Нека видим как да изследваме функция с помощта на графика. Оказва се, че като погледнем графиката, можем да разберем всичко, което ни интересува, а именно:
- област на функция
- функционален диапазон
- функционални нули
- интервали на нарастване и намаляване
- максимални и минимални точки
- най-голямата и най-малката стойност на функция върху сегмент.
Нека изясним терминологията:
Абцисае хоризонталната координата на точката.
Ордината- вертикална координата.
Абсцисната ос- хоризонталната ос, най-често наричана ос.
Y ос- вертикална ос или ос.
Аргумент- независима променлива, от която зависят стойностите на функцията. Най-често се посочва.
С други думи, избираме , заместваме функции във формулата и получаваме .
Домейнфункции - набор от тези (и само тези) стойности на аргументи, за които съществува функцията.
Обозначава се с: или .
В нашата фигура областта на дефиниране на функцията е сегментът. На този сегмент е начертана графиката на функцията. Това е единственото място, където съществува тази функция.
Функционален диапазоне набор от стойности, които една променлива приема. В нашата фигура това е сегмент - от най-ниската до най-високата стойност.
Функционални нули- точки, където стойността на функцията е нула, т.е. В нашата фигура това са точки и .
Функционалните стойности са положителникъдето . На нашата фигура това са интервалите и .
Стойностите на функциите са отрицателникъдето . За нас това е интервалът (или интервалът) от до .
Най-важните понятия - нарастваща и намаляваща функцияна някакъв комплект. Като набор можете да вземете сегмент, интервал, обединение на интервали или цялата числова линия.
функция се увеличава
С други думи, колкото повече, толкова повече, тоест графиката върви надясно и нагоре.
функция намалявана множество, ако за всяко и принадлежащи на множеството, неравенството предполага неравенството .
За намаляваща функция по-голямата стойност съответства на по-малка стойност. Графиката върви надясно и надолу.
На нашата фигура функцията нараства на интервала и намалява на интервалите и .
Нека да дефинираме какво е то максимални и минимални точки на функцията.
Максимална точка- това е вътрешна точка на областта на дефиниране, така че стойността на функцията в нея е по-голяма, отколкото във всички точки, достатъчно близки до нея.
С други думи, максималната точка е точка, в която стойността на функцията Повече ▼отколкото в съседните. Това е местен „хълм“ на диаграмата.
В нашата фигура има максимална точка.
Минимална точка- вътрешна точка на областта на дефиниция, така че стойността на функцията в нея е по-малка, отколкото във всички точки, достатъчно близки до нея.
Тоест минималната точка е такава, че стойността на функцията в нея е по-малка от тази в нейните съседи. Това е локална „дупка“ на графиката.
В нашата фигура има минимална точка.
Точката е границата. Това не е вътрешна точка на областта на дефиницията и следователно не отговаря на определението за максимална точка. В крайна сметка тя няма съседи отляво. По същия начин на нашата диаграма не може да има минимална точка.
Извикват се заедно максималните и минималните точки екстремни точки на функцията. В нашия случай това е и .
Какво да направите, ако трябва да намерите напр. минимална функцияна сегмента? В този случай отговорът е:. защото минимална функцияе неговата стойност в минималната точка.
По подобен начин максимумът на нашата функция е . Достига се в точка .
Можем да кажем, че екстремумите на функцията са равни на и .
Понякога проблемите изискват намиране най-голямата и най-малката стойност на функцияна даден сегмент. Не е задължително те да съвпадат с крайностите.
В нашия случай най-малката стойност на функциятана отсечката е равно на и съвпада с минимума на функцията. Но най-голямата му стойност в този сегмент е равна на . Достига се в левия край на сегмента.
Във всеки случай най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент се постигат или в екстремните точки, или в краищата на сегмента.
На практика е доста обичайно да се използва производната, за да се изчисли най-голямата и най-малката стойност на функция. Извършваме това действие, когато разберем как да минимизираме разходите, да увеличим печалбите, да изчислим оптималното натоварване на производството и т.н., тоест в случаите, когато трябва да определим оптималната стойност на даден параметър. За да разрешите правилно такива проблеми, трябва да имате добро разбиране кои са най-големите и най-малките стойности на дадена функция.
Обикновено ние дефинираме тези стойности в рамките на определен интервал x, който от своя страна може да съответства на цялата област на функцията или част от нея. Може да бъде като сегмент [a; b ] , и отворен интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), безкраен интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) или безкраен интервал - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
В този материал ще ви кажем как да изчислите най-голямата и най-малката стойност на изрично дефинирана функция с една променлива y=f(x) y = f (x) .
Основни определения
Нека започнем, както винаги, с формулирането на основните определения.
Определение 1
Най-голямата стойност на функцията y = f (x) на определен интервал x е стойността m a x y = f (x 0) x ∈ X, която за всяка стойност x x ∈ X, x ≠ x 0 прави неравенството f (x) ≤ f (x) валидно 0) .
Определение 2
Най-малката стойност на функцията y = f (x) на определен интервал x е стойността m i n x ∈ X y = f (x 0) , което за всяка стойност x ∈ X, x ≠ x 0 прави неравенството f(X f (x) ≥ f (x 0) .
Тези определения са съвсем очевидни. Още по-просто можем да кажем следното: най-голямата стойност на функция е нейната най-голяма стойност на известен интервал при абсцисата x 0, а най-малката е най-малката приета стойност на същия интервал при x 0.
Определение 3
Стационарни точки са онези стойности на аргумента на функция, при които нейната производна става 0.
Защо трябва да знаем какво представляват неподвижните точки? За да отговорим на този въпрос, трябва да си спомним теоремата на Ферма. От това следва, че стационарна точка е точката, в която се намира екстремумът на диференцируемата функция (т.е. нейният локален минимум или максимум). Следователно функцията ще вземе най-малката или най-голямата стойност на определен интервал точно в една от стационарните точки.
Една функция може също да приеме най-голямата или най-малката стойност в онези точки, в които самата функция е дефинирана и нейната първа производна не съществува.
Първият въпрос, който възниква при изучаването на тази тема: във всички случаи можем ли да определим най-голямата или най-малката стойност на функция на даден интервал? Не, не можем да направим това, когато границите на даден интервал съвпадат с границите на дефиниционната област или ако имаме работа с безкраен интервал. Също така се случва функция в даден сегмент или в безкрайност да приема безкрайно малки или безкрайно големи стойности. В тези случаи не е възможно да се определи най-голямата и/или най-малката стойност.
Тези точки ще станат по-ясни, след като бъдат изобразени на графиките:
Първата фигура ни показва функция, която приема най-големите и най-малките стойности (m a x y и m i n y) в стационарни точки, разположени на сегмента [ - 6 ; 6].
Нека разгледаме подробно случая, посочен във втората графика. Нека променим стойността на сегмента на [ 1 ; 6 ] и намираме, че максималната стойност на функцията ще се постигне в точката с абсцисата на дясната граница на интервала, а минималната – в стационарната точка.
На третата фигура абсцисите на точките представляват граничните точки на отсечката [ - 3 ; 2]. Те съответстват на най-голямата и най-малката стойност на дадена функция.
Сега нека да разгледаме четвъртата снимка. В него функцията приема m a x y (най-голямата стойност) и m i n y (най-малката стойност) в стационарни точки на отворения интервал (- 6; 6).
Ако вземем интервала [ 1 ; 6), тогава можем да кажем, че най-малката стойност на функцията върху него ще бъде постигната в стационарна точка. Най-голямата стойност ще бъде непозната за нас. Функцията може да приеме максималната си стойност при x равно на 6, ако x = 6 принадлежи на интервала. Точно такъв е случаят, показан на графика 5.
В графика 6 тази функция придобива най-малката си стойност на дясната граница на интервала (- 3; 2 ] и не можем да направим категорични заключения за най-голямата стойност.
На фигура 7 виждаме, че функцията ще има m a x y в неподвижна точка с абциса, равна на 1. Функцията ще достигне минималната си стойност на границата на интервала от дясната страна. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично ще се доближат до y = 3.
Ако вземем интервала x ∈ 2 ; + ∞ , тогава ще видим, че дадената функция няма да приеме нито най-малката, нито най-голямата стойност върху нея. Ако x клони към 2, тогава стойностите на функцията ще клонят към минус безкрайност, тъй като правата x = 2 е вертикална асимптота. Ако абсцисата клони към плюс безкрайност, тогава стойностите на функцията асимптотично ще се доближат до y = 3. Това е точно случаят, показан на фигура 8.
В този параграф ще представим последователността от действия, които трябва да се извършат, за да се намери най-голямата или най-малката стойност на функция на определен сегмент.
- Първо, нека намерим домейна на дефиниция на функцията. Нека проверим дали посоченият в условието сегмент е включен в него.
- Сега нека изчислим точките, съдържащи се в този сегмент, в които първата производна не съществува. Най-често те могат да бъдат намерени във функции, чийто аргумент е записан под знака на модула, или в степенни функции, чийто показател е дробно рационално число.
- След това ще разберем кои неподвижни точки ще попаднат в дадения сегмент. За да направите това, трябва да изчислите производната на функцията, след това да я приравните към 0 и да решите полученото уравнение и след това да изберете подходящите корени. Ако не получим нито една неподвижна точка или те не попадат в дадения сегмент, тогава преминаваме към следващата стъпка.
- Определяме какви стойности ще приеме функцията в дадени стационарни точки (ако има такива) или в тези точки, в които първата производна не съществува (ако има такива), или изчисляваме стойностите за x = a и x = b.
- 5. Имаме редица стойности на функцията, от които сега трябва да изберем най-голямата и най-малката. Това ще бъдат най-голямата и най-малката стойност на функцията, която трябва да намерим.
Нека видим как правилно да прилагаме този алгоритъм при решаване на задачи.
Пример 1
Състояние:дадена е функцията y = x 3 + 4 x 2. Определете неговите най-големи и най-малки стойности на сегментите [ 1 ; 4] и [-4; - 1 ] .
Решение:
Нека започнем с намиране на домейна на дефиниция на дадена функция. В този случай това ще бъде множеството от всички реални числа с изключение на 0. С други думи, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . И двата сегмента, посочени в условието, ще бъдат вътре в зоната за дефиниране.
Сега изчисляваме производната на функцията според правилото за диференциране на дроби:
y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 х 3
Научихме, че производната на функция ще съществува във всички точки на отсечките [ 1 ; 4] и [-4; - 1 ] .
Сега трябва да определим стационарните точки на функцията. Нека направим това с помощта на уравнението x 3 - 8 x 3 = 0. Има само един истински корен, който е 2. Тя ще бъде стационарна точка на функцията и ще попада в първия сегмент [1; 4 ] .
Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на първия сегмент и в тази точка, т.е. за x = 1, x = 2 и x = 4:
y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Установихме, че най-голямата стойност на функцията m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 ще бъде постигнато при x = 1, а най-малкото m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – при x = 2.
Вторият сегмент не включва нито една стационарна точка, така че трябва да изчислим стойностите на функцията само в краищата на дадения сегмент:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Това означава m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Отговор:За сегмента [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , за отсечката [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Вижте снимката:
Преди да изучавате този метод, ви съветваме да прегледате как правилно да изчислите едностранната граница и границата в безкрайност, както и да научите основните методи за намирането им. За да намерите най-голямата и/или най-малката стойност на функция в отворен или безкраен интервал, изпълнете следните стъпки последователно.
- Първо трябва да проверите дали дадения интервал е подмножество от областта на дефиниране на тази функция.
- Нека определим всички точки, които се съдържат в търсения интервал и в които първата производна не съществува. Те обикновено се появяват за функции, при които аргументът е ограден в знака за модул, и за степенни функции с дробно рационален показател. Ако тези точки липсват, можете да продължите към следващата стъпка.
- Сега нека определим кои стационарни точки ще попаднат в дадения интервал. Първо приравняваме производната на 0, решаваме уравнението и избираме подходящи корени. Ако нямаме нито една стационарна точка или те не попадат в посочения интервал, тогава незабавно пристъпваме към по-нататъшни действия. Те се определят от вида на интервала.
- Ако интервалът е във формата [ a ; b) , тогава трябва да изчислим стойността на функцията в точката x = a и едностранната граница lim x → b - 0 f (x) .
- Ако интервалът има формата (a; b ], тогава трябва да изчислим стойността на функцията в точката x = b и едностранната граница lim x → a + 0 f (x).
- Ако интервалът има формата (a; b), тогава трябва да изчислим едностранните граници lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
- Ако интервалът е във формата [ a ; + ∞), тогава трябва да изчислим стойността в точката x = a и границата при плюс безкрайност lim x → + ∞ f (x) .
- Ако интервалът изглежда като (- ∞ ; b ] , изчисляваме стойността в точката x = b и границата при минус безкрайност lim x → - ∞ f (x) .
- Ако - ∞ ; b , тогава разглеждаме едностранната граница lim x → b - 0 f (x) и границата при минус безкрайност lim x → - ∞ f (x)
- Ако - ∞; + ∞ , тогава разглеждаме границите на минус и плюс безкрайност lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
- В крайна сметка трябва да направите заключение въз основа на получените стойности и граници на функцията. Тук има много опции. Така че, ако едностранната граница е равна на минус безкрайност или плюс безкрайност, тогава веднага става ясно, че нищо не може да се каже за най-малките и най-големите стойности на функцията. По-долу ще разгледаме един типичен пример. Подробните описания ще ви помогнат да разберете какво е какво. Ако е необходимо, можете да се върнете към фигури 4 - 8 в първата част на материала.
Условие: дадена функция y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Изчислете най-голямата и най-малката му стойност в интервалите - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).
Решение
Първо, намираме областта на дефиниция на функцията. Знаменателят на дробта съдържа квадратен тричлен, който не трябва да се превръща в 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Получихме областта на дефиниране на функцията, към която принадлежат всички интервали, посочени в условието.
Сега нека разграничим функцията и да получим:
y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Следователно, производни на функция съществуват в цялата й област на дефиниция.
Нека да преминем към намирането на стационарни точки. Производната на функцията става 0 при x = - 1 2 . Това е неподвижна точка, която лежи в интервалите (- 3 ; 1 ] и (- 3 ; 2) .
Нека изчислим стойността на функцията при x = - 4 за интервала (- ∞ ; - 4 ], както и границата при минус безкрайност:
y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Тъй като 3 e 1 6 - 4 > - 1, това означава, че m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Това не ни позволява еднозначно да определим най-малката стойност на може да се заключи само, че има ограничение под - 1, тъй като функцията се приближава асимптотично при минус безкрайност.
Особеността на втория интервал е, че в него няма нито една стационарна точка и нито една строга граница. Следователно няма да можем да изчислим нито най-голямата, нито най-малката стойност на функцията. След като дефинирахме границата при минус безкрайност и тъй като аргументът клони към -3 от лявата страна, получаваме само интервал от стойности:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Това означава, че стойностите на функцията ще бъдат разположени в интервала - 1; +∞
За да намерим най-голямата стойност на функцията в третия интервал, определяме нейната стойност в стационарната точка x = - 1 2, ако x = 1. Ще трябва също да знаем едностранната граница за случая, когато аргументът клони към - 3 от дясната страна:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Оказа се, че функцията ще приеме най-голяма стойност в стационарна точка m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Колкото до най-малката стойност, не можем да я определим. Всичко, което знаем , е наличието на долна граница до - 4 .
За интервала (- 3 ; 2) вземете резултатите от предишното изчисление и отново изчислете на какво е равно едностранното ограничение, когато клоните към 2 от лявата страна:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
Това означава, че m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 и най-малката стойност не може да бъде определена, а стойностите на функцията са ограничени отдолу с числото - 4 .
Въз основа на това, което получихме в двете предишни изчисления, можем да кажем, че на интервала [ 1 ; 2) функцията ще приеме най-голямата си стойност при x = 1, но е невъзможно да се намери най-малката.
На интервала (2 ; + ∞) функцията няма да достигне нито най-голямата, нито най-малката стойност, т.е. ще приема стойности от интервала - 1 ; + ∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
След като изчислим на какво ще бъде равна стойността на функцията при x = 4, откриваме, че m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , и дадената функция при плюс безкрайност асимптотично ще се доближава до правата линия y = - 1 .
Нека сравним полученото при всяко изчисление с графиката на дадената функция. На фигурата асимптотите са показани с пунктирани линии.
Това е всичко, което искахме да ви кажем за намирането на най-голямата и най-малката стойност на функция. Последователността от действия, които дадохме, ще ви помогне да направите необходимите изчисления възможно най-бързо и лесно. Но не забравяйте, че често е полезно първо да разберете на кои интервали функцията ще намалява и на кои ще се увеличава, след което можете да направите допълнителни заключения. По този начин можете по-точно да определите най-големите и най-малките стойности на функцията и да обосновете получените резултати.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Алгоритъм за намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция на сегмент:
1) Намерете всички критични точки на функцията, принадлежащи на сегмента;
2) Изчислете стойностите на функцията в тези точки и в краищата на сегмента;
3) От получените стойности изберете най-голямата и най-малката.
Пример 8.1.Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция 
на сегмента 
.
Решение. 1) Намерете критичните точки на функцията.
,
.
На сегмента 
знаменателят не изчезва. Следователно една дроб е равна на нула тогава и само ако числителят е равен на нула:
.
означава, 
– критична точка на функцията. Принадлежи към този сегмент.
Нека намерим стойността на функцията в критичната точка:
2) Намерете стойностите на функцията в краищата на сегмента:
,
.
3) От получените стойности изберете най-голямата и най-малката:
, 
.
9. Проблеми с намирането на най-големите и най-малките стойности на количествата
Когато решавате задачи, включващи изчисляване на най-малката и най-голямата стойност на количествата, първо трябва да определите за кое количество в проблема трябва да намерите най-малката или най-голямата стойност. Тази стойност ще бъде изследваната функция. Тогава една от величините, от промяната на която зависи приложението на функцията, трябва да се вземе като независима променлива и функцията да се изрази чрез нея. В този случай е необходимо да се избере като независима променлива стойността, чрез която най-просто се изразява изследваната функция. След това се решава проблемът за намиране на най-малките и най-големите стойности на получената функция в определен интервал на промяна на независимата променлива, което обикновено се установява от самата същност на проблема.
Пример 9.1.Намерете височината на конуса с най-голям обем, който може да бъде вписан в топка с радиус 
.
Р 
решение.Означаване съответно на радиуса на основата, височината и обема на конуса 
,
И 
, да пишем 
. Това равенство изразява зависимостта от две променливи 
И 
; нека изключим едно от тези количества, а именно 
. За да направите това, от правоъгълен триъгълник 
извеждаме (използвайки теоремата за квадрата на перпендикуляр, пуснат от върха на прав ъгъл към хипотенузата):
Фигура 6 – Илюстрация за пример 9.1.
или
.
Заместване на стойността 
във формулата за обема на конус, получаваме:
.
Виждаме, че обемът 
конус, вписан в топка с радиус 
, има функция на височината на този конус 
. Намирането на височината, на която вписаният конус има голям обем, означава намиране на такъв 
, при което функцията 
има максимум. Търсим максималната функция:
1)
,
2)
,
,
, където 
или 
,
3)
.
Заместване вместо това 
първо 
, и тогава 
, получаваме:
В първия случай имаме минимум ( 
при 
), във втория желаният максимум (тъй като 
при 
).
Следователно, когато 
конус, вписан в топка с радиус 
,
има най-голям обем.
П 
Пример 9.2.
Изисква се ограда с дължина на телената мрежа 60
мправоъгълна зона, прилежаща към стената на къщата (фиг. 7). Каква трябва да бъде дължината и ширината на парцела, така че да има най-голяма площ?
Решение.Нека ширината на парцела 
м, и района 
м 2
, Тогава:
Фигура 7 – Илюстрация за пример 9.2.
Стойности 
И 
не може да бъде отрицателен, така че множителят
, А 
.
Квадрат 
има функция 
, определяме интервалите на неговото увеличение и намаляване:
.
, а функцията нараства, когато 
;
, а функцията намалява, когато 
. Следователно точката 
е максималната точка. Тъй като това е единствената точка, принадлежаща на интервала 
, след това в точката 
функцията е най-важна.
Следователно площта на парцела е най-голяма (максимална), ако ширината 
м,и дължината
м.
Пример 9.3.Какви трябва да бъдат размерите на правоъгълна стая, чиято площ 36 м 2 така че периметърът му да е най-малък?
Решение. Нека дължината бъде 
м,след това ширината на правоъгълника 
м, а периметърът:
.
Периметър 
има функция на дължината 
, определени за всички положителни стойности 
:
.
Нека определим интервалите на неговото увеличение и намаляване:
Знакът на производната се определя от знака на разликата 
. Междувременно
, и между тях 
.
Следователно точката 
е минималната точка. Тъй като това е единствената точка, принадлежаща на интервала: 
, след това в точката 
функцията има най-малка стойност.
Следователно периметърът на правоъгълник има най-малка стойност (минимална), ако неговата дължина 6
ми ширина 
m = 6 m,тоест, когато е квадрат.
\(\blacktriangleright\) За да се намери най-голямата/най-малката стойност на функция върху отсечката \(\) , е необходимо да се изобрази схематично графиката на функцията върху тази отсечка.
В задачи от тази подтема това може да се направи с помощта на производната: намиране на интервалите на нарастване (\(f">0\) ) и намаляване (\(f"<0\)
) функции, критические точки (где \(f"=0\)
или \(f"\)
не существует).
\(\blacktriangleright\) Не забравяйте, че функцията може да приема най-голямата/най-малката стойност не само във вътрешните точки на сегмента \(\), но и в неговите краища.
\(\blacktriangleright\) Най-голямата/най-малката стойност на функцията е координатната стойност \(y=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Производната на сложна функция \(f(t(x))\) се намира съгласно правилото: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(масив) \quad \quad \quad \quad \begin(масив)(|r|c|c|) \hline & \text(Функция) f(x) & \text(Производна) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(масив)\]
Задача 1 #2357
Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит
Намерете най-малката стойност на функцията \(y = e^(x^2 - 4)\) на отсечката \([-10; -2]\) .
ODZ: \(x\) – произволно.
1) \
\ Така \(y" = 0\) за \(x = 0\) .
3) Нека намерим интервали с постоянен знак \(y"\) на разглеждания сегмент \([-10; -2]\) :
4) Скица на графика върху сегмента \([-10; -2]\) :
Така функцията достига най-малката си стойност при \([-10; -2]\) при \(x = -2\) .
\ Общо: \(1\) – най-малката стойност на функцията \(y\) върху \([-10; -2]\) .
Отговор: 1
Задача 2 #2355
Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит
\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\)върху сегмента \([-1; 1]\) .
ODZ: \(x\) – произволно.
1) \
Нека намерим критични точки (т.е. вътрешни точки от дефиниционната област на функцията, в които нейната производна е равна на \(0\) или не съществува): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]Производната съществува за всяко \(x\) .
2) Нека намерим интервали с постоянен знак \(y"\):
3) Нека намерим интервали с постоянен знак \(y"\) на разглеждания сегмент \([-1; 1]\) :
4) Скица на графика върху сегмента \([-1; 1]\) :
Така функцията достига най-голямата си стойност при \([-1; 1]\) при \(x = -1\) или при \(x = 1\) . Нека сравним стойностите на функциите в тези точки.
\ Общо: \(2\) – най-голямата стойност на функцията \(y\) върху \([-1; 1]\) .
Отговор: 2
Задача 3 #2356
Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит
Намерете най-малката стойност на функцията \(y = \cos 2x\) на отсечката \(\) .
ODZ: \(x\) – произволно.
1) \
Нека намерим критични точки (т.е. вътрешни точки от дефиниционната област на функцията, в които нейната производна е равна на \(0\) или не съществува): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\]Производната съществува за всяко \(x\) .
2) Нека намерим интервали с постоянен знак \(y"\):
(тук има безкраен брой интервали, в които се редуват знаците на производната).
3) Нека намерим интервали с постоянен знак \(y"\) на разглеждания сегмент \(\):
4) Скица на графика върху сегмента \(\) :
Така функцията достига най-малката си стойност на \(\) при \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .
\ Общо: \(-1\) – най-малката стойност на функцията \(y\) върху \(\) .
Отговор: -1
Задача 4 #915
Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит
Намерете най-голямата стойност на функцията
\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).
ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Да вземем решение за ODZ:
1) Нека означим \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , тогава \(y(t)=-\log_(17)t\) .
Нека намерим критични точки (т.е. вътрешни точки от дефиниционната област на функцията, в които нейната производна е равна на \(0\) или не съществува): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– на ODZ, откъдето намираме корена \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . Производната на функцията \(y\) не съществува, когато \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\), но това уравнение има отрицателен дискриминант, следователно няма решения. За да намерите най-голямата/най-малката стойност на функция, трябва да разберете как изглежда нейната графика схематично.
2) Нека намерим интервали с постоянен знак \(y"\):
3) Скица на графиката:
Така функцията достига най-голямата си стойност при \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :
\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),
Общо: \(0\) – най-голямата стойност на функцията \(y\) .
Отговор: 0
Задача 5 #2344
Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит
Намерете най-малката стойност на функцията
\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).
ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Да вземем решение за ODZ:
1) Нека означим \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , тогава \(y(t)=\log_(3)t\) .
Нека намерим критични точки (т.е. вътрешни точки от дефиниционната област на функцията, в които нейната производна е равна на \(0\) или не съществува): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– на ОДЗ, откъдето намираме корена \(x = -4\) . Производната на функцията \(y\) не съществува, когато \(x^2 + 8x + 19 = 0\), но това уравнение има отрицателен дискриминант, следователно няма решения. За да намерите най-голямата/най-малката стойност на функция, трябва да разберете как изглежда нейната графика схематично.
2) Нека намерим интервали с постоянен знак \(y"\):
3) Скица на графиката:
Така \(x = -4\) е минималната точка на функцията \(y\) и в нея се постига най-малката стойност:
\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .
Общо: \(1\) – най-малката стойност на функцията \(y\) .
Отговор: 1
Задача 6 #917
Ниво на задачата: По-трудно от Единния държавен изпит
Намерете най-голямата стойност на функцията
\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).
Нека функцията $z=f(x,y)$ е дефинирана и непрекъсната в някаква ограничена затворена област $D$. Нека дадената функция в тази област има крайни частични производни от първи ред (освен, може би, за краен брой точки). За да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция от две променливи в дадена затворена област, са необходими три стъпки от прост алгоритъм.
Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=f(x,y)$ в затворена област $D$.
- Намерете критичните точки на функцията $z=f(x,y)$, принадлежащи към областта $D$. Изчислете стойностите на функцията в критични точки.
- Изследвайте поведението на функцията $z=f(x,y)$ на границата на област $D$, намирайки точките на възможни максимални и минимални стойности. Изчислете стойностите на функцията в получените точки.
- От стойностите на функцията, получени в предишните два параграфа, изберете най-голямата и най-малката.
Какво представляват критичните точки? Покажи скрий
Под критични точкипредполагат точки, в които и двете частични производни от първи ред са равни на нула (т.е. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ и $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) или поне една частична производна не съществува.
Често се наричат точките, в които частните производни от първи ред са равни на нула стационарни точки. По този начин стационарните точки са подмножество от критични точки.
Пример №1
Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=x^2+2xy-y^2-4x$ в затворена област, ограничена от линиите $x=3$, $y=0$ и $y=x +1$.
Ще следваме горното, но първо ще се заемем с изчертаването на дадена област, която ще обозначим с буквата $D$. Дадени са ни уравненията на три прави линии, които ограничават тази област. Правата $x=3$ минава през точката $(3;0)$ успоредно на ординатната ос (ос Oy). Правата $y=0$ е уравнението на абсцисната ос (ос Ox). Е, за да построим правата $y=x+1$, ще намерим две точки, през които ще прекараме тази права. Можете, разбира се, да замените няколко произволни стойности вместо $x$. Например, замествайки $x=10$, получаваме: $y=x+1=10+1=11$. Намерихме точката $(10;11)$, лежаща на правата $y=x+1$. По-добре е обаче да се намерят точките, в които правата $y=x+1$ пресича правите $x=3$ и $y=0$. Защо това е по-добре? Защото ще убием няколко птици с един камък: ще получим две точки, за да построим правата линия $y=x+1$ и в същото време ще разберем в кои точки тази права линия пресича други линии, ограничаващи дадената област. Правата $y=x+1$ пресича правата $x=3$ в точката $(3;4)$, а правата $y=0$ се пресича в точката $(-1;0)$. За да не затрупвам хода на решението със спомагателни обяснения, ще поставя въпроса за получаването на тези две точки в бележка.
Как са получени точките $(3;4)$ и $(-1;0)$? Покажи скрий
Да започнем от пресечната точка на правите $y=x+1$ и $x=3$. Координатите на желаната точка принадлежат както на първата, така и на втората права линия, следователно, за да намерите неизвестните координати, трябва да решите системата от уравнения:
$$ \left \( \begin(подравнено) & y=x+1;\\ & x=3. \end(подравнено) \right. $$
Решението на такава система е тривиално: замествайки $x=3$ в първото уравнение, ще имаме: $y=3+1=4$. Точката $(3;4)$ е желаната пресечна точка на правите $y=x+1$ и $x=3$.
Сега нека намерим пресечната точка на правите $y=x+1$ и $y=0$. Нека отново съставим и решим системата от уравнения:
$$ \left \( \begin(подравнено) & y=x+1;\\ & y=0. \end(подравнено) \right. $$
Като заместим $y=0$ в първото уравнение, получаваме: $0=x+1$, $x=-1$. Точката $(-1;0)$ е желаната пресечна точка на правите $y=x+1$ и $y=0$ (ос x).
Всичко е готово за изграждане на чертеж, който ще изглежда така:
Въпросът за бележката изглежда очевиден, защото всичко се вижда на снимката. Въпреки това си струва да запомните, че рисунката не може да служи като доказателство. Чертежът е само с илюстративна цел.
Нашата област беше дефинирана с помощта на уравнения с права линия, които я ограничаваха. Очевидно тези линии определят триъгълник, нали? Или не е съвсем очевидно? Или може би ни е дадена различна област, ограничена от същите линии:
Разбира се, условието гласи, че зоната е затворена, така че показаната снимка е неправилна. Но за да се избегнат подобни неясноти, е по-добре да се дефинират регионите чрез неравенства. Интересува ли ни частта от равнината, разположена под правата $y=x+1$? Добре, значи $y ≤ x+1$. Трябва ли нашата област да се намира над линията $y=0$? Страхотно, това означава $y ≥ 0$. Между другото, последните две неравенства могат лесно да се комбинират в едно: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$
Тези неравенства определят областта $D$ и я определят еднозначно, без да допускат двусмислие. Но как това ни помага с въпроса, зададен в началото на бележката? Това също ще помогне :) Трябва да проверим дали точката $M_1(1;1)$ принадлежи на областта $D$. Нека заместим $x=1$ и $y=1$ в системата от неравенства, които определят тази област. Ако и двете неравенства са изпълнени, тогава точката е вътре в областта. Ако поне едно от неравенствата не е изпълнено, тогава точката не принадлежи на областта. Така:
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.
И двете неравенства са валидни. Точка $M_1(1;1)$ принадлежи на област $D$.
Сега е ред да проучим поведението на функцията на границата на региона, т.е. Хайде да отидем до . Нека започнем с правата $y=0$.
Правата $y=0$ (абсцисната ос) ограничава областта $D$ при условие $-1 ≤ x ≤ 3$. Нека заместим $y=0$ в дадената функция $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Функцията на една променлива $x$, получена в резултат на заместване, означаваме като $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Сега за функцията $f_1(x)$ трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност в интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Нека намерим производната на тази функция и я приравним към нула:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
Стойността $x=2$ принадлежи на сегмента $-1 ≤ x ≤ 3$, така че ще добавим също $M_2(2;0)$ към списъка с точки. Освен това нека изчислим стойностите на функцията $z$ в краищата на сегмента $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. в точки $M_3(-1;0)$ и $M_4(3;0)$. Между другото, ако точката $M_2$ не принадлежи на разглеждания сегмент, тогава, разбира се, няма да има нужда да се изчислява стойността на функцията $z$ в нея.
И така, нека изчислим стойностите на функцията $z$ в точки $M_2$, $M_3$, $M_4$. Можете, разбира се, да замените координатите на тези точки в оригиналния израз $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Например за точка $M_2$ получаваме:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Изчисленията обаче могат да бъдат малко опростени. За да направите това, си струва да запомните, че на сегмента $M_3M_4$ имаме $z(x,y)=f_1(x)$. Ще го напиша подробно:
\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \край (подравнено)
Разбира се, обикновено няма нужда от толкова подробни записи и в бъдеще ще запишем всички изчисления накратко:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Сега нека се обърнем към правата $x=3$. Тази права линия ограничава областта $D$ при условие $0 ≤ y ≤ 4$. Нека заместим $x=3$ в дадената функция $z$. В резултат на това заместване получаваме функцията $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
За функцията $f_2(y)$ трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност на интервала $0 ≤ y ≤ 4$. Нека намерим производната на тази функция и я приравним към нула:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
Стойността $y=3$ принадлежи на сегмента $0 ≤ y ≤ 4$, така че ще добавим $M_5(3;3)$ към предварително намерените точки. Освен това е необходимо да се изчисли стойността на функцията $z$ в точките в краищата на отсечката $0 ≤ y ≤ 4$, т.е. в точки $M_4(3;0)$ и $M_6(3;4)$. В точка $M_4(3;0)$ вече сме изчислили стойността на $z$. Нека изчислим стойността на функцията $z$ в точки $M_5$ и $M_6$. Нека ви напомня, че на отсечката $M_4M_6$ имаме $z(x,y)=f_2(y)$, следователно:
\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \край (подравнено)
И накрая, разгледайте последната граница на региона $D$, т.е. права линия $y=x+1$. Тази права линия ограничава областта $D$ при условие $-1 ≤ x ≤ 3$. Замествайки $y=x+1$ във функцията $z$, ще имаме:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Отново имаме функция на една променлива $x$. И отново трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност на тази функция в интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Нека намерим производната на функцията $f_(3)(x)$ и я приравним към нула:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
Стойността $x=1$ принадлежи на интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Ако $x=1$, тогава $y=x+1=2$. Нека добавим $M_7(1;2)$ към списъка с точки и да разберем каква е стойността на функцията $z$ в тази точка. Точките в краищата на отсечката $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. точки $M_3(-1;0)$ и $M_6(3;4)$ бяха разгледани по-рано, вече намерихме стойността на функцията в тях.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Втората стъпка от решението е завършена. Получихме седем стойности:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
Да се обърнем към. Избирайки най-големите и най-малките стойности от числата, получени в третия параграф, ще имаме:
$$z_(мин)=-4; \; z_(max)=6.$$
Задачата е решена, остава само да запиша отговора.
Отговор: $z_(мин)=-4; \; z_(макс.)=6$.
Пример №2
Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=x^2+y^2-12x+16y$ в областта $x^2+y^2 ≤ 25$.
Първо, нека изградим чертеж. Уравнението $x^2+y^2=25$ (това е граничната линия на дадена област) определя окръжност с център в началото (т.е. в точката $(0;0)$) и радиус от 5. Неравенството $x^2 +y^2 ≤ $25 удовлетворява всички точки вътре и върху споменатата окръжност.
Ние ще действаме според. Нека намерим частни производни и да открием критичните точки.
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$
Няма точки, в които намерените частни производни да не съществуват. Нека разберем в кои точки и двете частни производни са едновременно равни на нула, т.е. нека намерим стационарни точки.
$$ \left \( \begin(подравнено) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8 \end(aligned) \right $$.
Получихме стационарна точка $(6;-8)$. Намерената точка обаче не принадлежи към областта $D$. Това е лесно да се покаже, без дори да се прибягва до рисуване. Нека проверим дали е в сила неравенството $x^2+y^2 ≤ 25$, което определя нашата област $D$. Ако $x=6$, $y=-8$, тогава $x^2+y^2=36+64=100$, т.е. неравенството $x^2+y^2 ≤ 25$ не е в сила. Извод: точка $(6;-8)$ не принадлежи на област $D$.
Така че няма критични точки вътре в региона $D$. Да преминем към... Трябва да изследваме поведението на функция на границата на даден регион, т.е. върху окръжността $x^2+y^2=25$. Можем, разбира се, да изразим $y$ чрез $x$ и след това да заместим получения израз в нашата функция $z$. От уравнението на окръжност получаваме: $y=\sqrt(25-x^2)$ или $y=-\sqrt(25-x^2)$. Като заместим например $y=\sqrt(25-x^2)$ в дадената функция, ще имаме:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
По-нататъшното решение ще бъде напълно идентично с изследването на поведението на функцията на границата на областта в предишния пример № 1. Струва ми се обаче по-разумно в тази ситуация да се приложи методът на Лагранж. Ще се интересуваме само от първата част на този метод. След прилагане на първата част от метода на Лагранж ще получим точки, в които ще изследваме функцията $z$ за минимални и максимални стойности.
Съставяме функцията на Лагранж:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Намираме частните производни на функцията на Лагранж и съставяме съответната система от уравнения:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (подравнено) & 2x-12\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aligned)\right.$ $
За да решим тази система, нека веднага да посочим, че $\lambda\neq -1$. Защо $\lambda\neq -1$? Нека се опитаме да заместим $\lambda=-1$ в първото уравнение:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; х-х=6; \; 0=6. $$
Полученото противоречие $0=6$ показва, че стойността $\lambda=-1$ е неприемлива. Изход: $\lambda\neq -1$. Нека изразим $x$ и $y$ чрез $\lambda$:
\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\ламбда)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \край (подравнено)
Вярвам, че тук става очевидно защо изрично поставихме условието $\lambda\neq -1$. Това беше направено, за да се побере изразът $1+\lambda$ в знаменателите без намеса. Тоест, за да сте сигурни, че знаменателят $1+\lambda\neq 0$.
Нека заместим получените изрази за $x$ и $y$ в третото уравнение на системата, т.е. в $x^2+y^2=25$:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\ламбда)^2=4. $$
От полученото равенство следва, че $1+\lambda=2$ или $1+\lambda=-2$. Следователно имаме две стойности на параметъра $\lambda$, а именно: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Съответно получаваме две двойки стойности $x$ и $y$:
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \край (подравнено)
И така, получихме две точки от възможен условен екстремум, т.е. $M_1(3;-4)$ и $M_2(-3;4)$. Нека намерим стойностите на функцията $z$ в точки $M_1$ и $M_2$:
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \край (подравнено)
Трябва да изберем най-големите и най-малките стойности от получените в първата и втората стъпка. Но в този случай изборът е малък :) Имаме:
$$ z_(мин)=-75; \; z_(max)=125. $$
Отговор: $z_(мин)=-75; \; z_(макс.)=$125.