Логаритми и представяне на техните свойства. Логаритми и техните свойства

ДЖОН НЕЙПЪР (1550-1617)

шотландски математик

изобретател на логаритмите.

През 1590-те години той излезе с идеята

логаритмични изчисления

и състави първите таблици

логаритми, но е известен

Работата „Описание на невероятни таблици с логаритми“ е публикувана едва през 1614 г.

Той отговаря за дефиницията на логаритми, обяснение на техните свойства, таблици на логаритми, синуси, косинуси, тангенси и приложения на логаритмите в сферичната тригонометрия.

Из историята на логаритмите

Логаритмите се появяват преди 350 години във връзка с нуждите на изчислителната практика.

В онези дни трябваше да се правят много тромави изчисления за решаване на проблеми в астрономията и навигацията.

Известният астроном Йоханес Кеплер е първият, който въвежда знака логаритъм – log през 1624 г. Той използва логаритми, за да намери орбитата на Марс.

Думата "логаритъм" е от гръцки произход, което означава отношение на числата

0, a ≠1 е степента, до която трябва да се повиши числото a, за да се получи b. "ширина="640"

Определение

Логаритъмът на положително число b при основа a, където a0, a ≠1 е степента, до която трябва да се повиши числото a, за да се получи b.

Изчисли:

дневник 2 16; дневник 2 64; дневник 2 2;

log 2 1 ; лог 2 (1/2); лог 2 (1/8);

дневник 3 27; дневник 3 81; log 3 3;

log 3 1; лог 3 (1/9); лог 3 (1/3);

лог 1/2 1/32; лог 1/2 4; log 0,5 0,125;

Дневник 0,5 (1/2); log 0,5 1; лог 1/2 2.

Основно логаритмично тъждество

По дефиниция на логаритъм

Изчисли:

3 log 3 18; 3 5 log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;

8 log 2 5 ; 9 дневник 3 12 .

3 X X X R Не съществува за нито един x " width="640"

На какви стойности х има логаритъм

Изобщо не съществува

който х

1. Логаритъмът от произведението на положителните числа е равен на сумата от логаритмите на факторите.

дневник а (bc) = дневник а b + log а ° С

( b

° С )

а дневник а (бв) =

а дневник а b

=а дневник а b + дневник а ° С

а дневник а ° С

а дневник а b

а дневник а ° С

1. Логаритъмът от произведението на положителните числа е равен на сумата от логаритмите на факторите. log a (bc) = log a b + log a c

Пример:

дневник а

= дневник а b-дневник а ° С

= а дневник а b - дневник а ° С

а дневник а b

а дневник а

а дневник а ° С

b = a дневник а b

c = a дневник а ° С

0; a ≠ 1; b 0; c 0. Пример: 1 " width="640"

2. Логаритъмът от частното на две положителни числа е равен на разликата между логаритмите на делителя и делителя.

дневник а

= дневник а b–дневник а ° С,

a 0; а ≠ 1; b 0; c 0.

Пример:

0; b 0; r R log a b r = r log a b Пример a log a b =b 1,5 (a log a b) r =b r a rlog a b =b r " width="640"

3. Логаритъмът на степен с положителна основа е равен на показателя, умножен по логаритъма на основата

дневник а b r = r дневник а b

Пример

а дневник а b =б

(а дневник а b ) r =б r

а rlog а b =б r

Формула за преместване от една база

логаритъм към друг, примери.

А. Дистервег

РАЗВИТИЕТО И ОБРАЗОВАНИЕТО НЕ МОГАТ ДА БЪДАТ ДАВАНИ ИЛИ СЪОБЩАВАНИ НА НИКОЕ ЛИЦЕ. ВСЕКИ, КОЙТО ИСКА ДА СЕ ПРИСЪЕДИНИ КЪМ ТЯХ, ТРЯБВА ДА ПОСТИГНЕ ТОВА СЪС СОБСТВЕНА ДЕЙНОСТ, СОБСТВЕНИ СИЛИ, СОБСТВЕНО НАПРЕЖЕНИЕ .

Определете темата на урока чрез решаване на уравнения

2 x = ; 3 x = ; 5 x = 1/125; 2 x = 1/4; 2 x = 4; 3 x = 81; 7 x = 1/7; 3 x = 1/81

Логаритъм и неговите свойства

Джон Напиер, изобретател на логаритмите

През 1590 г. той излезе с идеята за логаритмични изчисления и състави първите таблици с логаритми, публикувайки работата „Описание на удивителните таблици с логаритми“. Тази работа съдържа определение на логаритмите и обяснение на техните свойства. Изобретил логаритмичната линейка, изчислителен инструмент, който използва таблици на Napier за опростяване на изчисленията.

Логаритмична линийка

В наши дни, с появата на компактни калкулатори и компютри, необходимостта от използване на таблици

Логаритмите и логаритмите вече не са необходими.

Логаритъмът на числото a 0 при основа a 0 и a 1 е степента, до която трябва да се повдигне числото a, за да се получи числото b.
- логаритъм с произволна основа.
Например:а) log 3 81 = 4, тъй като 3 4 = 81; б) log 5 125 = 3, тъй като 5 3 = 125; c) log 0,5 16 = -4, тъй като (0,5) -4 = 16;

Приложение на логаритъм: Банкови изчисления, география, изчисления в производството, биология, химия, физика, астрономия, психология, социология, музика.

Логаритмична спирала в природата

Черупка на Наутилус

Подреждане на семки върху слънчоглед

Свойства на логаритмите

log a 1 = 0.
log a a = 1.
log a xy = log a x + log a y.
log a x ∕ y = log a x - log a y.
log a x p = p log a x
log a р x = 1 ∕ р log a x

Ако основата на логаритъма е 10, тогава логаритъма се нарича десетичен:

Ако основата на логаритъма е e 2,7, тогава логаритъма се нарича естествен:

1. Намерете логаритъм с основа 4 от 64.

Решение: log 4 64 = 3, тъй като 4 3 = 64.

Отговор: 3

2. Намерете числото х, ако log 5 х = 2

Решение:дневник 5 х = 2, х= 5 2 (по дефиниция на логаритъм), х = 25.

Отговор : 25.

3. Изчислете: log 3 1/ 81 = х ,

Решение: log 3 1/ 81 = х , 3 х = 1/ 81, х = – 4.

Отговор: – 4.

1. Изчислете: log 6 12 + log 6 3

Решение:

log 6 12 + log 6 3 = log 6 (12*3) = log 6 36 = log 6 6 2 = 2

Отговор : 2.

2. Изчислете: log 5 250 – log 5 2.

Решение:

log 5 250 – log 5 2 = log 5 (250/2) = log 5 125 = 3

Отговор : 3.

3. Изчислете:

Решение :

Отговор: 8.

Тема на урока:

Логаритми и техните свойства.

Есмаганбетов К.С. Учител по математика.

Целта на урока:

1.Развиване на умение за систематизиране и обобщаване на свойствата на логаритмите; прилагайте ги при опростяване на изрази.

2. Развитие на съзнателно възприемане на учебен материал, визуална памет, математическа реч на учениците, за формиране на умения за самообучение, самоорганизация и самочувствие, за насърчаване на развитието на творческата дейност на учениците.

3. Насърчаване на познавателната активност, внушаване на любов и уважение към предмета на учениците, учене да виждат в него не само строгост и сложност, но и логика, простота и красота.

I. Мозъчна атака:

1) Какво е антипроизводно?

2) Какви видове интеграли познавате?

3) Как се различава определен интеграл от неопределен интеграл?

4) Какви уравнения се наричат ирационални?

5) Колко правила има за намиране на антипроизводни?

Въпроси:

Групова работа

Определете темата на урока с помощта на анаграма:
ИМФИРАОЛ И ХИ АВЦЬОВС
Критерии за оценка на отгатването на анаграма (1 точка за верен отговор, 0 точки за грешен отговор)

Логаритми и техните свойства

Логаритъм на положително число b при основа a, където a>0, a≠1, е степента, до която трябва да се повиши числото a, за да се получи b.
Основна логаритмична идентичност:

alogab= b,

Ако основата на логаритъм е 10, тогава такъв логаритъм се нарича десетичен.
Ако основата на логаритъм е равна на числото e, тогава такъв логаритъм се нарича естествен

Свойства на логаритмите

Логаритъмът на самата основа е 1:
Логаритъмът от единица към всяка основа е равен на нула:
Логаритъмът от произведението на две или повече положителни числа е равен на сумата от логаритмите на факторите:
Логаритъмът на частното на положителните числа е равен на разликата между логаритмите на делителя и делителя:
Логаритъмът на степен е равен на произведението на експонентата и логаритъма на нейната основа:
Формула за преместване от основа b към основа a:

Критерии за оценка на технологичната карта:

Дават математическа информация ясно и логично – 1 точка;
Ученикът показва познаване на математически символи – 1 точка;

Пресметнете устно:

Критерии за оценка на устното смятане

за правилно устно пресмятане - 1 точка
за неправилно устно смятане - 0 точки

Физминутка

Две половини

loga(x/y) loga x -loga y

Групова работа:

Задаване на група 1

Групова работа: Задача за група 2 В схемата на урока свържете формулите със стрелки

логакс +логай

Групова работа: Задание за група 3 Попълнете формулите в схемата на урока Партньорска оценка Критерии за партньорска оценка

за правилно намиране на формули - 1 точка за групата;
За неправилно намиране на формули – 0 точки.

Самостоятелна писмена работа върху диференцирани задачи


	дневник 26 - дневник 2 (6/32)
	log 3 5 - log 3 135
	2 дневник 27 - дневник 2 49
	log 93+ log 9243

Решение на самостоятелна работа на диференцирани задачи

		log(8∙125) = log 1000 = 3
	дневник 26 - дневник 2 (6/32)	log 2 (6: (6/32)) = log 232 = 5
	log 3 5 - log 3 135	log 3 (5: 135) = log 3 (1:27) = -3
	2 дневник 27 - дневник 2 49	log 272 - log 249 = log 2(49:49) = log 2 1 = 0
	log 93+ log 9243	log 9(3∙243) = log 9729=3

Критерии за оценяване на самостоятелна писмена работа

за правилно решени цялостни примери - 5 точки;
За правилно изписване на математически символи – 1 точка;

Разработване на критерии за оценка на изпълнението:

Критерии за оценяване: при 20 и повече точки – оценка „5“
за 16-19 точки и повече - оценка "4"
за 9 -15 точки и повече - оценка "3"

Създаване на клъстери и тяхната защита Критерии за оценка на клъстери:

За правилно създаване на клъстер – 1 точка;
За елегантност на оформлението на клъстера - 0,5 точки;
За добра защита на клъстера - 1 точка

Отражение

1. Какво знам за____
2. Какво искам да знам_____
3. Какво научих ____
4. Оценете работата си в клас_____

Домашна работа

1. Съставете синхронизирана „Логаритми“

2. Задание по учебник: No241, No242

Слайд 2

Цели на урока:

Образователни: Преглед на определението за логаритъм; запознават се със свойствата на логаритмите; научете се да прилагате свойствата на логаритмите при решаване на упражнения.

Слайд 3

Дефиниция на логаритъм

Логаритъмът на положително число b при основа a, където a > 0 и a ≠ 1, е степента, до която трябва да се повдигне числото a, за да се получи числото b. Основна логаритмична идентичност alogab=b (където a>0, a≠1, b>0)

Слайд 4

История на логаритмите

Думата логаритъм идва от две гръцки думи и се превежда като отношение на числа. През шестнадесети век. Рязко се увеличи обемът на работата, свързана с извършването на приблизителни изчисления при решаването на различни задачи и най-вече проблемите на астрономията, които имат пряко практическо приложение (при определяне на местоположението на корабите по звездите и Слънцето). Най-големи проблеми възникнаха при извършване на операциите умножение и деление. Опитите за частично опростяване на тези операции чрез свеждането им до добавяне не донесоха особен успех.

Слайд 5

Логаритмите навлязоха в практиката необичайно бързо. Изобретателите на логаритмите не се ограничават до разработването на нова теория. Създаден е практичен инструмент - таблици с логаритми - което рязко увеличи производителността на калкулаторите. Нека добавим, че още през 1623 г., т.е. само 9 години след публикуването на първите таблици, английският математик Д. Гънтър изобретява първата логарифмична линейка, която се превръща в работещ инструмент за много поколения. Първите таблици с логаритми са съставени независимо една от друга от шотландския математик Дж. Напиер (1550 - 1617) и швейцареца И. Бурги (1552 - 1632). Таблиците на Napier включват стойностите на логаритмите на синусите, косинусите и тангентите за ъгли от 0 до 900 на стъпки от 1 минута. Бурги подготви своите таблици с логаритми на числа, но те бяха публикувани през 1620 г., след публикуването на таблиците на Напиер, и затова останаха незабелязани. Напиер Джон (1550-1617)

Слайд 6

Изобретяването на логаритмите, като намали работата на астронома, удължи живота му. P. S. Лаплас Следователно откриването на логаритмите, което свежда умножението и деленето на числа до събиране и изваждане на техните логаритми, удължи, според Лаплас, живота на калкулаторите.

Слайд 7

Свойства на степен

ax ay = ax +y = ax –y (x)y = ax y

Слайд 8

Изчисли:

Слайд 9

Проверете:

Слайд 10

СВОЙСТВА НА ЛОГАРИТМИТЕ

Слайд 11

Приложение на изучения материал

a) log 153 + log 155 = log 15(3 5) = log 1515 =1, b) log 1545 – log 153 = log 15 = log 1515 = 1 c) log 243 = log 226 = 6 log 22 = 6, d ) log 7494 = log 7(72)4 = log 7 78 = 8 log 77 = 8. Страница. 93; № 290,291 - 294, 296* (нечетни примери)

Слайд 12

Намерете втората половина на формулата

Слайд 13

Проверете:

Слайд 14

Домашна работа: 1. Научете свойствата на логаритмите 2. Учебник: § 16 стр. 92-93; 3. Проблемна книга: № 290,291,296 (четни примери)

Слайд 15

Продължете фразата: „Днес в урока научих...“ „Днес в урока научих...“ „Днес в урока научих...“ „Днес в урока повторих...“ „Днес в урока затвърдих ...” Урокът свърши!

Слайд 16

Използвани учебници и учебни помагала: Mordkovich A.G. Алгебра и началото на анализа. 11. клас: Учебник за профилно ниво / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов и др. - М.: Мнемосина, 2007. Мордкович А.Г. Алгебра и началото на анализа. 11. клас: задачник на ниво профил / A.G. Мордкович, П.В. Semenov et al.: Mnemosyne, 2007. Използвана методическа литература: Mordkovich A.G. Алгебра. 10-11: методическо ръководство за учители. – М.: Мнемозина, 2000 (Калининград: Кехлибарена приказка, ГИПП). Математика. Седмично приложение към вестник “Първи септември”.

Дефиниция на производна. Средна линия. Изследване на функция за монотонност. Работа: Затвърдяване на изучения материал. Изчислете приблизително с помощта на диференциала. Минимални стойности на функциите. Производна и нейното приложение в алгебрата и геометрията. Въпросната функция. Задача. Неравенство. Признаци на нарастваща и намаляваща функция. Точка. Определение. Намиране на диференциала. Доказателство за неравенства.

„„Интеграл“ 11 клас“ - Колко победен лежеше в обичайния номер на страницата. Интеграл в литературата. Определен интеграл, започнах да те сънувам нощем. Измислете фраза. Какво щастие изпитах при избора на прототипа. Замятин Евгений Иванович (1884-1937). Намерете антипроизводни за функции. Епиграф. Роман „Ние” (1920). Поредица от замествания и замествания доведоха до решението на проблема. Илюстрация към романа „Ние”. Интегрална. Интегрална група. Урок по алгебра и започнат анализ.

„Приложение на логаритмите“ - От времето на древногръцкия астроном Хипарх (2 век пр. н. е.) се използва понятието „звездна величина“. Както виждаме, логаритмите нахлуват в областта на психологията. От таблицата намираме величината на Капела (m1 = +0.2t) и Денеб (m2 = +1.3t). Единица за обем. Звезди, шум и логаритми. Вредното въздействие на производствения шум върху здравето и производството на работниците. Тема: “ЛОГАРИТМИ В АСТРОНОМИЯТА.” Напиер (1550 - 1617) и швейцарецът И. Бурги (1552 - 1632).

“Алгебра на функциите” - Изчислете. Да направим маса. Изучаване на функции и построяване на техните графики. Понятието интеграл. Функцията F се нарича първоизводна на функцията f. Площ на извит трапец. Функцията е антипроизводна на функция. Нека изчислим площта S на криволинейния трапец. „Интеграл от a до b ef от x de x.“ Интервален метод. Нека намерим пресечните точки на графиката с Ox (y = 0). Правила за диференциране. Нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията на сегмента.

„Примери за логаритмични неравенства“ - Подгответе се за Единния държавен изпит! Кои функции се увеличават и кои намаляват? Обобщение на урока. Намерете правилното решение. Повишаване на. Алгебра 11 клас. Задача: решете логаритмични неравенства, предложени в задачите за Единния държавен изпит 2010. Успех на Единния държавен изпит! Клъстер за попълване по време на урока: Цели на урока: Намерете областта на дефиниране на функцията. Между числата m и n поставете знак > или<.(m, n >0). Графики на логаритмични функции.

„Геометричното значение на производната на функция“ - Значението на производната на функция. Алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната. Геометрично значение на производната. Уравнение на права с ъглов коефициент. Допирателни уравнения. Направете чифт. Секанс. Лексика на урока. Успях. Правилна математическа идея. Резултати от изчисленията. Пределно положение на секанса. Определение. Намерете наклона. Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията.