حاشية. ملاحظة: مواضع دون تكرار. إعادة الترتيب. مجموعات. علاقات التكرار طريقة أخرى للإثبات. عملية الأقسام المتعاقبة. المهمة: "صعوبة التخصص".
مواضع دون التكرار
هناك عناصر مختلفة. كم منهم يمكن ترتيبها؟ وفي هذه الحالة، يعتبر الترتيبان مختلفين إذا كانا إما يختلفان عن بعضهما البعض في عنصر واحد على الأقل، أو يتكونان من نفس العناصر، ولكن بترتيب مختلف. تسمى مثل هذه الترتيبات مواضع دون تكرار، ويشار إلى عددهم بواسطة . عند تجميع المواضع دون تكرار العناصر، نحتاج إلى اتخاذ خيارات. في الخطوة الأولى، يمكنك تحديد أي من العناصر المتاحة. إذا تم هذا الاختيار بالفعل، ففي الخطوة الثانية عليك الاختيار من بين العناصر المتبقية. في الخطوة -th من الكائنات. ولذلك، وبحسب قاعدة المنتج نجد أن عدد المواضع دون تكرار الكائنات يتم التعبير عنه على النحو التالي:
إعادة الترتيب
عند تجميع الترتيبات دون تكرار للعناصر، حصلنا على ترتيبات تختلف عن بعضها البعض في تكوين العناصر وترتيبها. أما إذا اتخذنا ترتيبات تشمل جميع العناصر، فإنها لا يمكن أن تختلف عن بعضها البعض إلا في ترتيب العناصر المتضمنة فيها. تسمى مثل هذه الترتيبات التباديل من العناصر n، أو باختصار، التباديل.
مجموعات
في الحالات التي لا نكون فيها مهتمين بترتيب العناصر في المجموعة، ولكننا مهتمون فقط بتكوينها، فإننا نتحدث عن المجموعات. إذن، مجموعات العناصر هي جميع أنواع الترتيبات المكونة من هذه العناصر وتختلف عن بعضها البعض في التركيب، ولكن ليس في ترتيب العناصر. يُشار إلى عدد المجموعات التي يمكن أن تتكون من العناصر بالرمز .
يتم الحصول على معادلة عدد المجموعات من معادلة عدد المواضع. في الواقع، دعونا أولاً نؤلف كل شيء - مجموعات من العناصر، ثم نعيد ترتيب العناصر المضمنة في كل مجموعة بكل الطرق الممكنة. في هذه الحالة، يتبين أن جميعها عبارة عن مواضع للعناصر، كل منها مرة واحدة فقط. ولكن يمكنك عمل مجموعات من كل منها! التباديل، وعدد هذه المجموعات يساوي . لذا فإن الصيغة صحيحة
ومن هذه الصيغة نجد ذلك
علاقات التكرار
عند حل العديد من المشاكل التوافقية، يستخدمون طريقة اختزال مشكلة معينة إلى مشكلة تتضمن عددًا أقل من الكائنات. تسمى طريقة تقليل مشكلة مماثلة لعدد أقل من الكائنات طريقة العلاقات التكرارية(من اللاتينية "recurrere" - "للعودة").
نوضح مفهوم العلاقات التكرارية من خلال مشكلة كلاسيكية طرحها حوالي عام 1202 ليوناردو البيزا، المعروف باسم فيبوناتشي. إن أهمية أرقام فيبوناتشي لتحليل الخوارزميات التوافقية تجعل هذا المثال مناسبًا تمامًا.
طرح فيبوناتشي المشكلة في شكل قصة عن معدل نمو مجموعة الأرانب في ظل الافتراضات التالية. كل شيء يبدأ بزوج واحد من الأرانب. يصبح كل زوج خصبًا بعد شهر، وبعد ذلك يلد كل زوج زوجًا جديدًا من الأرانب كل شهر. الأرانب لا تموت أبدًا ولا يتوقف تكاثرها أبدًا.
ليكن عدد أزواج الأرانب في الجماعة بعد أشهر، ولتكن هذه الجماعة مكونة من أزواج ذرية وأزواج "قديمة"، أي . وهكذا ستحدث في الشهر القادم الأحداث التالية: . سيزداد عدد السكان المسنين في ذلك الوقت بمقدار عدد الولادات في ذلك الوقت. 
. كل زوجين مسنين في وقت ما ينتجان زوجًا من النسل في وقت ما. ويتكرر هذا النمط خلال الشهر التالي:
وبجمع هذه المساواة نحصل على العلاقة التكرارية التالية:
| (7.1) |
إن اختيار الشروط الأولية لتسلسل أرقام فيبوناتشي ليس مهما؛ يتم تحديد الخاصية الأساسية لهذا التسلسل من خلال علاقة التكرار. سوف نفترض (أحياناً 
).
دعونا ننظر إلى هذه المشكلة بشكل مختلف قليلا.
يلد زوج من الأرانب مجموعة من أرنبين (أنثى وذكر) مرة واحدة في الشهر، وتلد الأرانب حديثة الولادة ذرية بعد شهرين من الولادة. كم عدد الأرانب التي ستظهر خلال العام إذا كان هناك زوج واحد من الأرانب في بداية العام؟
ويترتب على ظروف المشكلة أنه في غضون شهر سيكون هناك زوجين من الأرانب. وبعد شهرين، سوف يلد الزوج الأول فقط من الأرانب، وسيكون هناك 3 أزواج. وفي شهر آخر، سيلد كل من زوج الأرانب الأصلي وزوج الأرانب الذي ظهر قبل شهرين. لذلك، سيكون هناك 5 أزواج من الأرانب في المجموع. ولندل على عدد أزواج الأرانب بعد أشهر من بداية العام. من الواضح أنه في غضون بضعة أشهر سيكون هناك عدد أكبر من أزواج الأرانب حديثي الولادة كما كان في نهاية الشهر، أي المزيد من أزواج الأرانب. بمعنى آخر، هناك علاقة تكرارية
| (7.2) |
منذ ذلك الحين، حسب الشرط، و، نجد باستمرار
بخاصة، 
.
يتم استدعاء الأرقام أرقام فيبوناتشي. لديهم عدد من الخصائص الرائعة. الآن دعونا نشتق التعبير عن هذه الأرقام من خلال . للقيام بذلك، سوف نقوم بإنشاء اتصال بين أرقام فيبوناتشي والمسألة التوافقية التالية.
أوجد عدد المتتابعات التي تتكون من أصفار وآحاد والتي لا يوجد فيها رقمان متتاليان.
لإثبات هذا الارتباط، لنأخذ أي تسلسل من هذا القبيل ونقارن به زوجًا من الأرانب وفقًا للقاعدة التالية: يتوافق كل منها مع أشهر ميلاد أحد أزواج "أسلاف" هذا الزوج (بما في ذلك الزوج الأصلي)، و الأصفار تتوافق مع جميع الأشهر الأخرى. على سبيل المثال، التسلسل 010010100010 يؤسس "سلسلة الأنساب" التالية: الزوجان نفسهان ظهرا في نهاية الشهر الحادي عشر، ووالداه في نهاية الشهر السابع، و"الجد" في نهاية الشهر الخامس، و"الجد الأكبر" في نهاية الشهر الخامس. -الجد" في نهاية الشهر الثاني. يتم بعد ذلك تشفير زوج الأرانب الأصلي بالتسلسل 000000000000.
من الواضح أنه في هذه الحالة لا يمكن أن تظهر وحدتان متتاليتان في أي تسلسل - فالزوج الذي ظهر للتو لا يمكنه، وفقًا للشرط، أن ينجب ذرية في شهر واحد. بالإضافة إلى ذلك، مع القاعدة المحددة، تتوافق أزواج الأرانب المختلفة مع تسلسلات مختلفة، والعكس صحيح، فإن زوجين مختلفين من الأرانب لديهما دائمًا "نسب" مختلفة، لأنه وفقًا للشرط، تلد أنثى الأرنب ذرية تتكون من فقط زوج واحد من الأرانب.
يوضح الاتصال الذي تم إنشاؤه أن عدد التسلسلات التي تمتلك الخاصية المحددة يساوي .
دعونا الآن نثبت ذلك
| (7.3) |
أين إذا كان غريبا وإذا كان زوجيا. وبعبارة أخرى، - الجزء الصحيح من الرقم (في المستقبل سوف نشير إلى الجزء الصحيح من الرقم بواسطة ؛ وبالتالي، 
).
في الواقع، هو عدد جميع تسلسلات الأصفار والواحدات التي لا يوجد فيها أي رقمين متجاورين. عدد هذه التسلسلات، التي تحتوي بالضبط على الآحاد والأصفار، يساوي . وبما أنه يجب القيام بذلك
أرقام فيبوناتشي.
عند حل العديد من المشاكل التوافقية، يستخدمون طريقة اختزال مشكلة معينة إلى مشكلة تتضمن عددًا أقل من العناصر. على سبيل المثال، يمكنك استخلاص صيغة لعدد التباديل:
وهذا يدل على أنه يمكن دائمًا اختزاله إلى مضروب رقم أصغر.
من الأمثلة الجيدة على بناء علاقات التكرار مشكلة فيبوناتشي. في كتابه عام 1202، طرح عالم الرياضيات الإيطالي فيبوناتشي المشكلة التالية. يلد زوج من الأرانب أرنبين صغيرين (أنثى وذكر) مرة واحدة في الشهر، وتلد الأرانب حديثة الولادة نفسها بعد شهرين من الولادة. كم عدد الأرانب التي ستظهر خلال عام إذا كان هناك زوج واحد من الأرانب في البداية.
يترتب على شروط المشكلة أنه في غضون شهر سيكون هناك زوجين من الأرانب، وفي غضون شهرين فقط الزوج الأول من الأرانب الذي ظهر قبل شهرين سوف ينتج ذرية، لذلك سيكون هناك 3 أزواج من الأرانب في المجموع. في شهر آخر سيكون هناك بالفعل 5 أزواج. وما إلى ذلك وهلم جرا.
ولندل على عدد أزواج الأرانب بعد أشهر من بداية العام. ثم بعد شهر يمكن إيجاد عدد أزواج الأرانب باستخدام الصيغة:
وتسمى هذه التبعية علاقة تكرارية . كلمة "العودة" تعني العودة (في حالتنا، العودة إلى النتائج السابقة).
حسب الشرط، ثم بالعلاقة لدينا:،، وما إلى ذلك، .
التعريف 1:يتم استدعاء الأرقام أرقام فيبوناتشي . هذا تسلسل معروف للأرقام في الرياضيات:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
في هذا التسلسل، كل رقم لاحق هو مجموع الرقمين السابقين. وفي العلاقة التكرارية، يتم العثور على الحد اللاحق أيضًا كمجموع الحدين السابقين.
دعونا نقيم علاقة بين أرقام فيبوناتشي والمشكلة التوافقية. لنفترض أننا بحاجة إلى العثور على عدد من التسلسلات التي تتكون من الأصفار والآحاد والتي لا يوجد فيها اثنان على التوالي.
لنأخذ أي تسلسل من هذا القبيل ونطابق زوجًا من الأرانب به وفقًا للقاعدة التالية: تتوافق الأصفار مع أشهر ميلاد أحد أزواج "أسلاف" هذا الزوج (بما في ذلك الزوج الأصلي)، وتتوافق الأصفار مع جميع الأشهر الأخرى شهور. على سبيل المثال، يؤسس التسلسل مثل هذا "النسب" - الزوجان نفسهان ظهرا في نهاية الشهر الحادي عشر، ووالداهما في نهاية الشهر السابع، و"الجد" في نهاية الشهر الخامس، و"الجد الأكبر" في نهاية الشهر الخامس. -الجد" في نهاية الشهر الثاني. يتم تشفير الزوج الأولي بالتسلسل. لا يمكن لوحدتين أن تقفا على التوالي في أي تسلسل - فالزوج الذي ظهر للتو لا يمكنه أن ينجب ذرية في شهر واحد. من الواضح أن التسلسلات المختلفة تتوافق مع أزواج مختلفة والعكس صحيح.
وبالتالي، فإن عدد التسلسلات ذات الخصائص المحددة يساوي .
النظرية 1:تم العثور على الرقم كمجموع المعاملات ذات الحدين:. إذا - غريب، ثم. إذا - حتى، ثم. وإلا: – جزء صحيح من الرقم .
دليل:في الواقع، هو عدد جميع التسلسلات من 0 و1 التي لا يوجد فيها أي رقمين متجاورين. عدد هذه التسلسلات التي تحتوي بالضبط على الآحاد والأصفار يساوي، ثم يختلف من 0 إلى. وبتطبيق قاعدة المجموع نحصل على هذا المجموع.
ويمكن إثبات هذه المساواة بشكل مختلف. دعنا نشير إلى:
ومن المساواة يترتب على ذلك . وبالإضافة إلى ذلك، فمن الواضح أن. نظرًا لأن كلا التسلسلين يلبيان علاقة التكرار، إذن و .
التعريف 2:علاقة التكرار لديها طلب ، إذا كان يسمح بالحساب من خلال الأعضاء السابقين في التسلسل: .
على سبيل المثال، علاقة تكرارية من الدرجة الثانية، وعلاقة تكرارية من الدرجة الثالثة. نسبة فيبوناتشي هي علاقة من الدرجة الثانية.
التعريف 3: عن طريق الحلعلاقة التكرار هي تسلسل يرضي هذه العلاقة.
إذا تم إعطاء علاقة ترتيب متكررة، فإنها تتحقق بعدد لا نهائي من التسلسلات، لأن يمكن تعيين العناصر الأولى بشكل تعسفي. أما إذا قدمت العناصر الأولى فإن باقي الشروط تحدد منفردة.
على سبيل المثال، بالإضافة إلى التسلسل 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، ... الذي تمت مناقشته أعلاه، يمكن أيضًا تحقيق نسبة فيبوناتشي من خلال تسلسلات أخرى. على سبيل المثال، التسلسل 2، 2، 4، 8، 12،... مبني على نفس المبدأ. ولكن إذا قمت بتحديد الحدود الأولية (هناك 2 منهم في تسلسل فيبوناتشي)، فسيتم تحديد الحل بشكل فريد. حيث أن العديد من المصطلحات الأولية تؤخذ على أنها ترتيب العلاقة.
باستخدام علاقات التكرار المعروفة والمصطلحات الأولية، يمكننا كتابة حدود المتتابعة الواحدة تلو الأخرى، وبهذه الطريقة يمكننا الحصول على أي من حدودها. لكن في كثير من الحالات، لا نحتاج إلى جميع الأعضاء السابقين، بل نحتاج إلى عضو واحد محدد فقط. في هذه الحالة، من الأفضل أن يكون لديك صيغة للحد العاشر من المتتابعة.
سنقول أن تسلسلًا معينًا هو حل لعلاقة تكرارية معينة إذا كانت العلاقة راضية بشكل مماثل عند استبدال هذا التسلسل.
على سبيل المثال، التسلسل هو أحد حلول العلاقة: . من السهل التحقق من ذلك من خلال استبدال بسيط.
التعريف 4:يسمى الحل لعلاقة التكرار من الترتيب -th عام ، إذا كانت تعتمد على ثوابت اعتباطية، فتغييرها يمكن الحصول على أي حل لهذه العلاقة.
على سبيل المثال، بالنسبة للعلاقة فإن الحل العام سيكون .
في الواقع، من السهل التحقق من أن هذا سيكون حلاً لعلاقتنا. دعونا نبين أنه يمكن الحصول على أي حل في هذا النموذج. دعهم يكونون تعسفيين.
ثم سيكون هناك أولئك الذين
من الواضح أن نظام المعادلات لديه حل فريد.
التعريف 5:تسمى العلاقة التكرارية خطي ، إذا كانت مكتوبة على الشكل:
أين هي المعاملات العددية.
بشكل عام، لا توجد قواعد عامة لحل العلاقات المتكررة التعسفية. ومع ذلك، هناك قواعد حل عامة لحل علاقات التكرار الخطية.
دعونا نفكر أولاً في العلاقة من الدرجة الثانية.
يعتمد حل هذه العلاقة على العبارات التالية.
النظرية 2:إذا كان و - حلاً لعلاقة تكرار معينة من الرتبة الثانية، فإن أي أرقام والتسلسل هو أيضًا حل لهذه العلاقة.
النظرية 3:إذا كان الرقم هو جذر المعادلة التربيعية، فإن المتتابعة هي حل للعلاقة التكرارية.
من النظريات 2, 3 فيما يلي القاعدة التالية لحل علاقات التكرار الخطية من الدرجة الثانية.
دعونا نعطي علاقة تكرار.
1) لنقم بعمل معادلة تربيعية تسمى صفة مميزة لنسبة معينة. دعونا نجد الجميعجذور هذه المعادلة (وإن كانت متعددة ومعقدة).
2) لنقم بإنشاء حل عام لعلاقة التكرار. يعتمد هيكلها على نوع الجذور (متماثلة أو مختلفة).
أ) إذا كانت هذه العلاقة اثنين جذور مختلفةومن ثم فإن الحل العام للعلاقة له الشكل .
في الواقع، من النظريات 2, 3 ويترتب على ذلك - حل ونظام المعادلات
لديه حل واحد، لأنه بشرط .
على سبيل المثال، بالنسبة لأرقام فيبوناتشي، لدينا . المعادلة المميزة لها الشكل: . وبحل المعادلة الأخيرة نحصل على الجذور:، .
إذا كانت جميع جذور المعادلة المميزة مختلفة فإن الحل العام يكون على الصورة: .
إذا، على سبيل المثال، فإن هذا الجذر يتوافق مع الحلول:
لهذه العلاقة التكرارية. في الحل العام، هذا الجذر يتوافق مع الجزء .
على سبيل المثال، حل علاقة التكرار:
نؤلف معادلة مميزة من الشكل : .
جذورها هي... ولذلك، هناك حل عام.
الحسابات التوافقية على مجموعات محدودة
مقدمة إلى التوافقيات
موضوع نظرية الخوارزميات التوافقية، والذي يُطلق عليه غالبًا الحساب التوافقي، هو الحساب على الهياكل الرياضية المنفصلة. في هذه النظرية، يتم إيلاء الكثير من الاهتمام للنهج الخوارزمي لحل مشاكل الرياضيات المنفصلة، وتحسين اختيار الخيارات، وتقليل عدد الحلول قيد النظر.
يتضمن مجال الخوارزميات التوافقية المشكلات التي تتطلب حساب (تقدير) عدد العناصر في مجموعة محدودة أو إدراج هذه العناصر بترتيب خاص (الملحق ب). في هذه الحالة، يتم استخدام إجراءات اختيار العناصر ذات الإرجاع ومتغيراتها على نطاق واسع.
هناك نوعان من مشاكل العد. في الحالة البسيطة، يتم تحديد مجموعة محددة وهي مطلوبة تحديد عدد العناصر بدقةفيه. في الحالة العامة، هناك مجموعة من المجموعات المحددة بواسطة بعض المعلمات، ويتم تحديد أصل المجموعة كدالة للمعلمة. في نفس الوقت غالبا ما يحدث تقدير كاف لترتيب وظيفةوأحيانا تحتاج فقط تقدير معدل نموها. على سبيل المثال، إذا كانت قوة المجموعة التي سيتم أخذها في الاعتبار تنمو بشكل كبير على طول بعض المعلمات، فقد يكون هذا كافيًا للتخلي عن النهج المقترح لدراسة المشكلة دون التعامل مع التفاصيل المختلفة. يتم تطبيق إجراءات التوسعات المقاربة وعلاقات التكرار ووظائف التوليد على هذا النوع الأكثر عمومية من المشاكل.
مقاربات
الخط المقارب هو خط خاص (في أغلب الأحيان خط مستقيم) يمثل الحد الأقصى للمنحنى قيد النظر.
التقارب هو فن تقدير ومقارنة معدلات نمو الوظائف. يقولون ذلك عندما X®¥ الدالة "تتصرف مثل X"، أو" يزداد بنفس المعدل X"، وعندما X®0 "يتصرف مثل 1/ س". يقولون أن "سجل سفي س®0 وأي e>0 يتصرف مثل سه ، وماذا في ن®¥ لا ينمو بشكل أسرع من نسجل ن"مثل هذه العبارات غير الدقيقة ولكن البديهية مفيدة في مقارنة الوظائف مثل النسب<, £ и = при сравнивании чисел.
دعونا نحدد ثلاث علاقات مقاربة رئيسية.
التعريف 1.وظيفة F(س) يعادل ز(س) في X® × 0، إذا وفقط إذا كان =1.
في هذه الحالة يقال أن الوظيفة F(س) يساوي الدالة بشكل مقارب ز(س) أو ماذا F(س) ينمو بنفس المعدل ز(س).
التعريف 2. F(س)=س( ز(س)) في س® × 0، إذا وفقط إذا كان =0.
يقولون ذلك عندما س® × 0 و(س) ينمو أبطأ من ز(س)، أو ماذا F(س) "هناك القليل" من ز(س).
التعريف 3 . F(س)=يا( ز(س)) في س® × 0، إذا وفقط إذا كان هناك ثابت C بحيث يكون sub =C.
في هذه الحالة يقولون ذلك F(س) لا ينمو بشكل أسرع من ز(س)، أو ماذا س® × 0 و(س) "هناك O كبير" من ز(س).
نسبة F(س)=ز(س)+س(ح(س)) في س®¥ يعني ذلك F(س)-ز(س)=س(ح(س)). على نفس المنوال F(س)=ز(س)+عن(ح(س)) يعني أن F(س)-ز(س)=O(ح(س)).
يمكن أيضًا استخدام التعبيرات O(·) وo(·) في المتباينات. على سبيل المثال، عدم المساواة س+س(س) 2 جنيه استرليني سفي س®0 يعني ذلك لأي وظيفة F(س) مثل ذلك F(س)=س(س)، في س®¥ العلاقة قائمة س+و(س) 2 جنيه استرليني سلجميع القيم الكبيرة بما فيه الكفاية X.
دعونا نقدم بعض المساواة المقاربة المفيدة.
كثير الحدود يساوي بشكل مقارب الحد الرئيسي له:
في س®¥; (4.1)
في س®¥; (4.2)
في س®¥ و ك#0. (4.3)
مجموع قوى الأعداد الصحيحة يحقق العلاقة:
في ن®¥. (4.4)
وبالتالي، على وجه الخصوص، لدينا ل ن®¥
في حالة أكثر عمومية، متى ن®¥ ولأي عدد صحيح ك³0
; (4.6)
. (4.7)
علاقات التكرار
نوضح مفهوم علاقات التكرار باستخدام مشكلة كلاسيكية طرحها ودرسها فيبوناتشي حوالي عام 1200.
طرح فيبوناتشي مشكلته في شكل قصة عن معدل نمو مجموعة من الأرانب في ظل الافتراضات التالية. كل شيء يبدأ بزوج واحد من الأرانب. يصبح كل زوج من الأرانب قادرًا على الإنجاب بعد شهر، وبعد ذلك يلد كل زوج زوجًا جديدًا من الأرانب كل شهر. الأرانب لا تموت أبدًا ولا يتوقف تكاثرها أبدًا. يترك الجبهة الوطنية- عدد أزواج الأرانب في المجتمع بعد نأشهر والسماح لهذه الفئة من السكان تتكون من نأزواج ذرية و علىالأزواج "القديمة"، أي. الجبهة الوطنية = ن + على. وبالتالي، ستحدث الأحداث التالية في الشهر المقبل:
السكان القدامى في ( ن+1) اللحظة ستزيد بعدد الولادات في تلك اللحظة الزمنية ن، أي. يا ن+1 = على + ن= الجبهة الوطنية;
كل قديم في لحظة نينتج الزوج في الوقت المناسب ( ن+1) زوج من النسل، أي. ن +1= CN.
ويتكرر هذا النمط خلال الشهر التالي:
يا ن+2 = يا ن+1+ ن +1= الجبهة الوطنية +1,
ن+2=يا ن+1;
وبجمع هذه التساويات نحصل على علاقة تكرار فيبوناتشي:
يا ن+2 + ن+2=الجبهة الوطنية +1 + يا ن+1,
الجبهة الوطنية +2 = الجبهة الوطنية +1 + الجبهة الوطنية. (4.8)
إن اختيار الشروط الأولية لتسلسل أرقام فيبوناتشي ليس مهما؛ يتم تحديد الخصائص الأساسية لهذا التسلسل من خلال علاقة التكرار (4.8). ويعتقد عادة ف 0=0, ف 1=1 (في بعض الأحيان يُفترض ف 0=ف 1=1).
علاقة التكرار (4.8) هي حالة خاصة من علاقات التكرار الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة:
س ن = أ 1 × ن-1 + أ 2 × ن-2 +…أ ك × ن-ك، (4.9)
أين هي المعاملات ألا تعتمد على نو × 1, × 2, …, س كتعتبر معطاة.
هناك طريقة عامة للحل (أي إيجاد س نكوظائف ن) علاقات التكرار الخطية ذات المعاملات الثابتة. دعونا نفكر في هذه الطريقة باستخدام العلاقة (4.8) كمثال. دعونا نجد الحل في النموذج
الجبهة الوطنية=كر ن (4.10)
مع ثابت معو ص. باستبدال هذا التعبير في (4.8)، نحصل على
كر ن + 2 = كر ن + 1 + كر ن,
كر ن(ص ن -ر-1)=0. (4.11)
هذا يعني انه الجبهة الوطنية=كر نهو الحل إذا كان أي منهما مع=0، أو ص= 0 (وبالتالي F n =0 للجميع ن) وأيضًا (وهذه حالة أكثر إثارة للاهتمام) إذا ص 2 - ص -1=0، وثابت معاِعتِباطِيّ. ثم من (4.11) يتبع
ص= أو ص = . (4.12)
يُعرف الرقم "1.618" بالنسبة "الذهبية"، حيث كان يُعتقد منذ العصور القديمة أن المثلث (المستطيل) الذي أضلاعه 1 له النسب الأكثر إرضاءً للعين.
من الواضح أن مجموع حلين لعلاقة تكرارية خطية متجانسة هو أيضًا حل، ويمكن للمرء في الواقع إظهار أن الحل العام لتسلسل فيبوناتشي هو
الجبهة الوطنية= 
, (4.13)
أين الثوابت معو مع'يتم تحديدها من خلال الشروط الأولية. وبوضع F 0 =0 وF 1 =1، نحصل على نظام المعادلات الخطية التالي:
, (4.14)
الحل الذي يعطي
ج = -ج" = . (4.15)
العلاقات المتكررة
العلاقات المتكررة
(من lat. recur-rens، gen. case recurrentis - return) - f-lys من نفس النوع، والتي تربط تسلسلات معينة تتبع بعضها البعض (يمكن أن يكون هذا تسلسلًا من الأرقام والوظائف وما إلى ذلك). اعتمادًا على طبيعة الكائنات المرتبطة بالنظام، يمكن أن تكون هذه العلاقات جبرية، أو وظيفية، أو تفاضلية، أو تكاملية، وما إلى ذلك.
نائب. فئة R.s المعروفة هي وظائف متكررة لـ وظائف خاصة.نعم لاجل وظائف أسطوانية Z م (x) ص. مع. يبدو مثل
أنها تسمح وفقا للوظيفة ض م0 (خ)ابحث عن الوظائف Zm(x)في ت= ت 0 ب 1, ت 0 ب 2إلخ أو، على سبيل المثال، حسب قيم الوظائف 
عند نقطة معينة X 0 . 0 ابحث (في الحسابات العددية) عن قيمة أي من الوظائف
وفي نفس النقطة (هنا م 0 - أي عدد حقيقي).
دكتور. فئة مهمة من R. s. إعطاء طرق عديدة للتقريبات المتعاقبة (انظر. طريقة التكرار)؛يتم تضمين الأساليب هنا أيضًا. نظرية الاضطراب.
في ميكانيكا الكم، هناك نوع آخر من النظام الديناميكي الذي يربط المتجهات في فضاء هيلبرت للحالات. على سبيل المثال، يتم تحديد معلمات مذبذبات التناغم الثابتة بواسطة أعداد صحيحة غير سالبة. المتجهات المقابلة، المشار إليها بـ ، حيث ن- كامل، مع مختلف نيمكن الحصول عليها من بعضها البعض من خلال عمل مشغلي الإنشاء أ +والدمار أ:
ويمكن حل هذه العلاقات بالتعبير عن أي متجه بدلالة (حالة الطاقة الأدنى، ح = 0):
تعميم هذا البناء هو التمثيل التكميم الثانويفي إحصائيات الكم الميكانيكا ونظرية المجال الكمي (انظر فوكافضاء).
مثال نموذجي لـ R. s. في الإحصائية الميكانيكا - معادلات وظائف التوزيع الجزئية التي تشكل سلسلة بوجوليوبوف (انظر. معادلات بوجوليوبوف)؛تتيح لك معرفة هذه الوظائف العثور على جميع الديناميكا الحرارية. خصائص النظام.
في نظرية المجال الكمي، ديناميكية الواردة، على سبيل المثال، في وظائف اللون الأخضر.لحسابها، استخدم مختلف. التقريبات، في أغلب الأحيان - الحسابات باستخدام نظرية الاضطراب. يعتمد النهج البديل على التكامل التفاضلي معادلات دايسون,وهي أنظمة R.: تحتوي معادلة دالة النقطة الخضراء على دالة ذات أربع نقاط، وما إلى ذلك. مثل معادلة بوجوليوبوف، لا يمكن حل هذا النظام إلا عن طريق "كسر" السلسلة (عادة ما يتم اختيار مكان "الفاصل" من الاعتبارات المادية ويحدد ما يتم الحصول عليه).
نوع آخر من R. s. في نظرية المجال الكمي - الحشد لديه هوياتفي النظريات حقول القياس.تمثل هذه الهويات أيضًا سلسلة من العلاقات التفاضلية التكاملية التي تربط وظائف جرين بوظائف مختلفة. عدد الخطوط الخارجية، p هي نتيجة لقياس ثبات النظرية. إنهم يلعبون دورًا حاسمًا في التحقق من تماثل المقياس أثناء الإجراء. إعادة التطبيع.
وأخيرًا، فهو أيضًا إجراء متكرر: في كل خطوة (في كل حلقة لاحقة) الأعضاء المضادين,تم الحصول عليها من حساب المخططات ذات الحلقات الأقل (لمزيد من التفاصيل، راجع عملية R).إيه إم مالوكوستوف.
الموسوعة الفيزيائية. في 5 مجلدات. - م: الموسوعة السوفيتية. رئيس التحرير أ.م.بروخوروف. 1988 .
تعرف على "العلاقات المتكررة" الموجودة في القواميس الأخرى:
علاقات التكرار- - [إل جي سومينكو. قاموس إنجليزي روسي في مجال تكنولوجيا المعلومات. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] موضوعات تكنولوجيا المعلومات بشكل عام EN علاقات التكرار ... دليل المترجم الفني
- (دوال ويبر) اسم عام للدوال الخاصة وهي عبارة عن حلول للمعادلات التفاضلية يتم الحصول عليها بتطبيق طريقة فصل المتغيرات لمعادلات الفيزياء الرياضية مثل معادلة لابلاس، المعادلة ... ... ويكيبيديا
أو قافية العد لجوزيفوس، وهي مسألة رياضية شهيرة ذات إيحاءات تاريخية. تعتمد المهمة على الأسطورة القائلة بأن مفرزة يوسيفوس، التي كانت تدافع عن مدينة يودفات، لم ترغب في الاستسلام لقوات الرومان المتفوقة التي سدت الكهف.... ... ويكيبيديا
بافنوتي لفوفيتش تشيبيشيف في الرياضيات، متوالية كثيرات الحدود المتعامدة هي متوالية لا نهائية من كثيرات الحدود الحقيقية... ويكيبيديا
هذه المقالة مقترحة للحذف. ويمكن الاطلاع على شرح الأسباب والمناقشة المقابلة لها على صفحة ويكيبيديا: سيتم حذفه / 22 نوفمبر 2012. بينما تستمر عملية المناقشة ... ويكيبيديا
تسلسل بادوفان هو تسلسل صحيح P(n) بقيم أولية وعلاقة تكرار خطية. القيم الأولى لـ P(n) هي 1، 1، 1، 2، 2، 3، 4، 5، 7. ، 9، 12، 16، 21، 28، 37، 49، 65، 86، 114، 151، 200، 265 ... ويكيبيديا
كثيرات الحدود هيرميت من نوع معين هي سلسلة من كثيرات الحدود لمتغير حقيقي واحد. تنشأ كثيرات حدود هيرميت في نظرية الاحتمالات، والتوافقيات، والفيزياء. تمت تسمية كثيرات الحدود هذه على اسم تشارلز هيرميت. المحتويات 1... ...ويكيبيديا
- (دوال بسل) حلول Zv(z) معادلة بيسل حيث المعلمة (الفهرس) v عبارة عن رقم حقيقي أو مركب عشوائي. في التطبيقات، يتم في كثير من الأحيان مواجهة معادلة تعتمد على أربعة معلمات: يتم التعبير عن حلولها بدلالة C... الموسوعة الفيزيائية
طريقة لحل نظام من الأنظمة الجبرية الخطية. المعادلات A x = b مع مصفوفة هرميتية غير منحلة A. ومن بين الطرق المباشرة، فهي الأكثر فعالية عند تنفيذها على الكمبيوتر. يعتمد المخطط الحسابي للطريقة عمومًا على التحليل الهرمي... ... الموسوعة الرياضية
دوال Bessel المعدلة هي دوال Bessel لحجة خيالية بحتة. إذا قمنا بالاستبدال في معادلة بيسل التفاضلية فستأخذ الشكل وتسمى هذه المعادلة بمعادلة بيسل المعدلة ... ويكيبيديا
مع حجم كبير من بيانات المراقبة Xتؤدي الطرق المحدودة لحل معادلة الاحتمالية إلى صعوبات حسابية كبيرة مرتبطة بالحاجة إلى تذكر عدد كبير من البيانات الأولية والنتائج الوسيطة للحسابات. في هذا الصدد، هناك أهمية خاصة للطرق المتكررة التي يتم فيها حساب الحد الأقصى لتقدير الاحتمالية في خطوات تزداد دقة تدريجيًا، مع ربط كل خطوة بالحصول على بيانات ملاحظة جديدة، ويتم إنشاء الإجراء المتكرر بطريقة يتم تخزينها في الذاكرة. أقل قدر ممكن من البيانات من الخطوات السابقة. هناك ميزة إضافية وهامة جدًا من الناحية العملية للطرق المتكررة وهي استعدادها لتحقيق نتائج في أي خطوة وسيطة.
وهذا يجعل من المستحسن استخدام الطرق المتكررة حتى في الحالات التي يكون فيها من الممكن الحصول على حل دقيق لمعادلة الاحتمالية القصوى بالطريقة المحدودة، ويجعلها أكثر قيمة عندما يكون من المستحيل العثور على تعبير تحليلي دقيق لتقدير الحد الأقصى احتمالية.
دع مجموعة بيانات المراقبة تكون تسلسلًا لوصف ما نقدمه من متجه. (كما هو الحال دائمًا، يمكن أن يكون كل مكون من مكوناته، بدوره، ناقلًا، أو جزءًا من عملية عشوائية، وما إلى ذلك). اسمحوا أن تكون وظيفة الاحتمال، و
اللوغاريتم الخاص به. يمكن دائمًا تمثيل الأخير في النموذج
لوغاريتم دالة الاحتمال لمجموعة من بيانات المراقبة دون القيمة الأخيرة، و
لوغاريتم كثافة الاحتمالية المشروطة للقيمة لقيم معينة و .
التمثيل (7.5.16) لوغاريتم دالة الاحتمال هو الأساس للحصول على إجراء متكرر لحساب الحد الأقصى لتقدير الاحتمال. دعونا ننظر في الحالة العادية. في هذه الحالة، يمكن إيجاد تقدير الاحتمال الأقصى كحل للمعادلة
والذي يختلف عن (7.1.6) فقط بتقديم الفهرس السنة التحضيريةلوغاريتم دالة الاحتمال.
دعونا نشير إلى حل هذه المعادلة من خلال التأكيد على أن هذا التقدير تم الحصول عليه من مجموعة من بيانات المراقبة. وبالمثل، دعونا نشير بحل المعادلة إلى الحد الأقصى لتقدير الاحتمالية الذي تم الحصول عليه من إجمالي البيانات.
يمكن إعادة كتابة المعادلة (7.5.19) مع مراعاة (7.5.16) بالشكل التالي:
دعونا نوسع الجانب الأيسر من (7.5.20) إلى سلسلة تايلور في جوار النقطة. حيث
(7.5.22)
متجه التدرج للدالة عند النقطة ; يصبح الحد صفراً لأنه حل لمعادلة الاحتمالية للسابق (ف -الخطوة الأولى:
مصفوفة متماثلة من المشتقات الثانية لوغاريتم دالة الاحتمالية عند النقطة، مأخوذة بعلامة معاكسة، شروط التوسيع غير المكتوبة لها ترتيب تربيعي وأعلى من الصغر بالنسبة للفرق. وبإهمال هذه الأخيرة، نحصل على الحل التقريبي التالي لمعادلة الاحتمالية القصوى:
أين هي المصفوفة العكسية.
ويقدم هذا الحل على شكل علاقة تكرارية تحدد القيمة التالية للتقدير من خلال التقدير في الخطوة السابقة والتصحيح , وذلك اعتماداً على بيانات المراقبة المتوفرة بشكل مباشر ومن خلال التقييم السابق. يتم تشكيل التصحيح كمنتج لتدرج لوغاريتم كثافة الاحتمال المشروط للقيمة التي تم الحصول عليها حديثًا X n عند نقطة تساوي التقدير السابق لمصفوفة الوزن . ويتم تحديد الأخير بالتعبير (7.5.23) ويعتمد أيضًا على التقدير في الخطوة السابقة، ويتم تحديد اعتماده على بيانات المراقبة الجديدة بالكامل من خلال شكل لوغاريتم كثافة الاحتمالية المشروطة.
شكل العلاقة (7.5.24) يشبه إلى حد كبير الشكل (7.5.8)، الذي يطبق طريقة تكرارية لحساب تقدير الاحتمال الأقصى باستخدام طريقة نيوتن. ومع ذلك، في الواقع، فهي مختلفة بشكل كبير عن بعضها البعض. وفي (7.5.8) يتم تحديد التصحيح لقيمة التقدير السابقة من خلال تدرج لوغاريتم دالة الاحتمالية بأكملها، والتي تعتمد دائما على جميع بيانات المراقبة المتوفرة، مما يتطلب حفظ هذه المجموعة بأكملها. وفقًا لـ (7.5.24)، يتم تحديد التصحيح من خلال حجم التدرج، والذي، نظرًا لخصائص كثافة الاحتمال المشروطة، يعتمد في الواقع فقط على تلك القيم () التي تكون في اتصال إحصائي قوي مع Xن. هذا الاختلاف هو نتيجة للاختيار الخاص للتقريب السابق كتقدير أقصى للاحتمالية تم العثور عليه من مجموعة من بيانات المراقبة مخفضة بقيمة واحدة، ويكون واضحًا بشكل خاص بالنسبة للقيم المستقلة (). في هذه الحالة الأخيرة
بسبب ذلك يعتمد فقط على و X n ، ويكون التدرج فقط من القيمة السابقة للتقدير وتلك التي تم الحصول عليها حديثًا ف- mstep من بيانات المراقبة. لذلك، مع القيم المستقلة، لتشكيل متجه، ليس من الضروري تذكر أي معلومات أخرى من الخطوة السابقة باستثناء قيمة التقييم.
وبالمثل، في حالة تسلسل ماركوف لبيانات المراقبة، أي متى
يعتمد المتجه فقط على القيمة الحالية والقيمة السابقة. في هذه الحالة، بالنسبة للحساب، من الضروري أن نتذكر من الخطوة السابقة، بالإضافة إلى القيمة، القيمة فقط، ولكن ليس مجموعة بيانات المراقبة بأكملها. كما هو الحال في الإجراء التكراري. بشكل عام، قد يتطلب الحساب تخزين عدد أكبر من القيم السابقة ()، ومع ذلك، نظرًا للحاجة إلى مراعاة تلك القيم التي تعتمد إحصائيًا فقط، يكون هذا الرقم دائمًا أقل من الحجم الإجمالي من بيانات المراقبة. وبالتالي، إذا كان المتجه يصف تسلسلًا زمنيًا، فإن عدد عناصر هذا التسلسل المراد حفظه يتم تحديده من خلال وقت ارتباطه، وتتناقص نسبتهم النسبية في التناسب العكسي نكما في حالة القيم المستقلة .
دعونا الآن نفكر في بنية مصفوفة الوزن المضمنة في علاقة التكرار (7.5.24). وبحسب التعريف (7.5.23) وبسبب وجود مصطلح فإنه بشكل عام يعتمد على جميع القيم حتى مع القيم المستقلة لـ مما يحرم العلاقة التكرارية (7.5.24) من المزايا المرتبطة باحتمال تقليل كمية البيانات المخزنة من الخطوة السابقة. هناك عدة طرق لتقريب حساب المصفوفة , التي تقضي على هذا النقص.
يعتمد الأول منها على استخدام أكثر اتساقًا للافتراض الأساسي حول الفرق البسيط بين القيمتين التاليتين للتقدير و، وهو الأساس للحصول على علاقة التكرار (7.5.24). وهذا يسمح لنا بالحصول على علاقة تكرارية مماثلة لمصفوفة الوزن، وبالفعل، باستخدام الصغر من (7.5.23)، لدينا
عن طريق إدخال التعيين
من (7.5.24) و (7.5.25) نحصل على نظام العلاقات المتكررة للمتجه ومصفوفة الوزن
يحدد هذا النظام، إلى جانب القيم الأولية، تمامًا قيمة التقدير في أي خطوة، ويتطلب في كل منها حساب التدرج ومصفوفة المشتقات الثانية فقط لوغاريتم كثافة الاحتمال الشرطية للقيمة المرصودة الحالية. يتم تحديد القيم الأولية مع الأخذ في الاعتبار البيانات المسبقة المتاحة عن القيم المحتملة ونطاق تباين المعلمات، وفي حالة الغياب التام لهذه البيانات يتم أخذها على أنها صفر (،).
بالنسبة للقيم المستقلة، يصف نظام العلاقات المتكررة (7.5.27) بوضوح عملية ماركوف العشوائية متعددة الأبعاد (البعد)، والتي يتقارب مكونها مع القيمة الحقيقية للمعلمة، ويتقارب المكون مع مصفوفة معلومات فيشر (7.3.2). 8)، حيث هي القيمة الحقيقية للمعلمة المقدرة، وتزداد إلى أجل غير مسمى مع النمو ص.يتمتع النظام (7.5.27) بخصائص تقارب مماثلة في ظل ظروف أكثر عمومية إذا كان التسلسل مريحًا.
تعتمد الطريقة الثانية من الطرق المذكورة على استبدال مصفوفة المشتقات الثانية لوغاريتم دالة الاحتمال بتوقعها الرياضي - مصفوفة معلومات فيشر والتي مع مراعاة (7.5.16) يمكن كتابتها على النحو التالي:
حيث يشبه (7.5.26)
باستبدال المصفوفة في (7.5.24) بالمصفوفة نحصل على علاقة التكرار
للحساب التقريبي لتقديرات الاحتمالية القصوى، التي اقترحها ساكريسون (في الأصل للتوزيع المستقل بشكل متماثل، متى و . علاقة التكرار هذه أبسط من النظام (7.5.27)، حيث يتم استبدال مصفوفة الوزن المثالية بمصفوفة الوزن الرياضية التوقع، ولا يشترط العثور على البيانات الرصدية الموجودة، باستثناء تلك التي تتركز في قيمة التقدير. وفي الوقت نفسه، من الواضح أن مثل هذا الاستبدال يعني الحاجة إلى تلبية مطلب إضافي مقارنة بـ (. 7.5.27) أن مصفوفة المشتقات الثانية قريبة من توقعها الرياضي.
إذا تغيرت دالة كثافة الاحتمال والمصفوفة من خطوة إلى أخرى، فإن العثور على كل خطوة مباشرة قد يتطلب الكثير من الحسابات. في هذه الحالة، بسبب الانخفاض الإضافي في دقة النتائج، والذي يحدده عدم مساواة الاختلافات الصغيرة إلى الصفر، يمكن للمرء أن ينتقل إلى الحساب المتكرر للقيمة التقريبية للمصفوفة. وبالعودة إلى الترميز السابق لهذه القيمة التقريبية، نحصل على نظام آخر لعلاقات التكرار
القيمة المتوقعة للمصفوفة (مصفوفة معلومات فيشر لملاحظة واحدة) مأخوذة عند النقطة . ويختلف هذا النظام عن (7.5.27) في أن الثانية من علاقات التكرار (7.5.31) لا تتضمن بيانات رصدية مباشرة.
أي من أنظمة علاقات التكرار المذكورة أعلاه يكون دقيقًا تمامًا إذا كانت الدالة تعتمد بشكل تربيعي على، بالإضافة إلى ذلك، فإن مصفوفة المشتقات الثانية لا تعتمد على . في الواقع، يتوافق هذا مع حالة القيم المستقلة الموزعة بشكل طبيعي (ليست بالضرورة متطابقة) مع توقع رياضي غير معروف، وهو ما يمثل المعلمة المقدرة.
يعطي نظام علاقات التكرار (7.5.24) حلاً دقيقًا لمعادلة الاحتمالية القصوى في ظل ظروف أوسع بكثير مع الشرط الوحيد الذي تعتمد عليه الوظيفة بشكل تربيعي. علاوة على ذلك، فإن الاعتماد على هو أمر تعسفي، وهو ما يتوافق مع فئة واسعة من التوزيعات الاحتمالية السكانية ذات القيم المستقلة والتابعة.
إلى جانب الطرق العامة التي تم النظر فيها، هناك عدد من الطرق لاختيار مصفوفة معاملات الترجيح في العلاقة المتكررة (7.5.24)، والتي تم تكييفها مع بعض القيود المحددة. وأبسطها هو الاختيار على شكل مصفوفة قطرية، بحيث ( أنا- مصفوفة الوحدة)، حيث يتم تحديد تسلسل تنازلي للمعاملات العددية بشكل مستقل عن خصائص دالة الاحتمالية بنفس الطريقة كما في إجراء التقريب العشوائي لروبنز-مونرو، والذي سيتم مناقشته في الفصول التالية.
تجدر الإشارة إلى أن أي إجراءات متكررة أو متكررة للعثور على أقصى تقديرات الاحتمالية تكون تقريبية بشكل عام. لذلك، بشكل عام، بالنسبة للتقديرات التي تم الحصول عليها نتيجة لتطبيق هذه الإجراءات، يجب إثبات الاتساق والكفاءة المقاربة والحياة الطبيعية المقاربة من جديد. بالنسبة للإجراءات التكرارية، يتم ضمان الخصائص الضرورية للتقديرات من خلال حقيقة أن هذه الإجراءات، من حيث المبدأ، مع العدد المناسب من التكرارات، توفر حلاً لمعادلة الاحتمالية بأي دقة محددة مسبقًا. وهناك بروفات خاصة للإجراءات المتكررة مثل (7.5.27)، (7.5.30)، (7.5.31) وغيرها. وفي الوقت نفسه، بالإضافة إلى شرط الانتظام، يتم فرض بعض المتطلبات الإضافية:
حول سلوك الدالة (7.2.2) لقيم مختلفة لـ ||، لتحقيق الحد الأقصى الشامل لهذه الدالة باستخدام إجراء متكرر عند النقطة المقابلة للقيمة الحقيقية للمعلمة؛
بترتيب الزيادة في اللحظات الثانية لمشتقات لوغاريتم دالة الاحتمالية للقيم المطلقة الكبيرة. هذه المتطلبات هي نتيجة لشروط أكثر عمومية لتقارب نقطة كل أو جزء من مكونات عملية ماركوف العشوائية التي يؤدي إليها إجراء متكرر أو آخر.
في الختام، نلاحظ أيضًا أنه في حالة وجود حل دقيق لمعادلة الاحتمالية القصوى، فمن الممكن دائمًا تمثيله في شكل متكرر. دعونا نعطي مثالين بسيطين وغير متجانسين. وبالتالي، يتم تقدير أولي للتوقع الرياضي المجهول لمتغير عشوائي عادي في المجتمع نقيم عينتها على شكل وسط حسابي
هو الحد الأقصى لتقدير الاحتمالية ويمكن تمثيله في شكل متكرر:
وهي أبسط حالة خاصة (7.5.30) مع
مثال آخر هو تقدير الاحتمال الأقصى غير المنتظم للمعلمة - عرض التوزيع المستطيل - من (7.4.2)، والذي يمكن تحديده أيضًا من خلال علاقة التكرار
مع الشرط الأولي. هذه العلاقة التكرارية من نوع مختلف: لا يمكن تمثيل جانبها الأيمن كمجموع التقدير السابق وتصحيح صغير، وهو نتيجة لعدم انتظام هذا المثال؛ ومع ذلك، فهو يتمتع بجميع مزايا النهج التكراري: فهو يتطلب حفظ رقم واحد فقط من الخطوة السابقة - التقدير - ويقلل البحث بشكل حاد إلى مقارنة واحدة بدلاً من مقارنة جميع القيم.
توضح الأمثلة المقدمة مزايا الطرق المتكررة حتى في الحالة التي تسمح فيها معادلة الاحتمالية القصوى بحل دقيق، لأن بساطة التمثيل التحليلي للنتيجة لا تتطابق مع البساطة الحسابية للحصول عليها.
7.5.3. الانتقال إلى الوقت المستمر. المعادلات التفاضلية لمقدرات الاحتمالية القصوى
دعونا الآن ننظر في الحالة الخاصة عندما تكون بيانات المراقبة المتاحة Xلا يتم وصفها بواسطة مجموعة من نقاط العينة , تمثل جزءًا من تنفيذ بعض العمليات , اعتمادا على المعلمات المحددة في الفاصل الزمني , وقد يزيد طول هذه الفترة أثناء المراقبة (النقطة الزمنية رمتغير).
للحصول على وصف إحصائي لبيانات المراقبة، في هذه الحالة يتم إدخال دالة نسبة الاحتمال، وهي الحد الأقصى عند , الحد الأقصى لنسبة توزيع الكثافة الاحتمالية لمجموعة من القيم عند قيمة معينة بشكل تعسفي لاحتمال مماثل الكثافة عند قيمة ثابتة معينة، وفي بعض الحالات، عندما يسمح بتمثيل، حيث تتم عملية عشوائية، مستقلة عن، الكثافة الاحتمالية لمجموعة من القيم بشرط ذلك. يتيح لنا استخدام وظيفة نسبة الاحتمالية إزالة الصعوبات الشكلية في تحديد كثافة الاحتمالية التي تنشأ عند الانتقال إلى الوقت المستمر.
يمكن تمثيل لوغاريتم نسبة الاحتمالية الوظيفية على النحو التالي
حيث يوجد بعض وظائف العملية على الفاصل الزمني. في بعض الحالات، تتدهور الوظيفة إلى وظيفة تعتمد فقط على قيمة . حتى إذا
حيث هي دالة معروفة للوقت والمعلمات، وهي عملية عشوائية مرتبطة بالدلتا (الضوضاء "البيضاء") ذات كثافة طيفية ن o ، ثم اختيار نسبة احتمالية التوزيع الاحتمالي للمقام Xفي ، سيكون لدينا
دع الحد الأقصى لتقدير الاحتمالية للمعلمة، يتم إنشاؤه من تنفيذ العملية على الفاصل الزمني، أي الحل لمعادلة الاحتمالية القصوى
بتفاضل الطرف الأيسر من هذه المعادلة بالنسبة للزمن نحصل على ذلك
إدخال التسميات
وبحل المعادلة (7.5.42) نحصل على معادلة تفاضلية لتقدير الاحتمال الأقصى
ويتم تحديد المصفوفة بدورها حسب (7.5.37) بالمعادلة التفاضلية
تمامًا كما هو الحال في الحالة المنفصلة، يمكن استبدال المصفوفة الموجودة في (7.5.45) و(7.5.47) بتوقعها الرياضي - مصفوفة معلومات فيشر بقيمة، والمعادلة التفاضلية (7.5.46) للوزن مصفوفة - بالمعادلة
حيث تشبه الحالة المنفصلة
التوقع الرياضي لمصفوفة المشتقات الثانية.
مجموعة المعادلات التفاضلية (7.5.45) أو (7.5.46) أو (7.5.45) أو (7.5.48) مع الشروط الأولية التي يبقى في اختيارها كل ما قيل في الحالة المنفصلة صحيحاً تماماً يحدد الحد الأقصى لتقدير الاحتمالية في أي لحظة من الزمن. يمكن نمذجة هذه المجموعة باستخدام أجهزة تناظرية غير خطية مناسبة، بشكل عام، أو يمكن حلها باستخدام الكمبيوتر مع أخذ عينات زمنية مناسبة. في الختام، دعونا نلاحظ أحد التعديلات على هذه المعادلات، والذي يسمح لنا بتجنب الحاجة إلى قلب المصفوفة.
التعريف بالتسمية
, أين أنا
والتفريق فيما يتعلق بالوقت العلاقة , أين أناهي مصفوفة الهوية، وباستخدام (7.5.46) نحصل على معادلة تفاضلية تحدد المصفوفة مباشرة:
(وبالمثل عند استبدالها بـ ) والتي مع المعادلة (7.5.45)
يحدد التقييم , دون الحاجة إلى انعكاس المصفوفة. في هذه الحالة هناك انتقال من أبسط معادلة تفاضلية خطية (7.5.46) إلى معادلة تفاضلية غير خطية نسبياً (7.5.51) من نوع ريكاتي.