Za dva izraza se kaže da su identično jednaka na skupu ako imaju značenje na ovom skupu i sve njihove odgovarajuće vrijednosti su jednake.
Jednakost u kojoj su lijeva i desna strana identično jednaki izrazi se naziva identitet.
Poziva se zamjena jednog izraza drugim koji mu je identično jednak na datom skupu identična transformacija izraza.
Zadatak. Pronađite opseg izraza.
Rješenje. Pošto je izraz razlomak, da biste pronašli njegovu domenu definicije, potrebno je pronaći te vrijednosti varijable X, na kojoj imenilac postaje nula, i eliminirati ih. Nakon što smo riješili jednačinu X 2 - 9 = 0, nalazimo to X= -3 i X= 3. Dakle, domen definicije ovog izraza se sastoji od svih brojeva osim -3 i 3. Ako ga označimo sa X, tada možemo napisati:
X= (-¥; -3) È (-3; 3) È (3; +¥).
Zadatak. Jesu li izrazi i X- 2 identično jednaka: a) na setu R; b) na skupu cijelih brojeva različitih od nule?
Rješenje. a) Na setu R ovi izrazi nisu identično jednaki, od kada X= 0 izraz nema značenje, a izraz X- 2 ima vrijednost -2.
b) Na skupu cijelih brojeva koji nisu nula, ovi izrazi su identično jednaki, jer je = 
.
Zadatak. Na kojim vrednostima X sljedeće jednakosti su identiteti:
A) 
; b) .
Rješenje. a) Jednakost je identitet ako ;
b) Jednakost je identitet ako .
Razmotrimo dvije jednakosti:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Ova jednakost vrijedi za sve vrijednosti varijable a. Raspon prihvatljivih vrijednosti za tu jednakost bit će cijeli skup realnih brojeva.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Ova nejednakost će vrijediti za sve vrijednosti varijable a, osim za a jednako nuli. Raspon prihvatljivih vrijednosti za ovu nejednakost bit će cijeli skup realnih brojeva osim nule.
Za svaku od ovih jednakosti može se tvrditi da će biti istinita za sve dozvoljene vrijednosti varijabli a. Takve jednakosti u matematici se nazivaju identiteta.
Koncept identiteta
Identitet je jednakost koja je istinita za sve dozvoljene vrijednosti varijabli. Ako zamijenite bilo koje važeće vrijednosti u ovu jednakost umjesto varijabli, trebali biste dobiti ispravnu numeričku jednakost.
Vrijedi napomenuti da su prave numeričke jednakosti također identiteti. Identiteti će, na primjer, biti svojstva radnji na brojevima.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Ako su dva izraza za bilo koju dopuštenu varijablu jednaka, tada se takvi izrazi pozivaju identično jednake. Ispod su neki primjeri identično jednakih izraza:
1. (a 2) 4 i a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) i -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) i x 10.
Uvijek možemo zamijeniti jedan izraz bilo kojim drugim izrazom koji je identično jednak prvom. Takva zamjena će biti transformacija identiteta.
Primjeri identiteta
Primjer 1: da li su sljedeće jednakosti identične:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Neće svi gore predstavljeni izrazi biti identiteti. Od ovih jednakosti, samo 1, 2 i 3 jednakosti su identiteti. Bez obzira koje brojeve u njih zamijenimo, umjesto varijabli a i b i dalje ćemo dobiti tačne numeričke jednakosti.
Ali jednakost više nije identitet. Jer ova jednakost neće vrijediti za sve važeće vrijednosti. Na primjer, sa vrijednostima a = 5 i b = 2, dobit će se sljedeći rezultat:
Ova jednakost nije tačna, jer broj 3 nije jednak broju -3.
Oba dijela su identično jednaki izrazi. Identiteti se dijele na alfabetske i numeričke.
Izrazi identiteta
Pozivaju se dva algebarska izraza identičan(ili identično jednake), ako za bilo koje numeričke vrijednosti slova imaju istu brojčanu vrijednost. Ovo su, na primjer, izrazi:
x(5 + x) i 5 x + x 2
Oba prikazana izraza, za bilo koju vrijednost xće biti jednaki jedno drugom, pa se mogu nazvati identičnim ili identično jednakim.
Brojčani izrazi koji su međusobno jednaki mogu se nazvati i identičnimi. Na primjer:
20 - 8 i 10 + 2
Identitet slova i brojeva
Doslovni identitet- ovo je jednakost koja vrijedi za sve vrijednosti slova uključenih u nju. Drugim riječima, jednakost u kojoj su obje strane identično jednaki izrazi, na primjer:
(a + b)m = am + bm
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Numerički identitet je jednakost koja sadrži samo brojeve izražene ciframa, u kojoj obje strane imaju istu brojčanu vrijednost. Na primjer:
4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50
Identične transformacije izraza
Sve algebarske operacije su transformacija jednog algebarskog izraza u drugi, identičan prvom.
Prilikom izračunavanja vrijednosti izraza, otvaranja zagrada, stavljanja zajedničkog faktora izvan zagrada iu nizu drugih slučajeva, neki izrazi se zamjenjuju drugima koji su im identično jednaki. Zamjena jednog izraza drugim, njemu identično jednakim, naziva se identična transformacija izraza ili jednostavno transformisanje izraza. Sve transformacije izraza se izvode na osnovu svojstava operacija nad brojevima.
Razmotrimo identičnu transformaciju izraza koristeći primjer uzimanja zajedničkog faktora iz zagrada:
10x - 7x + 3x = (10 - 7 + 3)x = 6x
Nakon što smo se pozabavili konceptom identiteta, možemo preći na proučavanje identično jednakih izraza. Svrha ovog članka je da objasni šta je to i da na primjerima pokaže koji će izrazi biti identično jednaki drugima.
Identično jednaki izrazi: definicija
Koncept identično jednakih izraza se obično proučava zajedno sa pojmom identiteta u okviru školskog kursa algebre. Evo osnovne definicije preuzete iz jednog udžbenika:
Definicija 1
Identično jednaki međusobno će postojati takvi izrazi, čije će vrijednosti biti iste za sve moguće vrijednosti varijabli uključenih u njihov sastav.
Također, oni numerički izrazi kojima će odgovarati iste vrijednosti smatraju se identično jednakima.
Ovo je prilično široka definicija koja će vrijediti za sve cjelobrojne izraze čije se značenje ne mijenja kada se promijene vrijednosti varijabli. Međutim, kasnije postaje potrebno razjasniti ovu definiciju, jer pored cijelih brojeva, postoje i drugi tipovi izraza koji neće imati smisla s određenim varijablama. To dovodi do koncepta prihvatljivosti i nedopustivosti određenih varijabilnih vrijednosti, kao i potrebe za određivanjem raspona dozvoljenih vrijednosti. Hajde da formulišemo rafiniranu definiciju.
Definicija 2
Identično jednaki izrazi– to su oni izrazi čije su vrijednosti jednake jedna drugoj za sve dozvoljene vrijednosti varijabli uključenih u njihov sastav. Numerički izrazi će biti identično jednaki jedan drugom pod uvjetom da su vrijednosti iste.
Izraz "za sve važeće vrijednosti varijabli" označava sve one vrijednosti varijabli za koje će oba izraza imati smisla. Objasnit ćemo ovu tačku kasnije kada damo primjere identično jednakih izraza.
Također možete dati sljedeću definiciju:
Definicija 3
Identično jednaki izrazi su izrazi koji se nalaze u istom identitetu na lijevoj i desnoj strani.
Primjeri izraza koji su međusobno identično jednaki
Koristeći gore navedene definicije, pogledajmo nekoliko primjera takvih izraza.
Počnimo s numeričkim izrazima.
Primjer 1
Dakle, 2 + 4 i 4 + 2 će biti identično jednaki jedno drugom, jer će njihovi rezultati biti jednaki (6 i 6).
Primjer 2
Na isti način, izrazi 3 i 30 su identično jednaki: 10, (2 2) 3 i 2 6 (da biste izračunali vrijednost posljednjeg izraza potrebno je znati svojstva stepena).
Primjer 3
Ali izrazi 4 - 2 i 9 - 1 neće biti jednaki, jer su njihove vrijednosti različite.
Pređimo na primjere doslovnih izraza. a + b i b + a bit će identično jednaki, a to ne ovisi o vrijednostima varijabli (jednakost izraza u ovom slučaju određena je komutativnim svojstvom sabiranja).
Primjer 4
Na primjer, ako je a jednako 4, a b jednako 5, rezultati će i dalje biti isti.
Drugi primjer identično jednakih izraza sa slovima je 0 · x · y · z i 0 . Bez obzira na vrijednosti varijabli u ovom slučaju, kada se pomnože sa 0, one će dati 0. Nejednaki izrazi su 6 · x i 8 · x, jer neće biti jednaki ni za jedan x.
U slučaju da se područja dozvoljenih vrijednosti varijabli poklapaju, na primjer, u izrazima a + 6 i 6 + a ili a · b · 0 i 0, ili x 4 i x, i vrijednostima sami izrazi su jednaki za sve varijable, tada se takvi izrazi smatraju identično jednakim. Dakle, a + 8 = 8 + a za bilo koju vrijednost a, i a · b · 0 = 0, jer množenje bilo kojeg broja sa 0 rezultira 0. Izrazi x 4 i x će biti identično jednaki za bilo koje x iz intervala [ 0 , + ∞) .
Ali raspon važećih vrijednosti u jednom izrazu može se razlikovati od raspona drugog.
Primjer 5
Na primjer, uzmimo dva izraza: x − 1 i x - 1 · x x. Za prvi od njih, raspon dozvoljenih vrijednosti x će biti cijeli skup realnih brojeva, a za drugi - skup svih realnih brojeva, s izuzetkom nule, jer ćemo tada dobiti 0 u nazivnik, a takva podjela nije definirana. Ova dva izraza imaju zajednički raspon vrijednosti formiranih presjekom dva odvojena raspona. Možemo zaključiti da će oba izraza x - 1 · x x i x − 1 imati smisla za sve realne vrijednosti varijabli, s izuzetkom 0.
Osnovno svojstvo razlomka također nam omogućava da zaključimo da će x - 1 · x x i x − 1 biti jednaki za bilo koje x koje nije 0. To znači da će u općem rasponu dopuštenih vrijednosti ovi izrazi biti identično jednaki jedan drugom, ali za bilo koji realni x ne možemo govoriti o identičnoj jednakosti.
Ako zamijenimo jedan izraz drugim, koji mu je identično jednak, tada se ovaj proces naziva transformacija identiteta. Ovaj koncept je veoma važan i o njemu ćemo detaljno govoriti u posebnom materijalu.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Nakon što ste stekli ideju o identitetima, logično je preći na upoznavanje. U ovom članku ćemo odgovoriti na pitanje šta su identično jednaki izrazi, a na primjerima ćemo razumjeti koji su izrazi identično jednaki, a koji nisu.
Navigacija po stranici.
Šta su identično jednaki izrazi?
Definicija identično jednakih izraza data je paralelno sa definicijom identiteta. To se dešava na času algebre u 7. razredu. U udžbeniku iz algebre za 7. razred autora Yu. Makarycheva data je sljedeća formulacija:
Definicija.
– to su izrazi čije su vrijednosti jednake za bilo koje vrijednosti varijabli uključenih u njih. Numerički izrazi koji imaju identične vrijednosti nazivaju se i identično jednaki.
Ova definicija se koristi do ocjene 8, vrijedi za cjelobrojne izraze, budući da imaju smisla za sve vrijednosti varijabli uključenih u njih. A u 8. razredu se pojašnjava definicija identično jednakih izraza. Hajde da objasnimo sa čime je ovo povezano.
U 8. razredu počinje proučavanje drugih vrsta izraza, koji, za razliku od cijelih izraza, možda nemaju smisla za neke vrijednosti varijabli. To nas primorava da uvedemo definicije dozvoljenih i neprihvatljivih vrijednosti varijabli, kao i raspon dozvoljenih vrijednosti vrijednosti varijable varijable, i, kao posljedicu, da pojasnimo definiciju identično jednakih izraza.
Definicija.
Pozivaju se dva izraza čije su vrijednosti jednake za sve dozvoljene vrijednosti varijabli uključenih u njih identično jednaki izrazi. Dva numerička izraza koji imaju iste vrijednosti nazivaju se i identično jednakima.
U ovoj definiciji identično jednakih izraza, vrijedno je pojasniti značenje izraza "za sve dozvoljene vrijednosti varijabli uključenih u njih". To podrazumijeva sve takve vrijednosti varijabli za koje oba identično jednaka izraza imaju smisla u isto vrijeme. Objasnit ćemo ovu ideju u sljedećem paragrafu gledajući primjere.
Definicija identično jednakih izraza u udžbeniku A. G. Mordkovicha data je malo drugačije:
Definicija.
Identično jednaki izrazi– to su izrazi na lijevoj i desnoj strani identiteta.
Značenje ove i prethodne definicije se poklapaju.
Primjeri identično jednakih izraza
Definicije uvedene u prethodnom paragrafu nam dozvoljavaju da damo primjere identično jednakih izraza.
Počnimo sa identično jednakim numeričkim izrazima. Numerički izrazi 1+2 i 2+1 su identično jednaki, jer odgovaraju jednakim vrijednostima 3 i 3. Izrazi 5 i 30:6 su također identično jednaki, kao i izrazi (2 2) 3 i 2 6 (vrijednosti potonjih izraza su jednake na osnovu ). Ali numerički izrazi 3+2 i 3−2 nisu identično jednaki, jer odgovaraju vrijednostima 5 i 1, i nisu jednaki.
Sada dajmo primjere identično jednakih izraza sa varijablama. To su izrazi a+b i b+a. Zaista, za bilo koje vrijednosti varijabli a i b, pisani izrazi uzimaju iste vrijednosti (kao što slijedi iz brojeva). Na primjer, sa a=1 i b=2 imamo a+b=1+2=3 i b+a=2+1=3. Za bilo koje druge vrijednosti varijabli a i b, također ćemo dobiti jednake vrijednosti ovih izraza. Izrazi 0·x·y·z i 0 su također identično jednaki za sve vrijednosti varijabli x, y i z. Ali izrazi 2 x i 3 x nisu identično jednaki, jer, na primjer, kada je x=1 njihove vrijednosti nisu jednake. Zaista, za x=1 izraz 2·x je jednak 2·1=2, a izraz 3·x je jednak 3·1=3.
Kada se rasponi dozvoljenih vrijednosti varijabli u izrazima poklapaju, kao, na primjer, u izrazima a+1 i 1+a, ili a·b·0 i 0, ili i, i vrijednosti ovih izraza jednake su za sve vrijednosti varijabli iz ovih područja, onda je ovdje sve jasno - ovi izrazi su identično jednaki za sve dozvoljene vrijednosti varijabli uključenih u njih. Dakle, a+1≡1+a za bilo koje a, izrazi a·b·0 i 0 su identično jednaki za bilo koje vrijednosti varijabli a i b, a izrazi i su identično jednaki za sve x od ; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.