Ovaj članak je o obični razlomci. Ovdje ćemo uvesti pojam razlomka cjeline, što će nas dovesti do definicije običnog razlomka. Zatim ćemo se zadržati na prihvaćenom zapisu za obične razlomke i dati primjere razlomaka, recimo o brojniku i nazivniku razlomka. Nakon toga ćemo dati definicije pravih i nepravilnih, pozitivnih i negativnih razlomaka, a također ćemo razmotriti položaj razlomaka na koordinatnoj zraci. U zaključku navodimo glavne operacije s razlomcima.

Navigacija po stranici.

Dionice cjeline

Prvo predstavljamo koncept udjela.

Pretpostavimo da imamo neki objekat sastavljen od nekoliko apsolutno identičnih (tj. jednakih) delova. Radi jasnoće, možete zamisliti, na primjer, jabuku izrezanu na nekoliko jednakih dijelova, ili naranču koja se sastoji od nekoliko jednakih kriški. Svaki od ovih jednakih dijelova koji čine cijeli objekt naziva se delovi celine ili jednostavno dionice.

Imajte na umu da su udjeli različiti. Hajde da objasnimo ovo. Daj nam dve jabuke. Prvu jabuku isecite na dva jednaka dela, a drugu na 6 jednakih delova. Jasno je da će se udio prve jabuke razlikovati od udjela druge jabuke.

Ovisno o broju dionica koje čine cijeli objekt, ove dionice imaju vlastita imena. Hajde da to sredimo imena otkucaja. Ako se objekt sastoji od dva dijela, bilo koji od njih se naziva jednim drugim dijelom cijelog objekta; ako se objekt sastoji od tri dijela, onda se bilo koji od njih naziva jednim trećim dijelom, i tako dalje.

Jedna druga dionica ima posebno ime - pola. Jedna trećina se zove treće, i jedna četvrtina - četvrtina.

Radi sažetosti uvedeno je sljedeće: beat simboli. Jedna druga dionica označava se kao ili 1/2, jedna trećina dionica označava se kao ili 1/3; jedna četvrtina dionica - lajk ili 1/4 i tako dalje. Imajte na umu da se zapis s horizontalnom trakom češće koristi. Da bismo pojačali gradivo, navedimo još jedan primjer: natuknica označava sto šezdeset sedmi dio cjeline.

Koncept udjela prirodno se proteže od objekata do količina. Na primjer, jedna od mjera za dužinu je metar. Za mjerenje dužina kraćih od metra mogu se koristiti razlomci metra. Dakle, možete koristiti, na primjer, pola metra ili deseti ili hiljaditi dio metra. Slično se primjenjuju i udjeli ostalih količina.

Obični razlomci, definicija i primjeri razlomaka

Da opišemo broj dionica koje koristimo obični razlomci. Navedimo primjer koji će nam omogućiti da pristupimo definiciji običnih razlomaka.

Neka se narandža sastoji od 12 dijelova. Svaka dionica u ovom slučaju predstavlja jednu dvanaestinu cijele narandže, odnosno . Označavamo dva otkucaja kao , tri otkucaja kao , I tako dalje, 12 otkucaja označavamo kao . Svaki od datih unosa naziva se običan razlomak.

Sada dajmo generala definicija običnih razlomaka.

Glasovna definicija običnih razlomaka nam omogućava da damo primjeri običnih razlomaka: 5/10, , 21/1, 9/4, . A evo i zapisa ne odgovaraju navedenoj definiciji običnih razlomaka, odnosno nisu obični razlomci.

Brojač i nazivnik

Radi praktičnosti razlikuju se obične frakcije brojilac i imenilac.

Definicija.

Brojač obični razlomak (m/n) je prirodan broj m.

Definicija.

Nazivnik obični razlomak (m/n) je prirodan broj n.

Dakle, brojilac se nalazi iznad linije razlomka (lijevo od kose crte), a imenilac ispod linije razlomka (desno od kose crte). Na primjer, uzmimo običan razlomak 17/29, brojilac ovog razlomka je broj 17, a nazivnik je broj 29.

Ostaje da razgovaramo o značenju sadržanom u brojniku i nazivniku običnog razlomka. Imenitelj razlomka pokazuje od koliko se dijelova sastoji jedan predmet, a brojnik, zauzvrat, označava broj takvih udjela. Na primjer, nazivnik 5 razlomka 12/5 znači da se jedan predmet sastoji od pet udjela, a brojnik 12 znači da se uzima 12 takvih udjela.

Prirodni broj kao razlomak sa nazivnikom 1

Imenilac običnog razlomka može biti jednak jedan. U ovom slučaju možemo smatrati da je predmet nedjeljiv, drugim riječima, predstavlja nešto cjelovito. Brojač takvog razlomka pokazuje koliko je cijelih objekata uzeto. Dakle, običan razlomak oblika m/1 ima značenje prirodnog broja m. Tako smo potkrijepili valjanost jednakosti m/1=m.

Zapišimo posljednju jednakost na sljedeći način: m=m/1. Ova jednakost nam omogućava da bilo koji prirodni broj m predstavimo kao običan razlomak. Na primjer, broj 4 je razlomak 4/1, a broj 103.498 jednak je razlomku 103.498/1.

dakle, svaki prirodni broj m može se predstaviti kao običan razlomak sa nazivnikom 1 kao m/1, a svaki obični razlomak oblika m/1 može se zamijeniti prirodnim brojem m.

Razlomak kao znak dijeljenja

Predstavljanje originalnog objekta u obliku n dionica nije ništa drugo do podjela na n jednakih dijelova. Nakon što se stavka podijeli na n dionica, možemo je podijeliti na n ljudi - svaki će dobiti po jednu dionicu.

Ako u početku imamo m identičnih objekata, od kojih je svaki podijeljen na n dionica, onda možemo jednako podijeliti ovih m objekata između n ljudi, dajući svakoj osobi po jedan dio od svakog od m objekata. U ovom slučaju, svaka osoba će imati m dionica od 1/n, a m dionica od 1/n daje obični razlomak m/n. Dakle, uobičajeni razlomak m/n može se koristiti za označavanje podjele m stavki između n ljudi.

Tako smo dobili eksplicitnu vezu između običnih razlomaka i dijeljenja (pogledajte opću ideju ​​​dijeljenja prirodnih brojeva). Ova veza se izražava na sljedeći način: razlomak se može shvatiti kao znak podjele, odnosno m/n=m:n.

Koristeći obični razlomak, možete napisati rezultat dijeljenja dva prirodna broja za koja se ne može izvršiti cijelo dijeljenje. Na primjer, rezultat dijeljenja 5 jabuka sa 8 ljudi može se zapisati kao 5/8, odnosno, svako će dobiti pet osmina jabuke: 5:8 = 5/8.

Jednaki i nejednaki razlomci, poređenje razlomaka

Prilično prirodna akcija je poređenje razlomaka, jer je jasno da je 1/12 narandže različito od 5/12, a 1/6 jabuke je isto što i druga 1/6 ove jabuke.

Kao rezultat poređenja dva obična razlomka, dobije se jedan od rezultata: razlomci su ili jednaki ili nejednaki. U prvom slučaju imamo jednaki obični razlomci, a u drugom – nejednaki obični razlomci. Hajde da damo definiciju jednakih i nejednakih običnih razlomaka.

Definicija.

jednaka, ako je jednakost a·d=b·c tačna.

Definicija.

Dva obična razlomka a/b i c/d nije jednako, ako jednakost a·d=b·c ne vrijedi.

Evo nekoliko primjera jednakih razlomaka. Na primjer, obični razlomak 1/2 jednak je razlomku 2/4, jer je 1·4=2·2 (ako je potrebno, pogledajte pravila i primjere množenja prirodnih brojeva). Radi jasnoće, možete zamisliti dvije identične jabuke, prva je prepolovljena, a druga na 4 dijela. Očigledno je da su dvije četvrtine jabuke jednake 1/2 udjela. Drugi primjeri jednakih običnih razlomaka su razlomci 4/7 i 36/63, te par razlomaka 81/50 i 1.620/1.000.

Ali obični razlomci 4/13 i 5/14 nisu jednaki, jer je 4·14=56 i 13·5=65, odnosno 4·14≠13·5. Drugi primjeri nejednakih običnih razlomaka su razlomci 17/7 i 6/4.

Ako se pri usporedbi dva obična razlomka pokaže da nisu jednaki, možda ćete morati saznati koji od ovih običnih razlomaka manje različite, a koje - više. Da bismo saznali, koristi se pravilo za poređenje običnih razlomaka, čija je suština da se uspoređeni razlomci dovedu u zajednički nazivnik, a zatim uporede brojioce. Detaljne informacije o ovoj temi prikupljene su u članku usporedba razlomaka: pravila, primjeri, rješenja.

Razlomci brojeva

Svaki razlomak je zapis razlomak broj. Odnosno, razlomak je samo "ljuska" razlomka, njegov izgled i svo semantičko opterećenje sadržano je u razlomku. Međutim, radi sažetosti i praktičnosti, koncepti razlomka i razlomka su kombinovani i jednostavno se nazivaju razlomak. Ovdje je prikladno parafrazirati poznatu izreku: kažemo razlomak - mislimo na razlomak, kažemo razlomak - mislimo na razlomak.

Razlomci na koordinatnoj zraci

Svi razlomci koji odgovaraju običnim razlomcima imaju svoje jedinstveno mjesto, to jest, postoji korespondencija jedan prema jedan između razlomaka i tačaka koordinatnog zraka.

Da biste došli do tačke na koordinatnoj zraci koja odgovara razlomku m/n, potrebno je izdvojiti m segmenata od početka u pozitivnom smjeru, čija je dužina 1/n razlomka jediničnog segmenta. Takvi segmenti se mogu dobiti dijeljenjem jediničnog segmenta na n jednakih dijelova, što se uvijek može učiniti pomoću šestara i ravnala.

Na primjer, pokažimo tačku M na koordinatnoj zraci, koja odgovara razlomku 14/10. Dužina segmenta sa krajevima u tački O i tačkom koja joj je najbliža, označena malom crticom, iznosi 1/10 jediničnog segmenta. Tačka sa koordinatom 14/10 udaljena je od početka na udaljenosti od 14 takvih segmenata.

Jednaki razlomci odgovaraju istom razlomku, odnosno jednaki razlomci su koordinate iste tačke na koordinatnoj zraci. Na primjer, koordinate 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 odgovaraju jednoj tački na koordinatnoj zraci, budući da su svi upisani razlomci jednaki (nalazi se na udaljenosti od pola položenog jediničnog segmenta od početka u pozitivnom smjeru).

Na horizontalnoj i desno usmjerenoj koordinatnoj zraci, tačka čija je koordinata veći razlomak nalazi se desno od tačke čija je koordinata manji razlomak. Slično, tačka sa manjom koordinatom leži levo od tačke sa većom koordinatom.

Pravi i nepravilni razlomci, definicije, primjeri

Među običnim frakcijama ima pravilni i nepravilni razlomci. Ova podjela se zasniva na poređenju brojnika i nazivnika.

Definirajmo prave i nepravilne obične razlomke.

Definicija.

Pravilan razlomak je običan razlomak čiji je brojilac manji od nazivnika, odnosno ako je m

Definicija.

Nepravilan razlomak je običan razlomak u kojem je brojilac veći ili jednak nazivniku, odnosno, ako je m≥n, tada je obični razlomak nepravilan.

Evo nekoliko primjera pravih razlomaka: 1/4, , 32,765/909,003. Zaista, u svakom od napisanih običnih razlomaka brojilac je manji od nazivnika (ako je potrebno, pogledajte članak u kojem se porede prirodni brojevi), tako da su oni po definiciji tačni.

Evo primjera nepravilnih razlomaka: 9/9, 23/4, . Zaista, brojilac prvog od napisanih običnih razlomaka jednak je nazivniku, a u preostalim razlomcima brojilac je veći od nazivnika.

Postoje i definicije pravih i nepravih razlomaka, zasnovane na poređenju razlomaka sa jedan.

Definicija.

ispravan, ako je manji od jedan.

Definicija.

Zove se običan razlomak pogrešno, ako je ili jednako jedan ili veće od 1.

Dakle, uobičajeni razlomak 7/11 je tačan, budući da je 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 i 27/27=1.

Razmislimo o tome kako obični razlomci s brojnikom većim ili jednakim nazivniku zaslužuju takvo ime - "nepravilno".

Na primjer, uzmimo nepravilan razlomak 9/9. Ovaj razlomak znači da se od objekta koji se sastoji od devet dijelova uzima devet dijelova. Odnosno, od dostupnih devet dijelova možemo napraviti cijeli objekt. To jest, nepravilan razlomak 9/9 u suštini daje cijeli objekt, to jest, 9/9 = 1. Općenito, nepravilni razlomci čiji je brojnik jednak nazivniku označavaju jedan cijeli predmet, a takav razlomak se može zamijeniti prirodnim brojem 1.

Sada razmotrite nepravilne razlomke 7/3 i 12/4. Sasvim je očito da od ovih sedam trećih dijelova možemo sastaviti dva cijela objekta (jedan cijeli objekt se sastoji od 3 dijela, a za sastavljanje dva cijela objekta trebat će nam 3 + 3 = 6 dijelova) i još će ostati jedan treći dio . To jest, nepravilan razlomak 7/3 u suštini znači 2 objekta i također 1/3 takvog objekta. A od dvanaest četvrtinskih dijelova možemo napraviti tri cijela objekta (tri predmeta sa po četiri dijela). To jest, razlomak 12/4 u suštini znači 3 cijela objekta.

Razmatrani primjeri dovode nas do sljedećeg zaključka: nepravilni razlomci se mogu zamijeniti ili prirodnim brojevima, kada se brojilac podijeli ravnomjerno sa nazivnikom (na primjer, 9/9=1 i 12/4=3), ili zbirom prirodnog broja i pravilnog razlomka, kada brojilac nije jednako djeljiv sa nazivnikom (na primjer, 7/3=2+1/3). Možda je to upravo ono zbog čega su nepravilni razlomci dobili naziv "nepravilni".

Posebno je zanimljivo predstavljanje nepravilnog razlomka kao zbira prirodnog broja i pravilnog razlomka (7/3=2+1/3). Ovaj proces se naziva odvajanjem cijelog dijela od nepravilnog razlomka i zaslužuje odvojeno i pažljivije razmatranje.

Također je vrijedno napomenuti da postoji vrlo bliska veza između nepravilnih razlomaka i mješovitih brojeva.

Pozitivni i negativni razlomci

Svaki uobičajeni razlomak odgovara pozitivnom razlomku (pogledajte članak o pozitivnim i negativnim brojevima). To jest, obični razlomci jesu pozitivni razlomci. Na primjer, obični razlomci 1/5, 56/18, 35/144 su pozitivni razlomci. Kada trebate istaknuti pozitivnost razlomka, ispred njega se stavlja znak plus, na primjer, +3/4, +72/34.

Ako stavite znak minus ispred običnog razlomka, tada će ovaj unos odgovarati negativnom razlomku. U ovom slučaju možemo razgovarati o negativni razlomci. Evo nekoliko primjera negativnih razlomaka: −6/10, −65/13, −1/18.

Pozitivni i negativni razlomci m/n i −m/n su suprotni brojevi. Na primjer, razlomci 5/7 i −5/7 su suprotni razlomci.

Pozitivni razlomci, poput pozitivnih brojeva općenito, označavaju dodatak, prihod, promjenu bilo koje vrijednosti naviše, itd. Negativni razlomci odgovaraju trošku, dugu ili smanjenju bilo koje količine. Na primjer, negativni razlomak −3/4 može se tumačiti kao dug čija je vrijednost jednaka 3/4.

U vodoravnom i desnom smjeru, negativni razlomci se nalaze lijevo od početka. Tačke koordinatne linije čije su koordinate pozitivni razlomak m/n i negativni razlomak −m/n nalaze se na istoj udaljenosti od početka, ali na suprotnim stranama tačke O.

Ovdje je vrijedno spomenuti razlomke oblika 0/n. Ovi razlomci su jednaki broju nula, odnosno 0/n=0.

Pozitivni razlomci, negativni razlomci i 0/n razlomci se kombinuju da formiraju racionalne brojeve.

Operacije sa razlomcima

Već smo raspravljali o jednoj radnji s običnim razlomcima - poređenje razlomaka - gore. Definirane su još četiri aritmetičke funkcije operacije sa razlomcima– sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje razlomaka. Pogledajmo svaki od njih.

Opća suština operacija s razlomcima slična je suštini odgovarajućih operacija s prirodnim brojevima. Hajde da napravimo analogiju.

Množenje razlomaka može se smatrati radnjom pronalaženja razlomka iz razlomka. Da pojasnimo, dajmo primjer. Neka nam bude 1/6 jabuke i treba da uzmemo 2/3. Dio koji nam treba je rezultat množenja razlomaka 1/6 i 2/3. Rezultat množenja dva obična razlomka je običan razlomak (koji je u posebnom slučaju jednak prirodnom broju). Zatim preporučujemo da proučite informacije u članku Množenje razlomaka - pravila, primjeri i rješenja.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: udžbenik za 5. razred. obrazovne institucije.
• Vilenkin N.Ya. i drugi. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).

Brojilac, a ono što je podijeljeno je imenilac.

Da biste napisali razlomak, prvo napišite brojilac, zatim povucite vodoravnu liniju ispod broja i upišite nazivnik ispod linije. Horizontalna linija koja razdvaja brojnik i imenilac naziva se razlomka. Ponekad se prikazuje kao kosi "/" ili "∕". U ovom slučaju, brojilac se piše lijevo od reda, a nazivnik desno. Tako će, na primjer, razlomak "dvije trećine" biti napisan kao 2/3. Radi jasnoće, brojilac se obično piše na vrhu reda, a nazivnik na dnu, odnosno umjesto 2/3 možete pronaći: ⅔.

Da biste izračunali proizvod razlomaka, prvo pomnožite brojnik jedan razlomci u brojiocu je drugačija. Rezultat upišite u brojnik novog razlomci. Nakon toga pomnožite nazivnike. Unesite ukupnu vrijednost u novi razlomci. Na primjer, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, prvo pomnožite brojnik prvog sa nazivnikom drugog. Uradite isto sa drugim razlomkom (djeliteljem). Ili, prije nego što izvršite sve radnje, prvo "okrenite" djelitelj, ako vam je zgodnije: nazivnik bi se trebao pojaviti na mjestu brojnika. Zatim pomnožite nazivnik dividende sa novim imeniocem djelitelja i pomnožite brojnike. Na primjer, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Izvori:

• Osnovni problemi s razlomcima

Razlomci vam omogućavaju da izrazite tačnu vrijednost količine u različitim oblicima. Možete raditi iste matematičke operacije s razlomcima kao i s cijelim brojevima: oduzimanje, sabiranje, množenje i dijeljenje. Da naučim odlučivati razlomci, moramo zapamtiti neke njihove karakteristike. Zavise od vrste razlomci, prisustvo cijelog broja, zajednički nazivnik. Neke aritmetičke operacije zahtijevaju da se razlomak rezultata smanji nakon izvršenja.

Trebaće ti

• - kalkulator

Instrukcije

Pažljivo pogledajte brojeve. Ako među razlomcima postoje decimale i nepravilne, ponekad je prikladnije prvo izvršiti operacije s decimalima, a zatim ih pretvoriti u nepravilan oblik. Možete li prevesti? razlomci u ovom obliku na početku, upisujući vrijednost iza decimalne točke u brojiocu i stavljajući 10 u nazivnik. Ako je potrebno, smanjite razlomak tako što ćete brojeve iznad i ispod podijeliti jednim djeliteljem. Razlomci u kojima je izolovan cijeli broj moraju se pretvoriti u pogrešan oblik množenjem sa nazivnikom i dodavanjem brojioca rezultatu. Ova vrijednost će postati novi brojilac razlomci. Za odabir cijelog dijela od inicijalno pogrešnog razlomci, potrebno je podijeliti brojilac sa nazivnikom. Napišite cijeli rezultat iz razlomci. A ostatak dijeljenja će postati novi brojnik, nazivnik razlomci ne menja se. Za razlomke s cijelim dijelom moguće je izvršiti radnje odvojeno, prvo za cijeli broj, a zatim za razlomke. Na primjer, zbir 1 2/3 i 2 ¾ može se izračunati:
- Pretvaranje razlomaka u pogrešan oblik:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Zbrajanje odvojeno celobrojnih i razlomaka članova:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Prepišite ih koristeći separator “:” i nastavite s normalnim dijeljenjem.

Da biste dobili konačni rezultat, smanjite rezultujući razlomak tako što ćete brojilac i nazivnik podijeliti s jednim cijelim brojem, najvećim mogućim u u ovom slučaju. U ovom slučaju, moraju postojati cijeli brojevi iznad i ispod linije.

Bilješka

Ne izvodite aritmetiku sa razlomcima čiji su imenioci različiti. Odaberite broj tako da kada pomnožite brojilac i nazivnik svakog razlomka s njim, rezultat je da su nazivnici oba razlomka jednaki.

Koristan savjet

Prilikom pisanja razlomaka, dividenda se piše iznad linije. Ova količina je označena kao brojilac razlomka. Delitelj, ili imenilac, razlomka je napisan ispod linije. Na primjer, jedan i po kilogram riže kao frakcija bit će napisan na sljedeći način: 1 ½ kg riže. Ako je nazivnik razlomka 10, razlomak se naziva decimalni. U ovom slučaju, brojilac (dividenda) se piše desno od cijelog dijela, odvojenog zarezom: 1,5 kg riže. Radi lakšeg izračuna, takav razlomak se uvijek može napisati u pogrešnom obliku: 1 2/10 kg krompira. Da biste pojednostavili, možete smanjiti vrijednosti brojnika i nazivnika tako što ćete ih podijeliti s jednim cijelim brojem. U ovom primjeru možete podijeliti sa 2. Rezultat će biti 1 1/5 kg krompira. Uvjerite se da su brojevi s kojima ćete izvoditi aritmetiku prikazani u istom obliku.

Radnje sa razlomcima. U ovom članku ćemo pogledati primjere, sve detaljno s objašnjenjima. Razmotrit ćemo obične razlomke. Kasnije ćemo pogledati decimale. Preporučujem da pogledate cijelu stvar i da je proučavate uzastopno.

1. Zbir razlomaka, razlika razlomaka.

Pravilo: kada se sabiraju razlomci sa jednakim nazivnicima, rezultat je razlomak - čiji nazivnik ostaje isti, a njegov brojilac će biti jednak zbroju brojnika razlomaka.

Pravilo: pri izračunavanju razlike razlomaka sa istim nazivnicima dobijamo razlomak - imenilac ostaje isti, a brojnik drugog se oduzima od brojnika prvog razlomka.

Formalni zapis za zbir i razliku razlomaka sa jednakim nazivnicima:

Primjeri (1):

Jasno je da kada se daju obični razlomci, onda je sve jednostavno, ali šta ako se pomiješaju? Ništa komplikovano...

Opcija 1– možete ih pretvoriti u obične i onda ih izračunati.

Opcija 2– možete “raditi” odvojeno sa cijelim i razlomkom.

Primjeri (2):

Više:

Šta ako je data razlika dva mješovita razlomka i brojnik prvog razlomka je manji od brojnika drugog? Također možete djelovati na dva načina.

Primjeri (3):

*Preračunati u obične razlomke, izračunati razliku, pretvoriti rezultirajući nepravilni razlomak u mješoviti razlomak.

*Razdijelili smo ga na cjelobrojne i razlomke, dobili trojku, zatim predstavili 3 kao zbir 2 i 1, s jednim predstavljenim kao 11/11, zatim pronašli razliku između 11/11 i 7/11 i izračunali rezultat . Smisao gornjih transformacija je uzeti (odabrati) jedinicu i predstaviti je u obliku razlomka sa nazivnikom koji nam je potreban, onda možemo oduzeti drugu od ovog razlomka.

Drugi primjer:

Zaključak: postoji univerzalni pristup - da bi se izračunao zbir (razlika) mješovitih razlomaka s jednakim nazivnicima, oni se uvijek mogu pretvoriti u nepravilne, a zatim izvršiti potrebnu radnju. Nakon toga, ako je rezultat nepravilan razlomak, pretvaramo ga u mješoviti razlomak.

Gore smo pogledali primjere sa razlomcima koji imaju jednake nazivnike. Šta ako su imenioci različiti? U ovom slučaju, razlomci se svode na isti nazivnik i izvršava se navedena radnja. Za promjenu (transformaciju) razlomka koristi se osnovno svojstvo razlomka.

Pogledajmo jednostavne primjere:

U ovim primjerima odmah vidimo kako se jedan od razlomaka može transformirati da dobijemo jednake nazivnike.

Ako odredimo načine za svođenje razlomaka na isti nazivnik, onda ćemo ovaj nazvati METODA PRVA.

Odnosno, odmah kada "procjenjujete" razlomak, morate shvatiti da li će ovaj pristup funkcionirati - provjeravamo da li je veći imenilac djeljiv manjim. A ako je djeljiv, onda provodimo transformaciju - množimo brojnik i nazivnik tako da imenioci oba razlomka postanu jednaki.

Sada pogledajte ove primjere:

Ovaj pristup nije primjenjiv na njih. Postoje i načini da se razlomci svedu na zajednički nazivnik;

Metoda DVA.

Pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka sa imeniocem drugog, a brojnik i imenilac drugog razlomka sa imeniocem prvog:

*U stvari, razlomke svodimo na oblik kada imenioci postanu jednaki. Zatim koristimo pravilo za sabiranje razlomaka s jednakim nazivnicima.

primjer:

*Ova metoda se može nazvati univerzalnom i uvijek radi. Jedina mana je to što nakon izračunavanja možete završiti s razlomkom koji ćete morati dodatno smanjiti.

Pogledajmo primjer:

Vidi se da su brojilac i imenilac djeljivi sa 5:

Metoda TREĆA.

Morate pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika. Ovo će biti zajednički imenitelj. Kakav je ovo broj? Ovo je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa svakim od brojeva.

Vidite, evo dva broja: 3 i 4, ima mnogo brojeva koji su djeljivi sa njima - to su 12, 24, 36, ... Najmanji od njih je 12. Ili 6 i 15, oni su djeljivi sa 30, 60, 90 .... Najmanje je 30. Pitanje je - kako odrediti ovaj najmanji zajednički višekratnik?

Postoji jasan algoritam, ali često se to može učiniti odmah bez kalkulacija. Na primjer, prema gornjim primjerima (3 i 4, 6 i 15) nije potreban algoritam, uzeli smo velike brojeve (4 i 15), udvostručili ih i vidjeli da su djeljivi sa drugim brojem, ali parovi brojeva mogu bili drugi, na primjer 51 i 119.

Algoritam. Da biste odredili najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate:

- rastaviti svaki broj na JEDNOSTAVNE faktore

— zapišite razlaganje VEĆEG od njih

- pomnožite ga sa faktorima koji nedostaju drugih brojeva

Pogledajmo primjere:

50 i 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

u proširenju većeg broja nedostaje jedan pet

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 i 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

u proširenju većeg broja dva i tri nedostaju

=> LCM(48.72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Najmanji zajednički višekratnik dvaju prostih brojeva je njihov proizvod

Pitanje! Zašto je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika korisno, budući da možete koristiti drugu metodu i jednostavno smanjiti rezultujući razlomak? Da, moguće je, ali nije uvijek zgodno. Pogledajte nazivnik za brojeve 48 i 72 ako ih jednostavno pomnožite 48∙72 = 3456. Složićete se da je prijatnije raditi sa manjim brojevima.

Pogledajmo primjere:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

proširenju većeg broja nedostaje trojka

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Sada upotrijebimo prvu metodu:

*Pogledajte razliku u proračunima, u prvom slučaju ih ima minimalno, ali u drugom morate posebno raditi na komadu papira, pa čak i razlomak koji ste dobili treba smanjiti. Pronalaženje LOC-a značajno pojednostavljuje posao.

Više primjera:

*U drugom primjeru je jasno da je najmanji broj koji je djeljiv sa 40 i 60 120.

REZULTAT! OPŠTI RAČUNARSKI ALGORITAM!

— razlomke svodimo na obične ako postoji cijeli broj.

- razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika (prvo gledamo da li je jedan imenilac djeljiv drugim; ako je djeljiv, onda množimo brojnik i imenilac ovog drugog razlomka; ako nije djeljiv, postupamo drugim metodama gore navedeno).

- Nakon što smo dobili razlomke sa jednakim nazivnicima, izvodimo operacije (sabiranje, oduzimanje).

- ako je potrebno, smanjujemo rezultat.

- ako je potrebno, odaberite cijeli dio.

2. Proizvod frakcija.

Pravilo je jednostavno. Kada se množe razlomci, množe se njihovi brojnici i imenioci:

primjeri:

Zadatak. U bazu je dovezeno 13 tona povrća. Krompir čini ¾ ukupnog uvoznog povrća. Koliko je kilograma krompira dovezeno u bazu?

Završimo s komadom.

*Prethodno sam obećao da ću vam dati formalno objašnjenje glavne osobine razlomka kroz proizvod, molim vas:

3. Podjela razlomaka.

Dijeljenje razlomaka se svodi na njihovo množenje. Ovdje je važno zapamtiti da se razlomak koji je djelitelj (onaj s kojim se dijeli) okreće i radnja se mijenja u množenje:

Ova radnja se može napisati u obliku takozvanog razlomka sa četiri sprata, jer se sama podjela „:“ može napisati i kao razlomak:

primjeri:

To je sve! Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

Online kalkulator.
Procijenite izraz s brojčanim razlomcima.
Množenje, oduzimanje, dijeljenje, sabiranje i smanjenje razlomaka s različitim nazivnicima.

Pomoću ovog online kalkulatora možete množe, oduzimaju, dijele, sabiraju i smanjuju razlomke s različitim nazivnicima.

Program radi sa pravilnim, nepravilnim i mešovitim razlomcima.

Ovaj program (online kalkulator) može:
- izvršiti sabiranje mješovitih razlomaka sa različitim nazivnicima
- izvršiti oduzimanje mješovitih razlomaka sa različitim nazivnicima
- podijeliti mješovite razlomke s različitim nazivnicima
- množenje mješovitih razlomaka s različitim nazivnicima
- svesti razlomke na zajednički nazivnik
- pretvoriti miješane razlomke u nepravilne razlomke
- smanjiti razlomke

Također možete unijeti ne izraz sa razlomcima, već jedan jedini razlomak.
U tom slučaju, razlomak će se smanjiti i cijeli dio će se odvojiti od rezultata.

Online kalkulator za izračunavanje izraza s brojčanim razlomcima ne daje samo odgovor na problem, on pruža detaljno rješenje sa objašnjenjima, tj. prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj program može biti od koristi srednjoškolcima u opšteobrazovnim školama prilikom priprema za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, kao i roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.

Ako niste upoznati s pravilima za unos izraza s brojčanim razlomcima, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos izraza s brojčanim razlomcima

Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Ulaz: -2/3 + 7/5
Rezultat: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &
Ulaz: -1&2/3 * 5&8/3
Rezultat: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

Podjela razlomaka se uvodi znakom debelog crijeva: :
Ulaz: -9&37/12: -3&5/14
Rezultat: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Zapamtite da ne možete dijeliti sa nulom!

Možete koristiti zagrade kada unosite izraze s brojčanim razlomcima.
Unos: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Rezultat: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

Unesite izraz koristeći numeričke razlomke.

Izračunati

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Obični razlomci. Podjela s ostatkom

Ako trebamo 497 podijeliti sa 4, onda ćemo prilikom dijeljenja vidjeti da 497 nije jednako djeljivo sa 4, tj. ostatak divizije ostaje. U takvim slučajevima se kaže da je završeno podjela sa ostatkom, a rješenje se piše na sljedeći način:
497: 4 = 124 (1 ostatak).

Komponente dijeljenja na lijevoj strani jednakosti nazivaju se isto kao i kod dijeljenja bez ostatka: 497 - dividenda, 4 - razdjelnik. Rezultat dijeljenja kada se podijeli s ostatkom se zove nepotpuno privatno. U našem slučaju, ovo je broj 124. I na kraju, zadnja komponenta, koja nije u običnom podjeli, je ostatak. U slučajevima kada nema ostatka, kaže se da je jedan broj podijeljen drugim bez traga ili potpuno. Vjeruje se da je s takvom podjelom ostatak nula. U našem slučaju, ostatak je 1.

Ostatak je uvijek manji od djelitelja.

Dijeljenje se može provjeriti množenjem. Ako, na primjer, postoji jednakost 64: 32 = 2, onda se provjera može izvršiti ovako: 64 = 32 * 2.

Često u slučajevima kada se vrši dijeljenje s ostatkom, zgodno je koristiti jednakost
a = b * n + r,
gdje je a dividenda, b je djelitelj, n je parcijalni količnik, r je ostatak.

Količnik prirodnih brojeva može se napisati kao razlomak.

Brojnik razlomka je dividenda, a nazivnik je djelitelj.

Pošto je brojnik razlomka dividenda, a imenilac djelitelj, vjeruju da linija razlomka znači akciju dijeljenja. Ponekad je zgodno pisati deljenje kao razlomak bez upotrebe znaka ":".

Kvocijent dijeljenja prirodnih brojeva m i n može se zapisati kao razlomak \(\frac(m)(n) \), gdje je brojnik m dividenda, a nazivnik n djelitelj:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Tačna su sljedeća pravila:

Da biste dobili razlomak \(\frac(m)(n)\), trebate podijeliti jedinicu na n jednakih dijelova (udjela) i uzeti m takvih dijelova.

Da biste dobili razlomak \(\frac(m)(n)\), trebate broj m podijeliti brojem n.

Da biste pronašli dio cjeline, trebate podijeliti broj koji odgovara cjelini sa nazivnikom i rezultat pomnožiti s brojnikom razlomka koji izražava ovaj dio.

Da biste pronašli cjelinu iz njenog dijela, trebate podijeliti broj koji odgovara ovom dijelu s brojnikom i rezultat pomnožiti sa nazivnikom razlomka koji izražava ovaj dio.

Ako se i brojnik i nazivnik razlomka pomnože istim brojem (osim nule), vrijednost razlomka se neće promijeniti:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ako su i brojnik i nazivnik razlomka podijeljeni istim brojem (osim nule), vrijednost razlomka se neće promijeniti:
\(\veliki \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ovo svojstvo se zove glavno svojstvo razlomka.

Posljednje dvije transformacije se zovu smanjenje razlomka.

Ako razlomke treba predstaviti kao razlomke sa istim nazivnikom, onda se ova radnja poziva svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Pravilni i nepravilni razlomci. Mješoviti brojevi

Već znate da se razlomak može dobiti ako se cjelina podijeli na jednake dijelove i uzme nekoliko takvih dijelova. Na primjer, razlomak \(\frac(3)(4)\) znači tri četvrtine jedan. U mnogim problemima iz prethodnog paragrafa, razlomci su korišteni za predstavljanje dijelova cjeline. Zdrav razum nalaže da dio uvijek treba biti manji od cjeline, ali šta je sa razlomcima kao što su \(\frac(5)(5)\) ili \(\frac(8)(5)\)? Jasno je da ovo više nije dio jedinice. Vjerovatno se zato nazivaju razlomci čiji je brojilac veći ili jednak nazivniku nepravilni razlomci. Preostali razlomci, odnosno razlomci čiji je brojilac manji od nazivnika, nazivaju se tačne razlomke.

Kao što znate, svaki obični razlomak, i pravilan i nepravilan, može se smatrati rezultatom dijeljenja brojnika sa nazivnikom. Dakle, u matematici, za razliku od običnog jezika, izraz „nepravilan razlomak“ ne znači da smo nešto pogriješili, već samo da je brojnik ovog razlomka veći ili jednak nazivniku.

Ako se broj sastoji od cijelog broja i razlomka, onda je takav razlomci se nazivaju mješoviti.

Na primjer:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 je cijeli broj, a \(\frac(2)(3) \) je razlomak.

Ako je brojilac razlomka \(\frac(a)(b)\) djeljiv prirodnim brojem n, tada da bi se ovaj razlomak podijelio s n, njegov brojnik mora biti podijeljen ovim brojem:
\(\veliki \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ako brojilac razlomka \(\frac(a)(b)\) nije djeljiv prirodnim brojem n, tada da biste podijelili ovaj razlomak sa n, morate njegov nazivnik pomnožiti s ovim brojem:
\(\veliki \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Imajte na umu da je i drugo pravilo tačno kada je brojilac djeljiv sa n. Stoga ga možemo koristiti kada je na prvi pogled teško odrediti da li je brojnik razlomka djeljiv sa n ili ne.

Radnje sa razlomcima. Sabiranje razlomaka.

Možete izvoditi aritmetičke operacije sa razlomcima, baš kao i sa prirodnim brojevima. Pogledajmo prvo sabiranje razlomaka. Lako je sabirati razlomke sa sličnim nazivnicima. Nađimo, na primjer, zbir \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3)(7)\). Lako je shvatiti da je \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojnike i ostavite nazivnik isti.

Koristeći slova, pravilo za sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima može se napisati na sljedeći način:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ako trebate sabrati razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na zajednički nazivnik. Na primjer:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Za razlomke, kao i za prirodne brojeve, vrijede komutativna i asocijativna svojstva sabiranja.

Dodavanje miješanih frakcija

Pozivaju se oznake kao što su \(2\frac(2)(3)\). miješane frakcije. U ovom slučaju se poziva broj 2 cijeli dio mješoviti razlomak, a broj \(\frac(2)(3)\) je njegov frakcijski dio. Unos \(2\frac(2)(3)\) se čita na sljedeći način: "dvije i dvije trećine."

Kada podijelite broj 8 sa brojem 3, možete dobiti dva odgovora: \(\frac(8)(3)\) i \(2\frac(2)(3)\). Oni izražavaju isti razlomak, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Dakle, nepravilni razlomak \(\frac(8)(3)\) je predstavljen kao mješoviti razlomak \(2\frac(2)(3)\). U takvim slučajevima to kažu iz nepravilnog razlomka istakao ceo deo.

Oduzimanje razlomaka (razlomačkih brojeva)

Oduzimanje razlomaka, kao i prirodnih brojeva, određuje se na osnovu akcije sabiranja: oduzimanje drugog od jednog broja znači pronalaženje broja koji, kada se doda drugom, daje prvi. Na primjer:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) jer \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Pravilo za oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima je slično pravilu za sabiranje takvih razlomaka:
Da biste pronašli razliku između razlomaka sa istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojnik drugog od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti.

Koristeći slova, ovo pravilo se piše ovako:
\(\veliki \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Množenje razlomaka

Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike i prvi proizvod napisati kao brojilac, a drugi kao imenilac.

Koristeći slova, pravilo za množenje razlomaka može se napisati na sljedeći način:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Koristeći formulirano pravilo, možete pomnožiti razlomak prirodnim brojem, mješovitim razlomkom, a također i mješovite razlomke. Da biste to učinili, trebate napisati prirodni broj kao razlomak s nazivnikom 1, mješoviti razlomak - kao nepravilan razlomak.

Rezultat množenja treba pojednostaviti (ako je moguće) smanjenjem razlomka i izolacijom cijelog dijela nepravilnog razlomka.

Za razlomke, kao i za prirodne brojeve, vrijede komutativna i kombinativna svojstva množenja, kao i distributivna svojstva množenja u odnosu na sabiranje.

Podjela razlomaka

Uzmimo razlomak \(\frac(2)(3)\) i "okrenimo" ga, zamjenjujući brojnik i imenilac. Dobijamo razlomak \(\frac(3)(2)\). Ovaj razlomak se zove obrnuto razlomci \(\frac(2)(3)\).

Ako sada "obrnemo" razlomak \(\frac(3)(2)\), dobićemo originalni razlomak \(\frac(2)(3)\). Stoga se razlomci kao što su \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) nazivaju međusobno inverzno.

Na primjer, razlomci \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac (18) )(7)\).

Koristeći slova, recipročni razlomci se mogu napisati na sljedeći način: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)

To je jasno proizvod recipročnih razlomaka jednak je 1. Na primjer: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Koristeći recipročne razlomke, dijeljenje razlomaka možete svesti na množenje.

Pravilo za dijeljenje razlomka sa razlomkom je:
Da biste podijelili jedan razlomak drugim, trebate pomnožiti dividendu recipročnom vrijednosti djelitelja.

Kalkulator razlomaka dizajniran za brzo izračunavanje operacija s razlomcima, pomoći će vam da lako dodajete, množite, dijelite ili oduzimate razlomke.

Moderni školarci počinju učiti razlomke već u 5. razredu, a vježbe s njima postaju sve složenije svake godine. Matematički pojmovi i količine koje učimo u školi rijetko nam mogu biti od koristi u odraslom životu. Međutim, razlomci se, za razliku od logaritma i stepena, prilično često sreću u svakodnevnom životu (mjerenje udaljenosti, vaganje robe itd.). Naš kalkulator je dizajniran za brze operacije sa razlomcima.

Prvo, hajde da definišemo šta su razlomci i šta su. Razlomci su omjer jednog broja prema drugom, to je broj koji se sastoji od cijelog broja razlomaka jedinice.

Vrste razlomaka:

• Obicno
• Decimala
• Miješano

Primjer obični razlomci:

Gornja vrijednost je brojilac, donja je imenilac. Crtica nam pokazuje da je gornji broj djeljiv sa donjim. Umjesto ovog formata pisanja, kada je crtica horizontalna, možete pisati drugačije. Možete staviti nagnutu liniju, na primjer:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Decimale su najpopularniji tip razlomaka. Sastoje se od cijelog broja i razlomka, odvojenih zarezom.

Primjer decimalnih razlomaka:

0,2 ili 6,71 ili 0,125

Sastoje se od cijelog broja i razlomka. Da biste saznali vrijednost ovog razlomka, trebate sabrati cijeli broj i razlomak.

Primjer miješanih frakcija:

Kalkulator razlomaka na našoj web stranici može brzo izvesti sve matematičke operacije s razlomcima na mreži:

• Dodatak
• Oduzimanje
• Množenje
• Division

Da biste izvršili proračun, potrebno je da unesete brojeve u polja i odaberete radnju. Za razlomke treba popuniti brojilac i nazivnik možda neće biti napisan cijeli broj (ako je razlomak običan). Ne zaboravite da kliknete na dugme "jednako".

Zgodno je da kalkulator odmah daje proces rješavanja primjera s razlomcima, a ne samo gotov odgovor. Zahvaljujući detaljnom rješenju ovaj materijal možete koristiti za rješavanje školskih problema i bolje savladavanje obrađenog gradiva.

Morate izvršiti primjer izračunavanja:

Nakon unosa indikatora u polja obrasca, dobijamo:

Da biste napravili vlastiti proračun, unesite podatke u obrazac.

Kalkulator razlomaka

Unesite dva razlomka:

		+ - * :

Povezani odjeljci.

Povratak