفترة x ∈ 2 ; + ∞ ، فسنرى أن الدالة المعطاة لن تأخذ القيمة الأصغر ولا الأكبر فيها. إذا كانت x تميل إلى 2، فإن قيم الدالة ستميل إلى ناقص ما لا نهاية، لأن الخط المستقيم x = 2 هو خط مقارب رأسي. إذا كان الإحداثي السيني يميل إلى زائد ما لا نهاية، فإن قيم الدالة ستقترب بشكل مقارب من y = 3. وهذا هو بالضبط ما هو موضح في الشكل 8.

سنقدم في هذه الفقرة تسلسل الإجراءات التي يجب تنفيذها للعثور على أكبر أو أصغر قيمة لدالة في مقطع معين.

أولا، دعونا نجد مجال تعريف الدالة. دعونا نتحقق مما إذا كان الجزء المحدد في الشرط متضمنًا فيه.
الآن دعونا نحسب النقاط الموجودة في هذه القطعة التي لا يوجد فيها المشتق الأول. في أغلب الأحيان يمكن العثور عليها في الدوال التي تكون حجتها مكتوبة تحت علامة المعامل، أو في دوال القوة التي يكون أسها عددًا كسريًا.
بعد ذلك، سنكتشف أي النقاط الثابتة ستقع في المقطع المحدد. للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب مشتق الدالة، ثم معادلتها بـ 0 وحل المعادلة الناتجة، ثم تحديد الجذور المناسبة. إذا لم نحصل على نقطة ثابتة واحدة أو لم تقع ضمن المقطع المحدد، فإننا ننتقل إلى الخطوة التالية.
نحدد القيم التي ستأخذها الدالة عند نقاط ثابتة معينة (إن وجدت)، أو عند تلك النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول (إن وجد)، أو نحسب قيم x = a و س = ب.
5. لدينا عدد من قيم الدالة، والتي نحتاج الآن إلى تحديد الأكبر والأصغر منها. ستكون هذه القيم الأكبر والأصغر للدالة التي نحتاج إلى إيجادها.

دعونا نرى كيفية تطبيق هذه الخوارزمية بشكل صحيح عند حل المشكلات.

مثال 1

حالة:يتم إعطاء الدالة y = x 3 + 4 x 2. تحديد أكبر وأصغر قيمها على المقاطع [ 1 ; 4 ] و [ - 4 ; - 1] .

حل:

لنبدأ بإيجاد مجال تعريف دالة معينة. في هذه الحالة، ستكون مجموعة جميع الأعداد الحقيقية باستثناء 0. بمعنى آخر، D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . سيكون كلا المقطعين المحددين في الشرط داخل منطقة التعريف.

الآن نحسب مشتقة الدالة وفقًا لقاعدة تمايز الكسر:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 × 3

لقد تعلمنا أن مشتق الدالة سيكون موجودًا في جميع نقاط القطع [ 1 ; 4 ] و [ - 4 ; - 1] .

الآن نحن بحاجة إلى تحديد النقاط الثابتة للدالة. لنفعل ذلك باستخدام المعادلة x 3 - 8 x 3 = 0. وله جذر حقيقي واحد فقط وهو 2. ستكون نقطة ثابتة للدالة وستقع في الجزء الأول [1؛ 4 ] .

دعونا نحسب قيم الدالة في نهايات المقطع الأول وعند هذه النقطة أي ل س = 1، س = 2 و س = 4:

ص (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 ص (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 ص (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

وجدنا أن أكبر قيمة للدالة m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 سيتم تحقيقها عند x = 1، وأصغر m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = ص (2) = 3 – عند س = 2.

لا يتضمن المقطع الثاني نقطة ثابتة واحدة، لذلك نحتاج إلى حساب قيم الدالة فقط في نهايات المقطع المحدد:

ص (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

وهذا يعني m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = ص (- 4) = - 3 3 4 .

إجابة:للقطعة [ 1 ; 4 ] - م أ س ص س ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 للقطعة [ - 4 ; - 1 ] - م أ س ص س ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = ص (- 4) = - 3 3 4 .

انظر الصورة:

قبل دراسة هذه الطريقة، ننصحك بمراجعة كيفية حساب النهاية من جهة واحدة والحد عند اللانهاية بشكل صحيح، وكذلك التعرف على الطرق الأساسية لإيجادهما. للعثور على أكبر و/أو أصغر قيمة لدالة في فاصل زمني مفتوح أو لا نهائي، قم بتنفيذ الخطوات التالية بشكل تسلسلي.

تحتاج أولاً إلى التحقق مما إذا كان الفاصل الزمني المحدد عبارة عن مجموعة فرعية من مجال تعريف هذه الوظيفة.
دعونا نحدد جميع النقاط الموجودة في الفترة المطلوبة والتي لا يوجد عندها المشتق الأول. تحدث عادةً في الدوال حيث تكون الوسيطة محاطة بعلامة المعامل، وفي دوال القوة ذات الأس الكسرى. إذا كانت هذه النقاط مفقودة، فيمكنك المتابعة إلى الخطوة التالية.
والآن دعونا نحدد أي النقاط الثابتة ستقع ضمن الفترة المحددة. أولاً، نساوي المشتقة بالصفر، ونحل المعادلة ونختار الجذور المناسبة. إذا لم يكن لدينا نقطة ثابتة واحدة أو أنها لا تقع ضمن الفاصل الزمني المحدد، فإننا ننتقل على الفور إلى مزيد من الإجراءات. يتم تحديدها حسب نوع الفاصل الزمني.

إذا كان الفاصل الزمني على الشكل [ a ; ب) ، فنحن بحاجة لحساب قيمة الدالة عند النقطة x = a والحد من جانب واحد lim x → b - 0 f (x) .
إذا كان الفاصل الزمني بالشكل (a; b ]، فإننا نحتاج إلى حساب قيمة الدالة عند النقطة x = b والحد من جانب واحد lim x → a + 0 f (x).
إذا كان الفاصل الزمني بالشكل (a; b)، فإننا نحتاج إلى حساب الحدود أحادية الجانب lim x → b - 0 f (x)، lim x → a + 0 f (x).
إذا كان الفاصل الزمني على الشكل [ a ; + ∞)، ثم نحتاج إلى حساب القيمة عند النقطة x = a والحد عند plus infinity lim x → + ∞ f (x) .
إذا كانت الفترة تبدو بالشكل (- ∞ ; b ] ، فإننا نحسب القيمة عند النقطة x = b والحد عند سالب ما لا نهاية lim x → - ∞ f (x) .
إذا - ∞ ؛ b ، ثم نفكر في الحد من جانب واحد lim x → b - 0 f (x) والحد عند ناقص اللانهاية lim x → - ∞ f (x)
إذا - ∞؛ + ∞ ، ثم نفكر في حدود ناقص وزائد ما لا نهاية lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

في النهاية، تحتاج إلى استخلاص استنتاج بناءً على قيم وحدود الوظيفة التي تم الحصول عليها. هناك العديد من الخيارات المتاحة هنا. لذلك، إذا كانت النهاية من جانب واحد تساوي ناقص ما لا نهاية أو زائد ما لا نهاية، فمن الواضح على الفور أنه لا يمكن قول أي شيء عن أصغر وأكبر قيم الدالة. أدناه سننظر إلى مثال نموذجي واحد. سوف تساعدك الأوصاف التفصيلية على فهم ما هو. إذا لزم الأمر، يمكنك العودة إلى الأشكال 4-8 في الجزء الأول من المادة.

مثال 2

الحالة: دالة معينة y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . احسب قيمته الأكبر والأصغر في الفترات - ∞ ; - 4، - ∞؛ - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

حل

أولًا، نجد مجال تعريف الدالة. يحتوي مقام الكسر على ثلاثية الحدود التربيعية، والتي يجب ألا تتحول إلى 0:

x 2 + x - 6 = 0 د = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

لقد حصلنا على مجال تعريف الوظيفة التي تنتمي إليها جميع الفواصل الزمنية المحددة في الشرط.

الآن دعونا نفرق الوظيفة ونحصل على:

y" = 3 ه 1 × 2 + س - 6 - 4 " = 3 ه 1 × 2 + س - 6 " = 3 ه 1 × 2 + س - 6 1 × 2 + س - 6 " = = 3 · ه 1 س 2 + س - 6 · 1 " · س 2 + س - 6 - 1 · س 2 + س - 6 " (س 2 + س - 6) 2 = - 3 · (2 س + 1) · ه 1 س 2 + س - 6 س 2 + س - 6 2

وبالتالي، فإن مشتقات الدالة موجودة في كامل نطاق تعريفها.

دعنا ننتقل إلى إيجاد النقاط الثابتة. مشتقة الدالة تصبح 0 عند x = - 1 2 . هذه نقطة ثابتة تقع بين الفترات (- 3 ; 1 ] و (- 3 ; 2) .

لنحسب قيمة الدالة عند x = - 4 للفاصل الزمني (- ∞ ; - 4 ]، بالإضافة إلى النهاية عند سالب ما لا نهاية:

ص (- 4) = 3 ه 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 ه 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 ليم س → - ∞ 3 ه 1 س 2 + س - 6 = 3 ه 0 - 4 = - 1

بما أن 3 e 1 6 - 4 > - 1، فهذا يعني أن m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. هذا لا يسمح لنا بتحديد أصغر قيمة بشكل فريد لا يمكننا إلا أن نستنتج أن هناك قيدًا أدناه - 1، نظرًا لأن هذه القيمة تقترب الدالة بشكل مقارب من اللانهاية.

تكمن خصوصية الفاصل الزمني الثاني في عدم وجود نقطة ثابتة واحدة فيه ولا حدود صارمة واحدة. وبالتالي، لن نتمكن من حساب القيمة الأكبر أو الأصغر للدالة. بعد تحديد النهاية عند ناقص اللانهاية وبما أن الوسيطة تميل إلى - 3 على الجانب الأيسر، نحصل فقط على فاصل زمني من القيم:

ليم x → - 3 - 0 3 ه 1 س 2 + س - 6 - 4 = ليم س → - 3 - 0 3 ه 1 (س + 3) (س - 3) - 4 = 3 ه 1 (- 3 - 0) + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 ه 1 (+ 0) - 4 = 3 ه + ∞ - 4 = + ∞ ليم س → - ∞ 3 ه 1 س 2 + س - 6 - 4 = 3 ه 0 - 4 = - 1

وهذا يعني أن قيم الدالة ستكون موجودة في الفاصل الزمني - 1؛ +∞

لإيجاد أكبر قيمة للدالة في الفترة الثالثة، نحدد قيمتها عند النقطة الثابتة x = - 1 2 إذا x = 1. سنحتاج أيضًا إلى معرفة النهاية من جانب واحد للحالة التي تميل فيها الوسيطة إلى - 3 على الجانب الأيمن:

ص - 1 2 = 3 ه 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 ه 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 ص (1) = 3 ه 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 ليم س → - 3 + 0 3 ه 1 س 2 + س - 6 - 4 = ليم س → - 3 + 0 3 ه 1 (س + 3) (س - 2) - 4 = 3 ه 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 ه 1 (- 0) - 4 = 3 ه - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

اتضح أن الدالة ستأخذ القيمة الأكبر عند نقطة ثابتة m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. أما القيمة الأصغر فلا يمكننا تحديدها. كل ما نعرفه , هو وجود الحد الأدنى ل -4 .

بالنسبة للفاصل الزمني (- 3 ؛ 2)، خذ نتائج الحساب السابق واحسب مرة أخرى ما يساويه الحد من جانب واحد عند الميل إلى 2 على الجانب الأيسر:

ص - 1 2 = 3 ه 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 ه - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 ليم x → - 3 + 0 3 ه 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 ليم x → 2 - 0 3 ه 1 x 2 + x - 6 - 4 = ليم x → - 3 + 0 3 ه 1 (س + 3) (س - 2) - 4 = 3 ه 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 ه 1 - 0 - 4 = 3 ه - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

وهذا يعني أن m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4، ولا يمكن تحديد القيمة الأصغر، وقيم الدالة محدودة من الأسفل بالرقم - 4 .

وبناء على ما حصلنا عليه في الحسابين السابقين، يمكننا القول أنه على الفترة [ 1 ; 2) ستأخذ الدالة القيمة الأكبر عند x = 1، لكن من المستحيل العثور على القيمة الأصغر.

في الفترة (2 ; + ∞) لن تصل الدالة إلى القيمة الأكبر أو الأصغر، أي. سوف يستغرق القيم من الفاصل الزمني - 1 ; + ∞ .

ليم س → 2 + 0 3 ه 1 س 2 + س - 6 - 4 = ليم س → - 3 + 0 3 ه 1 (س + 3) (س - 2) - 4 = 3 ه 1 (2 + 0 + 3) ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 ه 1 (+ 0) - 4 = 3 ه + ∞ - 4 = + ∞ ليم س → + ∞ 3 ه 1 س 2 + س - 6 - 4 = 3 ه 0 - 4 = - 1

بعد أن حسبنا قيمة الدالة التي ستساويها عند x = 4، نجد أن m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , والدالة المعطاة عند زائد ما لا نهاية ستقترب بشكل غير مقارب من الخط المستقيم y = - 1 .

دعونا نقارن ما حصلنا عليه في كل عملية حسابية مع الرسم البياني للدالة المحددة. في الشكل، تظهر الخطوط المقاربة بخطوط منقطة.

هذا كل ما أردنا إخبارك به حول إيجاد القيم الأكبر والأصغر للدالة. ستساعدك تسلسلات الإجراءات التي قدمناها على إجراء الحسابات اللازمة في أسرع وقت ممكن وببساطة قدر الإمكان. لكن تذكر أنه غالبًا ما يكون من المفيد أولاً معرفة الفواصل الزمنية التي ستنخفض فيها الدالة والفواصل الزمنية التي ستزيد فيها، وبعد ذلك يمكنك استخلاص المزيد من الاستنتاجات. بهذه الطريقة يمكنك تحديد القيم الأكبر والأصغر للدالة بشكل أكثر دقة وتبرير النتائج التي تم الحصول عليها.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

خوارزمية للعثور على القيم الأكبر والأصغر لدالة مستمرة على مقطع:

1) ابحث عن جميع النقاط الحرجة للوظيفة التي تنتمي إلى القطعة؛

2) احسب قيم الدالة عند هذه النقاط وفي نهايات المقطع؛

3) من القيم التي تم الحصول عليها، حدد الأكبر والأصغر.

مثال 8.1.العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة
على الجزء
.

حل. 1) أوجد النقاط الحرجة للدالة.

,




.

على الجزء
القاسم لا يختفي. لذلك، يكون الكسر يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان البسط يساوي صفرًا:




.

وسائل،
- النقطة الحرجة للوظيفة. إنه ينتمي إلى هذه الشريحة.

لنجد قيمة الدالة عند النقطة الحرجة:

2) ابحث عن قيم الوظيفة في نهايات المقطع:

, .

3) من القيم التي تم الحصول عليها، حدد الأكبر والأصغر:

,
.

9. مشاكل إيجاد القيم الأكبر والأصغر للكميات

عند حل المشكلات التي تتضمن حساب أصغر وأكبر قيم للكميات، يجب عليك أولاً تحديد الكمية في المشكلة التي تحتاج إلى العثور على أصغر أو أكبر قيمة. وستكون هذه القيمة هي الوظيفة قيد الدراسة. ثم ينبغي أن تؤخذ إحدى الكميات التي يعتمد عليها تغيرها تطبيق الدالة كمتغير مستقل ويتم التعبير عن الدالة من خلاله. في هذه الحالة، من الضروري اختيار القيمة التي يتم من خلالها التعبير عن الوظيفة قيد الدراسة كمتغير مستقل. بعد ذلك، يتم حل مشكلة العثور على أصغر وأكبر قيم للدالة الناتجة في فترة زمنية معينة من التغيير في المتغير المستقل، والتي عادة ما يتم تأسيسها من جوهر المشكلة.

مثال 9.1.أوجد ارتفاع المخروط ذي أكبر حجم يمكن نقشه في كرة نصف قطرها .

ر قرار.تحديد نصف قطر القاعدة والارتفاع وحجم المخروط على التوالي ,و ، دعنا نكتب
. تعبر هذه المساواة عن الاعتماد على متغيرين و ; دعونا نستبعد واحدة من هذه الكميات، وهي . للقيام بذلك، من المثلث الأيمن
نشتق (باستخدام النظرية حول مربع العمود العمودي المسقط من قمة الزاوية القائمة إلى الوتر):

الشكل 6 – رسم توضيحي على سبيل المثال 9.1.

أو
.

استبدال القيمة في صيغة حجم المخروط نحصل على:

ونحن نرى أن حجم مخروط منقوش في كرة من نصف القطر ، هناك دالة لارتفاع هذا المخروط . إن العثور على الارتفاع الذي يكون فيه حجم المخروط المنقوش كبيرًا يعني العثور على مثل هذا ، حيث الوظيفة لديه الحد الأقصى. نحن نبحث عن الوظيفة القصوى:

1)
,

2)
,
,
، أين
أو
,

3)
.

استبدال بدلا من ذلك في البدايه
، وثم
، نحن نحصل:

في الحالة الأولى لدينا الحد الأدنى (
في
) ، في الثانية الحد الأقصى المطلوب (منذ
في
).

لذلك متى
مخروط منقوش في كرة من نصف القطر , لديه أكبر حجم.

ص مثال 9.2. مطلوب سياج بطول شبكة سلكية 60 ممنطقة مستطيلة ملاصقة لجدار المنزل (الشكل 7). ما هو طول وعرض قطعة الأرض بحيث تكون مساحتها أكبر؟

حل.دع عرض المؤامرة م، والمنطقة م 2 ، ثم:

الشكل 7 – رسم توضيحي على سبيل المثال 9.2.

قيم و لا يمكن أن تكون سلبية، وبالتالي فإن المضاعف
، أ
.

مربع هناك وظيفة ، نحدد فترات الزيادة والنقصان:

.
، وتزداد الدالة عندما
;
، وتنخفض الدالة عندما
. ولذلك النقطة
هي النقطة القصوى. لأن هذه هي النقطة الوحيدة التي تنتمي إلى الفاصل الزمني
، ثم عند هذه النقطة
الوظيفة هي الأكثر أهمية.

ولذلك تكون مساحة قطعة الأرض أكبر (أقصى) إذا كان العرض
م،والطول م.

مثال 9.3.ما ينبغي أن تكون أبعاد غرفة مستطيلة مساحتها 36 م 2 بحيث يكون محيطه أصغر؟

حل. دع الطول يكون م،ثم عرض المستطيل م، والمحيط:

محيط هناك وظيفة الطول ، محددة لجميع القيم الإيجابية :
.

دعونا نحدد فترات الزيادة والنقصان:

يتم تحديد علامة المشتقة من خلال علامة الفرق
. في هذه الأثناء

، وبينهما

.

ولذلك النقطة
هي النقطة الدنيا. نظرًا لأن هذه هي النقطة الوحيدة التي تنتمي إلى الفاصل الزمني:
، ثم عند هذه النقطة
الدالة لها أصغر قيمة.

ولذلك، فإن محيط المستطيل له أصغر قيمة (أدنى) إذا كان طوله 6 موالعرض م = 6 م،أي عندما يكون مربعًا.

$\blacktriangleright$ للعثور على أكبر/أصغر قيمة لدالة في المقطع  ، من الضروري تصوير الرسم البياني للدالة في هذا المقطع بشكل تخطيطي.
في المسائل المتعلقة بهذا الموضوع الفرعي، يمكن إجراء ذلك باستخدام المشتقة: أوجد فترات التزايد ($f">0$ ) والتناقص ($f"<0$ ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

$\blacktriangleright$ لا تنس أن الدالة يمكن أن تأخذ القيمة الأكبر/الأصغر ليس فقط عند النقاط الداخلية للمقطع ، ولكن أيضًا عند أطرافه.

$\blacktriangleright$ أكبر/أصغر قيمة للدالة هي قيمة الإحداثيات $y=f(x)$ .

$\blacktriangleright$ تم العثور على مشتق دالة معقدة $f(t(x))$ وفقًا للقاعدة: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(مشتق) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(array)\]

المهمة 1 #2357

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

أوجد أصغر قيمة للدالة $y = e^(x^2 - 4)$ في المقطع $[-10; -2]$ .

ODZ: $x$ – تعسفي.

1) \

\ وبالتالي، $y" = 0$ لـ $x = 0$ .

3) دعونا نجد فترات الإشارة الثابتة $y"$ على القطعة قيد النظر $[-10; -2]$ :

4) رسم بياني للمقطع $[-10; -2]$ :

وبالتالي، تصل الدالة إلى أصغر قيمة لها عند $[-10; -2]$ عند $x = -2$ .

\ الإجمالي: $1$ – أصغر قيمة للدالة $y$ في $[-10; -2]$ .

الجواب: 1

المهمة 2 #2355

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

$y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)$على المقطع $[-1; 1]$ .

ODZ: $x$ – تعسفي.

1) \

دعونا نجد النقاط الحرجة (أي النقاط الداخلية لمجال تعريف الدالة التي يكون مشتقها يساوي $0$ أو غير موجود): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]المشتق موجود لأي $x$ .

2) ابحث عن فترات الإشارة الثابتة $y"$ :

3) دعونا نجد فترات الإشارة الثابتة $y"$ على القطعة قيد النظر $[-1; 1]$ :

4) رسم بياني للمقطع $[-1; 1]$ :

وبالتالي، تصل الدالة إلى أكبر قيمة لها عند $[-1; 1]$ عند $x = -1$ أو عند $x = 1$ . دعونا نقارن قيم الوظيفة في هذه النقاط.

\ الإجمالي: $2$ – أكبر قيمة للدالة $y$ في $[-1; 1]$ .

الجواب: 2

المهمة 3 #2356

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

أوجد أصغر قيمة للدالة $y = \cos 2x$ على القطعة  .

ODZ: $x$ – تعسفي.

1) \

دعونا نجد النقاط الحرجة (أي النقاط الداخلية لمجال تعريف الدالة التي يكون مشتقها يساوي $0$ أو غير موجود): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\]المشتق موجود لأي $x$ .

2) ابحث عن فترات الإشارة الثابتة $y"$ :

(يوجد هنا عدد لا حصر له من الفترات التي تتناوب فيها علامات المشتق).

3) دعونا نجد فترات الإشارة الثابتة $y"$ على القطعة قيد النظر :

4) رسم بياني للمقطع  :

وبالتالي، تصل الدالة إلى أصغر قيمة لها في  عند $x = \dfrac(\pi)(2)$ .

\ الإجمالي: $-1$ – أصغر قيمة للدالة $y$ في  .

الجواب: -1

المهمة 4 #915

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

أوجد أكبر قيمة للدالة

$y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)$.

ODZ: $2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0$ . دعونا نقرر بشأن ODZ:

1) دعنا نشير إلى $2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)$ ، ثم $y(t)=-\log_(17)t$ .

دعونا نجد النقاط الحرجة (أي النقاط الداخلية لمجال تعريف الدالة التي يكون مشتقها يساوي $0$ أو غير موجود): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]- على ODZ، حيث نجد الجذر $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ . مشتق الدالة $y$ غير موجود عندما $2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0$ ، لكن هذه المعادلة لها مميز سلبي، وبالتالي ليس لها حلول. من أجل العثور على أكبر/أصغر قيمة للدالة، عليك أن تفهم كيف يبدو الرسم البياني الخاص بها بشكل تخطيطي.

2) ابحث عن فترات الإشارة الثابتة $y"$ :

3) رسم الرسم البياني:

وبالتالي، تصل الدالة إلى أكبر قيمة لها عند $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ :

$y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0$,

الإجمالي: $0$ – أكبر قيمة للدالة $y$ .

الجواب: 0

المهمة 5 #2344

مستوى المهمة: يساوي امتحان الدولة الموحدة

أوجد أصغر قيمة للدالة

$y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)$.

ODZ: $x^2 + 8x + 19 > 0$ . دعونا نقرر بشأن ODZ:

1) دعنا نشير إلى $x^2 + 8x + 19=t(x)$ ، ثم $y(t)=\log_(3)t$ .

دعونا نجد النقاط الحرجة (أي النقاط الداخلية لمجال تعريف الدالة التي يكون مشتقها يساوي $0$ أو غير موجود): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]- على ODZ، حيث نجد الجذر $x = -4$ . مشتقة الدالة $y$ غير موجودة عندما $x^2 + 8x + 19 = 0$، لكن هذه المعادلة لها مميز سلبي، وبالتالي ليس لها حلول. من أجل العثور على أكبر/أصغر قيمة للدالة، عليك أن تفهم كيف يبدو الرسم البياني الخاص بها بشكل تخطيطي.

2) ابحث عن فترات الإشارة الثابتة $y"$ :

3) رسم الرسم البياني:

وبالتالي، $x = -4$ هي النقطة الدنيا للدالة $y$ ويتم تحقيق أصغر قيمة عندها:

$y(-4) = \log_(3)3 = 1$ .

الإجمالي: $1$ – أصغر قيمة للدالة $y$ .

الجواب: 1

المهمة 6 #917

مستوى المهمة: أصعب من امتحان الدولة الموحدة

أوجد أكبر قيمة للدالة

$y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))$.

دع الدالة $z=f(x,y)$ محددة ومستمرة في بعض النطاقات المغلقة المحددة $D$. افترض أن الوظيفة المعطاة في هذه المنطقة لها مشتقات جزئية محدودة من الدرجة الأولى (باستثناء، ربما، عدد محدود من النقاط). للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة لمتغيرين في منطقة مغلقة معينة، يلزم ثلاث خطوات من خوارزمية بسيطة.

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة $z=f(x,y)$ في مجال مغلق $D$.

أوجد النقاط الحرجة للدالة $z=f(x,y)$ التي تنتمي إلى المجال $D$. حساب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة.
التحقق من سلوك الدالة $z=f(x,y)$ على حدود المنطقة $D$، وإيجاد نقاط القيم القصوى والدنيا الممكنة. احسب قيم الوظيفة عند النقاط التي تم الحصول عليها.
من قيم الدالة التي تم الحصول عليها في الفقرتين السابقتين، حدد الأكبر والأصغر.

ما هي النقاط الحرجة؟ اظهر المخفي

تحت نقاط حرجةتشير إلى نقاط تكون عندها المشتقتان الجزئيتان من الدرجة الأولى مساوية للصفر (أي $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ و$\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) أو على الأقل لا يوجد مشتق جزئي واحد.

غالبًا ما يتم استدعاء النقاط التي تكون عندها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى مساوية للصفر نقاط ثابتة. وبالتالي، فإن النقاط الثابتة هي مجموعة فرعية من النقاط الحرجة.

المثال رقم 1

ابحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة $z=x^2+2xy-y^2-4x$ في منطقة مغلقة يحدها السطور $x=3$ و$y=0$ و$y=x +1$.

سوف نتبع ما سبق، ولكن أولاً سنتعامل مع رسم منطقة معينة، والتي سنشير إليها بالحرف $D$. لدينا معادلات ثلاثة خطوط مستقيمة تحدد هذه المساحة. يمر الخط المستقيم $x=3$ عبر النقطة $(3;0)$ بالتوازي مع المحور الإحداثي (محور Oy). الخط المستقيم $y=0$ هو معادلة محور الإحداثي السيني (محور الثور). حسنًا، لبناء الخط $y=x+1$، سنجد نقطتين سنرسم من خلالهما هذا الخط. يمكنك بالطبع استبدال قيمتين عشوائيتين بدلاً من $x$. على سبيل المثال، بالتعويض $x=10$، نحصل على: $y=x+1=10+1=11$. لقد وجدنا النقطة $(10;11)$ الواقعة على السطر $y=x+1$. ومع ذلك، فمن الأفضل العثور على تلك النقاط التي يتقاطع عندها الخط المستقيم $y=x+1$ مع الخطين $x=3$ و$y=0$. لماذا هذا أفضل؟ لأننا سنقتل عصفورين بحجر واحد: سنحصل على نقطتين لبناء الخط المستقيم $y=x+1$ وفي نفس الوقت نكتشف عند أي نقاط يتقاطع هذا الخط المستقيم مع الخطوط الأخرى التي تحد المنطقة المحددة. يتقاطع السطر $y=x+1$ مع السطر $x=3$ عند النقطة $(3;4)$، ويتقاطع السطر $y=0$ عند النقطة $(-1;0)$. وحتى لا تشوش سير الحل بالتفسيرات المساعدة، سأضع مسألة الحصول على هاتين النقطتين في ملاحظة.

كيف تم الحصول على النقاط $(3;4)$ و$(-1;0)$؟ اظهر المخفي

لنبدأ من نقطة تقاطع الخطين $y=x+1$ و$x=3$. تنتمي إحداثيات النقطة المطلوبة إلى كل من الخطين المستقيمين الأول والثاني، لذلك للعثور على الإحداثيات المجهولة، عليك حل نظام المعادلات:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

الحل لمثل هذا النظام تافه: بالتعويض $x=3$ في المعادلة الأولى التي سنحصل عليها: $y=3+1=4$. النقطة $(3;4)$ هي نقطة التقاطع المطلوبة للخطين $y=x+1$ و$x=3$.

الآن دعونا نجد نقطة تقاطع الخطين $y=x+1$ و$y=0$. دعونا مرة أخرى نؤلف ونحل نظام المعادلات:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

بالتعويض $y=0$ في المعادلة الأولى، نحصل على: $0=x+1$، $x=-1$. النقطة $(-1;0)$ هي نقطة التقاطع المطلوبة للخطين $y=x+1$ و$y=0$ (المحور x).

كل شيء جاهز لبناء رسم سيبدو كما يلي:

يبدو سؤال المذكرة واضحا، لأنه يمكن رؤية كل شيء من الصورة. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن الرسم لا يمكن أن يكون بمثابة دليل. الرسم لأغراض توضيحية فقط.

تم تعريف منطقتنا باستخدام معادلات الخطوط التي تربطها. من الواضح أن هذه الخطوط تحدد المثلث، أليس كذلك؟ أم أنها ليست واضحة تماما؟ أو ربما تم إعطاؤنا مساحة مختلفة، يحدها نفس الخطوط:

طبعا الشرط يقول أن المنطقة مغلقة وبالتالي الصورة المعروضة غير صحيحة. ولكن لتجنب مثل هذا الغموض، فمن الأفضل تعريف المناطق على أساس عدم المساواة. هل نحن مهتمون بجزء المستوى الواقع تحت الخط المستقيم $y=x+1$؟ حسنًا، $y ≥ x+1$. هل يجب أن تقع منطقتنا فوق الخط $y=0$؟ عظيم، وهذا يعني $y ≥ 0$. بالمناسبة، يمكن بسهولة دمج المتباينتين الأخيرتين في متباينة واحدة: $0 ≥ y ≥ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≥ y ≥ x+1;\\ & x ≥ 3. \end(aligned) \right. $$

تحدد أوجه عدم المساواة هذه المنطقة $D$، وتحددها بشكل لا لبس فيه، دون السماح بأي غموض. ولكن كيف يساعدنا هذا في الإجابة على السؤال المذكور في بداية المذكرة؟ سيساعد ذلك أيضًا :) نحتاج إلى التحقق مما إذا كانت النقطة $M_1(1;1)$ تنتمي إلى المنطقة $D$. دعونا نستبدل $x=1$ و$y=1$ في نظام المتباينات الذي يحدد هذه المنطقة. إذا تحققت المتباينتان، فإن النقطة تقع داخل المنطقة. إذا لم يتم استيفاء إحدى المتباينات على الأقل، فإن النقطة لا تنتمي إلى المنطقة. لذا:

$$ \left \( \begin(محاذاة) & 0 ≥ 1 ≥ 1+1;\\ & 1 ≥ 3. \end(محاذاة) \right. \;\; \left \( \begin(محاذاة) & 0 ≥ 1 ≥ 2;\\ & 1 ≥ 3. \end(محاذاة) \right $$.

كلا عدم المساواة صحيحة. النقطة $M_1(1;1)$ تنتمي إلى المنطقة $D$.

والآن جاء دور دراسة سلوك الدالة عند حدود المنطقة، أي. لنذهب إلى . لنبدأ بالخط المستقيم $y=0$.

يحد الخط المستقيم $y=0$ (المحور x) المنطقة $D$ تحت الشرط $-1 ≥ x ≥ 3$. دعونا نستبدل $y=0$ في الدالة المعطاة $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. نشير إلى دالة متغير واحد $x$ تم الحصول عليه نتيجة الاستبدال كـ $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

الآن بالنسبة للدالة $f_1(x)$، نحتاج إلى العثور على أكبر وأصغر القيم في الفترة $-1 ≥ x ≥ 3$. لنجد مشتقة هذه الدالة ونساويها بالصفر:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

تنتمي القيمة $x=2$ إلى المقطع $-1 ≥ x ≥ 3$، لذلك سنضيف أيضًا $M_2(2;0)$ إلى قائمة النقاط. بالإضافة إلى ذلك، دعونا نحسب قيم الدالة $z$ في نهايات المقطع $-1 ≥ x ≥ 3$، أي. عند النقطتين $M_3(-1;0)$ و$M_4(3;0)$. بالمناسبة، إذا كانت النقطة $M_2$ لا تنتمي إلى المقطع قيد النظر، فلن تكون هناك حاجة بالطبع لحساب قيمة الدالة $z$ فيها.

لذلك، دعونا نحسب قيم الدالة $z$ عند النقاط $M_2$، $M_3$، $M_4$. يمكنك بالطبع استبدال إحداثيات هذه النقاط في التعبير الأصلي $z=x^2+2xy-y^2-4x$. على سبيل المثال، بالنسبة للنقطة $M_2$ نحصل على:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

ومع ذلك، يمكن تبسيط الحسابات قليلا. للقيام بذلك، يجدر بنا أن نتذكر أنه في المقطع $M_3M_4$ لدينا $z(x,y)=f_1(x)$. سأكتبها بالتفصيل:

\begin(محاذاة) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(محاذاة)

بالطبع، عادة لا تكون هناك حاجة لمثل هذه السجلات التفصيلية، وفي المستقبل سنكتب جميع الحسابات بإيجاز:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

الآن دعونا ننتقل إلى الخط المستقيم $x=3$. يحد هذا الخط المستقيم المنطقة $D$ تحت الشرط $0 ≥ y ≥ 4$. لنستبدل $x=3$ في الدالة المعطاة $z$. نتيجة لهذا الاستبدال نحصل على الدالة $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

بالنسبة للدالة $f_2(y)$ نحتاج إلى العثور على أكبر وأصغر القيم في الفاصل الزمني $0 ≥ y ≥ 4$. لنجد مشتقة هذه الدالة ونساويها بالصفر:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

تنتمي القيمة $y=3$ إلى المقطع $0 ≥ y ≥ 4$، لذلك سنضيف أيضًا $M_5(3;3)$ إلى النقاط التي تم العثور عليها مسبقًا. بالإضافة إلى ذلك، من الضروري حساب قيمة الدالة $z$ عند النقاط الموجودة في نهايات المقطع $0 ≥ y ≥ 4$، أي. عند النقطتين $M_4(3;0)$ و$M_6(3;4)$. عند النقطة $M_4(3;0)$ قمنا بالفعل بحساب قيمة $z$. دعونا نحسب قيمة الدالة $z$ عند النقطتين $M_5$ و$M_6$. اسمحوا لي أن أذكرك أنه في المقطع $M_4M_6$ لدينا $z(x,y)=f_2(y)$، وبالتالي:

\begin(محاذاة) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(محاذاة)

وأخيرًا، ضع في اعتبارك الحد الأخير للمنطقة $D$، أي. خط مستقيم $y=x+1$. يحد هذا الخط المستقيم المنطقة $D$ تحت الشرط $-1 ≥ x ≥ 3$. بالتعويض $y=x+1$ في الدالة $z$، سيكون لدينا:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

مرة أخرى لدينا دالة ذات متغير واحد $x$. ومرة أخرى نحتاج إلى إيجاد أكبر وأصغر قيم لهذه الدالة على الفترة $-1 ≥ x ≥ 3$. دعونا نوجد مشتقة الدالة $f_(3)(x)$ ونساويها بالصفر:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

تنتمي القيمة $x=1$ إلى الفاصل الزمني $-1 ≥ x ≥ 3$. إذا كان $x=1$، فإن $y=x+1=2$. دعونا نضيف $M_7(1;2)$ إلى قائمة النقاط ونكتشف قيمة الدالة $z$ في هذه المرحلة. النقاط في نهايات المقطع $-1 ≥ x ≥ 3$، أي. تم أخذ النقطتين $M_3(-1;0)$ و$M_6(3;4)$ في الاعتبار سابقًا، وقد وجدنا بالفعل قيمة الدالة فيهما.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

اكتملت الخطوة الثانية من الحل. لقد حصلنا على سبع قيم:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

دعونا ننتقل إلى. باختيار القيم الأكبر والأصغر من الأرقام التي تم الحصول عليها في الفقرة الثالثة سيكون لدينا:

$$z_(دقيقة)=-4; \; z_(الحد الأقصى)=6.$$

تم حل المشكلة، كل ما تبقى هو كتابة الجواب.

إجابة: $z_(دقيقة)=-4; \; z_(الحد الأقصى)=6$.

المثال رقم 2

ابحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة $z=x^2+y^2-12x+16y$ في المنطقة $x^2+y^2 ≥ 25$.

أولا، دعونا نبني الرسم. تحدد المعادلة $x^2+y^2=25$ (هذا هو الخط الحدودي لمنطقة معينة) دائرة مركزها عند نقطة الأصل (أي عند النقطة $(0;0)$) ونصف قطرها 5. إن المتراجحة $x^2 +y^2 ≥ $25 تحقق جميع النقاط الموجودة داخل الدائرة المذكورة وعلى متنها.

سوف نتصرف وفقا لذلك. دعونا نجد المشتقات الجزئية ونكتشف النقاط الحرجة.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

لا توجد نقاط لا توجد فيها المشتقات الجزئية الموجودة. دعونا نتعرف على النقاط التي تساوي فيها المشتقتان الجزئيتان الصفر في نفس الوقت، أي. دعونا نجد النقاط الثابتة.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8 \end(محاذاة) \right $$.

لقد حصلنا على نقطة ثابتة $(6;-8)$. ومع ذلك، فإن النقطة التي تم العثور عليها لا تنتمي إلى المنطقة $D$. من السهل إظهار ذلك دون اللجوء إلى الرسم. دعونا نتحقق مما إذا كانت المتباينة $x^2+y^2 ≥ 25$ صامدة، والتي تحدد منطقتنا $D$. إذا كان $x=6$، $y=-8$، فإن $x^2+y^2=36+64=100$، أي. عدم المساواة $x^2+y^2 ≥ 25$ لا تصمد. الخلاصة: النقطة $(6;-8)$ لا تنتمي إلى المنطقة $D$.

لذلك، لا توجد نقاط حرجة داخل المنطقة $D$. دعنا ننتقل إلى... نحن بحاجة إلى دراسة سلوك وظيفة على حدود منطقة معينة، أي. على الدائرة $x^2+y^2=25$. يمكننا بالطبع التعبير عن $y$ بدلالة $x$، ثم استبدال التعبير الناتج في الدالة $z$. من معادلة الدائرة نحصل على: $y=\sqrt(25-x^2)$ أو $y=-\sqrt(25-x^2)$. بالتعويض، على سبيل المثال، $y=\sqrt(25-x^2)$ في الدالة المحددة، سيكون لدينا:

$$ ض=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2)؛ \;\; -5×× ≥ 5.$$

وسيكون الحل الإضافي مطابقا تماما لدراسة سلوك الدالة عند حدود المنطقة في المثال السابق رقم 1. ومع ذلك، يبدو لي أكثر منطقية لتطبيق طريقة لاغرانج في هذه الحالة. سنكون مهتمين فقط بالجزء الأول من هذه الطريقة. بعد تطبيق الجزء الأول من طريقة لاغرانج، سنحصل على النقاط التي سنقوم عندها بفحص الدالة $z$ لمعرفة القيم الدنيا والقصوى.

نحن نؤلف وظيفة لاغرانج:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

نجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج ونؤلف نظام المعادلات المقابل:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (محاذاة) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \left \( \begin(محاذاة) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end(محاذاة)\right.$ $

لحل هذا النظام، دعونا نشير على الفور إلى أن $\lambda\neq -1$. لماذا $\lambda\neq -1$؟ دعونا نحاول التعويض $\lambda=-1$ في المعادلة الأولى:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; س-س=6; \; 0=6. $$

يشير التناقض الناتج $0=6$ إلى أن القيمة $\lambda=-1$ غير مقبولة. الإخراج: $\lambda\neq -1$. لنعبر عن $x$ و $y$ بدلالة $\lambda$:

\begin(محاذاة) & x+\lambda x=6;\; x(1+\لامدا)=6;\; س=\فارك(6)(1+\لامدا). \\ & y+\lambda y=-8;\; ذ(1+\لامدا)=-8;\; ص=\فارك(-8)(1+\لامدا). \end(محاذاة)

أعتقد أنه أصبح من الواضح هنا سبب اشتراطنا الشرط $\lambda\neq -1$ على وجه التحديد. وقد تم ذلك لملاءمة التعبير $1+\lambda$ في المقامات دون أي تدخل. أي للتأكد من أن المقام $1+\lambda\neq 0$.

دعونا نستبدل التعبيرات الناتجة عن $x$ و $y$ في المعادلة الثالثة للنظام، أي. في $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\لامدا)^2)+\فارك(64)((1+\لامدا)^2)=25;\\ \فارك(100)((1+\لامدا)^2)=25 ; \; (1+\لامدا)^2=4. $$

ويترتب على المساواة الناتجة أن $1+\lambda=2$ أو $1+\lambda=-2$. وبالتالي لدينا قيمتان للمعلمة $\lambda$، وهما: $\lambda_1=1$، $\lambda_2=-3$. وبناء على ذلك، نحصل على زوجين من القيم $x$ و $y$:

\begin(محاذاة) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(محاذاة)

وبذلك نكون قد حصلنا على نقطتين من أقصى الشرط الممكن، أي. $M_1(3;-4)$ و $M_2(-3;4)$. لنجد قيم الدالة $z$ عند النقطتين $M_1$ و $M_2$:

\begin(محاذاة) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(محاذاة)

يجب أن نختار القيم الأكبر والأصغر من تلك التي حصلنا عليها في الخطوتين الأولى والثانية. لكن في هذه الحالة يكون الاختيار صغيرًا :) لدينا:

$$ z_(دقيقة)=-75; \; ض_(الحد الأقصى)=125. $$

إجابة: $z_(دقيقة)=-75; \; z_(الحد الأقصى)=125 دولارًا.