Šta je derivat?
Definicija i značenje derivirane funkcije

Mnogi će biti iznenađeni neočekivanim smještajem ovog članka u moj autorski kurs o derivaciji funkcije jedne varijable i njenim primjenama. Uostalom, kao što je bilo još od škole: standardni udžbenik prije svega daje definiciju izvedenice, njeno geometrijsko, mehaničko značenje. Zatim učenici pronalaze derivate funkcija po definiciji i, zapravo, tek tada usavršavaju tehniku ​​diferencijacije koristeći derivativne tabele.

Ali sa moje tačke gledišta, sledeći pristup je pragmatičniji: pre svega, preporučljivo je DOBRO RAZUMEVATI granica funkcije, a posebno, beskonačno male količine. Činjenica je da definicija derivata je zasnovana na konceptu granice, što se slabo razmatra u školskom kursu. Zato značajan dio mladih potrošača granita znanja ne razumije samu suštinu derivata. Stoga, ako slabo razumijete diferencijalni račun ili se mudar mozak uspješno riješio ovog prtljaga tokom mnogo godina, počnite s ograničenja funkcije. Istovremeno, savladajte/zapamtite njihovo rješenje.

Isti praktični smisao nalaže da je prvo korisno naučite pronaći derivate, uključujući derivati ​​složenih funkcija. Teorija je teorija, ali, kako kažu, uvijek želite razlikovati. U tom smislu, bolje je proraditi kroz navedene osnovne lekcije, a možda majstor diferencijacije a da nisu ni shvatili suštinu svojih postupaka.

Preporučujem da počnete s materijalima na ovoj stranici nakon čitanja članka. Najjednostavniji problemi sa izvedenicama, gdje se posebno razmatra problem tangente na graf funkcije. Ali možete čekati. Činjenica je da mnoge primjene izvedenice ne zahtijevaju njeno razumijevanje, i nije iznenađujuće da se teorijska lekcija pojavila prilično kasno - kada sam trebao objasniti pronalaženje rastućih/opadajućih intervala i ekstrema funkcije. Štaviše, bio je na toj temi dosta dugo. Funkcije i grafovi“, sve dok konačno nisam odlučio da to stavim ranije.

Stoga, dragi čajnici, nemojte žuriti da upijate esenciju derivata poput gladnih životinja, jer će zasićenje biti neukusno i nepotpuno.

Koncept povećanja, smanjenja, maksimuma, minimuma funkcije

Mnogi udžbenici uvode pojam izvedenica uz pomoć nekih praktičnih zadataka, a došao sam i do zanimljivog primjera. Zamislite da nam predstoji put do grada do kojeg se može doći na različite načine. Hajdemo odmah da odbacimo zakrivljene vijugave staze i razmotrimo samo ravne autoputeve. Međutim, pravolinijski pravci su takođe različiti: do grada možete stići glatkim autoputem. Ili uz brdovitu magistralu - gore-dolje, gore-dolje. Drugi put ide samo uzbrdo, a drugi stalno nizbrdo. Ekstremni entuzijasti će izabrati rutu kroz klisuru sa strmom liticom i strmim usponom.

Ali bez obzira na vaše želje, preporučljivo je znati područje ili barem imati topografsku kartu. Šta ako takve informacije nedostaju? Uostalom, možete odabrati, na primjer, glatku stazu, ali kao rezultat naići na skijašku stazu s veselim Fincima. Nije činjenica da će navigator ili čak satelitski snimak pružiti pouzdane podatke. Stoga bi bilo lijepo formalizirati reljef puta pomoću matematike.

Pogledajmo neki put (pogled sa strane):

Za svaki slučaj, podsjećam vas na elementarnu činjenicu: putovanja se dešavaju s lijeva na desno. Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da je funkcija kontinuirano na području koje se razmatra.

Koje karakteristike ima ovaj grafikon?

U intervalima funkcija povećava, odnosno svaku sledeću njegovu vrednost više prethodni. Grubo govoreći, raspored je u toku dole gore(penjemo se na brdo). I na intervalu funkcija smanjuje se– svaka sljedeća vrijednost manje prethodni, a naš raspored je u toku odozgo prema dolje(spuštamo se niz padinu).

Obratimo pažnju i na posebne tačke. Na tački do koje stižemo maksimum, to je postoji takav dio putanje gdje će vrijednost biti najveća (najviša). U istoj tački to se postiže minimum, And postoji njegovu okolinu u kojoj je vrijednost najmanja (najniža).

U nastavi ćemo pogledati strožiju terminologiju i definicije. o ekstremima funkcije, ali za sada proučimo još jednu važnu osobinu: na intervalima funkcija se povećava, ali se povećava različitim brzinama. I prva stvar koja vam upada u oči je da se graf tokom intervala uzdiže mnogo kul, nego na intervalu . Da li je moguće izmjeriti strminu puta pomoću matematičkih alata?

Brzina promjene funkcije

Ideja je sledeća: hajde da uzmemo neku vrednost (čitaj "delta x"), koje ćemo nazvati povećanje argumenta, i počnimo "isprobavati" na različitim točkama na našem putu:

1) Pogledajmo krajnju lijevu tačku: prelazeći razdaljinu, penjemo se uz padinu do visine (zelena linija). Količina se zove povećanje funkcije, a u ovom slučaju ovaj prirast je pozitivan (razlika u vrijednostima duž ose je veća od nule). Hajde da napravimo omjer koji će biti mjera strmine našeg puta. Očigledno, ovo je vrlo specifičan broj, a budući da su oba prirasta pozitivna, onda .

Pažnja! Oznake su JEDAN simbol, to jest, ne možete "otkinuti" "deltu" od "X" i razmotriti ova slova odvojeno. Naravno, komentar se odnosi i na simbol povećanja funkcije.

Istražimo prirodu rezultujućeg razlomka smislenije. Budimo u početku na visini od 20 metara (na lijevoj crnoj tački). Prešavši udaljenost od metara (lijeva crvena linija), naći ćemo se na visini od 60 metara. Tada će inkrement funkcije biti metara (zelena linija) i: . dakle, na svakom metru ovom dijelu puta visina se povećava prosjek za 4 metra...zaboravio si opremu za penjanje? =) Drugim riječima, konstruirani odnos karakterizira PROSJEČNU STOPU PROMJENE (u ovom slučaju rast) funkcije.

Bilješka : Numeričke vrijednosti dotičnog primjera odgovaraju samo proporcijama crteža.

2) Sada idemo na istu udaljenost od krajnje desne crne tačke. Ovdje je porast postupniji, tako da je prirast (crvena linija) relativno mali, a omjer u odnosu na prethodni slučaj će biti vrlo skroman. Relativno govoreći, metara i stopa rasta funkcije je . Odnosno, ovdje ima za svaki metar staze prosjek pola metra uspona.

3) Mala avantura na planini. Pogledajmo gornju crnu tačku koja se nalazi na osi ordinate. Pretpostavimo da je ovo oznaka od 50 metara. Ponovo savladavamo udaljenost, zbog čega se nalazimo niže - na nivou od 30 metara. S obzirom da je pokret izveden odozgo prema dolje(u "kontra" smjeru ose), zatim konačni prirast funkcije (visine) će biti negativan: metara (smeđi segment na crtežu). A u ovom slučaju već govorimo stopa smanjenja Karakteristike: , odnosno za svaki metar puta ove dionice visina se smanjuje prosjek za 2 metra. Vodite računa o svojoj odjeći na petoj tački.

Postavimo sebi pitanje: koju vrijednost “mjernog standarda” je najbolje koristiti? Potpuno je razumljivo, 10 metara je jako grubo. Na njih može lako stati desetak humoka. Bez obzira na neravnine, ispod može biti duboka klisura, a nakon nekoliko metara je njena druga strana sa daljim strmim usponom. Dakle, sa deset metara nećemo dobiti razumljiv opis ovakvih dionica puta kroz omjer .

Iz gornje rasprave slijedi sljedeći zaključak: što je vrijednost niža, što preciznije opisujemo topografiju puta. Štaviše, istinite su sljedeće činjenice:

– Za bilo koga tačke podizanja možete odabrati vrijednost (čak i ako je vrlo mala) koja se uklapa u granice određenog porasta. To znači da će odgovarajući prirast visine biti zajamčeno pozitivan, a nejednakost će ispravno ukazati na rast funkcije u svakoj tački ovih intervala.

- Isto tako, za bilo koji tačka nagiba postoji vrijednost koja će u potpunosti stati na ovu padinu. Prema tome, odgovarajuće povećanje visine je jasno negativno, a nejednakost će ispravno pokazati smanjenje funkcije u svakoj tački datog intervala.

– Posebno je zanimljiv slučaj kada je brzina promjene funkcije nula: . Prvo, nulti porast visine () je znak glatke putanje. I drugo, postoje i druge zanimljive situacije čije primjere vidite na slici. Zamislite da nas je sudbina dovela do samog vrha brda sa orlovima koji lebde ili na dno jaruge sa graktanjem žaba. Ako napravite mali korak u bilo kojem smjeru, promjena visine će biti zanemariva, a možemo reći da je stopa promjene funkcije zapravo nula. Upravo je to slika koja je uočena na tačkama.

Tako smo došli do nevjerovatne prilike da savršeno precizno okarakteriziramo brzinu promjene funkcije. Na kraju krajeva, matematička analiza omogućava da se prirast argumenta usmjeri na nulu: , odnosno da se infinitezimal.

Kao rezultat toga, postavlja se još jedno logično pitanje: da li je moguće pronaći cestu i njen raspored druga funkcija, koji će nas obavijestiti o svim ravnim dijelovima, usponima, padinama, vrhovima, dolinama, kao i stopi rasta/padanja na svakoj tački na putu?

Šta je derivat? Definicija derivata.
Geometrijsko značenje derivacije i diferencijala

Pročitajte pažljivo i ne prebrzo - materijal je jednostavan i dostupan svima! U redu je ako na nekim mjestima nešto nije jasno, uvijek se možete vratiti na članak kasnije. Reći ću više, korisno je proučiti teoriju nekoliko puta kako bi se sve stvari temeljno razumjele (savjet je posebno relevantan za „tehničke“ studente, kojima viša matematika igra značajnu ulogu u obrazovnom procesu).

Naravno, u samoj definiciji derivacije u jednoj tački zamjenjujemo je sa:

Do čega smo došli? I došli smo do zaključka da za funkciju po zakonu je u skladu druga funkcija, koji se zove derivirajuća funkcija(ili jednostavno derivat).

Izvod karakteriše stopa promjene funkcije Kako? Ideja teče kao crvena nit od samog početka članka. Hajde da razmotrimo neku tačku domenu definicije funkcije Neka je funkcija diferencibilna u datoj tački. onda:

1) Ako , tada funkcija raste u točki . I očigledno postoji interval(čak i vrlo mali), koji sadrži tačku u kojoj funkcija raste, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“.

2) Ako , tada funkcija opada u točki . I postoji interval koji sadrži tačku u kojoj funkcija opada (grafikon ide od vrha do dna).

3) Ako , onda beskonačno blizu blizu tačke funkcija održava konstantnu brzinu. To se događa, kao što je navedeno, sa konstantnom funkcijom i na kritičnim tačkama funkcije, posebno na minimalnim i maksimalnim tačkama.

Malo semantike. Šta znači glagol „diferencirati“ u širem smislu? Razlikovati znači istaknuti osobinu. Diferenciranjem funkcije „izoliramo“ stopu njene promjene u obliku derivacije funkcije. Šta se, inače, podrazumeva pod rečju „derivacija“? Funkcija dogodilo od funkcije.

Pojmovi se vrlo uspješno tumače mehaničkim značenjem izvedenice :
Razmotrimo zakon promjene koordinata tijela, ovisno o vremenu, i funkciju brzine kretanja datog tijela. Funkcija karakterizira brzinu promjene koordinata tijela, stoga je prvi izvod funkcije s obzirom na vrijeme: . Da koncept "pokretanja tijela" ne postoji u prirodi, onda ga ne bi bilo derivat koncept "brzine tijela".

Ubrzanje tijela je brzina promjene brzine, dakle: . Da prvobitni koncepti "kretanja tijela" i "brzine tijela" ne postoje u prirodi, onda ne bi postojali derivat koncept “ubrzanja tijela”.

Mnogo je teorija napisano o geometrijskom značenju. Neću ulaziti u izvođenje inkrementa funkcije, ali dopustite da vas podsjetim na osnove za izvršavanje zadataka:

Derivat u tački x jednak je nagibu tangente na graf funkcije y = f(x) u ovoj tački, odnosno tangenta ugla nagiba na X os.

Uzmimo odmah zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita i počnimo ga razumijevati:

Zadatak br. 1. Slika pokazuje graf funkcije y = f(x) i tangentu na nju u tački sa apscisom x0. Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0.
Kome se žuri i ne želi razumjeti objašnjenja: izgradite bilo koji takav trokut (kao što je prikazano ispod) i podijelite stajaću stranu (vertikalno) sa ležećim (horizontalnom) i bit ćete sretni ako ne zaboravite na znak (ako se linija smanjuje (→↓) , tada bi odgovor trebao biti minus, ako se linija povećava (→), onda odgovor mora biti pozitivan!)

Morate pronaći ugao između tangente i ose X, nazovimo ga α: povucite pravu liniju paralelnu sa X osom bilo gde kroz tangentu na graf, dobijamo isti ugao.

Bolje je ne uzeti tačku x0, jer Trebat će vam velika lupa da odredite točne koordinate.

Uzimajući bilo koji pravokutni trokut (3 opcije su predložene na slici), nalazimo tgα (uglovi su tada jednaki, kao odgovarajući), tj. dobijamo derivaciju funkcije f(x) u tački x0. Zašto je to tako?

Ako povučemo tangente u drugim tačkama x2, x1, itd. tangente će biti različite.

Vratimo se u 7. razred da napravimo liniju!

Jednačina prave linije data je jednačinom y = kx + b, gdje je

k - nagib u odnosu na X os.

b je rastojanje između tačke preseka sa Y osom i ishodišta.

Derivat prave linije je uvek isti: y" = k.

U kojoj god tački na liniji uzmemo izvod, on će biti nepromijenjen.

Dakle, sve što ostaje je pronaći tgα (kao što je gore spomenuto: stajaću stranu podijelite sa ležećom stranom). Podijelimo suprotnu stranu susjednom stranom, dobićemo da je k = 0,5. Međutim, ako je grafik opadajući, koeficijent je negativan: k = −0,5.

Savjetujem ti da se provjeriš drugi način:
Možete definirati pravu liniju koristeći dvije tačke. Nađimo koordinate bilo koje dvije tačke. Na primjer, (-2;-2) i (2;-4):

Zamenimo koordinate tačaka u jednačinu y = kx + b umjesto y i x:

−2 = −2k + b

Rješavajući ovaj sistem dobijamo b = −3, k = −0,5

Zaključak: Druga metoda traje duže, ali u njoj nećete zaboraviti na znak.

Odgovor: − 0,5

Zadatak br. 2. Slika pokazuje derivirani graf funkcije f(x). Na osi apscise označeno je osam tačaka: x1, x2, x3, ..., x8. Koliko ovih tačaka leži na intervalima rastuće funkcije f(x)?

Ako je graf funkcije opadajući - derivacija je negativna (i obrnuto je tačna).

Ako se graf funkcije povećava, izvod je pozitivan (i obrnuto je istina).

Ove dvije fraze će vam pomoći da riješite većinu problema.

Pogledaj pažljivo daje vam se crtež izvedenice ili funkcije, a zatim odaberite jednu od dvije fraze.

Napravimo šematski graf funkcije. Jer Dat nam je graf derivacije, onda gdje je negativan, graf funkcije opada, gdje je pozitivan, raste!

Ispada da 3 tačke leže na rastućim površinama: x4; x5; x6.

Odgovor: 3

Zadatak br. 3. Funkcija f(x) je definirana na intervalu (-6; 4). Slika pokazuje graf njegove derivacije. Odrediti apscisu tačke u kojoj funkcija poprima najveću vrijednost.

Savjetujem vam da uvijek nacrtate kako ide graf funkcije, koristeći strelice poput ove ili šematski sa znakovima (kao u br. 4 i br. 5):

Očigledno, ako se graf poveća na −2, tada je maksimalna tačka −2.

Odgovor: −2

Zadatak br. 4. Na slici je prikazan grafik funkcije f(x) i dvanaest tačaka na osi apscisa: x1, x2, ..., x12. U koliko od ovih tačaka je derivacija funkcije negativna?

Problem je suprotan, s obzirom na graf funkcije, potrebno je shematski konstruirati kako će izgledati graf derivacije funkcije i izbrojati koliko će tačaka ležati u negativnom rasponu.

Pozitivno: x1, x6, x7, x12.

Negativno: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Odgovor: 7

Još jedna vrsta zadatka kada se pita o nekim strašnim “ekstremima”? Neće vam biti teško pronaći o čemu se radi, ali ja ću to objasniti na grafikonima.

Zadatak br. 5. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-16; 6). Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(x) na intervalu [-11; 5].

Označimo interval od -11 do 5!

Okrenimo svoje blistave oči na znak: dat je grafik derivacije funkcije => tada su ekstremi tačke preseka sa X osom.

Odgovor: 3

Zadatak br. 6. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-13; 9). Odrediti broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) na intervalu [-12; 5].

Označimo interval od -12 do 5!

Tabelu možete gledati jednim okom, maksimalna tačka je ekstrem, tako da je prije nje derivacija pozitivna (funkcija raste), a poslije nje negativna (funkcija opada). Takve tačke su zaokružene.

Strelice pokazuju kako se ponaša graf funkcije

Odgovor: 3

Zadatak br. 7. Na slici je prikazan graf funkcije f(x) definirane na intervalu (-7; 5). Odrediti broj tačaka u kojima je derivacija funkcije f(x) jednaka 0.

Možete pogledati gornju tabelu (izvod je jednak nuli, što znači da su to tačke ekstrema). I u ovom zadatku je dat graf funkcije, što znači da morate pronaći broj pregibnih tačaka!

Ili možete, kao i obično: izgraditi šematski graf derivacije.

Izvod je nula kada graf funkcije promijeni svoj smjer (od povećanja ka opadajućem i obrnuto)

Odgovor: 8

Zadatak br. 8. Slika pokazuje derivirani graf funkcija f(x), definirana na intervalu (-2; 10). Naći intervale rastuće funkcije f(x). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Napravimo šematski graf funkcije:

Tamo gdje se povećava, dobijamo 4 cjelobrojna boda: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Odgovor: 22

Zadatak br. 9. Slika pokazuje derivirani graf funkcija f(x), definirana na intervalu (-6; 6). Odrediti broj tačaka f(x) u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna ili se poklapa s pravom y = 2x + 13.

Dat nam je graf derivacije! To znači da i našu tangentu treba "prevesti" u derivat.

Derivat tangente: y" = 2.

Sada konstruirajmo oba izvoda:

Tangente se sijeku u tri tačke, što znači da je naš odgovor 3.

Odgovor: 3

Zadatak br. 10. Na slici je prikazan grafik funkcije f(x), a označene su tačke -2, 1, 2, 3 U kojoj je od ovih tačaka vrijednost izvoda najmanja? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.

Zadatak je donekle sličan prvom: da biste pronašli vrijednost derivacije, potrebno je konstruirati tangentu na ovaj graf u tački i pronaći koeficijent k.

Ako se linija smanjuje, k< 0.

Ako se linija povećava, k > 0.

Razmislimo o tome kako će vrijednost koeficijenta utjecati na nagib linije:

Sa k = 1 ili k = − 1, graf će biti na pola puta između X i Y osa.

Što je prava linija bliža X osi, to je koeficijent k bliži nuli.

Što je prava linija bliža Y osi, to je koeficijent k bliži beskonačnosti.

U tački -2 i 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>ovdje će biti najmanja vrijednost izvedenice

Odgovor: 1

Zadatak br. 11. Prava je tangenta y = 3x + 9 na grafik funkcije y = x³ + x² + 2x + 8. Pronađite apscisu tangentne tačke.

Prava će biti tangenta na graf kada grafovi imaju zajedničku tačku, kao i njihovi derivati. Izjednačimo jednadžbe grafa i njihove derivate:

Nakon što smo riješili drugu jednačinu, dobili smo 2 boda. Da bismo provjerili koji je prikladan, zamjenjujemo svaki od x u prvu jednačinu. Samo jedan može.

Uopšte ne želim da rešavam kubičnu jednačinu, ali bih voleo da rešim kvadratnu jednačinu.

Ali šta biste trebali napisati u odgovoru ako dobijete dva „normalna“ odgovora?

Kada zamijenite x(x) u originalne grafikone y = 3x + 9 i y = x³ + x² + 2x + 8, trebali biste dobiti isti Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Tačno! Dakle, x=1 će biti odgovor

Odgovor: 1

Zadatak br. 12. Prava linija y = − 5x − 6 tangenta je na grafik funkcije ax² + 5x − 5. Pronaci.

Na sličan način izjednačimo funkcije i njihove derivate:

Rešimo ovaj sistem za varijable a i x:

Odgovor: 25

Zadatak sa izvedenicama smatra se jednim od najtežih u prvom dijelu Jedinstvenog državnog ispita, međutim, uz malo pažnje i razumijevanja pitanja, uspjet ćete i povećati postotak ispunjenosti ovog zadatka!

Proučavanje funkcije koristeći njen derivat. U ovom članku ćemo analizirati neke zadatke vezane za proučavanje grafa funkcije. U takvim zadacima daje se graf funkcije y = f (x) i postavljaju pitanja vezana za određivanje broja tačaka u kojima je derivacija funkcije pozitivna (ili negativna), kao i druga. Klasificirani su kao zadaci o primjeni derivata u proučavanju funkcija.

Rješavanje ovakvih problema, i općenito problema vezanih za istraživanje, moguće je samo uz potpuno razumijevanje svojstava izvoda za proučavanje grafova funkcija i izvoda. Stoga vam toplo preporučujem da proučite relevantnu teoriju. Možete učiti i gledati (ali sadrži kratak sažetak).

U budućim člancima ćemo također razmotriti probleme gdje je prikazan graf derivata, nemojte ga propustiti! Dakle, zadaci:

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f (x), definisane na intervalu (−6; 8). Definiraj:

1. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je derivacija funkcije negativna;

2. Broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y = 2;

1. Derivat funkcije je negativan na intervalima na kojima funkcija opada, odnosno na intervalima (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8). Oni sadrže cjelobrojne točke −5, −4, 1, 2, 3, 4 i 7. Dobijamo 7 bodova.

2. Direktno y= 2 paralelno sa osomOhy= 2 samo u tačkama ekstrema (u tačkama gde graf menja svoje ponašanje od povećanja do opadanja ili obrnuto). Postoje četiri takve tačke: –3; 0; 4.2; 6.9

Odlučite sami:

Odrediti broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije pozitivna.

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f (x), definisane na intervalu (−5; 5). definirati:

2. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y = 3;

3. Broj tačaka u kojima je izvod nula;

1. Iz svojstava derivacije funkcije poznato je da je ona pozitivna na intervalima na kojima funkcija raste, odnosno na intervalima (1.4; 2.5) i (4.4; 5). Sadrže samo jednu ceobrojnu tačku x = 2.

2. Direktno y= 3 paralelno sa osomOh. Tangenta će biti paralelna pravojy= 3 samo u tačkama ekstrema (u tačkama gde graf menja svoje ponašanje od povećanja do opadanja ili obrnuto).

Postoje četiri takve tačke: –4,3; 1.4; 2.5; 4.4

3. Derivat je jednak nuli u četiri tačke (u tačkama ekstrema), već smo ih naznačili.

Odlučite sami:

Odrediti broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije f(x) negativna.

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f (x), definirane na intervalu (−2; 12). Nađi:

1. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je derivacija funkcije pozitivna;

2. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je derivacija funkcije negativna;

3. Broj cjelobrojnih tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y = 2;

4. Broj tačaka u kojima je izvod nula.

1. Iz svojstava derivacije funkcije poznato je da je ona pozitivna na intervalima na kojima funkcija raste, odnosno na intervalima (–2; 1), (2; 4), (7; 9) i ( 10; Sadrže cjelobrojne točke: –1, 0, 3, 8. Ukupno ih ima četiri.

2. Derivat funkcije je negativan na intervalima na kojima funkcija opada, odnosno na intervalima (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Sadrže cijele tačke 5 i 6. Dobijamo 2 boda.

3. Direktno y= 2 paralelno sa osomOh. Tangenta će biti paralelna pravojy= 2 samo u tačkama ekstrema (u tačkama gde graf menja svoje ponašanje od povećanja do opadanja ili obrnuto). Postoji sedam takvih tačaka: 1; 2; 4; 7; 9; 10; jedanaest.

4. Derivat je jednak nuli u sedam tačaka (u tačkama ekstrema), već smo ih naznačili.

Sadržaj članka

DERIVAT– derivacija funkcije y = f(x), dat u određenom intervalu ( a, b) u tački x ovog intervala naziva se granica kojoj teži omjer prirasta funkcije f u ovoj tački na odgovarajući prirast argumenta kada inkrement argumenta teži nuli.

Izvod se obično označava na sljedeći način:

Druge oznake se također široko koriste:

Trenutna brzina.

Pusti poentu M kreće se pravolinijski. Razdaljina s pokretna tačka, računajući od neke početne pozicije M 0 , zavisi od vremena t, tj. s postoji funkcija vremena t: s= f(t). Neka u nekom trenutku t pokretna tačka M bio na distanci s sa početne pozicije M 0, a u nekom sledećem trenutku t+D t našla u poziciji M 1 - na daljinu s+D s sa početne pozicije ( vidi sliku.).

Dakle, tokom određenog vremenskog perioda D t razdaljina s promijenjen za iznos D s. U ovom slučaju kažu da je tokom vremenskog intervala D t magnitude s primljeno povećanje D s.

Prosječna brzina ne može u svim slučajevima tačno okarakterizirati brzinu kretanja tačke M u određenom trenutku t. Ako, na primjer, tijelo na početku intervala D t kretao vrlo brzo, a na kraju vrlo sporo, tada prosječna brzina neće moći odraziti naznačene karakteristike kretanja točke i dati predstavu o pravoj brzini njenog kretanja u ovom trenutku t. Da biste preciznije izrazili pravu brzinu koristeći prosječnu brzinu, potrebno je da uzmete kraći vremenski period D t. Najpotpunije karakterizira brzinu kretanja tačke u ovom trenutku t granica kojoj teži prosječna brzina u D t® 0. Ovo ograničenje se naziva trenutna brzina:

Dakle, brzina kretanja u datom trenutku naziva se granica omjera prirasta putanje D s na vremensko povećanje D t, kada vremenski prirast teži nuli. Jer

Geometrijsko značenje izvedenice. Tangenta na graf funkcije.

Konstrukcija tangentnih linija jedan je od onih problema koji su doveli do rađanja diferencijalnog računa. Prvi objavljeni rad vezan za diferencijalni račun, koji je napisao Leibniz, nosio je naslov Nova metoda maksimuma i minimuma, kao i tangente, za koje ni razlomke ni iracionalne veličine nisu prepreka, i posebna vrsta računa za to.

Neka je kriva grafik funkcije y =f(x) u pravougaonom koordinatnom sistemu ( cm. pirinač.).

Po nekoj vrijednosti x funkcija je bitna y =f(x). Ove vrijednosti x I y tačka na krivoj odgovara M 0(x, y). Ako je argument x dati povećanje D x, zatim novu vrijednost argumenta x+D x odgovara novoj funkcijskoj vrijednosti y+ D y = f(x + D x). Odgovarajuća tačka krive će biti tačka M 1(x+D x,y+D y). Ako nacrtate sekantu M 0M 1 i označeno sa j kut formiran transverzalom s pozitivnim smjerom ose Ox, sa slike je odmah jasno da .

Ako sada D x teži nuli, a zatim tački M 1 se kreće duž krivulje, približavajući se tački M 0 i ugao j promjene sa D x. At Dx® 0 ugao j teži određenoj granici a i pravoj liniji koja prolazi kroz tačku M 0 i komponenta s pozitivnim smjerom x-ose, ugao a, bit će željena tangenta. Njen nagib je:

dakle, f´( x) = tga

one. vrijednost derivata f´( x) za datu vrijednost argumenta x jednak je tangentu ugla koji formira tangenta na graf funkcije f(x) u odgovarajućoj tački M 0(x,y) sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Diferencijalnost funkcija.

Definicija. Ako je funkcija y = f(x) ima derivat u tački x = x 0, tada je funkcija u ovom trenutku diferencibilna.

Kontinuitet funkcije koja ima izvod. Teorema.

Ako je funkcija y = f(x) se može razlikovati u nekom trenutku x = x 0, onda je u ovoj tački kontinuirano.

Dakle, funkcija ne može imati izvod u tačkama diskontinuiteta. Suprotan zaključak je netačan, tj. iz činjenice da je u nekom trenutku x = x 0 funkcija y = f(x) je kontinuirano ne znači da je u ovom trenutku diferencijabilno. Na primjer, funkcija y = |x| kontinuirano za sve x(–Ґ x x = 0 nema izvod. U ovom trenutku nema tangente na graf. Postoje desna i lijeva tangenta, ali se ne poklapaju.

Neke teoreme o diferencijabilnim funkcijama. Teorema o korijenima derivacije (Rolleova teorema). Ako je funkcija f(x) je kontinuiran na segmentu [a,b], diferenciran je u svim unutrašnjim tačkama ovog segmenta i na krajevima x = a I x = b ide na nulu ( f(a) = f(b) = 0), zatim unutar segmenta [ a,b] postoji barem jedna tačka x= With, a c b, u kojem je izvod fў( x) ide na nulu, tj. fў( c) = 0.

Teorema konačnog priraštaja (Lagrangeova teorema). Ako je funkcija f(x) je kontinuiran na intervalu [ a, b] i diferencibilan je u svim unutrašnjim tačkama ovog segmenta, zatim unutar segmenta [ a, b] postoji barem jedna tačka With, a c b to

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Teorema o omjeru prirasta dvije funkcije (Cauchyjev teorem). Ako f(x) I g(x) – dvije funkcije kontinuirane na segmentu [a, b] i diferenciran na svim unutrašnjim tačkama ovog segmenta, i gў( x) ne nestaje nigdje unutar ovog segmenta, zatim unutar segmenta [ a, b] postoji takva tačka x = With, a c b to

Derivati ​​raznih redova.

Neka funkcija y =f(x) je diferencibilan na nekom intervalu [ a, b]. Vrijednosti derivata f ў( x), općenito govoreći, zavise od x, tj. derivat f ў( x) je također funkcija x. Prilikom diferenciranja ove funkcije dobijamo takozvani drugi izvod funkcije f(x), što je označeno f ўў ( x).

Derivat n- th red funkcije f(x) se naziva derivat (prvog reda) izvoda n- 1- th i označen je simbolom y(n) = (y(n– 1))ŭ.

Diferencijali raznih redova.

Funkcijski diferencijal y = f(x), Gdje x– nezavisna varijabla, da dy = f ў( x)dx, neke funkcije iz x, ali od x samo prvi faktor može zavisiti f ў( x), drugi faktor ( dx) je prirast nezavisne varijable x i ne zavisi od vrednosti ove varijable. Jer dy postoji funkcija iz x, tada možemo odrediti diferencijal ove funkcije. Diferencijal diferencijala funkcije naziva se drugi diferencijal ili diferencijal drugog reda ove funkcije i označava se d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferencijal n- prvog reda naziva se prvi diferencijal diferencijala n- 1- red:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Parcijalni derivat.

Ako funkcija ne zavisi od jednog, već od nekoliko argumenata x i(i varira od 1 do n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), tada se u diferencijalni račun uvodi koncept parcijalnog izvoda, koji karakterizira brzinu promjene funkcije nekoliko varijabli kada se promijeni samo jedan argument, npr. x i. Parcijalni izvod 1. reda u odnosu na x i je definiran kao običan derivat, a pretpostavlja se da su svi argumenti osim x i, zadržati konstantne vrijednosti. Za parcijalne izvode uvodi se notacija

Ovako definisane parcijalne derivacije 1. reda (kao funkcije istih argumenata) mogu, zauzvrat, imati i parcijalne izvode, to su parcijalne derivacije drugog reda, itd. Takvi derivati ​​uzeti iz različitih argumenata nazivaju se mješoviti. Kontinuirane mješovite derivacije istog reda ne zavise od reda diferencijacije i jednake su jedna drugoj.

Anna Chugainova

Definicija. Neka je funkcija \(y = f(x)\) definirana u određenom intervalu koji sadrži tačku \(x_0\). Dajmo argumentu inkrement \(\Delta x \) tako da ne napušta ovaj interval. Nađimo odgovarajući prirast funkcije \(\Delta y \) (kada se krećemo od tačke \(x_0 \) do tačke \(x_0 + \Delta x \)) i sastavimo relaciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Ako postoji ograničenje za ovaj omjer na \(\Delta x \rightarrow 0\), tada se navedena granica naziva derivat funkcije\(y=f(x) \) u tački \(x_0 \) i označimo \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y se često koristi za označavanje izvoda. Imajte na umu da je y" = f(x) nova funkcija, ali prirodno povezana sa funkcijom y = f(x), definiranom u svim točkama x u kojima postoji gornja granica. Ova funkcija se zove ovako: derivacija funkcije y = f(x).

Geometrijsko značenje derivacije je kako slijedi. Ako je moguće nacrtati tangentu na graf funkcije y = f(x) u tački sa apscisom x=a, koja nije paralelna sa y-osi, tada f(a) izražava nagib tangente :
\(k = f"(a)\)

Pošto je \(k = tg(a) \), onda je jednakost \(f"(a) = tan(a) \) tačna.

Protumačimo sada definiciju derivacije sa stanovišta približnih jednakosti. Neka funkcija \(y = f(x)\) ima izvod u određenoj tački \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znači da je blizu tačke x približna jednakost \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), tj. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Smisaono značenje rezultirajuće približne jednakosti je sljedeće: prirast funkcije je „gotovo proporcionalan“ prirastu argumenta, a koeficijent proporcionalnosti je vrijednost derivacije u datoj tački x. Na primjer, za funkciju \(y = x^2\) vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ako pažljivo analiziramo definiciju derivacije, otkrićemo da ona sadrži algoritam za njeno pronalaženje.

Hajde da to formulišemo.

Kako pronaći derivaciju funkcije y = f(x)?

1. Popravite vrijednost \(x\), pronađite \(f(x)\)
2. Dajte argumentu \(x\) povećanje \(\Delta x\), idite na novu tačku \(x+ \Delta x \), pronađite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Pronađite prirast funkcije: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Kreirajte relaciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Izračunajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ova granica je derivacija funkcije u tački x.

Ako funkcija y = f(x) ima izvod u tački x, onda se naziva diferencijabilna u tački x. Poziva se postupak za pronalaženje izvoda funkcije y = f(x). diferencijaciju funkcije y = f(x).

Razgovarajmo o sljedećem pitanju: kako su kontinuitet i diferencijabilnost funkcije u nekoj tački međusobno povezani?

Neka je funkcija y = f(x) diferencijabilna u tački x. Tada se tangenta može povući na graf funkcije u tački M(x; f(x)), i, podsjetimo, kutni koeficijent tangente je jednak f"(x). Takav graf se ne može „lomiti“ u tački M, tj. funkcija mora biti kontinuirana u tački x.

To su bili „praktični“ argumenti. Hajde da damo rigoroznije rezonovanje. Ako je funkcija y = f(x) diferencijabilna u tački x, tada vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Ako u ovoj jednakosti \(\Delta x \) teži nuli, tada će \(\Delta y \) težiti nuli, a to je uslov za kontinuitet funkcije u tački.

dakle, ako je funkcija diferencijabilna u tački x, tada je u toj tački kontinuirana.

Obrnuta izjava nije tačna. Na primjer: funkcija y = |x| je kontinuirano svuda, posebno u tački x = 0, ali tangenta na graf funkcije u “tački spajanja” (0; 0) ne postoji. Ako se u nekom trenutku tangenta ne može povući na graf funkcije, onda izvod ne postoji u toj tački.

Još jedan primjer. Funkcija \(y=\sqrt(x)\) je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, uključujući u tački x = 0. A tangenta na graf funkcije postoji u bilo kojoj tački, uključujući i tačku x = 0 Ali u ovoj tački tangenta se poklapa sa y-osom, tj. okomita je na apscisnu osu, njena jednačina ima oblik x = 0. Takva prava linija nema koeficijent ugla, što znači da je \(f). "(0)\) ne postoji.

Dakle, upoznali smo se sa novim svojstvom funkcije - diferencijabilnošću. Kako se iz grafa funkcije može zaključiti da je diferencibilna?

Odgovor je zapravo dat gore. Ako je u nekom trenutku moguće povući tangentu na graf funkcije koja nije okomita na osu apscise, tada je funkcija diferencibilna. Ako u nekom trenutku tangenta na graf funkcije ne postoji ili je okomita na osu apscise, tada funkcija nije diferencibilna.

Pravila diferencijacije

Operacija pronalaženja derivacije se zove diferencijaciju. Prilikom izvođenja ove operacije često morate raditi s količnikima, zbrojima, produktima funkcija, kao i "funkcijama funkcija", odnosno složenim funkcijama. Na osnovu definicije derivacije, možemo izvesti pravila diferencijacije koja olakšavaju ovaj rad. Ako je C konstantan broj i f=f(x), g=g(x) su neke diferencibilne funkcije, onda je sljedeće istinito pravila diferencijacije:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivat kompleksne funkcije:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tablica izvoda nekih funkcija

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Povratak