Jednakokraki trougao.

Tema lekcije

Jednakokraki trougao

Svrha lekcije

Upoznati učenike sa jednakokračnim trouglom;
Nastaviti razvijati vještine konstruiranja pravokutnih trougla;
Proširiti znanje učenika o svojstvima jednakokračnih trouglova;
Ojačati teorijsko znanje prilikom rješavanja problema.

Ciljevi lekcije

Znati formulirati, dokazati i koristiti teoremu o svojstvima jednakokračnog trougla u procesu rješavanja zadataka;
Nastaviti sa razvojem svjesne percepcije nastavnog materijala, logičkog mišljenja, vještina samokontrole i samopoštovanja;
Potaknuti kognitivni interes za časove matematike;
Podsticanje aktivnosti, radoznalosti i organizacije.

Plan lekcije

1. Opći pojmovi i definicije jednakokračnog trougla.
2. Svojstva jednakokračnog trougla.
3. Znaci jednakokračnog trougla.
4. Pitanja i zadaci.

Jednakokraki trougao

Jednakokračni trokut je trokut koji ima dvije jednake stranice, koje se nazivaju stranicama jednakokračnog trougla, a njegova treća stranica naziva se baza.

Vrh date figure je onaj koji se nalazi nasuprot njene osnove.

Ugao koji leži nasuprot osnovici naziva se vršni ugao ovog trougla, a druga dva ugla nazivaju se uglovi osnove jednakokračnog trougla.

Vrste jednakokračnih trouglova

Jednakokraki trokut, kao i druge figure, može imati različite tipove. Među jednakokračnim trouglovima postoje oštar, pravougaoni, tupokutni i jednakostranični trouglovi.

Oštar trougao ima sve oštre uglove.
Pravokutni trokut ima pravi ugao na vrhu i oštre uglove u osnovi.
Tup ugao ima tup ugao na vrhu, a uglovi u njegovoj osnovi su oštri.
Jednakostranični predmet ima sve uglove i stranice jednake.

Svojstva jednakokračnog trougla

Suprotni uglovi u odnosu na jednake stranice jednakokračnog trougla su međusobno jednaki;

Simetrale, medijane i visine povučene iz uglova naspram jednakih strana trougla jednake su jedna drugoj.

Simetrala, medijana i visina, usmjereni i povučeni na osnovu trokuta, međusobno se poklapaju.

Centri upisanog i opisanog kruga leže na nadmorskoj visini, simetrali i medijani (poklapaju se) povučeni prema osnovici.

Uglovi naspram jednakih stranica jednakokračnog trougla su uvijek oštri.

Ova svojstva jednakokračnog trougla se koriste u rješavanju problema.

Zadaća

1. Definirajte jednakokraki trougao.
2. Šta je posebno kod ovog trougla?
3. Kako se jednakokraki trokut razlikuje od pravouglog trougla?
4. Imenujte svojstva jednakokračnog trougla koje poznajete.
5. Mislite li da je moguće u praksi provjeriti jednakost uglova u osnovi i kako to učiniti?

Vježbajte

Hajde da sada provedemo kratku anketu i saznamo kako ste naučili novi materijal.

Pažljivo slušajte pitanja i odgovorite da li je sljedeća tvrdnja tačna:

1. Može li se trougao smatrati jednakokračnim ako su mu dvije stranice jednake?
2. Simetrala je segment koji povezuje vrh trougla sa sredinom suprotne strane?
3. Simetrala je segment koji prepolovi ugao koji povezuje vrh sa tačkom na suprotnoj strani?

Savjeti za rješavanje problema jednakokračnog trougla:

1. Da bi se odredio obim jednakokračnog trougla, dovoljno je pomnožiti dužinu stranice sa 2 i dodati ovaj proizvod sa dužinom osnove trokuta.
2. Ako su u zadatku poznati obim i dužina osnove jednakokračnog trougla, onda je za pronalaženje dužine stranice dovoljno od obima oduzeti dužinu osnove i pronađenu razliku podijeliti sa 2.
3. A da biste pronašli dužinu osnove jednakokračnog trokuta, znajući i obim i dužinu stranice, samo trebate pomnožiti stranu sa dva i oduzeti ovaj proizvod od perimetra našeg trokuta.

Zadaci:

1. Među trouglovima na slici odredite jedan dodatni i objasnite svoj izbor:

2. Odredi koji su od trouglova prikazanih na slici jednakokraki, navedi njihove osnove i stranice i izračunaj im obim.

3. Opseg jednakokračnog trougla je 21 cm Nađite stranice ovog trokuta ako je jedna od njih 3 cm veća.

4. Poznato je da ako su bočna stranica i ugao nasuprot osnovici jednog jednakokračnog trougla jednaki bočnoj strani i uglu drugog, onda će ti trouglovi biti jednaki. Dokažite ovu tvrdnju.

5. Razmisli i reci da li je bilo koji jednakokraki trougao jednakostraničan? I hoće li bilo koji jednakostranični trokut biti jednakokračan?

6. Ako su stranice jednakokračnog trougla 4 m i 5 m, koliki će onda biti njegov obim? Koliko rješenja ovaj problem može imati?

7. Ako je jedan od uglova jednakokrakog trougla jednak 91 stepen, čemu su onda jednaki ostali uglovi?

8. Razmisli i odgovori koje uglove treba da ima trougao da bi bio i pravougaonik i jednakokrak?

Koliko vas zna šta je Pascalov trougao? Problem konstruisanja Pascalovog trougla se često postavlja za testiranje osnovnih veština programiranja. Općenito, Pascalov trokut se odnosi na kombinatoriku i teoriju vjerovatnoće. Pa kakav je ovo trougao?

Pascalov trokut je beskonačan aritmetički trokut ili tablica u obliku trokuta koja se formira korištenjem binomnih koeficijenata. Jednostavnim riječima, vrh i stranice ovog trougla su jedinice, a sam je ispunjen zbirom dva broja koja se nalaze iznad. Takav trokut se može savijati beskonačno, ali ako ga ocrtamo, dobit ćemo jednakokraki trokut sa simetričnim linijama u odnosu na njegovu vertikalnu os.

Razmislite, gdje ste u svakodnevnom životu naišli na jednakokračne trouglove? Nije li istina da krovovi kuća i drevne arhitektonske strukture jako podsjećaju na njih? Sjećate li se šta je osnova egipatskih piramida? Gdje ste još naišli na jednakokračne trouglove?

Od davnina, jednakokraki trokuti su pomagali Grcima i Egipćanima u određivanju udaljenosti i visina. Na primjer, stari Grci su ga koristili za određivanje udaljenosti do broda na moru. A stari Egipćani su odredili visinu svojih piramida na osnovu dužine bačene senke, jer... to je bio jednakokraki trougao.

Od davnina ljudi su već cijenili ljepotu i praktičnost ove figure, jer nas oblici trokuta okružuju posvuda. Krećući se kroz različita sela, vidimo krovove kuća i drugih zgrada koji nas podsjećaju na jednakokraki trokut kada uđemo u trgovinu, vidimo trokutasta pakovanja hrane i sokova, a čak i neka ljudska lica imaju oblik; trougao. Ova figura je toliko popularna da je možete vidjeti na svakom koraku.

Predmeti > Matematika > Matematika 7. razred

Jednakokraki trougao je trougao u kojem su dvije stranice jednake po dužini. Jednake strane se nazivaju bočne, a posljednja baza. Po definiciji, pravilan trougao je istokrak, ali obrnuto nije tačno.

Svojstva

• Uglovi naspram jednakih stranica jednakokračnog trougla jednaki su jedan drugom. Simetrale, medijane i visine povučene iz ovih uglova su takođe jednake.
• Simetrala, medijana, visina i okomita simetrala povučena na osnovu poklapaju se jedni s drugima. Centri upisanih i opisanih kružnica leže na ovoj pravoj.
• Uglovi nasuprot jednakih strana su uvijek oštri (proizlazi iz njihove jednakosti).

Neka a- dužina dvije jednake stranice jednakokračnog trougla, b- dužina treće strane, α I β - odgovarajući uglovi, R- poluprečnik opisane kružnice, r- radijus upisanog .

Strane se mogu naći na sljedeći način:

Uglovi se mogu izraziti na sljedeće načine:

Opseg jednakokračnog trokuta može se izračunati na bilo koji od sljedećih načina:

Površina trokuta može se izračunati na jedan od sljedećih načina:

(Heronova formula).

Znakovi

• Dva ugla trougla su jednaka.
• Visina se poklapa sa medijanom.
• Visina se poklapa sa simetralom.
• Simetrala se poklapa sa medijanom.
• Dvije visine su jednake.
• Dva medijana su jednaka.
• Dvije simetrale su jednake (Steiner-Lemusov teorem).

vidi takođe

Wikimedia fondacija. 2010.

• Gremjačinski opštinski okrug Permske oblasti
• detektiv (profesija)

Pogledajte šta je "jednakokraki trougao" u drugim rječnicima:

IZOBRAN TROUGAO- ISOSceles TROUGAO, TROUGAO koji ima dvije stranice jednake dužine; uglovi na ovim stranama su takođe jednaki... Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

TROUGAO- i (jednostavan) trokut, trougao, čovjek. 1. Geometrijska figura omeđena trima linijama koje se međusobno sijeku koje formiraju tri unutrašnja ugla (mat.). Tupokutni trokut. Akutni trougao. Pravougli trougao.... Ushakov's Explantatory Dictionary

ISOSCELES- ISOSceles, aya, oh: jednakokraki trougao koji ima dvije jednake stranice. | imenica jednakokraki i ženski Ozhegov rečnik objašnjenja. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 … Ozhegov's Explantatory Dictionary

trougao- ▲ poligon sa tri ugla, trougao, najjednostavniji poligon; je definisan sa 3 tačke koje ne leže na istoj pravoj. trouglasti. oštar ugao. oštrougao. pravougli trougao: krak. hipotenuza. jednakokraki trougao. ▼… … Ideografski rečnik ruskog jezika

trougao- TROUGAO1, a, m čega ili sa def. Predmet u obliku geometrijske figure omeđen sa tri linije koje se ukrštaju koje formiraju tri unutrašnja ugla. Pregledala je pisma svog muža, požutjele trouglove sprijeda. TROUGAO2, a, m...... Objašnjavajući rječnik ruskih imenica

Trougao- Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Trougao (značenja). Trougao (u Euklidskom prostoru) je geometrijska figura formirana od tri segmenta koji spajaju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji. Tri tačke,... ... Wikipedia

trokut (poligon)- Trouglovi: 1 oštar, pravougaoni i tupougaoni; 2 pravilne (jednakostrane) i jednakokračne; 3 simetrale; 4 medijane i centar gravitacije; 5 visina; 6 ortocentar; 7 srednja linija. TROUGAO, poligon sa 3 strane. Ponekad ispod ... ... Ilustrovani enciklopedijski rječnik

trougao enciklopedijski rječnik

trougao- A; m 1) a) Geometrijska figura omeđena trima linijama koje se ukrštaju koje formiraju tri unutrašnja ugla. Pravougaoni, jednakokraki trougao. Izračunajte površinu trokuta. b) ott. šta ili sa def. Figura ili predmet ovog oblika ... ... Rječnik mnogih izraza

Trougao- A; m 1. Geometrijska figura omeđena trima linijama koje se ukrštaju koje formiraju tri unutrašnja ugla. Pravokutni, jednakokraki t Izračunajte površinu trokuta. // što ili sa def. Figura ili predmet ovog oblika. T. krovovi. T.… … enciklopedijski rječnik

U kojoj su dvije strane jednake po dužini. Jednake strane se nazivaju bočne, a posljednja nejednaka strana naziva se baza. Po definiciji, pravilan trougao je istokrak, ali obrnuto nije tačno.

Terminologija

Ako trokut ima dvije jednake stranice, tada se te stranice nazivaju stranicama, a treća strana naziva se baza. Ugao koji formiraju stranice naziva se vertex angle, i uglovi, čija je jedna strana baza, nazivaju se uglovima na bazi.

Svojstva

• Uglovi naspram jednakih stranica jednakokračnog trougla jednaki su jedan drugom. Simetrale, medijane i visine povučene iz ovih uglova su takođe jednake.
• Simetrala, medijana, visina i okomita simetrala povučena na osnovu poklapaju se jedni s drugima. Centri upisanih i opisanih kružnica leže na ovoj pravoj.

Neka a- dužina dvije jednake stranice jednakokračnog trougla, b- dužina treće strane, h- visina jednakokračnog trougla

• $a\; =\; \backslash frac\; b\; (2\; \backslash cos\; \backslash alpha)$(posledica kosinusne teoreme);
• $b\; =\; a\; \backslash sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash cos\; \backslash beta))$(posledica kosinusne teoreme);
• $b\; =\; 2a\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2$;
• $b\; =\; 2a\backslash cos\backslash alpha$(teorema projekcije)

Polumjer upisane kružnice može se izraziti na šest načina, ovisno o tome koja su dva parametra jednakokračnog trokuta poznata:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt(\backslash frac(2a-b)(2a+b))$
• $r=\backslash frac(bh)(b+\backslash sqrt(4h^2+b^2))$
• $r=\backslash frac(h)(1+\backslash frac(a)(\backslash sqrt(a^2-h^2)))$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash lijevo\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash desno)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash lijevo\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash desno)$

Uglovi može se izraziti na sljedeće načine:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (\backslash pi\; -\; \backslash beta)\; 2;$
• $\backslash beta\; =\; \backslash pi\; -\; 2\backslash alpha;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; (2R),\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; (2R)$(sinus teorema).
• Ugao se može naći i bez $(\backslash pi)$ I $R$. Trokut je podijeljen na pola svojom medijanom, i primljeno Računaju se uglovi dva jednaka pravougla trougla:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; (b)(c),\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

Perimetar Jednakokraki trokut se nalazi na sljedeće načine:

• $P\; =\; 2a\; +\; b$(a-priorat);
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$(posledica teoreme sinusa).

Square trokut se nalazi na sljedeće načine:

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2bh;$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^2)(4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2);$ $S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash sqrt\; (\backslash left(a\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\; \backslash left(a\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right));$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^1)(2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1);$

Vidi također

Napišite recenziju o članku "Jednakokraki trokut"

Bilješke

Izvod koji karakterizira jednakokraki trokut

Na Mariju Dmitrijevnu, iako su je se plašili, u Sankt Peterburgu su gledali kao na krekera i stoga su od njenih reči primetili samo grubu reč i šapatom je ponovili jedno drugom, pretpostavljajući da je ova reč sadržavao svu sol onoga što je rečeno.
Knez Vasilij, koji je nedavno posebno često zaboravljao šta je rekao i sto puta ponavljao isto, govorio je kad god bi slučajno video svoju kćer.
„Helene, j"ai un mot a vous dire", rekao joj je, odvodeći je u stranu i povlačeći je za ruku. „J"ai eu vent de certains projets relatifs a... Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir... Vous avez tant souffert... Mais, chere enfant... ne consultez que votre c?ur. C"est tout ce que je vous dis. [Helen, moram ti nešto reći. Čuo sam za neke vrste u vezi... znaš. Pa, drago moje dijete, znaš da se srce tvoga oca raduje što ti... Toliko si izdržao... Ali, drago dete... Učini kako ti srce kaže.] - I, skrivajući uvek isto uzbuđenje, prislonio je obraz na obraz svoje ćerke i otišao.
Bilibin, koji nije izgubio reputaciju najpametnijeg čovjeka i bio je Helenin nezainteresovani prijatelj, jedan od onih prijatelja koje briljantne žene uvijek imaju, prijatelji muškaraca koji se nikada ne mogu pretvoriti u ljubavnike, Bilibin je jednom u petit comite [mali intimni krug] izrazio njegovoj prijateljici Helen vaš vlastiti pogled na cijelu ovu stvar.
- Ecoutez, Bilibine (Helen je prijatelje poput Bilibine uvijek zvala prezimenom) - i dotaknula je svojom bijelom prstenastom rukom rukav njegovog fraka. – Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Slušaj, Bilibin: reci mi, kako bi rekao svojoj sestri, šta da radim? Koje od njih dvoje?]
Bilibin je skupio kožu iznad obrva i razmišljao sa osmehom na usnama.
“Vous ne me prenez pas en zatečen, vous savez”, rekao je. - Comme veritable ami j"ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (bio je to mladić)", savio je prst, "vous perdez pour toujours la chance d"epouser l"autre, et puis vous me contentez la Cour, [Nećeš me iznenaditi, znaš, ja sam dugo razmišljao o tvojoj stvari: ako se udaš za princa zauvijek će izgubiti priliku da bude žena drugoga, a osim toga, sud će ipak biti nezadovoljan, ovdje je u pitanju srodstvo.) A ako se udaš za starog grofa, onda ćeš biti sreća njegovih posljednjih dana. a onda... za princa više neće biti ponižavajuće da se oženi udovicom plemića.] - i Bilibin pusti kožu.
– Voila un veritable ami! - rekla je ozarena Helen, još jednom rukom dodirnuvši Bilibipov rukav. – Mais c"est que j"aime l"un et l"autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Evo pravog prijatelja! Ali volim oboje i ne bih želeo nikoga da uznemiravam. Za sreću oboje, bila bih spremna da žrtvujem svoj život.] - rekla je.
Bilibin je slegnuo ramenima, rekavši da ni on više ne može da izdrži takvu tugu.
“Une maitresse femme! Voila ce qui s"appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois", ["Bravo ženo! To se zove odlučno postavljanje pitanja. Ona bi voljela da bude žena sve troje istovremeno vreme."] - pomisli Bilibin.

Ova lekcija će pokriti temu „Jednakokraki trougao i njegova svojstva“. Naučit ćete kako izgledaju jednakokračni i jednakostrani trouglovi i kako se karakteriziraju. Dokažite teoremu o jednakosti uglova u osnovi jednakokračnog trokuta. Razmotrimo i teoremu o simetrali (medijanu i nadmorskoj visini) povučenoj bazi jednakokračnog trougla. Na kraju lekcije ćete riješiti dva problema koristeći definiciju i svojstva jednakokračnog trougla.

definicija:Jednakokraki naziva se trougao čije su dvije stranice jednake.

Rice. 1. Jednakokraki trougao

AB = AC - strane. BC - temelj.

Površina jednakokračnog trokuta jednaka je polovini umnoška njegove osnove i visine.

definicija:Equilateral naziva se trougao u kojem su sve tri strane jednake.

Rice. 2. Jednakostranični trougao

AB = BC = SA.

Teorema 1: U jednakokračnom trouglu uglovi osnove su jednaki.

Dato: AB = AC.

dokazati:∠B =∠C.

Rice. 3. Crtež za teoremu

dokaz: trougao ABC = trougao ACB prema prvom znaku (dve jednake stranice i ugao između njih). Iz jednakosti trouglova slijedi da su svi odgovarajući elementi jednaki. To znači ∠B = ∠C, što je trebalo dokazati.

Teorema 2: U jednakokračnom trouglu simetrala privučen do baze je medijana I visina.

Dato: AB = AC, ∠1 = ∠2.

dokazati: VD = DC, AD okomito na BC.

Rice. 4. Crtež za teoremu 2

dokaz: trougao ADB = trougao ADC prema prvom znaku (AD - generalno, AB = AC po uslovu, ∠BAD = ∠DAC). Iz jednakosti trouglova slijedi da su svi odgovarajući elementi jednaki. BD = DC jer leže nasuprot jednakih uglova. Dakle, AD je medijana. Također ∠3 = ∠4 pošto leže nasuprot jednakih strana. Ali, osim toga, oni su ukupno jednaki. Prema tome, ∠3 = ∠4 = . To znači da je AD visina trougla, što smo trebali dokazati.

U jedinom slučaju a = b = . U ovom slučaju, prave AC i BD nazivaju se okomiti.

Budući da su simetrala, visina i medijana isti segment, tačne su i sljedeće tvrdnje:

Visina jednakokračnog trougla povučena do osnove je medijana i simetrala.

Medijan jednakokračnog trougla povučen do osnove je visina i simetrala.

Primjer 1: U jednakokračnom trokutu osnova je upola manja od stranice, a obim je 50 cm.

Dato: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Pronađite: BC, AC, AB.

Rješenje:

Rice. 5. Crtež na primjer 1

Označimo bazu BC kao a, tada je AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

odgovor: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Primjer 2: Dokažite da su u jednakostraničnom trouglu svi uglovi jednaki.

Dato: AB = BC = SA.

dokazati:∠A = ∠B = ∠C.

dokaz:

Rice. 6. Crtež na primjer

∠B = ∠C, pošto je AB = AC, i ∠A = ∠B, pošto je AC = BC.

Dakle, ∠A = ∠B = ∠C, što je trebalo dokazati.

odgovor: Dokazan.

U današnjoj lekciji pogledali smo jednakokraki trougao i proučavali njegova osnovna svojstva. U sljedećoj lekciji ćemo rješavati zadatke na temu jednakokračnih trokuta, o izračunavanju površine jednakokračnog i jednakostraničnog trokuta.

1. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. i dr. Geometrija 7. - M.: Obrazovanje.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. i drugi Geometrija 7. 5. izd. - M.: Prosvetljenje.
3. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolova, ur. Sadovnichego V.A. - M.: Obrazovanje, 2010.

1. Rječnici i enciklopedije o akademiku ().
2. Festival pedagoških ideja „Otvoreni čas“ ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. br. 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolova, ur. Sadovnichego V.A. - M.: Obrazovanje, 2010.

2. Obim jednakokračnog trougla je 35 cm, a osnova je tri puta manja od stranice. Pronađite stranice trougla.

3. Dato je: AB = BC. Dokazati da je ∠1 = ∠2.

4. Obim jednakokračnog trougla je 20 cm, jedna od njegovih stranica je dvostruko veća od druge. Pronađite stranice trougla. Koliko rješenja ima problem?

Prvi istoričari naše civilizacije - stari Grci - spominju Egipat kao rodno mesto geometrije. Teško je ne složiti se s njima, znajući sa kakvom su neverovatnom preciznošću podignute divovske grobnice faraona. Relativni raspored ravni piramida, njihove proporcije, orijentacija na kardinalne tačke - bilo bi nezamislivo postići takvo savršenstvo bez poznavanja osnova geometrije.

Sama riječ "geometrija" može se prevesti kao "mjera Zemlje". Štaviše, riječ "zemlja" se ne pojavljuje kao planeta - dio Sunčevog sistema, već kao ravan. Označavanje površina za poljoprivredu je najvjerovatnije vrlo originalna osnova nauke o geometrijskim oblicima, njihovim vrstama i svojstvima.

Trougao je najjednostavnija prostorna figura planimetrije, koja sadrži samo tri tačke - vrhove (nema ih manje). Osnova temelja, možda se zato čini da je nešto tajanstveno i drevno u njemu. Svevideće oko unutar trougla jedan je od najranijih poznatih okultnih znakova, a geografija njegove distribucije i vremenski okvir su jednostavno nevjerovatni. Od drevnih egipatskih, sumerskih, astečkih i drugih civilizacija do modernijih zajednica ljubitelja okultizma raštrkanih širom svijeta.

Šta su trouglovi?

Običan trokut je zatvorena geometrijska figura koja se sastoji od tri segmenta različitih dužina i tri ugla, od kojih nijedan nije pravi. Osim toga, postoji nekoliko posebnih vrsta.

Oštar trougao ima sve uglove manje od 90 stepeni. Drugim riječima, svi uglovi takvog trougla su oštri.

Pravougaoni trougao, nad kojim su školarci oduvek plakali zbog obilja teorema, ima jedan ugao od 90 stepeni ili, kako ga još nazivaju, prava linija.

Tupokutni trokut razlikuje se po tome što je jedan od njegovih uglova tup, odnosno njegova veličina je veća od 90 stepeni.

Jednakostranični trougao ima tri stranice jednake dužine. Na takvoj slici su svi uglovi također jednaki.

I konačno, jednakokraki trougao ima tri strane, dvije jednake jedna drugoj.

Prepoznatljive karakteristike

Svojstva jednakokračnog trokuta određuju i njegovu glavnu, glavnu razliku - jednakost njegovih dviju strana. Ove jednake strane se obično nazivaju kukovi (ili, češće, strane), a treća strana se naziva „baza“.

Na slici koja se razmatra, a = b.

Drugi kriterij za jednakokraki trokut slijedi iz teoreme o sinusima. Kako su stranice a i b jednake, sinusi njihovih suprotnih uglova su jednaki:

a/sin γ = b/sin α, odakle imamo: sin γ = sin α.

Iz jednakosti sinusa slijedi jednakost uglova: γ = α.

Dakle, drugi znak jednakokračnog trokuta je jednakost dvaju uglova koji su susjedni bazi.

Treći znak. U trokutu postoje elementi kao što su visina, simetrala i medijana.

Ako se u procesu rješavanja zadatka ispostavi da se u dotičnom trouglu bilo koja dva od ovih elemenata poklapaju: visina sa simetralom; simetrala sa medijanom; medijana sa visinom - definitivno možemo zaključiti da je trokut jednakokrak.

Geometrijska svojstva figure

1. Svojstva jednakokračnog trougla. Jedna od karakterističnih osobina figure je jednakost uglova uz bazu:

<ВАС = <ВСА.

2. Gore je razmatrano još jedno svojstvo: medijana, simetrala i visina u jednakokračnom trouglu se poklapaju ako su izgrađeni od njegovog vrha do njegove osnove.

3. Jednakost simetrala povučenih iz vrhova u osnovi:

Ako je AE simetrala ugla BAC, a CD simetrala ugla BCA, onda je: AE = DC.

4. Svojstva jednakokračnog trougla također obezbjeđuju jednakost visina koje su povučene iz vrhova u osnovi.

Ako konstruišemo visine trougla ABC (gde je AB = BC) iz vrhova A i C, onda će rezultujući segmenti CD i AE biti jednaki.

5. Medijani povučeni iz uglova na bazi će također biti jednaki.

Dakle, ako su AE i DC medijane, to jest, AD = DB, i BE = EC, onda je AE = DC.

Visina jednakokračnog trougla

Jednakost stranica i uglova sa njima uvodi neke karakteristike u izračunavanje dužina elemenata dotične figure.

Visina u jednakokračnom trokutu dijeli figuru na 2 simetrična pravokutna trougla, čije su hipotenuze na stranama. Visina se u ovom slučaju određuje prema Pitagorinoj teoremi kao noga.

Trougao može imati sve tri strane jednake, tada će se zvati jednakostraničan. Visina u jednakostraničnom trokutu određuje se na sličan način, samo za proračune je dovoljno znati samo jednu vrijednost - dužinu stranice ovog trokuta.

Visinu možete odrediti na drugi način, na primjer, poznavajući bazu i ugao uz nju.

Medijan jednakokračnog trougla

Tip trokuta koji se razmatra, zbog svojih geometrijskih karakteristika, može se vrlo jednostavno riješiti korištenjem minimalnog skupa početnih podataka. Budući da je medijana u jednakokračnom trokutu jednaka i njegovoj visini i simetrali, algoritam za njegovo određivanje se ne razlikuje od postupka za izračunavanje ovih elemenata.

Na primjer, možete odrediti dužinu medijane prema poznatoj bočnoj strani i veličini ugla vrha.

Kako odrediti perimetar

Budući da su dvije strane razmatrane planimetrijske figure uvijek jednake, za određivanje perimetra dovoljno je znati dužinu osnove i dužinu jedne od stranica.

Razmotrimo primjer kada trebate odrediti obim trokuta koristeći poznatu bazu i visinu.

Obim je jednak zbiru osnove i dvostrukoj dužini stranice. Bočna strana se, pak, definira pomoću Pitagorine teoreme kao hipotenuza pravokutnog trokuta. Njegova dužina jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata visine i kvadrata polovine baze.

Površina jednakokračnog trougla

U pravilu, izračunavanje površine jednakokračnog trokuta ne uzrokuje poteškoće. Univerzalno pravilo za određivanje površine trokuta kao pola umnožaka baze i njegove visine primjenjivo je, naravno, u našem slučaju. Međutim, svojstva jednakokračnog trokuta opet olakšavaju zadatak.

Pretpostavimo da su visina i ugao uz bazu poznati. Potrebno je odrediti površinu figure. Ovo se može uraditi na ovaj način.

Budući da je zbir uglova bilo kojeg trokuta 180°, nije teško odrediti veličinu ugla. Zatim, koristeći proporciju sastavljenu prema teoremi sinusa, određuje se dužina osnove trokuta. Sve, baza i visina - dovoljno podataka za određivanje površine - je dostupno.

Ostala svojstva jednakokračnog trougla

Položaj centra kružnice opisane oko jednakokračnog trougla zavisi od veličine ugla vrha. Dakle, ako je jednakokraki trokut oštar, središte kruga se nalazi unutar figure.

Središte kružnice opisane oko tupougla jednakokračnog trougla nalazi se izvan njega. I konačno, ako je ugao na vrhu 90°, centar leži tačno u sredini baze, a prečnik kruga prolazi kroz samu bazu.

Da bi se odredio polumjer kružnice opisane oko jednakokračnog trougla, dovoljno je podijeliti dužinu stranice sa dvostrukim kosinusom polovine ugla vrha.

Povratak