Krug je kriva linija koja zatvara krug. U geometriji su oblici ravni, pa se definicija odnosi na dvodimenzionalnu sliku. Pretpostavlja se da se sve tačke ove krive nalaze na jednakoj udaljenosti od centra kružnice.
Krug ima nekoliko karakteristika na osnovu kojih se vrše proračuni vezani za ovu geometrijsku figuru. To uključuje: prečnik, radijus, površinu i obim. Ove karakteristike su međusobno povezane, odnosno za njihovo izračunavanje dovoljne su informacije o barem jednoj od komponenti. Na primjer, znajući samo polumjer geometrijske figure, možete koristiti formulu da pronađete obim, prečnik i površinu.
- Polumjer kružnice je segment unutar kruga povezan s njegovim središtem.
- Prečnik je segment unutar kruga koji povezuje njegove tačke i prolazi kroz centar. U suštini, prečnik je dva radijusa. Upravo ovako izgleda formula za njegovo izračunavanje: D=2r.
- Postoji još jedna komponenta kruga - tetiva. Ovo je prava linija koja spaja dvije tačke na kružnici, ali ne prolazi uvijek kroz centar. Dakle, tetiva koja prolazi kroz nju naziva se i prečnik.
Kako saznati obim? Hajde sada da saznamo.
Obim: formula
Za označavanje ove karakteristike odabrano je latinično slovo p. Arhimed je također dokazao da je omjer obima kruga i njegovog prečnika isti broj za sve krugove: to je broj π, koji je približno jednak 3,14159. Formula za izračunavanje π je: π = p/d. Prema ovoj formuli, vrijednost p je jednaka πd, odnosno obima: p= πd. Pošto je d (prečnik) jednak dvama poluprečnikom, ista formula za obim se može napisati kao p=2πr. Razmotrimo primenu formule koristeći jednostavne probleme kao primer:
Problem 1
U podnožju Car-zvona prečnik je 6,6 metara. Koliki je obim osnove zvona?
- Dakle, formula za izračunavanje kruga je p= πd
- Zamijenite postojeću vrijednost u formulu: p=3,14*6,6= 20,724
Odgovor: Obim osnove zvona je 20,7 metara.
Problem 2
Umjetni satelit Zemlje rotira na udaljenosti od 320 km od planete. Poluprečnik Zemlje je 6370 km. Kolika je dužina kružne orbite satelita?
- 1. Izračunajte radijus kružne orbite Zemljinog satelita: 6370+320=6690 (km)
- 2. Izračunajte dužinu kružne orbite satelita koristeći formulu: P=2πr
- 3.P=2*3.14*6690=42013.2
Odgovor: dužina kružne orbite Zemljinog satelita je 42013,2 km.
Metode za mjerenje obima
Izračunavanje obima kruga se ne koristi često u praksi. Razlog tome je približna vrijednost broja π. U svakodnevnom životu, za pronalaženje dužine kruga, koristi se poseban uređaj - curvimetar. Na krugu je označena proizvoljna početna tačka i uređaj se od nje vodi striktno duž linije sve dok ponovo ne stignu do te tačke.
Kako pronaći obim kruga? Samo trebate zadržati jednostavne formule za izračunavanje u svojoj glavi.
Krug se sastoji od mnogo tačaka koje su na jednakoj udaljenosti od centra. Ovo je ravna geometrijska figura i nije teško pronaći njegovu dužinu. Čovjek se svakodnevno susreće s krugom i krugom, bez obzira u kojoj oblasti radi. Mnogo povrća i voća, uređaji i mehanizmi, posuđe i namještaj su okruglog oblika. Krug je skup tačaka koje se nalaze unutar granica kružnice. Dakle, dužina figure jednaka je obodu kruga.
Karakteristike figure
Osim što je opis koncepta kruga prilično jednostavan, njegove karakteristike su također lako razumljive. Uz njihovu pomoć možete izračunati njegovu dužinu. Unutrašnji dio kruga sastoji se od mnogo tačaka, među kojima se dvije - A i B - mogu vidjeti pod pravim uglom. Ovaj segment se naziva prečnik, sastoji se od dva radijusa.
Unutar kruga postoje tačke X takve, koji se ne mijenja i nije jednak jedinici, omjer AX/BX. U krugu ovaj uslov mora biti ispunjen, inače ova figura nema oblik kruga. Svaka tačka koja čini figuru podliježe sljedećem pravilu: zbir kvadrata udaljenosti od ove tačke do druge dvije uvijek prelazi polovinu dužine segmenta između njih.
Osnovni pojmovi kruga
Da biste mogli pronaći dužinu figure, morate znati osnovne pojmove koji se odnose na nju. Glavni parametri figure su promjer, polumjer i tetiva. Polumjer je segment koji povezuje centar kruga sa bilo kojom tačkom na njegovoj krivulji. Veličina tetive jednaka je udaljenosti između dvije tačke na krivulji figure. Prečnik - rastojanje između tačaka, prolazeći kroz centar figure.
Osnovne formule za proračune
Parametri se koriste u formulama za izračunavanje dimenzija kruga:
Prečnik u formulama za proračun
U ekonomiji i matematici često postoji potreba da se pronađe obim kruga. Ali u svakodnevnom životu možete naići na ovu potrebu, na primjer, kada gradite ogradu oko okruglog bazena. Kako izračunati obim kruga po prečniku? U ovom slučaju koristite formulu C = π*D, gdje je C željena vrijednost, D je prečnik.
Na primjer, širina bazena je 30 metara, a planirano je postavljanje stupova ograde na udaljenosti od deset metara od njega. U ovom slučaju, formula za izračunavanje prečnika je: 30+10*2 = 50 metara. Potrebna vrijednost (u ovom primjeru, dužina ograde): 3,14*50 = 157 metara. Ako stupovi ograde stoje na udaljenosti od tri metra jedan od drugog, tada će ih biti potrebno ukupno 52.
Proračun radijusa
Kako izračunati obim kruga iz poznatog polumjera? Da biste to učinili, koristite formulu C = 2*π*r, gdje je C dužina, r je polumjer. Radijus u krugu je polovina prečnika, a ovo pravilo može biti korisno u svakodnevnom životu. Na primjer, u slučaju pripreme pite u kliznom obliku.
Da se kulinarski proizvod ne zaprlja, potrebno je koristiti ukrasni omot. Kako izrezati papirni krug odgovarajuće veličine?
Oni koji su malo upoznati s matematikom razumiju da u ovom slučaju trebate pomnožiti broj π sa dvostrukim polumjerom oblika koji se koristi. Na primjer, promjer oblika je 20 centimetara, odnosno njegov radijus je 10 centimetara. Koristeći ove parametre, pronađena je potrebna veličina kruga: 2*10*3, 14 = 62,8 centimetara.
Zgodne metode izračunavanja
Ako nije moguće pronaći obim pomoću formule, tada biste trebali koristiti dostupne metode za izračunavanje ove vrijednosti:
- Ako je okrugli predmet mali, njegovu dužinu možete pronaći pomoću užeta koji je jednom omotan oko njega.
- Veličina velikog predmeta mjeri se na sljedeći način: konopac se polaže na ravnu površinu, a po njemu se jednom kotrlja krug.
- Savremeni studenti i školarci koriste kalkulatore za proračune. Na mreži možete saznati nepoznate količine koristeći poznate parametre.
Okrugli predmeti u istoriji ljudskog života
Prvi proizvod okruglog oblika koji je čovjek izumio bio je točak. Prve konstrukcije su bile male okrugle balvane postavljene na osovinu. Zatim su došli točkovi od drvenih krakova i felgi. Postupno su se proizvodu dodavali metalni dijelovi kako bi se smanjilo habanje. Upravo kako bi saznali dužinu metalnih traka za presvlake kotača, naučnici prošlih stoljeća tražili su formulu za izračunavanje ove vrijednosti.
Grnčarsko kolo ima oblik točka, većina dijelova u složenim mehanizmima, izvedbama vodenih mlinova i kotača. U građevinarstvu se često nalaze okrugli predmeti - okviri okruglih prozora u romaničkom arhitektonskom stilu, prozori na brodovima. Arhitekte, inženjeri, naučnici, mehaničari i dizajneri svakodnevno se u svojim profesionalnim aktivnostima suočavaju s potrebom izračunavanja dimenzija kruga.
Bez obzira u kojoj sferi ekonomije osoba radi, svjesno ili nesvjesno koristi se matematičkim znanjem nagomilanim tokom mnogih stoljeća. Svaki dan nailazimo na uređaje i mehanizme koji sadrže krugove. Točak je okruglog oblika, pizza, mnogo povrća i voća formiraju krug kada se seku, kao i tanjiri, šolje i još mnogo toga. Međutim, ne znaju svi kako pravilno izračunati obim.
Da biste izračunali obim kruga, prvo morate zapamtiti šta je krug. Ovo je skup svih tačaka ravni jednako udaljenih od ove. A krug je geometrijsko mjesto tačaka na ravni koja se nalazi unutar kruga. Iz navedenog slijedi da su obim kruga i obim jedno te isto.
Metode za pronalaženje obima kruga
Osim matematičke metode pronalaženja perimetra kruga, postoje i praktične.
- Uzmite uže ili gajtan i omotajte ga jednom.
- Zatim izmjerite uže, rezultirajući broj će biti obim.
- Okrenite okrugli predmet jednom i izbrojite dužinu putanje. Ako je predmet vrlo mali, možete ga nekoliko puta omotati špagom, zatim odmotati konac, izmjeriti i podijeliti na broj okreta.
- Pronađite traženu vrijednost koristeći formulu:
L = 2πr = πD ,
gdje je L potrebna dužina;
π – konstanta, približno jednaka 3,14 r – poluprečnik kruga, udaljenost od njegovog centra do bilo koje tačke;
D je prečnik, jednak je dva poluprečnika.
Primjena formule za pronalaženje obima kruga
- Primjer 1: Traka za trčanje se kreće oko kruga polumjera 47,8 metara. Pronađite dužinu ove trake za trčanje, uzimajući π = 3,14.
L = 2πr =2*3,14*47,8 ≈ 300(m)
Odgovor: 300 metara
- Primjer 2. Točak bicikla, okrenuvši se 10 puta, prešao je 18,85 metara. Pronađite polumjer točka.
18,85: 10 =1,885 (m) je obim točka.
1.885: π = 1.885: 3.1416 ≈ 0.6(m) – potreban prečnik
Odgovor: prečnik točka 0,6 metara
Neverovatan broj pi
Unatoč prividnoj jednostavnosti formule, mnogima je iz nekog razloga teško zapamtiti je. Očigledno, to je zbog činjenice da formula sadrži iracionalan broj π, koji nije prisutan u formulama za površinu drugih figura, na primjer, kvadrata, trokuta ili romba. Samo trebate zapamtiti da je to konstanta, odnosno konstanta koja znači omjer opsega i promjera. Prije otprilike 4 hiljade godina ljudi su primijetili da je omjer perimetra kruga i njegovog polumjera (ili prečnika) isti za sve krugove.
Stari Grci su aproksimirali broj π s razlomkom 22/7. Dugo vremena se π računalo kao prosjek između dužina upisanog i opisanog poligona u krugu. U trećem veku nove ere, kineski matematičar je izvršio proračun za 3072-ugao i dobio približnu vrednost π = 3,1416. Mora se imati na umu da je π uvijek konstantan za bilo koji krug. Njegova oznaka grčkim slovom π pojavila se u 18. vijeku. Ovo je prvo slovo grčkih riječi περιφέρεια - krug i περίμετρος - perimetar. U osamnaestom veku je dokazano da je ova veličina iracionalna, odnosno da se ne može predstaviti u obliku m/n, gde je m ceo broj, a n prirodan broj.
Krug se u svakodnevnom životu sreće ne manje često od pravougaonika. I za mnoge ljude, problem kako izračunati obim je težak. I sve zato što nema uglove. Da su dostupni, sve bi postalo mnogo lakše.
Šta je krug i gdje se javlja?
Ova ravna figura predstavlja broj tačaka koje se nalaze na istoj udaljenosti od druge, koja je centar. Ova udaljenost se naziva radijus.
U svakodnevnom životu nije često potrebno izračunati obim kruga, osim za ljude koji su inženjeri i dizajneri. Oni kreiraju dizajn mehanizama koji koriste, na primjer, zupčanike, otvore i kotače. Arhitekti stvaraju kuće sa okruglim ili lučnim prozorima.
Svaki od ovih i drugih slučajeva zahtijeva svoju preciznost. Štaviše, pokazalo se da je nemoguće apsolutno precizno izračunati obim. To je zbog beskonačnosti glavnog broja u formuli. "Pi" se još dorađuje. A najčešće se koristi zaokružena vrijednost. Stepen tačnosti se bira da bi se dao najtačniji odgovor.
Oznake količina i formule
Sada je lako odgovoriti na pitanje kako izračunati obim kruga po polumjeru za to će vam trebati sljedeća formula:
Budući da su polumjer i promjer međusobno povezani, postoji još jedna formula za proračun. Pošto je radijus dva puta manji, izraz će se neznatno promijeniti. A formula kako izračunati obim kruga, znajući prečnik, bit će sljedeća:
l = π * d.
Šta ako trebate izračunati obim kruga?
Samo zapamtite da krug uključuje sve tačke unutar kruga. To znači da se njegov perimetar poklapa s njegovom dužinom. I nakon izračunavanja obima, stavite znak jednakosti s perimetrom kruga.
Usput, njihove oznake su iste. Ovo se odnosi na radijus i prečnik, a perimetar je latinično slovo P.
Primjeri zadataka
Zadatak jedan
Stanje. Odredite dužinu kruga čiji je poluprečnik 5 cm.
Rješenje. Ovdje nije teško razumjeti kako izračunati obim. Samo trebate koristiti prvu formulu. Pošto je radijus poznat, sve što trebate učiniti je zamijeniti vrijednosti i izračunati. 2 pomnožen radijusom od 5 cm daje 10. Ostaje samo da se pomnoži sa vrijednošću π. 3,14 * 10 = 31,4 (cm).
odgovor: l = 31,4 cm.
Zadatak dva
Stanje. Postoji točak čiji je obim poznat i jednak je 1256 mm. Potrebno je izračunati njegov radijus.
Rješenje. U ovom zadatku morat ćete koristiti istu formulu. Ali samo poznatu dužinu treba podijeliti s umnoškom 2 i π. Ispada da će proizvod dati rezultat: 6,28. Nakon dijeljenja, preostali broj je: 200. Ovo je željena vrijednost.
odgovor: r = 200 mm.
Zadatak tri
Stanje. Izračunajte prečnik ako je poznat obim kruga, a to je 56,52 cm.
Rješenje. Slično prethodnom problemu, moraćete da podelite poznatu dužinu sa vrednošću π, zaokruženu na najbližu stotu. Kao rezultat ove akcije, dobije se broj 18.
odgovor: d = 18 cm.
Problem četiri
Stanje. Kazaljke sata su dugačke 3 i 5 cm. Potrebno je izračunati dužine krugova koji opisuju njihove krajeve.
Rješenje. Budući da se strelice poklapaju s polumjerima krugova, potrebna je prva formula. Morate ga koristiti dva puta.
Za prvu dužinu, proizvod će se sastojati od faktora: 2; 3.14 i 3. Rezultat će biti 18.84 cm.
Za drugi odgovor potrebno je pomnožiti 2, π i 5. Proizvod će dati broj: 31,4 cm.
odgovor: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.
Zadatak peti
Stanje. Vjeverica trči u kotaču prečnika 2 m Koliko daleko pretrči u jednom punom okretu točka?
Rješenje. Ova udaljenost je jednaka obimu. Stoga morate koristiti odgovarajuću formulu. Naime, pomnoženjem vrijednosti π i 2 m dobije se rezultat: 6,28 m.
odgovor: Vjeverica trči 6,28 m.
Krug je zatvorena kriva čije su sve tačke na istoj udaljenosti od centra. Ova cifra je ravna. Stoga je rješenje problema, čije je pitanje kako pronaći obim, prilično jednostavno. U današnjem članku ćemo pogledati sve dostupne metode.
Opisi slika
Pored prilično jednostavne deskriptivne definicije, postoje još tri matematičke karakteristike kruga, koje same po sebi sadrže odgovor na pitanje kako pronaći obim:
- Sastoji se od tačaka A i B i svih ostalih iz kojih se AB vidi pod pravim uglom. Prečnik ove figure jednak je dužini segmenta koji se razmatra.
- Uključuje samo one tačke X takve da je omjer AX/BX konstantan i nije jednak jedinici. Ako ovaj uslov nije ispunjen, onda to nije krug.
- Sastoji se od tačaka, za svaku od kojih vrijedi sljedeća jednakost: zbir kvadrata udaljenosti do druge dvije je zadana vrijednost, koja je uvijek veća od polovine dužine odsječka između njih.
Terminologija
Nisu svi u školi imali dobrog nastavnika matematike. Stoga je odgovor na pitanje kako pronaći obim kruga dodatno kompliciran činjenicom da ne znaju svi osnovne geometrijske koncepte. Radijus je segment koji povezuje centar figure sa tačkom na krivulji. Poseban slučaj u trigonometriji je jedinični krug. Tetiva je segment koji spaja dvije tačke na krivulji. Na primjer, već razmatrani AB potpada pod ovu definiciju. Prečnik je tetiva koja prolazi kroz centar. Broj π jednak je dužini jediničnog polukruga.
Osnovne formule
Geometrijske formule direktno slijede iz definicija, koje vam omogućavaju da izračunate glavne karakteristike kruga:
- Dužina je jednaka proizvodu broja π i prečnika. Formula se obično piše na sljedeći način: C = π*D.
- Poluprečnik je jednak polovini prečnika. Može se izračunati i izračunavanjem količnika dijeljenja obima sa dvostrukim brojem π. Formula izgleda ovako: R = C/(2* π) = D/2.
- Prečnik je jednak količniku obima podeljen sa π ili dvostrukim poluprečnikom. Formula je prilično jednostavna i izgleda ovako: D = C/π = 2*R.
- Površina kruga jednaka je proizvodu π i kvadrata polumjera. Slično, prečnik se može koristiti u ovoj formuli. U ovom slučaju, površina će biti jednaka količniku proizvoda π i kvadrata prečnika podeljenog sa četiri. Formula se može napisati na sljedeći način: S = π*R 2 = π*D 2 /4.
Kako pronaći obim kruga po prečniku
Radi jednostavnosti objašnjenja, označimo slovima karakteristike figure potrebne za proračun. Neka je C željena dužina, D njen prečnik, a π približno jednako 3,14. Ako imamo samo jednu poznatu veličinu, onda se problem može smatrati riješenim. Zašto je to neophodno u životu? Pretpostavimo da odlučimo okružiti okrugli bazen ogradom. Kako izračunati potreban broj kolona? I ovdje u pomoć dolazi sposobnost izračunavanja obima. Formula je sljedeća: C = π D. U našem primjeru, prečnik se određuje na osnovu radijusa bazena i potrebne udaljenosti od ograde. Na primjer, pretpostavimo da je naš kućni vještački ribnjak širok 20 metara, a stupove ćemo postaviti na udaljenosti od deset metara od njega. Prečnik rezultirajućeg kruga je 20 + 10 * 2 = 40 m. Dužina je 3,14 * 40 = 125,6 metara. Trebat će nam 25 stupova ako je razmak između njih oko 5 m.
Dužina kroz radijus
Kao i uvijek, počnimo sa dodjeljivanjem slova karakteristikama kruga. U stvari, oni su univerzalni, tako da matematičari iz različitih zemalja ne moraju nužno da znaju jezike jedni drugih. Pretpostavimo da je C obim kruga, r njegov polumjer, a π je približno jednako 3,14. Formula u ovom slučaju izgleda ovako: C = 2*π*r. Očigledno, ovo je apsolutno tačna jednačina. Kao što smo već shvatili, prečnik kruga je jednak dvostrukom poluprečniku, pa ova formula izgleda ovako. U životu, ova metoda također često može biti od koristi. Na primjer, pečemo tortu u posebnom kliznom obliku. Da se ne zaprlja, potreban nam je ukrasni omot. Ali kako izrezati krug potrebne veličine. Tu matematika priskače u pomoć. Oni koji znaju kako saznati obim kruga odmah će reći da trebate pomnožiti broj π dvostrukim polumjerom oblika. Ako je njegov polumjer 25 cm, tada će dužina biti 157 centimetara.
Problemi sa uzorcima
Već smo pogledali nekoliko praktičnih slučajeva stečenog znanja o tome kako pronaći obim kruga. Ali često nas ne brinu oni, već pravi matematički problemi sadržani u udžbeniku. Uostalom, nastavnik daje bodove za njih! Dakle, pogledajmo složeniji problem. Pretpostavimo da je obim kruga 26 cm. Kako pronaći poluprečnik takve figure?
Primjer rješenja
Prvo, zapišimo šta nam je dato: C = 26 cm, π = 3,14. Također zapamtite formulu: C = 2* π*R. Iz njega možete izdvojiti polumjer kružnice. Dakle, R= C/2/π. Sada pređimo na stvarni proračun. Prvo podijelite dužinu sa dva. Dobijamo 13. Sada treba da podijelimo sa vrijednošću broja π: 13/3,14 = 4,14 cm Važno je da ne zaboravimo da napišemo odgovor tačno, odnosno sa mjernim jedinicama, inače cjelokupno praktično značenje takvi problemi su izgubljeni. Osim toga, za takvu nepažnju možete dobiti ocjenu jedan bod niže. I koliko god to bilo neugodno, morat ćete podnijeti ovakvo stanje stvari.
Zvijer nije tako strašna kao što je naslikana
Tako smo se nosili sa tako teškim zadatkom na prvi pogled. Kako se ispostavilo, samo trebate razumjeti značenje pojmova i zapamtiti nekoliko jednostavnih formula. Matematika nije toliko strašna, samo se treba malo potruditi. Dakle, geometrija vas čeka!