ज्यामितीय प्रगति में क्या अंतर है? ज्यामितीय प्रगति और उसका सूत्र

मास्टरवेब से

22.09.2018 22:00

अंकगणितीय प्रगति के साथ-साथ ज्यामितीय प्रगति, एक महत्वपूर्ण संख्या श्रृंखला है जिसका अध्ययन 9वीं कक्षा में स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में किया जाता है। इस लेख में हम एक ज्यामितीय प्रगति के हर को देखेंगे और इसका मूल्य इसके गुणों को कैसे प्रभावित करता है।

ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा

सबसे पहले, आइए इस संख्या श्रृंखला की परिभाषा दें। ज्यामितीय प्रगति तर्कसंगत संख्याओं की एक श्रृंखला है जो क्रमिक रूप से इसके पहले तत्व को एक स्थिर संख्या जिसे हर कहा जाता है, से गुणा करके बनाई जाती है।

उदाहरण के लिए, श्रृंखला 3, 6, 12, 24, ... में संख्याएँ एक ज्यामितीय प्रगति हैं, क्योंकि यदि आप 3 (पहला तत्व) को 2 से गुणा करते हैं, तो आपको 6 मिलता है। यदि आप 6 को 2 से गुणा करते हैं, तो आपको मिलता है 12, इत्यादि.

विचाराधीन अनुक्रम के सदस्यों को आमतौर पर प्रतीक ai द्वारा दर्शाया जाता है, जहां i एक पूर्णांक है जो श्रृंखला में तत्व की संख्या को दर्शाता है।

प्रगति की उपरोक्त परिभाषा गणितीय भाषा में इस प्रकार लिखी जा सकती है: an = bn-1 * a1, जहां b हर है। इस सूत्र को जांचना आसान है: यदि n = 1, तो b1-1 = 1, और हमें a1 = a1 मिलता है। यदि n = 2, तो an = b * a1, और हम फिर से प्रश्न में संख्याओं की श्रृंखला की परिभाषा पर आते हैं। n के बड़े मानों के लिए भी इसी तरह का तर्क जारी रखा जा सकता है।

ज्यामितीय प्रगति का भाजक

संख्या b पूरी तरह से निर्धारित करती है कि संपूर्ण संख्या श्रृंखला में कौन सा वर्ण होगा। हर बी धनात्मक, ऋणात्मक या एक से अधिक या एक से कम हो सकता है। उपरोक्त सभी विकल्प अलग-अलग अनुक्रमों की ओर ले जाते हैं:

b > 1. परिमेय संख्याओं की बढ़ती हुई श्रृंखला है। उदाहरण के लिए, 1, 2, 4, 8, ... यदि तत्व a1 ऋणात्मक है, तो संपूर्ण अनुक्रम केवल निरपेक्ष मान में बढ़ेगा, लेकिन संख्याओं के चिह्न के आधार पर घटेगा।
बी = 1. अक्सर इस मामले को प्रगति नहीं कहा जाता है, क्योंकि इसमें समान तर्कसंगत संख्याओं की एक सामान्य श्रृंखला होती है। उदाहरण के लिए, -4, -4, -4.

राशि के लिए सूत्र

विचाराधीन प्रगति के प्रकार के हर का उपयोग करके विशिष्ट समस्याओं पर विचार करने से पहले, इसके पहले एन तत्वों के योग के लिए एक महत्वपूर्ण सूत्र दिया जाना चाहिए। सूत्र इस प्रकार दिखता है: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)।

यदि आप प्रगति के पदों के पुनरावर्ती अनुक्रम पर विचार करते हैं तो आप यह अभिव्यक्ति स्वयं प्राप्त कर सकते हैं। यह भी ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र में पदों की मनमानी संख्या का योग ज्ञात करने के लिए केवल पहला तत्व और हर जानना पर्याप्त है।

अनन्त रूप से घटता हुआ क्रम

यह क्या है इसका स्पष्टीकरण ऊपर दिया गया था। अब, Sn का सूत्र जानकर, आइए इसे इस संख्या श्रृंखला पर लागू करें। चूँकि कोई भी संख्या जिसका मापांक 1 से अधिक नहीं है, बड़ी घात तक बढ़ाए जाने पर शून्य हो जाता है, अर्थात, b∞ => 0 यदि -1

चूंकि अंतर (1 - बी) हमेशा सकारात्मक होगा, हर के मूल्य की परवाह किए बिना, एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति S∞ के योग का चिह्न विशिष्ट रूप से इसके पहले तत्व a1 के चिह्न द्वारा निर्धारित किया जाता है।

आइए अब कई समस्याओं पर नजर डालें जहां हम दिखाएंगे कि अर्जित ज्ञान को विशिष्ट संख्याओं पर कैसे लागू किया जाए।

समस्या संख्या 1. प्रगति और योग के अज्ञात तत्वों की गणना

एक ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए, प्रगति का हर 2 है, और इसका पहला तत्व 3 है। इसका 7वां और 10वां पद किसके बराबर होगा और इसके सात प्रारंभिक तत्वों का योग क्या है?

समस्या की स्थिति काफी सरल है और इसमें उपरोक्त सूत्रों का प्रत्यक्ष उपयोग शामिल है। तो, तत्व संख्या n की गणना करने के लिए, हम अभिव्यक्ति a = bn-1 * a1 का उपयोग करते हैं। 7वें तत्व के लिए हमारे पास है: a7 = b6 * a1, ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: a7 = 26 * 3 = 192। हम 10वें पद के लिए भी ऐसा ही करते हैं: a10 = 29 * 3 = 1536।

आइए योग के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करें और श्रृंखला के पहले 7 तत्वों के लिए यह मान निर्धारित करें। हमारे पास है: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381।

समस्या संख्या 2. किसी प्रगति के मनमाने तत्वों का योग निर्धारित करना

मान लीजिए -2 ज्यामितीय प्रगति bn-1 * 4 के हर के बराबर है, जहां n एक पूर्णांक है। इस श्रृंखला के 5वें से 10वें तत्व तक का योग ज्ञात करना आवश्यक है।

प्रस्तुत समस्या को ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके सीधे हल नहीं किया जा सकता है। इसे 2 अलग-अलग तरीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। विषय की प्रस्तुति को पूरा करने के लिए, हम दोनों प्रस्तुत करते हैं।

विधि 1. विचार सरल है: आपको पहले पदों के दो संगत योगों की गणना करने की आवश्यकता है, और फिर दूसरे को एक से घटाना होगा। हम छोटी राशि की गणना करते हैं: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364। अब हम बड़े योग की गणना करते हैं: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. ध्यान दें कि अंतिम अभिव्यक्ति में केवल 4 शब्दों का सारांश दिया गया था, क्योंकि 5वाँ पहले से ही उस राशि में शामिल है जिसे समस्या की स्थितियों के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है। अंत में, हम अंतर लेते हैं: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344।

विधि 2. संख्याओं को प्रतिस्थापित करने और गिनने से पहले, आप प्रश्न में श्रृंखला के m और n पदों के बीच के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। हम बिल्कुल विधि 1 की तरह ही करते हैं, केवल हम पहले राशि के प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के साथ काम करते हैं। हमारे पास है: एसएनएम = (बीएन - 1) * ए1 / (बी - 1) - (बीएम-1 - 1) * ए1 / (बी - 1) = ए1 * (बीएन - बीएम-1) / (बी - 1) . आप ज्ञात संख्याओं को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और अंतिम परिणाम की गणना कर सकते हैं: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344।

समस्या क्रमांक 3. हर क्या है?

मान लीजिए a1 = 2, ज्यामितीय प्रगति का हर ज्ञात कीजिए, बशर्ते कि इसका अनंत योग 3 हो, और यह ज्ञात हो कि यह संख्याओं की घटती हुई श्रृंखला है।

समस्या की स्थितियों के आधार पर यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि इसे हल करने के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए। बेशक, प्रगति का योग अनंत रूप से घट रहा है। हमारे पास है: S∞ = a1 / (1 - b)। जहां से हम हर को व्यक्त करते हैं: b = 1 - a1 / S∞. यह ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने और आवश्यक संख्या प्राप्त करने के लिए बनी हुई है: बी = 1 - 2/3 = -1/3 या -0.333(3)। हम इस परिणाम को गुणात्मक रूप से जांच सकते हैं यदि हमें याद है कि इस प्रकार के अनुक्रम के लिए मापांक बी 1 से आगे नहीं जाना चाहिए। जैसा कि देखा जा सकता है, |-1 / 3|

कार्य संख्या 4. संख्याओं की एक श्रृंखला को पुनर्स्थापित करना

मान लीजिए किसी संख्या श्रृंखला के 2 तत्व दिए गए हैं, उदाहरण के लिए, 5वां 30 के बराबर है और 10वां 60 के बराबर है। इन आंकड़ों से पूरी श्रृंखला का पुनर्निर्माण करना आवश्यक है, यह जानते हुए कि यह एक ज्यामितीय प्रगति के गुणों को संतुष्ट करता है।

समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक ज्ञात पद के लिए संगत अभिव्यक्ति लिखनी होगी। हमारे पास है: a5 = b4 * a1 और a10 = b9 * a1। अब दूसरे व्यंजक को पहले से विभाजित करें, हमें मिलता है: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5। यहां से हम समस्या कथन, b = 1.148698 से ज्ञात पदों के अनुपात का पांचवां मूल लेकर हर का निर्धारण करते हैं। हम ज्ञात तत्व के लिए परिणामी संख्या को किसी एक अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966।

ज्यामितीय प्रगति एक नए प्रकार का संख्या क्रम है जिससे हम परिचित होने वाले हैं। सफल डेटिंग के लिए, कम से कम जानने और समझने में कोई हर्ज नहीं है। तब ज्यामितीय प्रगति में कोई समस्या नहीं होगी।)

ज्यामितीय प्रगति क्या है? ज्यामितीय प्रगति की अवधारणा.

हम हमेशा की तरह, बुनियादी बातों के साथ दौरे की शुरुआत करते हैं। मैं संख्याओं का अधूरा क्रम लिखता हूँ:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

क्या आप पैटर्न देख सकते हैं और बता सकते हैं कि आगे कौन से नंबर आएंगे? काली मिर्च स्पष्ट है, फिर 100,000, 1,000,000 इत्यादि संख्याएँ आएँगी। बहुत अधिक मानसिक प्रयास के बिना भी, सब कुछ स्पष्ट है, है ना?)

ठीक है। एक और उदाहरण। मैं यह क्रम लिखता हूँ:

1, 2, 4, 8, 16, …

क्या आप बता सकते हैं कि 16 नंबर और नाम के बाद अगला कौन सा नंबर आएगा आठवाँअनुक्रम सदस्य? यदि आपने यह पता लगा लिया कि यह संख्या 128 होगी, तो बहुत अच्छा है। तो, आधी लड़ाई समझ में है अर्थऔर प्रमुख बिंदुज्यामितीय प्रगति पहले ही हो चुकी है। आप और आगे बढ़ सकते हैं।)

और अब हम फिर से संवेदनाओं से सख्त गणित की ओर बढ़ते हैं।

ज्यामितीय प्रगति के मुख्य बिंदु.

मुख्य बिंदु #1

ज्यामितीय प्रगति है संख्याओं का क्रम.तो प्रगति भी है. कुछ भी काल्पनिक नहीं। बस यही क्रम व्यवस्थित है अलग ढंग से.इसलिए, स्वाभाविक रूप से, इसका एक अलग नाम है, हाँ...

मुख्य बिंदु #2

दूसरे मुख्य बिंदु के साथ, प्रश्न अधिक पेचीदा हो जाएगा। आइए थोड़ा पीछे जाएं और अंकगणितीय प्रगति के प्रमुख गुण को याद करें। यह रहा: प्रत्येक सदस्य पिछले सदस्य से भिन्न है उसी राशि से.

क्या ज्यामितीय प्रगति के लिए समान कुंजी गुण तैयार करना संभव है? थोड़ा सोचो... दिए गए उदाहरणों पर गौर से देखो. क्या आपने इसका अनुमान लगाया? हाँ! ज्यामितीय क्रम में (कोई भी!) इसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से भिन्न होता है समान संख्या में बार.हमेशा!

पहले उदाहरण में यह संख्या दस है. आप अनुक्रम का जो भी सदस्य लें, वह पिछले वाले से बड़ा है दस गुना।

दूसरे उदाहरण में यह दो है: प्रत्येक पद पिछले से बड़ा है दो बार।

यह मुख्य बिंदु है कि ज्यामितीय प्रगति अंकगणितीय प्रगति से भिन्न होती है। अंकगणितीय प्रगति में, प्रत्येक अगला पद प्राप्त होता है जोड़करपिछले कार्यकाल के समान मूल्य. और यहां - गुणापिछला कार्यकाल उसी राशि से। यही पूरा अंतर है।)

मुख्य बिंदु #3

यह मुख्य बिंदु अंकगणितीय प्रगति के लिए पूरी तरह से समान है। अर्थात्: ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य अपने स्थान पर खड़ा होता है।अंकगणितीय प्रगति में सब कुछ बिल्कुल वैसा ही है और टिप्पणियाँ, मुझे लगता है, अनावश्यक हैं। वहाँ पहला पद है, वहाँ सौ और पहला है, आदि। आइए हम कम से कम दो शब्दों की अदला-बदली करें - पैटर्न (और इसके साथ ज्यामितीय प्रगति) गायब हो जाएगा। जो बचेगा वह बिना किसी तर्क के संख्याओं का एक क्रम मात्र है।

बस इतना ही। ज्यामितीय प्रगति का संपूर्ण बिंदु यही है।

शर्तें और पदनाम.

लेकिन अब, ज्यामितीय प्रगति के अर्थ और मुख्य बिंदुओं को समझने के बाद, हम सिद्धांत पर आगे बढ़ सकते हैं। अन्यथा, अर्थ को समझे बिना कोई सिद्धांत क्या है, है ना?

ज्यामितीय प्रगति को कैसे निरूपित करें?

ज्यामितीय प्रगति को सामान्य रूप में कैसे लिखा जाता है? कोई बात नहीं! प्रगति के प्रत्येक पद को एक अक्षर के रूप में भी लिखा जाता है। केवल अंकगणितीय प्रगति के लिए, आमतौर पर अक्षर का उपयोग किया जाता है "ए", ज्यामितीय के लिए - अक्षर "बी"। सदस्य संख्या, हमेशा की तरह, संकेत दिया गया है नीचे दाईं ओर सूचकांक. हम केवल प्रगति के सदस्यों को अल्पविराम या अर्धविराम से अलग करके सूचीबद्ध करते हैं।

इस कदर:

बी 1,बी 2 , बी 3 , बी 4 , बी 5 , बी 6 , …

संक्षेप में यह प्रगति इस प्रकार लिखी गई है: (बी एन) .

या इस तरह, सीमित प्रगति के लिए:

बी 1, बी 2, बी 3, बी 4, बी 5, बी 6।

बी 1, बी 2, …, बी 29, बी 30।

या, संक्षेप में:

(बी एन), एन=30 .

वास्तव में, यही सभी पदनाम हैं। सब कुछ वही है, केवल अक्षर अलग है, हां।) और अब हम सीधे परिभाषा पर आते हैं।

ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा.

ज्यामितीय प्रगति एक संख्या अनुक्रम है जिसमें पहला पद गैर-शून्य होता है, और प्रत्येक बाद का पद उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर होता है।

यही पूरी परिभाषा है. अधिकांश शब्द और वाक्यांश आपके लिए स्पष्ट और परिचित हैं। यदि, निश्चित रूप से, आप "अपनी उंगलियों पर" और सामान्य रूप से ज्यामितीय प्रगति का अर्थ समझते हैं। लेकिन कुछ नए वाक्यांश भी हैं जिन पर मैं विशेष ध्यान देना चाहूंगा।

सबसे पहले, शब्द: "जिसका पहला सदस्य शून्येतर".

पहले कार्यकाल पर यह प्रतिबंध संयोग से नहीं लगाया गया था। आपको क्या लगता है अगर पहला सदस्य होगा तो क्या होगा बी 1 शून्य के बराबर होगा? यदि प्रत्येक पद पिछले पद से बड़ा है तो दूसरा पद किसके बराबर होगा? समान संख्या में बार?मान लीजिए तीन बार? आइए देखें... पहले पद (अर्थात् 0) को 3 से गुणा करें और प्राप्त करें... शून्य! तीसरे सदस्य के बारे में क्या? वह भी शून्य! और चौथा पद भी शून्य है! और इसी तरह…

हमें बस बैगल्स का एक बैग मिलता है, शून्य का एक क्रम:

0, 0, 0, 0, …

बेशक, ऐसे अनुक्रम को जीवन का अधिकार है, लेकिन इसका कोई व्यावहारिक हित नहीं है। सबकुछ स्पष्ट है। इसका कोई भी सदस्य शून्य है. किसी भी संख्या में पदों का योग भी शून्य होता है... आप इसके साथ क्या दिलचस्प चीजें कर सकते हैं? कुछ नहीं…

निम्नलिखित कीवर्ड: "उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किया गया।"

इसी अंक का अपना एक विशेष नाम भी है - ज्यामितीय प्रगति का भाजक. आइए परिचित होना शुरू करें।)

ज्यामितीय प्रगति का हर.

सब कुछ नाशपाती के छिलके जितना सरल है।

ज्यामितीय प्रगति का हर एक गैर-शून्य संख्या (या मात्रा) दर्शाता हैकितनी बारप्रगति का प्रत्येक पद पिछले वाले से अधिक.

पुनः, अंकगणितीय प्रगति के समान, इस परिभाषा में देखने योग्य मुख्य शब्द शब्द है "अधिक". इसका मतलब है कि ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है गुणाइसी भाजक को पिछला सदस्य.

मुझे समझाने दो।

गणना करने के लिए, मान लीजिए दूसराडिक, लेने की जरूरत है पहलासदस्य और गुणायह हर के लिए. गणना के लिए दसवांडिक, लेने की जरूरत है नौवांसदस्य और गुणायह हर के लिए.

ज्यामितीय प्रगति का हर स्वयं कुछ भी हो सकता है। बिल्कुल कोई भी! संपूर्ण, भिन्नात्मक, सकारात्मक, नकारात्मक, तर्कहीन - सब कुछ। शून्य को छोड़कर. परिभाषा में "गैर-शून्य" शब्द हमें यही बताता है। इस शब्द की यहाँ आवश्यकता क्यों है - इस पर बाद में और अधिक।

ज्यामितीय प्रगति का भाजकप्रायः पत्र द्वारा दर्शाया जाता है क्यू.

इसे कैसे खोजें क्यू? कोई बात नहीं! हमें प्रगति का कोई भी पद लेना चाहिए और पिछले पद से विभाजित करें. प्रभाग है अंश. इसलिए नाम - "प्रगति का भाजक"। हर, यह आमतौर पर भिन्न में बैठता है, हाँ...) हालांकि, तार्किक रूप से, मूल्य क्यूबुलाया जाना चाहिए निजीज्यामितीय प्रगति, के समान अंतरअंकगणितीय प्रगति के लिए. लेकिन हम कॉल करने के लिए तैयार हो गए भाजक. और हम पहिए का दोबारा आविष्कार भी नहीं करेंगे।)

आइए, उदाहरण के लिए, मात्रा को परिभाषित करें क्यूइस ज्यामितीय प्रगति के लिए:

2, 6, 18, 54, …

सब कुछ प्राथमिक है. चलो इसे ले लो कोईअनुक्रम संख्या। हमें जो चाहिए वो ले लेते हैं. पहले वाले को छोड़कर. उदाहरण के लिए, 18. और से विभाजित करें पिछला नंबर. यानी 6 बजे.

हम पाते हैं:

क्यू = 18/6 = 3

बस इतना ही। यह सही जवाब है। इस ज्यामितीय प्रगति के लिए, हर तीन है।

आइए अब हर ज्ञात करें क्यूएक और ज्यामितीय प्रगति के लिए. उदाहरण के लिए, यह वाला:

1, -2, 4, -8, 16, …

सब एक जैसे। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सदस्यों के पास स्वयं क्या संकेत हैं, हम फिर भी लेते हैं कोईअनुक्रम की संख्या (उदाहरण के लिए, 16) और से विभाजित करें पिछला नंबर(अर्थात -8).

हम पाते हैं:

डी = 16/(-8) = -2

और बस इतना ही।) इस बार प्रगति का हर नकारात्मक निकला। शून्य से दो. ह ाेती है।)

आइए अब इस प्रगति को लें:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

और फिर, अनुक्रम में संख्याओं के प्रकार की परवाह किए बिना (चाहे पूर्णांक, सम भिन्न, यहां तक कि ऋणात्मक, यहां तक कि अपरिमेय), हम कोई भी संख्या लेते हैं (उदाहरण के लिए, 1/9) और पिछली संख्या (1/3) से विभाजित करते हैं। बेशक, भिन्नों के साथ काम करने के नियमों के अनुसार।

हम पाते हैं:

बस इतना ही।) यहां हर भिन्नात्मक निकला: क्यू = 1/3.

आप इस "प्रगति" के बारे में क्या सोचते हैं?

3, 3, 3, 3, 3, …

जाहिर है यहाँ क्यू = 1 . औपचारिक रूप से, यह भी एक ज्यामितीय प्रगति है, केवल साथ समान सदस्य.) लेकिन ऐसी प्रगति अध्ययन और व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए दिलचस्प नहीं है। ठोस शून्य के साथ प्रगति के समान। इसलिए, हम उन पर विचार नहीं करेंगे.

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रगति का हर कुछ भी हो सकता है - पूर्णांक, भिन्नात्मक, सकारात्मक, नकारात्मक - कुछ भी! यह सिर्फ शून्य नहीं हो सकता. अंदाज़ा नहीं लगा सकते क्यों?

खैर, आइए यह देखने के लिए कुछ विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करें कि यदि हम हर को मान लें तो क्या होता है क्यूशून्य।) आइए, उदाहरण के लिए, हमारे पास है बी 1 = 2 , ए क्यू = 0 . तो फिर दूसरा पद किसके बराबर होगा?

हम गिनते है:

बी 2 = बी 1 · क्यू= 2 0 = 0

तीसरे सदस्य के बारे में क्या?

बी 3 = बी 2 · क्यू= 0 0 = 0

ज्यामितीय प्रगति के प्रकार और व्यवहार।

सब कुछ कमोबेश स्पष्ट था: यदि प्रगति में अंतर है डीसकारात्मक है, तो प्रगति बढ़ जाती है। यदि अंतर नकारात्मक है, तो प्रगति कम हो जाती है। केवल दो ही विकल्प हैं. कोई तीसरा नहीं है।)

लेकिन ज्यामितीय प्रगति के व्यवहार के साथ, सब कुछ बहुत अधिक रोचक और विविध होगा!)

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सदस्य यहां कैसे व्यवहार करते हैं: वे बढ़ते हैं, और घटते हैं, और अनिश्चित काल तक शून्य के करीब पहुंचते हैं, और यहां तक कि संकेत भी बदलते हैं, बारी-बारी से खुद को "प्लस" और फिर "माइनस" में फेंक देते हैं! और इस सारी विविधता को आपको अच्छी तरह से समझने में सक्षम होना चाहिए, हाँ...

आइए इसका पता लगाएं?) आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें।

हर धनात्मक है ( क्यू >0)

एक सकारात्मक हर के साथ, सबसे पहले, ज्यामितीय प्रगति की शर्तों में जा सकते हैं प्लस अनंत(अर्थात् बिना सीमा के वृद्धि) और में जा सकते हैं शून्य से अनंत(यानी, बिना किसी सीमा के कमी)। हम पहले से ही प्रगति के इस व्यवहार के आदी हैं।

उदाहरण के लिए:

(बी एन): 1, 2, 4, 8, 16, …

यहां सब कुछ सरल है. प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है पिछले से अधिक. इसके अलावा, प्रत्येक पद निकलता है गुणापिछले सदस्य पर सकारात्मकसंख्या +2 (अर्थात् क्यू = 2 ). इस तरह की प्रगति का व्यवहार स्पष्ट है: प्रगति के सभी सदस्य अंतरिक्ष में जाकर, बिना किसी सीमा के बढ़ते हैं। साथ ही अनंत...

और अब यहाँ प्रगति है:

(बी एन): -1, -2, -4, -8, -16, …

यहाँ भी, प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है गुणापिछले सदस्य पर सकारात्मकसंख्या +2. लेकिन ऐसी प्रगति का व्यवहार बिल्कुल विपरीत है: प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है पिछले से कम, और इसके सभी पद बिना किसी सीमा के शून्य से अनंत तक घटते जाते हैं।

अब आइए सोचें: इन दोनों प्रगतियों में क्या समानता है? यह सही है, भाजक! इधर - उधर क्यू = +2 . सकारात्मक संख्या।दो। और यहां व्यवहारये दोनों प्रगतियाँ मौलिक रूप से भिन्न हैं! अंदाज़ा नहीं लगा सकते क्यों? हाँ! यह इस बारे में है प्रथम सदस्य!जैसा कि वे कहते हैं, यह वह है जो धुन बजाता है।) स्वयं देखें।

पहले मामले में, प्रगति का पहला पद सकारात्मक(+1) और, इसलिए, बाद के सभी पदों को गुणा करके प्राप्त किया जाता है सकारात्मकभाजक क्यू = +2 , यह भी होगा सकारात्मक।

लेकिन दूसरे मामले में, पहला पद नकारात्मक(-1). इसलिए, प्रगति के सभी बाद के पदों को गुणा करके प्राप्त किया जाता है सकारात्मक क्यू = +2 , भी प्राप्त किया जाएगा नकारात्मक।क्योंकि "माइनस" से "प्लस" हमेशा "माइनस" देता है, हाँ।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंकगणितीय प्रगति के विपरीत, एक ज्यामितीय प्रगति न केवल निर्भर होकर पूरी तरह से अलग व्यवहार कर सकती है हर सेक्यू, लेकिन निर्भर भी प्रथम सदस्य से, हाँ।)

याद रखें: एक ज्यामितीय प्रगति का व्यवहार विशिष्ट रूप से उसके पहले पद से निर्धारित होता है बी 1 और हरक्यू .

और अब हम कम परिचित, लेकिन बहुत अधिक दिलचस्प मामलों का विश्लेषण करना शुरू करते हैं!

आइए, उदाहरण के लिए, यह क्रम लें:

(बी एन): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

यह क्रम भी एक ज्यामितीय प्रगति है! इस प्रगति का प्रत्येक पद भी निकलता है गुणापिछला सदस्य, उसी संख्या से। यह सिर्फ एक संख्या है - आंशिक: क्यू = +1/2 . या +0,5 . इसके अलावा (महत्वपूर्ण!) संख्या एक से कम:क्यू = 1/2<1.

यह ज्यामितीय प्रगति दिलचस्प क्यों है? इसके सदस्य कहां जा रहे हैं? आइए एक नज़र डालें:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

आप यहां कौन सी दिलचस्प बातें देख सकते हैं? सबसे पहले, प्रगति के संदर्भ में कमी तुरंत ध्यान देने योग्य है: इसके प्रत्येक सदस्य कमबिल्कुल पिछला वाला 2 बार।या, ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक पद अधिकपहले का 1/2 बार, क्योंकि प्रगति विभाजक क्यू = 1/2 . और जब एक से कम धनात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो परिणाम आमतौर पर घट जाता है, हाँ...

क्या अधिकइस प्रगति के व्यवहार में देखा जा सकता है? क्या इसके सदस्य कम हो रहे हैं? असीमित, शून्य से अनंत तक जा रहे हैं? नहीं! वे एक विशेष तरीके से गायब हो जाते हैं। पहले तो वे बहुत तेजी से घटते हैं, और फिर धीरे-धीरे कम होते जाते हैं। और हर समय शेष रहते हुए सकारात्मक. यद्यपि बहुत, बहुत छोटा। और वे स्वयं किसके लिए प्रयास करते हैं? क्या आपने अनुमान नहीं लगाया? हाँ! वे शून्य की ओर प्रयास करते हैं!) इसके अलावा, ध्यान दें, हमारी प्रगति के सदस्य शून्य से हैं कभी न पहुंचें!केवल उसके असीम करीब आ रहा है. बहुत जरुरी है।)

ऐसी ही स्थिति निम्नलिखित प्रगति में घटित होगी:

(बी एन): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

यहाँ बी 1 = -1 , ए क्यू = 1/2 . सब कुछ वैसा ही है, केवल अब शर्तें दूसरी तरफ से, नीचे से शून्य के करीब पहुंच जाएंगी। हर समय रहना नकारात्मक.)

ऐसी ज्यामितीय प्रगति, जिसकी शर्तें बिना किसी सीमा के शून्य तक पहुंचें(सकारात्मक या नकारात्मक पक्ष से कोई फर्क नहीं पड़ता), गणित में इसका एक विशेष नाम है - असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।यह प्रगति इतनी दिलचस्प और असामान्य है कि इसकी चर्चा भी की जाएगी अलग पाठ .)

इसलिए, हमने सभी संभव पर विचार किया है सकारात्मकहर बड़े और छोटे दोनों होते हैं। ऊपर बताए गए कारणों से हम इकाई को ही हर नहीं मानते हैं (तीनों के अनुक्रम वाला उदाहरण याद रखें...)

आइए संक्षेप में बताएं:

सकारात्मकऔर एक से अधिक (क्यू>1), फिर प्रगति की शर्तें:

ए) बिना किसी सीमा के वृद्धि (यदिबी 1 >0);

बी) बिना किसी सीमा के कमी (यदिबी 1 <0).

यदि ज्यामितीय प्रगति का हर सकारात्मक और एक से भी कम (0< क्यू<1), то члены прогрессии:

ए) असीम रूप से शून्य के करीब ऊपर(अगरबी 1 >0);

बी) शून्य के असीम करीब पहुंचना नीचे की ओर से(अगरबी 1 <0).

अब मामले पर विचार करना बाकी है नकारात्मक विभाजक.

हर ऋणात्मक है ( क्यू <0)

उदाहरण के लिए हम ज्यादा दूर नहीं जाएंगे। क्यों, बिल्कुल, झबरा दादी?!) मान लीजिए, उदाहरण के लिए, प्रगति का पहला पद है बी 1 = 1 , और आइए हर को लें क्यू = -2.

हमें निम्नलिखित क्रम मिलता है:

(बी एन): 1, -2, 4, -8, 16, …

और इसी तरह।) प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है गुणापिछले सदस्य पर एक ऋणात्मक संख्या-2. इस स्थिति में, सभी सदस्य विषम स्थानों (पहले, तीसरे, पांचवें, आदि) पर खड़े होंगे सकारात्मक, और सम स्थानों में (दूसरा, चौथा, आदि) - नकारात्मक।संकेत सख्ती से वैकल्पिक होते हैं। प्लस-माइनस-प्लस-माइनस... इस ज्यामितीय प्रगति को कहा जाता है - बढ़ते हुए संकेत बारी-बारी से।

इसके सदस्य कहां जा रहे हैं? लेकिन कहीं नहीं।) हाँ, निरपेक्ष मान में (अर्थात् मॉड्यूलो)हमारी प्रगति के सदस्य बिना किसी सीमा के बढ़ते हैं (इसलिए नाम "बढ़ रहा है")। लेकिन साथ ही, प्रगति का प्रत्येक सदस्य बारी-बारी से आपको गर्मी में, फिर ठंड में फेंकता है। या तो "प्लस" या "माइनस"। हमारी प्रगति डगमगा रही है... इसके अलावा, उतार-चढ़ाव का दायरा हर कदम के साथ तेजी से बढ़ रहा है, हाँ।) इसलिए, प्रगति के सदस्यों की आकांक्षाएँ कहीं जा रही हैं विशेष रूप सेयहाँ नहीं।न प्लस इनफिनिटी, न माइनस इनफिनिटी, न शून्य - कहीं नहीं।

आइए अब शून्य और ऋण एक के बीच कुछ भिन्नात्मक हर पर विचार करें।

उदाहरण के लिए, इसे रहने दो बी 1 = 1 , ए क्यू = -1/2.

तब हमें प्रगति मिलती है:

(बी एन): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

और फिर हमारे पास संकेतों का एक विकल्प है! लेकिन, पिछले उदाहरण के विपरीत, यहां पहले से ही पदों के शून्य तक पहुंचने की स्पष्ट प्रवृत्ति है।) केवल इस बार हमारे पद सख्ती से ऊपर या नीचे से नहीं, बल्कि फिर से शून्य तक पहुंचते हैं। झिझक. बारी-बारी से सकारात्मक और नकारात्मक मान लेना। लेकिन साथ ही वे मॉड्यूलपोषित शून्य के करीब और करीब आ रहे हैं।)

इस ज्यामितीय प्रगति को कहा जाता है अनंत रूप से घटता हुआ चिन्ह, बारी-बारी से।

ये दो उदाहरण दिलचस्प क्यों हैं? और तथ्य यह है कि दोनों ही मामलों में ऐसा होता है वैकल्पिक संकेत!यह युक्ति केवल नकारात्मक हर वाली प्रगति के लिए विशिष्ट है, हां।) इसलिए, यदि किसी कार्य में आप वैकल्पिक पदों के साथ एक ज्यामितीय प्रगति देखते हैं, तो आपको पहले से ही पता चल जाएगा कि इसका हर 100% नकारात्मक है और आप कोई गलती नहीं करेंगे संकेत में.)

वैसे, एक नकारात्मक हर के मामले में, पहले पद का चिह्न प्रगति के व्यवहार को बिल्कुल भी प्रभावित नहीं करता है। प्रगति के पहले पद का चिह्न चाहे जो भी हो, किसी भी स्थिति में पदों का चिह्न देखा जाएगा। एकमात्र प्रश्न यह है, किन जगहों पर(सम या विषम) विशिष्ट चिह्न वाले सदस्य होंगे।

याद करना:

यदि ज्यामितीय प्रगति का हर नकारात्मक , तो प्रगति की शर्तों के संकेत हमेशा होते हैं वैकल्पिक।

उसी समय, सदस्य स्वयं:

ए) बिना किसी सीमा के वृद्धिसापेक्ष, अगरक्यू<-1;

बी) यदि -1 हो तो अनंत तक शून्य की ओर बढ़ें< क्यू<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

बस इतना ही। सभी विशिष्ट मामलों का विश्लेषण किया गया है।)

ज्यामितीय प्रगति के विभिन्न उदाहरणों का विश्लेषण करने की प्रक्रिया में, मैंने समय-समय पर इन शब्दों का प्रयोग किया: "शून्य हो जाता है", "प्लस अनंत तक जाता है", "शून्य से अनन्त तक जाता है"... यह ठीक है।) भाषण के ये अलंकार (और विशिष्ट उदाहरण) केवल प्रारंभिक परिचय हैं व्यवहारविभिन्न प्रकार के संख्या क्रम। ज्यामितीय प्रगति के उदाहरण का उपयोग करना।

हमें प्रगति के व्यवहार को जानने की आवश्यकता क्यों है? वह कहां जाती है इससे क्या फर्क पड़ता है? शून्य की ओर, प्लस इनफिनिटी की ओर, माइनस इनफिनिटी की ओर... इससे हमारा क्या होता है?

बात यह है कि पहले से ही विश्वविद्यालय में, उच्च गणित के पाठ्यक्रम में, आपको विभिन्न प्रकार के संख्यात्मक अनुक्रमों के साथ काम करने की क्षमता की आवश्यकता होगी (किसी के साथ, न कि केवल प्रगति के साथ!) और कल्पना करने की क्षमता कि यह या वह अनुक्रम कैसा है व्यवहार करता है - चाहे वह बढ़ता हो, चाहे वह असीमित रूप से घटता हो, चाहे वह किसी विशिष्ट संख्या की ओर जाता हो (और जरूरी नहीं कि वह शून्य की ओर जाता हो), या फिर किसी भी चीज की ओर प्रवृत्त नहीं होता... गणितीय पाठ्यक्रम में इस विषय पर एक पूरा खंड समर्पित है विश्लेषण - सीमा का सिद्धांत.और थोड़ा और विशेष रूप से - अवधारणा संख्या क्रम की सीमा.बहुत ही रोचक विषय! कॉलेज जाकर इसका पता लगाना समझदारी है।)

इस खंड से कुछ उदाहरण (सीमा वाले अनुक्रम) और विशेष रूप से, असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगतिउन्हें स्कूल में इसकी आदत पड़ने लगती है। हमें इसकी आदत हो रही है।)

इसके अलावा, अनुक्रमों के व्यवहार का अच्छी तरह से अध्ययन करने की क्षमता आपको भविष्य में बहुत लाभान्वित करेगी और इसमें बहुत उपयोगी होगी कार्य अनुसंधान.सबसे विविध. लेकिन फ़ंक्शंस के साथ सक्षम रूप से काम करने की क्षमता (डेरिवेटिव की गणना करें, उनका पूरा अध्ययन करें, उनके ग्राफ़ बनाएं) पहले से ही आपके गणितीय स्तर को नाटकीय रूप से बढ़ा देता है! क्या आपको कोई संदेह है? कोई ज़रुरत नहीं है। मेरी बातें भी याद रखें.)

आइए जीवन में ज्यामितीय प्रगति को देखें?

अपने आस-पास के जीवन में, हम अक्सर ज्यामितीय प्रगति का सामना करते हैं। यहाँ तक कि इसे जाने बिना भी।)

उदाहरण के लिए, विभिन्न सूक्ष्मजीव जो हमें हर जगह भारी मात्रा में घेरते हैं और जिन्हें हम माइक्रोस्कोप के बिना देख भी नहीं सकते हैं, ज्यामितीय प्रगति में सटीक रूप से गुणा करते हैं।

मान लीजिए कि एक जीवाणु आधे-आधे में विभाजित होकर प्रजनन करता है और दो जीवाणुओं में संतान देता है। बदले में, उनमें से प्रत्येक, गुणा करते समय, आधे में भी विभाजित हो जाता है, जिससे 4 बैक्टीरिया की एक सामान्य संतान होती है। अगली पीढ़ी 8 बैक्टीरिया पैदा करेगी, फिर 16 बैक्टीरिया, 32, 64 और इसी तरह। प्रत्येक अगली पीढ़ी के साथ, जीवाणुओं की संख्या दोगुनी हो जाती है। ज्यामितीय प्रगति का एक विशिष्ट उदाहरण।)

इसके अलावा, कुछ कीड़े - एफिड्स और मक्खियाँ - तेजी से बढ़ती हैं। और कभी-कभी खरगोश भी, वैसे।)

ज्यामितीय प्रगति का एक और उदाहरण, रोजमर्रा की जिंदगी के करीब, तथाकथित है चक्रवृद्धि ब्याज।यह दिलचस्प घटना अक्सर बैंक जमाओं में पाई जाती है और इसे कहा जाता है ब्याज का पूंजीकरण.यह क्या है?

निःसंदेह, आप स्वयं अभी भी युवा हैं। आप स्कूल में पढ़ते हैं, आप बैंकों में नहीं जाते। लेकिन आपके माता-पिता पहले से ही वयस्क और स्वतंत्र लोग हैं। वे काम पर जाते हैं, अपनी रोज़ी रोटी के लिए पैसे कमाते हैं, और पैसे का कुछ हिस्सा बचत करते हुए बैंक में डालते हैं।)

मान लीजिए कि आपके पिता तुर्की में पारिवारिक छुट्टियों के लिए एक निश्चित राशि बचाना चाहते हैं और तीन साल की अवधि के लिए 10% प्रति वर्ष की दर से बैंक में 50,000 रूबल डालते हैं। वार्षिक ब्याज पूंजीकरण के साथ.इसके अलावा इस पूरी अवधि के दौरान जमा राशि से कुछ भी नहीं किया जा सकेगा. आप न तो जमा की भरपाई कर सकते हैं और न ही खाते से पैसे निकाल सकते हैं। इन तीन वर्षों के बाद उसे कितना लाभ होगा?

खैर, सबसे पहले, हमें यह पता लगाना होगा कि 10% प्रति वर्ष क्या है। यह मतलब है कि एक वर्ष मेंबैंक प्रारंभिक जमा राशि में 10% जोड़ देगा। से क्या? बेशक, से प्रारंभिक जमा राशि.

हम एक वर्ष के बाद खाते के आकार की गणना करते हैं। यदि प्रारंभिक जमा राशि 50,000 रूबल (अर्थात 100%) थी, तो एक वर्ष के बाद खाते पर कितना ब्याज होगा? यह सही है, 110%! 50,000 रूबल से।

तो हम 50,000 रूबल के 110% की गणना करते हैं:

50000·1.1 = 55000 रूबल।

मुझे आशा है कि आप समझ गए होंगे कि किसी मान का 110% ज्ञात करने का अर्थ उस मान को 1.1 से गुणा करना है? यदि आप नहीं समझते कि ऐसा क्यों है, तो पाँचवीं और छठी कक्षा को याद करें। यानी - प्रतिशत और भिन्न और भागों के बीच संबंध।)

इस प्रकार, पहले वर्ष के लिए वृद्धि 5,000 रूबल होगी।

दो साल में खाते में आएंगे कितने पैसे? 60,000 रूबल? दुर्भाग्य से (या यों कहें, सौभाग्य से), सब कुछ इतना सरल नहीं है। ब्याज पूंजीकरण की पूरी चाल यह है कि प्रत्येक नए ब्याज संचय के साथ, इन्हीं हितों पर पहले से ही विचार किया जाएगा नई राशि से!उससे जो पहले सेखाते पर है इस समय।और पिछली अवधि के लिए अर्जित ब्याज मूल जमा राशि में जोड़ दिया जाता है और इस प्रकार, नए ब्याज की गणना में स्वयं भाग लेता है! यानी वे समग्र खाते का पूरा हिस्सा बन जाते हैं. या सामान्य पूंजी।इसके कारण नाम - ब्याज का पूंजीकरण.

यह अर्थशास्त्र में है. और गणित में ऐसे प्रतिशत कहलाते हैं चक्रवृद्धि ब्याज।या ब्याज का प्रतिशत.) उनकी युक्ति यह है कि क्रमिक रूप से गणना करते समय, हर बार प्रतिशत की गणना की जाती है नये मूल्य से.और मूल से नहीं...

इसलिए, राशि की गणना करने के लिए दो साल, हमें उस राशि का 110% की गणना करने की आवश्यकता है जो खाते में होगी एक वर्ष में।यानी पहले से ही 55,000 रूबल से।

हम 55,000 रूबल का 110% गिनते हैं:

55000·1.1 = 60500 रूबल।

इसका मतलब है कि दूसरे वर्ष के लिए प्रतिशत वृद्धि 5,500 रूबल होगी, और दो वर्षों के लिए - 10,500 रूबल।

अब आप पहले से ही अनुमान लगा सकते हैं कि तीन साल बाद खाते में राशि 60,500 रूबल का 110% होगी। वह फिर 110% है पिछले (पिछले वर्ष) सेरकम.

यहाँ हम सोचते हैं:

60500·1.1 = 66550 रूबल।

अब हम अपनी मौद्रिक राशियों को वर्ष के अनुसार क्रम से व्यवस्थित करते हैं:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

तो यह कैसे होता है? ज्यामितीय प्रगति क्यों नहीं? प्रथम सदस्य बी 1 = 50000 , और हर क्यू = 1,1 . प्रत्येक पद पिछले से सख्ती से 1.1 गुना बड़ा है। सब कुछ परिभाषा के अनुरूप है।)

और आपके पिता कितने अतिरिक्त ब्याज बोनस "जमा" करेंगे जबकि उनके 50,000 रूबल तीन साल से उनके बैंक खाते में पड़े हैं?

हम गिनते है:

66550 - 50000 = 16550 रूबल

बेशक, ज़्यादा नहीं। लेकिन ऐसा तब है जब प्रारंभिक जमा राशि छोटी हो। अगर और भी हो तो क्या होगा? मान लीजिए, 50 नहीं, बल्कि 200 हजार रूबल? फिर तीन वर्षों में वृद्धि 66,200 रूबल होगी (यदि आप गणित करें)। जो पहले से ही बहुत अच्छा है।) यदि योगदान और भी अधिक हो तो क्या होगा? इतना ही...

निष्कर्ष: प्रारंभिक जमा राशि जितनी अधिक होगी, ब्याज पूंजीकरण उतना ही अधिक लाभदायक होगा। इसीलिए बैंकों द्वारा लंबी अवधि के लिए ब्याज पूंजीकरण वाली जमाएँ प्रदान की जाती हैं। मान लीजिए पांच साल के लिए.

इसके अलावा, सभी प्रकार की बुरी बीमारियाँ जैसे इन्फ्लूएंजा, खसरा और इससे भी अधिक भयानक बीमारियाँ (2000 के दशक की शुरुआत में वही सार्स या मध्य युग में प्लेग) तेजी से फैलना पसंद करती हैं। इसलिए महामारी का पैमाना, हाँ...) और यह सब इस तथ्य के कारण है कि ज्यामितीय प्रगति के साथ संपूर्ण सकारात्मक भाजक (क्यू>1) – एक ऐसी चीज़ जो बहुत तेज़ी से बढ़ती है! बैक्टीरिया के प्रजनन को याद रखें: एक बैक्टीरिया से दो प्राप्त होते हैं, दो से चार, चार से आठ, और इसी तरह... किसी भी संक्रमण के फैलने के साथ भी ऐसा ही होता है।)

ज्यामितीय प्रगति पर सबसे सरल समस्याएँ।

आइए, हमेशा की तरह, एक साधारण समस्या से शुरुआत करें। विशुद्ध रूप से अर्थ समझने के लिए.

1. यह ज्ञात है कि ज्यामितीय प्रगति का दूसरा पद 6 है, और हर -0.5 है। इसका पहला, तीसरा और चौथा पद ज्ञात कीजिए।

तो हमें दिया गया है अनंतज्यामितीय प्रगति, लेकिन ज्ञात दूसरी अवधियह प्रगति:

बी 2 = 6

इसके अलावा हम यह भी जानते हैं प्रगति विभाजक:

क्यू = -0.5

और आपको खोजने की जरूरत है पहला, तीसराऔर चौथीइस प्रगति के सदस्य.

तो हम कार्य करते हैं. हम समस्या की स्थितियों के अनुसार क्रम लिखते हैं। सीधे सामान्य रूप में, जहां दूसरा पद छह है:

बी 1, 6,बी 3 , बी 4 , …

अब चलिए खोजना शुरू करते हैं. हम, हमेशा की तरह, सबसे सरल से शुरुआत करते हैं। उदाहरण के लिए, आप तीसरे पद की गणना कर सकते हैं बी 3? कर सकना! आप और मैं पहले से ही जानते हैं (सीधे ज्यामितीय प्रगति के अर्थ में) कि तीसरा पद (बी 3)दूसरे से भी ज्यादा (बी 2 ) वी "क्यू"एक बार!

तो हम लिखते हैं:

बी 3 =बी 2 · क्यू

हम इस अभिव्यक्ति में इसके स्थान पर छह प्रतिस्थापित करते हैं बी 2और इसके बजाय -0.5 क्यूऔर हम गिनते हैं. और बेशक, हम माइनस को भी नज़रअंदाज़ नहीं करते...

बी 3 = 6·(-0.5) = -3

इस कदर। तीसरा पद नकारात्मक निकला. कोई आश्चर्य नहीं: हमारा भाजक क्यू- नकारात्मक। और प्लस को माइनस से गुणा करने पर, निस्संदेह, माइनस होगा।)

अब हम प्रगति का अगला, चौथा पद गिनते हैं:

बी 4 =बी 3 · क्यू

बी 4 = -3·(-0.5) = 1.5

चौथा पद फिर से प्लस के साथ है। पाँचवाँ पद पुनः ऋणात्मक होगा, छठा पद धन होगा, इत्यादि। संकेत वैकल्पिक!

तो, तीसरा और चौथा पद पाया गया। परिणाम निम्नलिखित क्रम है:

बी 1 ; 6; -3; 1.5; ...

अब जो कुछ बचा है वह पहला पद खोजना है बी 1प्रसिद्ध दूसरे के अनुसार. ऐसा करने के लिए, हम दूसरी दिशा में, बाईं ओर कदम बढ़ाते हैं। इसका मतलब यह है कि इस मामले में हमें प्रगति के दूसरे पद को हर से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन विभाजित करना।

हम विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

बस इतना ही।) समस्या का उत्तर इस प्रकार होगा:

-12; 6; -3; 1,5; …

जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान सिद्धांत वैसा ही है। हम जानते हैं कोईसदस्य और भाजकज्यामितीय प्रगति - हम इसका कोई अन्य सदस्य ढूंढ सकते हैं। हम जो चाहते हैं उसे ढूंढ लेंगे।) एकमात्र अंतर यह है कि जोड़/घटाव को गुणा/भाग द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

याद रखें: यदि हम ज्यामितीय प्रगति के कम से कम एक सदस्य और हर को जानते हैं, तो हम हमेशा इस प्रगति के किसी अन्य सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

परंपरा के अनुसार, निम्नलिखित समस्या OGE के वास्तविक संस्करण से है:

...; 150; एक्स; 6; 1.2; ...

तो यह कैसे होता है? इस बार कोई प्रथम पद, कोई हर नहीं है क्यू, बस संख्याओं का एक क्रम दिया गया है... कुछ पहले से ही परिचित है, है ना? हाँ! अंकगणितीय प्रगति में एक समान समस्या पहले ही हल हो चुकी है!

इसलिए हम डरने वाले नहीं हैं. सब एक जैसे। आइए अपना सिर घुमाएं और ज्यामितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को याद रखें। हम अपने अनुक्रम को ध्यान से देखते हैं और पता लगाते हैं कि इसमें तीन मुख्य (पहला पद, हर, पद संख्या) की ज्यामितीय प्रगति के कौन से पैरामीटर छिपे हैं।

सदस्य संख्या? कोई सदस्यता संख्या नहीं है, हाँ... लेकिन चार हैं लगातारनंबर. मुझे इस स्तर पर यह समझाने का कोई मतलब नहीं दिखता कि इस शब्द का क्या अर्थ है।) क्या इस क्रम में दो शब्द हैं? पड़ोसी ज्ञात संख्याएँ?खाओ! ये 6 और 1.2 हैं. तो हम पा सकते हैं प्रगति विभाजक.तो हम संख्या 1.2 लेते हैं और विभाजित करते हैं पिछले नंबर पर.छह तक.

हम पाते हैं:

एक्स= 150·0.2 = 30

उत्तर: एक्स = 30 .

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काफी सरल है। मुख्य कठिनाई गणना में ही है. ऋणात्मक और भिन्नात्मक हर के मामले में यह विशेष रूप से कठिन है। तो जिनको दिक्कत है वो अंकगणित दोहराएँ! भिन्नों के साथ कैसे काम करें, ऋणात्मक संख्याओं के साथ कैसे काम करें, इत्यादि... अन्यथा, आप यहां बेरहमी से धीमे हो जाएंगे।

अब समस्या को थोड़ा बदलते हैं. अब यह दिलचस्प होने वाला है! आइए इसमें से आखिरी नंबर 1.2 हटा दें। आइए अब इस समस्या का समाधान करें:

3. ज्यामितीय प्रगति के कई लगातार शब्द लिखे गए हैं:

...; 150; एक्स; 6; ...

अक्षर x द्वारा इंगित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए।

सब कुछ वैसा ही है, केवल दो निकटवर्ती हैं प्रसिद्धअब हमारे पास प्रगति का कोई सदस्य नहीं है। यही मुख्य समस्या है. क्योंकि परिमाण क्यूदो पड़ोसी पदों के माध्यम से हम आसानी से निर्धारित कर सकते हैं हम नहीं कर सकते.क्या हमारे पास कार्य से निपटने का मौका है? निश्चित रूप से!

आइए अज्ञात शब्द लिखें " एक्स"सीधे ज्यामितीय प्रगति के अर्थ में! सामान्य शब्दों में।

हां हां! एक अज्ञात हर के साथ सही!

एक ओर, X के लिए हम निम्नलिखित अनुपात लिख सकते हैं:

एक्स= 150·क्यू

दूसरी ओर, हमें इसी एक्स का वर्णन करने का पूरा अधिकार है अगलासदस्य, छह के माध्यम से! छह को हर से विभाजित करें.

इस कदर:

एक्स = 6/ क्यू

जाहिर है, अब हम इन दोनों अनुपातों को बराबर कर सकते हैं। चूंकि हम व्यक्त कर रहे हैं जो उसीपरिमाण (x), लेकिन दो विभिन्न तरीके।

हमें समीकरण मिलता है:

हर चीज़ को गुणा करना क्यू, सरलीकरण और छोटा करने पर, हमें समीकरण मिलता है:

क्यू2 = 1/25

हम हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

क्यू = ±1/5 = ±0.2

उफ़! हर दोगुना निकला! +0.2 और -0.2. और आपको किसे चुनना चाहिए? गतिरोध?

शांत! हाँ, समस्या वास्तव में है दो समाधान!उसमें कोी बुराई नहीं है। ऐसा होता है।) आपको आश्चर्य नहीं होता जब, उदाहरण के लिए, सामान्य समस्या को हल करते समय आपको दो जड़ें मिलती हैं? यहां भी यही कहानी है।)

के लिए क्यू = +0.2हमें मिल जाएगा:

एक्स = 150 0.2 = 30

और के लिए क्यू = -0,2 इच्छा:

एक्स = 150·(-0.2) = -30

हमें दोहरा उत्तर मिलता है: एक्स = 30; एक्स = -30.

इस रोचक तथ्य का क्या मतलब है? और क्या मौजूद है दो प्रगति, समस्या की शर्तों को संतुष्ट करना!

इनकी तरह:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

दोनों उपयुक्त हैं।) आपको क्यों लगता है कि हमारे उत्तर अलग-अलग थे? केवल छह के बाद आने वाली प्रगति (1,2) के एक विशिष्ट सदस्य के उन्मूलन के कारण। और ज्यामितीय प्रगति के केवल पिछले (n-1)वें और बाद के (n+1)वें पदों को जानते हुए, हम अब उनके बीच खड़े nवें पद के बारे में स्पष्ट रूप से कुछ नहीं कह सकते हैं। दो विकल्प हैं - प्लस के साथ और माइनस के साथ।

लेकिन कोई समस्या नहीं। एक नियम के रूप में, ज्यामितीय प्रगति पर कार्यों में अतिरिक्त जानकारी होती है जो एक स्पष्ट उत्तर देती है। आइए शब्द कहें: "वैकल्पिक प्रगति"या "सकारात्मक हर के साथ प्रगति"और इसी तरह... ये शब्द ही एक सुराग के रूप में काम करने चाहिए कि अंतिम उत्तर तैयार करते समय प्लस या माइनस का कौन सा चिह्न चुना जाना चाहिए। यदि ऐसी कोई जानकारी नहीं है, तो हाँ, कार्य होगा दो समाधान.)

अब हम स्वयं निर्णय लेते हैं।

4. निर्धारित करें कि क्या संख्या 20 ज्यामितीय प्रगति का सदस्य है:

4 ; 6; 9; …

5. एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति का संकेत दिया गया:

…; 5; एक्स ; 45; …

पत्र द्वारा इंगित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए एक्स .

6. गुणोत्तर श्रेणी का चौथा सकारात्मक पद ज्ञात कीजिए:

625; -250; 100; …

7. गुणोत्तर अनुक्रम का दूसरा पद -360 के बराबर है, और इसका पाँचवाँ पद 23.04 के बराबर है। इस प्रगति का पहला पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर (अव्यवस्था में):-15; 900; नहीं; 2.56.

अगर सब कुछ ठीक रहा तो बधाई हो!

कुछ फिट नहीं है? कहीं दोहरा जवाब तो नहीं था? असाइनमेंट की शर्तों को ध्यान से पढ़ें!

आखिरी समस्या हल नहीं होती? वहां कुछ भी जटिल नहीं है।) हम सीधे ज्यामितीय प्रगति के अर्थ के अनुसार काम करते हैं। खैर, आप एक चित्र बना सकते हैं. यह मदद करता है।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ प्राथमिक है। यदि प्रगति कम है. यदि यह लंबा है तो क्या होगा? या फिर आवश्यक सदस्य की संख्या बहुत बड़ी है? मैं चाहूंगा कि, अंकगणितीय प्रगति के अनुरूप, किसी तरह एक सुविधाजनक सूत्र प्राप्त किया जाए जिससे इसे ढूंढना आसान हो जाए कोईकिसी भी ज्यामितीय प्रगति की अवधि उसके नंबर से.अनेक, अनेक गुना से गुणा किये बिना क्यू. और ऐसा एक सूत्र है!) विवरण अगले पाठ में हैं।

क्या आप शतरंज की बिसात पर अनाज के बारे में अद्भुत किंवदंती जानते हैं?

शतरंज की बिसात पर अनाज की कथा

जब शतरंज के निर्माता (सेसा नामक एक प्राचीन भारतीय गणितज्ञ) ने देश के शासक को अपना आविष्कार दिखाया, तो उन्हें यह खेल इतना पसंद आया कि उन्होंने आविष्कारक को खुद इनाम चुनने का अधिकार दिया। ऋषि ने राजा से कहा कि वह शतरंज की बिसात के पहले वर्ग के लिए गेहूं का एक दाना, दूसरे के लिए दो, तीसरे के लिए चार, आदि, प्रत्येक अगले वर्ग पर दानों की संख्या दोगुनी कर दे। शासक, जो गणित को नहीं समझता था, आविष्कार के इतने कम मूल्यांकन से कुछ हद तक नाराज होते हुए भी तुरंत सहमत हो गया, और कोषाध्यक्ष को गणना करने और आविष्कारक को आवश्यक मात्रा में अनाज देने का आदेश दिया। हालाँकि, जब एक सप्ताह बाद भी कोषाध्यक्ष यह गणना नहीं कर सका कि कितने अनाज की आवश्यकता है, तो शासक ने पूछा कि देरी का कारण क्या है। खजांची ने उसे हिसाब दिखाया और कहा कि भुगतान करना असंभव है। राजा ने बड़े आश्चर्य से बुजुर्ग की बातें सुनीं।

मुझे यह राक्षसी संख्या बताओ,'' उन्होंने कहा।

18 क्विंटिलियन 446 क्वाड्रिलियन 744 ट्रिलियन 73 अरब 709 मिलियन 551 हजार 615, हे प्रभु!

यदि हम मान लें कि गेहूं के एक दाने का द्रव्यमान 0.065 ग्राम है, तो शतरंज की बिसात पर गेहूं का कुल द्रव्यमान 1,200 ट्रिलियन टन होगा, जो मानव जाति के पूरे इतिहास में काटे गए गेहूं की पूरी मात्रा से अधिक है!

परिभाषा

ज्यामितीय अनुक्रम- संख्याओं का क्रम ( प्रगति के सदस्य) जिसमें प्रत्येक बाद की संख्या, दूसरे से शुरू करके, पिछले एक से एक निश्चित संख्या से गुणा करके प्राप्त की जाती है ( प्रगति विभाजक):

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 2, 4, 8, 16, ... ज्यामितीय है ()

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय प्रगति का भाजक

ज्यामितीय प्रगति की विशेषता संपत्ति

शीर्षक के लिए='QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत" height="15" width="48" style="vertical-align: -1px;">!}

एक अनुक्रम ज्यामितीय होता है यदि और केवल यदि उपरोक्त संबंध किसी n > 1 के लिए मान्य हो।

विशेष रूप से, सकारात्मक पदों वाली ज्यामितीय प्रगति के लिए, यह सत्य है:

ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र

ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

(तो अगर)

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

जब, ज्यामितीय प्रगति को कहा जाता है असीम रूप से घट रहा है . एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग संख्या और है

उदाहरण

उदाहरण 1.

अनुक्रम () - ज्यामितीय प्रगति।

यदि खोजें

समाधान:

हमारे पास मौजूद सूत्र के अनुसार:

उदाहरण 2.

ज्यामितीय प्रगति () का हर खोजें, जिसमें

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति

सैद्धांतिक जानकारी

सैद्धांतिक जानकारी

	अंकगणितीय प्रगति	ज्यामितीय अनुक्रम
परिभाषा	अंकगणितीय प्रगति एकएक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले सदस्य के बराबर होता है डी (डी- प्रगति अंतर)	ज्यामितीय अनुक्रम बी एनगैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले पद को उसी संख्या से गुणा करने के बराबर होता है क्यू (क्यू- प्रगति का भाजक)
पुनरावृत्ति सूत्र	किसी भी प्राकृतिक के लिए एन ए एन + 1 = ए एन + डी	किसी भी प्राकृतिक के लिए एन बी एन + 1 = बी एन ∙ क्यू, बी एन ≠ 0
सूत्र nवाँ पद	ए एन = ए 1 + डी (एन - 1)	बी एन = बी 1 ∙ क्यू एन - 1 , बी एन ≠ 0
विशेषता संपत्ति
प्रथम n पदों का योग

टिप्पणियों के साथ कार्यों के उदाहरण

अभ्यास 1

अंकगणितीय प्रगति में ( एक) एक 1 = -6, एक 2

nवें पद के सूत्र के अनुसार:

एक 22 = एक 1+ डी (22 - 1) = एक 1+ 21 डी

शर्त के अनुसार:

एक 1= -6, फिर एक 22= -6 + 21 दिन।

प्रगति का अंतर ज्ञात करना आवश्यक है:

डी = ए 2 – ए 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

उत्तर : एक 22 = -48.

कार्य 2

गुणोत्तर श्रेणी का पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए: -3; 6;....

पहली विधि (एन-टर्म फॉर्मूला का उपयोग करके)

ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र के अनुसार:

बी 5 = बी 1 ∙ क्यू 5 - 1 = बी 1 ∙ क्यू 4.

क्योंकि बी 1 = -3,

दूसरी विधि (आवर्ती सूत्र का उपयोग करके)

चूँकि प्रगति का हर -2 (q = -2) है, तो:

बी 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

बी 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ख 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

उत्तर : ख 5 = -48.

कार्य 3

अंकगणितीय प्रगति में ( ए एन ) ए 74 = 34; एक 76= 156. इस प्रगति का पचहत्तरवाँ पद ज्ञात कीजिए।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, विशेषता गुण का रूप होता है .

इसलिए:

आइए डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

उत्तर: 95.

कार्य 4

अंकगणितीय प्रगति में ( ए एन ) ए एन= 3n - 4. पहले सत्रह पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए, दो सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

इस मामले में उनमें से किसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है?

शर्त के अनुसार, मूल प्रगति के nवें पद का सूत्र ज्ञात होता है ( एक) एक= 3एन - 4. आप तुरंत पा सकते हैं एक 1, और एक 16बिना खोजे डी. इसलिए, हम पहले सूत्र का उपयोग करेंगे।

उत्तर: 368.

कार्य 5

अंकगणितीय प्रगति में( एक) एक 1 = -6; एक 2= -8. प्रगति का बाईसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

nवें पद के सूत्र के अनुसार:

ए 22 = ए 1 + डी (22 – 1) = एक 1+ 21 दिन.

शर्त के अनुसार, यदि एक 1= -6, फिर एक 22= -6 + 21 दिन। प्रगति का अंतर ज्ञात करना आवश्यक है:

डी = ए 2 – ए 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

उत्तर : एक 22 = -48.

कार्य 6

ज्यामितीय प्रगति के कई लगातार पद लिखे गए हैं:

x द्वारा इंगित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए।

हल करते समय, हम nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करेंगे बी एन = बी 1 ∙ क्यू एन - 1ज्यामितीय प्रगति के लिए. प्रगति का पहला पद. प्रगति q का हर ज्ञात करने के लिए, आपको प्रगति के दिए गए पदों में से कोई भी लेना होगा और पिछले एक से विभाजित करना होगा। हमारे उदाहरण में, हम ले सकते हैं और विभाजित कर सकते हैं। हम पाते हैं कि q = 3. n के बजाय, हम सूत्र में 3 प्रतिस्थापित करते हैं, क्योंकि किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति का तीसरा पद ज्ञात करना आवश्यक है।

पाए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर : ।

कार्य 7

nवें पद के सूत्र द्वारा दी गई अंकगणितीय प्रगति से, वह चुनें जिसके लिए शर्त संतुष्ट हो एक 27 > 9:

चूँकि दी गई शर्त प्रगति के 27वें पद के लिए पूरी होनी चाहिए, हम चार प्रगतियों में से प्रत्येक में n के स्थान पर 27 प्रतिस्थापित करते हैं। चौथी प्रगति में हमें मिलता है:

उत्तर - 4।

कार्य 8

अंकगणितीय प्रगति में एक 1= 3, डी = -1.5. n का सबसे बड़ा मान निर्दिष्ट करें जिसके लिए असमानता कायम है एक > -6.