मॉडल क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है? व्यवसाय मॉडल क्या है और आपके व्यवसाय को इसकी आवश्यकता क्यों है? मॉडल क्या है?

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यह आर्थिक स्थिति का विश्लेषण और पूर्वानुमान करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है। इसके अलावा, आर्थिक मॉडल का उपयोग एक साधारण उद्यमी या निवेशक के स्तर पर और बड़ी कंपनियों, राज्यों के स्तर पर और वैश्विक अर्थव्यवस्था में होने वाली प्रक्रियाओं का अध्ययन करते समय किया जा सकता है।

आर्थिक मॉडलिंग का सार अर्थव्यवस्था के एक निश्चित क्षेत्र में होने वाली प्रक्रियाओं का एक सरलीकृत आरेख बनाना और सबसे महत्वपूर्ण कारकों को एक संक्षिप्त और संक्षिप्त रूप में उजागर करना है।

एक आर्थिक मॉडल का निर्माणकई कारकों के अनुपालन की आवश्यकता है, इनमें शामिल हैं:

- यथार्थवादी धारणाएँ बनाई गईं

- पूर्वानुमान की संभावना

-पर्याप्त सूचना समर्थन

-व्यावहारिक सत्यापन की संभावना.

अलग-अलग मामलों में, इन आवश्यकताओं के विभिन्न सेटों को प्राथमिकता दी जाती है; एक ऐसा मॉडल बनाना जो उन सभी का पूरी तरह से अनुपालन करता हो, काफी कठिन है और इसकी आवश्यकता बहुत कम ही पैदा होती है। यह इस तथ्य के कारण है कि आर्थिक मॉडलिंग का मुख्य लक्ष्य मॉडल का व्यावहारिक अनुप्रयोग है और, आवश्यकताओं के आधार पर, मॉडल के गुणों के लिए प्राथमिकता की आवश्यकताएं बदल जाती हैं।

प्रक्रिया एक आर्थिक मॉडल का निर्माणअनेक चरणों से होकर गुजरता है। तीन मुख्य चरण हैं:

  1. प्रयुक्त चरों का चयन
  2. आवश्यक धारणाएँ बनाना
  3. मुख्य परिकल्पनाओं की पहचान जो मॉडल मापदंडों के बीच संबंध की व्याख्या करती है।

चर विशिष्ट डेटा हैं जो मॉडल का आधार बनाते हैं, उन्हें बहिर्जात और अंतर्जात में विभाजित किया गया है। यानी आंतरिक और बाह्य. धारणाएँ मॉडल में होने वाली कई प्रक्रियाओं को सरल बनाना संभव बनाती हैं और इस प्रकार मॉडल को सरल बनाती हैं और इसके निर्माण की प्रक्रिया को तेज़ करती हैं।

आजकल, सबसे सामान्य प्रकार के आर्थिक मॉडल संतुलन और अनुकूलित हैं। अनुकूलित का उपयोग मुख्य रूप से विपणन अनुसंधान और बाजार अनुसंधान में किया जाता है। ऐसे मॉडलों में, विभिन्न सीमांत संकेतक अक्सर दिखाई देते हैं, जैसे सीमांत राजस्व, सीमांत उपयोगिता। इस मॉडलिंग पद्धति को अक्सर मार्जिन विश्लेषण कहा जाता है।

संतुलन मॉडल का उपयोग अर्थव्यवस्था की विभिन्न वस्तुओं के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। ऐसे मॉडलों में मुख्य धारणा यह है कि कोई भी मॉडल प्रणाली संतुलन में है और जो कारक इसे संतुलन से बाहर कर सकते हैं, उन पर ध्यान नहीं दिया जाता है। आमतौर पर, इस प्रकार के आर्थिक मॉडल के निर्माण का उपयोग विभिन्न बिक्री बाजारों और एक ही बाजार में काम करने वाली कंपनियों की बातचीत का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

यह संतुलन मॉडल है जो निजी उद्यमियों और निवेशकों पर सबसे अधिक लागू होता है, क्योंकि उनकी मदद से वे उस बाजार के बारे में बहुमूल्य जानकारी प्राप्त कर सकते हैं जिसमें वे काम करते हैं और इसके विकास की संभावनाएं हैं।

इस प्रकार के मॉडलों के अलावा, उन्हें सकारात्मक और मानक में भी विभाजित किया गया है। सकारात्मक मॉडल में निर्माण का मुख्य उद्देश्य किसी घटना या आर्थिक घटना के कारणों और परिणामों का पता लगाना है। हालाँकि, इन घटनाओं का आकलन नहीं दिया गया है।

इसके विपरीत, मानक मॉडल किसी घटना या घटना का मूल्यांकन करने की अनुमति देते हैं, लेकिन इस घटना के कारणों और परिणामों को स्थापित करने की अनुमति नहीं देते हैं। दोनों प्रकार के मॉडल निर्माण आपस में जुड़े हुए हैं और आर्थिक प्रक्रियाओं के सबसे सटीक मॉडलिंग के लिए एक साथ उपयोग किए जाते हैं।

क्या आप अपनी गतिविधियों में आर्थिक मॉडल का उपयोग करते हैं?

एंड्री मालाखोव, पेशेवर निवेशक, वित्तीय सलाहकार

यदि आपने स्वयं को इस पृष्ठ पर पाया, तो जाहिर है, आपको किसी संगठन के प्रबंधन के कुछ मुद्दों को समझने की आवश्यकता से जूझना पड़ा। और, सबसे अधिक संभावना है, यह विषय आपके लिए नया है।
आमतौर पर, प्रबंधन से संबंधित मुद्दे ऐसे ही नहीं उठते, बल्कि कुछ समस्याओं का परिणाम होते हैं जो कंपनी के "जीवन में हस्तक्षेप" करते हैं: निर्णय लेने की कम गति, कर्मचारियों की गैरजिम्मेदारी, काम में व्यवधान। परिणामस्वरूप: लाभप्रदता या प्रतिस्पर्धात्मकता कम हो जाती है, विकास धीमा हो जाता है, और शायद कंपनी बंद भी हो जाती है।
प्रबंधक या मालिक को एक बिंदु पर इसका एहसास होता है "इस तरह से काम करना असंभव है!"
स्वाभाविक रूप से, आगे प्रश्न उठते हैं: “यह कैसे संभव और आवश्यक है? और सबसे पहले क्या करना चाहिए?

यह अक्सर सहज रूप से स्पष्ट होता है कि समस्याओं को हल करना आवश्यक है "साफ़ करना", यानी, कर्मचारियों को समझाएं कि उन्हें कैसे काम करना चाहिए, किसके लिए प्रयास करना चाहिए। किसी संगठन की सभी गतिविधियों की एक साथ कल्पना करना असंभव है, इसलिए इसे एक निश्चित तरीके से वर्णित करने की आवश्यकता है, और, सबसे अधिक संभावना है, कुछ स्पष्ट नियमों के अनुसार। दूसरे शब्दों में, गंभीर समस्याओं के लिए एक व्यवस्थित दृष्टिकोण और संगठन की गतिविधियों को औपचारिक बनाने की आवश्यकता होती है - सुविधाजनक और उपयोग में आसान दस्तावेजों का एक सेट जो यह निर्धारित करता है कि क्या होना चाहिए और कैसे, और किसके लिए जिम्मेदार है।

यदि आप स्वयं को प्रबंधन के मुद्दों को पूरी तरह से समझने का कार्य निर्धारित करते हैं, तो इसके लिए समय और प्रयास के काफी गंभीर निवेश की आवश्यकता होगी, और आपको अतिरिक्त प्रशिक्षण से गुजरने की इच्छा भी हो सकती है। यहां हम कुछ वास्तविक सवालों के जवाब देंगे जो अक्सर घरेलू कंपनियों के व्यापार मालिकों और प्रबंधकों द्वारा उनके विकास के विभिन्न चरणों में पूछे जाते हैं।

1. आपकी कंपनी अपने विकास की शुरुआत में है: इसने हाल ही में बाज़ार में प्रवेश किया है और इसे विकसित करना अभी शुरू ही किया है। आमतौर पर इस स्तर पर संगठन में कर्मचारियों की संख्या कम (30 लोगों तक) होती है, संगठनात्मक संरचना बहुत औपचारिक नहीं होती है, पदानुक्रम के 3 से अधिक स्तर नहीं होते हैं, प्रबंधन का ध्यान अक्सर उत्पादन और बिक्री पर होता है उत्पाद/सेवा का.

“हमने एक भागीदार के साथ एक कंपनी स्थापित की है, हम कुकीज़ के उत्पादन और बिक्री में लगे हुए हैं। वहाँ एक स्थायी बिक्री प्रबंधक है, और बाकी अक्सर बदलते रहते हैं। हाल ही में, ग्राहकों की शिकायतें अधिक हो गई हैं - ऑर्डर खो गया था, या इसे समय पर वितरित नहीं किया गया था... और प्राप्य राशि में काफी वृद्धि हुई है - यह अब हमारे लिए महत्वपूर्ण है... उत्पादन की अपनी समस्याएं हैं। लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि हम हर चीज़ को एक बार में हल नहीं कर सकते हैं और यह भी स्पष्ट नहीं है कि यह कैसे किया जाए।”

  • अभाव स्पष्ट रूप से अंकित है रणनीतियाँआगे का विकास (हम क्या और क्यों जा रहे हैं?);
  • में अनिश्चितता कर्तव्यों एवं उत्तरदायित्वों का निरूपणप्रत्येक कर्मचारी और संपूर्ण विभाग, काम की गुणवत्ता को कम करते हैं और आंतरिक संघर्ष का कारण बनते हैं;
  • उद्भव कर्मचारियों को बदलते समय गंभीर समस्याएँकंपनी के निचले स्तर पर भी, चूंकि नए कर्मचारियों को ज्ञान और कौशल हस्तांतरित करने की कोई व्यवस्था नहीं है, जिसके कारण उन्हें अपनी गलतियों से सीखना पड़ता है। कम से कम दो बार इसी तरह की स्थिति का सामना करने के बाद, प्रबंधक अनिवार्य रूप से अधीनस्थों के कार्य नियमों को किसी तरह औपचारिक बनाने की आवश्यकता के बारे में सोचना शुरू कर देता है जो दिन-ब-दिन मानक संचालन करते हैं;
  • इसके बिना कंपनी का आगे विकास असंभव है अतिरिक्त विशेषज्ञों को आकर्षित करनाविशेष ज्ञान और कौशल के साथ.

इन और इसी तरह की कठिनाइयों की नियमितता संगठन में निर्माण की आवश्यकता को इंगित करती है व्यवस्थितऔर औपचारिक रूप दियानियंत्रण प्रणाली। दूसरे शब्दों में, प्रबंधन प्रणाली, सबसे पहले, उचित रूप से व्यवस्थित होनी चाहिए, और दूसरी, सभी के लिए समान रूप से समझने योग्य होनी चाहिए, अर्थात, सटीक शब्दों में प्रलेखित होनी चाहिए।

आप विनियम विकसित कर सकते हैं और उन्हें मैन्युअल रूप से अद्यतन रख सकते हैं, लेकिन कुछ समय बाद यह एक महंगी यातना बन जाएगी। इस कार्य को एक व्यवसाय मॉडल बनाकर तेजी से और आसानी से हल किया जा सकता है जो भविष्य में कंपनी के विकास के लिए आधार प्रदान करेगा।

इस तथ्य के अलावा कि व्यवसाय मॉडल विकसित करना अपने आप में एक उपयोगी और दिलचस्प गतिविधि है, आप कई सकारात्मक प्रभाव बहुत जल्दी महसूस कर सकते हैं:

  • कंपनी की गतिविधियों का वर्णन करने की प्रक्रिया में, आप बेहतर ढंग से समझने लगते हैं कि कैसे सचमुच काम करता हैकंपनी, यानी इसमें मुख्य प्रक्रियाएं कैसे होती हैं। इस बात की बहुत अधिक संभावना है कि इस स्तर पर पहले से ही विचार उत्पन्न होने लगेंगे। कार्य का प्रणालीगत सुधार;
  • विवरण का परिणाम दस्तावेजों (प्रक्रिया विनियम, नौकरी विवरण, विभागों पर विनियम, आदि) का एक सेट है, जो वास्तव में आपके रिकॉर्ड करता है कार्य प्रौद्योगिकी. इसके बाद, यदि कर्मचारियों को शीघ्रता से प्रशिक्षित करना आवश्यक हो तो इसका उपयोग करना सुविधाजनक होता है (यदि कोई कर्मचारी चला जाता है, तो नए को प्रशिक्षित करना बहुत आसान हो जाता है);
  • जब कार्य करने की तकनीक स्पष्ट रूप से प्रस्तुत की जाती है, तो प्रबंधक के लिए यह बहुत आसान हो जाता है जिम्मेदारी के क्षेत्रों को रेखांकित करेंकर्मचारियों के बीच;
  • सामान्य तौर पर, एक वास्तविक कार्यशील व्यवसाय मॉडल की उपस्थिति नियंत्रणीयता में सुधार करता हैकंपनियाँ और अपने संसाधनों का कुशल उपयोग: यदि मॉडल लगातार अद्यतन किया जाता है, तो प्रबंधक के पास कंपनी की "नाड़ी पर अपनी उंगली रखने" का अवसर होता है, जो वास्तविक कार्यों के साथ इसकी संगठनात्मक संरचना और संसाधन आवंटन के अनुपालन की निगरानी करता है।

सिद्धांत रूप में, आप परिचित एमएस ऑफिस टूल और एमएस विसियो का उपयोग करके, अपने घुटनों पर एक छोटी कंपनी के लिए एक बिजनेस मॉडल बना सकते हैं, जो ग्राफिक्स के साथ काम करने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हालाँकि, भविष्य में, जैसे-जैसे कंपनी विकसित होगी, आपको निश्चित रूप से परीक्षण और त्रुटि के माध्यम से बनाए गए मॉडल में बदलाव और परिवर्धन करने की आवश्यकता होगी, और कंपनी जितनी अधिक गतिशील रूप से विकसित होगी, आपको विभिन्न आरेखों और तालिकाओं में उतने ही अधिक सुधार करने होंगे। , जिसका मतलब है कि आपको इस पर अधिक समय खर्च करना होगा। मॉडल की प्रासंगिकता बनाए रखना अधिक सुविधाजनक है यदि इसे शुरू में व्यवसाय मॉडलिंग के लिए डिज़ाइन किए गए विशेष वातावरण में बनाया गया हो।

अपने बाज़ारों में व्यवसाय मॉडलिंग तकनीकों का सफलतापूर्वक उपयोग करने वाली अग्रणी कंपनियों के अधिकांश प्रबंधक स्वीकार करते हैं कि जब उन्होंने अपने संगठनों में परिवर्तन शुरू करने का निर्णय लिया, तो उन्होंने कल्पना नहीं की थी कि प्रारंभिक चरण के लिए दृढ़ इच्छाशक्ति की आवश्यकता होगी - उन्हें न केवल अपने विचारों का पुनर्निर्माण करना होगा और रूढ़िवादिता, बल्कि उनके सहकर्मियों और अधीनस्थों की सोच, उनकी गतिविधियों के मूल्यांकन के लिए एक प्रणाली और एक परिचित संगठनात्मक संरचना भी। हालाँकि, दृढ़ता दिखाने और परियोजना छोड़ने की तत्काल इच्छा पर काबू पाने से, प्रबंधक को अपने व्यवसाय में चीजों को व्यवस्थित करने के लिए एक सुविधाजनक उपकरण प्राप्त होता है। उन लोगों के लिए एक अतिरिक्त "बोनस" जिन्होंने संगठन के गठन की शुरुआत में, इसे डिजाइन करने में कोई समय और प्रयास नहीं छोड़ा, विकास के बाद के चरणों में कई समस्याओं से बचने का अवसर है, जिसका अर्थ है सफलता की संभावनाओं में उल्लेखनीय वृद्धि प्रतियोगिता में।
विशेष रूप से, रणनीति को औपचारिक बनाना और कंपनी की व्यावसायिक प्रक्रियाओं का वर्णन करना प्रबंधन को ध्यान केंद्रित करने की अनुमति देता है प्रदर्शन परिणामसंगठन. समझ किसी दिए गए परिणाम को प्राप्त करने के लिए किसी कंपनी में किए जाने वाले कार्यों के एक समूह के रूप में व्यावसायिक प्रक्रिया, और कंपनी की सभी गतिविधियों को एक निश्चित संख्या में व्यावसायिक प्रक्रियाओं के संयोजन के रूप में देखते हुए, प्रक्रिया दृष्टिकोण कर्मियों की संख्या के अत्यधिक विस्तार से बचाता है और संगठन के प्रभागों के बीच आंतरिक प्रतिस्पर्धा की संभावना को कम करता है।

2. कंपनी प्रारंभिक चरण पार कर चुकी है और सक्रिय रूप से बढ़ रही है, इसमें अधिक से अधिक कार्यात्मक इकाइयाँ और प्रबंधन के स्तर दिखाई देते हैं, कर्मचारियों की संख्या ऐसी है कि वरिष्ठ प्रबंधन अब प्रत्येक व्यक्ति से व्यक्तिगत रूप से परिचित नहीं है।

व्यवहार में, 50 से अधिक लोगों को रोजगार देने वाली कंपनियों में, उन्हें अक्सर कार्यात्मक-पदानुक्रमित प्रबंधन प्रणाली से निपटना पड़ता है। इसका सार संक्षेप में किसी उद्यम की गतिविधियों में एक निश्चित संख्या में कार्यात्मक क्षेत्रों की पहचान करने और उनके अनुसार एक प्रबंधन प्रणाली के निर्माण के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसके अलावा, जैसे-जैसे संगठन बढ़ता है, प्रत्येक कार्यात्मक क्षेत्र प्रबंधकों का अपना पदानुक्रम बनाता है - प्रबंधक (इस क्षेत्र में एक प्रकार का "विशेषज्ञ") से लेकर सामान्य कलाकार तक, और संगठन जितना बड़ा होगा, इस पदानुक्रम के स्तर उतने ही अधिक होंगे . और यदि प्रारंभ में संपूर्ण सिस्टम कमोबेश सफलतापूर्वक कार्य करता है, संगठन को प्रबंधनीयता प्रदान करता है, तो जैसे-जैसे कंपनी बढ़ती है, इसकी प्रभावशीलता अनिवार्य रूप से कम हो जाती है। यह सिस्टम में निर्णय लेने की बारीकियों के कारण है, जब किसी समस्या पर सभी पक्षों से विचार करने के लिए, विभिन्न कार्यात्मक क्षेत्रों में सभी "विशेषज्ञों" की बातचीत आवश्यक होती है। हालाँकि विभागों में पदानुक्रम के कुछ स्तर हैं, बातचीत बहुत तेज़ी से आयोजित की जाती है, लेकिन जैसे-जैसे संगठन बढ़ता है, निर्णय लेने में लगने वाला समय सभी उचित सीमाओं से अधिक हो जाता है। इसी का नतीजा है ट्रांसफर सभीउच्चतम स्तर के निर्णय और नियंत्रणीयता में वैश्विक कमी।

“संकट ने मेरे निर्माण व्यवसाय को बुरी तरह प्रभावित किया: कंपनी 2000 से तेजी से विकास कर रही है, मात्रा और मुनाफा बढ़ रहा है। 2008 के बाद, बेशक, हम पूरी तरह से अलग तरीके से काम करते हैं, हम लागत कम करने की कोशिश करते हैं, लेकिन यह बहुत अच्छी तरह से काम नहीं करता है... कंपनी की परिचालन दक्षता कम है, लेकिन मैं न केवल जीवित रहना चाहता हूं, बल्कि विकास भी जारी रखना चाहता हूं। ”

संभावित समस्याएं जो आपको नियंत्रण अनुकूलित करने के बारे में सोचने पर मजबूर करती हैं:

  • परिचालन संबंधी मुद्दों को हल करने में प्रबंधक का सारा कार्य समय लग जाता है;
  • कंपनी की कार्यबल वृद्धि राजस्व वृद्धि को पीछे छोड़ रही है;
  • बाजार में प्रतिस्पर्धा हमें उत्पादन लागत कम करने के लिए भंडार की तलाश करने के लिए मजबूर करती है;
  • कंपनी के प्रत्येक कार्यात्मक प्रभाग "अपना जीवन जीते हैं"; उनके बीच समन्वय केवल उच्चतम स्तर पर होता है - निदेशक स्तर पर।

इस स्तर पर, कंपनी के प्रबंधन के लिए प्रबंधन प्रणाली के स्पष्ट रूप से परिभाषित मॉडल के बिना काम करना पहले से ही बेहद मुश्किल है, क्योंकि कंपनी की संरचना और उसमें सूचना प्रवाह काफी जटिल है, और उन्हें प्रबंधित करना असंभव हो जाता है। लहर।" साथ ही, किसी कंपनी की पदानुक्रमित कार्यात्मक संरचना को कागज के एक टुकड़े पर प्रदर्शित करना, दुर्भाग्य से, इसकी गतिविधियों की दक्षता में सुधार करने के लिए बहुत कम करता है। कार्यात्मक प्रबंधन की समस्याएं विशेष रूप से बाहरी अस्थिरता की अवधि के दौरान बड़ी कंपनियों में स्पष्ट होती हैं, जब निर्णय लेने की गति प्रणाली की एक महत्वपूर्ण विशेषता बन जाती है।

कार्यात्मक प्रबंधन में निहित समस्याओं का समाधान प्रक्रिया प्रबंधन में संक्रमण है: सभी गतिविधियाँ, चाहे वे किसी भी कार्यात्मक विशेषता से संबंधित हों, को समूहीकृत किया गया है मिश्रित इकाइयाँ, जहां प्रत्येक निष्पादक संचालन के अपने ब्लॉक के लिए जिम्मेदार है। इन दृष्टिकोणों के बीच मूलभूत अंतर संगठन की कार्यप्रणाली (और गतिविधि के विषय के आधार पर एकजुट इसके संरचनात्मक प्रभाग: लेखांकन, कानूनी विभाग, आपूर्ति, बिक्री, आदि) के प्रबंधन से लेकर व्यवसाय प्रक्रियाओं के प्रबंधन तक का संक्रमण है। गतिविधियों के परिणाम. इस प्रकार, ध्यान संगठन की दक्षता की ओर स्थानांतरित हो जाता है। साथ ही, व्यावसायिक प्रक्रियाओं को निष्पादित करते समय सभी संभावित स्थितियों को यथासंभव विस्तार से वर्णित किया गया है, क्योंकि व्यवहार में उत्पन्न होने वाली 80% स्थितियाँ विशिष्ट होती हैं, और उनके लिए गतिविधियों के लिए विस्तृत नियम बनाने की सलाह दी जाती है। इस मामले में, विशिष्ट परिस्थितियों में कार्मिक यथासंभव कुशलतापूर्वक कार्य कर सकते हैं और, जो विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, स्वतंत्र रूप से, यानी प्रबंधक की भागीदारी के बिना। वास्तव में, प्रबंधक इस प्रक्रिया में तभी शामिल होता है जब कोई गैर-मानक स्थिति उत्पन्न होती है, जिसमें क्रियाएं विनियमित नहीं होती हैं।

प्रक्रिया प्रबंधन में परिवर्तन के लिए धन्यवाद, बड़े पैमाने पर संचालन वाली कंपनियां अपनी गतिविधियों को व्यवस्थित करने में सक्षम हैं, एक साथ दो दिशाओं में लाभ प्राप्त कर रही हैं:

  1. पदानुक्रम स्तरों की संख्या कम हो गई है, क्योंकि प्रबंधन संरचना प्रक्रियाओं की संरचना के अनुसार बनाई गई है, और व्यवहार में उनमें से शायद ही कभी 5-6 से अधिक होते हैं;
  2. प्रक्रिया दृष्टिकोण में नियंत्रणीयता के मानक 2-3 गुना अधिक हैं, क्योंकि प्रबंधन में कर्मचारियों का समन्वय होता है और उन्हें प्रक्रिया में तभी शामिल किया जाता है जब वे अपने सामान्य पाठ्यक्रम से विचलित हो जाते हैं।

प्रक्रिया दृष्टिकोण के आधार पर प्रबंधन प्रणाली को पुनर्गठित करने के लिए, प्रबंधन को एक नई प्रणाली के डिजाइन पर निर्णय लेने की आवश्यकता है, और इस डिजाइन की दिशा है उपर से नीचे, अर्थात्, संगठन के रणनीतिक लक्ष्य और उद्देश्य और उनकी उपलब्धि के संकेतक शुरू में निर्धारित किए जाते हैं, और इस आधार पर प्रक्रियाओं की एक प्रणाली बनाई जाती है। प्रक्रियाओं के आधार पर संगठनात्मक संरचना का निर्माण होता है। उचित उद्देश्य के लिए आधुनिक सॉफ्टवेयर का उपयोग, विशेष रूप से बिजनेस स्टूडियो बिजनेस मॉडलिंग सिस्टम, श्रम तीव्रता को काफी कम कर सकता है और डिजाइन को गति दे सकता है। इसके अलावा, यह प्रणाली न केवल पुनर्गठन के लिए तैयारी करने की अनुमति देती है, बल्कि प्रक्रिया प्रबंधन के कार्यान्वयन और उसके बाद के रखरखाव का भी समर्थन करती है।

3. संगठन ने अपने विकास के एक नए चरण में प्रवेश किया है:आप शाखाएँ खोलते हैं और एक नेटवर्क संरचना में बदल जाते हैं।

कभी-कभी किसी कंपनी का विकास इतना गतिशील होता है कि उसके पास अपनी प्रबंधन प्रणाली को बदलने का समय नहीं होता है। ऐसा आमतौर पर अनुकूल परिस्थितियों वाले तेजी से बढ़ते बाजारों में होता है।

“हमारा स्पेयर पार्ट्स बेचने का व्यवसाय है। पिछले 2 वर्षों में, हमारे कई प्रतिस्पर्धियों ने अपनी गतिविधियों में कटौती की है, जिसके परिणामस्वरूप एक स्वतंत्र जगह बन गई है। हम इस क्षण का लाभ उठाना चाहते हैं और आस-पास के कई क्षेत्रों में शाखाएँ खोलना चाहते हैं। अब हम बाजारों का विपणन समाप्त कर रहे हैं और सवाल उठता है कि नेटवर्क विकास की प्रक्रिया को सर्वोत्तम तरीके से कैसे व्यवस्थित किया जाए।"

दूरस्थ प्रभाग खोलने का निर्णय लेते समय, ऐसे कदम के लिए कंपनी की आंतरिक तत्परता के महत्व को कम नहीं आंका जा सकता है। यह कोई रहस्य नहीं है कि कुछ कंपनियाँ क्षेत्र की परवाह किए बिना अपने व्यवसाय का सफलतापूर्वक पुनरुत्पादन और विकास करती हैं, जबकि अन्य की कई शाखाएँ लाभहीन हैं।
तथ्य यह है कि कार्यात्मक प्रबंधन के तरीके और प्रौद्योगिकियां, "सरल व्यवसाय" के लिए एक निश्चित बिंदु तक प्रभावी, नेटवर्क संरचनाओं पर काम नहीं कर सकती हैं।

क्षेत्रीय प्रभाग खोलने के लिए किसी कंपनी की तत्परता का मूल्यांकन आमतौर पर निम्नलिखित स्तरों पर किया जाता है:

  • प्रबंधकीय;
  • वित्तीय;
  • विपणन;
  • प्रक्रिया।

यदि कार्यात्मक-पदानुक्रमित सिद्धांत पर प्रबंधित कंपनी एक नेटवर्क बनाना शुरू कर देती है, तो प्रक्रिया प्रबंधन में संक्रमण लगभग अपरिहार्य हो जाता है, क्योंकि दूरस्थ व्यवसाय प्रबंधन के कार्यों और समस्याओं के गंभीर पैमाने नियमित प्रबंधन तकनीकों की शुरूआत को तत्काल आवश्यकता बनाते हैं।

संभावित समस्याएं जो आपको नियंत्रण अनुकूलित करने के बारे में सोचने पर मजबूर करती हैं:

  • शाखाओं की शीघ्र शुरुआत के लिए आवश्यक औपचारिक समर्थन का अभाव प्रभावी संचालन प्रौद्योगिकी;
  • नियंत्रण की असंभवता (या उच्च लागत)। सभी पहलूसहायक कंपनियों की गतिविधियाँ.

आम तौर पर, शाखाएं खोलते समय, सभी दृष्टिकोणों से इष्टतम तरीका पहले से ही विकसित ऑपरेटिंग प्रौद्योगिकियों को वहां स्थानांतरित करना है (हां, वही प्रौद्योगिकियां जो आपको संगठन की व्यावसायिक प्रक्रियाओं का वर्णन और अनुकूलन करते समय प्राप्त होती हैं)। यह आपको मौजूदा अनुभव को प्रभावी ढंग से लागू करने और न्यूनतम समस्याओं के साथ इसे "दोहराने" की अनुमति देता है: आखिरकार, यदि गतिविधि की तकनीक को औपचारिक नहीं बनाया गया है, तो प्रबंधक को व्यक्तिगत रूप से शाखा को व्यवस्थित करने या इसके लिए सबसे सक्षम कर्मचारी आवंटित करने के लिए मजबूर किया जाता है। यदि आपको कम समय में एक या दो से अधिक शाखाएँ खोलने की आवश्यकता हो तो क्या होगा? इस मामले में एक व्यवसाय मॉडल की उपस्थिति संगठनात्मक मुद्दों का एक बड़ा हिस्सा हल करती है।

इसके अलावा, केवल शाखाएँ खोलना पहला कदम है, और ऐसे विकास पथ की योजना बनाते समय, आपको इस बात से अवगत होना होगा कि नेटवर्क को प्रबंधित करना होगा। शाखाओं के नेटवर्क का प्रभावी प्रबंधन विभिन्न बाहरी परिस्थितियों के अनुकूल होने के लिए उच्च स्तर की स्वतंत्रता के बिना असंभव है। इस मामले में, कॉर्पोरेट केंद्र विशेष रूप से एक समन्वय निकाय के रूप में कार्य करता है जो वित्तीय और भौतिक प्रवाह को नियंत्रित करता है। इसलिए, नेटवर्क प्रबंधन प्रक्रिया प्रबंधन के समान है, जब प्रबंधन का ध्यान कामकाज पर नहीं, बल्कि प्रदर्शन परिणामों पर केंद्रित होता है।

जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, सफल क्षेत्रीय रणनीति वाली अधिकांश कंपनियां कई उपकरणों का उपयोग करती हैं:

  1. इष्टतम संरचना- बाजार की आवश्यकताओं के प्रति लचीला और उत्तरदायी;
  2. सही ढंग से चुना गया शाखा प्रबंधन मॉडल, जो उनकी स्वतंत्रता की डिग्री निर्धारित करता है;
  3. विस्तृत निर्देश, विनियम और दस्तावेज़, जो शाखा नेटवर्क के संचालन को निर्धारित करते हैं।

वास्तविक बाजार स्थिति में, कॉर्पोरेट केंद्र को एक प्रबंधन प्रणाली बनानी चाहिए, जो एक ओर, शाखाओं की गतिविधियों के पर्याप्त उच्च स्तर के विनियमन प्रदान करेगी, और दूसरी ओर, बाजार में बदलावों के लिए लचीली प्रतिक्रिया के अवसर प्रदान करेगी। स्थितियाँ।
व्यक्तिगत प्रक्रियाओं के मानकीकरण की इष्टतम डिग्री कैसे निर्धारित करें?

एक विकल्प ऐसे एल्गोरिदम का उपयोग करना हो सकता है: मानक प्रक्रियाओं को परिभाषित करके, कंपनी केंद्र और शाखाओं के बीच कार्यों के इष्टतम वितरण की समस्या को हल करती है। इस प्रकार, कंपनी की प्रत्येक विनियमित प्रक्रिया (प्रबंधकीय, मुख्य, सहायक) को नियम के अनुसार वितरित किया जाता है: निष्पादित केवल केंद्र में, प्रदर्शन किया केवल शाखा में, प्रदर्शन किया एक साथ. यह स्पष्ट है कि केवल केंद्र में की जाने वाली प्रक्रियाएं मानक हैं और इन्हें विनियमित किया जाना चाहिए। जब प्रक्रियाएं दोनों स्तरों पर की जाती हैं, तो आमतौर पर उन्हें मानकीकृत और विनियमित करने की भी सलाह दी जाती है। शाखा-स्तरीय प्रक्रियाओं के लिए, या तो प्रक्रिया के निष्पादन को मानकीकृत करना संभव है - यदि सभी शाखाएँ समान हैं, या प्रक्रिया पर रिपोर्टिंग को मानकीकृत करना संभव है - यदि विभिन्न शाखाओं में प्रक्रिया का निष्पादन काफी भिन्न हो सकता है।
परिणामस्वरूप, कंपनी को उन प्रक्रियाओं की एक सूची प्राप्त होती है जिन्हें मानकीकृत करने की आवश्यकता होती है।

सभी प्रारंभिक कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने और एक प्रभावी नेटवर्क संरचना बनाने के लिए, स्पष्ट रूप से परिभाषित रणनीतिक लक्ष्यों के आधार पर, कॉर्पोरेट केंद्र और शाखाओं के बीच शक्तियों और जिम्मेदारियों के इष्टतम वितरण के साथ एक प्रक्रिया प्रबंधन प्रणाली बनाना आवश्यक है। इस मामले में प्रक्रिया दृष्टिकोण का उपयोग संगठन के विकास के तर्क और इसे पर्याप्त प्रबंधन प्रदान करने की आवश्यकता से तय होता है।

इस प्रकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कंपनी विकास के किस चरण में है, जितनी जल्दी उसका प्रबंधन और मालिक एक प्रक्रिया दृष्टिकोण का उपयोग करके प्रबंधन प्रणाली के निर्माण पर ध्यान देंगे, प्रतिस्पर्धियों से आगे निकलने और विशिष्ट "बढ़ते दर्द" की घटना को रोकने की संभावना उतनी ही अधिक होगी। ” विशेष व्यवसाय मॉडलिंग सॉफ़्टवेयर का उपयोग करते समय प्रबंधन प्रणाली का डिज़ाइन, उसका कार्यान्वयन और उसके बाद उचित कामकाज बहुत सरल हो जाता है।

लोग अक्सर हमसे यह पूछना भूल जाते हैं कि हम व्यावसायिक प्रक्रियाओं को इतना पसंद क्यों करते हैं और प्रक्रिया प्रबंधन की मदद से हम किन समस्याओं का समाधान करते हैं। हमारे ब्लॉग के इस पायलट लेख में, हम देखेंगे कि कैसे, एक व्यवसाय प्रक्रिया के एक मॉडल का उपयोग करके, आप किसी भी आकार के व्यवसाय के जीवन में कई व्यावहारिक समस्याओं को हल कर सकते हैं।

संगठनात्मक और स्टाफिंग संरचना

उदाहरण के तौर पर, आइए, यदि एक संघीय बैंक नहीं, तो कम से कम प्रति माह उत्पाद की एन इकाइयों की योजनाबद्ध बिक्री के लिए एक नई कंपनी का बिक्री विभाग बनाएं। एक विभाग को कर्मचारियों और एक बॉस की आवश्यकता होती है। इतनी मात्रा में उत्पाद बेचने के लिए कितने और किस प्रकार के कर्मचारियों और मालिकों की आवश्यकता है? यह अभी तक स्पष्ट नहीं है, मुझे एक मॉडल का खाका खींचना होगा। बीपी सिम्युलेटर बीपीएम सेवा के आगमन से पहले, इसे समुद्र तट की रेत, दीवारों और अन्य उपलब्ध प्लेटफार्मों पर किया जाना था।

मैन्युअल या स्वचालित पीढ़ी के लिए यह पहले से ही पर्याप्त है:

  • "बिक्री विभाग" प्रभाग पर विनियम
  • नियुक्ति योजना (9 कर्मचारी पद)
  • कर्मचारियों का नौकरी विवरण:
    • विभाग के प्रमुख
    • व्यक्तिगत प्रबंधक
    • बिक्री प्रबंधक
    • बैक ऑफिस विशेषज्ञ
और यदि आप संगठनात्मक संरचना और योग्यता मॉडल का एक मॉडल बनाते हैं, तो आप तुरंत बना सकते हैं:
  • कार्मिक खोज के लिए रिक्तियां (4 भूमिकाएँ)
  • प्रशिक्षण योजना (4 भूमिकाओं के लिए 9 कर्मचारी)

सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन के लिए व्यावसायिक आवश्यकताओं का गठन

हमने संसाधन तैयार कर लिए हैं, हमें टूल-सॉफ्टवेयर के बारे में सोचने की जरूरत है। आईटी विभाग के प्रोजेक्ट मैनेजर को खुशी होगी यदि, विरोधाभासी साक्षात्कारों की एक श्रृंखला के बजाय, आप उसे भविष्य की व्यावसायिक प्रक्रिया का अधिक विस्तृत मॉडल देंगे। तो यहाँ यह है, हमने कार्य करने के लिए इनपुट/आउटपुट और संसाधन जोड़े हैं:

आवश्यकताएँ कार्यों के अनुक्रम का अधिक विस्तार से वर्णन कर सकती हैं, उदाहरण के लिए "ग्राहकों को आकर्षित करना":

  1. ग्राहकों की सूची आयात की जा रही है
  2. कॉल करने के लिए ग्राहकों की सूची को प्राथमिकता देना
  3. स्वचालित ग्राहक डायलिंग
  4. संपर्क परिणाम रिकॉर्ड करना
ऐसी आवश्यकताओं के आधार पर, सॉफ़्टवेयर को लागू करने की व्यवहार्यता का आकलन किया जा सकता है।

परिचालन खर्च

क्या आपने सॉफ़्टवेयर लाइसेंस के लिए पूंजीगत व्यय पर निर्णय लिया है, लेकिन परिचालन व्यय के बारे में क्या? उत्पाद की लागत में लागत के हिस्से का लागत विश्लेषण करना आवश्यक है। आइए अपने मॉडल को संसाधनों की लागत के साथ पूरक करें (या पहले बनाए गए संगठनात्मक मॉडल को पेरोल सॉफ़्टवेयर के डेटा के साथ लिंक करें)।

इतना सरल? अब हाँ, लेकिन पहले, इस तरह के विश्लेषण को करने के लिए संचालन विशेषज्ञों, उत्पाद विशेषज्ञों, प्रौद्योगिकीविदों, फाइनेंसरों और कार्मिक अधिकारियों को शामिल करना आवश्यक था। यदि लागत चालक के निर्माण के दौरान प्रक्रिया ही बदल जाती है, तो पूरी गणना फिर से शुरू करनी पड़ती है।

कार्यान्वयन अनुसूची

ऐसा प्रतीत होता है कि व्यावसायिक प्रक्रिया के निष्पादन के लिए नियमों को तैयार करना आसान हो सकता है, ताकि नीचे स्कार्फ (मेथडोलॉजिस्ट) में एक चाची को कार्य दिया जा सके, समझाया जा सके, प्रार्थना की जा सके और कुछ महीनों तक इंतजार किया जा सके जब तक कि पैदा हुए नियम सामने न आ जाएं। दर्द। हो सकता है, अगर आपको याद हो कि मॉडल और नियम दोनों एक ही इकाई के अलग-अलग रूप हैं। हमारा मॉडल लें और ऊपर से नीचे तक अपनी उंगली या कर्सर का उपयोग करें:

हम पाते हैं:

हर दिन, दस्तावेज़ "कॉल करने के लिए ग्राहकों की सूची" प्राप्त होने पर, व्यक्तिगत प्रबंधक "सीआरएम" सॉफ़्टवेयर टूल का उपयोग करके नियामक दस्तावेज़ "कॉलिंग के लिए निर्देश" के अनुसार "ग्राहकों को आकर्षित करने" का कार्य करता है। फ़ंक्शन निष्पादित करने के परिणामस्वरूप, "कॉल परिणाम" दस्तावेज़ भरना होगा। "ग्राहक आकर्षण" फ़ंक्शन के लिए मानक निष्पादन समय 00:30:00 है।
यदि, "ग्राहकों को आकर्षित करने" फ़ंक्शन को निष्पादित करने के परिणामस्वरूप, "ग्राहक ने प्रस्ताव स्वीकार कर लिया" घटना घटित हुई... आदि।

कलाकार और नियंत्रक दोनों के लिए समझने योग्य सभी वर्तमान और पूर्ण नियम तैयार हैं, उन्हें हस्ताक्षर के लिए लाएँ।

प्रयोगों का संचालन करना

युद्ध की परिस्थितियों में प्रयोग बहुत महंगे होते हैं। यदि शुक्रवार को कार्य दिवस छोटा कर दिया जाता है, मुख्य विशेषज्ञ अप्रत्याशित रूप से बुधवार को मातृत्व अवकाश पर चला जाता है, और 8 मार्च को फूल विक्रेता भौतिक रूप से कितना बेचने में सक्षम होंगे, तो हम कैसे पता लगा सकते हैं कि प्रक्रिया कैसे व्यवहार करेगी? ऐसा करने के लिए, हमें अपनी प्रक्रिया के मॉडल को एक सिमुलेशन वातावरण में रखना होगा जो वास्तविक के जितना करीब हो सके।

व्यवसाय प्रक्रिया मॉडल के अलावा, आपको बाहरी वातावरण के एक मॉडल की आवश्यकता होगी, लेकिन आपको बस यह जानना होगा कि प्रक्रिया का उदाहरण कितनी बार चलता है और कौन सी घटनाएं इसके निष्पादन को प्रभावित करती हैं। उदाहरण के लिए, दिन के दौरान कॉल सेंटर को औसतन हर 5 मिनट में एक इनकमिंग कॉल प्राप्त होती है।

सिम्युलेटर व्यवसाय प्रक्रिया मॉडल में मात्रा में और जब तक आवश्यक हो तब तक कार्यों को लॉन्च करेगा। और पूरा होने पर, आपके पास निर्णय लेने के लिए आवश्यक सिमुलेशन परिणाम रह जाएंगे जैसे कि प्रक्रिया वास्तव में आवश्यक समय के लिए चली हो।

स्थैतिक मॉडल के विपरीत, सिमुलेशन परिणाम दिखाते हैं कि कर्मचारी 8 घंटे से अधिक काम नहीं करते हैं, उनके कार्यों को पुनर्निर्धारित किया जाता है और उनकी बारी पूरी होने या उपलब्ध संसाधनों की प्रतीक्षा की जाती है, जिससे अनुमानित उत्पादकता डेटा वास्तविक के करीब आ जाता है।

निष्कर्ष

ऊपर वर्णित मॉडल के अनुप्रयोग के सभी उदाहरण वास्तविक, अक्सर लागू और सुलभ हैं। इसके अलावा, बीपी मॉडल का उपयोग करके, कम तुच्छ कार्यों को आसानी से हल किया जा सकता है: एक जोखिम मानचित्र तैयार करना, गुणवत्ता प्रबंधन रूपरेखा और दुबले उत्पादन के लिए दोषों के स्रोतों का विश्लेषण करना। सूचीबद्ध परिणाम उत्पन्न करने के लिए केवल एक प्रक्रिया का मॉडल होने से बहुत सारे मानव-घंटे की बचत होती है; यदि प्रक्रिया बदलती है, तो मॉडल में परिवर्तन करके परिणाम अपडेट करना भी उतना ही आसान है। हम दिनचर्या में समय बर्बाद करने के लिए बहुत आलसी हैं, इसलिए हम प्रक्रियाओं को पसंद करते हैं और हमें उम्मीद है कि आप भी ऐसा करेंगे।

यहां हमारे ब्लॉग की सदस्यता लें और आपको पता चल सकता है:

  • व्यावसायिक प्रक्रियाओं की सही पहचान कैसे करें ताकि परियोजना की सीमाएँ न बढ़ें
  • यदि सिमुलेशन पूरा होने तक सिम्युलेटेड प्रक्रिया बदल जाती है तो क्या करें
  • किसी प्रक्रिया की रिवर्स इंजीनियरिंग कठिन और कानूनी नहीं है, मॉडल की तलाश और भी बहुत कुछ।
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अमूर्त

गणित - अनुभूति की भाषा एमऔर रा


परिचय

मॉडलों की आवश्यकता क्यों है?

वहाँ मॉडल क्या हैं?

मॉडल अध्ययन कैसे संचालित किये जाते हैं?

साहित्यकार


परिचय

प्राकृतिक विज्ञान के विकास के वर्तमान चरण की विशेषता इसकी सभी शाखाओं में गणित के विचारों और विधियों की व्यापक पैठ है। गणित, रहस्य के प्रभामंडल में डूबा हुआ विज्ञान होने से, तेजी से एक सामान्य अनुसंधान उपकरण में बदल रहा है, जिसके उपयोग की आवश्यकता ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में विशेषज्ञों की बढ़ती संख्या द्वारा महसूस की जा रही है।

गणित सामान्य संस्कृति का एक तत्व था, है और रहेगा। लेकिन अगर इस क्षमता में यह पहले कम संख्या में समर्पित लोगों के पास था, तो अब, विशेष रूप से इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर (कंप्यूटर) के आगमन के साथ, वैज्ञानिक और तकनीकी प्रगति में वस्तुनिष्ठ रुझान गणितीय तरीकों को नियोजित लोगों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए उपलब्ध कराते हैं। विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्र।

मानव ज्ञान के हालिया गहन गणितीकरण का क्या कारण है?

पृथ्वी पर सभ्यता के विकास का पूरा इतिहास संख्या और माप के विचारों से ओत-प्रोत है। जैसे-जैसे हम लोगों के आसपास के प्राकृतिक वातावरण के बारे में तथ्यों के संचय से संगठित ज्ञान की ओर बढ़े, सटीकता अधिक से अधिक आवश्यक हो गई। ऐसे तरीकों की आवश्यकता थी जो हमारे आस-पास की दुनिया के बारे में विचार तैयार करते समय इस सटीकता को सुनिश्चित कर सकें। इस तरह गणित का उदय हुआ और इस तरह इसने उन सभी मामलों में प्रमुख स्थान ले लिया जहां सटीकता और स्पष्ट निर्णय की आवश्यकता थी।

अस्तित्व और सुधार के कई हजार वर्षों में, गणित ने अमूर्तता की एक विशेष भाषा विकसित की है, जो हमें प्रकृति में सबसे विविध वस्तुओं और प्रक्रियाओं के विवरण को एक एकीकृत रूप में लाने की अनुमति देती है। इसलिए, यह माना जाता है कि कोई भी विज्ञान "सटीक" रैंक तभी प्राप्त करता है जब वह विश्लेषण के सार्वभौमिक तरीकों की इस प्रणाली का पर्याप्त रूप से उपयोग करता है, सख्त अवधारणाओं की एक अच्छी तरह से विकसित प्रणाली विकसित करता है जो इसे व्यापक सैद्धांतिक सामान्यीकरण और भविष्यवाणियां करने की अनुमति देता है। इस पथ पर, सबसे महत्वपूर्ण चरणों में से एक जो विज्ञान को सटीक विज्ञान की श्रेणी में स्थानांतरित करता है वह गणितीय मॉडलिंग है।

मॉडलों की आवश्यकता क्यों है?

इस प्रश्न का उत्तर देने से पहले, यह परिभाषित करना आवश्यक होगा कि मॉडल क्या है। हालाँकि, हम चीजों को अलग तरीके से करेंगे। सबसे पहले, हम कुछ उदाहरण देंगे जो "मॉडल" की अवधारणा का सहज विचार बनाने में मदद करेंगे, और उसके बाद ही हम एक परिभाषा देंगे।

एक वास्तुकार एक ऐसी इमारत बनाने की तैयारी कर रहा है जो पहले कभी नहीं देखी गई। लेकिन इसे खड़ा करने से पहले, वह यह देखने के लिए कि यह कैसी दिखेगी, एक मेज पर ब्लॉकों से इमारत का निर्माण करता है। यह एक मॉडल है.

किसी नए विमान को उत्पादन में लगाने से पहले, इसे एक पवन सुरंग में रखा जाता है और, उपयुक्त सेंसर का उपयोग करके, संरचना पर विभिन्न स्थानों पर उत्पन्न होने वाले तनाव की भयावहता निर्धारित की जाती है। यह एक मॉडल है.

आप जब तक चाहें मॉडलों के उदाहरण सूचीबद्ध कर सकते हैं। आइए ऐसा न करें, बल्कि यह समझने की कोशिश करें कि पहले से दिए गए उदाहरणों में उनकी भूमिका क्या है।

बेशक, एक वास्तुकार घनों के साथ पहले प्रयोग किए बिना एक इमारत का निर्माण कर सकता है। लेकिन...उन्हें यकीन नहीं है कि इमारत काफी अच्छी दिखेगी। यदि यह बदसूरत हो जाता है, तो कई वर्षों के बाद यह अपने निर्माता के लिए एक मूक निंदा के रूप में काम करेगा, क्यूब्स के साथ प्रयोग करना बेहतर होगा;

निःसंदेह, आप यह जाने बिना कि विमान के पंखों में क्या तनाव उत्पन्न होता है, उत्पादन में लगा सकते हैं। लेकिन... ये तनाव, यदि वे काफी बड़े हो गए, तो विमान के विनाश का कारण बन सकते हैं। बेहतर होगा कि पहले विमान की जांच पवन सुरंग में की जाए।

दिए गए उदाहरणों में, किसी वस्तु की तुलना किसी अन्य वस्तु से की जाती है जो उसे प्रतिस्थापित करती है: एक वास्तविक इमारत घनों से बनी एक इमारत है; धारावाहिक विमान - पवन सुरंग में एक एकल विमान। और साथ ही, यह माना जाता है कि कुछ संपत्ति (गुण) मूल वस्तु से उसके प्रतिस्थापन में संक्रमण के दौरान संरक्षित होती है, या कम से कम हमें मूल संपत्ति का न्याय करने की अनुमति देती है।

हालाँकि घनों से बनी इमारत असली इमारत से बहुत छोटी है, लेकिन इससे हम इस इमारत की शक्ल-सूरत का अंदाज़ा लगा सकते हैं। हालाँकि पवन सुरंग में हवाई जहाज़ उड़ान नहीं भरता है, लेकिन उसके शरीर में उत्पन्न होने वाला तनाव उड़ान की स्थितियों के अनुरूप होता है।

इतना सब कहने के बाद यह परिभाषा स्पष्ट हो जाती है।

एक मॉडल एक भौतिक या मानसिक रूप से कल्पना की गई वस्तु है, जो अनुभूति (अध्ययन) की प्रक्रिया में, मूल वस्तु को प्रतिस्थापित करती है, इसकी कुछ विशिष्ट विशेषताओं को संरक्षित करती है जो इस अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण हैं।

प्राचीन काल से, जटिल प्रक्रियाओं, घटनाओं का अध्ययन करते समय, नई संरचनाओं को डिजाइन करते समय, आदि। एक व्यक्ति मॉडल लागू करता है. एक अच्छी तरह से निर्मित मॉडल आमतौर पर वास्तविक वस्तु की तुलना में अनुसंधान के लिए अधिक सुलभ होता है। इसके अलावा, कुछ वस्तुओं का सीधे अध्ययन नहीं किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, शैक्षिक उद्देश्यों के लिए किसी देश की अर्थव्यवस्था के साथ प्रयोग अस्वीकार्य हैं; अतीत के साथ या कहें तो सौर मंडल के ग्रहों आदि के साथ प्रयोग मौलिक रूप से असंभव हैं।

मॉडल का एक और समान रूप से महत्वपूर्ण उद्देश्य यह है कि इसकी मदद से, किसी वस्तु के कुछ गुणों को बनाने वाले सबसे महत्वपूर्ण कारकों की पहचान की जाती है, क्योंकि मॉडल स्वयं मूल वस्तु की केवल कुछ बुनियादी विशेषताओं को दर्शाता है।

मॉडल आपको यह सीखने की भी अनुमति देता है कि इस ऑब्जेक्ट के मॉडल पर विभिन्न नियंत्रण विकल्पों का परीक्षण करके किसी ऑब्जेक्ट को ठीक से कैसे नियंत्रित किया जाए। इन उद्देश्यों के लिए किसी वास्तविक वस्तु के साथ प्रयोग करना, सर्वोत्तम रूप से, असुविधाजनक है, और अक्सर कई कारणों से हानिकारक या असंभव भी होता है (प्रयोग की लंबी अवधि, वस्तु को अवांछनीय और अपरिवर्तनीय स्थिति में लाने का जोखिम, वगैरह।)

यदि अध्ययन की वस्तु में गतिशील विशेषताएं हैं, अर्थात। समय-निर्भर विशेषताओं के साथ, विभिन्न कारकों के प्रभाव में ऐसी वस्तु की स्थिति की गतिशीलता की भविष्यवाणी करने का कार्य विशेष महत्व प्राप्त करता है। इस समस्या को हल करने में एक मॉडल का उपयोग भी अमूल्य सहायता प्रदान कर सकता है। तो, संक्षेप में, हम कह सकते हैं कि मॉडल की आवश्यकता है:

सबसे पहले, यह समझने के लिए कि एक विशिष्ट वस्तु (प्रक्रिया) कैसे संरचित है, इसकी संरचना, मूल गुण, विकास के नियम और बाहरी दुनिया के साथ बातचीत क्या है;

दूसरे, यह सीखने के लिए कि किसी वस्तु (या प्रक्रिया) को कैसे प्रबंधित किया जाए और दिए गए लक्ष्यों और मानदंडों के लिए प्रबंधन के सर्वोत्तम तरीकों का निर्धारण किया जाए;

तीसरा, वस्तु पर दिए गए तरीकों और प्रभाव के रूपों के कार्यान्वयन के प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष परिणामों की भविष्यवाणी करना।

अब तक हमने काफी सामान्य शब्दों में मॉडलों के उपयोग के बारे में बात की है। उदाहरण के लिए, जीव विज्ञान के संबंध में इस समस्या को ठोस रूप देते हुए, हम देखेंगे कि ऊपर सूचीबद्ध उद्देश्य जिनके लिए मॉडल की आवश्यकता है वही बने रहेंगे। मान लीजिए कि आप यह समझना चाहते हैं कि पेड़ों के बढ़ने की प्रक्रिया कैसे आगे बढ़ती है। उन कारकों को सूचीबद्ध करना संभव है जो इस प्रक्रिया के पाठ्यक्रम को निर्धारित करते हैं, लेकिन यह पूरी समझ प्रदान नहीं करता है। लेकिन अगर यह दिखाया जाए कि ये कारक कैसे, क्या और किस हद तक प्रभावित करते हैं, यानी वृक्ष वृद्धि मॉडल बनाया जाए, तो समझ आएगी।

या मान लें कि एक केमोस्टेट को नियंत्रित करना आवश्यक है - सूक्ष्मजीवों की खेती के लिए एक उपकरण (प्रवाह दर को नियंत्रित करना, आने वाले पोषक तत्व शोरबा की एकाग्रता का चयन करना, आदि) ताकि आउटपुट पर माइक्रोबियल आबादी का सबसे बड़ा द्रव्यमान प्राप्त किया जा सके। एक निश्चित निश्चित समय. केवल केमोस्टेट के गणितीय मॉडल का उपयोग करके ही कोई कम-से-परफेक्ट परीक्षण-और-त्रुटि विधि से बच सकता है।

यह समझना बहुत ज़रूरी है कि एक वस्तु के साथ एक नहीं, बल्कि कई मॉडल जुड़े हो सकते हैं। इस संबंध में, स्वाभाविक रूप से प्रश्न उठता है - इनमें से कौन सा सर्वश्रेष्ठ है? यह एक कठिन प्रश्न है, और हम भविष्य में कई बार इस पर लौटेंगे। अभी के लिए, हम केवल यह नोट करते हैं कि मॉडल की गुणवत्ता किए जा रहे शोध में उसकी भूमिका से निर्धारित होती है। शायद यह शोधकर्ता के सामने आने वाले सवालों के जवाब दे सकता है - मॉडल अच्छा है। यदि ऐसा नहीं हो सकता, तो इसका मतलब है कि यह इस अध्ययन के लिए ख़राब है।

एक अच्छे मॉडल में, एक नियम के रूप में, एक अद्भुत संपत्ति होती है: इसका अध्ययन मूल वस्तु के बारे में कुछ नया ज्ञान प्रदान करता है। यह हैएच सशर्त रूप से, एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति जो मॉडल बनाने और अध्ययन करने में शामिल लोगों के लिए एक आकर्षक भूमिका निभाती है

वहाँ मॉडल क्या हैं?

किसी मॉडल के निर्माण की प्रक्रिया को मॉडलिंग कहा जाता है।ऐसी कई मॉडलिंग तकनीकें हैं जिन्हें सशर्त रूप से दो बड़े समूहों में जोड़ा जा सकता है: सामग्री (विषय) और आदर्श मॉडलिंग।

सामग्री विधियों में वे मॉडलिंग विधियाँ शामिल हैं जिनमें अनुसंधान को एक मॉडल के आधार पर पुनरुत्पादित किया जाता हैमैं अध्ययन की जा रही वस्तु की बुनियादी ज्यामितीय, भौतिक, गतिशील और कार्यात्मक विशेषताएं। मुख्यएस हमारे प्रकार के सामग्री मॉडलिंग भौतिक और एनालॉग मॉडल हैंऔर घूम रहे हैं.

भौतिक मॉडलिंग को आमतौर पर मॉडलिंग कहा जाता है, जिसमें किसी वास्तविक वस्तु की तुलना उसके बढ़े हुए या बुद्धिमान से की जाती हैबी एक मुद्रित प्रति जो अनुसंधान की अनुमति देती है (आमतौर पर प्रयोगशाला में)हे मूल्यांकन की स्थिति) मोड से अध्ययन की गई प्रक्रियाओं और घटनाओं के गुणों के बाद के हस्तांतरण की सहायता सेसमानता के सिद्धांत के आधार पर वस्तु पर। यहां भौतिक मॉडल के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: खगोल विज्ञान में - एक तारामंडल, हाइड्रोलिक इंजीनियरिंग में - नदियों और जलाशयों का अनुकरण करने वाले पानी के साथ ट्रे, वास्तुकला में - भवन मॉडल, विमान इंजीनियरिंग में - विमान के मॉडल, इलेक्ट्रॉनिक्स मेंहे लॉजी - जलीय पारिस्थितिक तंत्र आदि का अनुकरण करने वाले जलीय जीवों वाले एक्वैरियम।

एनालॉग मॉडलिंग उन प्रक्रियाओं और घटनाओं की सादृश्यता पर आधारित है जिनकी भौतिक प्रकृति अलग-अलग होती है, लेकिन औपचारिक रूप से (समान गणितीय विधि द्वारा) उनका वर्णन एक ही तरह से किया जाता हैइ चीनी समीकरण, तार्किक सर्किट, आदि)। अधिकांशहे एक अच्छा उदाहरण समान अंतर द्वारा वर्णित विद्युत सर्किट का उपयोग करके यांत्रिक कंपन का अध्ययन हैहमारे समीकरणों के साथ है.

ध्यान दें कि दोनों प्रकार की सामग्री में घटना के मॉडल मॉडलिंग करते हैंमैं मूल वस्तु का भौतिक प्रतिबिंब थे और उनके ज्यामितीय, भौतिक और अन्य विशेषताओं के साथ जुड़े हुए थे, और अनुसंधान प्रक्रिया मॉडल पर भौतिक प्रभाव से निकटता से संबंधित थी, यानी। इसमें उसके साथ एक पूर्ण-स्तरीय प्रयोग शामिल था। इस प्रकार, भौतिक मॉडलिंग प्रकृति में प्रयोगात्मक है।ई तोड.

आदर्श मॉडलिंग विषय मॉडलिंग से मौलिक रूप से भिन्न है, जो सामग्री पर आधारित नहीं हैबी एक वस्तु और एक मॉडल की सादृश्यता, और एक आदर्श सादृश्य पर, हमलीमा के साथ.

आदर्श मॉडलिंग प्रकृति में सैद्धांतिक है। आदर्श मॉडलिंग दो प्रकार की होती है: सहज और प्रतिष्ठित। सहज ज्ञान से हमारा तात्पर्य सहज प्रतिनिधित्व पर आधारित मॉडलिंग से है।वी शोध की किसी वस्तु के बारे में ज्ञान जिसे औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता या जिसकी आवश्यकता नहीं है। इस अर्थ में, उदाहरण के लिए, प्रत्येक व्यक्ति के जीवन के अनुभव को उसका सहज ज्ञान युक्त एम माना जा सकता हैहे आसपास की दुनिया का हिस्सा.

मॉडलिंग जो उच्च-गुणवत्ता का उपयोग करती हैअधिकांश मॉडलों में, किसी भी प्रकार के हस्ताक्षरित परिवर्तन: схहम, ग्राफ़, चित्र, सूत्र, प्रतीकों के सेट इत्यादि, साथ ही कानूनों का एक सेट भी शामिल करते हैं जिसके द्वारा आप चयनित साइन संरचनाओं और उनके इलेक्ट्रॉनिक के साथ काम कर सकते हैंई पुलिस.

साइन मॉडलिंग का सबसे महत्वपूर्ण प्रकार मैट हैगणितीय मॉडलिंग, जिसमें किसी वस्तु का अध्ययन गणित की भाषा में तैयार किए गए मॉडल के माध्यम से किया जाता है, कुछ गणित का उपयोग करकेऔर तार्किक तरीके.

गणितीय मॉडलिंग का एक उत्कृष्ट उदाहरण आई. न्यूटन द्वारा साधनों की यांत्रिकी के बुनियादी नियमों का विवरण और अध्ययन हैएक मील गणित.

गणित अन्य विज्ञानों को कैसे सम्मिलित करता है?

अनादि काल से मनुष्य अपने आस-पास की दुनिया को पहचानता रहा है। सभ्यता के आरंभ में यह प्रक्रिया स्वतःस्फूर्त रूप से आगे बढ़ी। जहां तकपी ज्ञान, उन्हें पी के साथ व्यवस्थित करना उचित साबित हुआहे कुछ संरचनाओं की शक्ति - इस प्रकार विभिन्न विज्ञानों का उदय हुआ। एक विज्ञान के ढांचे के भीतर, कोई भी ज्ञान एकत्र नहीं किया गया था, बल्कि केवल वही था जो इस विज्ञान से संबंधित था। यह रहाविशेष रूप से इस विज्ञान से संबंधित नया ज्ञान प्राप्त करने के तरीके आज़माए गए। इसके अलावा, प्राचीन दुनिया के वैज्ञानिक, जिन्होंने दुनिया की सभी विविधताओं का अध्ययन किया था, उनकी जगह बहुत अधिक विशिष्ट विशेषज्ञों ने ले ली, जो परिप्रेक्ष्य से दुनिया का अध्ययन करते हैं।और विशिष्ट विज्ञान के सिद्धांत. समय के साथ, विज्ञान की विशेषज्ञता इस स्तर तक पहुंच गई है, विज्ञान अपने विकास में इतना भिन्न हो गया है कि प्राप्त ज्ञान अक्सर एक के साथ होता हैहे दूसरे में पूरी तरह से समझ से बाहर। दरअसल, विभिन्न विज्ञानों के प्रतिनिधि अलग-अलग बातें करते हैंअन्य भाषाओं में.

आधुनिक विज्ञान में तथ्य जितने गहरे स्थापित होते हैं, उसकी भाषा जितनी अधिक विशिष्ट होती जाती है, दूसरे विज्ञान के प्रतिनिधियों और विशेषकर विज्ञान से दूर लोगों के लिए इसे समझना उतना ही कठिन होता है। यह घटना परेशान किए बिना नहीं रह सकती, क्योंकि कई लोगों के लिए यह दुनिया की एक व्यापक तस्वीर छिपाती है। सौभाग्य से, एकए हालाँकि मामला इतना भी निराशाजनक नहीं है. यह पता चला है कि एक ऐसी भाषा है जिसका उपयोग प्रतिनिधियों द्वारा किसी न किसी हद तक किया जाता हैऔर सभी विज्ञानों के तेली। यह भाषा गणित है. आइए उस पथ का पता लगाएं जिसके साथयह विषय विभिन्न प्रकार के विज्ञानों - जीव विज्ञान और मिट्टी - में प्रवेश करता हैरसायन विज्ञान और भूगोल में, भूविज्ञान और जल-मौसम विज्ञान में, साथ ही कई अन्य में।

कोई भी विज्ञान अपने विकास में कई चरणों से गुजरता है, जिसे शिक्षाविद् ए.डी. डोरोडनित्सिन का अनुसरण करते हुए, निम्नलिखित चित्र (चित्र 1) के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। आइए इस पर टिप्पणी करें।

स्वाभाविक रूप से, किसी भी विज्ञान का विकास उद्देश्यों से शुरू होता हैए तथ्यों का सही संचयन, सूचनाओं का संग्रह। चूँकि विज्ञान का कार्य साथ ही साथ प्रकृति के नियमों की व्याख्या करना भी हैतथ्यों के संचय के साथ ही उनका वर्गीकरण होता हैऔर स्टेमाटाइजेशन, वस्तुओं के बीच संबंध स्थापित करने का प्रयासको वहाँ और घटनाएँ. पहले तीन चरणों में से प्रत्येक में,हे जिसे एक साथ वर्णनात्मक के रूप में वर्णित किया जा सकता है, इसमें गणित के लिए एक जगह है। और सिर्फ एक जगह नहीं, बल्कि एक महत्वपूर्ण भूमिका! गणित में विकसित प्रयोगात्मक योजना पद्धति का उपयोग करके तथ्यों के संचय को महत्वपूर्ण रूप से तर्कसंगत बनाया जा सकता है।और सिपाही. आधुनिकता के बिना वस्तुनिष्ठ वर्गीकरण अकल्पनीय हैहे वें क्लस्टर विश्लेषण, पैटर्न पहचान सिद्धांत। खैर, जब अध्ययन की जा रही वस्तुओं या घटनाओं के बीच संबंधों की खोज की जाती है, तो सहसंबंधों के बिना कोई काम नहीं कर सकता है।मैं तर्कसंगत विश्लेषण और अन्य सांख्यिकीय तरीके।

वैज्ञानिक विकास की प्रक्रिया में नियमित रूप से ऐसी परिस्थितियाँ उत्पन्न होती हैं जब ज्ञानए विकास के वर्णनात्मक चरणों में संचित ज्ञान कुछ मुख्य या परिभाषित मूल्यों की पहचान करना संभव बनाता हैऔर हम। इन मात्राओं का सफल चयन अत्यंत महत्वपूर्ण हैविभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल के निर्माण की संभावना पैदा करने के लिए वर्णनात्मक ज्ञान से सटीक ज्ञान की ओर बढ़ेंसाथ उल्लू, घटनाएँ। यह कहना कठिन है कि ऐसी स्थितियाँ कितनी बार उत्पन्न होती हैं, क्योंकि यह चरण परिभाषा की खोज से जुड़ा हैऔर रैंक, इसे औपचारिक रूप देना सबसे कठिन है और अभी के लिए और, जाहिर तौर पर, निकट भविष्य मेंसाथ एक वैज्ञानिक के अंतर्ज्ञान पर आधारित.

विज्ञान की प्रगति के लिए परिभाषित मात्राएँ स्थापित करने के महत्व का एक अच्छा उदाहरण भौतिकी द्वारा प्रदान किया गया है। आर्क के दिनों में वापसऔर प्रिये, पिंडों की गति से संबंधित बुनियादी अनुभवजन्य तथ्य वास्तव में ज्ञात थे। लेकिन पहे यह स्थापित करने में लगभग दो हजार साल और न्यूटन की प्रतिभा लगी कि बल और द्रव्यमान को जोड़ने वाली परिभाषित मात्रा त्वरण हैगति, गति नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था। और तभी न्यूट के नियम प्रकट हुएहे बाहरी ताकतों के प्रभाव में पिंडों की गति के बारे में सटीक ज्ञान प्रदान करना।

अब यह स्पष्ट है कि वह चरण जो विज्ञान की श्रेणी में संक्रमण का ताज पहनाता हैएच nykh - गणितीय मॉडलिंग - "दो स्तंभों" पर आधारित है: परिभाषित मात्राओं और विशिष्ट तथ्यों का ज्ञानटी विज्ञान, भाषा का ज्ञान और गणित के तरीके, किसी को मॉडल बनाने की अनुमति देते हैं। केवल दोनों प्रकार के ज्ञान की उपस्थिति ही एक वैज्ञानिक को विकास के इस चरण में उत्पादक रूप से काम करने की अनुमति दे सकती है।और तिया विज्ञान.

एक विद्यार्थी को किस प्रकार का गणितीय ज्ञान होना चाहिए?हे क्या अस्थायी वैज्ञानिक गणितज्ञ नहीं है? वे काफी व्यापक हैं. इसीलिए इस पुस्तक में पाठक को गणित के तत्व मिलेंगेविश्लेषणात्मक विश्लेषण और बीजगणित, सेट सिद्धांत और असतत गणितविषय, विभेदक समीकरण, संभाव्यता सिद्धांत और आँकड़े। उनका अध्ययन करके वह उस भाषा से परिचित हो जायेगाहे गणितीय मॉडल लिखे गए हैं। लेकिन परिचित होने का मतलब भाषा पर सच्ची महारत नहीं है। इस पाठ्यपुस्तक में उदाहरणात्मक मॉडलों का एक बड़ा सेट शामिल हैएच वे पाठक को गणितीय मॉडल बनाने में अनुभव प्राप्त करने की अनुमति देंगे, और उन्हें "एक नई भाषा बोलने" की अनुमति देंगे।

आइए एक टिप्पणी करें. ऊपर हमने विकास के चरणों के बारे में बात कीऔर तिया विज्ञान. यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि, हमारे ज्ञान की सापेक्षता के कारण, एक-दूसरे की जगह लेने वाले चरण कभी समाप्त नहीं होते हैंऔर भिन्न हैं, लेकिन केवल एक दूसरे के पूरक हैं। चाहे कितना भी शह और मात होयह या वह विज्ञान परिपक्व है; यह हमेशा जानकारी एकत्र करना, उसे वर्गीकृत करना और देखी गई घटनाओं के बीच संबंधों की खोज करना जारी रखता है।

गणितीय मॉडल का वर्गीकरण

ऐसे मामले में, जब मॉडल की गई वस्तु (घटना, प्रणाली) के संबंध में, यह माना जाता है कि इसमें होने वाली प्रक्रियाएं नियतात्मक हैं और मॉडल के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले साधन भी नियतात्मक विश्लेषण के साधनों को संदर्भित करते हैं, हम कहेंगे कि मॉडल सापेक्ष हैहे नियतिवादी वर्ग के अंतर्गत आता है।

यदि मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट में होने वाली प्रक्रियाएं हैंएक यादृच्छिक (स्टोकेस्टिक) प्रकृति है, और उपयोग किए गए साधन हैंपर मॉडल का निर्माण करते समय नियतात्मक विश्लेषण से संबंधित को ध्यान में रखा जाता है, तो ऐसे मॉडल को नियतात्मक वर्ग के रूप में वर्गीकृत किया जाएगाऔर निरोवन्नी-स्टोकेस्टिक।

यदि मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट और मॉडलिंग टूल में दोनों प्रक्रियाएं स्टोकेस्टिक प्रकृति की हैं, तो मॉडल स्टोकेस्टिक के वर्ग से संबंधित हैई स्किख.

स्टोकेस्टिक मॉडलों में, सिमुलेशन मॉडल का वर्ग एक महत्वपूर्ण स्थान रखता है। इसे ही तुलना मॉडल कहा जाता हैमैं कोई वस्तु (प्रक्रिया, घटना) कैसे कार्य करती है इसके लिए एल्गोरिदमवानिया के बारे में

मॉडलिंग के लक्ष्य भी वर्गीकरण में योगदान करते हैं। यदि एमहे कुछ प्रक्रियाओं, घटनाओं का वर्णन करने के लिए डेल की आवश्यकता होती है, तो ऐसे मॉडल को वर्णनात्मक (वर्णन - वर्णन) कहा जाता हैऔर नी, अंग्रेजी)।

यदि किसी अर्थ में मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट को प्रबंधित करने का सबसे अच्छा तरीका खोजने के लिए मॉडल की आवश्यकता है (मान लें, यह निर्धारित करने के लिए कि हर साल पी के साथ "फसल" क्या एकत्र की जानी चाहिएहे एन वर्षों में "उपज" को अधिकतम करने के लिए जनसंख्या), तो ऐसा मॉडल अनुकूलन के वर्ग से संबंधित है n nykh.

यदि मॉडल हमें समय-स्वतंत्र प्रकृति निर्धारित करने की अनुमति देता हैऔर किसी वस्तु (प्रक्रिया, घटना) की टिक्स को स्थैतिक कहा जाता है। अन्यथा इसे गतिशील कहा जाता हैई स्कॉय.

निःसंदेह, एक ही मॉडल को विभिन्न कक्षाओं में शामिल किया जा सकता है, जो उस विशेषता पर निर्भर करता है जिसके आधार पर कक्षा संचालित की जाती हैऔर कल्पना.

मॉडल का संचालन कैसे किया जाता हैबी अनुसंधान

ऐसे शोध का आरंभिक बिंदु, उसका प्रारंभिक बिंदु किसी विशेष विषय क्षेत्र की एक निश्चित समस्या होती है।विज्ञान (जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, भूगोल, भूविज्ञान, आदि)। इस समस्या के लिए, एक गणितीय m का निर्माण किया गया हैहे डेल. मॉडल कैसे बनाया जाता है और यह कहां से आता है, इसके बारे में बात करने से पहले, आइए दो सामान्य टिप्पणियाँ करें।

प्रत्येक वस्तु (प्रणाली), जिसका मॉडल हम बनाते हैं, अपने कामकाज के दौरान कुछ कानूनों के अधीन होती है - जैविक, भौतिकऔर रसायन, रसायन, आदि। इसके अलावा, यह काफी संभव है, और यह ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि ये सभी नहींकानून आज हमें पहले से ही ज्ञात हो सकते हैं। हम मान लेंगे कि कानूनों का ज्ञान कुछ लक्षणों को जोड़ने वाले ज्ञात मात्रात्मक संबंधों को मानता हैप्रतिरूपित वस्तु (सिस्टम) के आँकड़े। इसे अलग ढंग से कहा जा सकता है, परिणामों को संसाधित करने के परिणामस्वरूप कानून तैयार किए जाते हैंमॉडलों की कुछ विशेषताओं के अवलोकन की प्रतिबद्धताऔर वस्तु (प्रणाली) को नियंत्रित किया जा रहा है।

प्रत्येक मॉडल एक विशिष्ट उद्देश्य के लिए बनाया जाता है - मॉडल किए गए ऑब्जेक्ट (सिस्टम) के बारे में प्रश्नों के एक निश्चित सेट का उत्तर देने के लिए। दूसरे शब्दों मेंहे आप, इस वस्तु (सिस्टम) के संबंध में प्रश्नों के एक निश्चित सेट में रुचि रखते हुए, हमें इस वस्तु को एक बहुत ही विशिष्ट "दृष्टिकोण" से देखना चाहिए। चुना गया "देखने का कोण" काफी हद तक हैमॉडल की पसंद साझा करता है।

इन सामान्य टिप्पणियों के बाद, आइए प्रक्रिया के विवरण पर आगे बढ़ें।साथ किसी वस्तु का गणितीय मॉडल बनाने के लिए (साथ में)और तने)। इसे निम्नलिखित चरणों से युक्त माना जा सकता है:

1. सिस्टम के व्यवहार के बारे में बुनियादी प्रश्न बनते हैं, उनके उत्तर मिलते हैंहे जिसे हम मॉडल का उपयोग करके प्राप्त करना चाहते हैं।

2. सिस्टम के व्यवहार को नियंत्रित करने वाले कई कानूनों में से, उत्तर की खोज करते समय जिनका प्रभाव महत्वपूर्ण होता है, उन्हें ध्यान में रखा जाता हैपूछे गए प्रश्नों के लिए टीओवी (यहां एम की कलाओ डेलेरा)।

3. इन कानूनों के अलावा, यदि आवश्यक हो, तो संपूर्ण प्रणाली या उसके अलग-अलग हिस्सों के लिए परिभाषाएँ तैयार की जाती हैं।इ कार्यप्रणाली के बारे में आधारित परिकल्पनाएँ। एक नियम के रूप में, ये परिकल्पनाएँ हैंदावे इस अर्थ में प्रशंसनीय हैं कि वे किये जा सकते हैंजो इन्हें अपनाने के पक्ष में सैद्धांतिक तर्क हैं। (यहां फैशन डिजाइनर की कला और मॉडलिंग सिस्टम के कामकाज में विशेषज्ञ दोनों प्रकट होते हैं।और तने)।

4. परिकल्पनाएँ, कानूनों की तरह, परिभाषाओं के रूप में व्यक्त की जाती हैंविभाजित गणितीय संबंध जो एम के कुछ औपचारिक विवरण में संयुक्त हैंव्यापार के बारे में.

अगले अध्यायों में पाठक को उदाहरण, दृष्टान्त मिलेंगेऔर गणितीय मॉडल के निर्माण के उपरोक्त सभी चरणों को हल करना।

लेकिन मॉडल तो बनने दीजिए. मुझे क्या करना चाहिए?क्या चल रहा है?

अगले चरण में, निर्मित प्रणाली को विकसित या उपयोग किया जाता हैएन इस मॉडल का विश्लेषण करने के लिए यहां एक एल्गोरिदम है। यदि मॉडल और एल्गोरिदम मेल नहीं खातेडब्ल्यू com जटिल हैं, तो मॉडल का विश्लेषणात्मक अध्ययन संभव हो सकता है। अन्यथा, एक प्रोग्राम संकलित किया जाता है जो इस एल्गोरिदम को कंप्यूटर पर लागू करता है। पीहे कंप्यूटर पर मॉडल का उपयोग करके गणना करने के बाद, उनके परिणामों की तुलना आवश्यक रूप से कंप्यूटर से प्राप्त वास्तविक जानकारी से की जाती है।हे संबंधित विषय क्षेत्र. मॉडल की पर्याप्तता सुनिश्चित करने के लिए यह तुलना आवश्यक है, कि एमहे समझदार गणनाओं पर भरोसा किया जा सकता है, उनका उपयोग किया जा सकता है।

यदि यह पता चलता है कि गणना परिणामों का पी से कोई लेना-देना नहीं हैइ वास्तविक वास्तविकता, तो हमें निर्मित मॉडल पर लौटना चाहिए - शायद इसे मूंछों की आवश्यकता हैआर उन्नति. एल्गोरिथम और (या) कंप्यूटर प्रोग्राम में भी त्रुटियाँ हो सकती हैं। मैं इसे फिर से देखना जारी रखता हूंटी जब तक गणना के परिणाम शोधकर्ता को संतुष्ट न कर दें। मॉडल अब उपयोग के लिए तैयार है.वानिया के बारे में

जो कहा गया है उसे संक्षेप में बताने के लिए आइए निम्नलिखित पर ध्यान दें। गणितीय सूत्रों का सभी उपयोग शामिल नहीं हैहे गणितीय मॉडल की संरचना. ऐसे मामलों में जहां अध्ययन की जा रही घटना का एक सिद्धांत है, यहां तक ​​​​कि मौखिक स्तर पर भी, सूत्रों का उपयोग हमें सिद्धांत के गणितीय तंत्र का निर्माण करने की अनुमति देता है। और केवल तभी जब किसी निश्चित क्षेत्र में हमारे ज्ञान का स्तर किसी सिद्धांत के निर्माण के लिए अपर्याप्त हो, तो गणितीय औपचारिकता स्वतंत्र अर्थ प्राप्त करती हैज्ञान और भविष्य के सिद्धांत के रोगाणु के रूप में काम कर सकता है। साथ ही, नया ज्ञान न केवल विशेषज्ञों से उत्पन्न होता हैऔर वास्तविक घटनाओं का मानसिक अध्ययन, बल्कि गणितीय सूत्रों के विश्लेषण के माध्यम से भी। इस मामले में ही हम बात कर सकते हैंहे गणितीय मॉडल का निर्माण और अनुसंधान।

और निष्कर्ष में, आइए ध्यान दें कि न तो कंप्यूटर और न ही गणितीयहे डेल, न ही इसके अध्ययन के लिए अलग से एल्गोरिदम पर्याप्त रूप से जटिल प्रारंभिक समस्या को हल कर सकता है। केवल एक साथ (स्वाभाविक रूप से, एक मानव शोधकर्ता सहित) उन्होंने प्रस्तुति दीमैं उनमें वह शक्ति है जो हमें अपने आस-पास की दुनिया को पहचानने, अपनी बातचीत में इसे नियंत्रित करने की अनुमति देती हैई साह.

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जैसा कि ऊपर कहा गया है, ऐसे कई कारण हैं जिनकी वजह से राजनीतिक वैज्ञानिक गणितीय मॉडल का उपयोग करते हैं। हालाँकि, इस विधि के नुकसान और फायदे दोनों हैं। मॉडलिंग सरलीकरण और निगमनात्मक अनुमान की एक प्रक्रिया है। सरलीकरण में घटना के बारे में जानकारी का नुकसान शामिल है। निगमनात्मक अनुमान में अक्सर जटिल गणित शामिल होता है, जो कम से कम शुरुआत में, मॉडल के साथ काम करना कठिन बना देता है। इसलिए, मॉडलिंग के संबंध में, एक उचित प्रश्न उठता है: इन सभी जटिलताओं की आवश्यकता क्यों है?

पहला कारण जो हमें राजनीतिक व्यवहार को मॉडल बनाने के लिए प्रेरित करता है वह यह है कि यह मॉडल समाज में होने वाली घटनाओं को औपचारिक बनाने में मदद करता है। तथ्य यह है कि राजनीतिक जीवन इतना नियमित है कि सरलीकृत अनौपचारिक मॉडल से कुछ लाभ हो सकता है। राजनीति में आमतौर पर जो कुछ होता है, वह नहीं होता पूरी तरह से अप्रत्याशित है - वास्तव में, आश्चर्य के तत्व की उपस्थिति इंगित करती है कि हमारे पास इस बारे में पूर्व विचार हैं कि घटनाएं कैसे विकसित हो सकती हैं, और हम घटनाओं के अप्रत्याशित मोड़ के तथ्य को पहचानने में सक्षम हैं। इसका मतलब यह है कि हमारे दिमाग में एक तरह की चीज़ होती है राजनीतिक प्रणालियों के कामकाज के मानसिक मॉडल,भले ही हमने कभी उन्हें स्पष्ट रूप से व्यक्त करने का प्रयास नहीं किया हो। गणितीय मॉडल ऐसे अनौपचारिक मॉडलों की व्याख्या करने में मदद करते हैं।

मानसिक मॉडल का एक उदाहरण निम्नलिखित है. मान लीजिए कि आगामी राष्ट्रपति चुनाव में किसी एक उम्मीदवार को सभी वोटों का 95% प्राप्त होता है। जाहिर है, यह किसी भी तरह से संविधान या स्थापित चुनावी प्रक्रियाओं का खंडन नहीं करता है। हालाँकि, हम कई कारणों से ऐसे तथ्य को बेहद असंभाव्य मानने के इच्छुक होंगे। सबसे पहले, हम मानते हैं कि विशुद्ध रूप से यादृच्छिक मतदान परिणाम की संभावना को कम करने के लिए प्रत्येक पार्टी के पास पर्याप्त संख्या में मतदाता होंगे। दूसरे, हम यह मानते हैं कि कोई भी पार्टी इतने अलोकप्रिय उम्मीदवार को नामांकित नहीं करेगी कि वह केवल 5% वोट ही जुटा सके। तीसरा, हमारा मानना ​​है कि वोट बिना किसी धोखाधड़ी के गिने जाते हैं। हम और आगे बढ़ सकते हैं, लेकिन मुद्दा यह है कि अमेरिकी राजनीतिक व्यवस्था के संबंध में हमारी कई प्रारंभिक धारणाएं हैं, जिनके आलोक में वोटों का 5 और 95% में विभाजन हमारे लिए असंभव लगता है।

ऐसी सभी धारणाएँ वास्तविकता को सरल बनाती हैं। हम नहीं जानते कि मतदाताओं की सही संख्या क्या है, और हमें इसकी आवश्यकता नहीं है - हम बस इतना जानते हैं कि यह बहुत बड़ी है। हम नहीं जानते कि किसी उम्मीदवार की कौन सी विशिष्ट विशेषताएँ उसे कुछ मतदाताओं के लिए स्वीकार्य और दूसरों के लिए अस्वीकार्य बनाती हैं, लेकिन हम मानते हैं कि पूरी तरह से अलोकप्रिय उम्मीदवारों को मतदान के लिए नामांकित नहीं किया जाएगा। कुछ लोगों के पास वोटों की गिनती में व्यक्तिगत अनुभव यह जानने के लिए पर्याप्त है कि चुनाव निष्पक्ष रूप से आयोजित किए जा रहे हैं या नहीं, लेकिन पिछले सभी अनुभव यह मानने का कारण देते हैं कि चुनावों में धोखाधड़ी के लिए कोई जगह नहीं है। 2 . चूँकि ये धारणाएँ हमें अक्सर गलत निष्कर्ष पर नहीं ले जाती हैं, इसलिए हम इस मॉडल का उपयोग कर सकते हैं भविष्य की अनौपचारिक भविष्यवाणी के लिए राजनीतिक प्रणाली। वास्तव में, ऐसे मामले जहां किसी उम्मीदवार को 95% वोट मिलते हैं, वे आबादी के बीच मजबूत अविश्वास का कारण बनते हैं, कभी-कभी जांच की मांग तक भी, इसलिए हमारा मॉडल आंशिक रूप से लोगों के कार्यों और दृष्टिकोण को भी निर्धारित करता है।

गणितीय मॉडलिंग का उपयोग करने का एक अन्य कारण उन तंत्रों का स्पष्ट रूप से वर्णन करने की आवश्यकता है जो हमारी अनौपचारिक भविष्यवाणियों की व्याख्या करते हैं। हालाँकि सभी व्यक्ति जानते हैं कि किसी राजनीतिक व्यवस्था से क्या अपेक्षा की जा सकती है और क्या नहीं, वे अक्सर यह निर्धारित करने में असमर्थ होते हैं कि वास्तव में क्या क्योंऔर क्या वास्तव मेंवे उससे उम्मीद करते हैं. औपचारिक मॉडल अनौपचारिक मॉडल की मान्यताओं के अत्यधिक ढीले फॉर्मूलेशन को दूर करने और सटीक, और कभी-कभी सत्यापन योग्य, पूर्वानुमान देने में मदद करता है।

उपरोक्त उदाहरण डाउन्स मॉडल से लिया गया है, जिस पर हम इस अध्याय में बाद में चर्चा करेंगे। डाउन्स का औपचारिक मॉडल भविष्यवाणी करता है कि वैकल्पिक चुनावों के संदर्भ में कोई भी राजनीतिक दल अपने उम्मीदवारों और मंच का चयन इस तरह करेगा ताकि मतदाताओं की सबसे बड़ी संख्या को आकर्षित किया जा सके। यह और कुछ अतिरिक्त विचार हमें इस निष्कर्ष पर पहुंचाते हैं कि राजनीतिक दलों को चुनावों में लगभग समान संख्या में वोट प्राप्त करने की प्रवृत्ति होती है; यह बिल्कुल वही परिणाम है जो आमतौर पर अमेरिकी चुनावों में देखा जाता है। इस प्रकार, इस औपचारिक मॉडल ने न केवल भविष्यवाणी की कि 95:5 परिणाम की संभावना नहीं होगी, बल्कि यह भी कि 50:50 परिणाम की उम्मीद की जाएगी, जिसके लिए कुछ औचित्य दिया गया था।

कभी-कभी ऐसा लगता है कि गणितीय मॉडल केवल पहले से ही स्पष्ट चीजों की पुष्टि करते हैं। वास्तव में, यह किसी भी मॉडल की एक अभिन्न विशेषता है जहां तक ​​कि उनसे अपेक्षा की जाती है कि वे किसी न किसी हद तक रोजमर्रा की राजनीतिक वास्तविकता में होने वाली हर चीज को पुन: पेश करें। हालाँकि, लोगों को "स्पष्ट" का क्या अर्थ है, इसका बहुत अस्पष्ट विचार है। कई विरोधाभासी सूक्तियों पर विचार ("एक भेड़िया दूर से एक भेड़िये को महसूस करता है" और "चरम सीमाएँ मिलती हैं", "के साथ नज़रों से दूर, दिमाग़ से दूर" और "जितना नज़रों से दूर, दिल के उतना करीब", आदि) हमें विश्वास दिलाते हैं कि सामान्य ज्ञान अक्सर सही साबित होता है क्योंकि यह इतना अस्पष्ट होता है कि यह गलत हो ही नहीं सकता।



इसके विपरीत, औपचारिक मॉडलों की कठोरता का सटीक अर्थ यह है कि वे गलत हो सकते हैं, और परिणामस्वरूप, मॉडल का "खेल प्रदर्शन" कभी-कभी अधिक अस्पष्ट सामान्य ज्ञान से भी बदतर हो सकता है। हालाँकि, यह कोई कमज़ोरी नहीं है, बल्कि, इसके विपरीत, मॉडलिंग का एक फायदा है, क्योंकि मॉडल की धारणाएँ और भविष्यवाणियाँ जाँचने के लिए पर्याप्त सटीक होती हैं, साथ ही यह भी बताती हैं कि संभावित त्रुटि कहाँ और कैसे है घटित हुआ। जिस मॉडल ने इसे विकृत करने के कई प्रयासों का विरोध किया है, वह संभवतः भविष्य में भी सही भविष्यवाणियां करना जारी रखेगा। एक मॉडल जो बार-बार गलत भविष्यवाणियाँ देता है उसे स्पष्ट रूप से विचार से हटा दिया जाना चाहिए।

संक्षेप में, एक मॉडल केवल तभी उपयोगी होता है जब सैद्धांतिक रूप से यह प्रदर्शित करना संभव हो कि यह गलत है। यदि यह दिखाना असंभव है कि कोई मॉडल गलत है, तो यह साबित करना भी असंभव है कि वह सही है, और इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ऐसा मॉडल बेकार है। एक अनौपचारिक सहज ज्ञान युक्त मॉडल जो हमें सभी प्रकार की गलतियों से बचने की अनुमति देता है, बातचीत में एक बड़ी सामरिक सहायता हो सकती है, लेकिन यह हमें राजनीतिक व्यवहार के तंत्र को अधिक स्पष्ट रूप से समझने में मदद करने में असमर्थ है।

औपचारिक मॉडलों का तीसरा लाभ, सहज अंतर्ज्ञान या यहां तक ​​कि प्राकृतिक भाषा में सावधानीपूर्वक तर्क किए गए तर्कों की तुलना में, उच्च स्तर की जटिलता की संस्थाओं से व्यवस्थित रूप से निपटने की उनकी क्षमता है। प्राकृतिक भाषाएँ (जैसे अंग्रेजी) संचार के साधन के रूप में उभरीं, तार्किक अनुमान के साधन के रूप में नहीं। इसके विपरीत, गणित की कल्पना मूल रूप से तार्किक अनुमान और अवधारणाओं के व्यवस्थित हेरफेर के साधन के रूप में की गई थी। और अनुभव से पता चला है कि गणित इस संबंध में एक बहुत उपयोगी उपकरण है। राजनीतिक वैज्ञानिक, अपनी ओर से, अब यह महसूस करने लगे हैं कि राजनीतिक व्यवहार की अधिक गहन समझ के लिए मॉडलिंग क्या प्रदान कर सकती है, और कुछ मामलों में गणित की संपूर्ण शाखाएँ विकसित होनी थीं (सबसे उल्लेखनीय उदाहरण है गेम थ्योरी) इससे पहले कि सामाजिक वैज्ञानिक अलग-अलग प्रकार के सामाजिक व्यवहार में कुछ सामान्य देखने में सक्षम थे। सामाजिक व्यवहार का गणितीय मॉडलिंग 20 वर्ष से अधिक पुराना नहीं है, और अब तक यह मानने का कोई कारण नहीं है कि यह पहले ही अपने विकास की सीमा तक पहुँच चुका है।

अंत में, गणितीय मॉडलिंग का एक और लाभ यह है कि यह विभिन्न वैज्ञानिक विषयों को अपने अनुसंधान उपकरण और तकनीकों को साझा करने की अनुमति देता है। इसके कई उदाहरण दिए जा सकते हैं: राजनीति विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले मॉडल में न केवल बुनियादी गणितीय उपकरण शामिल होते हैं, बल्कि अर्थमिति, समाजशास्त्र और जीवविज्ञान से उधार ली गई कई तकनीकें भी शामिल होती हैं। सर्वेक्षण अनुसंधान - जो मूलतः जनसंख्या के विभिन्न समूहों के बीच जनमत के वितरण का एक जटिल गणितीय मॉडल है - अधिकांश सामाजिक विज्ञानों में उपयोग की जाने वाली एक व्यापक विधि है। उधार लेना विपरीत दिशा में भी होता है: वैश्विक सामाजिक-जनसांख्यिकीय प्रक्रियाओं के बड़े कंप्यूटर मॉडल विकसित करने वाले सिस्टम इंजीनियरों को राजनीतिक पहलुओं को स्पष्ट करने के लिए राजनीति विज्ञान मॉडल की ओर मुड़ने के लिए मजबूर होना पड़ा, और हाल ही में, अराजक व्यवहार के एक नए सिद्धांत पर काम कर रहे गणितज्ञों ने पाया कि रेस हथियारों का रिचर्डसन मॉडल (उदाहरण 1 देखें) उपरोक्त सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके बहुत ही उत्पादक विश्लेषण के लिए उपयुक्त है। इसी तरह, गेम थ्योरी मूल रूप से प्रतिस्पर्धा की घटना का विश्लेषण करने के लिए अर्थशास्त्रियों और राजनीतिक वैज्ञानिकों द्वारा विकसित की गई थी और बाद में शुद्ध गणित की एक शाखा बन गई।

विधियों और विचारों के अंतःविषय आदान-प्रदान को प्रोत्साहित करने के अलावा, गणितीय मॉडल भी उपयोगी हैं क्योंकि वे हमें उन घटनाओं की अंतर्निहित एकरूपता को देखने की अनुमति देते हैं जिनमें पहली नज़र में कुछ भी सामान्य नहीं है। निम्नलिखित उदाहरण, जो अपने आप में काफी मामूली है, इस प्रकार के सामान्यीकरण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है।

आइए एक साधारण खेल की कल्पना करें जिसमें दो खिलाड़ी बारी-बारी से 1 से 9 नंबर वाली टेबल से चिप्स लेते हैं:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

15 चिप्स इकट्ठा करने वाला पहला खिलाड़ी जीतता है जैसे ही आप यह गेम खेलते हैं, आप निस्संदेह पाएंगे कि इसकी अपनी तरकीबें हैं - विशेष रूप से, एक रक्षात्मक तकनीक के रूप में, आप टेबल से बिल्कुल वही चिप्स ले सकते हैं जो दूसरे खिलाड़ी को चाहिए। अंतिम राशि प्राप्त करें - लेकिन खेल की समग्र रणनीति पूरी तरह से स्पष्ट नहीं लगती है। खेल को सामान्य बनाने के लिए, हम चिप्स की संख्या को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

4 3 8 9 5 1 2 7 6

ध्यान दें कि इस अंकन में, प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण का योग वांछित परिणाम - 15 है। इस प्रकार, एक सफल गेम के लिए आपको संख्याओं की इन श्रृंखलाओं में से एक को चुनना होगा। इस रूप में, खेल पहले से ही बहुत परिचित दिखता है: यह "टिक-टैक-टो" है, जिसे कोई भी पांच साल का बच्चा खेल सकता है। एक बार जब हमने खेल को व्यवस्थित तरीके से प्रस्तुत किया, तो जो पहले हमें अपरिचित लग रहा था वह अब काफी पहचानने योग्य लगने लगा, इसलिए हम एक नए संदर्भ में एक ऐसे समाधान का उपयोग करने में सक्षम थे जो हमें लंबे समय से ज्ञात था।

यह अभ्यास - निस्संदेह अधिक जटिल रूपों में और अधिक सार्थक समस्याओं के संबंध में - गणितीय मॉडल का उपयोग करके समानताएं खोजने की प्रक्रिया का बहुत विशिष्ट है। ऐसे कई मामले हैं जहां एक गणितीय मॉडल, जो मूल रूप से एक समस्या को ध्यान में रखकर विकसित किया गया था, अन्य समस्याओं पर भी समान रूप से लागू होता है। उदाहरण के लिए, रिचर्डसन के हथियारों की दौड़ मॉडल का उपयोग न केवल अंतरराष्ट्रीय हथियारों की दौड़ का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है, बल्कि प्रतिद्वंद्वी राजनीतिक दलों द्वारा चुनावी खर्च में वृद्धि की गतिशीलता या नीलामी प्रतिभागियों द्वारा "स्वादिष्ट" वस्तु की कीमत बढ़ाने की प्रक्रिया का भी अध्ययन किया जा सकता है। कैदी की दुविधा का खेल न केवल खाई युद्ध (नीचे देखें) के उदाहरण पर लागू होता है, बल्कि दो गैस स्टेशनों के बीच "मूल्य युद्ध" के मामले पर भी लागू होता है, और सरकार द्वारा एक नए प्रकार के हथियार विकसित करने का निर्णय लेने के मामले पर भी लागू होता है। . कैदियों की दुविधा वाले खेल का एक रूप जिसे "चिकन" कहा जाता है, उसकी उत्पत्ति युवा ठगों द्वारा खेले जाने वाले खेलों से हुई है जो कैलिफ़ोर्निया रेगिस्तान की परित्यक्त सड़कों पर टूटी हुई गाड़ियों में दौड़ते थे; वह अब है थर्मोन्यूक्लियर युद्ध के खतरे के तहत परमाणु निरोध की नीति के अध्ययन के लिए आवेदन किया गया। उदाहरणों की सूची अंतहीन हो सकती है; हालाँकि, हमारे लिए जो महत्वपूर्ण है, वह यह है कि अधिकांश अच्छे गणितीय मॉडल उन समस्याओं से कहीं अधिक अनुप्रयोग पाते हैं जिनके लिए वे मूल रूप से विकसित किए गए थे।

संक्षेप में, प्राकृतिक भाषा मॉडल की तुलना में गणितीय मॉडल के चार संभावित फायदे हैं। सबसे पहले, वे उन मानसिक मॉडलों को व्यवस्थित करते हैं जिनका हम आमतौर पर उपयोग करते हैं। दूसरे, वे अशुद्धि और अस्पष्टता से मुक्त हैं। तीसरा, गणितीय संकेतन, प्राकृतिक भाषा अभिव्यक्तियों के विपरीत, किसी को बहुत उच्च स्तर की निगमनात्मक जटिलता पर काम करने की अनुमति देता है। और अंत में, गणितीय मॉडल उन समस्याओं के लिए सामान्य समाधान खोजने में मदद करते हैं जो पहली नज़र में भिन्न लगती हैं।



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