1 susjedni okomiti uglovi. Koji se uglovi nazivaju susjednim? Koliki je zbir dva susedna ugla?

Početak rada sa uglovima

Neka nam budu data dva proizvoljna zraka. Stavimo ih jedno na drugo. Onda

Definicija 1

Ugao ćemo nazvati dvije zrake koje imaju isto porijeklo.

Definicija 2

Tačka koja je početak zraka u okviru definicije 3 naziva se vrh ovog ugla.

Ugao ćemo označiti sa njegove tri tačke: vrhom, tačkom na jednoj od zraka i tačkom na drugoj zraki, a vrh ugla je napisan u sredini njegove oznake (slika 1).

Odredimo sada kolika je veličina ugla.

Da bismo to učinili, moramo odabrati neku vrstu "referentnog" ugla, koji ćemo uzeti kao jedinicu. Najčešće je ovaj ugao ugao koji je jednak $\frac(1)(180)$ dijelu nesavijenog ugla. Ova veličina se naziva stepen. Nakon odabira takvog ugla, s njim upoređujemo uglove čiju vrijednost treba pronaći.

Postoje 4 vrste uglova:

Definicija 3

Ugao se naziva oštar ako je manji od $90^0$.

Definicija 4

Ugao se naziva tup ako je veći od $90^0$.

Definicija 5

Ugao se naziva razvijenim ako je jednak $180^0$.

Definicija 6

Ugao se naziva pravim ako je jednak $90^0$.

Pored gore opisanih tipova uglova, možemo razlikovati tipove uglova u odnosu jedan na drugi, odnosno vertikalni i susedni uglovi.

Susedni uglovi

Razmotrimo obrnuti ugao $COB$. Iz njegovog vrha crtamo zrak $OA$. Ovaj zrak će podijeliti originalni na dva ugla. Onda

Definicija 7

Dva ugla ćemo nazvati susjednim ako je jedan par njihovih stranica razvijen ugao, a drugi par se poklapa (slika 2).

U ovom slučaju, uglovi $COA$ i $BOA$ su susjedni.

Teorema 1

Zbir susjednih uglova je $180^0$.

Dokaz.

Pogledajmo sliku 2.

Po definiciji 7, ugao $COB$ u njemu će biti jednak $180^0$. Budući da se drugi par stranica susjednih uglova poklapa, zraka $OA$ će podijeliti nesavijeni ugao sa 2, dakle

$∠COA+∠BOA=180^0$

Teorema je dokazana.

Razmotrimo rješavanje problema koristeći ovaj koncept.

Primjer 1

Pronađite ugao $C$ sa slike ispod

Prema definiciji 7 nalazimo da su uglovi $BDA$ i $ADC$ susjedni. Dakle, prema teoremi 1, dobijamo

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Prema teoremi o zbiru uglova u trouglu, imamo

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Odgovor: $40^0$.

Vertikalni uglovi

Razmotrimo rasklopljene uglove $AOB$ i $MOC$. Poravnajmo njihove vrhove jedan s drugim (tj. stavimo tačku $O"$ na tačku $O$) tako da se nijedna strana ovih uglova ne poklapa.

Definicija 8

Dva ugla ćemo nazvati vertikalnim ako su parovi njihovih stranica rasklopljeni uglovi i njihove vrijednosti se poklapaju (slika 3).

U ovom slučaju, uglovi $MOA$ i $BOC$ su vertikalni, a uglovi $MOB$ i $AOC$ su takođe vertikalni.

Teorema 2

Vertikalni uglovi su međusobno jednaki.

Dokaz.

Pogledajmo sliku 3. Dokažimo, na primjer, da je ugao $MOA$ jednak kutu $BOC$.

Kako pronaći susjedni ugao?

Matematika je najstarija egzaktna nauka koja se obavezno izučava u školama, fakultetima, institutima i univerzitetima. Međutim, osnovno znanje se uvijek polaže u školi. Ponekad se djetetu zadaju prilično složeni zadaci, ali roditelji ne mogu pomoći, jer su jednostavno zaboravili neke stvari iz matematike. Na primjer, kako pronaći susjedni ugao na osnovu veličine glavnog ugla, itd. Problem je jednostavan, ali može izazvati poteškoće u rješavanju zbog neznanja koji se uglovi nazivaju susjednim i kako ih pronaći.

Pogledajmo pobliže definiciju i svojstva susjednih uglova, kao i kako ih izračunati iz podataka u zadatku.

Definicija i svojstva susjednih uglova

Dvije zrake koje izlaze iz jedne tačke formiraju lik koji se naziva "ravni ugao". U ovom slučaju, ova tačka se naziva vrh ugla, a zrake su njegove stranice. Ako nastavite jednu od zraka izvan početne točke u pravoj liniji, tada se formira drugi kut, koji se naziva susjednim. Svaki ugao u ovom slučaju ima dva susjedna ugla, jer su stranice ugla ekvivalentne. To jest, uvijek postoji susjedni ugao od 180 stepeni.

Glavna svojstva susjednih uglova uključuju

• Susedni uglovi imaju zajednički vrh i jednu stranu;
• Zbir susjednih uglova je uvijek jednak 180 stepeni ili broju Pi ako se proračun vrši u radijanima;
• Sinusi susjednih uglova su uvijek jednaki;
• Kosinusi i tangente susjednih uglova su jednaki, ali imaju suprotne predznake.

Kako pronaći susjedne uglove

Obično se daju tri varijacije zadataka za pronalaženje veličine susjednih uglova

• Zadata je vrijednost glavnog ugla;
• Dat je omjer glavnog i susjednog ugla;
• Zadana je vrijednost vertikalnog ugla.

Svaka verzija problema ima svoje rješenje. Pogledajmo ih.

Zadata je vrijednost glavnog ugla

Ako problem specificira vrijednost glavnog ugla, pronalaženje susjednog ugla je vrlo jednostavno. Da biste to učinili, samo oduzmete vrijednost glavnog ugla od 180 stepeni i dobićete vrednost susednog ugla. Ovo rešenje se zasniva na svojstvu susednog ugla - zbir susednih uglova je uvek jednak 180 stepeni.

Ako je vrijednost glavnog ugla data u radijanima, a zadatak zahtijeva pronalaženje susjednog ugla u radijanima, tada je potrebno od broja Pi oduzeti vrijednost glavnog ugla, budući da je vrijednost punog rasklopljenog ugla od 180 stepeni jednak je broju Pi.

Dat je omjer glavnog i susjednog ugla

Problem može dati omjer glavnog i susjednih uglova umjesto stupnjeva i radijana glavnog ugla. U ovom slučaju rješenje će izgledati kao jednačina proporcija:

1. Proporciju glavnog ugla označavamo kao varijablu “Y”.
2. Razlomak koji se odnosi na susjedni ugao označava se kao varijabla “X”.
3. Broj stepeni koji padaju na svaku proporciju će biti označen, na primjer, sa "a".
4. Opšta formula će izgledati ovako - a*X+a*Y=180 ili a*(X+Y)=180.
5. Zajednički faktor jednačine “a” nalazimo koristeći formulu a=180/(X+Y).
6. Zatim množimo rezultujuću vrijednost zajedničkog faktora “a” s dijelom ugla koji treba odrediti.

Na ovaj način možemo pronaći vrijednost susjednog ugla u stepenima. Međutim, ako trebate pronaći vrijednost u radijanima, onda jednostavno trebate pretvoriti stupnjeve u radijane. Da biste to uradili, pomnožite ugao u stepenima sa Pi i sve podelite sa 180 stepeni. Rezultirajuća vrijednost će biti u radijanima.

Zadata je vrijednost vertikalnog ugla

Ako problem ne daje vrijednost glavnog ugla, ali je data vrijednost vertikalnog ugla, onda se susjedni ugao može izračunati po istoj formuli kao u prvom paragrafu, gdje je data vrijednost glavnog ugla.

Vertikalni ugao je ugao koji potiče iz iste tačke kao i glavni, ali je usmeren u potpuno suprotnom smeru. Ovo rezultira zrcalnom slikom. To znači da je vertikalni ugao jednak po veličini glavnom. Zauzvrat, susjedni kut okomitog ugla jednak je susjednom kutu glavnog ugla. Zahvaljujući tome, može se izračunati susjedni ugao glavnog ugla. Da biste to učinili, jednostavno oduzmite vertikalnu vrijednost od 180 stupnjeva i dobijete vrijednost susjednog ugla glavnog ugla u stepenima.

Ako je vrijednost data u radijanima, onda je potrebno od broja Pi oduzeti vrijednost vertikalnog ugla, jer je vrijednost punog rasklopljenog ugla od 180 stepeni jednaka broju Pi.

Također možete pročitati naše korisne članke i.

Dva ugla se nazivaju susjednim ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge strane ovih uglova su komplementarne zrake. Na slici 20 uglovi AOB i BOC su susjedni.

Zbir susjednih uglova je 180°

Teorema 1. Zbir susjednih uglova je 180°.

Dokaz. Greda OB (vidi sliku 1) prolazi između stranica rasklopljenog ugla. Zbog toga ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Iz teoreme 1 slijedi da ako su dva ugla jednaka, onda su im susjedni uglovi jednaki.

Vertikalni uglovi su jednaki

Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su strane jednog ugla komplementarne zrake stranica drugog. Uglovi AOB i COD, BOD i AOC, formirani na preseku dve prave, su vertikalni (slika 2).

Teorema 2. Vertikalni uglovi su jednaki.

Dokaz. Razmotrimo vertikalne uglove AOB i COD (vidi sliku 2). Ugao BOD je susedan svakom od uglova AOB i COD. Prema teoremi 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Iz ovoga zaključujemo da je ∠ AOB = ∠ COD.

Posljedica 1. Ugao pored pravog ugla je pravi ugao.

Razmotrimo dvije prave linije AC i BD koje se seku (slika 3). Formiraju četiri ugla. Ako je jedan od njih ravan (ugao 1 na sl. 3), onda su i preostali uglovi pravi (uglovi 1 i 2, 1 i 4 su susedni, uglovi 1 i 3 su vertikalni). U ovom slučaju kažu da se ove prave sijeku pod pravim kutom i nazivaju se okomiti (ili međusobno okomiti). Okomitost pravih AC i BD označava se na sljedeći način: AC ⊥ BD.

Simetrala okomita na segment je prava okomita na ovaj segment i koja prolazi kroz njegovu sredinu.

AN - okomito na pravu

Razmotrimo pravu a i tačku A koja ne leži na njoj (slika 4). Povežimo tačku A sa segmentom sa tačkom H pravom linijom a. Segment AN se naziva okomom povučenom iz tačke A na pravu a ako su prave AN i a okomite. Tačka H naziva se osnova okomice.

Kvadrat za crtanje

Sljedeća teorema je tačna.

Teorema 3. Iz bilo koje tačke koja ne leži na pravoj, moguće je povući okomitu na ovu pravu, i, osim toga, samo jednu.

Da nacrtate okomicu iz tačke na pravu liniju na crtežu, koristite kvadrat za crtanje (slika 5).

Komentar. Formulacija teoreme se obično sastoji od dva dijela. Jedan dio govori o tome šta je dato. Ovaj dio se naziva uvjetom teoreme. Drugi dio govori o tome šta treba dokazati. Ovaj dio se zove zaključak teoreme. Na primjer, uslov teoreme 2 je da su uglovi vertikalni; zaključak - ovi uglovi su jednaki.

Bilo koja teorema može se detaljno izraziti riječima tako da njen uvjet počinje riječju “ako”, a zaključak riječju “onda”. Na primjer, teorema 2 može se detaljno izreći na sljedeći način: "Ako su dva ugla okomita, onda su jednaki."

Primjer 1. Jedan od susjednih uglova je 44°. Čemu je drugi jednak?

Rješenje. Označimo mjeru stepena drugog ugla sa x, tada prema teoremi 1.
44° + x = 180°.
Rješavajući rezultirajuću jednačinu, nalazimo da je x = 136°. Dakle, drugi ugao je 136°.

Primjer 2. Neka ugao COD na slici 21 bude 45°. Koliki su uglovi AOB i AOC?

Rješenje. Uglovi COD i AOB su vertikalni, pa su prema teoremi 1.2 jednaki, tj. ∠ AOB = 45°. Ugao AOC je susedan uglu COD, što znači prema teoremi 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Primjer 3. Pronađite susjedne uglove ako je jedan od njih 3 puta veći od drugog.

Rješenje. Označimo mjeru stepena manjeg ugla sa x. Tada će mjera stepena većeg ugla biti 3x. Pošto je zbir susjednih uglova jednak 180° (Teorema 1), onda je x + 3x = 180°, odakle je x = 45°.
To znači da su susjedni uglovi 45° i 135°.

Primjer 4. Zbir dva vertikalna ugla je 100°. Pronađite veličinu svakog od četiri ugla.

Rješenje. Neka slika 2 ispunjava uslove zadatka da su vertikalni uglovi COD prema AOB jednaki (teorema 2), što znači da su i njihove mere stepena jednake. Dakle, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (njihov zbir prema uslovu je 100°). Ugao BOD (također ugao AOC) je susedan uglu COD, i stoga, prema teoremi 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Geometrija je veoma mnogostruka nauka. Razvija logiku, maštu i inteligenciju. Naravno, zbog svoje složenosti i ogromnog broja teorema i aksioma, školarcima se to ne sviđa uvijek. Osim toga, potrebno je stalno dokazivati ​​svoje zaključke korištenjem općeprihvaćenih standarda i pravila.

Susedni i vertikalni uglovi su sastavni deo geometrije. Sigurno ih mnogi školarci jednostavno obožavaju iz razloga što su njihova svojstva jasna i lako dokaziva.

Formiranje uglova

Bilo koji ugao se formira presecanjem dve prave linije ili povlačenjem dve zrake iz jedne tačke. Mogu se nazvati jedno slovo ili tri, koje uzastopno označavaju tačke u kojima je konstruisan ugao.

Uglovi se mjere u stepenima i mogu se (u zavisnosti od njihove vrijednosti) nazvati drugačije. Dakle, postoji pravi ugao, oštar, tup i rasklopljen. Svako od naziva odgovara određenoj mjeri stepena ili njenom intervalu.

Oštar ugao je ugao čija mjera ne prelazi 90 stepeni.

Tup ugao je ugao veći od 90 stepeni.

Ugao se naziva pravim kada je njegova mjera stepena 90.

U slučaju kada je formirana od jedne neprekidne prave linije i njena mjera stepena je 180, naziva se proširena.

Uglovi koji imaju zajedničku stranu, čija se druga stranica nastavlja jedna na drugu, nazivaju se susjedni. Mogu biti oštri ili tupi. Presjek prave formira susjedne uglove. Njihova svojstva su sljedeća:

1. Zbir ovih uglova će biti jednak 180 stepeni (postoji teorema koja to dokazuje). Stoga se jedno od njih može lako izračunati ako je poznato drugo.
2. Iz prve tačke proizilazi da susedni uglovi ne mogu biti formirani od dva tupa ili dva oštra ugla.

Zahvaljujući ovim svojstvima, uvijek je moguće izračunati mjeru stepena ugla s obzirom na vrijednost drugog ugla, ili barem omjer između njih.

Vertikalni uglovi

Uglovi čije su stranice nastavci jedna na drugu nazivaju se vertikalni. Bilo koja od njihovih sorti može djelovati kao takav par. Vertikalni uglovi su uvek jednaki jedan drugom.

Nastaju kada se prave linije ukrštaju. Uz njih su uvijek prisutni susjedni uglovi. Ugao može biti istovremeno susjedan za jedan i okomiti za drugi.

Prilikom prelaska proizvoljne linije uzima se u obzir i nekoliko drugih vrsta uglova. Takva prava se naziva sekansa, ona formira odgovarajuće jednostrane i poprečne uglove. One su jedna drugoj jednake. Oni se mogu posmatrati u svjetlu osobina koje imaju vertikalni i susjedni uglovi.

Stoga se tema uglova čini prilično jednostavnom i razumljivom. Sva njihova svojstva je lako zapamtiti i dokazati. Rješavanje problema nije teško sve dok uglovi imaju numeričku vrijednost. Kasnije, kada počne proučavanje grijeha i cos, morat ćete zapamtiti mnoge složene formule, njihove zaključke i posljedice. Do tada, možete samo uživati ​​u lakim zagonetkama u kojima trebate pronaći susjedne uglove.

POGLAVLJE I.

OSNOVNI KONCEPTI.

§jedanaest. SUSJEDNI I VERTIKALNI UGLOVI.

1. Susedni uglovi.

Ako produžimo stranu bilo kojeg ugla izvan njegovog vrha, dobićemo dva ugla (slika 72): / I sunce i / SVD, u kojem je jedna strana BC zajednička, a druge dvije A i BD čine pravu liniju.

Dva ugla kod kojih je jedna strana zajednička, a druge dvije čine pravu liniju nazivaju se susjedni uglovi.

Susedni uglovi se takođe mogu dobiti na ovaj način: ako povučemo zrak iz neke tačke na pravoj (koja ne leži na datoj pravoj), dobićemo susedne uglove.
Na primjer, / ADF i / FDV - susedni uglovi (Sl. 73).

Susedni uglovi mogu imati širok izbor položaja (Sl. 74).

Susedni uglovi se zbrajaju u pravi ugao, dakle umma dva susedna ugla je jednaka 2d.

Dakle, pravi ugao se može definisati kao ugao jednak njegovom susednom uglu.

Znajući veličinu jednog od susjednih uglova, možemo pronaći veličinu drugog ugla koji je uz njega.

Na primjer, ako je jedan od susjednih uglova 3/5 d, tada će drugi ugao biti jednak:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Vertikalni uglovi.

Ako produžimo stranice ugla izvan njegovog vrha, dobićemo vertikalne uglove. Na crtežu 75, uglovi EOF i AOC su vertikalni; uglovi AOE i COF su takođe vertikalni.

Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su stranice jednog ugla nastavak stranica drugog ugla.

Neka / 1 = 7 / 8 d(Slika 76). Pored njega / 2 će biti jednako 2 d- 7 / 8 d, odnosno 1 1/8 d.

Na isti način možete izračunati čemu su jednaki / 3 i / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Slika 77).

Vidimo to / 1 = / 3 i / 2 = / 4.

Možete riješiti još nekoliko istih problema, a svaki put ćete dobiti isti rezultat: vertikalni uglovi su međusobno jednaki.

Međutim, da bismo bili sigurni da su vertikalni uglovi uvijek međusobno jednaki, nije dovoljno uzeti u obzir pojedinačne numeričke primjere, jer zaključci izvedeni iz pojedinih primjera ponekad mogu biti pogrešni.

Valjanost svojstava vertikalnih uglova potrebno je provjeriti rasuđivanjem, dokazivanjem.

Dokaz se može izvesti na sljedeći način (slika 78):

/ a +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(pošto je zbir susjednih uglova 2 d).

/ a +/ c = / b+/ c

(pošto je i lijeva strana ove jednakosti jednaka 2 d, a njegova desna strana je također jednaka 2 d).

Ova jednakost uključuje isti ugao With.

Ako od jednakih količina oduzmemo jednake količine, tada će ostati jednaki iznosi. Rezultat će biti: / a = / b, tj. vertikalni uglovi su međusobno jednaki.

Kada smo razmatrali pitanje vertikalnih uglova, prvo smo objasnili koji se uglovi nazivaju vertikalni, tj. definicija vertikalni uglovi.

Zatim smo donijeli sud (tvrdnju) o jednakosti vertikalnih uglova i kroz dokaz se uvjerili u valjanost ovog suda. Takve presude, čija valjanost mora biti dokazana, nazivaju se teoreme. Dakle, u ovom dijelu smo dali definiciju vertikalnih uglova, te iznijeli i dokazali teoremu o njihovim svojstvima.

U budućnosti, prilikom proučavanja geometrije, stalno ćemo se morati susresti sa definicijama i dokazima teorema.

3. Zbir uglova koji imaju zajednički vrh.

Na crtežu 79 / 1, / 2, / 3 i / 4 nalaze se na jednoj strani prave i imaju zajednički vrh na ovoj pravoj. Sve u svemu, ovi uglovi čine pravi ugao, tj.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Na crtežu 80 / 1, / 2, / 3, / 4 i / 5 imaju zajednički vrh. Sve u svemu, ovi uglovi čine pun ugao, tj. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Vježbe.

1. Jedan od susjednih uglova je 0,72 d. Izračunajte ugao koji čine simetrale ovih susjednih uglova.

2. Dokazati da simetrale dva susedna ugla čine pravi ugao.

3. Dokazati da ako su dva ugla jednaka, onda su i njihovi susjedni uglovi jednaki.

4. Koliko parova susjednih uglova ima na crtežu 81?

5. Može li se par susjednih uglova sastojati od dva oštra ugla? iz dva tupa ugla? iz pravog i tupog ugla? iz pravog i oštrog ugla?

6. Ako je jedan od susjednih uglova pravi, šta se onda može reći o veličini ugla koji se nalazi na njemu?

7. Ako je u preseku dve prave jedan ugao pravi, šta se onda može reći o veličini ostala tri ugla?

Povratak