Екстремум на функция онлайн калкулатор. Как да намерим екстремума (минимална и максимална точка) на функция

Много важна информация за поведението на дадена функция се предоставя от нарастващите и намаляващите интервали. Намирането им е част от процеса на изследване на функцията и начертаване на графиката. Освен това екстремните точки, в които има промяна от нарастване към намаляване или от намаляване към увеличаване, се обръщат специално внимание при намиране на най-големите и най-малките стойности на функцията на определен интервал.

В тази статия ще дадем необходимите дефиниции, ще формулираме достатъчен критерий за нарастване и намаляване на функция на интервал и достатъчни условия за съществуване на екстремум и ще приложим цялата тази теория за решаване на примери и задачи.

Навигация в страницата.

Нарастваща и намаляваща функция на интервал.

Дефиниция на нарастваща функция.

Функцията y=f(x) нараства на интервала X, ако за всяко и неравенството е в сила. С други думи, по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията.

Дефиниция на намаляваща функция.

Функцията y=f(x) намалява на интервала X, ако за всяко и неравенството е в сила . С други думи, по-голяма стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.

ЗАБЕЛЕЖКА: ако функцията е дефинирана и непрекъсната в краищата на нарастващия или намаляващия интервал (a;b), т.е. при x=a и x=b, тогава тези точки са включени в нарастващия или намаляващия интервал. Това не противоречи на определенията за нарастваща и намаляваща функция на интервала X.

Например, от свойствата на основните елементарни функции знаем, че y=sinx е дефинирано и непрекъснато за всички реални стойности на аргумента. Следователно, от нарастването на функцията синус на интервала, можем да твърдим, че тя нараства на интервала.

Точки на екстремум, екстремуми на функция.

Точката се нарича максимална точкафункция y=f(x), ако неравенството е вярно за всички x в неговия съсед. Извиква се стойността на функцията в максималната точка максимум на функциятаи обозначават .

Точката се нарича минимална точкафункция y=f(x), ако неравенството е вярно за всички x в неговия околност. Извиква се стойността на функцията в минималната точка минимална функцияи обозначават .

Околността на точка се разбира като интервал , където е достатъчно малко положително число.

Извикват се минималните и максималните точки екстремни точки, и се извикват стойностите на функцията, съответстващи на екстремалните точки екстремуми на функцията.

Не бъркайте екстремумите на функция с най-голямата и най-малката стойност на функцията.

На първата фигура най-голямата стойност на функцията върху отсечката се постига в точката на максимума и е равна на максимума на функцията, а на втората фигура най-голямата стойност на функцията се постига в точката x=b , което не е максималната точка.

Достатъчни условия за нарастващи и намаляващи функции.

Въз основа на достатъчни условия (признаци) за нарастване и намаляване на функцията се намират интервали на нарастване и намаляване на функцията.

Ето формулировките на знаците за нарастващи и намаляващи функции на интервал:

ако производната на функцията y=f(x) е положителна за всяко x от интервала X, тогава функцията нараства с X;
ако производната на функцията y=f(x) е отрицателна за всяко x от интервала X, тогава функцията намалява върху X.

По този начин, за да се определят интервалите на нарастване и намаляване на функция, е необходимо:

Нека разгледаме пример за намиране на интервалите на нарастващи и намаляващи функции, за да обясним алгоритъма.

Пример.

Намерете интервалите на нарастващи и намаляващи функции.

Решение.

Първата стъпка е да се намери областта на дефиниция на функцията. В нашия пример изразът в знаменателя не трябва да отива на нула, следователно, .

Нека да преминем към намиране на производната на функцията:

За да определим интервалите на нарастване и намаляване на функция въз основа на достатъчен критерий, ние решаваме неравенства в областта на дефиниция. Нека използваме обобщение на интервалния метод. Единственият истински корен на числителя е x = 2, а знаменателят отива на нула при x=0. Тези точки разделят дефиниционната област на интервали, в които производната на функцията запазва своя знак. Нека отбележим тези точки на числовата ос. Условно означаваме с плюсове и минуси интервалите, при които производната е положителна или отрицателна. Стрелките по-долу схематично показват нарастването или намаляването на функцията на съответния интервал.

По този начин, И .

В точката Функцията x=2 е дефинирана и непрекъсната, така че трябва да се добави както към нарастващия, така и към намаляващия интервал. В точката x=0 функцията не е дефинирана, така че не включваме тази точка в необходимите интервали.

Представяме графика на функцията, за да сравним резултатите, получени с нея.

Отговор:

Функцията се увеличава като , намалява на интервала (0;2] .

Достатъчни условия за екстремум на функция.

За да намерите максимума и минимума на функция, можете да използвате всеки от трите знака за екстремум, разбира се, ако функцията отговаря на техните условия. Най-често срещаният и удобен е първият от тях.

Първото достатъчно условие за екстремум.

Нека функцията y=f(x) е диференцируема в -околата на точката и непрекъсната в самата точка.

С други думи:

Алгоритъм за намиране на точки на екстремум по първия знак за екстремум на функция.

Намираме областта на дефиниция на функцията.
Намираме производната на функцията в областта на дефиниция.
Определяме нулите на числителя, нулите на знаменателя на производната и точките от областта на дефиниция, в които производната не съществува (всички изброени точки се наричат точки на възможен екстремум, преминавайки през тези точки, производната може просто да промени знака си).
Тези точки разделят областта на дефиниране на функцията на интервали, в които производната запазва своя знак. Ние определяме знаците на производната на всеки от интервалите (например, чрез изчисляване на стойността на производната на функция във всяка точка от определен интервал).
Избираме точки, в които функцията е непрекъсната и преминавайки през които производната променя знака - това са точките на екстремума.

Има твърде много думи, нека по-добре да разгледаме няколко примера за намиране на точки на екстремум и екстремуми на функция, използвайки първото достатъчно условие за екстремума на функция.

Пример.

Намерете екстремумите на функцията.

Решение.

Домейнът на функция е цялото множество от реални числа, с изключение на x=2.

Намиране на производната:

Нулите на числителя са точките x=-1 и x=5, знаменателят отива на нула при x=2. Маркирайте тези точки върху числовата ос

Определяме знаците на производната на всеки интервал; за да направим това, изчисляваме стойността на производната в която и да е от точките на всеки интервал, например в точките x=-2, x=0, x=3 и х=6.

Следователно на интервала производната е положителна (на фигурата поставяме знак плюс над този интервал). По същия начин

Затова поставяме минус над втория интервал, минус над третия и плюс над четвъртия.

Остава да изберем точки, в които функцията е непрекъсната и нейната производна променя знака. Това са точките на екстремума.

В точката x=-1 функцията е непрекъсната и производната променя знака от плюс на минус, следователно, според първия знак на екстремума, x=-1 е максималната точка, максимумът на функцията съответства на нея .

В точката x=5 функцията е непрекъсната и производната променя знака от минус на плюс, следователно x=-1 е минималната точка, минимумът на функцията съответства на нея .

Графична илюстрация.

Отговор:

МОЛЯ, ОБЪРНЕТЕ ВНИМАНИЕ: първият достатъчен критерий за екстремум не изисква диференцируемост на функцията в самата точка.

Пример.

Намерете точки на екстремум и екстремуми на функцията .

Решение.

Домейнът на функция е цялото множество от реални числа. Самата функция може да бъде написана като:

Нека намерим производната на функцията:

В точката x=0 производната не съществува, тъй като стойностите на едностранните граници не съвпадат, когато аргументът клони към нула:

В същото време оригиналната функция е непрекъсната в точката x=0 (вижте раздела за изучаване на функцията за непрекъснатост):

Нека намерим стойността на аргумента, при която производната отива на нула:

Нека отбележим всички получени точки на числовата права и да определим знака на производната на всеки от интервалите. За да направим това, изчисляваме стойностите на производната в произволни точки на всеки интервал, например при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Това е,

Така според първия признак на екстремума минималните точки са , максималните точки са .

Изчисляваме съответните минимуми на функцията

Изчисляваме съответните максимуми на функцията

Графична илюстрация.

Отговор:

Вторият знак за екстремум на функция.

Както можете да видите, този знак за екстремум на функция изисква съществуването на производна поне до втори ред в точката.

За да се определи естеството на дадена функция и да се говори за нейното поведение, е необходимо да се намерят интервали на нарастване и намаляване. Този процес се нарича функционално изследване и графично изготвяне. Екстремалната точка се използва при намиране на най-големите и най-малките стойности на функция, тъй като при тях функцията нараства или намалява от интервала.

Тази статия разкрива дефинициите, формулира достатъчен признак за нарастване и намаляване на интервала и условие за съществуване на екстремум. Това се отнася за решаването на примери и задачи. Разделът за диференциращи функции трябва да се повтори, тъй като решението ще трябва да използва намиране на производната.

Определение 1

Функцията y = f (x) ще нараства в интервала x, когато за всеки x 1 ∈ X и x 2 ∈ X, x 2 > x 1, неравенството f (x 2) > f (x 1) е изпълнено. С други думи, по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията.

Определение 2

Функцията y = f (x) се счита за намаляваща в интервала x, когато за всеки x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, равенството f (x 2) > f (x 1) се счита за вярно. С други думи, по-голяма стойност на функцията съответства на по-малка стойност на аргумента. Разгледайте фигурата по-долу.

коментар: Когато функцията е определена и непрекъсната в краищата на интервала на нарастване и намаляване, т.е. (a; b), където x = a, x = b, точките се включват в интервала на нарастване и намаляване. Това не противоречи на определението; това означава, че се провежда на интервала x.

Основните свойства на елементарните функции от типа y = sin x са сигурност и непрекъснатост за реални стойности на аргументите. От тук получаваме, че синусът нараства в интервала - π 2; π 2, тогава увеличението върху сегмента има формата - π 2; π 2.

Определение 3

Точката x 0 се нарича максимална точказа функцията y = f (x), когато за всички стойности на x е валидно неравенството f (x 0) ≥ f (x). Максимална функционалносте стойността на функцията в точка и се означава с y m a x .

Точката x 0 се нарича минимална точка за функцията y = f (x), когато за всички стойности на x е валидно неравенството f (x 0) ≤ f (x). Минимални функциие стойността на функцията в точка и има обозначение във формата y m i n .

Разглеждат се околности на точката x 0 екстремни точки,и стойността на функцията, която съответства на точките на екстремума. Разгледайте фигурата по-долу.

Екстремуми на функция с най-голяма и най-малка стойност на функцията. Разгледайте фигурата по-долу.

Първата фигура казва, че е необходимо да се намери най-голямата стойност на функцията от сегмента [a; b ] . Намира се с помощта на максимални точки и е равна на максималната стойност на функцията, а втората фигура е по-скоро намиране на максималната точка при x = b.

Достатъчни условия за нарастване и намаляване на една функция

За да се намерят максимумите и минимумите на дадена функция, е необходимо да се приложат знаци за екстремум в случай, че функцията удовлетворява тези условия. Първият знак се счита за най-често използван.

Първото достатъчно условие за екстремум

Определение 4

Нека е дадена функция y = f (x), която е диференцируема в ε околност на точката x 0 и има непрекъснатост в дадената точка x 0. От тук разбираме това

когато f " (x) > 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
когато f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 за x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), тогава x 0 е минималната точка.

С други думи, получаваме техните условия за поставяне на знака:

когато функцията е непрекъсната в точката x 0, тогава тя има производна с променящ се знак, т.е. от + до -, което означава, че точката се нарича максимум;
когато функцията е непрекъсната в точката x 0, тогава тя има производна с променящ се знак от - към +, което означава, че точката се нарича минимум.

За да определите правилно максималните и минималните точки на функция, трябва да следвате алгоритъма за намирането им:

намерете областта на дефиницията;
намерете производната на функцията върху тази област;
идентифицирайте нули и точки, където функцията не съществува;
определяне на знака на производната върху интервали;
изберете точки, където функцията променя знака.

Нека разгледаме алгоритъма, като решим няколко примера за намиране на екстремуми на функция.

Пример 1

Намерете максималните и минималните точки на дадената функция y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Решение

Областта на дефиниране на тази функция са всички реални числа с изключение на x = 2. Първо, нека намерим производната на функцията и получим:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Оттук виждаме, че нулите на функцията са x = - 1, x = 5, x = 2, тоест всяка скоба трябва да бъде приравнена на нула. Нека го маркираме на числовата ос и получаваме:

Сега определяме знаците на производната от всеки интервал. Необходимо е да изберете точка, включена в интервала, и да я замените в израза. Например точки x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Разбираме това

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, което означава, че интервалът - ∞ - 1 има положителна производна. По същия начин откриваме, че.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Тъй като вторият интервал се оказа по-малък от нула, това означава, че производната на интервала ще бъде отрицателна. Третият с минус, четвъртият с плюс. За да определите непрекъснатостта, трябва да обърнете внимание на знака на производната; ако той се промени, тогава това е екстремна точка.

Откриваме, че в точката x = - 1 функцията ще бъде непрекъсната, което означава, че производната ще промени знака от + на -. Според първия знак имаме, че x = - 1 е максимална точка, което означава, че получаваме

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Точката x = 5 показва, че функцията е непрекъсната и производната ще промени знака от – на +. Това означава, че x = -1 е минималната точка и нейното определяне има формата

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Графично изображение

Отговор: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Струва си да се обърне внимание на факта, че използването на първия достатъчен критерий за екстремум не изисква диференцируемост на функцията в точката x 0, това опростява изчислението.

Пример 2

Намерете максималните и минималните точки на функцията y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Решение.

Домейнът на функцията е всички реални числа. Това може да се напише като система от уравнения от вида:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

След това трябва да намерите производната:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Точката x = 0 няма производна, тъй като стойностите на едностранните граници са различни. Получаваме това:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

От това следва, че функцията е непрекъсната в точката x = 0, тогава изчисляваме

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Необходимо е да се извършат изчисления, за да се намери стойността на аргумента, когато производната стане нула:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Всички получени точки трябва да бъдат маркирани на права линия, за да се определи знакът на всеки интервал. Следователно е необходимо да се изчисли производната в произволни точки за всеки интервал. Например, можем да вземем точки със стойности x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Разбираме това

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Изображението на правата линия изглежда така

Това означава, че стигаме до извода, че е необходимо да се прибегне до първия признак на екстремум. Нека изчислим и намерим това

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , то оттук максималните точки имат стойностите x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Нека да преминем към изчисляването на минимумите:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Нека изчислим максимумите на функцията. Разбираме това

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Графично изображение

Отговор:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Ако е дадена функция f " (x 0) = 0, тогава ако f "" (x 0) > 0, получаваме, че x 0 е минимална точка, ако f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Пример 3

Намерете максимума и минимума на функцията y = 8 x x + 1.

Решение

Първо, намираме областта на дефиницията. Разбираме това

D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Необходимо е да се разграничи функцията, след което получаваме

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

При x = 1 производната става нула, което означава, че точката е възможен екстремум. За пояснение е необходимо да се намери втората производна и да се изчисли стойността при x = 1. Получаваме:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Това означава, че използвайки 2 достатъчно условие за екстремум, получаваме, че x = 1 е максимална точка. В противен случай записът изглежда като y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Графично изображение

Отговор: y m a x = y (1) = 4 ..

Определение 5

Функцията y = f (x) има своя производна до n-ти ред в ε околността на дадена точка x 0 и своя производна до n + 1-ви ред в точка x 0 . Тогава f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

От това следва, че когато n е четно число, тогава x 0 се счита за инфлексна точка, когато n е нечетно число, тогава x 0 е точка на екстремум и f (n + 1) (x 0) > 0, тогава x 0 е минимална точка, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Пример 4

Намерете максималните и минималните точки на функцията y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Решение

Оригиналната функция е рационална цяла функция, което означава, че домейнът на дефиниция са всички реални числа. Необходимо е да се разграничи функцията. Разбираме това

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Тази производна ще отиде до нула при x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Тоест, точките могат да бъдат възможни точки на екстремум. Необходимо е да се приложи третото достатъчно условие за екстремума. Намирането на втората производна ви позволява точно да определите наличието на максимум и минимум на функция. Втората производна се изчислява в точките на нейния възможен екстремум. Разбираме това

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Това означава, че x 2 = 5 7 е максималната точка. Прилагайки 3-тия достатъчен критерий, получаваме, че за n = 1 и f (n + 1) 5 7< 0 .

Необходимо е да се определи естеството на точките x 1 = - 1, x 3 = 3. За да направите това, трябва да намерите третата производна и да изчислите стойностите в тези точки. Разбираме това

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Това означава, че x 1 = - 1 е инфлексната точка на функцията, тъй като за n = 2 и f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Необходимо е да се изследва точката x 3 = 3. За да направим това, намираме 4-та производна и извършваме изчисления в този момент:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

От това, което беше решено по-горе, заключаваме, че x 3 = 3 е минималната точка на функцията.

Графично изображение

Отговор: x 2 = 5 7 е максималната точка, x 3 = 3 е минималната точка на дадената функция.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

функция y = f(x) се извиква повишаване на (намаляващи) в определен интервал, ако за x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Ако диференцируемата функция y = f (x) нараства (намалява) на интервал, тогава нейната производна на този интервал f " (х)> 0

(е"(х)< 0).

Точка х О Наречен локална максимална точка (минимум) функция f (x), ако има околност на точката х о, за всички точки, от които е вярно неравенството f (x).≤ f (x o ) (f (x )≥ f (x o )).

Извикват се максималните и минималните точки екстремни точки, а стойностите на функцията в тези точки са нейни крайности.

Екстремни точки

Необходими условия за екстремум . Ако точката х О е екстремалната точка на функцията f (x), тогава или f " (x o ) = 0, или f(x o ) не съществува. Такива точки се наричат критичен,а самата функция е дефинирана в критичната точка. Екстремумите на една функция трябва да се търсят сред нейните критични точки.

Първото достатъчно условие. Позволявам х О - критична точка. Ако f" (x ) при преминаване през точка х О променя знака плюс на минус, след това в точката х офункцията има максимум, в противен случай има минимум. Ако при преминаване през критичната точка производната не променя знака, тогава в точката х О няма крайност.

Второ достатъчно условие. Нека функцията f(x) има
е" (x ) в близост до точката х О и втората производна f "" (x 0) в самата точка х о. Ако f"(х о) = 0, f "" (x 0)>0 (f "" (x 0)<0), то точка х ое локалната минимална (максимална) точка на функцията f (x). Ако f "" (x 0) = 0, тогава трябва или да използвате първото достатъчно условие, или да включите по-високи.

На сегмент функцията y = f (x) може да достигне своята минимална или максимална стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.

Пример 3.22.

Решение.защото f " (

Задачи за намиране на екстремума на функция

Пример 3.23. а

Решение. хИ г г
0 ≤ х≤
> 0 и кога x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции кв. единици).

Пример 3.24. p ≈

Решение. p p
С"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.защото f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 = 2 и x 2 = 3. Екстремумите могат да бъдат само в тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 = 2 производната променя знака от плюс на минус, то в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 = 3 производната сменя знака си от минус на плюс, така че в точката x 2 = 3 функцията има минимум. След като изчислите стойностите на функцията в точките
x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Пример 3.23.В близост до каменната стена е необходимо да се изгради правоъгълна зона, така че да бъде оградена от три страни с телена мрежа, а четвъртата страна да е в непосредствена близост до стената. За това има алинейни метри мрежа. При какво съотношение на страните сайтът ще има най-голяма площ?

Решение.Нека означим страните на платформата с хИ г. Площта на сайта е S = xy. Позволявам г- това е дължината на страната, съседна на стената. Тогава по условие трябва да е изпълнено равенството 2x + y = a. Следователно y = a - 2x и S = x (a - 2x), където
0 ≤ х≤ a /2 (дължината и ширината на областта не могат да бъдат отрицателни). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откъдето
y = a - 2 × a/4 = a/2. Тъй като x = a /4 е единствената критична точка; нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. При x a /4 S "> 0 и кога x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. единици). Тъй като S е непрекъснато и неговите стойности в краищата S(0) и S(a /2) са равни на нула, тогава намерената стойност ще бъде най-голямата стойност на функцията. По този начин най-благоприятното съотношение на страните на сайта при дадените условия на проблема е y = 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се изработи затворен цилиндричен резервоар с вместимост V=16 p ≈ 50 m 3 . Какви трябва да бъдат размерите на резервоара (радиус R и височина H), така че да се използва най-малко материал за производството му?

Решение.Общата повърхност на цилиндъра е S = 2стр R(R+H). Знаем обема на цилиндъра V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Така че S(R) = 2стр (R 2 +16/R). Намираме производната на тази функция:
С"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). С" (R) = 0 при R 3 = 8, следователно,
R = 2, H = 16/4 = 4.

От тази статия читателят ще научи какво е екстремум на функционална стойност, както и за характеристиките на използването му в практически дейности. Изучаването на такава концепция е изключително важно за разбирането на основите на висшата математика. Тази тема е основна за по-задълбочено изучаване на курса.

Във връзка с

Какво е екстремум?

В училищния курс са дадени много определения на понятието „екстремум“. Тази статия има за цел да даде най-задълбочено и ясно разбиране на термина за тези, които не са запознати с въпроса. И така, терминът се разбира до каква степен функционалният интервал придобива минимална или максимална стойност на определен набор.

Екстремумът е както минималната стойност на функцията, така и максималната в същото време. Има минимална точка и максимална точка, тоест екстремните стойности на аргумента на графиката. Основните науки, които използват това понятие са:

статистика;
управление на машината;
иконометрия.

Точките на екстремума играят важна роля при определяне на последователността на дадена функция. Координатната система в графиката най-добре показва промяната в крайната позиция в зависимост от промяната във функционалността.

Екстремуми на производната функция

Съществува и такова явление като „производно“. Необходимо е да се определи екстремната точка. Важно е да не се бъркат минималните или максималните точки с най-високите и най-ниските стойности. Това са различни концепции, въпреки че може да изглеждат подобни.

Стойността на функцията е основният фактор при определяне как да се намери максималната точка. Производната не се формира от стойности, а изключително от нейното крайно положение в един или друг ред.

Самата производна се определя въз основа на тези точки на екстремум, а не на най-голямата или най-малката стойност. В руските училища границата между тези две понятия не е ясно очертана, което се отразява на разбирането на тази тема като цяло.

Нека сега разгледаме такова понятие като „остър екстремум“. Днес има остра минимална стойност и остра максимална стойност. Дефиницията е дадена в съответствие с руската класификация на критичните точки на функция. Концепцията за точка на екстремум е основата за намиране на критични точки на графика.

За да дефинират такова понятие, те прибягват до използването на теоремата на Ферма. Той е най-важен при изучаването на екстремни точки и дава ясна представа за тяхното съществуване под една или друга форма. За да се осигури екстремност, е важно да се създадат определени условия за намаляване или увеличение на графиката.

За да отговорите точно на въпроса „как да намерите максималната точка“, трябва да следвате тези указания:

Намиране на точната област на дефиниция на графиката.
Търсене на производна на функция и точка на екстремум.
Решете стандартни неравенства за домейна, където е намерен аргументът.
Да може да докаже в кои функции дадена точка на графика е дефинирана и непрекъсната.

внимание!Търсенето на критичната точка на функция е възможно само ако има производна от поне втори ред, което се осигурява от висок дял на наличието на екстремна точка.

Необходимо условие за екстремума на функция

За да съществува екстремум, е важно да има както минимални, така и максимални точки. Ако това правило се спазва само частично, тогава условието за съществуване на екстремум е нарушено.

Всяка функция във всяка позиция трябва да бъде диференцирана, за да се идентифицират нейните нови значения. Важно е да се разбере, че случайът на точка, отиваща към нула, не е основният принцип за намиране на диференцируема точка.

Остър екстремум, както и минимум на функция, е изключително важен аспект при решаването на математически проблем с помощта на екстремни стойности. За да разберете по-добре този компонент, е важно да се обърнете към табличните стойности за уточняване на функционалността.

Изследване на пълен смисъл

Изграждане на графика на стойността

1. Определяне на точки на нарастване и намаляване на стойностите.

2. Намиране на точки на прекъсване, екстремум и пресичане с координатни оси.

3. Процесът на определяне на промените в позицията върху графика.

4. Определяне на индикатора и посоката на изпъкналост и изпъкналост, като се вземе предвид наличието на асимптоти.

5. Създаване на обобщена таблица на изследването от гледна точка на определяне на нейните координати.

6. Намиране на интервалите на нарастващи и намаляващи крайни и остри точки.

7. Определяне на изпъкналост и вдлъбнатост на крива.

8. Изграждането на графика, като се вземат предвид изследванията, ви позволява да намерите минимума или максимума.

Основният елемент, когато е необходимо да се работи с екстремни точки, е точното изграждане на неговата графика.

Учителите често не обръщат максимално внимание на такъв важен аспект, което е грубо нарушение на учебния процес.

Изграждането на графика се извършва само въз основа на резултатите от изследване на функционални данни, идентифициране на остри екстремуми, както и точки на графиката.

Острите екстремуми на производната функция се показват на диаграма с точни стойности, като се използва стандартна процедура за определяне на асимптоти.

Максималните и минималните точки на функцията са придружени от по-сложни графични конструкции. Това се дължи на по-дълбока необходимост от работа по проблема с острия екстремум.

Също така е необходимо да се намери производната на сложна и проста функция, тъй като това е едно от най-важните понятия в проблема с екстремума.

Екстремум на функционалното

За да намерите горната стойност, трябва да се придържате към следните правила:

определят необходимото условие за екстремна връзка;
вземете предвид достатъчното условие на екстремните точки на графиката;
извършете изчисляването на острия екстремум.

Използват се и понятия като слаб минимум и силен минимум. Това трябва да се има предвид при определяне на екстремума и точното му изчисляване. В същото време острата функционалност е търсенето и създаването на всички необходими условия за работа с графиката на функция.

Важна концепция в математиката е функцията. С негова помощ можете визуално да си представите много процеси, протичащи в природата, и да отразите връзката между определени количества с помощта на формули, таблици и изображения на графика. Пример за това е зависимостта на налягането на слой течност върху тяло от дълбочината на потапяне, ускорението от действието на определена сила върху обекта, повишаването на температурата от прехвърлената енергия и много други процеси. Изучаването на функция включва конструиране на графика, откриване на нейните свойства, област на дефиниция и стойности, интервали на нарастване и намаляване. Важен момент в този процес е намирането на екстремни точки. Ще говорим по-нататък как да направите това правилно.

За самата концепция с конкретен пример

В медицината начертаването на функционална графика може да ни каже за развитието на заболяването в тялото на пациента, отразявайки ясно неговото състояние. Да приемем, че оста OX представлява времето в дни, а оста OU представлява температурата на човешкото тяло. Фигурата ясно показва как този показател рязко се повишава и след това пада. Също така лесно се забелязват специални точки, отразяващи моментите, когато функция, която преди това нараства, започва да намалява и обратно. Това са екстремни точки, тоест критични стойности (максимум и минимум) в този случай на температурата на пациента, след което настъпват промени в състоянието му.

Ъгъл на наклон

Можете лесно да определите от фигурата как се променя производната на функцията. Ако правите линии на графиката се покачват с времето, тогава тя е положителна. И колкото по-стръмни са те, толкова по-голяма е стойността на производната, тъй като ъгълът на наклон се увеличава. По време на периоди на спад тази стойност приема отрицателни стойности, обръщайки се към нула в точки на екстремум, а графиката на производната в последния случай се чертае успоредно на оста OX.

Всеки друг процес трябва да се третира по същия начин. Но най-добрият начин да разкажем за тази концепция е движението на различни тела, ясно показано на графиките.

Движение

Да предположим, че обект се движи по права линия, набирайки равномерно скорост. През този период промяната в координатите на тялото се представя графично чрез определена крива, която математикът би нарекъл клон на парабола. В същото време функцията непрекъснато се увеличава, тъй като координатните индикатори се променят все по-бързо и по-бързо всяка секунда. Графиката на скоростта показва поведението на производната, чиято стойност също нараства. Това означава, че движението няма критични точки.

Това щеше да продължи безкрайно. Но какво ще стане, ако тялото изведнъж реши да забави, спре и започне да се движи в друга посока? В този случай координатните индикатори ще започнат да намаляват. И функцията ще премине критична стойност и ще премине от нарастваща към намаляваща.

Използвайки този пример, можете отново да разберете, че точките на екстремум на графиката на функция се появяват в моментите, когато тя престане да бъде монотонна.

Физическо значение на производната

Описаното по-рано ясно показа, че производната е по същество скоростта на промяна на функцията. Това уточнение съдържа своя физически смисъл. Точките на екстремума са критични области на графиката. Те могат да бъдат идентифицирани и открити чрез изчисляване на стойността на производната, която се оказва равна на нула.

Има още един признак, който е достатъчно условие за екстремум. Производната в такива точки на инфлексия променя знака си: от “+” на “-” в максималната област и от “-” на “+” в минималната област.

Движение под въздействието на гравитацията

Нека си представим друга ситуация. Децата, играейки с топка, я хвърляха по такъв начин, че тя започна да се движи под ъгъл спрямо хоризонта. В началния момент скоростта на този обект беше най-висока, но под въздействието на гравитацията тя започна да намалява и с всяка секунда с една и съща величина, равна приблизително на 9,8 m/s 2 . Това е стойността на ускорението, което възниква под въздействието на земната гравитация при свободно падане. На Луната ще бъде около шест пъти по-малък.

Графиката, описваща движението на тялото, е парабола с клони, сочещи надолу. Как да намерим екстремни точки? В този случай това е върха на функцията, където скоростта на тялото (топката) приема нулева стойност. Производната на функцията става нула. В този случай посоката и следователно стойността на скоростта се променят на обратното. Тялото лети надолу с всяка секунда по-бързо и се ускорява със същото - 9,8 m/s 2 .

Втора производна

В предишния случай графиката на модула на скоростта е начертана като права линия. Тази линия първоначално е насочена надолу, тъй като стойността на тази стойност непрекъснато намалява. След достигане на нула в даден момент от времето, индикаторите на тази стойност започват да се увеличават и посоката на графичното представяне на скоростния модул се променя драстично. Сега линията сочи нагоре.

Скоростта, която е производна на координатата по отношение на времето, също има критична точка. В този регион функцията, първоначално намаляваща, започва да нараства. Това е местоположението на екстремната точка на производната на функцията. В този случай ъгълът на наклона на допирателната става нула. И ускорението, което е втората производна на координатата по отношение на времето, променя знака от "-" на "+". И движението от равномерно бавно става равномерно ускорено.

Графика на ускорението

Сега нека разгледаме четири снимки. Всеки от тях показва графика на промените във времето в такова физическо количество като ускорение. В случай на „А“ стойността му остава положителна и постоянна. Това означава, че скоростта на тялото, както и неговата координата, непрекъснато нарастват. Ако си представим, че обектът ще се движи по този начин безкрайно дълго време, функцията, отразяваща зависимостта на координатата от времето, ще се окаже непрекъснато нарастваща. От това следва, че той няма критични зони. На графиката на производната също няма точки на екстремум, тоест линейно променяща се скорост.

Същото важи и за случай “B” с положително и постоянно нарастващо ускорение. Вярно е, че графиките за координати и скорост тук ще бъдат малко по-сложни.

Когато ускорението стигне до нула

Гледайки фигура "B", можете да наблюдавате напълно различна картина, характеризираща движението на тялото. Скоростта му ще бъде графично представена от парабола с клони, насочени надолу. Ако продължим линията, описваща промяната в ускорението, докато се пресече с оста OX и по-нататък, можем да си представим, че до тази критична стойност, където ускорението се оказва нула, скоростта на обекта ще нараства все по-бавно . Екстремната точка на производната на координатната функция ще бъде точно на върха на параболата, след което тялото радикално ще промени характера на своето движение и ще започне да се движи в друга посока.

В последния случай, "G", характерът на движението не може да бъде точно определен. Тук знаем само, че няма ускорение за някакъв разглеждан период. Това означава, че обектът може да остане на място или да се движи с постоянна скорост.

Проблем с добавяне на координати

Нека да преминем към задачи, които често се срещат при изучаване на алгебра в училище и се предлагат за подготовка за Единния държавен изпит. Фигурата по-долу показва графиката на функцията. Необходимо е да се изчисли сумата от екстремни точки.

Нека направим това за ординатната ос, като определим координатите на критичните области, където се наблюдава промяна в характеристиките на функцията. Просто казано, ще намерим стойностите по оста OX за точките на инфлексия и след това ще продължим към добавяне на получените членове. Според графиката е очевидно, че те приемат следните стойности: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. Това дава сбор от -21, което е отговорът.

Оптимално решение

Няма нужда да обясняваме колко важен може да бъде изборът на оптимално решение при изпълнение на практически задачи. В крайна сметка има много начини за постигане на цел, но най-добрият изход по правило е само един. Това е изключително необходимо, например, когато се проектират кораби, космически кораби и самолети, както и архитектурни конструкции, за да се намери оптималната форма на тези създадени от човека обекти.

Скоростта на превозните средства до голяма степен зависи от правилното минимизиране на съпротивлението, което изпитват при движение във вода и въздух, от претоварванията, които възникват под въздействието на гравитационните сили и много други показатели. Корабът в морето изисква такива качества като стабилност по време на буря; за речен кораб е важно минималното газене. При изчисляване на оптималния дизайн крайните точки на графиката могат визуално да дадат представа за най-доброто решение на сложен проблем. Проблеми от този вид често се решават в икономиката, в бизнес областите и в много други житейски ситуации.

От древната история

Дори древните мъдреци са били заети с екстремни проблеми. Гръцки учени успешно разгадаха мистерията на площите и обемите чрез математически изчисления. Те бяха първите, които разбраха, че на равнина от различни фигури, които имат еднакъв периметър, кръгът винаги има най-голяма площ. По същия начин топката е надарена с максимален обем сред другите обекти в пространството със същата повърхност. Такива известни личности като Архимед, Евклид, Аристотел, Аполоний се посветиха на решаването на такива проблеми. Heron беше отличен в намирането на екстремни точки и, използвайки изчисления, построи гениални устройства. Те включват машини, движещи се с пара, помпи и турбини, работещи на същия принцип.

Строеж на Картаген

Има една легенда, чийто сюжет се основава на решаването на един от екстремните проблеми. Резултатът от бизнес подхода, демонстриран от финикийската принцеса, която се обърна към мъдреците за помощ, беше изграждането на Картаген. Парцелът за този древен и известен град е даден на Дидо (това е името на владетеля) от водача на едно от африканските племена. Първоначално площта на парцела не му се стори много голяма, тъй като според договора тя трябваше да бъде покрита с волска кожа. Но принцесата заповядала на войниците си да го нарежат на тънки ивици и да направят от тях колан. Оказа се, че е толкова дълъг, че покрива площ, където може да се побере цял град.

Произход на математическия анализ

Сега нека се пренесем от древни времена в по-нова епоха. Интересно е, че Кеплер е бил подтикнат да разбере основите на математическия анализ през 17 век от среща с продавач на вино. Търговецът беше толкова опитен в професията си, че лесно можеше да определи обема на напитката в бъчвата, просто като спусне желязно въже в нея. Размишлявайки върху такова любопитство, известният учен успя да разреши тази дилема за себе си. Оказва се, че умелите бъчвари от онова време са умели да правят съдове по такъв начин, че при определена височина и радиус на обиколката на закрепващите халки те да имат максимална вместимост.

Това става причина за Кеплер да мисли по-нататък. Бъчварите стигат до оптималното решение чрез дълго търсене, грешки и нови опити, предавайки своя опит от поколение на поколение. Но Кеплер искаше да ускори процеса и да научи как да прави същото за кратко време чрез математически изчисления. Всички негови разработки, подхванати от колегите му, се превърнаха в известните сега теореми на Ферма и Нютон-Лайбниц.

Проблем с максимална площ

Нека си представим, че имаме жица с дължина 50 см. Как можем да направим от нея правоъгълник с най-голяма площ?

Когато вземете решение, трябва да изхождате от прости истини, известни на всички. Ясно е, че периметърът на нашата фигура ще бъде 50 см. Той се състои от удвоени дължини на двете страни. Това означава, че след като посочите един от тях като „X“, другият може да бъде изразен като (25 - X).

От тук получаваме площ, равна на X(25 - X). Този израз може да се разглежда като функция, която приема множество стойности. Решаването на проблема изисква намирането на максимума от тях, което означава, че трябва да откриете точките на екстремума.

За да направим това, намираме първата производна и я приравняваме на нула. Резултатът е просто уравнение: 25 - 2X = 0.

От него научаваме, че една от страните е X = 12,5.

Следователно другото: 25 - 12,5 = 12,5.

Оказва се, че решението на задачата ще бъде квадрат със страна 12,5 cm.

Как да намерите максималната скорост

Нека да разгледаме друг пример. Нека си представим, че има тяло, чието линейно движение се описва от уравнението S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, където изминатото разстояние е изразено в метри, а времето в секунди. Трябва да намерим максималната скорост. Как да го направим? Изтеглено, намираме скоростта, тоест първата производна.

Получаваме уравнението: V = - 3t 2 + 18t - 24. Сега, за да решим задачата, отново трябва да намерим точките на екстремума. Това трябва да се направи по същия начин, както в предишната задача. Намираме първата производна на скоростта и я приравняваме на нула.

Получаваме: - 6t + 18 = 0. Следователно t = 3 s. Това е времето, когато скоростта на тялото придобива критична стойност. Заместваме получените данни в уравнението на скоростта и получаваме: V = 3 m/s.

Но как да разберем, че това е максималната скорост, след като критичните точки на една функция могат да бъдат нейните най-големи или най-малки стойности? За да проверите, трябва да намерите втората производна на скоростта. Изразява се с числото 6 със знак минус. Това означава, че намерената точка е максимум. И в случай на положителна стойност, втората производна ще има минимум. Това означава, че намереното решение се е оказало правилно.

Задачите, дадени като пример, са само част от тези, които могат да бъдат решени, ако знаете как да намерите точките на екстремум на функция. Всъщност те са много повече. А такова знание разкрива неограничени възможности пред човешката цивилизация.