Вече казахме, че има дроби обикновениИ десетичен знак. На този етап научихме малко за дробите. Научихме, че има правилни и неправилни дроби. Научихме също, че обикновените дроби могат да се съкращават, събират, изваждат, умножават и делят. И също така научихме, че има така наречените смесени числа, които се състоят от цяло число и дробна част.
Все още не сме проучили напълно обикновените дроби. Има много тънкости и подробности, за които трябва да се говори, но днес ще започнем да изучаваме десетичен знакдроби, тъй като обикновените и десетичните дроби често трябва да се комбинират. Тоест при решаване на задачи трябва да работите и с двата вида дроби.
Този урок може да изглежда сложен и объркващ. Съвсем нормално е. Този вид уроци изискват да се изучават, а не да се преглеждат повърхностно.
Съдържание на урокаИзразяване на количествата в дробна форма
Понякога е удобно да се покаже нещо в дробна форма. Например една десета от дециметъра се записва така:
Този израз означава, че един дециметър е разделен на десет равни части и от тези десет части е взета една част. И една част от десет в този случай е равна на един сантиметър:
Помислете за следния пример. Покажете 6 см и още 3 мм в сантиметри в дробна форма.
Така че трябва да покажете 6 см и 3 мм в сантиметри, но в дробна форма. Вече имаме 6 цели сантиметра:
Но остават още 3 милиметра. Как да ги покажа тези 3 милиметра, и то в сантиметри? Дробите идват на помощ. Един сантиметър е десет милиметра. Три милиметра са три части от десет. И три части от десет са написани като cm
Изразът cm означава, че един сантиметър е разделен на десет равни части и от тези десет части са взети три части.
В резултат на това имаме шест цели сантиметра и три десети от сантиметъра:
В този случай 6 показва броя на целите сантиметри, а дробта показва броя на дробните сантиметри. Тази дроб се чете като "шест запетая три сантиметра".
Дроби, чийто знаменател съдържа числата 10, 100, 1000, могат да бъдат записани без знаменател. Първо напишете цялата част, а след това числителя на дробната част. Цялата част се отделя от числителя на дробната част със запетая.
Например, нека го запишем без знаменател. Първо записваме цялата част. Цялата част е 6
Записва се цялата част. Веднага след написването на цялата част поставяме запетая:
А сега записваме числителя на дробната част. В смесено число числителят на дробната част е числото 3. Пишем три след десетичната запетая:
Всяко число, което е представено в тази форма, се нарича десетичен знак.
Следователно можете да покажете 6 cm и още 3 mm в сантиметри, като използвате десетична дроб:
6,3 см
Ще изглежда така:
Всъщност десетичните знаци са същите като обикновените дроби и смесените числа. Особеността на такива дроби е, че знаменателят на тяхната дробна част съдържа числата 10, 100, 1000 или 10 000.
Подобно на смесено число, десетичната дроб има цяло число и дробна част. Например в едно смесено число цялата част е 6, а дробната е .
В десетичната дроб 6.3 цялата част е числото 6, а дробната част е числителят на дробта, тоест числото 3.
Случва се и обикновени дроби, в чийто знаменател числата 10, 100, 1000 са дадени без цяла част. Например дадена е дроб без цяла част. За да напишете такава дроб като десетична, първо напишете 0, след това поставете запетая и напишете числителя на дробта. Дроб без знаменател ще бъде записана по следния начин:
Чете като "нула точка пет".
Преобразуване на смесени числа в десетични
Когато пишем смесени числа без знаменател, ние ги преобразуваме в десетични дроби. Когато преобразувате дроби в десетични знаци, трябва да знаете няколко неща, за които ще говорим сега.
След като цялата част е записана, е необходимо да се преброи броят на нулите в знаменателя на дробната част, тъй като броят на нулите на дробната част и броят на цифрите след десетичната запетая в десетичната дроб трябва да бъдат един и същ. Какво означава? Разгледайте следния пример:
Първо
И можете веднага да запишете числителя на дробната част и десетичната дроб е готова, но определено трябва да преброите броя на нулите в знаменателя на дробната част.
И така, ние броим броя на нулите в дробната част на едно смесено число. Знаменателят на дробната част има една нула. Това означава, че в десетичната дроб ще има една цифра след десетичната запетая и тази цифра ще бъде числителят на дробната част на смесеното число, тоест числото 2
Така, когато се преобразува в десетична дроб, смесеното число става 3,2.
Тази десетична дроб се чете така:
"Три точка две"
„Десети“, защото числото 10 е в дробната част на смесено число.
Пример 2.Преобразувайте смесено число в десетично.
Запишете цялата част и поставете запетая:
И можете веднага да запишете числителя на дробната част и да получите десетичната дроб 5,3, но правилото гласи, че след десетичната запетая трябва да има толкова цифри, колкото нули има в знаменателя на дробната част на смесеното число. И виждаме, че знаменателят на дробната част има две нули. Това означава, че нашата десетична дроб трябва да има две цифри след десетичната запетая, а не една.
В такива случаи числителят на дробната част трябва да бъде леко модифициран: добавете нула пред числителя, т.е. преди числото 3
Сега можете да конвертирате това смесено число в десетична дроб. Запишете цялата част и поставете запетая:
И запишете числителя на дробната част:
Десетичната дроб 5.03 се чете, както следва:
"Пет точка три"
„Стотни“, защото знаменателят на дробната част на смесено число съдържа числото 100.
Пример 3.Преобразувайте смесено число в десетично.
От предишни примери научихме, че за да преобразуваме успешно смесено число в десетично, броят на цифрите в числителя на дробта и броят на нулите в знаменателя на дробта трябва да са еднакви.
Преди да конвертирате смесено число в десетична дроб, неговата дробна част трябва да бъде леко модифицирана, а именно, за да се уверите, че броят на цифрите в числителя на дробната част и броят на нулите в знаменателя на дробната част са един и същ.
Първо, разглеждаме броя на нулите в знаменателя на дробната част. Виждаме, че има три нули:
Нашата задача е да организираме три цифри в числителя на дробната част. Вече имаме една цифра - това е числото 2. Остава да добавим още две цифри. Те ще бъдат две нули. Добавете ги преди числото 2. В резултат на това броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя ще бъдат еднакви:
Сега можете да започнете да преобразувате това смесено число в десетична дроб. Първо записваме цялата част и поставяме запетая:
и веднага запишете числителя на дробната част
3,002
Виждаме, че броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробната част на смесеното число са еднакви.
Десетичната дроб 3,002 се чете, както следва:
"Три цел и две хилядни"
„Хилядна“, защото знаменателят на дробната част на смесеното число съдържа числото 1000.
Преобразуване на дроби в десетични знаци
Обикновените дроби със знаменател 10, 100, 1000 или 10 000 също могат да бъдат преобразувани в десетични знаци. Тъй като обикновената дроб няма цяло число, първо запишете 0, след това поставете запетая и запишете числителя на дробната част.
И тук броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя трябва да са еднакви. Затова трябва да внимавате.
Пример 1.
Цялата част липсва, затова първо пишем 0 и поставяме запетая:
Сега разглеждаме броя на нулите в знаменателя. Виждаме, че има една нула. И числителят има една цифра. Това означава, че можете безопасно да продължите десетичната дроб, като напишете числото 5 след десетичната запетая
В получената десетична дроб 0,5 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.
Десетичната дроб 0,5 се чете, както следва:
"Нула точка пет"
Пример 2.Преобразувайте дроб в десетичен знак.
Цяла част липсва. Първо пишем 0 и поставяме запетая:
Сега разглеждаме броя на нулите в знаменателя. Виждаме, че има две нули. А числителят има само една цифра. За да направите броя на цифрите и броя на нулите еднакви, добавете една нула в числителя преди числото 2. Тогава дробта ще приеме формата . Сега броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя са еднакви. Така че можете да продължите десетичната дроб:
В получената десетична дроб 0,02 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.
Десетичната дроб 0,02 се чете, както следва:
"Нула точка две."
Пример 3.Преобразувайте дроб в десетичен знак.
Напишете 0 и поставете запетая:
Сега преброяваме броя на нулите в знаменателя на дробта. Виждаме, че има пет нули, а в числителя има само една цифра. За да направите броя на нулите в знаменателя и броя на цифрите в числителя еднакви, трябва да добавите четири нули в числителя преди числото 5:
Сега броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя са еднакви. Така че можем да продължим с десетичната дроб. Напишете числителя на дробта след десетичната запетая
В получената десетична дроб 0,00005 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.
Десетичната дроб 0,00005 се чете, както следва:
„Нула точка петстотин хилядни.“
Преобразуване на неправилни дроби в десетични
Неправилна дроб е дроб, в която числителят е по-голям от знаменателя. Има неправилни дроби, в които знаменателят съдържа числата 10, 100, 1000 или 10 000. Такива дроби могат да се преобразуват в десетични. Но преди да се преобразуват в десетична дроб, тези дроби трябва да бъдат разделени на цялата част.
Пример 1.
Дробта е неправилна дроб. За да преобразувате такава дроб в десетична, първо трябва да изберете цялата й част. Нека си припомним как да изолираме цялата част от неправилните дроби. Ако сте забравили, съветваме ви да се върнете и да го проучите.
И така, нека подчертаем цялата част в неправилната дроб. Спомнете си, че дроб означава деление - в този случай деление на числото 112 на числото 10
Нека да разгледаме тази снимка и да сглобим нов смесен номер, като детски конструктор. Числото 11 ще бъде цялата част, числото 2 ще бъде числителят на дробната част, а числото 10 ще бъде знаменателят на дробната част.
Имаме смесен брой. Нека го преобразуваме в десетична дроб. И вече знаем как да преобразуваме такива числа в десетични дроби. Първо запишете цялата част и поставете запетая:
Сега преброяваме броя на нулите в знаменателя на дробната част. Виждаме, че има една нула. А числителят на дробната част има една цифра. Това означава, че броят на нулите в знаменателя на дробната част и броят на цифрите в числителя на дробната част са еднакви. Това ни дава възможност веднага да запишем числителя на дробната част след десетичната запетая:
В получената десетична дроб 11.2 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.
Това означава, че неправилна дроб става 11,2, когато се преобразува в десетична.
Десетичната дроб 11.2 се чете, както следва:
— Единадесет и две.
Пример 2.Преобразувайте неправилна дроб в десетична.
Това е неправилна дроб, защото числителят е по-голям от знаменателя. Но може да се преобразува в десетична дроб, тъй като знаменателят съдържа числото 100.
Първо, нека изберем цялата част от тази дроб. За да направите това, разделете 450 на 100 с ъгъл:
Да съберем ново смесено число - получаваме . И вече знаем как да преобразуваме смесени числа в десетични дроби.
Запишете цялата част и поставете запетая:
Сега преброяваме броя на нулите в знаменателя на дробната част и броя на цифрите в числителя на дробната част. Виждаме, че броят на нулите в знаменателя и броят на цифрите в числителя са еднакви. Това ни дава възможност веднага да запишем числителя на дробната част след десетичната запетая:
В получената десетична дроб 4,50 броят на цифрите след десетичната запетая и броят на нулите в знаменателя на дробта са еднакви. Това означава, че дробта е преведена правилно.
Това означава, че неправилна дроб става 4,50, когато се преобразува в десетична.
При решаване на задачи, ако има нули в края на десетичната дроб, те могат да бъдат изхвърлени. Нека също да премахнем нулата в нашия отговор. Тогава получаваме 4,5
Това е едно от интересните неща за десетичните числа. Това се крие във факта, че нулите, които се появяват в края на дробта, не придават никаква тежест на тази дроб. С други думи, десетичните знаци 4,50 и 4,5 са равни. Нека поставим знак за равенство между тях:
4,50 = 4,5
Възниква въпросът: защо се случва това? В крайна сметка 4,50 и 4,5 изглеждат като различни дроби. Цялата тайна се крие в основното свойство на дробите, което изучавахме по-рано. Ще се опитаме да докажем защо десетичните дроби 4,50 и 4,5 са равни, но след като изучим следващата тема, която се нарича „преобразуване на десетична дроб в смесено число“.
Преобразуване на десетична запетая в смесено число
Всяка десетична дроб може да бъде преобразувана обратно в смесено число. За целта е достатъчно да можете да четете десетични дроби. Например, нека преобразуваме 6,3 в смесено число. 6.3 е шест запетая три. Първо записваме шест цели числа:
и до три десети:
Пример 2.Преобразувайте десетично число 3,002 в смесено число
3,002 е три цяло и две хилядни. Първо записваме три цели числа
и до него пишем две хилядни:
Пример 3.Преобразувайте десетично число 4,50 в смесено число
4,50 е четири цяло и петдесет. Запишете четири цели числа
и следващите петдесет стотни:
Между другото, нека си припомним последния пример от предишната тема. Казахме, че десетичните знаци 4,50 и 4,5 са равни. Казахме също, че нулата може да бъде изхвърлена. Нека се опитаме да докажем, че десетичните знаци 4,50 и 4,5 са равни. За да направим това, преобразуваме и двете десетични дроби в смесени числа.
Когато се преобразува в смесено число, десетичната запетая 4,50 става , а десетичната запетая 4,5 става
Имаме две смесени числа и . Нека преобразуваме тези смесени числа в неправилни дроби:
Сега имаме две дроби и . Време е да си припомним основното свойство на дроб, което гласи, че когато умножите (или разделите) числителя и знаменателя на дроб по едно и също число, стойността на дробта не се променя.
Нека разделим първата дроб на 10
Имаме и това е втората дроб. Това означава, че и двете са равни една на друга и равни на една и съща стойност:
Опитайте да използвате калкулатор, за да разделите първо 450 на 100, а след това 45 на 10. Ще бъде смешно.
Преобразуване на десетична дроб в дроб
Всяка десетична дроб може да бъде преобразувана обратно в дроб. За да направите това, отново е достатъчно да можете да четете десетични дроби. Например, нека преобразуваме 0,3 в обикновена дроб. 0,3 е нула цяло три. Първо записваме нула цели числа:
и до три десети 0. Нулата традиционно не се записва, така че крайният отговор няма да бъде 0, а просто .
Пример 2.Преобразувайте десетичната дроб 0,02 в дроб.
0,02 е нула запетая две. Ние не записваме нула, така че веднага записваме две стотни
Пример 3.Преобразувайте 0,00005 в дроб
0,00005 е нула цяло пет. Ние не записваме нула, така че веднага записваме петстотин хилядни
Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци
В тази статия ще разберем какво е десетична дроб, какви характеристики и свойства има. Отивам! 🙂
Десетичната дроб е специален случай на обикновените дроби (където знаменателят е кратен на 10).
Определение
Десетичните знаци са дроби, чиито знаменатели са числа, състоящи се от единица и няколко нули след нея. Тоест, това са дроби със знаменател 10, 100, 1000 и т.н. В противен случай десетичната дроб може да се характеризира като дроб със знаменател 10 или една от степените на десет.
Примери за дроби:
, ,
Десетичните дроби се записват по различен начин от обикновените дроби. Операциите с тези дроби също са различни от операциите с обикновените. Правилата за работа с тях до голяма степен са подобни на правилата за работа с цели числа. Това по-специално обяснява тяхното търсене на решаване на практически проблеми.
Представяне на дроби в десетичен запис
Десетичната дроб няма знаменател; тя показва числото на числителя. Най-общо десетичната дроб се записва по следната схема:
където X е цялата част от дробта, Y е нейната дробна част, “,” е десетичната запетая.
За правилното представяне на дроб като десетична дроб, тя трябва да бъде обикновена дроб, тоест с маркирана цяло число (ако е възможно) и числител, който е по-малък от знаменателя. Тогава в десетичния запис цялата част се записва пред десетичната запетая (X), а числителят на обикновената дроб се записва след десетичната запетая (Y).
Ако числителят съдържа число с по-малко цифри от броя на нулите в знаменателя, тогава в част Y липсващият брой цифри в десетичния запис се запълва с нули пред цифрите на числителя.
Пример: 
Ако една обикновена дроб е по-малка от 1, т.е. няма цяла част, тогава за X в десетична форма напишете 0.
В дробната част (Y) след последната значима (ненулева) цифра може да се въведе произволен брой нули. Това не влияе на стойността на фракцията. Обратно, всички нули в края на дробната част на десетичната запетая могат да бъдат пропуснати.
Четене на десетични числа
Част X обикновено се чете, както следва: „X цели числа“.
Частта Y се чете според числото в знаменателя. За знаменател 10 трябва да прочетете: „Y десети“, за знаменател 100: „Y стотни“, за знаменател 1000: „Y хилядни“ и така нататък... 😉
Друг подход към четенето, базиран на преброяването на броя на цифрите на дробната част, се счита за по-правилен. За да направите това, трябва да разберете, че дробните цифри са разположени в огледален образ по отношение на цифрите на цялата част от фракцията.
Имената за правилно четене са дадени в таблицата:
Въз основа на това четенето трябва да се основава на съответствие с името на цифрата на последната цифра на дробната част.
- 3.5 се чете "три точка пет"
- 0,016 чете "нула цяло шестнадесет хилядни"
Преобразуване на произволна дроб в десетична
Ако знаменателят на обикновена дроб е 10 или някаква степен на десет, тогава дробта се преобразува, както е описано по-горе. В други ситуации са необходими допълнителни трансформации.
Има 2 метода за превод.
Първи метод на прехвърляне
Числителят и знаменателят трябва да бъдат умножени по такова цяло число, че знаменателят да произвежда числото 10 или една от степените на десет. И тогава фракцията се представя в десетична система.
Този метод е приложим за дроби, чийто знаменател може да бъде разширен само до 2 и 5. И така, в предишния пример 
. Ако разширението съдържа други прости множители (например ), тогава ще трябва да прибегнете до втория метод.
Втори метод на превод
Вторият метод е да разделите числителя на знаменателя в колона или на калкулатор. Цялата част, ако има такава, не участва в трансформацията.
Правилото за дълго деление, което води до десетична дроб, е описано по-долу (вижте Деление на десетични дроби).
Преобразуване на десетична дроб в обикновена дроб
За да направите това, трябва да запишете неговата дробна част (вдясно от десетичната запетая) като числител, а резултатът от прочитането на дробната част като съответното число в знаменателя. След това, ако е възможно, трябва да намалите получената фракция.
Крайна и безкрайна десетична дроб
Десетична дроб се нарича крайна дроб, чиято дробна част се състои от краен брой цифри.
Всички примери по-горе съдържат крайни десетични дроби. Въпреки това, не всяка обикновена дроб може да бъде представена като крайна десетична дроб. Ако първият метод на преобразуване не е приложим за дадена дроб и вторият метод показва, че делението не може да бъде завършено, тогава може да се получи само безкрайна десетична дроб.
Невъзможно е да се напише безкрайна дроб в пълната й форма. В непълна форма такива фракции могат да бъдат представени:
- в резултат на намаляване до желания брой десетични знаци;
- като периодична дроб.
Дроб се нарича периодична, ако след десетичната запетая е възможно да се разграничи безкрайно повтаряща се поредица от цифри.
Останалите дроби се наричат непериодични. За непериодични дроби е разрешен само първият метод на представяне (закръгляване).
Пример за периодична дроб: 0,8888888... Тук има повтарящо се число 8, което очевидно ще се повтаря безкрайно, тъй като няма причина да се предполага друго. Тази фигура се нарича период на фракцията.
Периодичните фракции могат да бъдат чисти или смесени. Чиста десетична дроб е тази, чийто период започва веднага след десетичната запетая. Смесената дроб има 1 или повече цифри преди десетичната запетая.
54.33333… – периодична чиста десетична дроб
2.5621212121… – периодична смесена дроб
Примери за писане на безкрайни десетични дроби:
Вторият пример показва как правилно да форматирате точка в запис на периодична дроб.
Преобразуване на периодични десетични дроби в обикновени дроби
За да преобразувате чиста периодична дроб в обикновен период, запишете го в числителя и запишете число, състоящо се от деветки в количество, равно на броя на цифрите в периода, в знаменателя.
Смесената периодична десетична дроб се превежда, както следва:
- трябва да образувате число, състоящо се от числото след десетичната запетая преди точката и първата точка;
- От полученото число извадете числото след десетичната запетая преди точката. Резултатът ще бъде числителят на обикновената дроб;
- в знаменателя трябва да въведете число, състоящо се от число деветки, равно на броя на цифрите на периода, последвано от нули, чийто брой е равен на броя на цифрите на числото след десетичната запетая преди 1-во Период.
Сравнение на десетични знаци
Десетичните дроби се сравняват първоначално с целите им части. Дробта, чиято цяла част е по-голяма, е по-голяма.
Ако целите части са еднакви, тогава сравнете цифрите на съответните цифри на дробната част, като започнете от първата (от десетите). Тук важи същият принцип: по-голямата дроб е тази с повече десети; ако цифрите на десетите са равни, цифрите на стотните се сравняват и т.н.
Тъй като
, тъй като при равни цели части и равни десети в дробната част, 2-рата дроб има по-голяма цифра на стотните.
Събиране и изваждане на десетични знаци
Десетичните знаци се добавят и изваждат по същия начин като целите числа, като съответните цифри се записват една под друга. За да направите това, трябва да имате десетични точки една под друга. Тогава единиците (десетките и т.н.) на цялата част, както и десетите (стотните и т.н.) на дробната част ще бъдат в съответствие. Липсващите цифри на дробната част се попълват с нули. Директно процесът на събиране и изваждане се извършва по същия начин, както при цели числа.
Умножаване на десетични числа
За да умножите десетичните числа, трябва да ги напишете един под друг, подравнени с последната цифра и без да обръщате внимание на местоположението на десетичните точки. След това трябва да умножите числата по същия начин, както когато умножавате цели числа. След получаване на резултата трябва да преизчислите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби и да разделите общия брой дробни цифри в полученото число със запетая. Ако няма достатъчно цифри, те се заменят с нули.
Умножение и деление на десетични знаци с 10n
Тези действия са прости и се свеждат до преместване на десетичната запетая. П При умножаване десетичната запетая се премества надясно (дробта се увеличава) с брой цифри, равен на броя на нулите в 10n, където n е произволна цяло число. Тоест, определен брой цифри се прехвърлят от дробната част към цялата част. При разделяне, съответно, запетаята се премества наляво (числото намалява), а някои от цифрите се прехвърлят от целочислената част към дробната част. Ако няма достатъчно числа за прехвърляне, тогава липсващите битове се запълват с нули.
Деление на десетична запетая и цяло число на цяло число и десетична запетая
Разделянето на десетична запетая на цяло число е подобно на деленето на две цели числа. Освен това трябва да вземете предвид само позицията на десетичната запетая: когато премахвате цифрата на място, последвана от запетая, трябва да поставите запетая след текущата цифра на генерирания отговор. След това трябва да продължите да делите, докато получите нула. Ако в дивидента няма достатъчно знаци за пълно деление, като тях трябва да се използват нули.
По същия начин 2 цели числа се разделят в колона, ако всички цифри на дивидента са премахнати и пълното деление все още не е завършено. В този случай, след премахване на последната цифра от дивидента, в получения отговор се поставя десетична запетая, а нулите се използват като премахнати цифри. Тези. дивидентът тук по същество е представен като десетична дроб с нулева дробна част.
За да разделите десетична дроб (или цяло число) на десетично число, трябва да умножите делителя и делителя по числото 10 n, в което броят на нулите е равен на броя на цифрите след десетичната запетая в делителя. По този начин се отървавате от десетичната запетая в дробта, на която искате да разделите. Освен това процесът на разделяне съвпада с описания по-горе.
Графично представяне на десетични дроби
Десетичните дроби се представят графично с помощта на координатна линия. За да направите това, отделните сегменти се разделят допълнително на 10 равни части, точно както сантиметрите и милиметрите се маркират едновременно на линийка. Това гарантира, че десетичните знаци се показват точно и могат да бъдат сравнени обективно.
За да бъдат еднакви разделенията на отделните сегменти, трябва внимателно да прецените дължината на самия сегмент. Тя трябва да бъде такава, че да може да се осигури удобството за допълнително разделяне.
Ще посветим този материал на такава важна тема като десетичните дроби. Първо, нека дефинираме основните дефиниции, да дадем примери и да се спрем на правилата на десетичната нотация, както и какви са цифрите на десетичните дроби. След това подчертаваме основните типове: крайни и безкрайни, периодични и непериодични дроби. В последната част ще покажем как точките, съответстващи на дробни числа, са разположени върху координатната ос.
Какво е десетично записване на дробни числа
Така нареченият десетичен запис на дробните числа може да се използва както за естествени, така и за дробни числа. Изглежда като набор от две или повече числа със запетая между тях.
Десетичната точка е необходима, за да се отдели цялата част от дробната част. По правило последната цифра на десетичната дроб не е нула, освен ако десетичната запетая не се появява непосредствено след първата нула.
Кои са някои примери за дробни числа в десетична система? Може да е 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9 и т.н.
В някои учебници можете да намерите точка вместо запетая (5. 67, 6789. 1011 и т.н.) Тази опция се счита за еквивалентна, но е по-типична за англоезичните източници.
Дефиниция на десетични дроби
Въз основа на горната концепция за десетична нотация, можем да формулираме следната дефиниция на десетични дроби:
Определение 1
Десетичните знаци представляват дробни числа в десетичен запис.
Защо трябва да пишем дроби в тази форма? Той ни дава някои предимства пред обикновените, например по-компактен запис, особено в случаите, когато знаменателят съдържа 1000, 100, 10 и т.н., или смесено число. Например, вместо 6 10 можем да посочим 0.6, вместо 25 10000 - 0.0023, вместо 512 3 100 - 512.03.
Как правилно да представим обикновени дроби с десетки, стотици, хиляди в знаменателя в десетична форма ще обсъдим в отделен материал.
Как да четем правилно десетичните знаци
Има някои правила за четене на десетични обозначения. По този начин онези десетични дроби, които съответстват на техните редовни обикновени еквиваленти, се четат почти по същия начин, но с добавянето на думите „нула десети“ в началото. По този начин записът 0, 14, който съответства на 14 100, се чете като „нула точка и четиринадесет стотни“.
Ако десетична дроб може да бъде свързана със смесено число, тогава тя се чете по същия начин като това число. Така че, ако имаме дроб 56 002, което съответства на 56 2 1000, ние четем този запис като „петдесет и шест кома две хилядни“.
Значението на цифрата в десетичната дроб зависи от това къде се намира (същото като при естествените числа). И така, в десетичната дроб 0,7 седем са десети, в 0,0007 са десет хилядни, а в дробта 70 000,345 означава седем десетки хиляди цели единици. По този начин в десетичните дроби има и понятието стойност на място.
Имената на цифрите, разположени преди десетичната запетая, са подобни на тези, които съществуват в естествените числа. Имената на разположените след тях са ясно представени в таблицата:
Нека разгледаме един пример.
Пример 1
Имаме десетичната дроб 43 098. Тя има четири на мястото на десетките, тройка на мястото на единиците, нула на мястото на десетите, 9 на мястото на стотните и 8 на мястото на хилядните.
Обичайно е да се разграничават редовете на десетичните дроби по приоритет. Ако се движим през числата отляво надясно, тогава ще преминем от най-значимото към най-малко значимото. Оказва се, че стотните са по-стари от десетките, а частите на милион са по-млади от стотните. Ако вземем последната десетична дроб, която цитирахме като пример по-горе, тогава най-високото или най-високото място в нея ще бъде мястото на стотните, а най-ниското или най-ниското място ще бъде 10-хилядната позиция.
Всяка десетична дроб може да бъде разширена в отделни цифри, тоест представена като сума. Това действие се извършва по същия начин, както при естествените числа.
Пример 2
Нека се опитаме да разгънем дробта 56, 0455 на цифри.
Ще получим:
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
Ако си спомним свойствата на събирането, можем да представим тази дроб в други форми, например като сумата 56 + 0, 0455 или 56, 0055 + 0, 4 и т.н.
Какво представляват десетичните знаци в края?
Всички дроби, за които говорихме по-горе, са крайни десетични числа. Това означава, че броят на цифрите след десетичната запетая е краен. Нека изведем определението:
Определение 1
Задните десетични знаци са вид десетична дроб, която има краен брой десетични знаци след десетичния знак.
Примери за такива дроби могат да бъдат 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49 и т.н.
Всяка от тези дроби може да бъде преобразувана или в смесено число (ако стойността на тяхната дробна част е различна от нула), или в обикновена дроб (ако цялата част е нула). Посветихме отделна статия на това как се прави това. Тук само ще посочим няколко примера: например, можем да намалим крайната десетична дроб 5, 63 до формата 5 63 100, а 0, 2 съответства на 2 10 (или всяка друга дроб, равна на нея, за например 4 20 или 1 5.)
Но обратният процес, т.е. записването на обикновена дроб в десетична форма не винаги е възможно. И така, 5 13 не може да се замени с равна дроб със знаменател 100, 10 и т.н., което означава, че от нея не може да се получи крайна десетична дроб.
Основни видове безкрайни десетични дроби: периодични и непериодични дроби
По-горе посочихме, че крайните дроби се наричат така, защото имат краен брой цифри след десетичната запетая. Въпреки това може да е безкрайно, в който случай самите дроби също ще се наричат безкрайни.
Определение 2
Безкрайните десетични дроби са тези, които имат безкраен брой цифри след десетичната запетая.
Очевидно такива числа просто не могат да бъдат записани изцяло, затова посочваме само част от тях и след това добавяме многоточие. Този знак показва безкрайно продължение на последователността от десетични знаци. Примери за безкрайни десетични дроби включват 0, 143346732…, 3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. и т.н.
„Опашката“ на такава фракция може да съдържа не само привидно произволни поредици от числа, но и постоянно повторение на един и същ знак или група от знаци. Дроби с редуващи се числа след десетичната запетая се наричат периодични.
Определение 3
Периодичните десетични дроби са тези безкрайни десетични дроби, в които една цифра или група от няколко цифри се повтаря след десетичната запетая. Повтарящата се част се нарича период на дробта.
Например за дроб 3, 444444.... периодът ще бъде числото 4, а за 76, 134134134134... - групата 134.
Какъв е минималният брой знаци, които могат да бъдат оставени в записа на периодична дроб? За периодични дроби ще бъде достатъчно да напишете целия период веднъж в скоби. И така, дроб 3, 444444…. Правилно би било да го напишем като 3, (4), а 76, 134134134134... – като 76, (134).
Като цяло, записи с няколко периода в скоби ще имат абсолютно същото значение: например периодичната дроб 0,677777 е същата като 0,6 (7) и 0,6 (77) и т.н. Записи под формата 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) и т.н. също са приемливи.
За да избегнем грешки, въвеждаме еднаквост на нотацията. Нека се съгласим да запишем само една точка (най-кратката възможна последователност от числа), която е най-близо до десетичната запетая и да я поставим в скоби.
Тоест, за горната дроб ще считаме, че основният запис е 0, 6 (7) и, например, в случая на дробта 8, 9134343434, ще напишем 8, 91 (34).
Ако знаменателят на обикновена дроб съдържа прости множители, които не са равни на 5 и 2, тогава, когато се преобразуват в десетична система, те ще доведат до безкрайни дроби.
По принцип можем да запишем всяка крайна дроб като периодична. За да направим това, просто трябва да добавим безкраен брой нули вдясно. Как изглежда на запис? Да кажем, че имаме крайна дроб 45, 32. В периодична форма ще изглежда като 45, 32 (0). Това действие е възможно, защото добавянето на нули отдясно на всяка десетична дроб води до дроб, равна на нея.
Специално внимание трябва да се обърне на периодичните дроби с период 9, например 4, 89 (9), 31, 6 (9). Те са алтернативен запис за подобни дроби с период 0, така че често се заменят, когато се записват с дроби с нулев период. В този случай единица се добавя към стойността на следващата цифра и (0) се посочва в скоби. Равенството на получените числа може лесно да се провери, като се представят като обикновени дроби.
Например дробта 8, 31 (9) може да бъде заменена със съответната дроб 8, 32 (0). Или 4, (9) = 5, (0) = 5.
Безкрайните десетични периодични дроби се класифицират като рационални числа. С други думи, всяка периодична дроб може да бъде представена като обикновена дроб и обратно.
Има и дроби, които нямат безкрайно повтаряща се последователност след десетичната запетая. В този случай те се наричат непериодични дроби.
Определение 4
Непериодичните десетични дроби включват онези безкрайни десетични дроби, които не съдържат точка след десетичната запетая, т.е. повтаряща се група от числа.
Понякога непериодичните дроби изглеждат много подобни на периодичните. Например 9, 03003000300003 ... на пръв поглед изглежда, че има точка, но подробен анализ на десетичните знаци потвърждава, че това все още е непериодична дроб. Трябва да сте много внимателни с такива числа.
Непериодичните дроби се класифицират като ирационални числа. Те не се превръщат в обикновени дроби.
Основни операции с десетични знаци
Следните операции могат да се извършват с десетични дроби: сравнение, изваждане, събиране, деление и умножение. Нека разгледаме всеки от тях поотделно.
Сравняването на десетични числа може да се сведе до сравняване на дроби, които съответстват на оригиналните десетични знаци. Но безкрайните непериодични дроби не могат да бъдат приведени до тази форма и превръщането на десетични дроби в обикновени често е трудоемка задача. Как можем бързо да извършим действие за сравнение, ако трябва да направим това, докато решаваме проблем? Удобно е да сравняваме десетични дроби по цифри по същия начин, както сравняваме естествените числа. Ще посветим отделна статия на този метод.
За да добавите някои десетични дроби с други, е удобно да използвате метода за събиране на колони, както при естествените числа. За да добавите периодични десетични дроби, първо трябва да ги замените с обикновени и да броите според стандартната схема. Ако според условията на задачата трябва да съберем безкрайни непериодични дроби, тогава трябва първо да ги закръглим до определена цифра и след това да ги съберем. Колкото по-малка е цифрата, до която закръгляме, толкова по-висока ще бъде точността на изчислението. За изваждане, умножение и деление на безкрайни дроби също е необходимо предварително закръгляване.
Намирането на разликата между десетичните дроби е обратното на събирането. По същество, използвайки изваждане, можем да намерим число, чиято сума с дробта, която изваждаме, ще ни даде дробта, която минимизираме. Ще говорим за това по-подробно в отделна статия.
Умножаването на десетични дроби се извършва по същия начин, както при естествените числа. Методът за изчисляване на колоната също е подходящ за това. Отново свеждаме това действие с периодични дроби до умножение на обикновени дроби по вече изучените правила. Безкрайните дроби, както си спомняме, трябва да бъдат закръглени преди изчисленията.
Процесът на деление на десетични числа е обратен на умножението. При решаване на задачи използваме и колонни изчисления.
Можете да установите точно съответствие между крайната десетична дроб и точка на координатната ос. Нека да разберем как да маркираме точка на оста, която точно ще съответства на необходимата десетична дроб.
Вече проучихме как да конструираме точки, съответстващи на обикновени дроби, но десетичните дроби могат да бъдат сведени до тази форма. Например обикновената дроб 14 10 е същата като 1, 4, така че съответната точка ще бъде отстранена от началото в положителна посока на точно същото разстояние:
Можете да направите, без да замените десетичната дроб с обикновена, но използвайте метода на разширяване с цифри като основа. Така че, ако трябва да маркираме точка, чиято координата ще бъде равна на 15, 4008, тогава първо ще представим това число като сбора 15 + 0, 4 +, 0008. Като начало нека отделим 15 цели единични сегмента в положителната посока от началото на обратното броене, след това 4 десети от един сегмент и след това 8 десетхилядни от един сегмент. В резултат на това получаваме координатна точка, която съответства на фракцията 15, 4008.
За безкрайна десетична дроб е по-добре да използвате този метод, тъй като той ви позволява да се приближите колкото искате до желаната точка. В някои случаи е възможно да се изгради точно съответствие на безкрайна фракция на координатната ос: например 2 = 1, 41421. . . , и тази част може да бъде свързана с точка от координатния лъч, отдалечена от 0 с дължината на диагонала на квадрата, чиято страна ще бъде равна на единичен сегмент.
Ако намерим не точка на оста, а десетична дроб, съответстваща на нея, тогава това действие се нарича десетично измерване на сегмент. Нека да видим как да направим това правилно.
Да кажем, че трябва да стигнем от нула до дадена точка на координатната ос (или да се приближим възможно най-близо в случай на безкрайна дроб). За да направим това, ние постепенно отлагаме единичните сегменти от началото, докато стигнем до желаната точка. След цели сегменти, ако е необходимо, измерваме десети, стотни и по-малки дроби, така че съвпадението да е възможно най-точно. В резултат на това получихме десетична дроб, която съответства на дадена точка на координатната ос.
По-горе показахме чертеж с точка М. Погледнете го отново: за да стигнете до тази точка, трябва да измерите един единичен сегмент и четири десети от него от нулата, тъй като тази точка съответства на десетичната дроб 1, 4.
Ако не можем да стигнем до точка в процеса на десетично измерване, това означава, че тя съответства на безкрайна десетична дроб.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Например.$\frac(3)(10), 4 \frac(7)(100), \frac(11)(10000)$
Такива дроби обикновено се пишат без знаменател и значението на всяка цифра зависи от мястото, на което стои. При такива дроби цялата част се отделя със запетая, а след десетичната запетая трябва да има толкова цифри, колкото нули има в знаменателя на обикновената дроб. Дробните цифри се наричат десетични.
Например.$\frac(21)(100)=0,21; 3 \frac(21)(100)=$3,21
Първият знак след десетичната запетая съответства на десети, вторият на стотни, третият на хилядни и т.н.
Ако броят на нулите в знаменателя на десетична дроб е по-голям от броя на цифрите в числителя на същата дроб, тогава необходимият брой нули се добавя след десетичната запетая преди цифрите на числителя.
Тъй като има четири нули в знаменателя и две цифри в числителя, в десетичния запис на дробта добавяме $4-2=2$ нули преди числителя.
Основното свойство на десетичната дроб
Имот
Ако добавите няколко нули към десетичната дроб отдясно, стойността на десетичната дроб няма да се промени.
Например.$12,034=12,0340=12,03400=12,034000=\ldots$
Коментирайте
По този начин нулите в края на десетичната запетая не се вземат предвид, така че при извършване на различни действия тези нули могат да бъдат задраскани/изхвърлени.
Сравнение на десетични знаци
За да сравните две десетични дроби (за да разберете коя от двете десетични дроби е по-голяма), трябва да сравните целите им части, след това десети, стотни и т.н. Ако цялата част на една от дробите е по-голяма от цялата част на друга дроб, тогава първата дроб се счита за по-голяма. При равенство на цели части по-голяма е частта с повече десети и т.н.
Пример
Упражнение.Сравнете дроби $2,432$ ; $2,41$ и $1234$
Решение.Дробта $1,234$ е най-малката дроб, защото цялата й част е 1 и $1
Нека сега сравним размера на дробите $2,432$ и $1,234$. Целите им части са равни една на друга и са равни на 2. Нека сравним десетите: $4=4$. Сравнете стотни: $3>1$. Така $2,432>$2,41.
За да запишете рационално число m/n като десетична дроб, трябва да разделите числителя на знаменателя. В този случай частното се записва като крайна или безкрайна десетична дроб.
Запишете това число като десетична дроб.
Решение. Разделете числителя на всяка дроб в колона по знаменателя: а)разделете 6 на 25; б)разделяне на 2 на 3; V)разделете 1 на 2 и след това добавете получената дроб към едно - цялата част от това смесено число.
Несъкратими обикновени дроби, чиито знаменатели не съдържат прости множители, различни от 2 И 5 , се записват като последна десетична дроб.
IN пример 1кога а)знаменател 25=5·5; кога V)знаменателят е 2, така че получаваме крайните десетични знаци 0,24 и 1,5. Кога б)знаменателят е 3, така че резултатът не може да бъде записан като краен десетичен знак.
Възможно ли е без дълго деление да се преобразува в десетична дроб такава обикновена дроб, чийто знаменател не съдържа други делители освен 2 и 5? Нека да го разберем! Каква дроб се нарича десетична и се записва без дробна черта? Отговор: дроб със знаменател 10; 100; 1000 и т.н. И всяко от тези числа е продукт равенброй двойки и петици. Всъщност: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 и т.н.
Следователно, знаменателят на нередуцируема обикновена дроб ще трябва да бъде представен като произведение от „двойки“ и „петици“ и след това да бъде умножен по 2 и (или) 5, така че „двойките“ и „петиците“ да станат равни. Тогава знаменателят на дробта ще бъде равен на 10 или 100 или 1000 и т.н. За да сме сигурни, че стойността на дробта не се променя, умножаваме числителя на дробта по същото число, с което сме умножили знаменателя.
Изразете следните обикновени дроби като десетични числа:
Решение. Всяка от тези дроби е несъкратима. Нека разложим знаменателя на всяка дроб на прости множители.
20=2·2·5. Извод: липсва едно „А“.
8=2·2·2. Заключение: липсват три „А“.
25=5·5. Извод: липсват две „двойки“.
Коментирайте.На практика те често не използват факторизация на знаменателя, а просто задават въпроса: по колко трябва да се умножи знаменателят, така че резултатът да е единица с нули (10 или 100 или 1000 и т.н.). И след това числителят се умножава по същото число.
Така че, в случай а)(пример 2) от числото 20 можете да получите 100, като умножите по 5, следователно трябва да умножите числителя и знаменателя по 5.
Кога б)(пример 2) от числото 8 няма да се получи числото 100, а ще се получи числото 1000, като се умножи по 125. И числителят (3), и знаменателят (8) на дробта се умножават по 125.
Кога V)(пример 2) от 25 получавате 100, ако умножите по 4. Това означава, че числителят 8 трябва да се умножи по 4.
Нарича се безкрайна десетична дроб, в която една или повече цифри неизменно се повтарят в една и съща последователност периодиченкато десетичен знак. Наборът от повтарящи се цифри се нарича период на тази дроб. За краткост периодът на дроб се записва веднъж, ограден в скоби.
Кога б)(пример 1) има само една повтаряща се цифра и е равна на 6. Следователно нашият резултат 0,66... ще бъде записан така: 0,(6) . Те гласят: нула точка, шест в точка.
Ако има една или повече неповтарящи се цифри между десетичната запетая и първата точка, тогава такава периодична дроб се нарича смесена периодична дроб.
Несъкратима обикновена дроб, чийто знаменател е заедно с другимножител съдържа множител 2 или 5 , става смесенпериодична дроб.
Запишете числата като десетични знаци.