Геометрична прогресияе поредица от числа, в която всеки член (започвайки от втория) се получава от предходния чрез умножаването му по същото число q ≠ 0. Числото q се нарича знаменателгеометрична прогресия. За да зададете геометрична прогресия, трябва да зададете нейния първи член a 1 и знаменател q.
Геометричната прогресия нараства, когато q > 1, намалява, когато 0< q < 1.
Примери за геометрична прогресия:
1. 2, 4, 8, 16…. Тук първият член е 1, а знаменателят е 2.
81, 27, 9, 3, 1, 1/3…. Тук първият член е 81, а знаменателят е 1/3.
И така, първият член на прогресията е равен на a 1, вторият - a 1 q, третият a 1 q*q = a 1 q 2, четвъртият a 1 q 2 *q = a 1 q 3 ... . По този начин, N-тият член на прогресията се изчислява по формулата a n = a 1 q n-1.
Изявление: Сумата от n членове на геометрична прогресия се изчислява по формулата
S n = a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...+a 1 q n-1 .
Умножавайки по, получаваме:
S n q = a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...a 1 q n.
Сега нека извадим Snq от Sn.
Примери за задачи от геометрична прогресия.
1. Намерете сумата от първите 10 членове на геометричната прогресия, ако е известно, че a 1 = 3, q = 4.
2. За една минута биомасата се удвоява. Какво тегло ще има след 5 минути, ако сегашното й тегло е 3 кг.
Имаме работа с геометрична прогресия, в която a 1 = 3 и q = 2. За да решим проблема, трябва да намерим шестия член на тази прогресия.
Нека разгледаме определена серия.
7 28 112 448 1792...
Абсолютно ясно е, че стойността на всеки от неговите елементи е точно четири пъти по-голяма от предишната. Това означава, че тази серия е прогресия.
Геометричната прогресия е безкрайна последователност от числа, чиято основна характеристика е, че следващото число се получава от предишното чрез умножаване по определено число. Това се изразява със следната формула.
a z +1 =a z ·q, където z е номерът на избрания елемент.
Съответно z ∈ N.
Периодът, в който се изучава геометрична прогресия в училище, е 9 клас. Примерите ще ви помогнат да разберете концепцията:
0.25 0.125 0.0625...
Въз основа на тази формула знаменателят на прогресията може да се намери, както следва:
Нито q, нито b z могат да бъдат нула. Освен това всеки от елементите на прогресията не трябва да е равен на нула.
Съответно, за да разберете следващото число в поредица, трябва да умножите последното по q.
За да зададете тази прогресия, трябва да посочите нейния първи елемент и знаменател. След това е възможно да се намери всеки от следващите членове и тяхната сума.
Разновидности
В зависимост от q и a 1 тази прогресия се разделя на няколко вида:
- Ако и 1, и q са по-големи от едно, тогава такава последователност е геометрична прогресия, нарастваща с всеки следващ елемент. Пример за това е представен по-долу.
Пример: a 1 =3, q=2 - и двата параметъра са по-големи от единица.
Тогава числовата последователност може да бъде написана така:
3 6 12 24 48 ...
- Ако |q| е по-малко от едно, тоест умножението по него е еквивалентно на деление, тогава прогресия с подобни условия е намаляваща геометрична прогресия. Пример за това е представен по-долу.
Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 е по-голямо от едно, q е по-малко.
Тогава числовата последователност може да бъде записана по следния начин:
6 2 2/3 ... - всеки елемент е 3 пъти по-голям от елемента след него.
- Променлив знак. Ако q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Пример: a 1 = -3, q = -2 - и двата параметъра са по-малки от нула.
Тогава числовата последователност може да бъде написана така:
3, 6, -12, 24,...
Формули
Има много формули за удобно използване на геометричните прогресии:
- Формула за z-тия член. Позволява ви да изчислите елемент под определено число, без да изчислявате предишни числа.
Пример:р = 3, а 1 = 4. Изисква се да се преброи четвъртият елемент от прогресията.
Решение:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Сумата от първите елементи, чийто брой е равен на z. Позволява ви да изчислите сумата от всички елементи на последователност доa zвключително.
Тъй като (1-р) е в знаменателя, тогава (1 - q)≠ 0, следователно q не е равно на 1.
Забележка: ако q=1, тогава прогресията ще бъде поредица от безкрайно повтарящи се числа.
Сума от геометрична прогресия, примери:а 1 = 2, р= -2. Изчислете S5.
Решение:С 5 = 22 - изчисление по формулата.
- Сума, ако |р| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Пример:а 1 = 2 , р= 0,5. Намерете сумата.
Решение:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Някои свойства:
- Характерно свойство. Ако е налице следното условие работи за всякаквиz, тогава дадената редица от числа е геометрична прогресия:
a z 2 = a z -1 · аz+1
- Също така, квадратът на което и да е число в геометрична прогресия се намира чрез добавяне на квадратите на всеки две други числа в дадена серия, ако те са на еднакво разстояние от този елемент.
a z 2 = a z - T 2 + a z + T 2 , КъдетоT- разстоянието между тези числа.
- Елементиразличават се по qведнъж.
- Логаритмите на елементите на една прогресия също образуват прогресия, но аритметична, тоест всеки от тях е по-голям от предходния с определено число.
Примери за някои класически задачи
За да разберете по-добре какво е геометрична прогресия, примерите с решения за клас 9 могат да помогнат.
- Условия:а 1 = 3, а 3 = 48. Намеретер.
Решение: всеки следващ елемент е по-голям от предишния вр веднъж.Необходимо е да се изразят някои елементи по отношение на други, като се използва знаменател.
следователноа 3 = р 2 · а 1
При заместванер= 4
- Условия:а 2 = 6, а 3 = 12. Изчислете S 6.
Решение:За да направите това, просто намерете q, първия елемент и го заменете във формулата.
а 3 = р· а 2 , следователно,р= 2
a 2 = q · 1,Ето защо a 1 = 3
S 6 = 189
- · а 1 = 10, р= -2. Намерете четвъртия елемент от прогресията.
Решение: за да направите това, достатъчно е да изразите четвъртия елемент през първия и през знаменателя.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Пример за приложение:
- Банков клиент направи депозит в размер на 10 000 рубли, при условията на който всяка година клиентът ще има 6% от него, добавен към главницата. Колко пари ще има в сметката след 4 години?
Решение: Първоначалната сума е 10 хиляди рубли. Това означава, че една година след инвестицията в сметката ще има сума равна на 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06
Съответно сумата в сметката след още една година ще бъде изразена, както следва:
(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000
Тоест всяка година сумата се увеличава с 1,06 пъти. Това означава, че за да се намери сумата на средствата в сметката след 4 години, е достатъчно да се намери четвъртият елемент от прогресията, който се дава от първия елемент, равен на 10 хиляди, и знаменателят, равен на 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Примери за задачи, включващи пресмятане на суми:
Геометричната прогресия се използва в различни задачи. Пример за намиране на сумата може да бъде даден по следния начин:
а 1 = 4, р= 2, изчислиS 5.
Решение: всички данни, необходими за изчислението, са известни, просто трябва да ги замените във формулата.
С 5 = 124
- а 2 = 6, а 3 = 18. Изчислете сбора на първите шест елемента.
Решение:
В geom. прогресия, всеки следващ елемент е q пъти по-голям от предходния, тоест, за да изчислите сумата, трябва да знаете елементаа 1 и знаменателр.
а 2 · р = а 3
р = 3
По същия начин трябва да намеритеа 1 , знаейкиа 2 Ир.
а 1 · р = а 2
a 1 =2
С 6 = 728.
Геометричната прогресия е нов вид числова редица, с която предстои да се запознаем. За успешни запознанства не пречи поне да знаете и разбирате. Тогава няма да има проблеми с геометричната прогресия.)
Какво е геометрична прогресия? Концепцията за геометрична прогресия.
Започваме обиколката, както обикновено, с основите. Пиша незавършена редица от числа:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Можете ли да забележите модела и да кажете кои числа ще дойдат следващите? Пиперът е ясен, след това ще последват числата 100 000, 1 000 000 и т.н. Дори без много умствени усилия всичко е ясно, нали?)
ДОБРЕ. Друг пример. Пиша тази последователност:
1, 2, 4, 8, 16, …
Можете ли да кажете кои числа ще дойдат следващите след числото 16 и името осмочлен на последователността? Ако сте разбрали, че това ще бъде числото 128, тогава много добре. Така че половината от битката е в разбирането значениеИ ключови точкивече е направена геометрична прогресия. Можете да растете допълнително.)
И сега отново преминаваме от усещанията към строгата математика.
Ключови точки на геометричната прогресия.
Ключова точка #1
Геометричната прогресия е последователност от числа.Така е и с прогресията. Нищо изискано. Само тази последователност е подредена различно.Следователно, естествено, има друго име, да...
Ключова точка #2
С втората ключова точка въпросът ще бъде по-сложен. Нека се върнем малко назад и си припомним ключовото свойство на аритметичната прогресия. Ето го: всеки член е различен от предишния със същата сума.
Възможно ли е да се формулира подобно ключово свойство за геометрична прогресия? Помислете малко... Разгледайте по-отблизо дадените примери. Познахте ли? да В геометричната прогресия (всяка!) всеки от нейните членове се различава от предходния същия брой пъти.Винаги!
В първия пример това число е десет. Който и член на редицата да вземете, той е по-голям от предишния десет пъти.
Във втория пример е две: всеки член е по-голям от предишния два пъти.
Това е ключов момент, по който геометричната прогресия се различава от аритметичната прогресия. В аритметична прогресия се получава всеки следващ член добавяйкисъщата стойност спрямо предишния член. И тук - умножениепредходния срок със същата сума. Това е цялата разлика.)
Ключова точка #3
Тази ключова точка е напълно идентична с тази за аритметична прогресия. а именно: Всеки член на геометрична прогресия стои на своето място.Всичко е абсолютно същото като в аритметичната прогресия и коментарите според мен са излишни. Има първия член, има сто и първия и т.н. Нека разменим поне два члена – моделът (а с него и геометричната прогресия) ще изчезнат. Това, което ще остане, е просто последователност от числа без никаква логика.
Това е всичко. Това е целият смисъл на геометричната прогресия.
Термини и обозначения.
Но сега, след като разбрахме значението и ключовите точки на геометричната прогресия, можем да преминем към теорията. Иначе какво е теория без разбиране на смисъла, нали?
Как да обозначим геометричната прогресия?
Как се записва геометричната прогресия в общ вид? Няма проблем! Всеки член от прогресията също е написан като буква. Само за аритметична прогресия обикновено се използва буквата "А", за геометрични – букв "б". Членски номер, както обикновено, е посочено индекс долу вдясно. Ние просто изброяваме самите членове на прогресията, разделени със запетаи или точка и запетая.
Като този:
b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Накратко, тази прогресия се записва така: (b n) .
Или така, за крайни прогресии:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, …, b 29, b 30.
Или накратко:
(b n), н=30 .
Това всъщност е цялото обозначение. Всичко е същото, само буквата е различна, да.) И сега преминаваме директно към определението.
Дефиниция на геометрична прогресия.
Геометричната прогресия е числова последователност, в която първият член е различен от нула, а всеки следващ член е равен на предишния член, умножен по същото ненулево число.
Това е цялото определение. Повечето думи и фрази са ви ясни и познати. Ако, разбира се, разбирате значението на геометричната прогресия „на пръсти“ и като цяло. Но има и няколко нови фрази, на които бих искал да обърна специално внимание.
Първо, думите: „първият член на който ненулев".
Това ограничение на първия срок не е въведено случайно. Какво мислите, че ще се случи, ако първият член b 1 ще бъде равно на нула? На какво ще бъде равен вторият член, ако всеки член е по-голям от предходния? същия брой пъти?Да кажем три пъти? Да видим... Умножете първия член (т.е. 0) по 3 и получете... нула! Ами третият член? Също нула! И четвъртият член също е нула! И така нататък…
Просто получаваме торба гевреци, поредица от нули:
0, 0, 0, 0, …
Разбира се, такава последователност има право на живот, но не представлява практически интерес. Всичко е чисто. Всеки член от него е нула. Сборът от произволен брой членове също е нула... Какви интересни неща можете да правите с него? Нищо…
Следните ключови думи: "умножено по същото ненулево число."
Същият този номер има и свое специално име - знаменател на геометричната прогресия. Нека започнем да се запознаваме.)
Знаменател на геометрична прогресия.
Всичко е просто като белене на круши.
Знаменателят на геометрична прогресия е ненулево число (или количество), което показваколко пътивсеки термин от прогресията повече от предишния.
Отново, подобно на аритметичната прогресия, ключовата дума, която трябва да търсите в това определение, е думата "Повече ▼". Това означава, че всеки член на геометричната прогресия е получен умножениеточно към този знаменател предишен член.
Нека обясня.
Да изчислим, да речем второпишка, трябва да вземеш първичлен и умножават сего към знаменателя. За изчисление десетипишка, трябва да вземеш деветичлен и умножават сего към знаменателя.
Знаменателят на самата геометрична прогресия може да бъде всичко. Абсолютно всеки! Цяло, дробно, положително, отрицателно, ирационално - всичко. Освен нула. Това ни казва думата „не-нула“ в дефиницията. Защо тази дума е необходима тук - повече за това по-късно.
Знаменател на геометричната прогресиянай-често се обозначава с буквата р.
Как да го намерите р? Няма проблем! Трябва да вземем всеки термин от прогресията и разделете на предишния член. Разделението е фракция. Оттук и името - „знаменател на прогресията“. Знаменателят, той обикновено се намира в дроб, да...) Въпреки че, логично, стойността ртрябва да се нарече частенгеометрична прогресия, подобно на разликаза аритметична прогресия. Но се разбрахме да се обадим знаменател. И ние също няма да преоткриваме колелото.)
Да дефинираме например количеството рза тази геометрична прогресия:
2, 6, 18, 54, …
Всичко е елементарно. Да вземем всякаквипореден номер. Взимаме каквото си поискаме. С изключение на първия. Например 18. И разделете на предишен номер. Тоест на 6.
Получаваме:
р = 18/6 = 3
Това е всичко. Това е правилният отговор. За тази геометрична прогресия знаменателят е три.
Нека сега намерим знаменателя рза друга геометрична прогресия. Например този:
1, -2, 4, -8, 16, …
Все същото. Без значение какви признаци имат самите членове, ние все още приемаме всякаквиномер на последователността (например 16) и разделете на предишен номер(т.е. -8).
Получаваме:
д = 16/(-8) = -2
И това е.) Този път знаменателят на прогресията се оказа отрицателен. Минус две. Случва се.)
Нека сега вземем тази прогресия:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
И отново, независимо от вида на числата в редицата (дали цели, дори дробни, дори отрицателни, дори ирационални), ние вземаме произволно число (например 1/9) и разделяме на предишното число (1/3). Според правилата за работа с дроби, разбира се.
Получаваме:
Това е всичко.) Тук знаменателят се оказа дробен: р = 1/3.
Какво мислите за тази "прогресия"?
3, 3, 3, 3, 3, …
Очевидно тук р = 1 . Формално това също е геометрична прогресия, само с идентични членове.) Но такива прогресии не са интересни за изучаване и практическо приложение. Същото като прогресиите с плътни нули. Затова няма да ги разглеждаме.
Както можете да видите, знаменателят на прогресията може да бъде всичко - цяло число, дроб, положително, отрицателно - всичко! Не може просто да е нула. Не можете да познаете защо?
Добре, нека използваме конкретен пример, за да видим какво се случва, ако вземем за знаменател рнула.) Нека например имаме b 1 = 2 , А р = 0 . Тогава на какво ще бъде равен вторият член?
Ние броим:
b 2 = b 1 · р= 2 0 = 0
Ами третият член?
b 3 = b 2 · р= 0 0 = 0
Видове и поведение на геометричните прогресии.
Всичко беше повече или по-малко ясно: ако прогресията е разлика де положителен, тогава прогресията се увеличава. Ако разликата е отрицателна, тогава прогресията намалява. Има само два варианта. Няма трето.)
Но с поведението на геометричната прогресия всичко ще бъде много по-интересно и разнообразно!)
Без значение как се държат членовете тук: те се увеличават, намаляват и безкрайно се приближават до нула и дори променят знаците, последователно се хвърлят в „плюс“ и след това в „минус“! И в цялото това многообразие трябва да можеш да разбираш добре, да...
Нека да го разберем?) Да започнем с най-простия случай.
Знаменателят е положителен ( р >0)
С положителен знаменател, първо, членовете на геометричната прогресия могат да влязат в него плюс безкрайност(т.е. увеличаване без ограничение) и може да влезе в минус безкрайност(т.е. намаляване без ограничение). Вече сме свикнали с това поведение на прогресиите.
Например:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Тук всичко е просто. Получава се всеки член на прогресията повече от предишния. Освен това всеки термин се оказва умножениепредишен член на положителенчисло +2 (т.е. р = 2 ). Поведението на такава прогресия е очевидно: всички членове на прогресията растат неограничено, отивайки в космоса. Плюс безкрайност...
А сега ето прогресията:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Тук също се получава всеки член на прогресията умножениепредишен член на положителенчисло +2. Но поведението на такава прогресия е точно обратното: всеки член на прогресията се получава по-малко от предишния, и всички негови членове намаляват неограничено, отивайки до минус безкрайност.
Сега нека помислим: какво е общото между тези две прогресии? Точно така, знаменател! Тук-там р = +2 . Положително число.две. И тук поведениеТези две прогресии са фундаментално различни! Не можете да познаете защо? да Всичко е за първи член!Той, както се казва, е този, който нарича мелодията.) Вижте сами.
В първия случай, първият член на прогресията положителен(+1) и следователно всички следващи членове, получени чрез умножаване по положителензнаменател р = +2 , също ще бъде положителен.
Но във втория случай, първият мандат отрицателен(-1). Следователно всички следващи членове на прогресията, получени чрез умножаване по положителен р = +2 , също ще бъдат получени отрицателен.Защото „минус“ към „плюс“ винаги дава „минус“, да.)
Както можете да видите, за разлика от аритметичната прогресия, геометричната прогресия може да се държи напълно различно не само в зависимост от знаменателяр, но и в зависимост от първия член, да.)
Запомнете: поведението на геометрична прогресия се определя еднозначно от нейния първи член b 1 и знаменателр .
И сега започваме да анализираме по-малко познати, но много по-интересни случаи!
Да вземем например тази последователност:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Тази последователност също е геометрична прогресия! Всеки член от тази прогресия също се оказва умножениепредишния член, със същия номер. Това е просто число - дробен: р = +1/2 . Или +0,5 . Освен това (важно!) числото по-малко от едно:р = 1/2<1.
Защо тази геометрична прогресия е интересна? Накъде се насочват нейните членове? Нека да разгледаме:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Какви интересни неща можете да забележите тук? Първо, намаляването по отношение на прогресията се забелязва веднага: всеки от нейните членове по-малкопредишния точно 2 пъти.Или, според дефиницията на геометрична прогресия, всеки член Повече ▼предишен 1/2 пъти, защото знаменател на прогресията р = 1/2 . И когато се умножи по положително число, по-малко от едно, резултатът обикновено намалява, да...
Какво Повече ▼може да се види в поведението на тази прогресия? Намаляват ли членовете му? неограничен, отивайки към минус безкрайност? Не! Те изчезват по особен начин. Отначало намаляват доста бързо, а след това все по-бавно. И докато остава през цялото време положителен. Макар и много, много малък. И към какво се стремят самите те? Не се ли досетихте? да Те се стремят към нула!) Освен това, обърнете внимание, членовете на нашата прогресия са от нула никога не достигайте!само приближавайки го безкрайно близо. Много е важно.)
Подобна ситуация ще възникне в следната прогресия:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Тук b 1 = -1 , А р = 1/2 . Всичко е същото, само сега условията ще се доближат до нулата от другата страна, отдолу. Оставайки през цялото време отрицателен.)
Такава геометрична прогресия, членовете на която приближаване до нула без ограничение(без значение от положителната или отрицателната страна), в математиката има специално име - безкрайно намаляваща геометрична прогресия.Тази прогресия е толкова интересна и необичайна, че дори ще бъде обсъждана отделен урок .)
И така, разгледахме всички възможни положителензнаменателите са както големи, така и по-малки. Ние не считаме самата единица за знаменател поради посочените по-горе причини (помнете примера с поредица от тройки...)
Нека обобщим:
положителенИ повече от един (р>1), тогава условията на прогресията:
а) увеличаване без ограничение (акоb 1 >0);
б) намалява неограничено (акоb 1 <0).
Ако знаменателят на геометричната прогресия положителен И по-малко от едно (0< р<1), то члены прогрессии:
а) безкрайно близо до нула по-горе(Акоb 1 >0);
б) приближаващи се безкрайно близо до нула отдолу(Акоb 1 <0).
Сега остава да разгледаме случая отрицателен знаменател.
Знаменателят е отрицателен ( р <0)
Няма да отиваме далеч за пример. Защо точно рошава баба?!) Нека например първият член на прогресията е b 1 = 1 и нека вземем знаменателя q = -2.
Получаваме следната последователност:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
И така нататък.) Всеки член на прогресията се получава умножениепредишен член на отрицателно число-2. В този случай всички членове, стоящи на нечетни места (първо, трето, пето и т.н.), ще бъдат положителен, а на четни места (второ, четвърто и т.н.) – отрицателен.Знаците се редуват строго. Плюс-минус-плюс-минус... Тази геометрична прогресия се нарича - нарастващ знак редуващ се.
Накъде се насочват нейните членове? Но никъде.) Да, в абсолютна стойност (т.е. по модул)членовете на нашата прогресия нарастват неограничено (оттук и името „увеличаване“). Но в същото време всеки член на прогресията последователно ви хвърля в жегата, после в студа. Или „плюс“, или „минус“. Нашата прогресия се колебае... Освен това обхватът на колебанията нараства бързо с всяка стъпка, да.) Следователно стремежите на членовете на прогресията отиват нанякъде специалноТук Не.Нито до плюс безкрайност, нито до минус безкрайност, нито до нула – никъде.
Нека сега разгледаме някакъв дробен знаменател между нула и минус едно.
Например, нека бъде b 1 = 1 , А q = -1/2.
Тогава получаваме прогресията:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
И отново имаме редуване на знаци! Но за разлика от предишния пример, тук вече има ясна тенденция членовете да се доближават до нула.) Само че този път нашите условия се доближават до нула не строго отгоре или отдолу, а отново колебае се. Алтернативно приемане на положителни и отрицателни стойности. Но в същото време те модулисе доближават все повече и повече до заветната нула.)
Тази геометрична прогресия се нарича безкрайно намаляващ знак, редуващ се.
Защо тези два примера са интересни? И фактът, че и в двата случая се провежда редуващи се знаци!Този трик е типичен само за прогресии с отрицателен знаменател, да.) Следователно, ако в някоя задача видите геометрична прогресия с редуващи се членове, вече със сигурност ще знаете, че знаменателят й е 100% отрицателен и няма да сгрешите в знака.)
Между другото, в случай на отрицателен знаменател, знакът на първия член изобщо не влияе на поведението на самата прогресия. Независимо от знака на първия член на прогресията, във всеки случай знакът на членовете ще бъде спазен. Единственият въпрос е, на какви места(четни или нечетни) ще има членове със специфични знаци.
Помня:
Ако знаменателят на геометричната прогресия отрицателен , тогава признаците на условията на прогресията са винаги редуват се.
В същото време самите членове:
а) увеличаване без ограничениепо модул, Акор<-1;
б) се приближава до нула безкрайно, ако -1< р<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Това е всичко. Всички типични случаи са анализирани.)
В процеса на анализиране на различни примери за геометрични прогресии периодично използвах думите: "клони към нула", "клони към плюс безкрайност", "клони към минус безкрайност"... Всичко е наред.) Тези фигури на речта (и конкретни примери) са само първоначално въведение в поведениеразнообразие от числови последователности. Използвайки примера на геометричната прогресия.
Защо изобщо трябва да знаем поведението на прогресията? Какво значение има къде отива? Към нула, до плюс безкрайност, до минус безкрайност... Какво ни прави това?
Работата е там, че още в университета, в курса по висша математика, ще ви е необходима способност да работите с голямо разнообразие от числови последователности (с всякакви, не само прогресии!) и способността да си представите как точно тази или онази последователност се държи - дали нараства, дали намалява неограничено, дали клони към определено число (и не непременно към нула), или дори изобщо не клони към нищо... Цял раздел е посветен на тази тема в курса по математика анализ - теория на границите.И малко по-конкретно – концепцията ограничение на числовата последователност.Много интересна тема! Има смисъл да отидеш в колеж и да го разбереш.)
Някои примери от този раздел (последователности с ограничение) и по-специално, безкрайно намаляваща геометрична прогресияТе започват да свикват с това в училище. Свикваме.)
Освен това способността да изучавате добре поведението на последователностите ще ви бъде от голяма полза в бъдеще и ще бъде много полезна в функционално изследване.Най-разнообразни. Но способността да работите компетентно с функции (изчислявате производни, изучавате ги изцяло, изграждате техните графики) вече драстично повишава вашето математическо ниво! Имате ли съмнения? Няма нужда. Запомнете и думите ми.)
Нека да разгледаме геометричната прогресия в живота?
В живота около нас много, много често се сблъскваме с геометрична прогресия. Дори и без дори да го знае.)
Например различни микроорганизми, които ни заобикалят навсякъде в огромни количества и които дори не можем да видим без микроскоп, се размножават точно в геометрична прогресия.
Да кажем, че една бактерия се възпроизвежда чрез разделяне наполовина, давайки потомство на 2 бактерии. На свой ред всеки от тях, когато се размножава, също се разделя наполовина, давайки общо потомство от 4 бактерии. Следващото поколение ще произведе 8 бактерии, след това 16 бактерии, 32, 64 и така нататък. С всяко следващо поколение броят на бактериите се удвоява. Типичен пример за геометрична прогресия.)
Освен това някои насекоми – листни въшки и мухи – се размножават експоненциално. А понякога и зайци, между другото.)
Друг пример за геометрична прогресия, по-близо до ежедневието, е т.нар сложна лихва.Това интересно явление често се среща в банковите депозити и се нарича капитализация на лихвата.Какво е?
Вие самият сте още, разбира се, млади. Учите в училище, не ходите в банки. Но вашите родители вече са възрастни и независими хора. Те ходят на работа, печелят пари за ежедневния си хляб и влагат част от парите в банката, правейки спестявания.)
Да приемем, че вашият баща иска да спести определена сума пари за семейна ваканция в Турция и внася 50 000 рубли в банката при 10% годишно за период от три години с капитализация на годишната лихва.Освен това през целия този период нищо не може да се направи с депозита. Не можете нито да попълвате депозита, нито да теглите пари от сметката. Колко печалба ще направи след тези три години?
Е, първо, трябва да разберем какво са 10% годишно. Означава, че след годинаБанката ще добави 10% към първоначалната сума на депозита. От това, което? Разбира се, от първоначална сума на депозита.
Изчисляваме размера на сметката след една година. Ако първоначалната сума на депозита е била 50 000 рубли (т.е. 100%), тогава след една година колко лихва ще има по сметката? Точно така, 110%! От 50 000 рубли.
Така че изчисляваме 110% от 50 000 рубли:
50000·1,1 = 55000 рубли.
Надявам се разбирате, че намирането на 110% от дадена стойност означава умножаване на тази стойност по числото 1,1? Ако не разбирате защо е така, спомнете си пети и шести клас. А именно – връзка между проценти и дроби и части.)
По този начин увеличението за първата година ще бъде 5000 рубли.
Колко пари ще има в сметката след две години? 60 000 рубли? За съжаление (или по-скоро за щастие), всичко не е толкова просто. Целият трик на капитализацията на лихвите е, че при всяко ново начисляване на лихви, същите тези лихви вече ще се вземат предвид от новата сума!От този, който вечее по сметката В момента.А начислената лихва за предходния период се добавя към първоначалната сума на депозита и по този начин сама участва в изчисляването на новата лихва! Тоест стават пълноценна част от общата сметка. Или общо капитал.Оттук и името - капитализация на лихвата.
Това е в икономиката. И в математиката такива проценти се наричат сложна лихва.Или процент лихва.) Номерът им е, че при последователно изчисляване процентите се изчисляват всеки път от новата стойност.И то не от оригинала...
Следователно, за да се изчисли сумата чрез две години, трябва да изчислим 110% от сумата, която ще бъде в сметката след година.Тоест вече от 55 000 рубли.
Ние броим 110% от 55 000 рубли:
55000·1,1 = 60500 рубли.
Това означава, че процентното увеличение за втората година ще бъде 5500 рубли, а за две години - 10 500 рубли.
Сега вече можете да познаете, че след три години сумата в сметката ще бъде 110% от 60 500 рубли. Това отново е 110% от предишната (миналата година)суми.
Тук мислим:
60500·1,1 = 66550 рубли.
Сега подреждаме нашите парични суми по години в последователност:
50000;
55000 = 50000 1,1;
60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1
Е, как е? Защо не геометрична прогресия? Първи член b 1 = 50000 , и знаменателят р = 1,1 . Всеки член е строго 1,1 пъти по-голям от предходния. Всичко е в строго съответствие с определението.)
И колко допълнителни лихвени бонуси ще „натрупа“ вашият баща, докато неговите 50 000 рубли лежат в банковата му сметка от три години?
Ние броим:
66550 – 50000 = 16550 рубли
Не много, разбира се. Но това е, ако първоначалната сума на депозита е малка. Ами ако има повече? Да речем, не 50, а 200 хиляди рубли? Тогава увеличението за три години ще бъде 66 200 рубли (ако направите сметката). Което вече е много добре.) Ами ако приносът е още по-голям? Това е...
Извод: колкото по-висок е първоначалният депозит, толкова по-изгодна става капитализацията на лихвата. Ето защо депозитите с лихвена капитализация се предоставят от банките за дълги периоди. Да кажем за пет години.
Освен това всякакви лоши болести като грип, морбили и още по-ужасни болести (същата SARS в началото на 2000-те или чумата през Средновековието) обичат да се разпространяват експоненциално. Оттук и мащабът на епидемиите, да...) И всичко това се дължи на факта, че геометричната прогресия с цял положителен знаменател (р>1) – нещо, което расте много бързо! Спомнете си размножаването на бактериите: от една бактерия се получават две, от две - четири, от четири - осем и така нататък... Същото е и с разпространението на всяка инфекция.)
Най-простите задачи на геометричната прогресия.
Нека започнем, както винаги, с един прост проблем. Чисто за да се разбере смисъла.
1. Известно е, че вторият член на геометричната прогресия е 6, а знаменателят е -0,5. Намерете неговия първи, трети и четвърти член.
Така ни е дадено безкраенгеометрична прогресия, но известна втори сроктази прогресия:
b 2 = 6
Освен това ние също знаем знаменател на прогресията:
q = -0,5
И трябва да намерите първо, третоИ четвърточленове на тази прогресия.
Така че действаме. Записваме последователността според условията на задачата. Директно в обща форма, където вторият член е шест:
b 1, 6,b 3 , b 4 , …
Сега да започнем да търсим. Започваме, както винаги, с най-простото. Можете да изчислите например третия член б 3? Мога! Вие и аз вече знаем (директно в смисъла на геометричната прогресия), че третият член (b 3)повече от второто (b 2 ) V "q"веднъж!
Така че ние пишем:
b 3 =b 2 · р
Вместо това заместваме шест в този израз б 2и -0,5 вместо това ри ние броим. Не пренебрегваме и минуса, разбира се...
b 3 = 6·(-0,5) = -3
Като този. Третият член се оказа отрицателен. Нищо чудно: нашият знаменател р– отрицателен. И умножаването на плюс по минус, разбира се, ще бъде минус.)
Сега отчитаме следващия, четвърти член на прогресията:
b 4 =b 3 · р
b 4 = -3·(-0,5) = 1,5
Четвъртият мандат отново е с плюс. Петият член отново ще бъде минус, шестият ще бъде плюс и т.н. Знаците се редуват!
И така, третият и четвъртият член бяха намерени. Резултатът е следната последователност:
b 1; 6; -3; 1,5; ...
Сега остава само да намерим първия член b 1според известното второ. За целта стъпваме в другата посока, наляво. Това означава, че в този случай не е необходимо да умножаваме втория член на прогресията по знаменателя, а разделям.
Разделяме и получаваме:
Това е всичко.) Отговорът на проблема ще бъде така:
-12; 6; -3; 1,5; …
Както можете да видите, принципът на решение е същият като в . Ние знаем всякаквичлен и знаменателгеометрична прогресия - можем да намерим всеки друг член от нея. Ще намерим този, който искаме.) Единствената разлика е, че събирането/изваждането се заменя с умножение/деление.
Запомнете: ако знаем поне един член и знаменател на геометрична прогресия, тогава винаги можем да намерим всеки друг член на тази прогресия.
Следният проблем, според традицията, е от реална версия на OGE:
2.
...; 150; Х; 6; 1.2; ...
Е, как е? Този път няма първи член, няма знаменател р, просто е дадена поредица от числа... Нещо вече познато, нали? да Подобна задача вече е решена в аритметична прогресия!
Така че не ни е страх. Все същото. Да обърнем глава и да си припомним елементарния смисъл на геометричната прогресия. Разглеждаме внимателно нашата последователност и разбираме кои параметри от геометричната прогресия на трите основни (първи член, знаменател, номер на член) са скрити в нея.
Членски номера? Няма членски номера, да... Но са четирима последователенчисла. Не виждам смисъл да обяснявам какво означава тази дума на този етап.) Има ли две в тази последователност? съседни известни числа?Яжте! Това са 6 и 1.2. Така че можем да намерим знаменател на прогресията.Взимаме числото 1,2 и го делим към предишния номер.До шест.
Получаваме:
Получаваме:
х= 150·0,2 = 30
Отговор: х = 30 .
Както можете да видите, всичко е съвсем просто. Основната трудност е само в изчисленията. Особено трудно е в случай на отрицателни и дробни знаменатели. Така че тези, които имат проблеми, повтарят аритметиката! Как се работи с дроби, как се работи с отрицателни числа и така нататък... В противен случай тук ще се забавите безмилостно.
Сега нека променим малко проблема. Сега ще стане интересно! Нека премахнем последното число 1.2 от него. Сега нека разрешим този проблем:
3. Изписани са няколко последователни члена на геометричната прогресия:
...; 150; Х; 6; ...
Намерете члена на прогресията, обозначен с буквата x.
Всичко е същото, само две съседни известенСега нямаме членове на прогресията. Това е основният проблем. Тъй като величината рчрез два съседни члена можем лесно да определим ние не можем.Имаме ли шанс да се справим със задачата? Със сигурност!
Нека запишем неизвестния член " х"директно по смисъла на геометричната прогресия! В общи линии.
Да да! Точно с неизвестен знаменател!
От една страна, за X можем да запишем следното отношение:
х= 150 ·р
От друга страна, имаме пълното право да опишем същото това X чрез следващиячлен, през шест! Разделете шест на знаменателя.
Като този:
х = 6/ р
Очевидно сега можем да приравним и двете съотношения. Тъй като ние изразяваме същотовеличина (x), но две различни начини.
Получаваме уравнението:
Умножавайки всичко по р, опростявайки и съкращавайки, получаваме уравнението:
q2 = 1/25
Решаваме и получаваме:
q = ±1/5 = ±0,2
Опа! Знаменателят се оказа двоен! +0,2 и -0,2. И кой да изберете? Задънен край?
Спокоен! Да, проблема наистина го има две решения!Нищо лошо в това. Случва се.) Не се изненадвате, когато например получите два корена при решаване на обичайната задача? Тук е същата история.)
За q = +0,2ще получим:
X = 150 0,2 = 30
И за р = -0,2 ще:
X = 150·(-0,2) = -30
Получаваме двоен отговор: х = 30; х = -30.
Какво означава този интересен факт? И какво съществува две прогресии, отговарящи на условията на задачата!
Като тези:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
И двете са подходящи.) Защо мислите, че имахме разделение в отговорите? Само заради елиминирането на определен член от прогресията (1,2), идващ след шест. И знаейки само предишния (n-1)-ти и следващите (n+1)-ти член на геометричната прогресия, вече не можем да кажем нищо еднозначно за n-тия член, стоящ между тях. Има два варианта – с плюс и с минус.
Но няма проблем. Като правило в задачите за геометрична прогресия има допълнителна информация, която дава недвусмислен отговор. Да кажем думите: "променлива прогресия"или "прогресия с положителен знаменател"и така нататък... Именно тези думи трябва да служат като подсказка кой знак, плюс или минус, трябва да бъде избран при подготовката на окончателния отговор. Ако няма такава информация, тогава да, задачата ще има две решения.)
Сега решаваме сами.
4. Определете дали числото 20 е член на геометрична прогресия:
4 ; 6; 9; …
5. Като се има предвид знакът на променлива геометрична прогресия:
…; 5; х ; 45; …
Намерете термина на прогресията, посочен с буквата х .
6. Намерете четвъртия положителен член на геометричната прогресия:
625; -250; 100; …
7. Вторият член на геометричната прогресия е равен на -360, а петият му член е равен на 23,04. Намерете първия член на тази прогресия.
Отговори (в безпорядък): -15; 900; Не; 2.56.
Поздравления, ако всичко се получи!
Нещо не пасва? Някъде имаше двоен отговор? Прочетете внимателно условията на заданието!
Последният проблем не работи? Там няма нищо сложно.) Ние работим директно според значението на геометричната прогресия. Е, можете да нарисувате картина. Помага.)
Както можете да видите, всичко е елементарно. Ако прогресията е кратка. Ами ако е дълго? Или броят на необходимия член е много голям? Бих искал, по аналогия с аритметичната прогресия, по някакъв начин да получа удобна формула, която улеснява намирането всякаквичлен на всяка геометрична прогресия по неговия номер.Без да умножавам много, много пъти по р. И има такава формула!) Подробностите са в следващия урок.
Геометричната прогресия е числова последователност, чийто първи член е различен от нула, а всеки следващ член е равен на предишния член, умножен по същото ненулево число.
Означава се геометрична прогресия b1,b2,b3, …, bn, ….
Съотношението на който и да е член на геометричната грешка към предишния му член е равно на същото число, тоест b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. Това следва пряко от определението за аритметична прогресия. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия. Обикновено знаменателят на геометричната прогресия се обозначава с буквата q.
Монотонна и постоянна последователност
Един от начините за уточняване на геометрична прогресия е да се уточни нейният първи член b1 и знаменателят на геометричната грешка q. Например b1=4, q=-2. Тези две условия определят геометричната прогресия 4, -8, 16, -32, ….
Ако q>0 (q не е равно на 1), тогава прогресията е монотонна последователност.Например последователността 2, 4,8,16,32, ... е монотонно нарастваща последователност (b1=2, q=2).
Ако знаменателят в геометричната грешка е q=1, тогава всички членове на геометричната прогресия ще бъдат равни един на друг. В такива случаи казват, че има прогресия постоянна последователност.
Формула за n-ия член на геометрична прогресия
За да бъде числова редица (bn) геометрична прогресия, е необходимо всеки от нейните членове, започвайки от втория, да е средно геометрично на съседни членове. Тоест, необходимо е да се изпълни следното уравнение
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), за всяко n>0, където n принадлежи към набора от естествени числа N.
Формулата за n-тия член на геометричната прогресия е:
bn=b1*q^(n-1),
където n принадлежи на множеството от естествени числа N.
Формула за сумата от първите n члена на геометрична прогресия
Формулата за сумата от първите n члена на геометрична прогресия има формата:
Sn = (bn*q - b1)/(q-1), където q не е равно на 1.
Нека да разгледаме един прост пример:
В геометрична прогресия b1=6, q=3, n=8 намерете Sn.
За да намерим S8, използваме формулата за сумата от първите n членове на геометрична прогресия.
S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19 680.
И така, нека седнем и да започнем да записваме някои числа. Например:
Можете да пишете произволни числа и може да има колкото искате (в нашия случай ги има). Колкото и числа да пишем, винаги можем да различим кое е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:
Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.
Например за нашата последователност:
Присвоеният номер е специфичен само за един номер в поредицата. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като числото th) винаги е едно и също.
Числото с числото се нарича n-ти член на редицата.
Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .
В нашия случай:
Най-често срещаните видове прогресия са аритметична и геометрична. В тази тема ще говорим за втория вид - геометрична прогресия.
Защо е необходима геометричната прогресия и нейната история?
Още в древни времена италианският математик монах Леонардо от Пиза (по-известен като Фибоначи) се е занимавал с практическите нужди на търговията. Монахът беше изправен пред задачата да определи какъв е най-малкият брой тежести, които могат да се използват за претегляне на продукт? В своите трудове Фибоначи доказва, че такава система от тегла е оптимална: Това е една от първите ситуации, в които хората трябваше да се справят с геометрична прогресия, за която вероятно вече сте чували и имате поне общо разбиране. След като разберете напълно темата, помислете защо такава система е оптимална?
В момента в житейската практика геометричната прогресия се проявява при инвестиране на пари в банка, когато размерът на лихвата се начислява върху сумата, натрупана в сметката за предходния период. С други думи, ако поставите пари на срочен депозит в спестовна банка, тогава след една година депозитът ще се увеличи с първоначалната сума, т.е. новата сума ще бъде равна на вноската, умножена по. След друга година тази сума ще се увеличи с, т.е. получената по това време сума отново ще бъде умножена по и т.н. Подобна ситуация е описана в задачи за изчисляване на т.нар сложна лихва– процентът се взема всеки път от сумата, която е в сметката, като се вземат предвид предишни лихви. Ще говорим за тези задачи малко по-късно.
Има много по-прости случаи, в които се прилага геометрична прогресия. Например разпространението на грип: един човек зарази друг човек, те от своя страна заразиха друг човек и по този начин втората вълна на заразата е човек, а той от своя страна зарази друг... и така нататък. .
Между другото, финансовата пирамида, същата МММ, е просто и сухо изчисление, основано на свойствата на геометричната прогресия. Интересно? Нека да го разберем.
Геометрична прогресия.
Да кажем, че имаме числова последователност:
Веднага ще отговорите, че това е лесно и името на такава редица е с разликата на нейните членове. Какво ще кажете за това:
Ако извадите предишното число от следващото число, ще видите, че всеки път получавате нова разлика (и така нататък), но последователността определено съществува и се забелязва лесно - всяко следващо число е в пъти по-голямо от предишното!
Този тип числова последователност се нарича геометрична прогресияи е обозначен.
Геометричната прогресия () е числова последователност, чийто първи член е различен от нула и всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.
Ограниченията, че първият член ( ) не е равен и не са случайни. Нека приемем, че няма такива и първият член все още е равен и q е равно на, хм.. нека бъде, тогава се оказва:
Съгласете се, че това вече не е прогресия.
Както разбирате, ще получим същите резултати, ако има число, различно от нула, a. В тези случаи просто няма да има прогресия, тъй като цялата редица от числа ще бъде или изцяло нула, или едно число, а всички останали ще бъдат нули.
Сега нека поговорим по-подробно за знаменателя на геометричната прогресия, тоест o.
Нека повторим: - това е числото колко пъти се променя всеки следващ термин?геометрична прогресия.
Какво мислите, че може да бъде? Точно така, положително и отрицателно, но не нула (говорихме за това малко по-горе).
Да приемем, че нашата е положителна. Нека в нашия случай, a. Каква е стойността на втория член и? Можете лесно да отговорите на това:
Това е вярно. Съответно, ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни.
Ами ако е отрицателен? Например, a. Каква е стойността на втория член и?
Това е съвсем друга история
Опитайте се да преброите условията на тази прогресия. Колко получихте? Аз имам. Така ако, тогава знаците на членовете на геометричната прогресия се редуват. Тоест, ако видите прогресия с редуващи се знаци за нейните членове, тогава нейният знаменател е отрицателен. Това знание може да ви помогне да се тествате, когато решавате задачи по тази тема.
Сега нека се упражняваме малко: опитайте се да определите кои числови последователности са геометрична прогресия и кои са аритметична прогресия:
Схванах го? Нека сравним нашите отговори:
- Геометрична прогресия – 3, 6.
- Аритметична прогресия – 2, 4.
- Не е нито аритметична, нито геометрична прогресия - 1, 5, 7.
Нека се върнем към последната ни прогресия и се опитаме да намерим нейния член, точно както в аритметичната. Както може би се досещате, има два начина да го намерите.
Ние последователно умножаваме всеки член по.
И така, членът от описаната геометрична прогресия е равен на.
Както вече се досетихте, сега вие сами ще извлечете формула, която ще ви помогне да намерите всеки член на геометричната прогресия. Или вече сте го разработили за себе си, описвайки как да намерите члена стъпка по стъпка? Ако е така, тогава проверете правилността на вашите разсъждения.
Нека илюстрираме това с примера за намиране на тия член на тази прогресия:
С други думи:
Намерете сами стойността на члена на дадената геометрична прогресия.
Се случи? Нека сравним нашите отговори:
Моля, обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно умножихме по всеки предишен член на геометричната прогресия.
Нека се опитаме да "обезличим" тази формула - да я представим в общ вид и да получим:
Изведената формула е вярна за всички стойности - както положителни, така и отрицателни. Проверете това сами, като изчислите членовете на геометричната прогресия със следните условия: , a.
броихте ли Нека сравним резултатите:
Съгласете се, че би било възможно да се намери термин на прогресия по същия начин като член, но има възможност за неправилно изчисляване. И ако вече сме намерили члена на геометричната прогресия, тогава какво може да бъде по-просто от използването на „скъсената“ част от формулата.
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
Съвсем наскоро говорихме за факта, че може да бъде или по-голямо, или по-малко от нула, но има специални стойности, за които геометричната прогресия се нарича безкрайно намаляваща.
Защо мислите, че е дадено това име?
Първо, нека напишем някаква геометрична прогресия, състояща се от членове.
Да кажем тогава:
Виждаме, че всеки следващ член е по-малък от предишния с коефициент, но ще има ли някакво число? Веднага ще отговорите с „не“. Затова е безкрайно намаляваща – намалява и намалява, но никога не става нула.
За да разберем ясно как изглежда това визуално, нека се опитаме да начертаем графика на нашата прогресия. И така, за нашия случай формулата приема следната форма:
На графиките, от които сме свикнали да начертаваме зависимостта, следователно:
Същността на израза не се е променила: в първия запис показахме зависимостта на стойността на член на геометрична прогресия от неговия пореден номер, а във втория запис просто взехме стойността на член на геометрична прогресия като , и обозначава поредния номер не като, а като. Всичко, което остава да се направи, е да се изгради графика.
Да видим какво имаш. Ето графиката, която измислих:
Виждаш ли? Функцията намалява, клони към нула, но никога не я пресича, така че е безкрайно намаляваща. Нека отбележим нашите точки на графиката и в същото време какво означава координатата и:
Опитайте се да изобразите схематично графика на геометрична прогресия, ако нейният първи член също е равен. Анализирайте каква е разликата с предишната ни графика?
успяхте ли Ето графиката, която измислих:
Сега, след като разбрахте напълно основите на темата за геометричната прогресия: знаете какво е това, знаете как да намерите нейния член и също така знаете какво е безкрайно намаляваща геометрична прогресия, нека преминем към нейното основно свойство.
Свойство на геометричната прогресия.
Спомняте ли си свойствата на членовете на аритметичната прогресия? Да, да, как да намерите стойността на определен брой от прогресията, когато има предишни и последващи стойности на условията на тази прогресия. Помниш ли? Това:
Сега сме изправени пред абсолютно същия въпрос за членовете на геометричната прогресия. За да изведем такава формула, нека започнем да рисуваме и разсъждаваме. Ще видите, че е много лесно и ако забравите, можете да го извадите сами.
Нека вземем друга проста геометрична прогресия, в която знаем и. Как да намеря? С аритметичната прогресия е лесно и просто, но какво да кажем тук? Всъщност в геометрията също няма нищо сложно - просто трябва да запишете всяка стойност, дадена ни според формулата.
Може да попитате какво трябва да направим по въпроса сега? Да, много просто. Първо, нека изобразим тези формули на снимка и се опитаме да направим различни манипулации с тях, за да стигнем до стойността.
Нека се абстрахираме от числата, които ни се дават, нека се съсредоточим само върху тяхното изразяване чрез формулата. Трябва да намерим стойността, маркирана в оранжево, като знаем термините, съседни на нея. Нека се опитаме да извършим различни действия с тях, в резултат на което можем да получим.
Допълнение.
Нека се опитаме да съберем два израза и ще получим:
От този израз, както виждате, не можем да го изразим по никакъв начин, затова ще опитаме друг вариант - изваждане.
Изваждане.
Както можете да видите, ние също не можем да изразим това, затова нека се опитаме да умножим тези изрази един по друг.
Умножение.
Сега погледнете внимателно какво имаме, като умножим членовете на дадената ни геометрична прогресия в сравнение с това, което трябва да се намери:
Познайте за какво говоря? Правилно, за да намерим, трябва да вземем корен квадратен от числата на геометричната прогресия, съседни на желаното, умножени едно по друго:
Ето. Вие сами сте извели свойството на геометричната прогресия. Опитайте се да напишете тази формула в общ вид. Се случи?
Забравихте условието за? Помислете защо е важно, например, опитайте се да го изчислите сами. Какво ще стане в този случай? Точно така, пълни глупости, защото формулата изглежда така:
Съответно, не забравяйте това ограничение.
Сега нека изчислим на какво се равнява
Верен отговор - ! Ако не сте забравили втората възможна стойност по време на изчислението, значи сте страхотни и можете веднага да преминете към обучение, а ако сте забравили, прочетете какво се обсъжда по-долу и обърнете внимание защо и двата корена трябва да бъдат записани в отговор.
Нека начертаем и двете си геометрични прогресии - едната със стойност, а другата със стойност и да проверим дали и двете имат право на съществуване:
За да се провери дали такава геометрична прогресия съществува или не, е необходимо да се види дали всички нейни дадени членове са еднакви? Изчислете q за първия и втория случай.
Вижте защо трябва да напишем два отговора? Защото знакът на търсения термин зависи от това дали е положителен или отрицателен! И тъй като не знаем какво е, трябва да напишем и двата отговора с плюс и минус.
Сега, след като сте усвоили основните точки и сте извели формулата за свойството на геометричната прогресия, намерете, знаейки и
Сравнете вашите отговори с правилните:
Какво мислите, какво ще стане, ако ни бъдат дадени не стойностите на членовете на геометричната прогресия, съседни на желаното число, а на равно разстояние от него. Например, трябва да намерим и даден и. Можем ли да използваме формулата, която сме извели в този случай? Опитайте се да потвърдите или отхвърлите тази възможност по същия начин, като опишете от какво се състои всяка стойност, както сте направили, когато първоначално сте извели формулата, при.
Какво получи?
Сега погледнете внимателно отново.
и съответно:
От това можем да заключим, че формулата работи не само със съседнитес желаните членове на геометричната прогресия, но и с равноотдалечениот това, което членовете търсят.
Така нашата първоначална формула приема формата:
Тоест, ако в първия случай казахме това, сега казваме, че може да бъде равно на всяко естествено число, което е по-малко. Основното е, че е еднакво и за двете дадени числа.
Практикувайте с конкретни примери, само бъдете изключително внимателни!
- , . Намирам.
- , . Намирам.
- , . Намирам.
Решихте ли? Надявам се, че сте били изключително внимателни и сте забелязали малка уловка.
Нека сравним резултатите.
В първите два случая ние спокойно прилагаме горната формула и получаваме следните стойности:
В третия случай, когато внимателно изследваме серийните номера на дадените ни числа, разбираме, че те не са на равно разстояние от търсеното число: това е предишното число, но е премахнато на позиция, така че е не е възможно да се приложи формулата.
Как да го решим? Всъщност не е толкова трудно, колкото изглежда! Нека запишем от какво се състои всяко дадено ни число и числото, което търсим.
Така че имаме и. Да видим какво можем да направим с тях? Предлагам да разделите на. Получаваме:
Заменяме нашите данни във формулата:
Следващата стъпка, която можем да намерим е - за това трябва да вземем кубичен корен от полученото число.
Сега нека погледнем отново какво имаме. Имаме го, но трябва да го намерим, а то от своя страна е равно на:
Намерихме всички необходими данни за изчислението. Заместете във формулата:
Нашият отговор: .
Опитайте сами да разрешите друг подобен проблем:
Дадено: ,
Намирам:
Колко получихте? Аз имам - .
Както можете да видите, по същество имате нужда запомни само една формула- . Всички останали можете да изтеглите сами без никакви затруднения по всяко време. За да направите това, просто напишете най-простата геометрична прогресия на лист хартия и запишете на какво е равно всяко от нейните числа, съгласно описаната по-горе формула.
Сумата от членовете на геометрична прогресия.
Сега нека да разгледаме формулите, които ни позволяват бързо да изчислим сумата от членовете на геометрична прогресия в даден интервал:
За да изведете формулата за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия, умножете всички части на горното уравнение по. Получаваме:
Погледнете внимателно: какво е общото между последните две формули? Точно така, обикновени членове, например, и така нататък, с изключение на първия и последния член. Нека се опитаме да извадим 1-вото от 2-то уравнение. Какво получи?
Сега изразете члена на геометричната прогресия чрез формулата и заместете получения израз в нашата последна формула:
Групирайте израза. Трябва да получите:
Всичко, което остава да се направи, е да се изрази:
Съответно в случая.
Какво ако? Коя формула работи тогава? Представете си геометрична прогресия при. Каква е тя? Поредица от еднакви числа е правилна, така че формулата ще изглежда така:
Има много легенди както за аритметичната, така и за геометричната прогресия. Една от тях е легендата за Сет, създателят на шаха.
Много хора знаят, че играта шах е измислена в Индия. Когато хиндуисткият крал я срещна, той беше възхитен от нейното остроумие и разнообразието от възможни позиции в нея. След като научил, че е изобретен от един от неговите поданици, кралят решил лично да го награди. Той извикал изобретателя при себе си и му наредил да поиска от него всичко, което поиска, като обещал да изпълни и най-изкусното желание.
Сета поискал време за размисъл и когато на следващия ден Сета се явил пред краля, той изненадал краля с безпрецедентната скромност на молбата си. Той поиска да даде житно зърно за първото поле на шахматната дъска, житно зърно за второто, житно зърно за третото, четвъртото и т.н.
Кралят беше ядосан и изгони Сет, като каза, че молбата на слугата е недостойна за щедростта на краля, но обеща, че слугата ще получи своите зърна за всички квадратчета на дъската.
И сега въпросът: използвайки формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия, изчислете колко зърна трябва да получи Сет?
Да започнем да разсъждаваме. Тъй като според условието Сет е поискал житно зърно за първото поле на шахматната дъска, за второто, за третото, за четвъртото и т.н., тогава виждаме, че задачата е за геометрична прогресия. На какво се равнява в този случай?
вярно
Общо полета на шахматната дъска. Съответно,. Имаме всички данни, всичко, което остава, е да ги включим във формулата и да изчислим.
За да си представим поне приблизително „мащаба“ на дадено число, трансформираме, използвайки свойствата на степента:
Разбира се, ако искате, можете да вземете калкулатор и да изчислите какво число ще получите в крайна сметка, а ако не, ще трябва да повярвате на думата ми: крайната стойност на израза ще бъде.
Това е:
квинтилион квадрилион трилион милиард милиона хиляди.
Пфу) Ако искате да си представите огромността на това число, тогава преценете колко голям хамбар би бил необходим, за да побере цялото количество зърно.
Ако хамбарът е m висок и m широк, дължината му трябва да се простира с km, т.е. два пъти по-далеч от Земята до Слънцето.
Ако царят беше силен в математиката, той можеше да покани самия учен да преброи зърната, защото за да преброи един милион зърна, щеше да му трябва поне един ден неуморно броене, а като се има предвид, че е необходимо да се преброят квинтилиони, зърната ще трябва да се брои през целия му живот.
Сега нека решим проста задача, включваща сумата от членовете на геометрична прогресия.
Ученикът от 5А клас Вася се разболя от грип, но продължава да ходи на училище. Всеки ден Вася заразява двама души, които от своя страна заразяват още двама и т.н. В класа има само хора. След колко дни целият клас ще е болен от грип?
И така, първият член на геометричната прогресия е Вася, тоест човек. Членът на геометричната прогресия са двамата души, които е заразил в първия ден от пристигането си. Общият сбор от условията за прогресиране е равен на броя на учениците от 5A. Съответно говорим за прогресия, при която:
Нека заместим нашите данни във формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия:
Целият клас ще се разболее до дни. Не вярвате на формули и числа? Опитайте се сами да изобразите „заразата“ на учениците. Се случи? Вижте как изглежда при мен:
Пресметнете сами за колко дни ще се разболеят учениците от грип, ако всеки зарази по един човек, а в класа има само един човек.
Каква стойност получихте? Оказа се, че всички започват да се разболяват след ден.
Както можете да видите, такава задача и рисунката за нея приличат на пирамида, в която всяка следваща „носи“ нови хора. Но рано или късно идва момент, когато последният не може да привлече никого. В нашия случай, ако си представим, че класът е изолиран, човекът от затваря веригата (). По този начин, ако човек участва във финансова пирамида, в която се дават пари, ако доведете други двама участници, тогава лицето (или като цяло) няма да доведе никого, съответно ще загуби всичко, което е инвестирало в тази финансова измама.
Всичко, което беше казано по-горе, се отнася до намаляваща или нарастваща геометрична прогресия, но, както си спомняте, имаме специален тип - безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Как да изчислим сбора на членовете му? И защо този тип прогресия има определени характеристики? Нека да го разберем заедно.
И така, първо, нека да погледнем отново този чертеж на безкрайно намаляваща геометрична прогресия от нашия пример:
Сега нека разгледаме формулата за сумата от геометрична прогресия, получена малко по-рано:
или
Към какво се стремим? Точно така, графиката показва, че клони към нула. Тоест при, ще бъде почти равно, съответно при изчисляване на израза ще получим почти. В тази връзка смятаме, че при изчисляване на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия тази скоба може да бъде пренебрегната, тъй като ще бъде равна.
- формулата е сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата безкраенброй членове.
Ако е посочено конкретно число n, тогава използваме формулата за сумата от n членове, дори ако или.
Сега нека практикуваме.
- Намерете сумата на първите членове на геометричната прогресия с и.
- Намерете сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия с и.
Надявам се, че сте били изключително внимателни. Нека сравним нашите отговори:
Вече знаете всичко за геометричната прогресия и е време да преминете от теория към практика. Най-честите задачи с геометрична прогресия, срещани на изпита, са задачи за изчисляване на сложна лихва. Това са тези, за които ще говорим.
Задачи за изчисляване на сложна лихва.
Вероятно сте чували за така наречената формула за сложна лихва. Разбирате ли какво означава? Ако не, нека го разберем, защото след като разберете самия процес, веднага ще разберете какво общо има геометричната прогресия с него.
Всички отиваме в банката и знаем, че има различни условия за депозити: това включва срок, допълнителни услуги и лихва с два различни начина за изчисляване - прост и сложен.
СЪС проста лихвавсичко е повече или по-малко ясно: лихвата се начислява веднъж в края на срока на депозита. Тоест, ако кажем, че депозираме 100 рубли за една година, те ще бъдат кредитирани едва в края на годината. Съответно до края на депозита ще получим рубли.
Сложна лихва- това е вариант, в който се случва капитализация на лихвата, т.е. добавянето им към сумата на депозита и последващо изчисляване на дохода не от първоначалната, а от натрупаната сума на депозита. Писането с главни букви не се случва постоянно, а с известна честота. По правило тези периоди са равни и най-често банките използват месец, тримесечие или година.
Да приемем, че депозираме същите рубли годишно, но с месечна капитализация на депозита. Какво правим?
Разбираш ли всичко тук? Ако не, нека го разберем стъпка по стъпка.
Донесохме рубли в банката. До края на месеца трябва да имаме сума в сметката си, състояща се от нашите рубли плюс лихвата върху тях, тоест:
Съгласен?
Можем да го извадим от скоби и тогава получаваме:
Съгласете се, тази формула вече е по-подобна на това, което написахме в началото. Всичко, което остава, е да разбера процентите
В изложението на проблема ни се казва за годишни ставки. Както знаете, ние не умножаваме по - ние преобразуваме процентите в десетични дроби, тоест:
нали? Сега може да попитате откъде идва числото? Много просто!
Повтарям: изложението на проблема казва за ГОДИШЕНлихва, която се натрупва МЕСЕЧНО. Както знаете, съответно за година от месеци банката ще ни начисли част от годишната лихва на месец:
Разбра ли? Сега се опитайте да напишете как би изглеждала тази част от формулата, ако кажа, че лихвата се изчислява ежедневно.
успяхте ли Нека сравним резултатите:
Много добре! Нека се върнем към нашата задача: напишете колко ще бъде кредитирана в нашата сметка през втория месец, като се има предвид, че върху натрупаната сума на депозита се начислява лихва.
Ето какво получих:
Или с други думи:
Мисля, че вече сте забелязали закономерност и сте видели геометрична прогресия във всичко това. Напишете на какво ще се равнява неговият член или с други думи каква сума пари ще получим в края на месеца.
Направих? Да проверим!
Както можете да видите, ако вложите пари в банка за една година при проста лихва, ще получите рубли, а ако при сложна лихва, ще получите рубли. Ползата е малка, но това се случва само през годината, но за по-дълъг период капитализацията е много по-печеливша:
Нека разгледаме друг тип задачи, включващи сложна лихва. След това, което сте разбрали, ще ви е елементарно. И така, задачата:
Компанията Звезда започва да инвестира в индустрията през 2000 г. с капитал в долари. Всяка година от 2001 г. насам получава печалба, равна на капитала от предходната година. Каква печалба ще получи фирма Звезда в края на 2003 г., ако печалбите не бяха изтеглени от обращение?
Капитал на фирма Звезда през 2000г.
- капитал на фирма Звезда 2001г.
- капитал на фирма Звезда 2002г.
- капитал на фирма Звезда 2003г.
Или можем да напишем накратко:
За нашия случай:
2000, 2001, 2002 и 2003 г.
Съответно:
рубли
Моля, обърнете внимание, че в тази задача нямаме деление нито на, нито на, тъй като процентът е даден ГОДИШНО и се изчислява ГОДИШНО. Тоест, когато четете задача за сложна лихва, обърнете внимание какъв процент е даден и в какъв период се изчислява и едва след това преминете към изчисления.
Сега знаете всичко за геометричната прогресия.
обучение.
- Намерете члена на геометричната прогресия, ако е известно, че и
- Намерете сумата от първите членове на геометричната прогресия, ако е известно, че и
- Компанията MDM Capital започва да инвестира в индустрията през 2003 г. с капитал в долари. Всяка година от 2004 г. насам получава печалба, равна на капитала от предходната година. Компанията MSK Cash Flows започна да инвестира в индустрията през 2005 г. в размер на $10 000, като започна да реализира печалба през 2006 г. в размер на. С колко долара е капиталът на едното дружество по-голям от капитала на другото в края на 2007 г., ако печалбата не е изтеглена от обръщение?
Отговори:
- Тъй като формулировката на задачата не казва, че прогресията е безкрайна и се изисква да се намери сумата от определен брой нейни членове, изчислението се извършва по формулата:
MDM Capital Company:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- се увеличава със 100%, тоест 2 пъти.
Съответно:
рубли
Компания MSK Cash Flows:2005, 2006, 2007.
- се увеличава с, тоест с пъти.
Съответно:
рубли
рубли
Нека да обобщим.
1) Геометрична прогресия ( ) е числова последователност, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.
2) Уравнението на членовете на геометричната прогресия е .
3) може да приема всякакви стойности с изключение на и.
- ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни;
- ако, тогава всички следващи условия на прогресията алтернативни знаци;
- когато – прогресията се нарича безкрайно намаляваща.
4) , когато – свойство на геометрична прогресия (съседни членове)
или
, при (равноотдалечени термини)
Когато го намерите, не забравяйте това трябва да има два отговора.
Например,
5) Сумата от членовете на геометричната прогресия се изчислява по формулата:
или
или
ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата от безкраен брой членове.
6) Проблемите със сложната лихва също се изчисляват по формулата на th член на геометрична прогресия, при условие че средствата не са изтеглени от обращение:
ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО
Геометрична прогресия( ) е числова редица, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число. Този номер се нарича знаменател на геометрична прогресия.
Знаменател на геометричната прогресияможе да приема всякаква стойност освен и.
- Ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни;
- ако, тогава всички следващи членове на прогресията редуват знаци;
- когато – прогресията се нарича безкрайно намаляваща.
Уравнение на членовете на геометричната прогресия - .
Сума от членовете на геометрична прогресияизчислява се по формулата:
или
Ако прогресията намалява безкрайно, тогава:
Станете студент на YouClever,
Подгответе се за Единен държавен изпит или Единен държавен изпит по математика,
И също така получете достъп до учебника YouClever без ограничения...