Два израза се наричат идентично равни върху набор, ако имат значение в този набор и всичките им съответстващи стойности са равни.
Нарича се равенство, в което лявата и дясната страна са идентично равни изрази идентичност.
Извиква се замяна на един израз с друг, който е идентично равен на него в дадено множество идентична трансформация на израза.
Задача.Намерете обхвата на израз.
Решение.Тъй като изразът е дроб, за да намерите неговия домейн на дефиниция, трябва да намерите тези стойности на променливата х, при което знаменателят става нула, и ги елиминирайте. След като реши уравнението х 2 - 9 = 0, намираме това х= -3 и х= 3. Следователно областта на дефиниция на този израз се състои от всички числа, различни от -3 и 3. Ако го означим с х, тогава можем да напишем:
х= (-¥; -3) È (-3; 3) È (3; +¥).
Задача.Са изрази и х- 2 тъждествено равни: а) на множеството Р; б) върху множеството от цели числа, различни от нула?
Решение.а) На снимачна площадка Ртези изрази не са тъждествено равни, откога х= 0 изразът няма смисъл и изразът х- 2 има стойност -2.
b) В множеството от цели числа, различни от нула, тези изрази са идентично равни, тъй като = 
.
Задача.На какви стойности хследните равенства са идентичности:
а) 
; б) .
Решение.а) Равенството е идентичност, ако ;
б) Равенството е тъждество, ако .
Нека разгледаме две равенства:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Това равенство ще се проведе за всякакви стойности на променливата a. Диапазонът от приемливи стойности за това равенство ще бъде целият набор от реални числа.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Това неравенство ще бъде вярно за всички стойности на променливата a, с изключение на равно на нула. Диапазонът от приемливи стойности за това неравенство ще бъде целият набор от реални числа, с изключение на нула.
За всяко от тези равенства може да се твърди, че ще бъде вярно за всякакви допустими стойности на променливите a. Такива равенства в математиката се наричат идентичности.
Концепцията за идентичност
Идентичността е равенство, което е вярно за всякакви допустими стойности на променливите. Ако заместите някакви валидни стойности в това равенство вместо променливи, трябва да получите правилно числено равенство.
Струва си да се отбележи, че истинските числови равенства също са идентичности. Идентичностите, например, ще бъдат свойства на действия върху числа.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Ако два израза за всякакви допустими променливи са съответно равни, тогава такива изрази се извикват идентично равни. По-долу са дадени някои примери за идентично равни изрази:
1. (a 2) 4 и a 8;
2. a*b*(-a^2*b) и -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10.
Винаги можем да заменим един израз с всеки друг израз, идентично равен на първия. Такава подмяна ще бъде трансформация на идентичността.
Примери за идентичности
Пример 1: идентични ли са следните равенства:
1. а + 5 = 5 + а;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Не всички изрази, представени по-горе, ще бъдат идентичности. От тези равенства само 1, 2 и 3 равенства са тъждества. Каквито и числа да заместим в тях, вместо променливите a и b пак ще получим правилни числени равенства.
Но 4 равенството вече не е идентичност. Тъй като това равенство няма да се запази за всички валидни стойности. Например със стойностите a = 5 и b = 2 ще се получи следният резултат:
Това равенство не е вярно, тъй като числото 3 не е равно на числото -3.
И двете части на които са идентично равни изрази. Самоличностите се делят на буквени и цифрови.
Изрази на идентичност
Извикват се два алгебрични израза идентичен(или идентично равни), ако за всякакви числени стойности на буквите те имат една и съща числена стойност. Това са например изразите:
х(5 + х) и 5 х + х 2
И двата представени израза за произволна стойност хще бъдат равни един на друг, така че те могат да бъдат наречени идентични или идентично равни.
Числовите изрази, които са равни помежду си, също могат да бъдат наречени идентични. Например:
20 - 8 и 10 + 2
Идентичност на букви и цифри
Буквална идентичност- това е равенство, което е валидно за всякакви стойности на буквите, включени в него. С други думи, равенство, в което и двете страни са идентично равни изрази, например:
(а + b)м = сутринта + bm
(а + b) 2 = а 2 + 2аб + b 2
Числова идентичносте равенство, съдържащо само числа, изразени като цифри, в което и двете страни имат еднаква числена стойност. Например:
4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50
Тъждествени преобразувания на изрази
Всички алгебрични операции са трансформация на един алгебричен израз в друг, идентичен на първия.
При изчисляване на стойността на израз, отваряне на скоби, поставяне на общ множител извън скобите и в редица други случаи някои изрази се заменят с други, идентично равни на тях. Замяната на един израз с друг, тъждествено равен на него, се нарича идентична трансформация на изразаили просто трансформиране на израза. Всички трансформации на изрази се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.
Нека разгледаме идентичната трансформация на израз, използвайки примера за изваждане на общия множител извън скоби:
10х - 7х + 3х = (10 - 7 + 3)х = 6х
След като се справихме с понятието тъждества, можем да преминем към изучаване на тъждествено равни изрази. Целта на тази статия е да обясни какво е това и да покаже с примери кои изрази ще бъдат идентично равни на други.
Тъждествено равни изрази: определение
Концепцията за идентично равни изрази обикновено се изучава заедно със самата концепция за идентичност като част от училищен курс по алгебра. Ето основното определение, взето от един учебник:
Определение 1
Идентично равнивзаимно ще има такива изрази, чиито стойности ще бъдат еднакви за всички възможни стойности на променливите, включени в техния състав.
Също така тези числови изрази, на които ще съответстват същите стойности, се считат за идентично равни.
Това е доста широко определение, което ще бъде вярно за всички цели числа, чието значение не се променя, когато стойностите на променливите се променят. По-късно обаче става необходимо да се изясни това определение, тъй като в допълнение към целите числа има и други видове изрази, които няма да имат смисъл с определени променливи. Това поражда концепцията за допустимост и недопустимост на определени променливи стойности, както и необходимостта от определяне на диапазона на допустимите стойности. Нека формулираме прецизно определение.
Определение 2
Тъждествено равни изрази– това са тези изрази, чиито стойности са равни една на друга за всякакви допустими стойности на променливите, включени в техния състав. Числовите изрази ще бъдат идентично равни един на друг, при условие че стойностите са еднакви.
Фразата „за всякакви валидни стойности на променливите“ показва всички онези стойности на променливите, за които и двата израза ще имат смисъл. Ще обясним тази точка по-късно, когато дадем примери за идентично равни изрази.
Можете също да предоставите следното определение:
Определение 3
Идентично равни изрази са изрази, разположени в една и съща идентичност от лявата и дясната страна.
Примери за идентично равни един на друг изрази
Използвайки дефинициите, дадени по-горе, нека да разгледаме няколко примера за такива изрази.
Да започнем с числови изрази.
Пример 1
Така 2 + 4 и 4 + 2 ще бъдат идентично равни един на друг, тъй като техните резултати ще бъдат равни (6 и 6).
Пример 2
По същия начин изразите 3 и 30 са идентично равни: 10, (2 2) 3 и 2 6 (за да изчислите стойността на последния израз, трябва да знаете свойствата на степента).
Пример 3
Но изразите 4 - 2 и 9 - 1 няма да бъдат равни, тъй като техните стойности са различни.
Нека да преминем към примери за буквални изрази. a + b и b + a ще бъдат идентично равни и това не зависи от стойностите на променливите (равенството на изразите в този случай се определя от комутативното свойство на добавяне).
Пример 4
Например, ако a е равно на 4 и b е равно на 5, тогава резултатите пак ще бъдат същите.
Друг пример за идентично равни изрази с букви е 0 · x · y · z и 0 . Каквито и да са стойностите на променливите в този случай, когато се умножат по 0, те ще дадат 0. Неравните изрази са 6 · x и 8 · x, тъй като те няма да бъдат равни за всяко x.
В случай, че областите на допустимите стойности на променливите съвпадат, например, в изразите a + 6 и 6 + a или a · b · 0 и 0, или x 4 и x, и стойностите на самите изрази са равни за всякакви променливи, тогава такива изрази се считат за идентично равни. И така, a + 8 = 8 + a за всяка стойност на a и a · b · 0 = 0 също, тъй като умножаването на произволно число по 0 води до 0. Изразите x 4 и x ще бъдат идентично равни за всеки x от интервала [ 0 , + ∞) .
Но диапазонът от валидни стойности в един израз може да е различен от диапазона на друг.
Пример 5
Например, нека вземем два израза: x − 1 и x - 1 · x x. За първия от тях обхватът на допустимите стойности на x ще бъде целият набор от реални числа, а за втория - наборът от всички реални числа, с изключение на нулата, тъй като тогава ще получим 0 в знаменател, а такова деление не е дефинирано. Тези два израза имат общ диапазон от стойности, образуван от пресичането на два отделни диапазона. Можем да заключим, че и двата израза x - 1 · x x и x − 1 ще имат смисъл за всякакви реални стойности на променливите, с изключение на 0.
Основното свойство на дробта също ни позволява да заключим, че x - 1 · x x и x − 1 ще бъдат равни за всяко x, което не е 0. Това означава, че в общия диапазон от допустими стойности тези изрази ще бъдат идентично равни един на друг, но за всяко реално x не можем да говорим за идентично равенство.
Ако заместим един израз с друг, който е идентично равен на него, тогава този процес се нарича трансформация на идентичност. Тази концепция е много важна и ще говорим за нея подробно в отделна статия.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
След като придобихме представа за идентичностите, логично е да преминем към запознаване. В тази статия ще отговорим на въпроса какво представляват идентично равни изрази и ще използваме примери, за да разберем кои изрази са идентично равни и кои не.
Навигация в страницата.
Кои са тъждествено равни изрази?
Определението за тъждествено равни изрази е дадено паралелно с определението за тъждество. Това се случва в часовете по алгебра в 7 клас. В учебника по алгебра за 7 клас на автора Ю. Н. Макаричев е дадена следната формулировка:
Определение.
– това са изрази, чиито стойности са равни за всякакви стойности на включените в тях променливи. Числовите изрази, които имат еднакви стойности, също се наричат идентично равни.
Тази дефиниция се използва до 8 клас; тя е валидна за целочислени изрази, тъй като те имат смисъл за всякакви стойности на променливите, включени в тях. А в 8 клас се изяснява определението за тъждествено равни изрази. Нека обясним с какво е свързано това.
В 8 клас започва изучаването на други видове изрази, които, за разлика от цели изрази, може да нямат смисъл за някои стойности на променливите. Това ни принуждава да въведем дефиниции на допустими и неприемливи стойности на променливи, както и обхвата на допустимите стойности на стойността на променливата на променливата и, като следствие, да изясним дефиницията на идентично равни изрази.
Определение.
Извикват се два израза, чиито стойности са равни за всички допустими стойности на включените в тях променливи тъждествено равни изрази. Два числови израза с еднакви стойности също се наричат идентично равни.
В тази дефиниция на идентично равни изрази си струва да се изясни значението на фразата „за всички допустими стойности на променливите, включени в тях“. Това предполага всички такива стойности на променливи, за които двата идентично равни израза имат смисъл едновременно. Ще обясним тази идея в следващия параграф, като разгледаме примери.
Дефиницията на идентично равни изрази в учебника на А. Г. Мордкович е дадена малко по-различно:
Определение.
Тъждествено равни изрази– това са изрази от лявата и дясната страна на самоличността.
Значението на това и предишните определения съвпадат.
Примери за тъждествено равни изрази
Дефинициите, въведени в предходния параграф, ни позволяват да дадем примери за тъждествено равни изрази.
Нека започнем с идентично равни числови изрази. Числовите изрази 1+2 и 2+1 са идентично равни, тъй като отговарят на равни стойности 3 и 3. Изразите 5 и 30:6 също са идентично равни, както и изразите (2 2) 3 и 2 6 (стойностите на последните изрази са равни по силата на ). Но числовите изрази 3+2 и 3−2 не са идентично равни, тъй като съответстват съответно на стойностите 5 и 1 и не са равни.
Сега нека дадем примери за идентично равни изрази с променливи. Това са изразите a+b и b+a. Наистина, за всякакви стойности на променливите a и b, писмените изрази приемат същите стойности (както следва от числата). Например, с a=1 и b=2 имаме a+b=1+2=3 и b+a=2+1=3. За всички други стойности на променливите a и b също ще получим равни стойности на тези изрази. Изразите 0·x·y·z и 0 също са идентично равни за всякакви стойности на променливите x, y и z. Но изразите 2 x и 3 x не са идентично равни, тъй като, например, когато x=1 техните стойности не са равни. Наистина, за x=1, изразът 2 x е равен на 2 x 1=2, а изразът 3 x е равен на 3 x 1=3.
Когато обхватите на допустимите стойности на променливите в изразите съвпадат, като например в изразите a+1 и 1+a, или a·b·0 и 0, или и, и стойностите на тези изрази са равни за всички стойности на променливите от тези области, то тук всичко е ясно - тези изрази са идентично равни за всички допустими стойности на променливите, включени в тях. Така че a+1≡1+a за всяко a, изразите a·b·0 и 0 са идентично равни за всякакви стойности на променливите a и b, а изразите и са идентично равни за всички x от ; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.