Najmanje i najveće vrijednosti funkcije na segmentu. Kako riješiti probleme B15 bez derivata

Neka funkcija y =f(X) je kontinuiran na intervalu [ a, b]. Kao što je poznato, takva funkcija dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti na ovom segmentu. Funkcija može uzeti ove vrijednosti ili na unutrašnjoj tački segmenta [ a, b], ili na granici segmenta.

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu [ a, b] potrebno:

1) pronaći kritične tačke funkcije u intervalu ( a, b);

2) izračunati vrednosti funkcije u pronađenim kritičnim tačkama;

3) izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta, odnosno kada x=A i x = b;

4) od svih izračunatih vrijednosti funkcije odaberite najveću i najmanju.

Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu.

Pronalaženje kritičnih tačaka:

Ove tačke leže unutar segmenta; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

u tački x= 3 i u tački x= 0.

Proučavanje funkcije za konveksnost i pregibnu tačku.

Funkcija y = f (x) pozvao konveksup između (a, b) , ako njegov graf leži ispod tangente povučene u bilo kojoj tački ovog intervala, i zove se konveksno prema dolje (konkavno), ako njegov graf leži iznad tangente.

Tačka kroz koju se konveksnost zamjenjuje konkavnošću ili obrnuto naziva se tačka pregiba.

Algoritam za ispitivanje konveksnosti i tačke savijanja:

1. Naći kritične tačke druge vrste, odnosno tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli ili ne postoji.

2. Nacrtajte kritične tačke na brojevnoj pravoj, dijeleći je na intervale. Pronađite predznak drugog izvoda na svakom intervalu; ako , onda je funkcija konveksna prema gore, ako, onda je funkcija konveksna prema dolje.

3. Ako se pri prolasku kroz kritičnu tačku druge vrste promijeni predznak i u ovoj tački je druga derivacija jednaka nuli, tada je ova tačka apscisa tačke prevoja. Pronađite njegovu ordinatu.

Asimptote grafa funkcije. Proučavanje funkcije za asimptote.

Definicija. Poziva se asimptota grafa funkcije ravno, koji ima svojstvo da udaljenost od bilo koje tačke na grafu do ove prave teži nuli kako se tačka na grafu beskonačno pomera od početka.

Postoje tri vrste asimptota: vertikalni, horizontalni i nagnuti.

Definicija. Prava linija se zove vertikalna asimptota funkcionalna grafika y = f(x), ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije u ovoj tački jednaka beskonačnosti, tj.

gdje je tačka diskontinuiteta funkcije, odnosno ne pripada domenu definicije.

Primjer.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – tačka prekida.

Definicija. Pravo y =A pozvao horizontalna asimptota funkcionalna grafika y = f(x) u , ako

Primjer.

x
y

Definicija. Pravo y =kx +b (k≠ 0) se poziva kosa asimptota funkcionalna grafika y = f(x) u , gdje

Opća shema za proučavanje funkcija i konstruiranje grafova.

Algoritam za istraživanje funkcijay = f(x) :

1. Pronađite domenu funkcije D (y).

2. Pronađite (ako je moguće) tačke preseka grafika sa koordinatnim osa (ako x= 0 i at y = 0).

3. Ispitati parnost i neparnost funkcije ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ neparan).

4. Naći asimptote grafa funkcije.

5. Naći intervale monotonosti funkcije.

6. Pronađite ekstreme funkcije.

7. Naći intervale konveksnosti (konkavnosti) i pregibne tačke grafa funkcije.

8. Na osnovu sprovedenog istraživanja konstruisati graf funkcije.

Primjer. Istražite funkciju i konstruirajte njen graf.

1) D (y) =

x= 4 – tačka prekida.

2) Kada x = 0,

(0; ‒ 5) – tačka preseka sa oh.

At y = 0,

3) y(‒ x)= funkcija opšteg oblika (ni parna ni neparna).

4) Ispitujemo asimptote.

a) vertikalno

b) horizontalno

c) pronaći kose asimptote gdje

‒jednačina kosih asimptota

5) U ovoj jednačini nije potrebno pronaći intervale monotonosti funkcije.

Ove kritične tačke dijele cijeli domen definicije funkcije na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Dobijene rezultate prikladno je prikazati u obliku sljedeće tabele.

S praktične tačke gledišta, najveći interes je korištenje derivata za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Sa čime je ovo povezano? Maksimiziranje profita, minimiziranje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme... Drugim riječima, u mnogim područjima života moramo rješavati probleme optimizacije nekih parametara. A to su zadaci pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Treba napomenuti da se najveća i najmanja vrijednost funkcije obično traže na određenom intervalu X, koji je ili cijela domena funkcije ili dio domene definicije. Sam interval X može biti segment, otvoreni interval , beskonačan interval.

U ovom članku ćemo govoriti o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti eksplicitno definirane funkcije jedne varijable y=f(x).

Navigacija po stranici.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.

Pogledajmo ukratko glavne definicije.

Najveća vrijednost funkcije to za bilo koga nejednakost je tačna.

Najmanja vrijednost funkcije y=f(x) na intervalu X naziva se takva vrijednost to za bilo koga nejednakost je tačna.

Ove definicije su intuitivne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost na intervalu koji se razmatra na apscisi.

Stacionarne tačke– to su vrijednosti argumenta pri kojima derivacija funkcije postaje nula.

Zašto su nam potrebne stacionarne tačke pri pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatova teorema. Iz ove teoreme slijedi da ako diferencijabilna funkcija ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum) u nekoj tački, onda je ta tačka stacionarna. Dakle, funkcija često uzima svoju najveću (najmanju) vrijednost na intervalu X u jednoj od stacionarnih tačaka iz ovog intervala.

Također, funkcija često može poprimiti svoje najveće i najmanje vrijednosti u tačkama u kojima prvi izvod ove funkcije ne postoji, a sama funkcija je definirana.

Odgovorimo odmah na jedno od najčešćih pitanja na ovu temu: „Da li je uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije“? Ne, ne uvek. Ponekad se granice intervala X poklapaju sa granicama domene definicije funkcije, ili je interval X beskonačan. A neke funkcije u beskonačnosti i na granicama domene definicije mogu poprimiti i beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti. U ovim slučajevima se ništa ne može reći o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Radi jasnoće daćemo grafičku ilustraciju. Pogledajte slike i mnogo toga će vam biti jasnije.

Na segmentu

Na prvoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim tačkama koje se nalaze unutar segmenta [-6;6].

Razmotrite slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenimo segment u . U ovom primjeru, najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj tački, a najveća u tački sa apscisom koja odgovara desnoj granici intervala.

Na slici 3, granične tačke segmenta [-3;2] su apscise tačaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrednosti funkcije.

Na otvorenom intervalu

Na četvrtoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama koje se nalaze unutar otvorenog intervala (-6;6).

Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.

U beskonačnosti

U primjeru prikazanom na sedmoj slici, funkcija uzima najveću vrijednost (max y) u stacionarnoj tački sa apscisom x=1, a najmanja vrijednost (min y) postiže se na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3.

Tokom intervala, funkcija ne dostiže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kako se x=2 približava s desne strane, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (prava x=2 je vertikalna asimptota), a kako apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3. Grafička ilustracija ovog primjera prikazana je na slici 8.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.

Napišimo algoritam koji nam omogućava da pronađemo najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

Pronalazimo domen definicije funkcije i provjeravamo da li sadrži cijeli segment.
Pronalazimo sve tačke u kojima prvi izvod ne postoji i koje su sadržane u segmentu (obično se takve tačke nalaze u funkcijama sa argumentom pod predznakom modula i u funkcijama stepena sa frakciono-racionalnim eksponentom). Ako takvih tačaka nema, prijeđite na sljedeću tačku.
Određujemo sve stacionarne tačke koje spadaju u segment. Da bismo to učinili, izjednačavamo ga s nulom, rješavamo rezultirajuću jednadžbu i odabiremo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih tačaka ili nijedna od njih ne pada u segment, pređite na sledeću tačku.
Izračunavamo vrijednosti funkcije u odabranim stacionarnim tačkama (ako ih ima), u tačkama u kojima prvi izvod ne postoji (ako postoji), kao i na x=a i x=b.
Od dobivenih vrijednosti funkcije biramo najveću i najmanju - to će biti tražena najveća i najmanja vrijednost funkcije.

Analizirajmo algoritam za rješavanje primjera kako bismo pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

Primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu;
na segmentu [-4;-1] .

Rješenje.

Područje definicije funkcije je cijeli skup realnih brojeva, sa izuzetkom nule, tj. Oba segmenta spadaju u domen definicije.

Pronađite izvod funkcije u odnosu na:

Očigledno, derivacija funkcije postoji u svim tačkama segmenata i [-4;-1].

Stacionarne tačke određujemo iz jednačine. Jedini pravi korijen je x=2. Ova stacionarna tačka spada u prvi segment.

Za prvi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj tački, odnosno za x=1, x=2 i x=4:

Dakle, najveća vrijednost funkcije se postiže pri x=1, a najmanja vrijednost – na x=2.

Za drugi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4;-1] (pošto ne sadrži ni jednu stacionarnu tačku):

U praksi je prilično uobičajeno koristiti derivaciju kako bi se izračunala najveća i najmanja vrijednost funkcije. Ovu radnju izvodimo kada shvatimo kako da minimiziramo troškove, povećamo profit, izračunamo optimalno opterećenje proizvodnje itd., odnosno u slučajevima kada trebamo odrediti optimalnu vrijednost nekog parametra. Da biste ispravno riješili takve probleme, morate dobro razumjeti koje su najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Obično ove vrijednosti definiramo unutar određenog intervala x, koji zauzvrat može odgovarati cijeloj domeni funkcije ili njenom dijelu. Može biti kao segment [a; b ] , i otvoreni interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), beskonačan interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) ili beskonačan interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

U ovom materijalu ćemo vam reći kako izračunati najveću i najmanju vrijednost eksplicitno definirane funkcije s jednom varijablom y=f(x) y = f (x) .

Osnovne definicije

Počnimo, kao i uvijek, sa formulacijom osnovnih definicija.

Definicija 1

Najveća vrijednost funkcije y = f (x) na određenom intervalu x je vrijednost m a x y = f (x 0) x ∈ X, što za bilo koju vrijednost x x ∈ X, x ≠ x 0 čini nejednakost f (x) ≤ f (x) vrijedi 0) .

Definicija 2

Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na određenom intervalu x je vrijednost m i n x ∈ X y = f (x 0) , koja za bilo koju vrijednost x ∈ X, x ≠ x 0 čini nejednakost f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Ove definicije su sasvim očigledne. Još jednostavnije, možemo reći ovo: najveća vrijednost funkcije je njena najveća vrijednost na poznatom intervalu na apscisi x 0, a najmanja je najmanja prihvaćena vrijednost na istom intervalu na x 0.

Definicija 3

Stacionarne točke su one vrijednosti argumenta funkcije u kojima njena derivacija postaje 0.

Zašto moramo znati šta su stacionarne tačke? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo se sjetiti Fermatove teoreme. Iz toga slijedi da je stacionarna tačka tačka u kojoj se nalazi ekstrem diferencijabilne funkcije (tj. njen lokalni minimum ili maksimum). Posljedično, funkcija će uzeti najmanju ili najveću vrijednost na određenom intervalu upravo u jednoj od stacionarnih tačaka.

Funkcija također može poprimiti najveću ili najmanju vrijednost u onim točkama u kojima je sama funkcija definirana, a njen prvi izvod ne postoji.

Prvo pitanje koje se nameće prilikom proučavanja ove teme: možemo li u svim slučajevima odrediti najveću ili najmanju vrijednost funkcije na datom intervalu? Ne, to ne možemo učiniti kada se granice datog intervala poklapaju sa granicama područja definicije, ili ako imamo posla sa beskonačnim intervalom. Takođe se dešava da će funkcija u datom segmentu ili na beskonačnosti uzeti beskonačno male ili beskonačno velike vrednosti. U tim slučajevima nije moguće odrediti najveću i/ili najmanju vrijednost.

Ove tačke će postati jasnije nakon što budu prikazane na grafikonima:

Prva slika nam prikazuje funkciju koja uzima najveću i najmanju vrijednost (m a x y i m i n y) u stacionarnim tačkama koje se nalaze na segmentu [ - 6 ; 6].

Hajde da detaljno ispitamo slučaj prikazan u drugom grafikonu. Promijenimo vrijednost segmenta u [ 1 ; 6 ] i nalazimo da će se najveća vrijednost funkcije postići u tački sa apscisom na desnoj granici intervala, a najmanja - u stacionarnoj tački.

Na trećoj slici, apscise tačaka predstavljaju granične tačke segmenta [ - 3 ; 2]. Oni odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti date funkcije.

Pogledajmo sada četvrtu sliku. U njemu funkcija uzima m a x y (najveća vrijednost) i m i n y (najmanja vrijednost) u stacionarnim tačkama na otvorenom intervalu (- 6 ; 6).

Ako uzmemo interval [ 1 ; 6), tada možemo reći da će se najmanja vrijednost funkcije na njemu postići u stacionarnoj tački. Najveća vrijednost će nam biti nepoznata. Funkcija bi mogla poprimiti svoju maksimalnu vrijednost na x jednaku 6 ako x = 6 pripada intervalu. Upravo je to slučaj prikazan na grafikonu 5.

Na grafikonu 6 ova funkcija dobija svoju najmanju vrijednost na desnoj granici intervala (- 3; 2 ], a ne možemo izvući definitivne zaključke o najvećoj vrijednosti.

Na slici 7 vidimo da će funkcija imati m a x y u stacionarnoj tački koja ima apscisu jednaku 1. Funkcija će dostići svoju minimalnu vrijednost na granici intervala na desnoj strani. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti y = 3.

Ako uzmemo interval x ∈ 2 ; + ∞ , tada ćemo vidjeti da data funkcija neće uzeti ni najmanju ni najveću vrijednost na njoj. Ako x teži 2, tada će vrijednosti funkcije težiti minus beskonačnosti, jer je prava linija x = 2 vertikalna asimptota. Ako apscisa teži plus beskonačnosti, tada će se vrijednosti funkcije asimptotski približiti y = 3. Upravo je to slučaj prikazan na slici 8.

U ovom odlomku ćemo predstaviti slijed radnji koje je potrebno izvršiti da bi se pronašla najveća ili najmanja vrijednost funkcije na određenom segmentu.

Prvo, pronađimo domenu definicije funkcije. Provjerimo da li je segment naveden u uvjetu uključen u njega.
Sada izračunajmo tačke sadržane u ovom segmentu u kojima prvi izvod ne postoji. Najčešće se mogu naći u funkcijama čiji je argument napisan pod znakom modula, ili u funkcijama stepena čiji je eksponent razlomački racionalan broj.
Zatim ćemo saznati koje će stacionarne tačke pasti u dati segment. Da biste to učinili, morate izračunati derivaciju funkcije, zatim je izjednačiti sa 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu, a zatim odabrati odgovarajuće korijene. Ako ne dobijemo ni jednu stacionarnu tačku ili ne spadaju u dati segment, onda prelazimo na sljedeći korak.
Određujemo koje će vrijednosti funkcija imati u datim stacionarnim točkama (ako ih ima), ili u onim tačkama u kojima prvi izvod ne postoji (ako ih ima), ili izračunavamo vrijednosti za x = a i x = b.
5. Imamo niz vrijednosti funkcije, od kojih sada trebamo odabrati najveću i najmanju. To će biti najveće i najmanje vrijednosti funkcije koje trebamo pronaći.

Pogledajmo kako pravilno primijeniti ovaj algoritam prilikom rješavanja problema.

Primjer 1

Stanje: data je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Odrediti njegovu najveću i najmanju vrijednost na segmentima [ 1 ; 4 ] i [ - 4 ; - 1 ] .

Rješenje:

Počnimo od pronalaženja domene definicije date funkcije. U ovom slučaju, to će biti skup svih realnih brojeva osim 0. Drugim riječima, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Oba segmenta navedena u uvjetu bit će unutar područja definicije.

Sada izračunavamo derivaciju funkcije prema pravilu diferencijacije razlomaka:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Naučili smo da će izvod funkcije postojati u svim tačkama segmenata [1; 4 ] i [ - 4 ; - 1 ] .

Sada moramo odrediti stacionarne tačke funkcije. Uradimo to pomoću jednačine x 3 - 8 x 3 = 0. Ima samo jedan pravi korijen, a to je 2. To će biti stacionarna tačka funkcije i pasti u prvi segment [1; 4 ] .

Izračunajmo vrijednosti funkcije na krajevima prvog segmenta iu ovoj tački, tj. za x = 1, x = 2 i x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Otkrili smo da je najveća vrijednost funkcije m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 će se postići pri x = 1, a najmanji m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pri x = 2.

Drugi segment ne uključuje niti jednu stacionarnu tačku, tako da moramo izračunati vrijednosti funkcije samo na krajevima datog segmenta:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

To znači m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

odgovor: Za segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , za segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

pogledajte sliku:

Prije proučavanja ove metode savjetujemo vam da pregledate kako pravilno izračunati jednostranu granicu i granicu u beskonačnosti, kao i da naučite osnovne metode za njihovo pronalaženje. Da biste pronašli najveću i/ili najmanju vrijednost funkcije na otvorenom ili beskonačnom intervalu, izvršite sljedeće korake uzastopno.

Prvo morate provjeriti da li je dati interval podskup domene definicije ove funkcije.
Odredimo sve tačke koje se nalaze u traženom intervalu i u kojima prvi izvod ne postoji. Obično se javljaju za funkcije kod kojih je argument zatvoren u znaku modula i za funkcije stepena s razlomno racionalnim eksponentom. Ako ove tačke nedostaju, možete preći na sljedeći korak.
Sada odredimo koje će stacionarne tačke pasti unutar zadanog intervala. Prvo izjednačavamo derivaciju sa 0, rješavamo jednačinu i odabiremo odgovarajuće korijene. Ako nemamo niti jednu stacionarnu tačku ili ne spadaju u navedeni interval, odmah prelazimo na daljnje radnje. Oni su određeni tipom intervala.

Ako je interval u obliku [ a ; b) , tada trebamo izračunati vrijednost funkcije u tački x = a i jednostranoj granici lim x → b - 0 f (x) .
Ako interval ima oblik (a; b ], onda trebamo izračunati vrijednost funkcije u tački x = b i jednostranoj granici lim x → a + 0 f (x).
Ako interval ima oblik (a; b), onda moramo izračunati jednostrane granice lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Ako je interval u obliku [ a ; + ∞), tada trebamo izračunati vrijednost u tački x = a i granicu na plus beskonačno lim x → + ∞ f (x) .
Ako interval izgleda kao (- ∞ ; b ] , izračunavamo vrijednost u tački x = b i granicu u minus beskonačnosti lim x → - ∞ f (x) .
Ako je - ∞ ; b , tada razmatramo jednostranu granicu lim x → b - 0 f (x) i granicu na minus beskonačnost lim x → - ∞ f (x)
Ako je - ∞; + ∞ , tada razmatramo granice na minus i plus beskonačnost lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Na kraju morate izvući zaključak na osnovu dobijenih vrijednosti funkcije i ograničenja. Ovdje su dostupne mnoge opcije. Dakle, ako je jednostrana granica jednaka minus beskonačnosti ili plus beskonačnosti, onda je odmah jasno da se ništa ne može reći o najmanjoj i najvećoj vrijednosti funkcije. U nastavku ćemo pogledati jedan tipičan primjer. Detaljni opisi će vam pomoći da shvatite šta je šta. Ako je potrebno, možete se vratiti na slike 4 - 8 u prvom dijelu materijala.

Primjer 2

Uslov: data funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Izračunajte njegovu najveću i najmanju vrijednost u intervalima - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Rješenje

Prije svega, nalazimo domenu definicije funkcije. Imenilac razlomka sadrži kvadratni trinom, koji se ne bi trebao pretvoriti u 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Dobili smo domenu definicije funkcije kojoj pripadaju svi intervali navedeni u uvjetu.

Sada ćemo razlikovati funkciju i dobiti:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Prema tome, derivati funkcije postoje u cijelom njenom domenu definicije.

Pređimo na pronalaženje stacionarnih tačaka. Derivat funkcije postaje 0 na x = - 1 2 . Ovo je stacionarna tačka koja leži u intervalima (- 3 ; 1 ] i (- 3 ; 2) .

Izračunajmo vrijednost funkcije na x = - 4 za interval (- ∞ ; - 4 ], kao i granicu na minus beskonačnost:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Pošto je 3 e 1 6 - 4 > - 1, to znači da je m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nam ne dozvoljava da jedinstveno odredimo najmanju vrijednost Možemo samo zaključiti da postoji ograničenje ispod - 1, pošto se ovoj vrijednosti funkcija približava na minus beskonačno.

Posebnost drugog intervala je u tome što u njemu ne postoji niti jedna stacionarna tačka, niti jedna stroga granica. Posljedično, nećemo moći izračunati ni najveću ni najmanju vrijednost funkcije. Nakon što smo definirali granicu na minus beskonačnost i kako argument teži - 3 na lijevoj strani, dobijamo samo interval vrijednosti:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To znači da će se vrijednosti funkcije nalaziti u intervalu - 1; +∞

Da bismo pronašli najveću vrijednost funkcije u trećem intervalu, odredimo njenu vrijednost u stacionarnoj tački x = - 1 2 ako je x = 1. Također ćemo morati znati jednostrano ograničenje za slučaj kada argument teži - 3 na desnoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Pokazalo se da će funkcija poprimiti najveću vrijednost u stacionarnoj tački m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Što se tiče najmanje vrijednosti, ne možemo je odrediti. Sve što znamo , je prisustvo donje granice na -4.

Za interval (- 3 ; 2) uzmite rezultate prethodnog proračuna i još jednom izračunajte čemu je jednaka jednostrana granica kada težite 2 na lijevoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

To znači da je m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, a najmanja vrijednost se ne može odrediti, a vrijednosti funkcije su ograničene odozdo brojem - 4 .

Na osnovu onoga što smo dobili u prethodna dva proračuna, možemo reći da na intervalu [ 1 ; 2) funkcija će uzeti najveću vrijednost pri x = 1, ali je nemoguće pronaći najmanju.

Na intervalu (2 ; + ∞) funkcija neće dostići ni najveću ni najmanju vrijednost, tj. uzimat će vrijednosti iz intervala - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Izračunavši koliko će biti jednaka vrijednost funkcije pri x = 4, saznajemo da je m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , a data funkcija na plus beskonačno će se asimptotski približiti pravoj liniji y = - 1 .

Uporedimo ono što smo dobili u svakom proračunu sa grafikom date funkcije. Na slici su asimptote prikazane isprekidanim linijama.

To je sve što smo vam htjeli reći o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Slijedovi radnji koje smo dali pomoći će vam da izvršite potrebne proračune što je brže i jednostavnije moguće. Ali zapamtite da je često korisno prvo otkriti u kojim intervalima će se funkcija smanjivati, a u kojim će se povećavati, nakon čega možete izvući daljnje zaključke. Na ovaj način možete preciznije odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije i opravdati dobivene rezultate.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Proces traženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije na segmentu podsjeća na fascinantan let oko objekta (graf funkcije) u helikopteru, pucanje na određene točke iz dalekometnog topa i odabir vrlo posebne tačke sa ovih tačaka za kontrolne udarce. Bodovi se biraju na određeni način i prema određenim pravilima. Po kojim pravilima? O tome ćemo dalje.

Ako je funkcija y = f(x) je kontinuiran na intervalu [ a, b] , zatim dopire do ovog segmenta najmanje I najviše vrijednosti . Ovo se može dogoditi bilo u ekstremne tačke, ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanje I najveće vrijednosti funkcije , kontinuirano na intervalu [ a, b] , potrebno je izračunati njegove vrijednosti u svemu kritične tačke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.

Neka, na primjer, želite odrediti najveću vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Da biste to učinili, morate pronaći sve njegove kritične točke koje leže na [ a, b] .

Kritična tačka nazvana tačka u kojoj definirana funkcija, i ona derivat ili jednako nuli ili ne postoji. Zatim treba izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama. I na kraju, treba uporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) I f(b)). Najveći od ovih brojeva će biti najveća vrijednost funkcije na segmentu [a, b] .

Problemi nalaženja najmanje vrijednosti funkcije .

Zajedno tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije

Primjer 1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

Rješenje. Pronađite izvod ove funkcije. Hajde da izjednačimo derivaciju sa nulom () i dobijemo dve kritične tačke: i . Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, dovoljno je izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u tački, jer tačka ne pripada segmentu [-1, 2]. Ove vrijednosti funkcije su: , , . Iz toga slijedi najmanja vrijednost funkcije(označeno crvenom bojom na donjem grafikonu), jednako -7, postiže se na desnom kraju segmenta - u tački , i najveći(takođe crveno na grafikonu), jednako 9, - u kritičnoj tački.

Ako je funkcija kontinuirana u određenom intervalu i ovaj interval nije segment (ali je, na primjer, interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, već granične točke segmenta su uključene u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako, na primjer, funkcija prikazana na donjoj slici je kontinuirana na ]-∞, +∞[ i nema najveću vrijednost.

Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan) vrijedi sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija.

Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

Rješenje. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:

Izjednačavamo derivaciju sa nulom, što nam daje jednu kritičnu tačku: . Pripada segmentu [-1, 3] . Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Hajde da uporedimo ove vrednosti. Zaključak: jednako -5/13, u tački i najveća vrijednost jednako 1 u tački .

Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije

Ima nastavnika koji na temu pronalaženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije ne daju učenicima za rješavanje primjere koji su složeniji od onih o kojima se upravo raspravljalo, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, čiji su brojilac i nazivnik polinomi. Ali nećemo se ograničiti na takve primjere, jer među nastavnicima ima onih koji vole prisiljavati učenike da razmišljaju u potpunosti (tabela izvedenica). Stoga će se koristiti logaritamska i trigonometrijska funkcija.

Primjer 6. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Rješenje. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivat proizvoda :

Derivat izjednačavamo sa nulom, što daje jednu kritičnu tačku: . Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Rezultat svih radnji: funkcija dostigne svoju minimalnu vrijednost, jednako 0, u tački i u tački i najveća vrijednost, jednako e², u tački.

Primjer 7. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Rješenje. Pronađite izvod ove funkcije:

Izjednačavamo derivaciju sa nulom:

Jedina kritična tačka pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

zaključak: funkcija dostigne svoju minimalnu vrijednost, jednako , u točki i najveća vrijednost, jednako , u tački .

U primijenjenim ekstremnim problemima, pronalaženje najmanjih (maksimalnih) vrijednosti funkcije, po pravilu se svodi na pronalaženje minimalne (maksimalne). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već one vrijednosti argumenta na kojima se oni postižu. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća - sastavljanje funkcija koje opisuju pojavu ili proces koji se razmatra.

Primjer 8. Rezervoar kapaciteta 4, koji ima oblik paralelepipeda sa kvadratnom bazom i otvoren na vrhu, mora biti kalajisan. Koje veličine rezervoara treba da bude tako da se za pokrivanje koristi najmanja količina materijala?

Rješenje. Neka x- osnovna strana, h- visina rezervoara, S- njegovu površinu bez pokrova, V- njen volumen. Površina rezervoara se izražava formulom, tj. je funkcija dvije varijable. Da izrazim S kao funkciju jedne varijable, koristimo činjenicu da , odakle . Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:

Hajde da ispitamo ovu funkciju do njenog ekstrema. Definiran je i diferencijabilan svuda u ]0, +∞[ , i

Izjednačavamo derivaciju sa nulom () i nalazimo kritičnu tačku. Osim toga, kada izvod ne postoji, ali ova vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti tačka ekstrema. Dakle, ovo je jedina kritična tačka. Provjerimo prisustvo ekstremuma koristeći drugi dovoljan znak. Nađimo drugi izvod. Kada je drugi izvod veći od nule (). To znači da kada funkcija dostigne minimum . Od ovoga minimum je jedini ekstrem ove funkcije, to je njena najmanja vrijednost. Dakle, strana dna rezervoara treba da bude 2 m, a visina treba da bude .

Primjer 9. Od tačke A nalazi se na željezničkoj pruzi, do tač WITH, koji se nalazi na udaljenosti od njega l, teret mora biti transportovan. Cijena transporta jedinice težine po jedinici udaljenosti željeznicom je jednaka , a autoputem je jednaka . Do koje tačke Mželjeznička pruga treba biti izgrađena kao autoput kako bi se mogao prevoziti teret A V WITH bio najekonomičniji (odjeljak AB pretpostavlja se da je željeznica ravna)?

Sa ovom uslugom možete pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije jedna varijabla f(x) sa rješenjem formatiranim u Wordu. Ako je zadana funkcija f(x,y), potrebno je pronaći ekstremum funkcije dvije varijable. Također možete pronaći intervale rastućih i opadajućih funkcija.

Pravila za unos funkcija:

Neophodan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable

Jednačina f" 0 (x *) = 0 je neophodan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable, tj. u tački x * prvi izvod funkcije mora nestati. Ona identifikuje stacionarne tačke x c u kojima funkcija ne funkcioniše povećati ili smanjiti.

Dovoljan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable

Neka je f 0 (x) dvaput diferencibilan u odnosu na x koji pripada skupu D. Ako je u tački x * ispunjen uslov:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tada je tačka x * tačka lokalnog (globalnog) minimuma funkcije.

Ako je u tački x * ispunjen uslov:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Tada je tačka x * lokalni (globalni) maksimum.

Primjer br. 1. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije: na segmentu.
Rješenje.

Kritična tačka je jedan x 1 = 2 (f’(x)=0). Ova tačka pripada segmentu. (Tačka x=0 nije kritična, jer je 0∉).
Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na kritičnoj tački.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Odgovor: f min = 5 / 2 pri x=2; f max =9 pri x=1

Primjer br. 2. Koristeći derivacije višeg reda, pronađite ekstremum funkcije y=x-2sin(x) .
Rješenje.
Pronađite izvod funkcije: y’=1-2cos(x) . Nađimo kritične tačke: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nalazimo y’’=2sin(x), izračunaj , što znači da su x= π / 3 +2πk, k∈Z minimalne tačke funkcije; , što znači da su x=- π / 3 +2πk, k∈Z maksimalne tačke funkcije.

Primjer br. 3. Istražiti funkciju ekstrema u blizini tačke x=0.
Rješenje. Ovdje je potrebno pronaći ekstreme funkcije. Ako je ekstrem x=0, onda saznajte njegov tip (minimum ili maksimum). Ako među pronađenim tačkama nema x = 0, onda izračunajte vrijednost funkcije f(x=0).
Treba napomenuti da kada derivacija na svakoj strani date tačke ne promijeni svoj predznak, moguće situacije nisu iscrpljene čak ni za diferencijabilne funkcije: može se dogoditi da za proizvoljno malo susjedstvo na jednoj strani tačke x 0 ili na obje strane derivacija mijenja predznak. U ovim tačkama potrebno je koristiti druge metode za proučavanje funkcija na ekstremu.