Функционална графика и свойства при = │о│ (модул)

Помислете за функцията при = │о│, където А- определено число.

Област на дефиниранефункции при = │о│, е множеството от всички реални числа. Фигурата показва съответно функционални графики при = │х│, при = │ 2x │, при = │х/2│.

Можете да забележите, че графиката на функцията при = | о| получена от графиката на функцията при = о, ако отрицателната част от графиката на функцията при = о(намира се под оста O х), отразяват симетричнотази ос.

Лесно се вижда от графиката Имотифункции при = │ о │.

При х= 0, получаваме при= 0, т.е. графиката на функцията принадлежи към началото; при х= 0, получаваме при> 0, т.е. всички други точки на графиката лежат над оста O х.

За противоположни стойности х, стойности прище бъде същото; О ос притова е оста на симетрия на графиката.

Например, можете да начертаете функцията при = │х 3 │. За сравняване на функции при = │х 3 │i при = х 3, нека направим таблица на техните стойности със същите стойности на аргументите.

От таблицата виждаме, че за да начертаете графика на функция при = │х 3 │, можете да започнете с начертаване на функцията при = х 3. След това стои симетрично на оста O хпокажете тази част от него, която е под тази ос. В резултат на това получаваме графиката, показана на фигурата.

Функционална графика и свойства при = х 1/2 (корен)

Помислете за функцията при = х 1/2 .

Област на дефиниранетази функция е набор от неотрицателни реални числа, тъй като изразът х 1/2 има значение само когато х > 0.

Нека изградим графика. За да съставим таблица с нейните стойности, използваме микрокалкулатор, закръгляйки стойностите на функцията до десети.

След като начертаем точки в координатната равнина и плавно ги свържем, получаваме графика на функция при = х 1/2 .

Построената графика ни позволява да формулираме някои Имотифункции при = х 1/2 .

При х= 0, получаваме при= 0; при х> 0, получаваме при> 0; графиката минава през началото; останалите точки на графиката се намират в първата координатна четвърт.

Теорема. Графика на функция при = х 1/2 е симетрична на графиката на функцията при = х 2 където х> 0, относително прав при = х.

Доказателство. Функционална графика при = х 2 където х> 0, е клонът на параболата, разположен в първия координатен квадрант. Нека точката Р (А; b) е произволна точка от тази графика. Тогава равенството е вярно b = А 2. Тъй като по условие броят Анеотрицателно, тогава равенството също е вярно А= b 1/2. Това означава, че координатите на точката Q (b; А) трансформирайте формулата при = х 1/2 до истинско равенство, или по друг начин, точка Q (b; А при= х 1/2 .

Доказано е също, че ако точката М (с; д) принадлежи на графиката на функцията при = х 1/2 след това точка н (д; с) принадлежи на графиката при = х 2 където х > 0.

Оказва се, че всяка точка Р(А; b) функционална графика при = х 2 където х> 0, съответства на една точка Q (b; А) функционална графика при = х 1/2 и обратно.

Остава да докажем, че точките Р (А; b) И Q (b; А) са симетрични спрямо права линия при = х. Спускане на перпендикуляри към координатните оси на точки РИ Q, получаваме точки на тези оси д(А; 0), д (0; b), Е (b; 0), СЪС (0; А). Точка Рпресечни точки на перпендикуляри REИ QCима координати ( А; А) и следователно принадлежи на линията при = х. Триъгълник PRQе равнобедрен, тъй като неговите страни Р.П.И RQравен │ b – А│ всеки. Направо при = хразполовява като ъгъл DOF, и ъгълът PRQи пресича сегмента PQв определен момент С. Следователно сегментът Р.С.е ъглополовящата на триъгълника PRQ. Тъй като ъглополовящата на равнобедрен триъгълник е неговата надморска височина и медиана, тогава PQ ┴ Р.С.И PS = QS. А това означава, че точките Р (А; b) И Q (b; А) симетричен спрямо права линия при = х.

Тъй като графиката на функцията при = х 1/2 е симетрична на графиката на функцията при = х 2 където х> 0, относително прав при= х, след това графиката на функцията при = х 1/2 е разклонението на параболата.

Общинско учебно заведение

средно училище No1

Изкуство. Брюховецка

общинско образувание област Брюховецки

Учител по математика

Гученко Анджела Викторовна

2014 година

Функция y =
, неговите свойства и графика

Тип урок: изучаване на нов материал

Цели на урока:

Проблеми, решени в урока:

учат учениците да работят самостоятелно;

правят предположения и предположения;

да може да обобщава изследваните фактори.

Оборудване: дъска, тебешир, мултимедиен проектор, раздавателни материали

Време на урока.

Определяне на темата на урока заедно с учениците -1 минута.

Определяне на целите и задачите на урока заедно с учениците -1 минута.

Актуализиране на знанията (фронтално проучване) –3 мин.

Устна работа -3 мин.

Обяснение на нов материал въз основа на създаване на проблемни ситуации -7 мин.

Физминутка –2 минути.

Построяване на графика заедно с класа, съставяне на конструкцията в тетрадки и определяне свойствата на функция, работа с учебник -10 мин.

Затвърдяване на придобитите знания и упражняване на умения за преобразуване на графики –9 мин .

Обобщаване на урока, предоставяне на обратна връзка -3 мин.

Домашна работа -1 минута.

Общо 40 минути.

По време на часовете.

Определяне на темата на урока заедно с учениците (1 мин.).

Темата на урока се определя от учениците с помощта на насочващи въпроси:

функция- работа, извършвана от орган, организма като цяло.

функция- възможност, опция, умение на програма или устройство.

функция- задължение, кръг от дейности.

функцияперсонаж в литературно произведение.

функция- вид подпрограма в информатиката

функцияв математиката - законът за зависимостта на една величина от друга.

Определяне на целите и задачите на урока заедно с учениците (1 мин.).

Учителят с помощта на учениците формулира и произнася целите и задачите на този урок.

Актуализиране на знанията (фронтално изследване – 3 мин.).

Устна работа – 3 мин.

Фронтална работа.

(A и B принадлежат, C не)

Обяснение на нов материал (въз основа на създаване на проблемни ситуации – 7 минути).

Проблемна ситуация: описват свойствата на неизвестна функция.

Разделете класа на екипи от 4-5 души, раздайте формуляри за отговор на зададените въпроси.

Формуляр №1

y=0, с x=?

Обхватът на функцията.

Набор от функционални стойности.

Един от представителите на отбора отговаря на всеки въпрос, останалите отбори гласуват „за” или „против” със сигнални карти и при необходимост допълват отговорите на своите съученици.

Заедно с класа направете заключение за областта на дефиницията, множеството от стойности и нулите на функцията y=.

Проблемна ситуация : опитайте се да построите графика на неизвестна функция (има дискусия в екипи, търсене на решение).

Учителят припомня алгоритъма за построяване на функционални графики. Учениците в екипи се опитват да изобразят графиката на функцията y= върху формуляри, след което разменят формуляри помежду си за самостоятелна и взаимна проверка.

Физминутка (Клоунада)

Построяване на графика заедно с класа с дизайн в тетрадки – 10 мин.

След общ преговор задачата за построяване на графика на функцията y= се изпълнява самостоятелно от всеки ученик в тетрадка. По това време учителят оказва диференцирана помощ на учениците. След като учениците изпълнят задачата, графиката на функцията се показва на дъската и учениците трябва да отговорят на следните въпроси:

Заключение: Заедно с учениците направете заключение за свойствата на функцията и ги прочетете от учебника:

Затвърдяване на придобитите знания и упражняване на умения за трансформиране на графики – 9 мин.

Учениците работят по своята карта (според опциите), след което се сменят и проверяват взаимно. След това на дъската се показват графики и учениците оценяват работата си, като я сравняват с дъската.

Карта №1

Карта №2

Заключение: относно трансформациите на графиките

1) паралелен трансфер по оста на операционния усилвател

2) изместване по оста OX.

9. Обобщаване на урока, обратна връзка – 3 мин.

СЛАЙДОВЕ – вмъкнете липсващи думи

Областта на дефиниция на тази функция, всички числа с изключение на ...(отрицателен).

Графиката на функцията се намира в... (аз)четвъртинки.

Когато аргументът x = 0, стойността... (функции) y = ... (0).

Най-голямата стойност на функцията... (не съществува),най-малка стойност - …(равно на 0)

10. Домашна работа (с коментари – 1 мин.).

Според учебника- §13

Според проблемника– № 13.3, № 74 (повторение на непълни квадратни уравнения)

Основни цели:

1) формирайте представа за осъществимостта на обобщено изследване на зависимостите на реалните количества, като използвате примера на количества, свързани с връзката y=

2) да се развие способността за конструиране на графика y= и нейните свойства;

3) повторете и консолидирайте техниките на устни и писмени изчисления, квадратура, извличане на квадратни корени.

Оборудване, демонстрационни материали: раздаване.

1. Алгоритъм:

2. Пример за изпълнение на задачата в групи:

3. Образец за самопроверка на самостоятелна работа:

4. Карта за етапа на размисъл:

1) Разбрах как да начертая графика на функцията y=.

2) Мога да изброя неговите свойства с помощта на графика.

3) Не съм правил грешки в самостоятелната работа.

4) Допуснах грешки в самостоятелната си работа (избройте тези грешки и посочете причината за тях).

По време на часовете

1. Самоопределение за образователна дейност

Предназначение на етапа:

1) включва ученици в образователни дейности;

2) определяне на съдържанието на урока: продължаваме да работим с реални числа.

Организация на учебния процес на етап 1:

– Какво научихме в миналия урок? (Изучихме множеството от реални числа, действия с тях, изградихме алгоритъм за описание на свойствата на функция, повторихме функциите, изучавани в 7 клас).

– Днес ще продължим да работим с набор от реални числа, функция.

2. Актуализиране на знанията и записване на затруднения в дейностите

Предназначение на етапа:

1) актуализирайте учебното съдържание, което е необходимо и достатъчно за възприемането на нов материал: функция, независима променлива, зависима променлива, графики

y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,

2) актуализиране на умствени операции, необходими и достатъчни за възприемане на нов материал: сравнение, анализ, обобщение;

3) запишете всички повтарящи се концепции и алгоритми под формата на диаграми и символи;

4) запишете индивидуална трудност в дейността, демонстрираща на лично значимо ниво недостатъчността на съществуващите знания.

Организация на учебния процес на етап 2:

1. Нека си припомним как можете да зададете зависимости между количествата? (Използване на текст, формула, таблица, графика)

2. Какво се нарича функция? (Връзка между две величини, където всяка стойност на една променлива съответства на една стойност на друга променлива y = f(x)).

Какво е името на x? (Независима променлива - аргумент)

Какво е името на y? (Зависима променлива).

3. В 7 клас изучавахме функции? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,).

Индивидуална задача:

Каква е графиката на функциите y = kx + m, y = x 2, y =?

3. Идентифициране на причините за трудностите и поставяне на цели на дейностите

Предназначение на етапа:

1) организира комуникативно взаимодействие, по време на което се идентифицира и записва отличителното свойство на задачата, което е причинило затруднения в учебните дейности;

2) съгласувайте целта и темата на урока.

Организация на учебния процес на етап 3:

- Какво е особеното на тази задача? (Зависимостта се дава от формулата y =, която все още не сме срещали.)

– Каква е целта на урока? (Запознайте се с функцията y =, нейните свойства и графика. Използвайте функцията в таблицата, за да определите вида на зависимостта, построете формула и графика.)

– Можете ли да формулирате темата на урока? (Функция y=, нейните свойства и графика).

– Запишете темата в тетрадката си.

4. Изграждане на проект за излизане от затруднение

Предназначение на етапа:

1) организира комуникативно взаимодействие за изграждане на нов метод на действие, който елиминира причината за идентифицираната трудност;

2) фиксирайте нов метод на действие в символична, словесна форма и с помощта на стандарт.

Организация на учебния процес на етап 4:

Работата на този етап може да бъде организирана в групи, като ги помолите да построят графика y =, след което да анализират резултатите. Групите също могат да бъдат помолени да опишат свойствата на дадена функция с помощта на алгоритъм.

5. Първично затвърдяване във външна реч

Целта на етапа: запис на изучаваното учебно съдържание във външна реч.

Организация на учебния процес на етап 5:

Постройте графика на y= - и опишете нейните свойства.

Свойства y= - .

1. Област на дефиниране на функция.

2. Диапазон от стойности на функцията.

3. y = 0, y> 0, y<0.

y =0, ако x = 0.

г<0, если х(0;+)

4.Нарастващи, намаляващи функции.

Функцията намалява като x.

Нека изградим графика на y=.

Нека изберем неговата част от отсечката. Имайте предвид, че имаме = 1 за x = 1 и y макс. =3 при x = 9.

Отговор: на наше име. = 1, y макс. =3

6. Самостоятелна работа със самопроверка по стандарт

Целта на етапа: да проверите способността си да прилагате ново учебно съдържание в стандартни условия въз основа на сравняване на вашето решение със стандарт за самопроверка.

Организация на учебния процес на етап 6:

Учениците изпълняват задачата самостоятелно, провеждат самопроверка спрямо стандарта, анализират и коригират грешки.

Нека изградим графика на y=.

С помощта на графика намерете най-малката и най-голямата стойност на функцията на сегмента.

7. Включване в системата от знания и повторение

Целта на етапа: да се обучат уменията за използване на ново съдържание заедно с предварително изучено: 2) повторете учебното съдържание, което ще се изисква в следващите уроци.

Организация на учебния процес на етап 7:

Решете графично уравнението: = x – 6.

Един ученик е на дъската, останалите са в тетрадките.

8. Отражение на дейността

Предназначение на етапа:

1) запишете ново съдържание, научено в урока;

2) оценявайте собствените си дейности в урока;

3) благодарете на съучениците си, които помогнаха да получите резултата от урока;

4) запишете неразрешените трудности като насоки за бъдещи образователни дейности;

5) обсъдете и запишете домашното си.

Организация на учебния процес на етап 8:

- Момчета, каква беше нашата цел днес? (Разучете функцията y=, нейните свойства и графика).

– Какви знания ни помогнаха да постигнем целта си? (Способност за търсене на модели, способност за четене на графики.)

– Анализирайте дейностите си в клас. (Карти с отражение)

Домашна работа

параграф 13 (преди пример 2) № 13.3, 13.4

Решете уравнението графично.

Корен квадратен като елементарна функция.

Корен квадратене елементарна функция и частен случай на степенна функция за . Аритметичният квадратен корен е плавен при , а при нула е непрекъснат отдясно, но недиференцируем.

Като функция коренът на комплексна променлива е двузначна функция, чиито листа се събират при нула.

Графика на функцията квадратен корен.

1. Попълване на таблицата с данни:

х
при

2. Нанасяме точките, които получихме върху координатната равнина.

3. Свържете тези точки и получете графика на функцията квадратен корен:

Трансформиране на графиката на функция на квадратен корен.

Нека определим какви функционални трансформации трябва да бъдат направени, за да се конструират функционални графики. Нека дефинираме видовете трансформации.

	Тип преобразуване	Преобразуване
		Прехвърляне на функция по ос ойза 4 бр нагоре.
	вътрешни	Прехвърляне на функция по ос ОХза 1 бр надясно.
	вътрешни	Графиката се доближава до оста ой 3 пъти и компреси по оста ОХ.
		Графиката се отдалечава от оста ОХ ой.
	вътрешни	Графиката се отдалечава от оста ой 2 пъти и опъната по оста ОХ.

Често функционалните трансформации се комбинират.

Например, трябва да начертаете функцията . Това е графика с квадратен корен, която трябва да бъде преместена с една единица надолу по оста ойи една единица вдясно по оста ОХи в същото време го разтягате 3 пъти по оста ой.

Случва се, че непосредствено преди изграждането на графика на функция са необходими предварителни трансформации на идентичност или опростяване на функции.

8 клас

Учител: Мелникова Т.В.

Цели на урока:

Оборудване:

Компютър, интерактивна дъска, листовки.

Презентация към урока.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

План на урока.

Встъпително слово на учителя.

Повторение на предварително изучен материал.

Учене на нов материал (групова работа).

Функционално изследване. Свойства на диаграмата.

Обсъждане на графика (предна работа).

Игра на математически карти.

Обобщение на урока.

I. Актуализиране на опорни знания.

Поздрав от учителя.

Учител :

Зависимостта на една променлива от друга се нарича функция. Досега сте изучавали функциите y = kx + b; y =k/x, y=x 2. Днес ще продължим да изучаваме функциите. В днешния урок ще научите как изглежда графика на функция на корен квадратен и как сами да изграждате графики на функции на корен квадратен.

Запишете темата на урока (слайд1).

2. Повторение на изучения материал.

1. Как се наричат ​​функциите, зададени от формулите:

а) y=2x+3; б) у=5/х; в) у = -1/2х+4; г) у=2х; д) y = -6/x f) y = x 2?

2. Каква е тяхната графика? Как се намира? Посочете домейна на дефиниция и домейна на стойност на всяка от тези функции ( на фиг. за всяка функция са показани графики на функции, дадени от тези формули, посочете нейния тип) (слайд2).

3. Каква е графиката на всяка функция, как се изграждат тези графики?

(Слайд 3, построени са схематични графики на функции).

3. Изучаване на нов материал.

Учител:

Така че днес изучаваме функцията
и нейния график.

Знаем, че графиката на функцията y=x2 е парабола. Каква ще бъде графиката на функцията y=x2, ако вземем само x ≥ 0? Част от параболата е нейният десен клон. Нека сега начертаем функцията
.

Нека повторим алгоритъма за конструиране на графики на функции ( слайд 4, с алгоритъм)

Въпрос : Като гледаме аналитичната нотация на функцията, мислите ли, че можем да кажем какви стойности хприемливо? (Да, x≥0). Тъй като изразът
има смисъл за всички x, по-големи или равни на 0.

Учител: В природните явления и човешката дейност често се срещат зависимости между две величини. Как тази връзка може да бъде представена с графика? ( групова работа)

Класът е разделен на групи. Всяка група получава задача: построи графика на функцията
на милиметрова хартия, изпълнявайки всички точки от алгоритъма. След това излиза представител от всяка група и показва работата на групата. (Slad 5 се отваря, извършва се проверка, след което графикът се изгражда в тетрадки)

4. Изучаване на функцията (продължава работата по групи)

Учител:

намерете домейна на функцията;

намерете диапазона на функцията;

определяне на интервалите на намаляване (нарастване) на функцията;

y>0, y<0.

Запишете резултатите вместо вас (слайд 6).

Учител: Нека анализираме графиката. Графиката на функция е разклонение на парабола.

Въпрос : Кажете ми, виждали ли сте тази графика някъде преди?

Погледнете графиката и ми кажете дали тя пресича правата OX? (Не) OU? (Не). Погледнете графиката и ми кажете дали графиката има център на симетрия? Ос на симетрия?

Нека да обобщим:

Сега нека видим как научихме нова тема и повторихме материала, който покрихме. Игра с математически карти (правила на играта: на всяка група от 5 души се предлага набор от карти (25 карти). Всеки играч получава 5 карти с написани върху тях въпроси. Първият ученик дава една от картите на втория. ученик, който трябва да отговори на въпроса от картата. Ако ученикът отговори на въпроса, тогава картата е счупена, ако не, тогава ученикът взема картата за себе си и преминава хода и т.н., за общо 5 хода. Ако ученикът няма останали карти, резултатът е -5, остава 1 карта – резултат 4, 2 карти – резултат 3, 3 карти – резултат 2)

5. Обобщение на урока.(учениците се оценяват на контролни списъци)

Домашна работа.

Проучете параграф 8.

Решете № 172, № 179, № 183.

Подгответе доклади по темата „Приложение на функции в различни области на науката и литературата“.

Отражение.

Покажете настроението си със снимки на бюрото си.

Днешният урок

Харесва ми.

не ми хареса.

Урочен материал I ( разбрах, не разбрах).

Връщане