Simboli moderne formalne logike. Logičke operacije i njihova svojstva Simbol na jeziku logike znači

SVOJSTVA LOGIČKIH OPERACIJA

1. Oznake

1.1. Notacija za logičke spojeve (operacije):

a) negacija(inverzija, logičko NE) je označeno sa ¬ (na primjer, ¬A);

b) konjunkcija(logičko množenje, logičko I) je označeno sa /\
(na primjer, A /\ B) ili & (na primjer, A & B);

c) disjunkcija(logičko sabiranje, logičko ILI) označeno je sa \/
(na primjer, A \/ B);

d) prateći(implikacija) je označena sa → (na primjer, A → B);

e) identitet označeno sa ≡ (na primjer, A ≡ B). Izraz A ≡ B je istinit ako i samo ako su vrijednosti A i B iste (ili su obje istinite, ili su obje netačne);

f) simbol 1 se koristi za označavanje istine (tačan iskaz); simbol 0 – označava laž (lažna izjava).

1.2. Pozivaju se dva Booleova izraza koji sadrže varijable ekvivalentno (ekvivalentno) ako se vrijednosti ovih izraza poklapaju za bilo koju vrijednost varijabli. Dakle, izrazi A → B i (¬A) \/ B su ekvivalentni, ali A /\ B i A \/ B nisu (značenja izraza su različita, na primjer, kada je A = 1, B = 0 ).

1.3. Prioriteti logičkih operacija: inverzija (negacija), konjunkcija (logičko množenje), disjunkcija (logičko sabiranje), implikacija (slijeđenje), identitet. Dakle, ¬A \/ B \/ C \/ D znači isto što i

((¬A) \/ B) \/ (C \/ D).

Moguće je pisati A \/ B \/ C umjesto (A \/ B) \/ C. Isto vrijedi i za konjukciju: moguće je napisati A /\ B /\ C umjesto (A /\ B ) /\ C.

2. Svojstva

Lista u nastavku NIJE namijenjena da bude potpuna, ali nadamo se da je dovoljno reprezentativna.

2.1. Opća svojstva

Za set od n postoje tačno logičke varijable 2 n različita značenja. Tabela istine za logički izraz iz n varijable sadrži n+1 kolona i 2 n linije.

2.2.Disjunkcija

Ako je barem jedan od podizraza na koji je primijenjena disjunkcija istinit na nekom skupu vrijednosti varijabli, tada je cijela disjunkcija istinita za ovaj skup vrijednosti.
Ako su svi izrazi iz određene liste istiniti na određenom skupu vrijednosti varijabli, tada je i disjunkcija ovih izraza tačna.
Ako su svi izrazi sa određene liste lažni na određenom skupu vrijednosti varijabli, onda je i disjunkcija ovih izraza lažna.
Značenje disjunkcije ne zavisi od redosleda pisanja podizraza na koje se primenjuje.

2.3. Konjunkcija

Ako je barem jedan od podizraza na koje je primijenjena konjunkcija lažan na nekom skupu vrijednosti varijabli, onda je cijela konjunkcija lažna za ovaj skup vrijednosti.
Ako su svi izrazi iz određene liste istiniti na određenom skupu vrijednosti varijabli, tada je i konjunkcija ovih izraza istinita.
Ako su svi izrazi sa određene liste lažni na određenom skupu vrijednosti varijabli, onda je i konjunkcija ovih izraza lažna.
Značenje veznika ne zavisi od redosleda pisanja podizraza na koje se primenjuje.

2.4. Jednostavne disjunkcije i konjunkcije

Nazovimo (zbog pogodnosti) konjunkciju jednostavno, ako su podizrazi na koje se primjenjuje konjunkcija različite varijable ili njihove negacije. Slično se zove disjunkcija jednostavno, ako su podizrazi na koje se primjenjuje disjunkcija različite varijable ili njihove negacije.

Jednostavna konjunkcija vrednuje 1 (tačno) na tačno jednom skupu promenljivih vrednosti.
Jednostavna disjunkcija vrednuje 0 (netačno) na tačno jednom skupu vrednosti varijabli.

2.5. Implikacije

Implikacije A →B je ekvivalentna disjunkcija (¬ A) \/ B. Ova disjunkcija se također može napisati na sljedeći način: ¬ A\/B.
Implikacije A →B uzima vrijednost 0 (netačno) samo ako A=1 I B=0. Ako A=0, onda implikacija A →B istina za bilo koju vrijednost B.

Matematiku karakterizira široka upotreba simbolizma, koji je, u suštini, aparat formalne logike. Formalna, ili simbolička, logika je posebna metoda razumijevanja strukture mišljenja. Ovaj razvijeni aparat koristi se svuda. U matematici se mnoge važne odredbe mogu napisati u obliku simbola. Pisanje logičkog zaključivanja u simbolima daje dokazima sažetiji, jednostavniji izgled. Formalna logika operiše iskazima (usput, naš govor se sastoji od njih). Propozicija je rečenica za koju ima smisla tvrditi da je istinita ili netačna. Primjer 1.3. „Moskva je glavni grad Rusije**, „Petrov I.I. - student MSTU", x2 + y2 = 1, x € R - iskazi; x2 -2x + + U2 - nije izjava. # Povezivanje jednostavnih iskaza sa riječima "i", "ili", "ne", "ako ... , dakle, dobijamo složenije iskaze koji definišu naš govor U matematici se ove reči nazivaju logičkim veznicima, u formalnoj logici odgovaraju osnovnim logičkim simbolima, o kojima ćemo ukratko govoriti izjave p i q je iskaz, koji je istinit ako i samo ako su oba iskaza (i p i q) tačna. Logički simbol veznika A zamjenjuje veznik "i" u govoru. Konjunkcija je takođe označena sa p & q. 2. Disjunkcija pW q iskaza p i q je izjava koja je netačna ako i samo ako su oba iskaza netačna, i istinita kada je barem jedan od njih (p ili q) istinit. Logički simbol disjunkcije V u govoru zamjenjuje riječ “ili” 3. Implikacija p => q iskaza p i q je lažna ako je i samo ako je p tačan, a q netačan implikacija => se koristi kada se ukazuje na posljedice neke činjenice. Zamjenjuje riječi “ako... onda”. Može se pročitati i "p implicira qu." 4. Simbol logičke ekvivalencije & znači da je izjava p q tačna ako i samo ako su oba iskaza p i q tačna ili su obje izjave netačne. Ovaj simbol zamjenjuje riječ „ekvivalentno“ u govoru riječ “ne”. Da bi se skratilo i razjasnilo snimanje iskaza, uvode se dva znaka V i 3, koji se nazivaju Neki osnovni logički simboli. Formalna ili simbolička logika. suštinski kvantifikatori uopštenosti i postojanja. Izraz „za bilo koji element x skupa E zapisuje se u obliku Vs 6 E. Ova notacija znači da će izjava koja slijedi biti zadovoljena za proizvoljni element skupa E. Obilježje V&i, “2” xn€E znači: “kakvi god da su elementi xi, 32, xn skupa Eu. Izraz “postoji barem jedan element skupa E takav da...” se piše 3x £ E: ... Sve što slijedi ovu notaciju vrijedi za barem jedan element skupa E. Naprotiv, $ x e E: ... znači da sve od sljedećeg ne vrijedi ni za jedan element iz E. Izraz „postoji jedan i samo jedan element iz E takav da je...u napisan u obliku E!z € E : .. Oznaka 3x\) xs, xn € E: ... znači: postoje elementi x\y a?2" "i" skupa E takvi da...t Uvedeni simboli su pogodni za upotrebu, za na primjer, prilikom definiranja operacija na skupovima, dakle, AUB:<*{х: (х € А) V (х € В)}, АПВ:*>(x: (x € A) L (f € B)), A\B:*>(x: (x € A) L (x g B)), A:<${х: (ж €Й)Л(х£ Л)}, где символ означает эквивалентность по определению. Связь теории множеств и формальной логики достаточно широка. Исследованием этой связи впервые занимался английский математик Джордж Буль (1815-1864), работы которого положили начало одному из важнейших направлений современной алгебры, называемому булевой алгеброй. Ясно, что взятие дополнения тесно связано с отрицанием высказывания, операции объединены и пересечения множеств - с дизъюнкцией и конъюнкцией высказываний соответственно, включение подмножества в множество - с импликацией, а равенство множеств - с эквиваленцией высказываний. В силу этой связи с помощью теории множеств можно решать некоторые логические задачи. Пример 1.4. Рассмотрим набор высказываний: 1) животные, которых не видно в темноте, серы; 2) соседи не любят тех, кто не дает им спать; 3) кто кредко спит, громко храпит; 4) соседи любят животных, которых видно в темноте; 5) все слоны крепко спят; 6) кто громко храпит, не дает спать соседям. Эти высказывания можно перевести на язык теории множеств, если ввести следующие обозначения: А - множество тех, кто будит соседей; В - множество тех, кто крепко спит; С - множество тех, кто громко храпит; D - множество животных, которых видно в темноте; Е - множество слонов; F - множество тех, кого любят соседи; G - множество тех, кто серые. Высказывание 1) означает, что элементы, не лежащие в D) содержатся в G, т.е. 1) D С G. Остальные высказывания принимают вид: 2) Л С F; 3) £ С С; 4) D С F; 5) Е С В; б)ССЛ. Взяв дополнения множеств D и F, из 4) согласно принципу двойственности получим F С D и затем соединим все выскаг зывания в цепочку ECCCACFCDCG. Из этой цепочки (с учетом свойства транзитивности символа включения) следует, что ECGy т.е. все слоны серы. # Рассмотренные логические символы и кванторы существования и общности широко используют математики для записи предложений, в которых они, по сути, воплощают плоды своего творчества. Эти предложения представляют собой устанавливающие свойства математических объектов теоремы, леммы, утверждения и следствия из них, а также различные формулы. Однако следует отметить, что часть предложений приходится все же выражать словами. Любая теорема состоит, вообще говоря, в задании некоторого свойства Л, называемого условием, из которого выводят свойство Ву называемое заключением. Коротко теорему пА влечет Ви записывают в виде А В и говорят, что А является достаточным условием для Б, а Б - необходимым условием для А. Тогда обратная теорема имеет вид В А (возможна запись при помощи обратной импликации А <= В), но справедливость прямой теоремы еще не гарантирует справедливости обратной ей теоремы. Если справедливы данная тедрема и обратная ей, то свойства А я В эквивалентны, и такую теорему можно записать в виде А о В. Эта запись соответствует фразам: „Для того, чтобы Л, необходимо и достаточно, чтобы В", „А тогда и только тогда, когда Ви или „А, если и только если Ви. Ясно, что в этих фразах А и В можно поменять местами. Утверждение, противоположное утверждению А} записывают -^Л, что соответствует словам „не Аи. Если в символьную запись утверждения А входят кванторы 3, V и условие Р, то при построении символьной записи противоположного утверждения -*А квантор 3 заменяют на V, квантор V - на 3, а условие Р заменяют на условие -»Р. Пример 1.6. Рассмотрим утверждение Зх € Е: Р (существует элемент х множества Е, обладающий свойством Р) и построим его отрицание. Если это утверждение неверно, то указанного элемента не существует, т.е. для каждого х € Е свойство Р не выполняется, или -.(За: 6 Е: Р) = Vx € Е: -.Р. Теперь построим отрицание утверждения Vx 6 Е: Р (для каждого элемента х множества Е имеет место свойство Р). Если данное утверждение неверно, то свойство Р имеет место не для каждого элемента указанного множества, т.е. существует хотя бы один элемент х € Е, не обладающий этим свойством, или -.(УхбЕ: Р) = Зх€Я: -чР. # Доказательство предложения представляет собой проводимое по определенным правилам рассуждение, в котором для обоснования сформулированного предложения используют определения, аксиомы и ранее доказанные предложения. Примеры доказательств свойств абсолютных значений действительных чисел приведены доше (см. 1.3), а первого из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения и первого из законов де Моргана (1.7) - в 1.4. Одним из используемых приемов является метод доказательства от противного. Для доказательства таким методом теоремы А =>B pretpostaviti da je istina - “B. Ako rasuđivanje dovede do činjenice da je pod takvom pretpostavkom uvjet A nemoguć, tj. Ako se pojavi kontradikcija, teorema se smatra dokazanom. Primjer 1.6. Koristimo metodu dokazivanja kontradikcijom da potvrdimo valjanost drugog de Morganovog zakona (1.7) AC\B = AUB. Ako je ova jednakost tačna, onda svaki element x € A P B također mora pripadati A U B, tj. x € A U B. Pretpostavimo suprotno: s £ AUB. Zatim, prema principu dualnosti (vidi 1.4) x € APV, tj. x ^ APV, a to je u suprotnosti sa prvobitnim uslovom x € A P B, što dokazuje valjanost implikacije iskaza x € AG\B => he liv. Naprotiv, svaki element x 6 A U B mora pripadati A G) B, tj. x € A O B. Pretpostavimo opet suprotno: x £ i AP B, tj. x £ AP B, ili (xbA)L(xbB). Tada (x £ A)L A (x £ B) i x £ AUB, a to je opet u suprotnosti sa prihvaćenim uslovom x £ A U B, što dokazuje valjanost inverzne implikacije iskaza x € APV « = x € AUB. Neki osnovni logički simboli. Formalna ili simbolička logika. Kao rezultat toga, valjanost druge formule (1.7) je potpuno dokazana. # Prilikom dokazivanja tvrdnji koje vrijede za proizvoljan prirodni broj n G N, ponekad se koristi metoda matematičke indukcije: direktnom verifikacijom utvrđuje se valjanost tvrdnje za prvih nekoliko vrijednosti n (n = 1, 2 , ...), a onda se pretpostavlja da je to tačno za n = k) i ako iz ove pretpostavke proizlazi da je dati prijedlog valjan za n = k -f 1, onda se smatra dokazanim za sve n € N. Primjer 1.7. Dokažimo valjanost formule “P = “1 (1.8) za zbir prvih n članova geometrijske progresije 0|, a2 = aitf, a3 = alq2) an = aign_1 sa imeniocem progresije q ^ 1. Jasno je da je formula tačna za n = 1 i n = 2. Pretpostavimo da vrijedi i za n = k, tj. Neki osnovni logički simboli. Formalna ili simbolička logika. Ako u (1.9) označimo k +1 = n, onda opet dolazimo do (1.8), što dokazuje valjanost ove formule.

Koristi se za izračunavanje logičkih operacija. Razmotrimo u nastavku sve najelementarnije logičke operacije u računarskoj nauci. Uostalom, ako razmislite o tome, oni su ti koji se koriste za kreiranje logike računara i uređaja.

Negacija

Prije nego što počnemo detaljno razmatrati konkretne primjere, navodimo osnovne logičke operacije u informatici:

negacija;
dodatak;
množenje;
praćenje;
jednakost.

Također, prije nego počnemo proučavati logičke operacije, vrijedi reći da se u informatici laž označava sa “0”, a istina sa “1”.

Za svaku radnju, kao iu običnoj matematici, koriste se sljedeći znakovi logičkih operacija u informatici: ¬, v, &, ->.

Svaka radnja se može opisati ili brojevima 1/0, ili jednostavno logičkim izrazima. Započnimo naše razmatranje matematičke logike najjednostavnijom operacijom koja koristi samo jednu varijablu.

Logička negacija je operacija inverzije. Ideja je da ako je originalni izraz tačan, onda je rezultat inverzije lažan. I obrnuto, ako je originalni izraz lažan, tada će rezultat inverzije biti istinit.

Kada se piše ovaj izraz, koristi se sljedeća notacija: "¬A".

Predstavimo tablicu istinitosti - dijagram koji prikazuje sve moguće rezultate operacije za bilo koje početne podatke.

To jest, ako je naš izvorni izraz tačan (1), onda će njegova negacija biti lažna (0). A ako je originalni izraz lažan (0), onda je njegova negacija istinita (1).

Dodatak

Preostale operacije zahtijevaju dvije varijable. Označimo jedan izraz -

A, drugi - B. Logičke operacije u informatici, koje označavaju radnju sabiranja (ili disjunkcije), kada su napisane, označavaju se ili riječju “ili” ili simbolom “v”. Hajde da opišemo moguće opcije podataka i rezultate proračuna.

E=1, H=1, tada je E v H = 1. Ako je oba onda je tačna i njihova disjunkcija.
E = 0, H = 1, kao rezultat E v H = 1. E = 1, H = 0, zatim E v H = 1. Ako je barem jedan od izraza tačan, rezultat njihovog zbrajanja će biti istinito.
E=0, H=0, rezultat E v H = 0. Ako su oba izraza netačna, onda je i njihov zbir netačan.

Radi kratkoće, napravimo tabelu istine.

Disjunkcija

E	X	X	O	O
N	X	O	X	O
E v N	X	X	X	O

Množenje

Nakon što smo se pozabavili operacijom sabiranja, prelazimo na množenje (konjunkcija). Koristimo istu notaciju koja je data gore za sabiranje. Prilikom pisanja, logičko množenje je označeno simbolom "&" ili slovom "I".

E=1, H=1, tada je E & H = 1. Ako je oba onda je njihova konjunkcija tačna.
Ako je barem jedan od izraza netačan, tada će i rezultat logičkog množenja biti netačan.

E=1, H=0, dakle E & H = 0.
E=0, H=1, zatim E & H = 0.
E=0, H=0, ukupno E & H = 0.

Konjunkcija

E	X	X	0
N	X	0	X
E&N	X	0	0

Posljedica

Logička operacija implikacije (implikacija) jedna je od najjednostavnijih u matematičkoj logici. Zasniva se na jednom aksiomu – laž ne može proizaći iz istine.

E = 1, H =, dakle E -> H = 1. Ako je par zaljubljen, onda se može poljubiti - istina.
E = 0, H = 1, zatim E -> H = 1. Ako par nije zaljubljen, onda se mogu poljubiti - takođe može biti istina.
E = 0, H = 0, od ovoga E -> H = 1. Ako par nije zaljubljen, onda se ne ljube - to je također istina.
E = 1, H = 0, rezultat će biti E -> H = 0. Ako je par zaljubljen, onda se ne ljube - laž.

Da bismo olakšali izvođenje matematičkih operacija, predstavljamo i tabelu istinitosti.

Jednakost

Posljednja razmatrana operacija bit će logička jednakost ili ekvivalencija. U tekstu se može označiti kao “...ako i samo ako...”. Na osnovu ove formulacije napisat ćemo primjere za sve originalne opcije.

A=1, B=1, zatim A≡B = 1. Osoba uzima tablete ako i samo ako je bolesna. (istinito)
A = 0, B = 0, kao rezultat A≡B = 1. Osoba ne uzima tablete ako i samo ako nije bolesna. (istinito)
A = 1, B = 0, dakle A≡B = 0. Osoba uzima tablete ako i samo ako nije bolesna. (laži)
A = 0, B = 1, zatim A≡B = 0. Osoba ne uzima tablete ako i samo ako je bolesna. (laži)

Svojstva

Dakle, nakon razmatranja najjednostavnijih u informatici, možemo početi proučavati neka od njihovih svojstava. Kao iu matematici, logičke operacije imaju svoj vlastiti redoslijed obrade. U velikim Bulovim izrazima prvo se izvode operacije u zagradama. Nakon njih, prva stvar koju radimo je da prebrojimo sve vrijednosti negacije u primjeru. Sljedeći korak je izračunavanje konjunkcije, a zatim i disjunkcije. Tek nakon toga izvodimo operaciju posljedice i, konačno, ekvivalencije. Pogledajmo mali primjer radi jasnoće.

A v B & ¬B -> B ≡ A

Redoslijed radnji je sljedeći.

V&(¬V)
A v(B&(¬B))
(A v(B&(¬B)))->B
((A v(B&(¬B)))->B)≡A

Da bismo riješili ovaj primjer, morat ćemo konstruirati proširenu tablicu istinitosti. Kada ga kreirate, zapamtite da je bolje postaviti stupce istim redoslijedom u kojem će se radnje izvoditi.

Primjer rješenja

A	IN				(A v(B&(¬B)))->B	((A v(B&(¬B)))->B)≡A
X	O	X	O	X	X	X
X	X	O	O	X	X	X
O	O	X	O	O	X	O
O	X	O	O	O	X	O

Kao što vidimo, rezultat rješavanja primjera će biti posljednja kolona. Tabela istinitosti pomogla je u rješavanju problema sa svim mogućim ulaznim podacima.

Zaključak

Ovaj članak je ispitao neke koncepte matematičke logike, kao što su računarstvo, svojstva logičkih operacija, kao i šta su same logičke operacije. Dati su neki jednostavni primjeri za rješavanje problema iz matematičke logike i tablice istinitosti neophodne za pojednostavljenje ovog procesa.

Konjunkcija ili logičko množenje (u teoriji skupova, ovo je presjek)

Konjunkcija je složen logički izraz koji je istinit ako i samo ako su oba jednostavna izraza tačna. Ova situacija je moguća samo u jednom slučaju, u svim ostalim slučajevima veznik je netačan.

Oznaka: &, $\wedge$, $\cdot$.

Tabela istine za konjunkciju

Slika 1.

Svojstva konjunkcije:

Ako je barem jedan od podizraza konjunkcije lažan na nekom skupu vrijednosti varijabli, tada će cijela konjunkcija biti lažna za ovaj skup vrijednosti.
Ako su svi izrazi konjunkcije istiniti na nekom skupu vrijednosti varijabli, tada će i cijela konjunkcija biti istinita.
Značenje čitave konjunkcije složenog izraza ne zavisi od redosleda u kome su zapisani podizrazi na koje se primenjuje (kao množenje u matematici).

Disjunkcija ili logičko sabiranje (u teoriji skupova ovo je unija)

Disjunkcija je složen logički izraz koji je gotovo uvijek istinit, osim kada su svi izrazi lažni.

Notacija: +, $\vee$.

Tabela istine za disjunkciju

Slika 2.

Svojstva disjunkcije:

Ako je barem jedan od podizraza disjunkcije istinit na određenom skupu varijabilnih vrijednosti, tada cijela disjunkcija poprima pravu vrijednost za ovaj skup podizraza.
Ako su svi izrazi iz neke liste disjunkcija lažni na nekom skupu vrijednosti varijabli, onda je i cijela disjunkcija ovih izraza također lažna.
Značenje čitave disjunkcije ne zavisi od redosleda u kome su podizrazi napisani (kao u matematici - sabiranje).

Negacija, logička negacija ili inverzija (u teoriji skupova to je negacija)

Negacija znači da se originalnom logičkom izrazu dodaje čestica NE ili riječ FALSE, ŠTO i kao rezultat dobijamo da ako je originalni izraz istinit, onda će negacija originala biti lažna i obrnuto, ako je originalni izraz je lažna, tada će njegova negacija biti istinita.

Notacija: nije $A$, $\bar(A)$, $¬A$.

Tabela istine za inverziju

Slika 3.

Svojstva negacije:

“Dvostruka negacija” $¬¬A$ je posljedica tvrdnje $A$, to jest, ona je tautologija u formalnoj logici i jednaka je samoj vrijednosti u Booleovoj logici.

Implikacija ili logična posljedica

Implikacija je složen logički izraz koji je istinit u svim slučajevima osim kada istina slijedi neistinu. Odnosno, ova logička operacija povezuje dva jednostavna logička izraza, od kojih je prvi uslov ($A$), a drugi ($A$) je posledica uslova ($A$).

Oznaka: $\to$, $\Rightarrow$.

Tabela istine za implikacije

Slika 4.

Svojstva implikacije:

$A \to B = ¬A \vee B$.
Implikacija $A \to B$ je netačna ako je $A=1$ i $B=0$.
Ako je $A=0$, onda je implikacija $A \to B$ tačna za bilo koju vrijednost $B$, (tačno može slijediti iz netačno).

Ekvivalencija ili logička ekvivalencija

Ekvivalencija je složen logički izraz koji je istinit za jednake vrijednosti varijabli $A$ i $B$.

Oznaka: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.

Tabela istine za ekvivalentnost

Slika 5.

Svojstva ekvivalencije:

Ekvivalencija je istinita na jednakim skupovima vrijednosti varijabli $A$ i $B$.
CNF $A \equiv B = (\bar(A) \vee B) \cdot (A \cdot \bar(B))$
DNF $A \equiv B = \bar(A) \cdot \bar(B) \vee A \cdot B$

Stroga disjunkcija ili sabiranje po modulu 2 (u teoriji skupova, ovo je unija dva skupa bez njihovog presjeka)

Stroga disjunkcija je istinita ako vrijednosti argumenata nisu jednake.

Za elektroniku to znači da je implementacija kola moguća pomoću jednog standardnog elementa (iako je to skup element).

Redoslijed logičkih operacija u složenom logičkom izrazu

Inverzija (negacija);
Konjunkcija (logičko množenje);
Disjunkcija i stroga disjunkcija (logički dodatak);
Implikacija (posljedica);
Ekvivalencija (identitet).

Da biste promijenili navedeni redoslijed logičkih operacija, morate koristiti zagrade.

Opća svojstva

Za skup od $n$ logičkih varijabli, postoji tačno $2^n$ različitih vrijednosti. Tabela istinitosti za logički izraz od $n$ varijabli sadrži $n+1$ stupaca i $2^n$ redova.

⊃ može značiti isto što i ⇒ (simbol može značiti i nadskup).

U+21D2 ⇒

⇒ (\displaystyle \desno)
→ (\displaystyle \to )\to
⊃ (\displaystyle \supset)
⟹ (\displaystyle \implies )\implicira

U+2254 (U+003A U+003D)

U+003A U+229C

:=
:

:= (\displaystyle:=):=
≡ (\displaystyle \equiv )
⇔ (\displaystyle \leftrightarrow )

U+0028 U+0029 () () (\displaystyle (~)) () U+22A2 ⊢ ⊢ (\displaystyle \vdash)\vdash U+22A8 ⊨ ⊨ (\displaystyle \vDash)\vDash, znak za I-NE operator.

U+22A7 ⊧ Implikacija (logična posljedica): je model za.... Na primjer, A ⊧ B znači da A implicira B. U bilo kojem modelu gdje je A ⊧ B, ako je A istinito, onda je B istinito.

U+22A8 ⊨ Tačno: istina je.

U+22AC ⊬ Nije izlaz: negacija ⊢, simbol nesvodivo, Na primjer, T ⊬ P znači da " P nije teorema u T»

U+22AD ⊭ Netačno: nije tačno

U+22BC ⊼ NAND: drugi NAND operator, takođe se može napisati kao ∧

U+22BD ⊽ NOR: Ekskluzivni OR operator, takođe se može napisati kao V

U+22C4 ⋄ Diamond: modalni operator za "moguće je da", "ne nužno nije" ili, rijetko, "dosljedan" (u većini modalnih logika operator je definiran kao "¬◻¬")

U+22C6 ⋆ Asterisk: obično se koristi kao specijalni operator

U+22A5 ⊥ Dugme gore ili U+2193 ↓ Strelica dole: strelica za probijanje, simbol XOR. Ponekad se "⊥" koristi za kontradikciju ili apsurd.

U+2310 ⌐ Otkazano NIJE

Standardni fontovi rijetko podržavaju sljedeće operatore. Ako želite da ih koristite na svojoj stranici, uvijek biste trebali ugraditi potrebne fontove tako da pretraživač može prikazati znakove bez potrebe za instaliranjem fontova na vašem računalu.

Poljskoj i Nemačkoj

U Poljskoj se univerzalni kvantifikator ponekad piše kao ∧ (\displaystyle \klin), i kvantifikator postojanja kao ∨ (\displaystyle \vee). Ista stvar se zapaža i u njemačkoj književnosti.