От Masterweb
22.09.2018 22:00Геометричната прогресия, заедно с аритметичната прогресия, е важен числов ред, който се изучава в училищния курс по алгебра в 9-ти клас. В тази статия ще разгледаме знаменателя на геометрична прогресия и как стойността му влияе върху свойствата му.
Дефиниция на геометрична прогресия
Първо, нека дадем определението на тази числова серия. Геометричната прогресия е поредица от рационални числа, която се формира чрез последователно умножаване на първия й елемент по постоянно число, наречено знаменател.
Например числата в редицата 3, 6, 12, 24, ... са геометрична прогресия, защото ако умножите 3 (първия елемент) по 2, получавате 6. Ако умножите 6 по 2, получавате 12 и така нататък.
Членовете на разглежданата редица обикновено се означават със символа ai, където i е цяло число, указващо номера на елемента в серията.
Горната дефиниция на прогресията може да бъде написана на математически език, както следва: an = bn-1 * a1, където b е знаменателят. Лесно е да проверите тази формула: ако n = 1, тогава b1-1 = 1 и получаваме a1 = a1. Ако n = 2, тогава an = b * a1 и отново стигаме до дефиницията на въпросната редица от числа. Подобни разсъждения могат да бъдат продължени за големи стойности на n.
Знаменател на геометричната прогресия
Числото b напълно определя какъв характер ще има цялата редица от числа. Знаменателят b може да бъде положителен, отрицателен или по-голям или по-малък от едно. Всички горепосочени опции водят до различни последователности:
- b > 1. Има нарастваща серия от рационални числа. Например 1, 2, 4, 8, ... Ако елемент a1 е отрицателен, тогава цялата последователност ще се увеличи само по абсолютна стойност, но ще намалее в зависимост от знака на числата.
- b = 1. Често този случай не се нарича прогресия, тъй като има обикновена поредица от еднакви рационални числа. Например -4, -4, -4.
Формула за количество
Преди да преминете към разглеждане на конкретни проблеми, като използвате знаменателя на разглеждания тип прогресия, трябва да се даде важна формула за сумата от нейните първи n елемента. Формулата изглежда така: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Можете сами да получите този израз, ако разгледате рекурсивната последователност от членове на прогресията. Също така имайте предвид, че в горната формула е достатъчно да знаете само първия елемент и знаменателя, за да намерите сумата от произволен брой членове.
Безкрайно намаляваща последователност
По-горе беше дадено обяснение какво представлява. Сега, знаейки формулата за Sn, нека я приложим към тази редица от числа. Тъй като всяко число, чийто модул не надвишава 1, клони към нула, когато се повиши до големи степени, т.е. b∞ => 0, ако -1
Тъй като разликата (1 - b) винаги ще бъде положителна, независимо от стойността на знаменателя, знакът на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия S∞ се определя еднозначно от знака на нейния първи елемент a1.
Сега нека разгледаме няколко задачи, в които ще покажем как да приложим придобитите знания върху конкретни числа.
Задача № 1. Изчисляване на неизвестни елементи на прогресия и сбор
При дадена геометрична прогресия знаменателят на прогресията е 2, а нейният първи елемент е 3. На какво ще бъдат равни нейните 7-ми и 10-ти член и на каква е сумата от седемте й начални елемента?
Условието на задачата е съвсем просто и включва директното използване на горните формули. И така, за да изчислим номер на елемент n, използваме израза an = bn-1 * a1. За 7-ия елемент имаме: a7 = b6 * a1, замествайки известните данни, получаваме: a7 = 26 * 3 = 192. Правим същото за 10-ия член: a10 = 29 * 3 = 1536.
Нека използваме добре познатата формула за сумата и да определим тази стойност за първите 7 елемента от редицата. Имаме: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Задача № 2. Определяне на сумата от произволни елементи на прогресия
Нека -2 е равно на знаменателя на геометричната прогресия bn-1 * 4, където n е цяло число. Необходимо е да се определи сумата от 5-ти до 10-ти елемент от тази серия включително.
Поставеният проблем не може да бъде решен директно с помощта на известни формули. Може да се реши с помощта на 2 различни метода. За да завършим представянето на темата, представяме и двете.
Метод 1. Идеята е проста: трябва да изчислите двете съответстващи суми на първите членове и след това да извадите другата от едната. Изчисляваме по-малката сума: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Сега изчисляваме по-голямата сума: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Обърнете внимание, че в последния израз бяха сумирани само 4 члена, тъй като 5-ият вече е включен в сумата, която трябва да се изчисли според условията на проблема. Накрая вземаме разликата: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Метод 2. Преди да заместите числата и да броите, можете да получите формула за сумата между m и n члена на въпросната серия. Правим точно същото като в метод 1, само че първо работим със символното представяне на сумата. Имаме: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Можете да замените известни числа в получения израз и да изчислите крайния резултат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Задача № 3. Какво е знаменателят?
Нека a1 = 2, намерете знаменателя на геометричната прогресия, при условие че нейният безкраен сбор е 3, а е известно, че това е намаляваща редица от числа.
Въз основа на условията на проблема не е трудно да се познае коя формула трябва да се използва за решаването му. Разбира се, за безкрайно намаляващата сума на прогресията. Имаме: S∞ = a1 / (1 - b). Откъдето изразяваме знаменателя: b = 1 - a1 / S∞. Остава да заменим известните стойности и да получим необходимото число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можем да проверим качествено този резултат, ако помним, че за този тип последователност модулът b не трябва да надхвърля 1. Както може да се види, |-1 / 3|
Задача № 4. Възстановяване на поредица от числа
Нека са дадени 2 елемента от числова серия, например 5-ият е равен на 30, а 10-ият е равен на 60. Необходимо е да се възстанови цялата серия от тези данни, като се знае, че тя отговаря на свойствата на геометрична прогресия.
За да решите задачата, първо трябва да запишете съответния израз за всеки известен член. Имаме: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Сега разделете втория израз на първия, получаваме: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Оттук определяме знаменателя, като вземаме корен пети от съотношението на членовете, известни от постановката на проблема, b = 1,148698. Заместваме полученото число в един от изразите за известния елемент, получаваме: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Геометричната прогресия е нов вид числова редица, с която предстои да се запознаем. За успешни запознанства не пречи поне да знаете и разбирате. Тогава няма да има проблеми с геометричната прогресия.)
Какво е геометрична прогресия? Концепцията за геометрична прогресия.
Започваме обиколката, както обикновено, с основите. Пиша незавършена редица от числа:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Можете ли да забележите модела и да кажете кои числа ще дойдат следващите? Пиперът е ясен, след това ще последват числата 100 000, 1 000 000 и т.н. Дори без много умствени усилия всичко е ясно, нали?)
ДОБРЕ. Друг пример. Пиша тази последователност:
1, 2, 4, 8, 16, …
Можете ли да кажете кои числа ще дойдат следващите след числото 16 и името осмочлен на последователността? Ако сте разбрали, че това ще бъде числото 128, тогава много добре. Така че половината от битката е в разбирането значениеИ ключови точкивече е направена геометрична прогресия. Можете да растете допълнително.)
И сега отново преминаваме от усещанията към строгата математика.
Ключови точки на геометричната прогресия.
Ключова точка #1
Геометричната прогресия е последователност от числа.Така е и с прогресията. Нищо изискано. Само тази последователност е подредена различно.Следователно, естествено, има друго име, да...
Ключова точка #2
С втората ключова точка въпросът ще бъде по-сложен. Нека се върнем малко назад и си припомним ключовото свойство на аритметичната прогресия. Ето го: всеки член е различен от предишния със същата сума.
Възможно ли е да се формулира подобно ключово свойство за геометрична прогресия? Помислете малко... Разгледайте по-отблизо дадените примери. Познахте ли? да В геометричната прогресия (всяка!) всеки от нейните членове се различава от предходния същия брой пъти.Винаги!
В първия пример това число е десет. Който и член на редицата да вземете, той е по-голям от предишния десет пъти.
Във втория пример е две: всеки член е по-голям от предишния два пъти.
Това е ключов момент, по който геометричната прогресия се различава от аритметичната прогресия. В аритметична прогресия се получава всеки следващ член добавяйкисъщата стойност спрямо предишния член. И тук - умножениепредходния срок със същата сума. Това е цялата разлика.)
Ключова точка #3
Тази ключова точка е напълно идентична с тази за аритметична прогресия. а именно: Всеки член на геометрична прогресия стои на своето място.Всичко е абсолютно същото като в аритметичната прогресия и коментарите според мен са излишни. Има първия член, има сто и първия и т.н. Нека разменим поне два члена – моделът (а с него и геометричната прогресия) ще изчезнат. Това, което ще остане, е просто последователност от числа без никаква логика.
Това е всичко. Това е целият смисъл на геометричната прогресия.
Термини и обозначения.
Но сега, след като разбрахме значението и ключовите точки на геометричната прогресия, можем да преминем към теорията. Иначе какво е теория без разбиране на смисъла, нали?
Как да обозначим геометричната прогресия?
Как се записва геометричната прогресия в общ вид? Няма проблем! Всеки член от прогресията също е написан като буква. Само за аритметична прогресия обикновено се използва буквата "А", за геометрични – букв "б". Членски номер, както обикновено, е посочено индекс долу вдясно. Ние просто изброяваме самите членове на прогресията, разделени със запетаи или точка и запетая.
Като този:
b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Накратко, тази прогресия се записва така: (b n) .
Или така, за крайни прогресии:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, …, b 29, b 30.
Или накратко:
(b n), н=30 .
Това всъщност е цялото обозначение. Всичко е същото, само буквата е различна, да.) И сега преминаваме директно към определението.
Дефиниция на геометрична прогресия.
Геометричната прогресия е числова последователност, в която първият член е различен от нула, а всеки следващ член е равен на предишния член, умножен по същото ненулево число.
Това е цялото определение. Повечето думи и фрази са ви ясни и познати. Ако, разбира се, разбирате значението на геометричната прогресия „на пръсти“ и като цяло. Но има и няколко нови фрази, на които бих искал да обърна специално внимание.
Първо, думите: „първият член на който ненулев".
Това ограничение на първия срок не е въведено случайно. Какво мислите, че ще се случи, ако първият член b 1 ще бъде равно на нула? На какво ще бъде равен вторият член, ако всеки член е по-голям от предходния? същия брой пъти?Да кажем три пъти? Да видим... Умножете първия член (т.е. 0) по 3 и получете... нула! Ами третият член? Също нула! И четвъртият член също е нула! И така нататък…
Просто получаваме торба гевреци, поредица от нули:
0, 0, 0, 0, …
Разбира се, такава последователност има право на живот, но не представлява практически интерес. Всичко е чисто. Всеки член от него е нула. Сборът от произволен брой членове също е нула... Какви интересни неща можете да правите с него? Нищо…
Следните ключови думи: "умножено по същото ненулево число."
Същият този номер има и свое специално име - знаменател на геометричната прогресия. Нека започнем да се запознаваме.)
Знаменател на геометрична прогресия.
Всичко е просто като белене на круши.
Знаменателят на геометрична прогресия е ненулево число (или количество), което показваколко пътивсеки термин от прогресията повече от предишния.
Отново, подобно на аритметичната прогресия, ключовата дума, която трябва да търсите в това определение, е думата "Повече ▼". Това означава, че всеки член на геометричната прогресия е получен умножениеточно към този знаменател предишен член.
Нека обясня.
Да изчислим, да речем второпишка, трябва да вземеш първичлен и умножават сего към знаменателя. За изчисление десетипишка, трябва да вземеш деветичлен и умножават сего към знаменателя.
Знаменателят на самата геометрична прогресия може да бъде всичко. Абсолютно всеки! Цяло, дробно, положително, отрицателно, ирационално - всичко. Освен нула. Това ни казва думата „не-нула“ в дефиницията. Защо тази дума е необходима тук - повече за това по-късно.
Знаменател на геометричната прогресиянай-често се обозначава с буквата р.
Как да го намерите р? Няма проблем! Трябва да вземем всеки термин от прогресията и разделете на предишния член. Разделението е фракция. Оттук и името - „знаменател на прогресията“. Знаменателят, той обикновено се намира в дроб, да...) Въпреки че, логично, стойността ртрябва да се нарече частенгеометрична прогресия, подобно на разликаза аритметична прогресия. Но се разбрахме да се обадим знаменател. И ние също няма да преоткриваме колелото.)
Да дефинираме например количеството рза тази геометрична прогресия:
2, 6, 18, 54, …
Всичко е елементарно. Да вземем всякаквипореден номер. Взимаме каквото си поискаме. С изключение на първия. Например 18. И разделете на предишен номер. Тоест на 6.
Получаваме:
р = 18/6 = 3
Това е всичко. Това е правилният отговор. За тази геометрична прогресия знаменателят е три.
Нека сега намерим знаменателя рза друга геометрична прогресия. Например този:
1, -2, 4, -8, 16, …
Все същото. Без значение какви признаци имат самите членове, ние все още приемаме всякаквиномер на последователността (например 16) и разделете на предишен номер(т.е. -8).
Получаваме:
д = 16/(-8) = -2
И това е.) Този път знаменателят на прогресията се оказа отрицателен. Минус две. Случва се.)
Нека сега вземем тази прогресия:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
И отново, независимо от вида на числата в редицата (дали цели, дори дробни, дори отрицателни, дори ирационални), ние вземаме произволно число (например 1/9) и разделяме на предишното число (1/3). Според правилата за работа с дроби, разбира се.
Получаваме:
Това е всичко.) Тук знаменателят се оказа дробен: р = 1/3.
Какво мислите за тази "прогресия"?
3, 3, 3, 3, 3, …
Очевидно тук р = 1 . Формално това също е геометрична прогресия, само с идентични членове.) Но такива прогресии не са интересни за изучаване и практическо приложение. Същото като прогресиите с плътни нули. Затова няма да ги разглеждаме.
Както можете да видите, знаменателят на прогресията може да бъде всичко - цяло число, дроб, положително, отрицателно - всичко! Не може просто да е нула. Не можете да познаете защо?
Добре, нека използваме конкретен пример, за да видим какво се случва, ако вземем за знаменател рнула.) Нека например имаме b 1 = 2 , А р = 0 . Тогава на какво ще бъде равен вторият член?
Ние броим:
b 2 = b 1 · р= 2 0 = 0
Ами третият член?
b 3 = b 2 · р= 0 0 = 0
Видове и поведение на геометричните прогресии.
Всичко беше повече или по-малко ясно: ако прогресията е разлика де положителен, тогава прогресията се увеличава. Ако разликата е отрицателна, тогава прогресията намалява. Има само два варианта. Няма трето.)
Но с поведението на геометричната прогресия всичко ще бъде много по-интересно и разнообразно!)
Без значение как се държат членовете тук: те се увеличават, намаляват и безкрайно се приближават до нула и дори променят знаците, последователно се хвърлят в „плюс“ и след това в „минус“! И в цялото това многообразие трябва да можеш да разбираш добре, да...
Нека да го разберем?) Да започнем с най-простия случай.
Знаменателят е положителен ( р >0)
С положителен знаменател, първо, членовете на геометричната прогресия могат да влязат в него плюс безкрайност(т.е. увеличаване без ограничение) и може да влезе в минус безкрайност(т.е. намаляване без ограничение). Вече сме свикнали с това поведение на прогресиите.
Например:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Тук всичко е просто. Получава се всеки член на прогресията повече от предишния. Освен това всеки термин се оказва умножениепредишен член на положителенчисло +2 (т.е. р = 2 ). Поведението на такава прогресия е очевидно: всички членове на прогресията растат неограничено, отивайки в космоса. Плюс безкрайност...
А сега ето прогресията:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Тук също се получава всеки член на прогресията умножениепредишен член на положителенчисло +2. Но поведението на такава прогресия е точно обратното: всеки член на прогресията се получава по-малко от предишния, и всички негови членове намаляват неограничено, отивайки до минус безкрайност.
Сега нека помислим: какво е общото между тези две прогресии? Точно така, знаменател! Тук-там р = +2 . Положително число.две. И тук поведениеТези две прогресии са фундаментално различни! Не можете да познаете защо? да Всичко е за първи член!Той, както се казва, е този, който нарича мелодията.) Вижте сами.
В първия случай, първият член на прогресията положителен(+1) и следователно всички следващи членове, получени чрез умножаване по положителензнаменател р = +2 , също ще бъде положителен.
Но във втория случай, първият мандат отрицателен(-1). Следователно всички следващи членове на прогресията, получени чрез умножаване по положителен р = +2 , също ще бъдат получени отрицателен.Защото „минус“ към „плюс“ винаги дава „минус“, да.)
Както можете да видите, за разлика от аритметичната прогресия, геометричната прогресия може да се държи напълно различно не само в зависимост от знаменателяр, но и в зависимост от първия член, да.)
Запомнете: поведението на геометрична прогресия се определя еднозначно от нейния първи член b 1 и знаменателр .
И сега започваме да анализираме по-малко познати, но много по-интересни случаи!
Да вземем например тази последователност:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Тази последователност също е геометрична прогресия! Всеки член от тази прогресия също се оказва умножениепредишния член, със същия номер. Това е просто число - дробен: р = +1/2 . Или +0,5 . Освен това (важно!) числото по-малко от едно:р = 1/2<1.
Защо тази геометрична прогресия е интересна? Накъде се насочват нейните членове? Нека да разгледаме:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Какви интересни неща можете да забележите тук? Първо, намаляването по отношение на прогресията се забелязва веднага: всеки от нейните членове по-малкопредишния точно 2 пъти.Или, според дефиницията на геометрична прогресия, всеки член Повече ▼предишен 1/2 пъти, защото знаменател на прогресията р = 1/2 . И когато се умножи по положително число, по-малко от едно, резултатът обикновено намалява, да...
Какво Повече ▼може да се види в поведението на тази прогресия? Намаляват ли членовете му? неограничен, отивайки към минус безкрайност? Не! Те изчезват по особен начин. Отначало намаляват доста бързо, а след това все по-бавно. И докато остава през цялото време положителен. Макар и много, много малък. И към какво се стремят самите те? Не се ли досетихте? да Те се стремят към нула!) Освен това, обърнете внимание, членовете на нашата прогресия са от нула никога не достигайте!само приближавайки го безкрайно близо. Много е важно.)
Подобна ситуация ще възникне в следната прогресия:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Тук b 1 = -1 , А р = 1/2 . Всичко е същото, само сега условията ще се доближат до нулата от другата страна, отдолу. Оставайки през цялото време отрицателен.)
Такава геометрична прогресия, членовете на която приближаване до нула без ограничение(без значение от положителната или отрицателната страна), в математиката има специално име - безкрайно намаляваща геометрична прогресия.Тази прогресия е толкова интересна и необичайна, че дори ще бъде обсъждана отделен урок .)
И така, разгледахме всички възможни положителензнаменателите са както големи, така и по-малки. Ние не считаме самата единица за знаменател поради посочените по-горе причини (помнете примера с поредица от тройки...)
Нека обобщим:
положителенИ повече от един (р>1), тогава условията на прогресията:
а) увеличаване без ограничение (акоb 1 >0);
б) намалява неограничено (акоb 1 <0).
Ако знаменателят на геометричната прогресия положителен И по-малко от едно (0< р<1), то члены прогрессии:
а) безкрайно близо до нула по-горе(Акоb 1 >0);
б) приближаващи се безкрайно близо до нула отдолу(Акоb 1 <0).
Сега остава да разгледаме случая отрицателен знаменател.
Знаменателят е отрицателен ( р <0)
Няма да отиваме далеч за пример. Защо точно рошава баба?!) Нека например първият член на прогресията е b 1 = 1 и нека вземем знаменателя q = -2.
Получаваме следната последователност:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
И така нататък.) Всеки член на прогресията се получава умножениепредишен член на отрицателно число-2. В този случай всички членове, стоящи на нечетни места (първо, трето, пето и т.н.), ще бъдат положителен, а на четни места (второ, четвърто и т.н.) – отрицателен.Знаците се редуват строго. Плюс-минус-плюс-минус... Тази геометрична прогресия се нарича - нарастващ знак редуващ се.
Накъде се насочват нейните членове? Но никъде.) Да, в абсолютна стойност (т.е. по модул)членовете на нашата прогресия нарастват неограничено (оттук и името „увеличаване“). Но в същото време всеки член на прогресията последователно ви хвърля в жегата, после в студа. Или „плюс“, или „минус“. Нашата прогресия се колебае... Освен това обхватът на колебанията нараства бързо с всяка стъпка, да.) Следователно стремежите на членовете на прогресията отиват нанякъде специалноТук Не.Нито до плюс безкрайност, нито до минус безкрайност, нито до нула – никъде.
Нека сега разгледаме някакъв дробен знаменател между нула и минус едно.
Например, нека бъде b 1 = 1 , А q = -1/2.
Тогава получаваме прогресията:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
И отново имаме редуване на знаци! Но за разлика от предишния пример, тук вече има ясна тенденция членовете да се доближават до нула.) Само че този път нашите условия се доближават до нула не строго отгоре или отдолу, а отново колебае се. Алтернативно приемане на положителни и отрицателни стойности. Но в същото време те модулисе доближават все повече и повече до заветната нула.)
Тази геометрична прогресия се нарича безкрайно намаляващ знак, редуващ се.
Защо тези два примера са интересни? И фактът, че и в двата случая се провежда редуващи се знаци!Този трик е типичен само за прогресии с отрицателен знаменател, да.) Следователно, ако в някоя задача видите геометрична прогресия с редуващи се членове, вече със сигурност ще знаете, че знаменателят й е 100% отрицателен и няма да сгрешите в знака.)
Между другото, в случай на отрицателен знаменател, знакът на първия член изобщо не влияе на поведението на самата прогресия. Независимо от знака на първия член на прогресията, във всеки случай знакът на членовете ще бъде спазен. Единственият въпрос е, на какви места(четни или нечетни) ще има членове със специфични знаци.
Помня:
Ако знаменателят на геометричната прогресия отрицателен , тогава признаците на условията на прогресията са винаги редуват се.
В същото време самите членове:
а) увеличаване без ограничениепо модул, Акор<-1;
б) се приближава до нула безкрайно, ако -1< р<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Това е всичко. Всички типични случаи са анализирани.)
В процеса на анализиране на различни примери за геометрични прогресии периодично използвах думите: "клони към нула", "клони към плюс безкрайност", "клони към минус безкрайност"... Всичко е наред.) Тези фигури на речта (и конкретни примери) са само първоначално въведение в поведениеразнообразие от числови последователности. Използвайки примера на геометричната прогресия.
Защо изобщо трябва да знаем поведението на прогресията? Какво значение има къде отива? Към нула, до плюс безкрайност, до минус безкрайност... Какво ни прави това?
Работата е там, че още в университета, в курса по висша математика, ще ви е необходима способност да работите с голямо разнообразие от числови последователности (с всякакви, не само прогресии!) и способността да си представите как точно тази или онази последователност се държи - дали нараства, дали намалява неограничено, дали клони към определено число (и не непременно към нула), или дори изобщо не клони към нищо... Цял раздел е посветен на тази тема в курса по математика анализ - теория на границите.И малко по-конкретно – концепцията ограничение на числовата последователност.Много интересна тема! Има смисъл да отидеш в колеж и да го разбереш.)
Някои примери от този раздел (последователности с ограничение) и по-специално, безкрайно намаляваща геометрична прогресияТе започват да свикват с това в училище. Свикваме.)
Освен това способността да изучавате добре поведението на последователностите ще ви бъде от голяма полза в бъдеще и ще бъде много полезна в функционално изследване.Най-разнообразни. Но способността да работите компетентно с функции (изчислявате производни, изучавате ги изцяло, изграждате техните графики) вече драстично повишава вашето математическо ниво! Имате ли съмнения? Няма нужда. Запомнете и думите ми.)
Нека да разгледаме геометричната прогресия в живота?
В живота около нас много, много често се сблъскваме с геометрична прогресия. Дори и без дори да го знае.)
Например различни микроорганизми, които ни заобикалят навсякъде в огромни количества и които дори не можем да видим без микроскоп, се размножават точно в геометрична прогресия.
Да кажем, че една бактерия се възпроизвежда чрез разделяне наполовина, давайки потомство на 2 бактерии. На свой ред всеки от тях, когато се размножава, също се разделя наполовина, давайки общо потомство от 4 бактерии. Следващото поколение ще произведе 8 бактерии, след това 16 бактерии, 32, 64 и така нататък. С всяко следващо поколение броят на бактериите се удвоява. Типичен пример за геометрична прогресия.)
Освен това някои насекоми – листни въшки и мухи – се размножават експоненциално. А понякога и зайци, между другото.)
Друг пример за геометрична прогресия, по-близо до ежедневието, е т.нар сложна лихва.Това интересно явление често се среща в банковите депозити и се нарича капитализация на лихвата.Какво е?
Вие самият сте още, разбира се, млади. Учите в училище, не ходите в банки. Но вашите родители вече са възрастни и независими хора. Те ходят на работа, печелят пари за ежедневния си хляб и влагат част от парите в банката, правейки спестявания.)
Да приемем, че вашият баща иска да спести определена сума пари за семейна ваканция в Турция и внася 50 000 рубли в банката при 10% годишно за период от три години с капитализация на годишната лихва.Освен това през целия този период нищо не може да се направи с депозита. Не можете нито да попълвате депозита, нито да теглите пари от сметката. Колко печалба ще направи след тези три години?
Е, първо, трябва да разберем какво са 10% годишно. Означава, че след годинаБанката ще добави 10% към първоначалната сума на депозита. От това, което? Разбира се, от първоначална сума на депозита.
Изчисляваме размера на сметката след една година. Ако първоначалната сума на депозита е била 50 000 рубли (т.е. 100%), тогава след една година колко лихва ще има по сметката? Точно така, 110%! От 50 000 рубли.
Така че изчисляваме 110% от 50 000 рубли:
50000·1,1 = 55000 рубли.
Надявам се разбирате, че намирането на 110% от дадена стойност означава умножаване на тази стойност по числото 1,1? Ако не разбирате защо е така, спомнете си пети и шести клас. А именно – връзка между проценти и дроби и части.)
По този начин увеличението за първата година ще бъде 5000 рубли.
Колко пари ще има в сметката след две години? 60 000 рубли? За съжаление (или по-скоро за щастие), всичко не е толкова просто. Целият трик на капитализацията на лихвите е, че при всяко ново начисляване на лихви, същите тези лихви вече ще се вземат предвид от новата сума!От този, който вечее по сметката В момента.А начислената лихва за предходния период се добавя към първоначалната сума на депозита и по този начин сама участва в изчисляването на новата лихва! Тоест стават пълноценна част от общата сметка. Или общо капитал.Оттук и името - капитализация на лихвата.
Това е в икономиката. И в математиката такива проценти се наричат сложна лихва.Или процент лихва.) Номерът им е, че при последователно изчисляване процентите се изчисляват всеки път от новата стойност.И то не от оригинала...
Следователно, за да се изчисли сумата чрез две години, трябва да изчислим 110% от сумата, която ще бъде в сметката след година.Тоест вече от 55 000 рубли.
Ние броим 110% от 55 000 рубли:
55000·1,1 = 60500 рубли.
Това означава, че процентното увеличение за втората година ще бъде 5500 рубли, а за две години - 10 500 рубли.
Сега вече можете да познаете, че след три години сумата в сметката ще бъде 110% от 60 500 рубли. Това отново е 110% от предишната (миналата година)суми.
Тук мислим:
60500·1,1 = 66550 рубли.
Сега подреждаме нашите парични суми по години в последователност:
50000;
55000 = 50000 1,1;
60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1
Е, как е? Защо не геометрична прогресия? Първи член b 1 = 50000 , и знаменателят р = 1,1 . Всеки член е строго 1,1 пъти по-голям от предходния. Всичко е в строго съответствие с определението.)
И колко допълнителни лихвени бонуси ще „натрупа“ вашият баща, докато неговите 50 000 рубли лежат в банковата му сметка от три години?
Ние броим:
66550 – 50000 = 16550 рубли
Не много, разбира се. Но това е, ако първоначалната сума на депозита е малка. Ами ако има повече? Да речем, не 50, а 200 хиляди рубли? Тогава увеличението за три години ще бъде 66 200 рубли (ако направите сметката). Което вече е много добре.) Ами ако приносът е още по-голям? Това е...
Извод: колкото по-висок е първоначалният депозит, толкова по-изгодна става капитализацията на лихвата. Ето защо депозитите с лихвена капитализация се предоставят от банките за дълги периоди. Да кажем за пет години.
Освен това всякакви лоши болести като грип, морбили и още по-ужасни болести (същата SARS в началото на 2000-те или чумата през Средновековието) обичат да се разпространяват експоненциално. Оттук и мащабът на епидемиите, да...) И всичко това се дължи на факта, че геометричната прогресия с цял положителен знаменател (р>1) – нещо, което расте много бързо! Спомнете си размножаването на бактериите: от една бактерия се получават две, от две - четири, от четири - осем и така нататък... Същото е и с разпространението на всяка инфекция.)
Най-простите задачи на геометричната прогресия.
Нека започнем, както винаги, с един прост проблем. Чисто за да се разбере смисъла.
1. Известно е, че вторият член на геометричната прогресия е 6, а знаменателят е -0,5. Намерете неговия първи, трети и четвърти член.
Така ни е дадено безкраенгеометрична прогресия, но известна втори сроктази прогресия:
b 2 = 6
Освен това ние също знаем знаменател на прогресията:
q = -0,5
И трябва да намерите първо, третоИ четвърточленове на тази прогресия.
Така че действаме. Записваме последователността според условията на задачата. Директно в обща форма, където вторият член е шест:
b 1, 6,b 3 , b 4 , …
Сега да започнем да търсим. Започваме, както винаги, с най-простото. Можете да изчислите например третия член б 3? Мога! Вие и аз вече знаем (директно в смисъла на геометричната прогресия), че третият член (b 3)повече от второто (b 2 ) V "q"веднъж!
Така че ние пишем:
b 3 =b 2 · р
Вместо това заместваме шест в този израз б 2и -0,5 вместо това ри ние броим. Не пренебрегваме и минуса, разбира се...
b 3 = 6·(-0,5) = -3
Като този. Третият член се оказа отрицателен. Нищо чудно: нашият знаменател р– отрицателен. И умножаването на плюс по минус, разбира се, ще бъде минус.)
Сега отчитаме следващия, четвърти член на прогресията:
b 4 =b 3 · р
b 4 = -3·(-0,5) = 1,5
Четвъртият мандат отново е с плюс. Петият член отново ще бъде минус, шестият ще бъде плюс и т.н. Знаците се редуват!
И така, третият и четвъртият член бяха намерени. Резултатът е следната последователност:
b 1; 6; -3; 1,5; ...
Сега остава само да намерим първия член b 1според известното второ. За целта стъпваме в другата посока, наляво. Това означава, че в този случай не е необходимо да умножаваме втория член на прогресията по знаменателя, а разделям.
Разделяме и получаваме:
Това е всичко.) Отговорът на проблема ще бъде така:
-12; 6; -3; 1,5; …
Както можете да видите, принципът на решение е същият като в . Ние знаем всякаквичлен и знаменателгеометрична прогресия - можем да намерим всеки друг член от нея. Ще намерим този, който искаме.) Единствената разлика е, че събирането/изваждането се заменя с умножение/деление.
Запомнете: ако знаем поне един член и знаменател на геометрична прогресия, тогава винаги можем да намерим всеки друг член на тази прогресия.
Следният проблем, според традицията, е от реална версия на OGE:
2.
...; 150; Х; 6; 1.2; ...
Е, как е? Този път няма първи член, няма знаменател р, просто е дадена поредица от числа... Нещо вече познато, нали? да Подобна задача вече е решена в аритметична прогресия!
Така че не ни е страх. Все същото. Да обърнем глава и да си припомним елементарния смисъл на геометричната прогресия. Разглеждаме внимателно нашата последователност и разбираме кои параметри от геометричната прогресия на трите основни (първи член, знаменател, номер на член) са скрити в нея.
Членски номера? Няма членски номера, да... Но са четирима последователенчисла. Не виждам смисъл да обяснявам какво означава тази дума на този етап.) Има ли две в тази последователност? съседни известни числа?Яжте! Това са 6 и 1.2. Така че можем да намерим знаменател на прогресията.Взимаме числото 1,2 и го делим към предишния номер.До шест.
Получаваме:
Получаваме:
х= 150·0,2 = 30
Отговор: х = 30 .
Както можете да видите, всичко е съвсем просто. Основната трудност е само в изчисленията. Особено трудно е в случай на отрицателни и дробни знаменатели. Така че тези, които имат проблеми, повтарят аритметиката! Как се работи с дроби, как се работи с отрицателни числа и така нататък... В противен случай тук ще се забавите безмилостно.
Сега нека променим малко проблема. Сега ще стане интересно! Нека премахнем последното число 1.2 от него. Сега нека разрешим този проблем:
3. Изписани са няколко последователни члена на геометричната прогресия:
...; 150; Х; 6; ...
Намерете члена на прогресията, обозначен с буквата x.
Всичко е същото, само две съседни известенСега нямаме членове на прогресията. Това е основният проблем. Тъй като величината рчрез два съседни члена можем лесно да определим ние не можем.Имаме ли шанс да се справим със задачата? Със сигурност!
Нека запишем неизвестния член " х"директно по смисъла на геометричната прогресия! В общи линии.
Да да! Точно с неизвестен знаменател!
От една страна, за X можем да запишем следното отношение:
х= 150 ·р
От друга страна, имаме пълното право да опишем същото това X чрез следващиячлен, през шест! Разделете шест на знаменателя.
Като този:
х = 6/ р
Очевидно сега можем да приравним и двете съотношения. Тъй като ние изразяваме същотовеличина (x), но две различни начини.
Получаваме уравнението:
Умножавайки всичко по р, опростявайки и съкращавайки, получаваме уравнението:
q2 = 1/25
Решаваме и получаваме:
q = ±1/5 = ±0,2
Опа! Знаменателят се оказа двоен! +0,2 и -0,2. И кой да изберете? Задънен край?
Спокоен! Да, проблема наистина го има две решения!Нищо лошо в това. Случва се.) Не се изненадвате, когато например получите два корена при решаване на обичайната задача? Тук е същата история.)
За q = +0,2ще получим:
X = 150 0,2 = 30
И за р = -0,2 ще:
X = 150·(-0,2) = -30
Получаваме двоен отговор: х = 30; х = -30.
Какво означава този интересен факт? И какво съществува две прогресии, отговарящи на условията на задачата!
Като тези:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
И двете са подходящи.) Защо мислите, че имахме разделение в отговорите? Само заради елиминирането на определен член от прогресията (1,2), идващ след шест. И знаейки само предишния (n-1)-ти и следващите (n+1)-ти член на геометричната прогресия, вече не можем да кажем нищо еднозначно за n-тия член, стоящ между тях. Има два варианта – с плюс и с минус.
Но няма проблем. Като правило в задачите за геометрична прогресия има допълнителна информация, която дава недвусмислен отговор. Да кажем думите: "променлива прогресия"или "прогресия с положителен знаменател"и така нататък... Именно тези думи трябва да служат като подсказка кой знак, плюс или минус, трябва да бъде избран при подготовката на окончателния отговор. Ако няма такава информация, тогава да, задачата ще има две решения.)
Сега решаваме сами.
4. Определете дали числото 20 е член на геометрична прогресия:
4 ; 6; 9; …
5. Като се има предвид знакът на променлива геометрична прогресия:
…; 5; х ; 45; …
Намерете термина на прогресията, посочен с буквата х .
6. Намерете четвъртия положителен член на геометричната прогресия:
625; -250; 100; …
7. Вторият член на геометричната прогресия е равен на -360, а петият му член е равен на 23,04. Намерете първия член на тази прогресия.
Отговори (в безпорядък): -15; 900; Не; 2.56.
Поздравления, ако всичко се получи!
Нещо не пасва? Някъде имаше двоен отговор? Прочетете внимателно условията на заданието!
Последният проблем не работи? Там няма нищо сложно.) Ние работим директно според значението на геометричната прогресия. Е, можете да нарисувате картина. Помага.)
Както можете да видите, всичко е елементарно. Ако прогресията е кратка. Ами ако е дълго? Или броят на необходимия член е много голям? Бих искал, по аналогия с аритметичната прогресия, по някакъв начин да получа удобна формула, която улеснява намирането всякаквичлен на всяка геометрична прогресия по неговия номер.Без да умножавам много, много пъти по р. И има такава формула!) Подробностите са в следващия урок.
Знаете ли невероятната легенда за зърната върху шахматната дъска?
Легендата за зърната върху шахматна дъска
Когато създателят на шаха (древен индийски математик на име Сеса) показа изобретението си на владетеля на страната, той хареса играта толкова много, че позволи на изобретателя правото сам да избере наградата. Мъдрецът поискал от царя да му плати едно житно зърно за първото поле на шахматната дъска, две за второто, четири за третото и т.н., като удвоява броя на зърната на всяко следващо поле. Владетелят, който не разбираше математиката, бързо се съгласи, дори донякъде обиден от такава ниска оценка на изобретението, и нареди на ковчежника да изчисли и даде на изобретателя необходимото количество зърно. Но когато седмица по-късно ковчежникът все още не можа да изчисли колко зърна са необходими, владетелят попита каква е причината за забавянето. Ковчежникът му показа изчисленията и каза, че е невъзможно да плати с учудване думите на стареца.
Кажете ми това чудовищно число“, каза той.
18 квинтилиона 446 квадрилиона 744 трилиона 73 милиарда 709 милиона 551 хиляди 615, о, Господи!
Ако приемем, че едно житно зърно има маса 0,065 грама, то общата маса на пшеницата на шахматната дъска ще бъде 1200 трилиона тона, което е повече от целия обем пшеница, събрана през цялата история на човечеството!
Определение
Геометрична прогресия- поредица от числа ( членове на прогресията), в която всяко следващо число, започвайки от второто, се получава от предходното чрез умножаването му по определено число ( знаменател на прогресията):
Например последователността 1, 2, 4, 8, 16, ... е геометрична ()
Геометрична прогресия
Знаменател на геометричната прогресия
Характерно свойство на геометричната прогресия
За title="Предадено от QuickLaTeX.com" height="15" width="48" style="vertical-align: -1px;">!}
Една последователност е геометрична тогава и само ако горната връзка е в сила за всяко n > 1.
По-специално, за геометрична прогресия с положителни членове е вярно:
Формула за n-ия член на геометрична прогресия
Сума от първите n члена на геометрична прогресия
(ако, тогава)
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия
Когато , се извиква геометричната прогресия безкрайно намаляваща . Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия е числото и
Примери
Пример 1.
Последователност () – геометрична прогресия.
Намерете дали
Решение:
Според формулата имаме:
Пример 2.
Намерете знаменателя на геометричната прогресия (), в която
Аритметични и геометрични прогресии
Теоретична информация
Теоретична информация
Аритметична прогресия |
Геометрична прогресия |
|
Определение |
Аритметична прогресия a nе последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния член, добавен към същото число д (д- разлика в прогресията) |
Геометрична прогресия b nе поредица от ненулеви числа, всеки член от който, започвайки от втория, е равен на предишния член, умножен по същото число р (р- знаменател на прогресията) |
Формула за повторение |
За всеки естествен н |
За всеки естествен н |
Формула n-ти член |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Характерно свойство |  |
|
| Сума от първите n члена |  |
 |
Примерни задачи с коментари
Упражнение 1
В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6, а 2
Според формулата на n-тия член:
а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21 д
По условие:
а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21 d .
Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:
d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Отговор : а 22 = -48.
Задача 2
Намерете петия член на геометричната прогресия: -3; 6;....
1-ви метод (използвайки формулата с n-член)
Според формулата за n-ия член на геометрична прогресия:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
защото b 1 = -3,
2-ри метод (използване на повтаряща се формула)
Тъй като знаменателят на прогресията е -2 (q = -2), тогава:
б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Отговор : б 5 = -48.
Задача 3
В аритметична прогресия ( a n ) a 74 = 34; 76= 156. Намерете седемдесет и петия член на тази прогресия.
За аритметична прогресия характеристичното свойство има формата 
.
Следователно:
.
Нека заместим данните във формулата:
Отговор: 95.
Задача 4
В аритметична прогресия ( a n ) a n= 3n - 4. Намерете сумата от първите седемнадесет члена.
За да се намери сумата от първите n членове на аритметична прогресия, се използват две формули:
.
Кой от тях е по-удобен за използване в този случай?
По условие формулата за n-тия член на първоначалната прогресия е известна ( a n) a n= 3n - 4. Можете веднага да намерите а 1, И а 16без намиране d. Затова ще използваме първата формула.
Отговор: 368.
Задача 5
В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6; а 2= -8. Намерете двадесет и втория член на прогресията.
Според формулата на n-тия член:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21г.
По условие, ако а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21d. Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:
d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Отговор : а 22 = -48.
Задача 6
Записани са няколко последователни члена на геометричната прогресия:
Намерете члена на прогресията, обозначена с x.
При решаването ще използваме формулата за n-тия член b n = b 1 ∙ q n - 1за геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменателя на прогресията q, трябва да вземете който и да е от дадените членове на прогресията и да разделите на предишния. В нашия пример можем да вземем и разделим на. Получаваме, че q = 3. Вместо n, заместваме 3 във формулата, тъй като е необходимо да се намери третият член на дадена геометрична прогресия.
Замествайки намерените стойности във формулата, получаваме:
.
Отговор : .
Задача 7
От аритметичните прогресии, дадени от формулата на n-тия член, изберете тази, за която условието е изпълнено а 27 > 9:
Тъй като даденото условие трябва да бъде изпълнено за 27-ия член на прогресията, ние заместваме 27 вместо n във всяка от четирите прогресии. В 4-та прогресия получаваме:
.
Отговор: 4.
Задача 8
В аритметична прогресия а 1= 3, d = -1,5. Посочете най-голямата стойност на n, за която е валидно неравенството a n > -6.