Neka su data dva boda M 1 (x 1,y 1) I M 2 (x 2,y 2). Zapišimo jednačinu prave u obliku (5), gdje je k još nepoznati koeficijent:

Od tačke M 2 pripada datoj pravoj, tada njene koordinate zadovoljavaju jednačinu (5): . Izražavajući odavde i zamenjujući je u jednačinu (5), dobijamo traženu jednačinu:

Ako ova jednačina se može prepisati u obliku koji je pogodniji za pamćenje:

(6)

Primjer. Zapišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M 1 (1,2) i M 2 (-2,3)

Rješenje. . Koristeći svojstvo proporcije i izvodeći potrebne transformacije, dobijamo opštu jednačinu prave:

Ugao između dvije prave linije

Razmotrite dvije ravne linije l 1 I l 2:

l 1: , , I

l 2: , ,

φ je ugao između njih (). Sa slike 4 je jasno: .

Odavde , ili

Pomoću formule (7) možete odrediti jedan od uglova između pravih linija. Drugi ugao je jednak .

Primjer. Dvije prave su date jednadžbama y=2x+3 i y=-3x+2. pronađite ugao između ovih linija.

Rješenje. Iz jednačina je jasno da je k 1 =2, a k 2 =-3. Zamjenom ovih vrijednosti u formulu (7) nalazimo

. Dakle, ugao između ovih linija je jednak .

Uslovi za paralelnost i okomitost dvije prave

Ako je ravno l 1 I l 2 onda su paralelne φ=0 I tgφ=0. iz formule (7) slijedi da , odakle k 2 =k 1. Dakle, uvjet za paralelnost dvije prave je jednakost njihovih ugaonih koeficijenata.

Ako je ravno l 1 I l 2 su onda okomite φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Dakle, uslov za okomitost dvije prave je da su njihovi ugaoni koeficijenti inverzni po veličini i suprotni po predznaku.

Udaljenost od tačke do linije

Teorema. Ako je data tačka M(x 0, y 0), tada se udaljenost do prave Ax + Bu + C = 0 određuje kao

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu liniju. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 se mogu naći rješavanjem sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na datu pravu.

Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomite.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, prave su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Naći jednadžbu visine povučene iz vrha C.

Pronalazimo jednačinu stranice AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Tražena jednačina visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k= . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3x + 2y – 34 = 0.

Udaljenost od tačke do prave određena je dužinom okomice povučene od tačke do prave.

Ako je prava paralelna sa ravninom projekcije (h | | P 1), zatim da bi se odredila udaljenost od tačke A na pravu liniju h potrebno je spustiti okomicu iz tačke A do horizontale h.

Razmotrimo složeniji primjer, kada prava linija zauzima opći položaj. Neka je potrebno odrediti udaljenost od tačke M na pravu liniju A opšti položaj.

Zadatak utvrđivanja udaljenosti između paralelnih linija rješava se slično kao i prethodni. Tačka se uzima na jednoj pravoj i okomita se spušta sa nje na drugu pravu. Dužina okomice jednaka je udaljenosti između paralelnih linija.

Kriva drugog reda je prava definisana jednadžbom drugog stepena u odnosu na trenutne kartezijanske koordinate. U opštem slučaju, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

gdje su A, B, C, D, E, F realni brojevi i barem jedan od brojeva A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Krug

Centar kruga– ovo je geometrijsko mjesto tačaka u ravni jednako udaljenih od tačke u ravni C(a,b).

Krug je dat sljedećom jednačinom:

Gdje su x,y koordinate proizvoljne tačke na kružnici, R je polumjer kružnice.

Znak jednačine kružnice

1. Nedostaje termin sa x, y

2. Koeficijenti za x 2 i y 2 su jednaki

Elipsa

Elipsa naziva se geometrijsko mjesto tačaka u ravni, a zbir udaljenosti svake od dvije date tačke ove ravni se naziva žarište (konstantna vrijednost).

Kanonska jednadžba elipse:

X i y pripadaju elipsi.

a – velika poluosa elipse

b – mala osa elipse

Elipsa ima 2 ose simetrije OX i OU. Osi simetrije elipse su njene ose, tačka njihovog preseka je centar elipse. Osa na kojoj se nalaze žarišta naziva se fokalna osa. Tačka preseka elipse sa osama je vrh elipse.

Omjer kompresije (zatezanja): ε = s/a– ekscentricitet (karakterizira oblik elipse), što je manji, to je elipsa manje produžena duž žižne ose.

Ako centri elipse nisu u centru C(α, β)

Hiperbola

Hiperbola naziva se geometrijski lokus tačaka u ravni, apsolutna vrijednost razlike udaljenosti, od kojih je svaka od dvije date tačke ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost različita od nule.

Kanonička hiperbola jednadžba

Hiperbola ima 2 ose simetrije:

a – realna poluosa simetrije

b – imaginarna poluosa simetrije

Asimptote hiperbole:

Parabola

Parabola je lokus tačaka u ravni jednako udaljenih od date tačke F, koja se zove fokus, i date prave, koja se zove direktrisa.

Kanonska jednadžba parabole:

U 2 =2rh, gdje je r udaljenost od fokusa do direktrise (parabola parametar)

Ako je vrh parabole C (α, β), onda je jednadžba parabole (y-β) 2 = 2r(x-α)

Ako se kao osa ordinata uzme fokalna os, tada će jednadžba parabole imati oblik: x 2 =2qu

Ovaj članak nastavlja temu jednačine prave na ravni: ovu vrstu jednadžbe ćemo smatrati općom jednačinom prave. Definirajmo teoremu i dajmo njen dokaz; Hajde da shvatimo šta je nepotpuna opšta jednačina prave i kako napraviti prelaze iz opšte jednačine u druge vrste jednačina prave. Cijelu teoriju ćemo pojačati ilustracijama i rješenjima praktičnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Neka je pravougaoni koordinatni sistem O x y specificiran na ravni.

Teorema 1

Svaka jednadžba prvog stepena, koja ima oblik A x + B y + C = 0, gdje su A, B, C neki realni brojevi (A i B nisu jednaki nuli u isto vrijeme), definira pravu liniju u pravougaoni koordinatni sistem na ravni. Zauzvrat, svaka prava linija u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni je određena jednadžbom koja ima oblik A x + B y + C = 0 za određeni skup vrijednosti A, B, C.

Dokaz

Ova teorema se sastoji od dvije tačke, svaku od njih ćemo dokazati.

1. Dokažimo da jednačina A x + B y + C = 0 definira pravu liniju na ravni.

Neka postoji neka tačka M 0 (x 0 , y 0) čije koordinate odgovaraju jednačini A x + B y + C = 0. Dakle: A x 0 + B y 0 + C = 0. Oduzmemo od leve i desne strane jednadžbe A x + B y + C = 0 levu i desnu stranu jednačine A x 0 + B y 0 + C = 0, dobićemo novu jednačinu koja izgleda kao A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . To je ekvivalentno A x + B y + C = 0.

Rezultirajuća jednačina A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je neophodan i dovoljan uslov za okomitost vektora n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Dakle, skup tačaka M (x, y) definira pravu liniju u pravokutnom koordinatnom sistemu okomitu na smjer vektora n → = (A, B). Možemo pretpostaviti da to nije tako, ali tada vektori n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ne bi bili okomiti, a jednakost A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ne bi bilo tačno.

Prema tome, jednadžba A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definira određenu pravu u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni, pa prema tome ekvivalentna jednačina A x + B y + C = 0 definira ista linija. Ovako smo dokazali prvi dio teoreme.

1. Izložimo dokaz da se svaka prava linija u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni može specificirati jednačinom prvog stepena A x + B y + C = 0.

Definirajmo pravu liniju a u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni; tačku M 0 (x 0 , y 0) kroz koju prolazi ova prava, kao i vektor normale ove prave n → = (A, B) .

Neka postoji i neka tačka M (x, y) - plutajuća tačka na pravoj. U ovom slučaju, vektori n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) su okomiti jedan na drugi, a njihov skalarni proizvod je nula:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepišimo jednačinu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definiramo C: C = - A x 0 - B y 0 i kao konačni rezultat dobijemo jednačinu A x + B y + C = 0.

Dakle, dokazali smo drugi dio teoreme, i dokazali smo cijelu teoremu u cjelini.

Definicija 1

Jednačina oblika A x + B y + C = 0 - Ovo opšta jednačina prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemuOxy.

Na osnovu dokazane teoreme možemo zaključiti da su prava linija i njena opšta jednačina definisana na ravni u fiksnom pravougaonom koordinatnom sistemu neraskidivo povezane. Drugim rečima, originalna linija odgovara njenoj opštoj jednačini; opšta jednačina prave odgovara datoj liniji.

Iz dokaza teoreme također slijedi da su koeficijenti A i B za varijable x i y koordinate vektora normale prave, koja je data opštom jednačinom prave A x + B y + C = 0.

Razmotrimo konkretan primjer opće jednadžbe prave linije.

Neka je data jednačina 2 x + 3 y - 2 = 0, koja odgovara pravoj liniji u datom pravougaonom koordinatnom sistemu. Vektor normale ove linije je vektor n → = (2, 3). Nacrtajmo zadatu pravu liniju na crtežu.

Možemo konstatovati i sledeće: prava linija koju vidimo na crtežu određena je opštom jednačinom 2 x + 3 y - 2 = 0, pošto koordinate svih tačaka na datoj pravoj liniji odgovaraju ovoj jednačini.

Možemo dobiti jednačinu λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 množenjem obe strane opšte jednačine prave brojem λ koji nije jednak nuli. Rezultirajuća jednačina je ekvivalentna originalnoj opštoj jednačini, stoga će opisivati ​​istu pravu liniju na ravni.

Definicija 2

Potpuna opšta jednačina prave– takva opšta jednačina prave A x + B y + C = 0, u kojoj su brojevi A, B, C različiti od nule. Inače je jednačina nepotpuna.

Hajde da analiziramo sve varijacije nepotpune opšte jednadžbe prave.

1. Kada je A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, opšta jednačina ima oblik B y + C = 0. Ovakva nepotpuna opšta jednačina definiše u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y pravu liniju koja je paralelna sa O x osom, jer će za bilo koju realnu vrednost x varijabla y uzeti vrednost - C B . Drugim riječima, opšta jednačina prave A x + B y + C = 0, kada je A = 0, B ≠ 0, određuje lokus tačaka (x, y), čije su koordinate jednake istom broju - C B .
2. Ako je A = 0, B ≠ 0, C = 0, opšta jednačina ima oblik y = 0. Ova nepotpuna jednadžba definira x-osu O x .
3. Kada je A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, dobijamo nepotpunu opštu jednačinu A x + C = 0, koja definiše pravu liniju paralelnu sa ordinatom.
4. Neka je A ≠ 0, B = 0, C = 0, tada će nepotpuna opšta jednačina poprimiti oblik x = 0, a ovo je jednačina koordinatne prave O y.
5. Konačno, za A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, nepotpuna opšta jednačina ima oblik A x + B y = 0. A ova jednadžba opisuje pravu liniju koja prolazi kroz ishodište. Zapravo, par brojeva (0, 0) odgovara jednakosti A x + B y = 0, pošto je A · 0 + B · 0 = 0.

Hajde da grafički ilustrujmo sve navedene tipove nepotpune opšte jednačine prave linije.

Primjer 1

Poznato je da je data prava paralelna sa ordinatnom osom i prolazi kroz tačku 2 7, - 11. Potrebno je zapisati opštu jednačinu date linije.

Rješenje

Prava linija paralelna sa ordinatnom osom data je jednadžbom oblika A x + C = 0, u kojoj je A ≠ 0. Uslov takođe specificira koordinate tačke kroz koju prava prolazi, a koordinate ove tačke ispunjavaju uslove nepotpune opšte jednačine A x + C = 0, tj. jednakost je tačna:

A 2 7 + C = 0

Iz njega je moguće odrediti C ako A damo neku vrijednost različitu od nule, na primjer, A = 7. U ovom slučaju dobijamo: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Znamo oba koeficijenta A i C, zamenimo ih u jednačinu A x + C = 0 i dobijemo traženu pravolinijsku jednačinu: 7 x - 2 = 0

odgovor: 7 x - 2 = 0

Primjer 2

Crtež pokazuje ravnu liniju koju trebate zapisati.

Rješenje

Dati crtež nam omogućava da lako uzmemo početne podatke za rješavanje problema. Na crtežu vidimo da je data prava paralelna sa O x osom i prolazi kroz tačku (0, 3).

Prava linija, koja je paralelna sa apscisom, određena je nepotpunom opštom jednačinom B y + C = 0. Nađimo vrijednosti B i C. Koordinate tačke (0, 3), pošto data prava prolazi kroz nju, zadovoljiće jednačinu prave B y + C = 0, tada važi jednakost: B · 3 + C = 0. Postavimo B na neku vrijednost osim nule. Recimo da je B = 1, u tom slučaju iz jednakosti B · 3 + C = 0 možemo naći C: C = - 3. Koristeći poznate vrijednosti B i C, dobijamo traženu jednačinu prave: y - 3 = 0.

odgovor: y - 3 = 0 .

Opšta jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u ravni

Neka data prava prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0), tada njene koordinate odgovaraju opštoj jednačini prave, tj. tačna je jednakost: A x 0 + B y 0 + C = 0. Oduzmimo lijevu i desnu stranu ove jednačine od lijeve i desne strane opće potpune jednačine prave. Dobijamo: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ova jednadžba je ekvivalentna originalnoj općoj, prolazi kroz tačku M 0 (x 0, y 0) i ima normalu vektor n → = (A, B) .

Rezultat koji smo dobili omogućava da se zapiše opšta jednačina prave sa poznatim koordinatama vektora normale prave i koordinatama određene tačke ove prave.

Primjer 3

Zadata tačka M 0 (- 3, 4) kroz koju prava prolazi i vektor normale ove prave n → = (1 , - 2) . Potrebno je zapisati jednačinu date linije.

Rješenje

Početni uslovi nam omogućavaju da dobijemo potrebne podatke za sastavljanje jednačine: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. onda:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problem je mogao biti riješen drugačije. Opšta jednačina prave linije je A x + B y + C = 0. Dati normalni vektor nam omogućava da dobijemo vrijednosti koeficijenata A i B, tada:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Sada pronađimo vrijednost C koristeći tačku M 0 (- 3, 4) određenu uslovom zadatka, kroz koju prolazi prava linija. Koordinate ove tačke odgovaraju jednačini x - 2 · y + C = 0, tj. - 3 - 2 4 + C = 0. Stoga je C = 11. Tražena pravolinijska jednačina ima oblik: x - 2 · y + 11 = 0.

odgovor: x - 2 y + 11 = 0 .

Primjer 4

Date su prava 2 3 x - y - 1 2 = 0 i tačka M 0 koja leži na ovoj pravoj. Poznata je samo apscisa ove tačke, koja je jednaka -3. Potrebno je odrediti ordinatu date tačke.

Rješenje

Označimo koordinate tačke M 0 kao x 0 i y 0 . Izvorni podaci pokazuju da je x 0 = - 3. Pošto tačka pripada datoj pravoj, njene koordinate odgovaraju opštoj jednačini ove prave. Tada će jednakost biti tačna:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definirajte y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

odgovor: - 5 2

Prijelaz sa opće jednadžbe prave na druge vrste jednačina prave i obrnuto

Kao što znamo, postoji nekoliko vrsta jednačina za istu pravu liniju na ravni. Izbor vrste jednačine zavisi od uslova problema; moguće je izabrati onaj koji je pogodniji za njegovo rješavanje. Ovdje je vrlo korisna vještina pretvaranja jednadžbe jednog tipa u jednačinu drugog tipa.

Prvo, razmotrimo prelazak sa opšte jednačine oblika A x + B y + C = 0 na kanonsku jednačinu x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Ako je A ≠ 0, onda pomičemo pojam B y na desnu stranu opće jednačine. Na lijevoj strani vadimo A iz zagrada. Kao rezultat, dobijamo: A x + C A = - B y.

Ova jednakost se može napisati kao proporcija: x + C A - B = y A.

Ako je B ≠ 0, ostavljamo samo pojam A x na lijevoj strani opće jednačine, ostale prenosimo na desnu, dobijamo: A x = - B y - C. Uzimamo – B iz zagrada, a zatim: A x = - B y + C B .

Prepišimo jednakost u obliku proporcije: x - B = y + C B A.

Naravno, nema potrebe pamtiti rezultirajuće formule. Dovoljno je poznavati algoritam radnji pri prelasku sa opšte jednadžbe na kanonsku.

Primjer 5

Data je opšta jednačina prave 3 y - 4 = 0. Potrebno ga je transformisati u kanonsku jednačinu.

Rješenje

Zapišimo originalnu jednačinu kao 3 y - 4 = 0. Zatim nastavljamo prema algoritmu: pojam 0 x ostaje na lijevoj strani; a na desnoj strani stavljamo - 3 iz zagrada; dobijamo: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Zapišimo rezultirajuću jednakost kao proporciju: x - 3 = y - 4 3 0 . Tako smo dobili jednačinu kanonskog oblika.

Odgovor: x - 3 = y - 4 3 0.

Za transformaciju opće jednačine prave u parametarsku, prvo se vrši prijelaz na kanonski oblik, a zatim prijelaz sa kanonske jednadžbe prave na parametarske jednačine.

Primjer 6

Prava linija je data jednačinom 2 x - 5 y - 1 = 0. Zapišite parametarske jednačine za ovu liniju.

Rješenje

Napravimo prijelaz sa opće jednadžbe na kanonsku:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Sada uzimamo obje strane rezultirajuće kanonske jednadžbe jednake λ, tada:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

odgovor:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Opšta jednačina se može pretvoriti u jednadžbu prave linije sa nagibom y = k · x + b, ali samo kada je B ≠ 0. Za prijelaz ostavljamo pojam B y na lijevoj strani, ostatak se prenosi na desnu. Dobijamo: B y = - A x - C . Podijelimo obje strane rezultirajuće jednakosti sa B, različitom od nule: y = - A B x - C B.

Primjer 7

Data je opšta jednačina prave: 2 x + 7 y = 0. Morate tu jednačinu pretvoriti u jednadžbu nagiba.

Rješenje

Izvršimo potrebne radnje prema algoritmu:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

odgovor: y = - 2 7 x .

Iz opšte jednačine prave dovoljno je jednostavno dobiti jednačinu u segmentima oblika x a + y b = 1. Da bismo napravili takav prijelaz, pomjerimo broj C na desnu stranu jednakosti, podijelimo obje strane rezultirajuće jednakosti sa – C i, na kraju, prenesemo koeficijente za varijable x i y na nazivnike:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Primjer 8

Opću jednačinu prave x - 7 y + 1 2 = 0 potrebno je transformisati u jednačinu prave u segmentima.

Rješenje

Pomaknimo 1 2 na desnu stranu: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Podijelimo obje strane jednakosti sa -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

odgovor: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Općenito, obrnuti prijelaz je također lak: sa drugih vrsta jednadžbi na opću.

Jednadžba prave u segmentima i jednadžba sa ugaonim koeficijentom mogu se lako pretvoriti u opću jednostavnim sakupljanjem svih članova na lijevoj strani jednakosti:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonska jednadžba se pretvara u opću prema sljedećoj shemi:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Da biste prešli sa parametarskih, prvo pređite na kanonski, a zatim na opšti:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Primjer 9

Date su parametarske jednačine prave x = - 1 + 2 · λ y = 4. Potrebno je zapisati opštu jednačinu ove linije.

Rješenje

Napravimo prijelaz sa parametarskih jednadžbi na kanonske:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pređimo sa kanonskog na generalno:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

odgovor: y - 4 = 0

Primjer 10

Zadata je jednačina prave linije u segmentima x 3 + y 1 2 = 1. Potrebno je prijeći na opći oblik jednačine.

Rješenje:

Jednostavno prepisujemo jednačinu u traženom obliku:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

odgovor: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sastavljanje opće jednačine prave

Gore smo rekli da se opšta jednačina može napisati sa poznatim koordinatama vektora normale i koordinatama tačke kroz koju prava prolazi. Takva prava linija je definisana jednačinom A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Tamo smo također analizirali odgovarajući primjer.

Pogledajmo sada složenije primjere, u kojima prvo trebamo odrediti koordinate vektora normale.

Primjer 11

Zadana je prava paralelna pravoj 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Poznata je i tačka M 0 (4, 1) kroz koju prolazi data prava. Potrebno je zapisati jednačinu date linije.

Rješenje

Početni uslovi nam govore da su prave paralelne, pa kao vektor normale prave, čiju jednačinu treba napisati, uzimamo vektor pravca n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Sada znamo sve potrebne podatke za kreiranje opće jednadžbe linije:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

odgovor: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Primjer 12

Data prava prolazi kroz ishodište okomito na pravu x - 2 3 = y + 4 5. Potrebno je napraviti opštu jednačinu za datu liniju.

Rješenje

Vektor normale date prave će biti vektor pravca x - 2 3 = y + 4 5.

Tada je n → = (3, 5) . Prava prolazi kroz ishodište, tj. kroz tačku O (0, 0). Kreirajmo opštu jednačinu za datu pravu liniju:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odgovori: 3 x + 5 y = 0 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Neka prava prolazi kroz tačke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednačina prave koja prolazi kroz tačku M 1 ima oblik y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Gdje k - još uvijek nepoznat koeficijent.

Kako prava prolazi kroz tačku M 2 (x 2 y 2), koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednačinu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k u jednačinu (10.6), dobijamo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke M 1 i M 2:

Pretpostavlja se da u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ako je x 1 = x 2, tada je prava linija koja prolazi kroz tačke M 1 (x 1,y I) i M 2 (x 2,y 2) paralelna sa ordinatnom osom. Njegova jednačina je x = x 1 .

Ako je y 2 = y I, onda se jednačina prave može napisati kao y = y 1, prava linija M 1 M 2 je paralelna sa apscisnom osom.

Jednačina prave u segmentima

Neka prava linija siječe osu Ox u tački M 1 (a;0), a osu Oy u tački M 2 (0;b). Jednačina će poprimiti oblik:
one.
. Ova jednačina se zove jednadžba prave linije u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente linija odsijeca na koordinatnim osama.

Jednadžba prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor

Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz datu tačku Mo (x O; y o) okomito na dati vektor koji nije nula n = (A; B).

Uzmimo proizvoljnu tačku M(x; y) na pravoj i razmotrimo vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Pošto su vektori n i M o M okomiti, njihov skalarni proizvod je jednak nuli: tj.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Jednačina (10.8) se zove jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor .

Vektor n= (A; B), okomit na pravu, naziva se normalan normalni vektor ove linije .

Jednačina (10.8) se može prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

gdje su A i B koordinate vektora normale, C = -Ax o - Vu o je slobodni pojam. Jednadžba (10.9) je opšta jednačina prave(vidi sliku 2).

Sl.1 Sl.2

Kanonske jednadžbe prave

,

Gdje
- koordinate tačke kroz koju linija prolazi, i
- vektor smjera.

Krivulje drugog reda Krug

Krug je skup svih tačaka ravni jednako udaljenih od date tačke, koja se naziva središte.

Kanonska jednadžba kružnice poluprečnika R centriran u tački
:

Konkretno, ako se središte udjela poklapa s ishodištem koordinata, tada će jednadžba izgledati ovako:

Elipsa

Elipsa je skup tačaka na ravni, zbir udaljenosti svake od njih do dvije date tačke I , koji se nazivaju fokusi, je konstantna veličina
, veća od udaljenosti između žarišta
.

Kanonska jednadžba elipse čija žarišta leže na osi Ox, a ishodište koordinata u sredini između žarišta ima oblik
G de a dužina velike poluose; b – dužina male poluose (sl. 2).

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Ugao između dvije prave linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave. Određivanje tačke preseka dve prave

1. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku A(x 1 , y 1) u datom pravcu, određenom nagibom k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednačina definira olovku linija koje prolaze kroz tačku A(x 1 , y 1), koji se naziva centar snopa.

2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2), napisano ovako:

Ugaoni koeficijent prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom

3. Ugao između pravih linija A I B je ugao za koji se prva prava linija mora rotirati A oko tačke preseka ovih linija u smeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa drugom linijom B. Ako su dvije prave date jednadžbama sa nagibom

y = k 1 x + B 1 ,

Kanonske jednadžbe prave u prostoru su jednadžbe koje definiraju pravu koja prolazi kroz datu tačku kolinearnu vektoru smjera.

Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj l samo ako su vektori i kolinearni, tj. za njih je ispunjen uslov:

.

Gore navedene jednačine su kanonske jednačine prave.

Brojevi m , n I str su projekcije vektora smjera na koordinatne osi. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n I str ne može istovremeno biti jednako nuli. Ali jedan ili dva od njih mogu se pokazati kao nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dozvoljen je sljedeći unos:

,

što znači da su projekcije vektora na os Oy I Oz jednake su nuli. Stoga su i vektor i prava linija definirani kanonskim jednadžbama okomiti na osi Oy I Oz, odnosno avioni yOz .

Primjer 1. Napišite jednadžbe za pravu u prostoru okomitu na ravan i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz .

Rješenje. Nađimo tačku preseka ove ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke koja leži na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom u datoj jednačini ravnine x = y = 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka ove ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor normale dati avion.

Zapišimo sada tražene jednačine za pravu liniju koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Prava linija se može definisati sa dve tačke koje leže na njoj I U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik

.

Gornje jednačine određuju pravu koja prolazi kroz dvije date tačke.

Primjer 2. Napišite jednadžbu za liniju u prostoru koja prolazi kroz točke i .

Rješenje. Zapišimo tražene jednačine prave u gore datom obliku u teorijskoj referenci:

.

Budući da je , tada je željena ravna linija okomita na os Oy .

Prava kao linija preseka ravnina

Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine

Jednačine sistema se nazivaju i opšte jednačine prave u prostoru.

Primjer 3. Sastaviti kanonske jednadžbe prave u prostoru date općim jednačinama

Rješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave ili, što je isto, jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, morate pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz I xOz .

Tačka preseka prave i ravni yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavljajući u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:

Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željeni red. Zatim pretpostavimo u datom sistemu jednačina y= 0, dobijamo sistem

Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .

Zapišimo sada jednačine prave koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2:

,

Povratak