Pitagorina teorema: istorija, dokaz, primjeri praktične primjene. Različiti načini dokazivanja Pitagorine teoreme

Potencijal za kreativnost obično se pripisuje humanističkim naukama, ostavljajući prirodne nauke analizi, praktičnom pristupu i suhoparnom jeziku formula i brojeva. Matematika se ne može svrstati u humanistički predmet. Ali bez kreativnosti nećete dogurati daleko u "kraljici svih nauka" - ljudi to već dugo znaju. Od Pitagorinog vremena, na primjer.

Školski udžbenici, nažalost, obično ne objašnjavaju da je u matematici važno ne samo nagurati teoreme, aksiome i formule. Važno je razumjeti i osjetiti njegove osnovne principe. I u isto vrijeme pokušajte osloboditi svoj um od klišea i elementarnih istina - samo u takvim uvjetima se rađaju sva velika otkrića.

Takva otkrića uključuju ono što danas poznajemo kao Pitagorinu teoremu. Uz nju ćemo pokušati pokazati da matematika ne samo da može, već i treba da bude uzbudljiva. I da ova avantura ne odgovara samo štreberima sa debelim naočalama, već i svima koji su jaki umom i jaki duhom.

Iz istorije problema

Strogo govoreći, iako se teorema naziva "Pitagorina teorema", sam Pitagora je nije otkrio. Pravokutni trokut i njegova posebna svojstva proučavani su mnogo prije njega. Postoje dva polarna gledišta po ovom pitanju. Prema jednoj verziji, Pitagora je bio prvi koji je pronašao potpuni dokaz teoreme. Prema drugom, dokaz ne pripada Pitagorinom autorstvu.

Danas više ne možete provjeriti ko je u pravu, a ko nije. Ono što se zna je da Pitagorin dokaz, ako je ikada postojao, nije preživio. Međutim, postoje sugestije da poznati dokaz iz Euklidovih elemenata možda pripada Pitagori, a Euklid ga je samo zabilježio.

Danas je također poznato da se problemi o pravokutnom trokutu nalaze u egipatskim izvorima iz vremena faraona Amenemhata I, na babilonskim glinenim pločama iz vladavine kralja Hamurabija, u staroindijskoj raspravi “Sulva Sutra” i starokineskom djelu “ Zhou-bi suan jin”.

Kao što vidite, Pitagorina teorema je zaokupljala umove matematičara od davnina. To potvrđuje oko 367 različitih dokaza koji danas postoje. U tome se nijedna druga teorema ne može takmičiti s njom. Među poznatim autorima dokaza možemo se prisjetiti Leonarda da Vincija i dvadesetog američkog predsjednika Jamesa Garfielda. Sve ovo govori o izuzetnoj važnosti ove teoreme za matematiku: većina teorema geometrije je izvedena iz nje ili je na neki način povezana s njom.

Dokazi Pitagorine teoreme

Školski udžbenici uglavnom daju algebarske dokaze. Ali suština teoreme je u geometriji, pa hajde da prvo razmotrimo one dokaze čuvene teoreme koji se zasnivaju na ovoj nauci.

Dokazi 1

Za najjednostavniji dokaz Pitagorine teoreme za pravougaoni trougao, morate postaviti idealne uslove: neka trougao bude ne samo pravougli, već i jednakokraki. Postoji razlog za vjerovanje da su drevni matematičari prvobitno razmatrali upravo ovakav trokut.

Izjava "Kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na njegovim katetama" može se ilustrovati sledećim crtežom:

Pogledajte jednakokraki pravougaoni trougao ABC: Na hipotenuzi AC možete konstruisati kvadrat koji se sastoji od četiri trokuta jednaka originalnom ABC. A na stranama AB i BC izgrađen je kvadrat, od kojih svaki sadrži dva slična trokuta.

Inače, ovaj crtež je bio osnova brojnih šala i karikatura posvećenih Pitagorinoj teoremi. Najpoznatija je vjerovatno "Pitagorine pantalone su jednake u svim pravcima":

Dokazi 2

Ova metoda kombinuje algebru i geometriju i može se smatrati varijantom drevnog indijskog dokaza matematičara Bhaskarija.

Konstruisati pravougaoni trougao sa stranicama a, b i c(Sl. 1). Zatim konstruirajte dva kvadrata sa stranicama jednakim zbroju dužina dva kraka - (a+b). U svakom od kvadrata napravite konstrukcije kao na slikama 2 i 3.

U prvom kvadratu izgradite četiri trokuta slična onima na slici 1. Rezultat su dva kvadrata: jedan sa stranom a, drugi sa stranom b.

U drugom kvadratu, konstruirana četiri slična trokuta formiraju kvadrat sa stranicom jednakom hipotenuzi c.

Zbir površina konstruisanih kvadrata na slici 2 jednak je površini kvadrata koji smo konstruisali sa stranicom c na slici 3. To se lako može provjeriti izračunavanjem površine kvadrata na Sl. 2 prema formuli. A površina upisanog kvadrata na slici 3. oduzimanjem površina četiri jednaka pravokutna trokuta upisana u kvadrat od površine velikog kvadrata sa stranicom (a+b).

Zapisujući sve ovo, imamo: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Otvorite zagrade, izvršite sve potrebne algebarske proračune i dobijete to a 2 +b 2 = a 2 +b 2. U ovom slučaju, područje upisano na sl. 3. kvadrat se također može izračunati korištenjem tradicionalne formule S=c 2. One. a 2 +b 2 =c 2– dokazali ste Pitagorinu teoremu.

Dokazi 3

Sam drevni indijski dokaz opisan je u 12. veku u raspravi „Kruna znanja“ („Siddhanta Shiromani“), a kao glavni argument autor koristi apel upućen matematičkim talentima i veštinama zapažanja učenika i sledbenika: „ Pogledajte!”

Ali ovaj dokaz ćemo detaljnije analizirati:

Unutar kvadrata napravite četiri pravokutna trougla kao što je prikazano na crtežu. Označimo stranu velikog kvadrata, također poznatu kao hipotenuza, With. Nazovimo noge trougla A I b. Prema crtežu, stranica unutrašnjeg kvadrata je (a-b).

Koristite formulu za površinu kvadrata S=c 2 za izračunavanje površine vanjskog kvadrata. I u isto vrijeme izračunajte istu vrijednost dodavanjem površine unutrašnjeg kvadrata i površina sva četiri pravokutna trokuta: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Možete koristiti obje opcije za izračunavanje površine kvadrata kako biste bili sigurni da daju isti rezultat. I ovo vam daje pravo da to zapišete c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kao rezultat rješenja, dobit ćete formulu Pitagorine teoreme c 2 =a 2 +b 2. Teorema je dokazana.

Dokaz 4

Ovaj neobični drevni kineski dokaz nazvan je "Nevjestina stolica" - zbog figure nalik stolici koja proizlazi iz svih konstrukcija:

Koristi crtež koji smo već vidjeli na slici 3 u drugom dokazu. A unutrašnji kvadrat sa stranom c konstruiran je na isti način kao u drevnom indijskom dokazu koji je dat gore.

Ako mentalno odsiječete dva zelena pravokutna trokuta sa crteža na slici 1, pomaknete ih na suprotne strane kvadrata sa stranom c i pričvrstite hipotenuze na hipotenuze lila trokuta, dobit ćete figuru koja se zove “mladenčina stolica” (Sl. 2). Radi jasnoće, isto možete učiniti s papirnim kvadratima i trokutima. Pobrinut ćete se da "mladenkina stolica" bude formirana od dva kvadrata: malih sa stranom b i veliki sa stranom a.

Ove konstrukcije omogućile su drevnim kineskim matematičarima i nama, prateći ih, da dođemo do zaključka da c 2 =a 2 +b 2.

Dokazi 5

Ovo je još jedan način da se pomoću geometrije nađe rješenje Pitagorine teoreme. Zove se Garfildova metoda.

Konstruišite pravougao trougao ABC. Moramo to dokazati BC 2 = AC 2 + AB 2.

Da biste to učinili, nastavite nogu AC i konstruisati segment CD, što je jednako kraku AB. Spustite okomicu AD linijski segment ED. Segmenti ED I AC su jednaki. Povežite tačke E I IN, i E I WITH i dobijete crtež kao na slici ispod:

Da bismo dokazali toranj, ponovo pribjegavamo metodi koju smo već isprobali: nalazimo površinu rezultirajuće figure na dva načina i izjednačavamo izraze jedni s drugima.

Pronađite površinu poligona KREVET može se uraditi sabiranjem površina tri trougla koji ga čine. i jedan od njih, ERU, nije samo pravougaona, već i jednakokračna. Ne zaboravimo ni to AB=CD, AC=ED I BC=SE– ovo će nam omogućiti da pojednostavimo snimanje i ne preopterećujemo ga. dakle, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2VS 2.

Istovremeno, očigledno je da KREVET- Ovo je trapez. Stoga izračunavamo njegovu površinu pomoću formule: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Za naše proračune je zgodnije i jasnije predstaviti segment AD kao zbir segmenata AC I CD.

Zapišimo oba načina izračunavanja površine figure, stavljajući znak jednakosti između njih: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Koristimo jednakost segmenata, koja nam je već poznata i gore opisana, da pojednostavimo desnu stranu notacije: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Sada otvorimo zagrade i transformirajmo jednakost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nakon što smo završili sve transformacije, dobili smo upravo ono što nam je potrebno: BC 2 = AC 2 + AB 2. Teoremu smo dokazali.

Naravno, ova lista dokaza je daleko od potpune. Pitagorina teorema se također može dokazati korištenjem vektora, kompleksnih brojeva, diferencijalnih jednadžbi, stereometrije itd. Pa čak i fizičari: ako se, na primjer, tečnost izlije u kvadratne i trokutaste zapremine slične onima prikazanim na crtežima. Ulivanjem tekućine možete dokazati jednakost površina i samu teoremu kao rezultat.

Nekoliko riječi o Pitagorinim trojkama

Ovo pitanje se malo ili uopšte ne proučava u školskom programu. U međuvremenu, veoma je zanimljiv i od velikog je značaja u geometriji. Pitagorine trojke se koriste za rješavanje mnogih matematičkih problema. Njihovo razumijevanje može vam biti od koristi u daljem obrazovanju.

Dakle, šta su pitagorine trojke? Ovo je naziv za prirodne brojeve skupljene u grupe po tri, od kojih je zbir kvadrata dva jednak trećem broju na kvadratu.

Pitagorine trojke mogu biti:

primitivni (sva tri broja su relativno prosti);
nije primitivno (ako se svaki broj trojke pomnoži sa istim brojem, dobićete novu trojku, koja nije primitivna).

Još prije naše ere, stari Egipćani su bili fascinirani manijom za brojevima pitagorejskih trojki: u problemima su smatrali pravougli trokut sa stranicama od 3, 4 i 5 jedinica. Usput, svaki trougao čije su stranice jednake brojevima iz Pitagorine trojke je po defaultu pravougaonik.

Primjeri pitagorinih trojki: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktična primjena teoreme

Pitagorina teorema se koristi ne samo u matematici, već iu arhitekturi i građevinarstvu, astronomiji, pa čak i književnosti.

Prvo, o konstrukciji: Pitagorina teorema se široko koristi u problemima različitih nivoa složenosti. Na primjer, pogledajte romanički prozor:

Označimo širinu prozora kao b, tada se radijus glavnog polukruga može označiti kao R i izraziti kroz b: R=b/2. Poluprečnik manjih polukrugova može se izraziti i kroz b: r=b/4. U ovom problemu nas zanima radijus unutrašnjeg kruga prozora (nazovimo ga str).

Pitagorina teorema je samo korisna za izračunavanje R. Da bismo to učinili, koristimo pravokutni trokut, koji je na slici označen isprekidanom linijom. Hipotenuza trougla sastoji se od dva poluprečnika: b/4+p. Jedna noga predstavlja poluprečnik b/4, druga b/2-p. Koristeći Pitagorinu teoremu, pišemo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Zatim otvaramo zagrade i dobivamo b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Hajde da transformišemo ovaj izraz u bp/2=b 2 /4-bp. I onda podijelimo sve pojmove sa b, predstavljamo slične za nabavku 3/2*p=b/4. I na kraju to nađemo p=b/6- što nam je trebalo.

Koristeći teoremu, možete izračunati dužinu rogova za zabatni krov. Odredite koliko je visok toranj mobilne komunikacije potreban da bi signal stigao do određenog naseljenog područja. Čak i održivo postaviti božićno drvce na gradskom trgu. Kao što vidite, ova teorema ne živi samo na stranicama udžbenika, već je često korisna u stvarnom životu.

Pitagorina teorema je u književnosti inspirisala pisce još od antike i nastavlja da to čini i u naše vreme. Na primjer, njemački pisac iz devetnaestog vijeka Adelbert von Chamisso bio je inspiriran da napiše sonet:

Svjetlo istine neće uskoro nestati,
Ali, nakon što je zablistao, malo je vjerovatno da će se raspršiti
I, kao i pre hiljadama godina,
Neće izazvati sumnje ili sporove.

Najmudriji kada dotakne tvoj pogled
Svetlost istine, hvala bogovima;
I sto bikova, zaklanih, lažu -
Povratni poklon od srećnog Pitagore.

Od tada bikovi očajnički urlaju:
Zauvijek je uzbunio pleme bikova
Ovdje se spominje događaj.

Čini im se da će doći vrijeme,
I oni će ponovo biti žrtvovani
Neka sjajna teorema.

(prevod Viktor Toporov)

A u dvadesetom veku, sovjetski pisac Evgenij Veltistov, u svojoj knjizi „Avanture elektronike“ posvetio je čitavo jedno poglavlje dokazima Pitagorine teoreme. I još pola poglavlja priče o dvodimenzionalnom svijetu koji bi mogao postojati kada bi Pitagorina teorema postala temeljni zakon, pa čak i religija za jedan svijet. Živjeti tamo bi bilo mnogo lakše, ali i mnogo dosadnije: na primjer, tamo niko ne razumije značenje riječi „okruglo“ i „puhasto“.

A u knjizi “Avanture elektronike” autor, kroz usta nastavnika matematike Taratara, kaže: “Glavna stvar u matematici je kretanje misli, novih ideja.” Upravo taj kreativni let misli dovodi do Pitagorine teoreme – nema zalud što ima toliko različitih dokaza. Pomaže vam da pređete granice poznatog i sagledate poznate stvari na novi način.

Zaključak

Ovaj članak je kreiran tako da možete pogledati dalje od školskog nastavnog plana i programa matematike i naučiti ne samo one dokaze Pitagorine teoreme koji su dati u udžbenicima "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) i "Geometrija 7" - 11” (A.V. Pogorelov), ali i druge zanimljive načine dokazivanja čuvene teoreme. I također pogledajte primjere kako se Pitagorina teorema može primijeniti u svakodnevnom životu.

Prvo, ove informacije će vam omogućiti da se kvalificirate za više ocjene na časovima matematike - informacije o ovoj temi iz dodatnih izvora su uvijek visoko cijenjene.

Drugo, htjeli smo vam pomoći da osjetite koliko je matematika zanimljiva. Potvrdite konkretnim primjerima da uvijek ima prostora za kreativnost. Nadamo se da će vas Pitagorina teorema i ovaj članak inspirisati da samostalno istražujete i donosite uzbudljiva otkrića u matematici i drugim naukama.

Recite nam u komentarima da li su vam dokazi predstavljeni u članku bili zanimljivi. Da li vam je ova informacija bila korisna u vašim studijama? Napišite nam šta mislite o Pitagorinoj teoremi i ovom članku - rado ćemo o svemu tome razgovarati s vama.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Jedna stvar u koju možete biti stopostotno sigurni je da će na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze, svaka odrasla osoba hrabro odgovoriti: "Zbroj kvadrata nogu." Ova teorema je čvrsto ukorijenjena u glavama svake obrazovane osobe, ali samo treba zamoliti nekoga da to dokaže i mogu nastati poteškoće. Stoga, prisjetimo se i razmotrimo različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme.

Kratka biografija

Pitagorina teorema poznata je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ju je donijela na svijet nije toliko popularna. Ovo se može popraviti. Stoga, prije nego što istražite različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme, morate nakratko upoznati njegovu ličnost.

Pitagora - filozof, matematičar, mislilac porijeklom iz Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su se razvile u spomen na ovog velikog čovjeka. Ali, kao što slijedi iz djela njegovih sljedbenika, Pitagora sa Samosa rođen je na ostrvu Samos. Otac mu je bio običan kamenorezac, ali majka je bila iz plemićke porodice.

Sudeći po legendi, Pitagorino je rođenje predskazala žena po imenu Pitija, u čiju je čast dečak i dobio ime. Prema njenom predviđanju, rođeni dečak je trebalo da donese mnogo koristi i dobra čovečanstvu. To je upravo ono što je on uradio.

Rođenje teoreme

U mladosti, Pitagora se preselio u Egipat kako bi tamo upoznao poznate egipatske mudrace. Nakon susreta s njima, dozvoljeno mu je studiranje, gdje je naučio sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.

Verovatno je u Egiptu Pitagora bio inspirisan veličanstvenošću i lepotom piramida i stvorio svoju veliku teoriju. Ovo može šokirati čitaoce, ali savremeni istoričari veruju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Ali svoje znanje je samo prenio svojim sljedbenicima, koji su kasnije izvršili sve potrebne matematičke proračune.

Kako god bilo, danas nije poznata jedna metoda dokazivanja ove teoreme, već nekoliko odjednom. Danas možemo samo nagađati kako su tačno stari Grci izvodili svoje proračune, pa ćemo ovdje pogledati različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme.

Pitagorina teorema

Prije nego počnete s bilo kakvim proračunima, morate shvatiti koju teoriju želite dokazati. Pitagorina teorema glasi ovako: "U trokutu u kojem je jedan od uglova 90°, zbir kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze."

Postoji ukupno 15 različitih načina da se dokaže Pitagorina teorema. Ovo je prilično velik broj, pa ćemo obratiti pažnju na najpopularnije od njih.

Prvi metod

Prvo, hajde da definišemo šta nam je dato. Ovi podaci će se primijeniti i na druge metode dokazivanja Pitagorine teoreme, pa je vrijedno odmah zapamtiti sve dostupne notacije.

Pretpostavimo da nam je dat pravokutni trokut sa katetama a, b i hipotenuzom jednakom c. Prva metoda dokaza temelji se na činjenici da trebate nacrtati kvadrat iz pravokutnog trokuta.

Da biste to učinili, potrebno je da kraku dužine a dodate segment jednak kraku b i obrnuto. Ovo bi trebalo rezultirati dvije jednake strane kvadrata. Ostaje samo nacrtati dvije paralelne linije i kvadrat je spreman.

Unutar rezultirajuće figure morate nacrtati još jedan kvadrat sa stranom jednakom hipotenuzi izvornog trokuta. Da biste to učinili, iz vrhova as i sv morate nacrtati dva paralelna segmenta jednaka s. Tako dobijamo tri strane kvadrata, od kojih je jedna hipotenuza prvobitnog pravouglog trokuta. Ostaje samo nacrtati četvrti segment.

Na osnovu rezultirajuće figure možemo zaključiti da je površina vanjskog kvadrata (a + b) 2. Ako pogledate unutar figure, možete vidjeti da pored unutrašnjeg kvadrata postoje četiri pravokutna trokuta. Površina svake je 0,5av.

Dakle, površina je jednaka: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Dakle (a + b) 2 = 2ab + c 2

I, prema tome, c 2 =a 2 +b 2

Teorema je dokazana.

Drugi metod: slični trouglovi

Ova formula za dokazivanje Pitagorine teoreme izvedena je na osnovu iskaza iz odeljka geometrije o sličnim trouglovima. Kaže da je krak pravokutnog trokuta prosjek proporcionalan njegovoj hipotenuzi i segmentu hipotenuze koji izlazi iz vrha ugla od 90°.

Početni podaci ostaju isti, pa krenimo odmah s dokazom. Nacrtajmo segment CD okomit na stranicu AB. Na osnovu gornje tvrdnje, stranice trokuta su jednake:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Da bi se odgovorilo na pitanje kako dokazati Pitagorinu teoremu, dokaz se mora završiti kvadriranjem obje nejednačine.

AC 2 = AB * AD i CB 2 = AB * DV

Sada moramo sabrati rezultirajuće nejednakosti.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), gdje je AD + DV = AB

Ispada da:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

I zbog toga:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Dokaz Pitagorine teoreme i različite metode za njeno rješavanje zahtijevaju svestran pristup ovom problemu. Međutim, ova opcija je jedna od najjednostavnijih.

Druga metoda izračunavanja

Opisi različitih metoda dokazivanja Pitagorine teoreme možda neće ništa značiti dok sami ne počnete vježbati. Mnoge tehnike uključuju ne samo matematičke proračune, već i konstrukciju novih figura iz originalnog trougla.

U ovom slučaju potrebno je popuniti još jedan pravokutni trokut VSD sa stranice BC. Dakle, sada postoje dva trougla sa zajedničkim krakom BC.

Znajući da površine sličnih figura imaju omjer kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija, tada:

S avs * c 2 - S avd * u 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(od 2 - do 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

od 2 - do 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Budući da od različitih metoda dokazivanja Pitagorine teoreme za 8. razred, ova opcija nije prikladna, možete koristiti sljedeću metodu.

Najlakši način da se dokaže Pitagorina teorema. Recenzije

Prema istoričarima, ova metoda je prvi put korištena za dokazivanje teoreme u staroj Grčkoj. Najjednostavniji je, jer ne zahtijeva apsolutno nikakve proračune. Ako pravilno nacrtate sliku, onda će se jasno vidjeti dokaz tvrdnje da a 2 + b 2 = c 2.

Uslovi za ovu metodu bit će malo drugačiji od prethodne. Da bismo dokazali teoremu, pretpostavimo da je pravougli trokut ABC jednakokrak.

Uzimamo hipotenuzu AC kao stranu kvadrata i nacrtamo njegove tri stranice. Osim toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne linije u rezultirajućem kvadratu. Tako da unutar njega dobijete četiri jednakokračna trougla.

Također morate nacrtati kvadrat na katete AB i CB i nacrtati po jednu dijagonalnu ravnu liniju u svakoj od njih. Crtamo prvu liniju iz temena A, drugu iz C.

Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Kako na hipotenuzi AC postoje četiri trokuta jednaka originalnom, a na stranicama dva, to ukazuje na istinitost ove teoreme.

Inače, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagorine teoreme, rođena je poznata fraza: "Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima."

Dokaz od J. Garfielda

James Garfield je dvadeseti predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim što je ostavio trag u istoriji kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i nadareni samodidakt.

Na početku svoje karijere bio je običan nastavnik u javnoj školi, ali je ubrzo postao direktor jedne od visokoškolskih ustanova. Želja za samorazvojom omogućila mu je da predloži novu teoriju za dokazivanje Pitagorine teoreme. Teorema i primjer njenog rješenja su sljedeći.

Prvo morate nacrtati dva pravokutna trokuta na komadu papira tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog. Vrhovi ovih trouglova moraju biti povezani da bi se na kraju formirao trapez.

Kao što znate, površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira njegovih baza i visine.

S=a+b/2 * (a+b)

Ako dobijeni trapez smatramo figurom koja se sastoji od tri trokuta, tada se njegova površina može naći na sljedeći način:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Sada treba da izjednačimo dva originalna izraza

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

O Pitagorinoj teoremi i metodama njenog dokazivanja moglo bi se napisati više od jednog toma udžbenika. Ali ima li smisla u tome kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?

Praktična primjena Pitagorine teoreme

Nažalost, savremeni školski programi predviđaju upotrebu ove teoreme samo u geometrijskim problemima. Maturanti će uskoro napustiti školu ne znajući kako svoje znanje i vještine primijeniti u praksi.

Zapravo, svako može koristiti Pitagorinu teoremu u svom svakodnevnom životu. I to ne samo u profesionalnim aktivnostima, već iu običnim kućnim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorina teorema i metode njenog dokazivanja mogu biti izuzetno potrebni.

Odnos između teoreme i astronomije

Čini se kako se zvijezde i trouglovi na papiru mogu povezati. U stvari, astronomija je naučna oblast u kojoj se Pitagorina teorema široko koristi.

Na primjer, razmotrite kretanje svjetlosnog snopa u prostoru. Poznato je da se svjetlost kreće u oba smjera istom brzinom. Nazovimo putanju AB duž koje se svjetlosni zrak kreće l. I nazovimo pola vremena koje je potrebno svjetlosti da stigne od tačke A do tačke B t. I brzina zraka - c. Ispada da: c*t=l

Ako pogledate ovu istu zraku iz druge ravni, na primjer, iz svemirskog broda koji se kreće brzinom v, tada će se pri promatranju tijela na ovaj način njihova brzina promijeniti. U ovom slučaju, čak i nepokretni elementi će se početi kretati brzinom v u suprotnom smjeru.

Recimo da strip brod plovi udesno. Tada će se tačke A i B, između kojih snop juri, početi pomicati ulijevo. Štaviše, kada se snop pomiče od tačke A do tačke B, tačka A ima vremena da se pomeri i, shodno tome, svetlost će već stići u novu tačku C. Da biste pronašli polovinu udaljenosti za koju se tačka A pomerila, morate pomnožiti brzina košuljice za polovinu vremena putovanja snopa (t").

A da biste pronašli koliko daleko zrak svjetlosti može putovati za to vrijeme, trebate označiti pola puta novim slovom s i dobiti sljedeći izraz:

Ako zamislimo da su svjetlosne točke C i B, kao i linija prostora, vrhovi jednakokračnog trougla, tada će ga segment od tačke A do linije podijeliti na dva pravokutna trougla. Stoga, zahvaljujući Pitagorinoj teoremi, možete pronaći udaljenost koju zrak svjetlosti može prijeći.

Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer će samo rijetki imati sreću da ga isprobaju u praksi. Stoga, razmotrimo uobičajenije primjene ove teoreme.

Domet prijenosa mobilnog signala

Savremeni život se više ne može zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali kolika bi im bila korist da ne mogu povezati pretplatnike putem mobilnih komunikacija?!

Kvaliteta mobilnih komunikacija direktno ovisi o visini na kojoj se nalazi antena mobilnog operatera. Da biste izračunali koliko daleko od mobilnog tornja telefon može primiti signal, možete primijeniti Pitagorinu teoremu.

Recimo da trebate pronaći približnu visinu stacionarnog tornja kako bi mogao distribuirati signal u radijusu od 200 kilometara.

AB (visina tornja) = x;

BC (radijus prijenosa signala) = 200 km;

OS (radijus globusa) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Primjenom Pitagorine teoreme saznajemo da bi minimalna visina tornja trebala biti 2,3 kilometra.

Pitagorina teorema u svakodnevnom životu

Začudo, Pitagorina teorema može biti korisna čak iu svakodnevnim stvarima, kao što je određivanje visine ormara, na primjer. Na prvi pogled, nema potrebe za korištenjem tako složenih proračuna, jer možete jednostavno izvršiti mjerenja pomoću mjerne trake. Ali mnogi ljudi se pitaju zašto nastaju određeni problemi tokom procesa montaže ako su sva mjerenja uzeta više nego precizno.

Činjenica je da se ormar sastavlja u horizontalnom položaju, a tek onda podiže i postavlja uza zid. Stoga, tokom procesa podizanja konstrukcije, strana ormara mora se slobodno kretati i po visini i po dijagonali prostorije.

Pretpostavimo da postoji ormar sa dubinom od 800 mm. Udaljenost od poda do stropa - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja će reći da visina ormarića treba biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primjer.

Sa idealnim dimenzijama ormara, provjerimo rad Pitagorine teoreme:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - sve odgovara.

Recimo da visina ormarića nije 2474 mm, već 2505 mm. onda:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Stoga ovaj ormar nije pogodan za ugradnju u ovu prostoriju. Jer podizanje u vertikalni položaj može oštetiti njegovo tijelo.

Možda, razmatrajući različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme od strane različitih naučnika, možemo zaključiti da je ona i više nego istinita. Sada možete koristiti primljene informacije u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi proračuni biti ne samo korisni, već i ispravni.

Pitagorinu teoremu svi znaju još od škole. Izvanredan matematičar dokazao je sjajnu hipotezu, koju trenutno koriste mnogi ljudi. Pravilo glasi ovako: kvadrat dužine hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata kateta. Dugi niz decenija nijedan matematičar nije bio u stanju da ospori ovo pravilo. Na kraju krajeva, Pitagori je trebalo mnogo vremena da postigne svoj cilj, da bi se kao rezultat toga crteži odvijali u svakodnevnom životu.

Mali stih ove teoreme, koji je izmišljen ubrzo nakon dokaza, direktno dokazuje svojstva hipoteze: "Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima." Ovaj dvoredni redak urezan je u pamćenje mnogih ljudi - do danas se pjesma pamti kada se vrše proračuni.
Ova teorema je nazvana "Pitagorine pantalone" zbog činjenice da se pri crtanju u sredini dobija pravougaoni trougao, sa kvadratima na svakoj strani. Po izgledu, ovaj crtež je podsjećao na hlače - otuda i naziv hipoteze.
Pitagora je bio ponosan na razvijenu teoremu, jer se ova hipoteza razlikuje od sličnih po maksimalnoj količini dokaza. Važno: jednačina je uvrštena u Ginisovu knjigu rekorda zbog 370 istinitih dokaza.
Hipotezu je na mnogo načina dokazao veliki broj matematičara i profesora iz različitih zemalja.. Engleski matematičar Jones ubrzo je objavio hipotezu i dokazao je pomoću diferencijalne jednadžbe.
Trenutno niko ne zna dokaz teoreme od samog Pitagore.. Činjenice o dokazima jednog matematičara danas nikome nisu poznate. Vjeruje se da je Euklidov dokaz crteža Pitagorin dokaz. Međutim, neki naučnici raspravljaju s ovom tvrdnjom: mnogi vjeruju da je Euklid samostalno dokazao teoremu, bez pomoći tvorca hipoteze.
Današnji naučnici su otkrili da veliki matematičar nije bio prvi koji je otkrio ovu hipotezu. Jednačina je bila poznata mnogo prije nego što ju je otkrio Pitagora. Ovaj matematičar je uspio samo da ponovo objedini hipotezu.
Pitagora nije dao jednačini naziv "Pitagorina teorema". Ovo ime se zadržalo iza "glasnog dvolinera". Matematičar je samo želio da cijeli svijet sazna i iskoristi njegove napore i otkrića.
Moritz Kantor, veliki matematičar, pronašao je i video beleške sa crtežima na drevnom papirusu. Ubrzo nakon toga, Cantor je shvatio da je ova teorema bila poznata Egipćanima još 2300. godine prije Krista. Tek tada to niko nije iskoristio niti pokušao da dokaže.
Sadašnji naučnici veruju da je hipoteza bila poznata još u 8. veku pre nove ere. Indijski naučnici tog vremena otkrili su približno izračunavanje hipotenuze trougla s pravim uglovima. Istina, u to vrijeme niko nije mogao sa sigurnošću dokazati jednačinu koristeći približne proračune.
Veliki matematičar Bartel van der Waerden, nakon što je dokazao hipotezu, zaključio je važan zaključak: „Zasluga grčkog matematičara ne smatra se otkriće pravca i geometrije, već samo njeno opravdanje. Pitagora je u svojim rukama imao proračunske formule koje su bile zasnovane na pretpostavkama, netačnim proračunima i nejasnim idejama. Međutim, jedan izvanredni naučnik uspio je to pretvoriti u egzaktnu nauku.”
Slavni pesnik je rekao da je na dan otkrića svog crteža prineo veličanstvenu žrtvu za bikove. Nakon otkrića hipoteze počele su se širiti glasine da je žrtvovanje stotinu bikova „otišlo da luta stranicama knjiga i publikacija“. Do današnjeg dana, duhoviti se šale da se od tada svi bikovi plaše novog otkrića.
Dokaz da Pitagora nije smislio pjesmu o pantalonama kako bi dokazao crteže koje je iznio: Za života velikog matematičara još nije bilo pantalona. Izmišljeni su nekoliko decenija kasnije.
Pitagorina razmišljanja o vlastitom pravilu: tajna svega na zemlji leži u brojevima. Uostalom, matematičar je, oslanjajući se na vlastitu hipotezu, proučavao svojstva brojeva, identificirao parnost i neparnost i stvarao proporcije.

Dom

Metode za dokazivanje Pitagorine teoreme.

G. Glaser,
Akademik Ruske akademije obrazovanja, Moskva

O Pitagorinoj teoremi i metodama njenog dokazivanja

Površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednaka je zbiru površina kvadrata izgrađenih na njegovim kracima...

Ovo je jedna od najpoznatijih geometrijskih teorema antike, nazvana Pitagorina teorema. Gotovo svi koji su ikada studirali planimetriju znaju to i sada. Čini mi se da ako želimo da vanzemaljskim civilizacijama damo do znanja o postojanju inteligentnog života na Zemlji, onda bismo trebali poslati sliku Pitagorejskog lika u svemir. Mislim da ako misleća bića mogu prihvatiti ovu informaciju, onda će bez složenog dekodiranja signala shvatiti da na Zemlji postoji prilično razvijena civilizacija.

Čuveni grčki filozof i matematičar Pitagora sa Samosa, po kojem je teorema i dobila ime, živio je prije oko 2,5 hiljade godina. Biografski podaci koji su do nas stigli o Pitagori su fragmentarni i daleko od pouzdanih. Uz njegovo ime vežu se mnoge legende. Pouzdano je poznato da je Pitagora mnogo putovao po zemljama Istoka, posjećujući Egipat i Babilon. U jednoj od grčkih kolonija u južnoj Italiji osnovao je čuvenu “Pitagorejsku školu”, koja je igrala važnu ulogu u naučnom i političkom životu antičke Grčke. Pitagora je taj koji je zaslužan za dokazivanje čuvene geometrijske teoreme. Na osnovu legendi koje su širili poznati matematičari (Proklo, Plutarh itd.), dugo se vjerovalo da ova teorema nije bila poznata prije Pitagore, pa otuda i naziv - Pitagorina teorema.

Međutim, nema sumnje da je ova teorema bila poznata mnogo godina prije Pitagore. Dakle, 1500 godina prije Pitagore, stari Egipćani su znali da je trokut sa stranicama 3, 4 i 5 pravougao, i koristili su ovo svojstvo (tj. teoremu inverznu Pitagorinoj teoremi) da konstruišu prave uglove kada planiraju zemljišne parcele i zgrade zgrade. I danas seoski neimari i stolari, prilikom postavljanja temelja kolibe i izrade njenih delova, crtaju ovaj trougao da bi se dobio pravi ugao. Ista stvar je urađena prije više hiljada godina u izgradnji veličanstvenih hramova u Egiptu, Vavilonu, Kini, a vjerovatno i u Meksiku. Najstarije kinesko matematičko i astronomsko djelo koje je došlo do nas, Zhou Bi, napisano oko 600 godina prije Pitagore, sadrži, između ostalih prijedloga vezanih za pravokutni trokut, Pitagorinu teoremu. Još ranije je ova teorema bila poznata Hindusima. Dakle, Pitagora nije otkrio ovo svojstvo pravouglog trougla, on je vjerovatno bio prvi koji ga je uopštio i dokazao, čime ga je prenio iz područja prakse u područje nauke. Ne znamo kako je to uradio. Neki povjesničari matematike pretpostavljaju da Pitagorin dokaz nije bio fundamentalan, već samo potvrda, test ovog svojstva na nizu određenih tipova trokuta, počevši od jednakokračnog pravokutnog trokuta, za koji očito slijedi iz Sl. 1.

WITH Od davnina, matematičari su pronalazili sve više i više novih dokaza Pitagorine teoreme, sve više i više novih ideja za njen dokaz. Poznato je više od sto pedeset takvih dokaza - manje-više strogih, manje-više vizualnih - ali je želja da se njihov broj poveća. Mislim da će samostalno „otkriće“ dokaza Pitagorine teoreme biti korisno za moderne školarce.

Pogledajmo neke primjere dokaza koji mogu sugerirati smjer takvih pretraga.

Pitagorejski dokaz

"Kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na njegovim kracima." Najjednostavniji dokaz teoreme dobiva se u najjednostavnijem slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta. Tu je vjerovatno počela teorema. Zapravo, dovoljno je samo pogledati mozaik jednakokračnih pravokutnih trouglova da bismo se uvjerili u valjanost teoreme. Na primjer, za DABC: kvadrat izgrađen na hipotenuzi AC, sadrži 4 originalna trokuta i kvadrate izgrađene na nogama od dva. Teorema je dokazana.

Dokazi zasnovani na korištenju koncepta jednake veličine figura.

U ovom slučaju možemo uzeti u obzir dokaze u kojima je kvadrat izgrađen na hipotenuzi datog pravokutnog trokuta "sastavljen" od istih figura kao kvadrati izgrađeni na stranicama. Također možemo uzeti u obzir dokaze koji koriste preuređenje sabiraka figura i uzimaju u obzir brojne nove ideje.

Na sl. 2 prikazuje dva jednaka kvadrata. Dužina stranica svakog kvadrata je a + b. Svaki od kvadrata je podijeljen na dijelove koji se sastoje od kvadrata i pravokutnih trokuta. Jasno je da ako se četverostruka površina pravokutnog trokuta s kracima a, b oduzme od površine kvadrata, tada će ostati jednake površine, tj. c 2 = a 2 + b 2 . Međutim, drevni hindusi, kojima ovo rezonovanje pripada, obično ga nisu zapisivali, već su crtež propratili samo jednom riječju: "pogledaj!" Sasvim je moguće da je Pitagora ponudio isti dokaz.

Dodatni dokazi.

Ovi se dokazi zasnivaju na razlaganju kvadrata izgrađenih na katetama u figure od kojih se može dodati kvadrat izgrađen na hipotenuzi.

Ovdje: ABC je pravougli trokut sa pravim uglom C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Nezavisno dokazati jednakost u paru trokuta dobijenih podjelom kvadrata izgrađenih na katetama i hipotenuzi.

Dokažite teoremu koristeći ovu particiju.

 Na osnovu dokaza al-Nayriziyaha, izvršeno je još jedno razlaganje kvadrata na parno jednake figure (slika 5, ovdje je ABC pravougli trokut sa pravim uglom C).

 Na sl. 6. Ovdje: ABC je pravougli trokut sa pravim uglom C; O je središte kvadrata izgrađenog na velikoj strani; isprekidane linije koje prolaze kroz tačku O su okomite ili paralelne sa hipotenuzom.

 Ova dekompozicija kvadrata je zanimljiva jer se njegovi po paru jednaki četverouglovi mogu preslikati jedan na drugi paralelnim prevođenjem. Mnogi drugi dokazi Pitagorine teoreme mogu se ponuditi korištenjem dekompozicije kvadrata na figure.

Dokaz metodom kompletiranja.

Suština ove metode je da se kvadratima izgrađenim na katetama i kvadratu izgrađenom na hipotenuzi dodaju jednake figure na način da se dobiju jednake figure.

Valjanost Pitagorine teoreme proizlazi iz jednake veličine šestouglova AEDFPB i ACBNMQ. Ovde CEP, prava EP deli šestougao AEDFPB na dva jednaka četvorougla, prava CM deli šestougao ACBNMQ na dva jednaka četvorougla; Rotiranje ravni za 90° oko centra A preslikava četverougao AEPB na četverougao ACMQ.

Na sl. 8 Pitagorina figura je završena u pravougaonik čije su stranice paralelne sa odgovarajućim stranicama kvadrata izgrađenih na stranicama. Podijelimo ovaj pravougaonik na trokute i pravougaonike. Od rezultirajućeg pravokutnika prvo oduzimamo sve poligone 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ostavljajući kvadrat izgrađen na hipotenuzi. Zatim od istog pravokutnika oduzimamo pravokutnike 5, 6, 7 i zasjenjene pravokutnike, dobivamo kvadrate izgrađene na nogama.

Dokažimo sada da su brojevi oduzeti u prvom slučaju jednaki po veličini likovima oduzetim u drugom slučaju.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

dakle c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c 2 ;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Algebarska metoda dokazivanja.

	Rice. 12 ilustruje dokaz velikog indijskog matematičara Bhaskarija (poznati autor Lilavati, X. II vek). Crtež je pratila samo jedna riječ: POGLEDAJ! Među dokazima Pitagorine teoreme algebarskom metodom, prvo mjesto (možda najstarije) zauzima dokaz pomoću sličnosti.
	Predstavimo u modernoj prezentaciji jedan od ovih dokaza, zaslužnih za Pitagore.

N i sl. 13 ABC – pravougaonik, C – pravi ugao, CMAB, b 1 – projekcija kraka b na hipotenuzu, a 1 – projekcija kraka a na hipotenuzu, h – visina trougla povučenog na hipotenuzu.

Iz činjenice da je ABC sličan ACM slijedi

b 2 = cb 1 ; (1)

iz činjenice da je ABC sličan BCM sledi

a 2 = ca 1 . (2)

Sabirajući jednakosti (1) i (2) član po član, dobijamo a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Ako je Pitagora ponudio takav dokaz, onda je bio upoznat sa nizom važnih geometrijskih teorema koje moderni istoričari matematike obično pripisuju Euklidu.

Moehlmannov dokaz (slika 14).
Površina datog pravokutnog trokuta, s jedne strane, jednaka je drugoj, gdje je p poluperimetar trokuta, r poluprečnik kružnice upisane u njega Imamo:

odakle slijedi da je c 2 =a 2 +b 2.

u drugom

Izjednačavajući ove izraze, dobijamo Pitagorinu teoremu.

Kombinovana metoda

Jednakost trouglova

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Upoređujući relacije (3) i (4), dobijamo to

c 1 2 = c 2, ili c 1 = c.

Dakle, trouglovi - dati i konstruisani - su jednaki, jer imaju tri respektivno jednake stranice. Ugao C 1 je pravi, pa je i ugao C ovog trougla pravi.

Drevni indijski dokazi.

Matematičari Drevne Indije primijetili su da je za dokazivanje Pitagorine teoreme dovoljno koristiti unutrašnji dio drevnog kineskog crteža. U raspravi "Siddhanta Shiromani" ("Kruna znanja") koju je na palminom lišću napisao najveći indijski matematičar 19. stoljeća. Bha-skare su postavljene na crtež (slika 4)

Karakteristična za indijske dokaze je riječ "pogledaj!" Kao što vidite, ovdje su položeni pravokutni trouglovi s hipotenuzom okrenutom prema van i kvadratom With 2 prebačen u "mladenkinu stolicu" With 2 -b 2 . Imajte na umu da posebni slučajevi Pitagorine teoreme (na primjer, konstruiranje kvadrata čija je površina dvostruko veća Fig.4 površina datog kvadrata) nalaze se u drevnoj indijskoj raspravi "Sulva"

Rešili smo pravougao trougao i kvadrate izgrađene na njegovim kracima, ili, drugim rečima, figure sastavljene od 16 identičnih jednakokračnih pravokutnih trouglova i stoga se uklapaju u kvadrat. Takav je ljiljan. mali djelić bogatstva skrivenog u biseru antičke matematike - Pitagorinoj teoremi.

Drevni kineski dokazi.

Matematički traktati Drevne Kine došli su do nas u izdanju iz 2. veka. BC. Činjenica je da je 213. pne. Kineski car Ši Huang Di, pokušavajući da eliminiše prethodne tradicije, naredio je da se spale sve drevne knjige. U P veku BC. U Kini je izmišljen papir i istovremeno je počela rekonstrukcija drevnih knjiga. Glavni od sačuvanih astronomskih radova je u knjizi „Matematika“ crtež (slika 2, a) koji dokazuje Pitagorinu teoremu. Ključ za ovaj dokaz nije teško pronaći. Zapravo, na drevnom kineskom crtežu postoje četiri jednaka pravokutna trokuta sa stranicama a, b i hipotenuzom With naslagano G) tako da njihova vanjska kontura formira Sl. 2 kvadrat sa stranicom a+b, a unutrašnji je kvadrat sa stranicom c, izgrađen na hipotenuzi (sl. 2, b). Ako se izreže kvadrat sa stranicom c, a preostala 4 zasjenjena trokuta se stave u dva pravokutnika (slika 2, V), onda je jasno da je rezultirajuća praznina, s jedne strane, jednaka WITH 2 , a sa druge - With 2 +b 2 , one. c 2=  2 +b 2 . Teorema je dokazana. Imajte na umu da se kod ovog dokaza ne koriste konstrukcije unutar kvadrata na hipotenuzi, koje vidimo na drevnom kineskom crtežu (slika 2, a). Očigledno su drevni kineski matematičari imali drugačiji dokaz. Tačno ako je u kvadratu sa stranom With dva zasjenjena trougla (sl. 2, b) odsjeći i pričvrstiti hipotenuze na druge dvije hipotenuze (slika 2, G), onda je to lako otkriti

Dobivena figura, koja se ponekad naziva i "nevjestina stolica", sastoji se od dva kvadrata sa stranicama A I b, one. c 2 == a 2 +b 2 .

N a Slika 3 reproducira crtež iz rasprave “Zhou-bi...”. Ovdje se razmatra Pitagorina teorema za egipatski trokut sa kracima 3, 4 i hipotenuzom od 5 mjernih jedinica. Kvadrat na hipotenuzi sadrži 25 ćelija, a kvadrat koji je u njega upisan na većem kraku sadrži 16. Jasno je da preostali dio sadrži 9 ćelija. Ovo će biti kvadrat na manjoj strani.

DOKAZ PITAGOROVE TEOREME

Dokazi zasnovani na korištenju koncepta jednake veličine figura.

Na sl. 2 prikazuje dva jednaka kvadrata. Dužina stranica svakog kvadrata je a + b. Svaki od kvadrata je podijeljen na dijelove koji se sastoje od kvadrata i pravokutnih trokuta. Jasno je da ako se četverostruka površina pravokutnog trokuta s kracima a, b oduzme od površine kvadrata, tada će ostati jednake površine, tj. c 2 = a 2 + b 2 . Međutim, drevni hindusi, kojima ovo razmišljanje pripada, obično ga nisu zapisivali, već

je crtež popratio samo jednom riječju: "pogledaj!" Sasvim je moguće da je Pitagora ponudio isti dokaz.

Dodatni dokazi.

Ovi se dokazi zasnivaju na razlaganju kvadrata izgrađenih na katetama u figure od kojih se može dodati kvadrat izgrađen na hipotenuzi.

Ajnštajnov dokaz (slika 3) zasniva se na dekompoziciji kvadrata izgrađenog na hipotenuzi na 8 trouglova.

Ovdje: ABC je pravougli trokut sa pravim uglom C; CÎMN; CK^MN; PO||MN; EF||MN.

Nezavisno dokazati jednakost u paru trokuta dobijenih podjelom kvadrata izgrađenih na katetama i hipotenuzi.

Na sl. 4 prikazuje dokaz Pitagorine teoreme koristeći podjelu al-Nayriziyaha, srednjovjekovnog bagdadskog komentatora Euklidovih elemenata. U ovoj pregradi, kvadrat izgrađen na hipotenuzi podijeljen je na 3 trokuta i 2 četverokuta. Ovdje: ABC je pravougli trokut sa pravim uglom C; DE = BF.

Dokažite teoremu koristeći ovu particiju.

· Na osnovu dokaza al-Nayriziyaha, izvršena je još jedna dekompozicija kvadrata na parno jednake figure (slika 5, ovdje je ABC pravougli trokut sa pravim uglom C).

· Još jedan dokaz metodom razlaganja kvadrata na jednake dijelove, nazvan „točak sa oštricama“, prikazan je na sl. 6. Ovdje: ABC je pravougli trokut sa pravim uglom C; O je centar kvadrata izgrađenog na velikoj strani; isprekidane linije koje prolaze kroz tačku O su okomite ili paralelne sa hipotenuzom.

· Ova dekompozicija kvadrata je zanimljiva jer se njegovi po paru jednaki četvorouglovi mogu preslikati jedan na drugi paralelnim prevođenjem. Mnogi drugi dokazi Pitagorine teoreme mogu se ponuditi korištenjem dekompozicije kvadrata na figure.

Dokaz po metodi konstrukcije.

Suština ove metode je da se kvadratima izgrađenim na katetama i kvadratu izgrađenom na hipotenuzi dodaju jednake figure na način da se dobiju jednake figure.

· Na sl. Na slici 7 prikazana je uobičajena pitagorina figura - pravougaoni trokut ABC sa kvadratima izgrađenim na njegovim stranicama. Uz ovu sliku su priloženi trouglovi 1 i 2, jednaki originalnom pravokutnom trokutu.

Valjanost Pitagorine teoreme proizlazi iz jednake veličine šestouglova AEDFPB i ACBNMQ. Ovde CÎEP, linija EP deli šestougao AEDFPB na dva četvorougla jednake veličine, linija CM deli šestougao ACBNMQ na dva četvorougla jednake veličine; Rotiranje ravni za 90° oko centra A preslikava četverougao AEPB na četverougao ACMQ.

· Na sl. 8 Pitagorina figura je završena u pravougaonik čije su stranice paralelne sa odgovarajućim stranicama kvadrata izgrađenih na stranicama. Podijelimo ovaj pravougaonik na trokute i pravougaonike. Od rezultirajućeg pravokutnika prvo oduzimamo sve poligone 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ostavljajući kvadrat izgrađen na hipotenuzi. Zatim od istog pravokutnika oduzimamo pravokutnike 5, 6, 7 i zasjenjene pravokutnike, dobivamo kvadrate izgrađene na nogama.

Dokažimo sada da su brojevi oduzeti u prvom slučaju jednaki po veličini likovima oduzetim u drugom slučaju.

· Riža. 9 ilustruje dokaz koji je dao Nassir-ed-Din (1594). Ovdje: PCL – prava linija;

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c2;

dakle c 2 = a 2 + b 2 .

Rice. Slika 11 ilustruje još jedan originalniji dokaz koji je predložio Hoffmann.

Ovdje: trougao ABC sa pravim uglom C; segment BF je okomit na CB i jednak mu, segment BE je okomit na AB i jednak mu, segment AD je okomit na AC i jednak mu; tačke F, C, D pripadaju istoj pravoj; četvorouglovi ADFB i ACBE su jednake veličine, pošto je ABF=ECB; trokuti ADF i ACE su jednake veličine; oduzmemo od oba jednaka četvorougla trougao ABC koji dele, dobijamo

Algebarska metoda dokazivanja.

· Riža. 12 ilustruje dokaz velikog indijskog matematičara Bhaskarija (poznatog autora Lilavatija, 12. vijek). Crtež je pratila samo jedna riječ: POGLEDAJ! Među dokazima Pitagorine teoreme algebarskom metodom, prvo mjesto (možda najstarije) zauzima dokaz pomoću sličnosti.

· Predstavimo u modernoj prezentaciji jedan od ovih dokaza koji pripada Pitagori.

Na sl. 13 ABC – pravougaonik, C – pravi ugao, CM^AB, b1 – projekcija kraka b na hipotenuzu, a1 – projekcija kraka a na hipotenuzu, h – visina trougla povučenog na hipotenuzu.

Iz činjenice da je DABC sličan DACM-u slijedi

b 2 = cb 1 ; (1)

iz činjenice da je DABC sličan DBCM-u slijedi

a 2 = ca 1 . (2)

Sabirajući jednakosti (1) i (2) član po član, dobijamo a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Ako je Pitagora ponudio takav dokaz, onda je bio upoznat sa nizom važnih geometrijskih teorema koje moderni istoričari matematike obično pripisuju Euklidu.

Moehlmannov dokaz (slika 14).

Površina datog pravokutnog trokuta, s jedne strane, jednaka je drugoj, gdje je p poluperimetar trokuta, r je polumjer kružnice upisane u njega.

odakle slijedi da je c2=a2+b2.

Garfieldov dokaz.

Na slici 15, tri pravokutna trougla čine trapez. Stoga se površina ove figure može pronaći pomoću formule za površinu pravokutnog trapeza, ili kao zbir površina tri trokuta. U prvom slučaju, ova površina je jednaka

u drugom

Izjednačavajući ove izraze, dobijamo Pitagorinu teoremu.

Postoje mnogi dokazi Pitagorine teoreme, izvedeni bilo svakom od opisanih metoda ili kombinacijom različitih metoda. Završavajući pregled primjera različitih dokaza, predstavljamo još crteža koji ilustriraju osam metoda na koje se upućuje u Euklidovim elementima (sl. 16 - 23). Na ovim crtežima Pitagorina figura je prikazana punom linijom, a dodatne konstrukcije su prikazane isprekidanom linijom.

Kao što je već spomenuto, stari Egipćani su prije više od 2000 godina praktično koristili svojstva trokuta sa stranicama 3, 4, 5 za konstruiranje pravog ugla, tj. zapravo su koristili teoremu inverznu Pitagorinoj teoremi. Izložimo dokaz ove teoreme zasnovan na kriteriju jednakosti trouglova (tj. onom koji se može uvesti vrlo rano u školi). Dakle, neka su stranice trougla ABC (slika 24) povezane relacijom

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Dokažimo da je ovaj trougao pravougli.

Konstruirajmo pravougli trokut A1B1C1 duž dva kraka, čije su dužine jednake dužinama a i b kateta ovog trougla (slika 25).

Neka je dužina hipotenuze konstruisanog trougla jednaka c1. Pošto je konstruisani trougao pravougli, onda prema Pitagorinoj teoremi imamo: c 1 2 = a 2 + b 2. (4)

Upoređujući relacije (3) i (4), dobijamo to

c 1 2 = c 2, ili c 1 = c.

Dakle, trouglovi - dati i konstruisani - su jednaki, jer imaju tri respektivno jednake stranice. Ugao C1 je pravi, pa je i ugao C ovog trougla pravi.

Dokaz metodom dekompozicije

Postoji niz dokaza Pitagorine teoreme u kojima se kvadrati izgrađeni na katetama i na hipotenuzi seku tako da svaki dio kvadrata izgrađenog na hipotenuzi odgovara dijelu jednog od kvadrata izgrađenih na katetama. U svim ovim slučajevima, dovoljan je jedan pogled na crtež da bi se razumio dokaz; rasuđivanje se ovdje može ograničiti na jednu riječ: “Pogledaj!”, kao što je učinjeno u spisima drevnih hinduističkih matematičara. Međutim, treba napomenuti da se dokaz zapravo ne može smatrati potpunim dok ne dokažemo jednakost svih odgovarajućih dijelova. To je gotovo uvijek prilično lako izvesti, ali može (posebno sa velikim brojem dijelova) zahtijevati dosta posla.

Epsteinov dokaz

Počnimo sa Epsteinovim dokazom (slika 1); njegova prednost je što se ovdje isključivo trokuti pojavljuju kao komponente dekompozicije. Da biste razumjeli crtež, imajte na umu da je prava linija CD nacrtana okomito na pravu liniju EF.

Razlaganje na trouglove može se učiniti vizualnijim nego na slici.

Nielsenov dokaz.

Na slici su pomoćne linije modificirane prema Nielsenovom prijedlogu.

Boetcherov dokaz.

Slika pokazuje vrlo jasnu Bötcherovu dekompoziciju.

Perigalov dokaz.

U udžbenicima se često susreće dekompozicija prikazana na slici (tzv. „točak sa oštricama“; ovaj dokaz je pronašao Perigal). Kroz centar O kvadrata izgrađenog na većem kraku povlačimo prave linije paralelne i okomite na hipotenuzu. Podudarnost dijelova figure jasno je vidljiva sa crteža.

Gutheilov dokaz.

Razgradnja prikazana na slici je posljedica Gutheila; karakteriše ga vizuelni raspored pojedinačnih delova, što vam omogućava da odmah vidite kakva će pojednostavljenja imati slučaj jednakokračnog pravouglog trougla.

Svjedočanstvo iz 9. stoljeća nove ere

Ranije su predstavljeni samo takvi dokazi u kojima su kvadrat izgrađen na hipotenuzi, s jedne strane, i kvadrati izgrađeni na katetama, s druge strane, bili sastavljeni od jednakih dijelova. Takvi dokazi se nazivaju dokazi dodavanjem („aditivni dokazi“) ili, češće, dokazi dekompozicijom. Do sada smo polazili od uobičajenog rasporeda kvadrata građenih na odgovarajućim stranicama trokuta, odnosno izvan trougla. Međutim, u mnogim slučajevima drugačiji raspored kvadrata je povoljniji.

Na slici su kvadrati izgrađeni na nogama postavljeni u stepenice, jedan do drugog. Ova figura, koja se pojavljuje u dokazima koji datiraju najkasnije do 9. stoljeća nove ere. e., Hindusi su je nazvali „nevestina stolica“. Metoda za konstruisanje kvadrata sa stranicom jednakom hipotenuzi je jasna iz crteža. Zajednički dio dva kvadrata izgrađena na katetama i kvadrata izgrađenog na hipotenuzi je nepravilan osenčeni petougao 5. Pričvršćivanjem trokuta 1 i 2 na njega dobijamo oba kvadrata izgrađena na katetama; ako trokute 1 i 2 zamijenimo jednakim trokutima 3 i 4, dobićemo kvadrat izgrađen na hipotenuzi. Slike ispod prikazuju dva različita rasporeda bliska onom datom na prvoj slici.

Dokazi sabiranjem

Dokaz jedan.

Uz dokaze pomoću metode sabiranja, možete dati primjere dokaza pomoću oduzimanja, koji se nazivaju i dokazi metodom sabiranja. Opća ideja takvih dokaza je sljedeća.

Od dvije jednake površine trebate oduzeti jednake dijelove tako da u jednom slučaju ostanete dva kvadrata izgrađena na nogama, a u drugom - kvadrat izgrađen na hipotenuzi. Uostalom, ako u jednakosti

B-A=C i B 1 -A 1 =C 1

dio A je jednak po veličini dijelu A 1, a dio B jednak je veličine B 1, tada su dijelovi C i C 1 također jednaki po veličini.

Objasnimo ovu metodu na primjeru. Na sl. na uobičajenu Pitagorinu figuru, trokuti 2 i 3 su pričvršćeni iznad i ispod, jednaki originalnom trouglu 1. Prava linija DG će nužno proći kroz C. Napominjemo (to ćemo kasnije dokazati) da su šestouglovi DABGFE i CAJKHB jednake veličine. Ako od prvog od njih oduzmemo trokute 1 i 2, ostat će nam kvadrati izgrađeni na katetama, a ako od drugog šestougla oduzmemo jednake trokute 1 i 3, ostat će nam kvadrat izgrađen na hipotenuza. Iz ovoga slijedi da je kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak zbiru kvadrata izgrađenih na katetama.

Ostaje dokazati da su naši šesterokuti jednaki po veličini. Imajte na umu da linija DG dijeli gornji šesterokut na jednake dijelove; isto se može reći za pravu liniju CK i donji šestougao. Rotiramo četvorougao DABG, koji je polovina šestougla DABGFE, oko tačke A u smeru kazaljke na satu pod uglom od 90; tada će se poklopiti sa četvorouglom CAJK, koji je polovina šestougla CAJKHB. Dakle, šesterokuti DABGFE i CAJKHB su jednake veličine.

Još jedan dokaz koristeći metodu oduzimanja.

Pogledajmo još jedan dokaz koristeći metodu oduzimanja. Stavimo poznati crtež Pitagorine teoreme u pravougaoni okvir, čiji se smjerovi stranica poklapaju sa smjerovima krakova trokuta. Nastavimo neke segmente figure kao što je prikazano na slici, dok se pravougaonik raspada na nekoliko trouglova, pravougaonika i kvadrata. Uklonimo prvo nekoliko dijelova iz pravokutnika tako da ostane samo kvadrat izgrađen na hipotenuzi. Ovi dijelovi su sljedeći:

1. trouglovi 1, 2, 3, 4;

2. pravougaonik 5;

3. pravougaonik 6 i kvadrat 8;

4. pravougaonik 7 i kvadrat 9;

Zatim izbacujemo dijelove iz pravokutnika tako da ostanu samo kvadrati izgrađeni na katatama. Ovi dijelovi će biti:

1. pravougaonici 6 i 7;

2. pravougaonik 5;

3. pravougaonik 1 (osenčen);

4. pravougaonik 2 (osenčen);

Sve što treba da uradimo je da pokažemo da su oduzeti delovi jednake veličine. To je lako uočiti zbog rasporeda figura. Iz slike je jasno da:

1. pravougaonik 5 jednak je samom sebi;

2. četiri trougla 1,2,3,4 po veličini su jednaka dva pravougaonika 6 i 7;

3. pravougaonik 6 i kvadrat 8, uzeti zajedno, jednaki su veličini pravougaonika 1 (osenčeni);

4. pravougaonik 7 zajedno sa kvadratom 9 jednaki su po veličini pravougaoniku 2 (osenčeni);

Dokaz je potpun.

Drugi dokazi

Euklidov dokaz

Ovaj dokaz je dao Euklid u svojim Elementima. Prema Proklu (Bizant), izumio ga je sam Euklid. Euklidov dokaz je dat u rečenici 47 prve knjige Elementi.

Na hipotenuzi i kracima pravokutnog trokuta ABC konstruirani su odgovarajući kvadrati i dokazano je da je pravougaonik BJLD jednak kvadratu ABFH, a pravougaonik ICEL kvadratu ACCC. Tada će zbir kvadrata na katetama biti jednak kvadratu na hipotenuzi.

U stvari, trokuti ABD i BFC su jednaki po dvije stranice i kutu između njih:

FB = AB, BC = BD

RFBC = d + PABC = PABD

SABD = 1/2 S BJLD,

pošto trougao ABD i pravougaonik BJLD imaju zajedničku osnovu BD i zajedničku visinu LD. Isto tako

(BF-zajednička baza, AB-zajednička visina). Dakle, s obzirom na to

Slično, koristeći jednakost trokuta VSK i ACE, dokazuje se da

SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,

Q.E.D.

Hawkinsov dokaz.

Navedimo još jedan dokaz, koji je računske prirode, ali se jako razlikuje od svih prethodnih. Objavio ga je Englez Hawkins 1909. godine; da li se to ranije znalo, teško je reći.

Zarotirajte pravougaoni trougao ABC sa pravim uglom C za 90° tako da zauzme poziciju A"CB". Produžimo hipotenuzu A"B" mimo tačke A" sve dok ne seče sa pravom AB u tački D. Segment B"D će biti visina trougla B"AB. Razmotrimo sada osenčeni četvorougao A"AB"B Može se razložiti na dva jednakokračna trougla CAA" i SVV" (ili na dva trougla A"B"A i A"B"B).

Pitagora je žrtvovao 100 bikova. Karikature Dokaz teoreme Pitagora... hipotenuza je jednaka zbroju kvadrata kateta ( Teorema Pitagora).Dokaz:1. Dokažimo da je pravougaonik BJLD jednak...

Škola Pitagora

Sažetak >> Filozofija

Prezentacija vlastitog sistema nastavnika. 1. BIOGRAFIJA PYTHAGORE Pitagora, starogrčki filozof, religiozni i politički lik... proučavanje svojstava celih brojeva i proporcija, dokaz teoreme Pitagora itd. Strast za muzikom i poezijom velikih...

Argumentacija i dokaz. Sastav subjekta argumentacije, struktura

Sažetak >> Logika

Poprimi karakter strogog rasuđivanja i naziva se dokaz. Dokaz je logička operacija potkrepljivanja... određene oblasti znanja. Da, u procesu dokaz teoreme Pitagora u geometriji se koriste ranije prihvaćene definicije...

Teoreme trigonometrija

Sažetak >> Matematika

Na bilo koji pravokutni trokut i vodio Pitagora To dokaz poznati teoreme. Egipatski trougao sa omjerom... . itd. Generalizirano teorema Pitagora. Kosinusna teorema se ponekad naziva generalizirana teorema teorema Pitagora. Ovo ime...