एक फ़ंक्शन ऑनलाइन कैलकुलेटर की चरम सीमा। किसी फ़ंक्शन का चरम (न्यूनतम और अधिकतम बिंदु) कैसे खोजें

किसी फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में बहुत महत्वपूर्ण जानकारी बढ़ते और घटते अंतराल द्वारा प्रदान की जाती है। उन्हें ढूंढना फ़ंक्शन की जांच करने और ग्राफ़ बनाने की प्रक्रिया का हिस्सा है। इसके अलावा, एक निश्चित अंतराल पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने पर उन चरम बिंदुओं पर विशेष ध्यान दिया जाता है, जिन पर बढ़ने से घटने या घटने से बढ़ने की ओर परिवर्तन होता है।

इस लेख में हम आवश्यक परिभाषाएँ देंगे, एक अंतराल पर किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के लिए पर्याप्त मानदंड और एक चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें तैयार करेंगे, और इस पूरे सिद्धांत को उदाहरणों और समस्याओं को हल करने के लिए लागू करेंगे।

पेज नेविगेशन.

एक अंतराल पर कार्य को बढ़ाना और घटाना।

बढ़ते फलन की परिभाषा.

फलन y=f(x) अंतराल X पर बढ़ता है यदि किसी और के लिए असमानता कायम है. दूसरे शब्दों में, एक बड़ा तर्क मान एक बड़े फ़ंक्शन मान से मेल खाता है।

घटते फलन की परिभाषा.

फलन y=f(x) अंतराल X पर घटता है यदि किसी और के लिए असमानता कायम है . दूसरे शब्दों में, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।

ध्यान दें: यदि फ़ंक्शन बढ़ते या घटते अंतराल (ए;बी) के अंत में परिभाषित और निरंतर है, अर्थात, x=a और x=b पर, तो ये बिंदु बढ़ते या घटते अंतराल में शामिल हैं। यह अंतराल X पर बढ़ते और घटते फ़ंक्शन की परिभाषाओं का खंडन नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों से हम जानते हैं कि y=sinx तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए परिभाषित और निरंतर है। इसलिए, अंतराल पर साइन फ़ंक्शन में वृद्धि से, हम यह दावा कर सकते हैं कि यह अंतराल पर बढ़ता है।

चरम बिंदु, किसी कार्य का चरम बिंदु।

बिंदु कहा जाता है अधिकतम बिंदुफ़ंक्शन y=f(x) यदि असमानता इसके पड़ोस में सभी x के लिए सत्य है। अधिकतम बिंदु पर फ़ंक्शन का मान कहा जाता है फ़ंक्शन का अधिकतमऔर निरूपित करें.

बिंदु कहा जाता है न्यूनतम बिंदुफ़ंक्शन y=f(x) यदि असमानता इसके पड़ोस में सभी x के लिए सत्य है। न्यूनतम बिंदु पर फ़ंक्शन का मान कहलाता है न्यूनतम कार्यऔर निरूपित करें.

किसी बिंदु के पड़ोस को अंतराल के रूप में समझा जाता है , जहां एक पर्याप्त छोटी सकारात्मक संख्या है।

न्यूनतम और अधिकतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु, और चरम बिंदुओं के अनुरूप फ़ंक्शन के मान कहलाते हैं समारोह की चरम सीमा.

किसी फ़ंक्शन के चरम को फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के साथ भ्रमित न करें।

पहले चित्र में, खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान अधिकतम बिंदु पर प्राप्त किया जाता है और यह फ़ंक्शन के अधिकतम के बराबर होता है, और दूसरे चित्र में, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान बिंदु x=b पर प्राप्त किया जाता है , जो कि अधिकतम बिंदु नहीं है.

कार्यों को बढ़ाने और घटाने के लिए पर्याप्त परिस्थितियाँ।

किसी फलन के बढ़ने और घटने की पर्याप्त स्थितियों (संकेतों) के आधार पर फलन के बढ़ने और घटने के अंतराल ज्ञात किये जाते हैं।

यहां एक अंतराल पर बढ़ते और घटते कार्यों के संकेतों का सूत्रीकरण दिया गया है:

• यदि फ़ंक्शन y=f(x) का व्युत्पन्न अंतराल X से किसी भी x के लिए सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन X से बढ़ जाता है;
• यदि फ़ंक्शन y=f(x) का व्युत्पन्न अंतराल X से किसी भी x के लिए नकारात्मक है, तो फ़ंक्शन X पर घट जाता है।

इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल को निर्धारित करने के लिए, यह आवश्यक है:

आइए एल्गोरिदम को समझाने के लिए बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल को खोजने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

बढ़ते और घटते फलनों के अंतराल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

पहला कदम फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन ढूंढना है। हमारे उदाहरण में, हर में व्यंजक शून्य पर नहीं जाना चाहिए, इसलिए,।

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए आगे बढ़ें:

पर्याप्त मानदंड के आधार पर किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल को निर्धारित करने के लिए, हम परिभाषा के क्षेत्र में असमानताओं को हल करते हैं। आइए अंतराल विधि के सामान्यीकरण का उपयोग करें। अंश का एकमात्र वास्तविक मूल x = 2 है, और हर x=0 पर शून्य हो जाता है। ये बिंदु परिभाषा के क्षेत्र को अंतरालों में विभाजित करते हैं जिसमें फ़ंक्शन का व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है। आइए इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर अंकित करें। हम परंपरागत रूप से प्लस और माइनस द्वारा उन अंतरालों को निरूपित करते हैं जिन पर व्युत्पन्न सकारात्मक या नकारात्मक होता है। नीचे दिए गए तीर संबंधित अंतराल पर फ़ंक्शन की वृद्धि या कमी को योजनाबद्ध रूप से दर्शाते हैं।

इस प्रकार, और .

बिंदु पर x=2 फ़ंक्शन परिभाषित और निरंतर है, इसलिए इसे बढ़ते और घटते दोनों अंतरालों में जोड़ा जाना चाहिए। बिंदु x=0 पर फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है, इसलिए हम इस बिंदु को आवश्यक अंतराल में शामिल नहीं करते हैं।

हम इसके साथ प्राप्त परिणामों की तुलना करने के लिए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ प्रस्तुत करते हैं।

उत्तर:

जैसे-जैसे कार्य बढ़ता है , अंतराल पर घटता है (0;2] .

किसी कार्य के चरम के लिए पर्याप्त परिस्थितियाँ।

किसी फ़ंक्शन की मैक्सिमा और मिनिमा को खोजने के लिए, आप एक्सट्रीम के तीन संकेतों में से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं, बेशक, यदि फ़ंक्शन उनकी शर्तों को पूरा करता है। उनमें से सबसे आम और सुविधाजनक पहला है।

चरम सीमा के लिए पहली पर्याप्त स्थिति.

मान लीजिए कि फलन y=f(x) बिंदु के -पड़ोस में अवकलनीय है और बिंदु पर ही सतत है।

दूसरे शब्दों में:

किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु के पहले संकेत के आधार पर चरम बिंदु खोजने के लिए एल्गोरिदम।

• हम फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढते हैं।
• हम परिभाषा के क्षेत्र पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं।
• हम अंश के शून्य, व्युत्पन्न के हर के शून्य और परिभाषा के क्षेत्र के बिंदु निर्धारित करते हैं जिसमें व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (सभी सूचीबद्ध बिंदुओं को कहा जाता है) संभावित चरम के बिंदु, इन बिंदुओं से गुजरते हुए, व्युत्पन्न केवल अपना चिह्न बदल सकता है)।
• ये बिंदु फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को अंतरालों में विभाजित करते हैं जिसमें व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है। हम प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न के चिह्न निर्धारित करते हैं (उदाहरण के लिए, किसी विशेष अंतराल में किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान की गणना करके)।
• हम उन बिंदुओं का चयन करते हैं जिन पर फ़ंक्शन निरंतर होता है और, जिसके माध्यम से गुजरते हुए, व्युत्पन्न संकेत बदलता है - ये चरम बिंदु हैं।

बहुत सारे शब्द हैं, आइए किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु के लिए पहली पर्याप्त स्थिति का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु को खोजने के कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण।

फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन x=2 को छोड़कर वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है।

व्युत्पन्न ढूँढना:

अंश के शून्य बिंदु x=-1 और x=5 हैं, हर x=2 पर शून्य हो जाता है। इन बिंदुओं को संख्या अक्ष पर अंकित करें

हम प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करते हैं; ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक अंतराल के किसी भी बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करते हैं, उदाहरण के लिए, बिंदुओं पर x=-2, x=0, x=3 और एक्स=6.

इसलिए, अंतराल पर व्युत्पन्न सकारात्मक है (आकृति में हम इस अंतराल पर प्लस चिह्न लगाते हैं)। वैसे ही

इसलिए, हम दूसरे अंतराल के ऊपर एक माइनस, तीसरे के ऊपर एक माइनस और चौथे के ऊपर एक प्लस लगाते हैं।

यह उन बिंदुओं का चयन करने के लिए रहता है जिन पर फ़ंक्शन निरंतर होता है और इसका व्युत्पन्न संकेत बदलता है। ये चरम बिंदु हैं.

बिंदु पर x=-1 फ़ंक्शन निरंतर है और व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है, इसलिए, चरम के पहले चिह्न के अनुसार, x=-1 अधिकतम बिंदु है, फ़ंक्शन का अधिकतम इसके अनुरूप है .

बिंदु पर x=5 फ़ंक्शन निरंतर है और व्युत्पन्न चिह्न ऋण से प्लस में बदलता है, इसलिए, x=-1 न्यूनतम बिंदु है, फ़ंक्शन का न्यूनतम इसके अनुरूप है .

ग्राफिक चित्रण.

उत्तर:

कृपया ध्यान दें: एक चरम के लिए पहले पर्याप्त मानदंड के लिए बिंदु पर ही फ़ंक्शन की भिन्नता की आवश्यकता नहीं होती है।

उदाहरण।

फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु खोजें .

समाधान।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है। फ़ंक्शन को स्वयं इस प्रकार लिखा जा सकता है:

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

बिंदु पर x=0 व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, क्योंकि जब तर्क शून्य हो जाता है तो एकतरफा सीमा के मान मेल नहीं खाते हैं:

साथ ही, मूल फ़ंक्शन बिंदु x=0 पर निरंतर है (निरंतरता के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करने पर अनुभाग देखें):

आइए उस तर्क का मान ज्ञात करें जिस पर व्युत्पन्न शून्य हो जाता है:

आइए सभी प्राप्त बिंदुओं को संख्या रेखा पर चिह्नित करें और प्रत्येक अंतराल पर अवकलज का चिह्न निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक अंतराल के मनमाने बिंदुओं पर व्युत्पन्न के मूल्यों की गणना करते हैं, उदाहरण के लिए, पर x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

वह है,

इस प्रकार, चरम के पहले संकेत के अनुसार, न्यूनतम अंक हैं , अधिकतम अंक हैं .

हम फ़ंक्शन के संगत न्यूनतम की गणना करते हैं

हम फ़ंक्शन के संगत मैक्सिमा की गणना करते हैं

ग्राफिक चित्रण.

उत्तर:

.

किसी कार्य की चरम सीमा का दूसरा लक्षण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी फ़ंक्शन के चरम के इस संकेत के लिए बिंदु पर कम से कम दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के अस्तित्व की आवश्यकता होती है।

किसी फ़ंक्शन की प्रकृति निर्धारित करने और उसके व्यवहार के बारे में बात करने के लिए वृद्धि और कमी के अंतराल का पता लगाना आवश्यक है। इस प्रक्रिया को फ़ंक्शन रिसर्च और ग्राफ़िंग कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने पर चरम बिंदु का उपयोग किया जाता है, क्योंकि उन पर फ़ंक्शन अंतराल से बढ़ता या घटता है।

यह आलेख परिभाषाओं का खुलासा करता है, अंतराल पर वृद्धि और कमी का पर्याप्त संकेत और एक चरम के अस्तित्व के लिए एक शर्त तैयार करता है। यह उदाहरणों और समस्याओं को हल करने पर लागू होता है। विभेदक कार्यों पर अनुभाग दोहराया जाना चाहिए, क्योंकि समाधान के लिए व्युत्पन्न खोजने का उपयोग करने की आवश्यकता होगी।

परिभाषा 1

फ़ंक्शन y = f (x) अंतराल x पर बढ़ेगा, जब किसी x 1 ∈ X और x 2 ∈ X, x 2 > x 1 के लिए, असमानता f (x 2) > f (x 1) संतुष्ट हो जाती है। दूसरे शब्दों में, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।

परिभाषा 2

फ़ंक्शन y = f (x) को अंतराल x पर घटता हुआ माना जाता है, जब किसी x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 के लिए, समानता f (x 2) > f (x 1) सच माना जाता है. दूसरे शब्दों में, एक बड़ा फ़ंक्शन मान छोटे तर्क मान से मेल खाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

टिप्पणी: जब फ़ंक्शन बढ़ने और घटने के अंतराल के अंत में निश्चित और निरंतर होता है, यानी (ए; बी), जहां एक्स = ए, एक्स = बी, अंक बढ़ने और घटने के अंतराल में शामिल होते हैं। यह परिभाषा का खंडन नहीं करता है; इसका मतलब है कि यह अंतराल x पर होता है।

प्रकार y = syn x के प्राथमिक कार्यों के मुख्य गुण तर्कों के वास्तविक मूल्यों के लिए निश्चितता और निरंतरता हैं। यहां से हमें पता चलता है कि अंतराल पर ज्या बढ़ती है - π 2; π 2, तो खंड पर वृद्धि का रूप है - π 2; π 2.

परिभाषा 3

बिन्दु x 0 कहलाता है अधिकतम बिंदुफ़ंक्शन y = f (x) के लिए, जब x के सभी मानों के लिए असमानता f (x 0) ≥ f (x) मान्य है। अधिकतम कार्यएक बिंदु पर फ़ंक्शन का मान है, और इसे y m a x द्वारा दर्शाया जाता है।

बिंदु x 0 को फ़ंक्शन y = f (x) के लिए न्यूनतम बिंदु कहा जाता है, जब x के सभी मानों के लिए असमानता f (x 0) ≤ f (x) मान्य होती है। न्यूनतम कार्यएक बिंदु पर फ़ंक्शन का मान है, और इसमें y m i n के रूप का एक पदनाम है।

बिंदु x 0 के पड़ोस पर विचार किया जाता है चरम बिंदु,और फ़ंक्शन का मान जो चरम बिंदुओं से मेल खाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान वाले फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

पहला आंकड़ा कहता है कि खंड [ए; से फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करना आवश्यक है; बी ] । यह अधिकतम बिंदुओं का उपयोग करके पाया जाता है और फ़ंक्शन के अधिकतम मान के बराबर होता है, और दूसरा आंकड़ा x = b पर अधिकतम बिंदु खोजने जैसा है।

किसी फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के लिए पर्याप्त स्थितियाँ

किसी फ़ंक्शन की मैक्सिमा और मिनिमा को खोजने के लिए, उस स्थिति में चरम के संकेतों को लागू करना आवश्यक है जब फ़ंक्शन इन शर्तों को पूरा करता है। पहला चिन्ह सबसे अधिक प्रयोग किया जाने वाला माना जाता है।

चरम सीमा के लिए पहली पर्याप्त स्थिति

परिभाषा 4

मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन y = f (x) दिया गया है, जो बिंदु x 0 के ε पड़ोस में भिन्न है, और दिए गए बिंदु x 0 पर निरंतरता है। यहीं से हमें वह मिलता है

• जब f " (x) > 0 x ∈ (x 0 - ε ; x 0) और f " (x) के साथ< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• जब एफ "(एक्स)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) के लिए 0, तो x 0 न्यूनतम बिंदु है।

दूसरे शब्दों में, हम चिह्न स्थापित करने के लिए उनकी शर्तें प्राप्त करते हैं:

• जब फ़ंक्शन बिंदु x 0 पर निरंतर होता है, तो इसमें बदलते चिह्न के साथ एक व्युत्पन्न होता है, अर्थात + से - तक, जिसका अर्थ है कि बिंदु को अधिकतम कहा जाता है;
• जब फ़ंक्शन बिंदु x 0 पर निरंतर होता है, तो इसमें - से + तक बदलते चिह्न के साथ एक व्युत्पन्न होता है, जिसका अर्थ है कि बिंदु को न्यूनतम कहा जाता है।

किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए, आपको उन्हें खोजने के लिए एल्गोरिदम का पालन करना होगा:

• परिभाषा का क्षेत्र खोजें;
• इस क्षेत्र पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें;
• शून्य और बिंदुओं की पहचान करें जहां फ़ंक्शन मौजूद नहीं है;
• अंतरालों पर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करना;
• उन बिंदुओं का चयन करें जहां फ़ंक्शन चिह्न बदलता है।

आइए किसी फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा को खोजने के कई उदाहरणों को हल करके एल्गोरिदम पर विचार करें।

उदाहरण 1

दिए गए फलन y = 2 (x + 1) 2 x - 2 के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान

इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र x = 2 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें और प्राप्त करें:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (एक्स + 1) " (एक्स - 2) - (एक्स + 1) 2 1 (एक्स - 2) 2 = 2 2 (एक्स + 1) (एक्स - 2 ) - (एक्स + 2) 2 (एक्स - 2) 2 = = 2 · (एक्स + 1) · (एक्स - 5) (एक्स - 2) 2

यहां से हम देखते हैं कि फ़ंक्शन के शून्य x = - 1, x = 5, x = 2 हैं, अर्थात, प्रत्येक कोष्ठक शून्य के बराबर होना चाहिए। आइए इसे संख्या अक्ष पर अंकित करें और प्राप्त करें:

अब हम प्रत्येक अंतराल से अवकलज के चिह्न निर्धारित करते हैं। अंतराल में शामिल एक बिंदु का चयन करना और उसे अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, अंक x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

हमें वह मिल गया

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, जिसका अर्थ है कि अंतराल - ∞ - 1 का एक सकारात्मक अवकलज है।

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

चूंकि दूसरा अंतराल शून्य से कम निकला, इसका मतलब है कि अंतराल पर व्युत्पन्न नकारात्मक होगा। तीसरा माइनस के साथ, चौथा प्लस के साथ। निरंतरता निर्धारित करने के लिए, आपको व्युत्पन्न के संकेत पर ध्यान देने की आवश्यकता है; यदि यह बदलता है, तो यह एक चरम बिंदु है।

हम पाते हैं कि बिंदु x = - 1 पर फलन सतत होगा, जिसका अर्थ है कि अवकलज का चिह्न + से - में बदल जाएगा। पहले चिह्न के अनुसार, हमारे पास है कि x = - 1 एक अधिकतम बिंदु है, जिसका अर्थ है कि हमें प्राप्त होता है

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

बिंदु x = 5 इंगित करता है कि फ़ंक्शन निरंतर है, और व्युत्पन्न चिह्न - से + में बदल जाएगा। इसका मतलब है कि x = -1 न्यूनतम बिंदु है, और इसके निर्धारण का रूप है

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

ग्राफ़िक छवि

उत्तर: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

इस तथ्य पर ध्यान देने योग्य है कि एक चरम के लिए पहले पर्याप्त मानदंड के उपयोग के लिए बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन की भिन्नता की आवश्यकता नहीं होती है, इससे गणना सरल हो जाती है।

उदाहरण 2

फलन y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। इसे इस प्रकार के समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

फिर आपको व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

बिंदु x = 0 का कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि एक तरफा सीमा के मान भिन्न हैं। हमें वह मिलता है:

लिम वाई "एक्स → 0 - 0 = लिम वाई एक्स → 0 - 0 - 1 2 एक्स 2 - 4 एक्स - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 लिम y "

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि फलन बिंदु x = 0 पर सतत है, फिर हम गणना करते हैं

लिम y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 लिम y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

जब व्युत्पन्न शून्य हो जाता है तो तर्क का मान ज्ञात करने के लिए गणना करना आवश्यक है:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

प्रत्येक अंतराल का चिह्न निर्धारित करने के लिए सभी प्राप्त बिंदुओं को एक सीधी रेखा पर अंकित किया जाना चाहिए। इसलिए, प्रत्येक अंतराल के लिए मनमाने बिंदुओं पर व्युत्पन्न की गणना करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, हम x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 मान वाले अंक ले सकते हैं। हमें वह मिल गया

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

सीधी रेखा पर छवि ऐसी दिखती है

इसका मतलब यह है कि हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि चरम के पहले संकेत का सहारा लेना आवश्यक है। आइए हम गणना करें और उसे खोजें

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , तो यहां से अधिकतम बिंदुओं का मान x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3 है

आइए न्यूनतम की गणना करने के लिए आगे बढ़ें:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

आइए फ़ंक्शन की अधिकतम सीमा की गणना करें। हमें वह मिल गया

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 एक्स - 8 एक्स = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

ग्राफ़िक छवि

उत्तर:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

यदि एक फ़ंक्शन f "(x 0) = 0 दिया गया है, तो यदि f "" (x 0) > 0, तो हम प्राप्त करते हैं कि x 0 एक न्यूनतम बिंदु है यदि f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

उदाहरण 3

फलन y = 8 x x + 1 का अधिकतम और निम्नतम ज्ञात कीजिए।

समाधान

सबसे पहले, हम परिभाषा का क्षेत्र ढूंढते हैं। हमें वह मिल गया

डी(वाई) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

फ़ंक्शन को अलग करना आवश्यक है, जिसके बाद हमें मिलता है

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

x = 1 पर, व्युत्पन्न शून्य हो जाता है, जिसका अर्थ है कि बिंदु एक संभावित चरम है। स्पष्ट करने के लिए, दूसरा व्युत्पन्न खोजना और x = 1 पर मान की गणना करना आवश्यक है। हम पाते हैं:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

इसका मतलब यह है कि एक चरम के लिए 2 पर्याप्त शर्तों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं कि x = 1 एक अधिकतम बिंदु है। अन्यथा, प्रविष्टि y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 जैसी दिखती है।

ग्राफ़िक छवि

उत्तर: y m a x = y (1) = 4 ..

परिभाषा 5

फ़ंक्शन y = f (x) का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु x 0 के ε पड़ोस में nवें क्रम तक होता है और इसका व्युत्पन्न बिंदु x 0 पर n + प्रथम क्रम तक होता है। फिर f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = एफ एन (एक्स 0) = 0।

इसका तात्पर्य यह है कि जब n एक सम संख्या है, तो x 0 को एक विभक्ति बिंदु माना जाता है, जब n एक विषम संख्या है, तो x 0 एक चरम बिंदु है, और f (n + 1) (x 0) > 0, तो x 0 एक न्यूनतम बिंदु है, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

उदाहरण 4

फलन y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान

मूल फलन एक तर्कसंगत संपूर्ण फलन है, जिसका अर्थ है कि परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। कार्य में अंतर करना आवश्यक है। हमें वह मिल गया

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (एक्स - 3) 3) = 1 16 (एक्स + 1) 2 (एक्स - 3) 3 (3 एक्स - 9 + 4 एक्स + 4) = 1 16 (एक्स + 1) 2 (एक्स - 3) 3 (7 x - 5)

यह व्युत्पन्न x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 पर शून्य हो जाएगा। अर्थात्, बिंदु संभावित चरम बिंदु हो सकते हैं। चरम सीमा के लिए तीसरी पर्याप्त शर्त लागू करना आवश्यक है। दूसरा व्युत्पन्न ढूँढने से आप किसी फ़ंक्शन की अधिकतम और न्यूनतम की उपस्थिति को सटीक रूप से निर्धारित कर सकते हैं। दूसरे व्युत्पन्न की गणना उसके संभावित चरम के बिंदुओं पर की जाती है। हमें वह मिल गया

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

इसका मतलब यह है कि x 2 = 5 7 अधिकतम बिंदु है। तीसरे पर्याप्त मानदंड को लागू करने पर, हम पाते हैं कि n = 1 और f (n + 1) 5 7 के लिए< 0 .

बिंदुओं x 1 = - 1, x 3 = 3 की प्रकृति निर्धारित करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको तीसरा व्युत्पन्न ढूंढना होगा और इन बिंदुओं पर मूल्यों की गणना करनी होगी। हमें वह मिल गया

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

इसका मतलब यह है कि x 1 = - 1 फ़ंक्शन का विभक्ति बिंदु है, क्योंकि n = 2 और f (n + 1) (- 1) ≠ 0 के लिए। बिंदु x 3 = 3 की जांच करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम चौथा व्युत्पन्न ढूंढते हैं और इस बिंदु पर गणना करते हैं:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

ऊपर जो निर्णय लिया गया उससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि x 3 = 3 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।

ग्राफ़िक छवि

उत्तर: x 2 = 5 7 अधिकतम बिंदु है, x 3 = 3 दिए गए फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।

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समारोह y = f(x) कहा जाता है की बढ़ती (घटते) एक निश्चित अंतराल में, यदि x 1 के लिए< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >एफ (एक्स 2)).

यदि अवकलनीय फलन y = f (x) किसी अंतराल पर बढ़ता (घटता) है, तो इस अंतराल f पर इसका अवकलज " (एक्स)> 0

(एफ"(एक्स)< 0).

डॉट एक्स हे बुलाया स्थानीय अधिकतम बिंदु (न्यूनतम) फ़ंक्शन f (x) यदि बिंदु का पड़ोस है एक्स ओ, उन सभी बिंदुओं के लिए जिनमें असमानता f (x) सत्य है≤ एफ (एक्स ओ ) (एफ (एक्स )≥ एफ (एक्स ओ )).

अधिकतम एवं न्यूनतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान इसके हैं चरम.

चरम बिंदु

चरम सीमा के लिए आवश्यक शर्तें . अगर बात एक्स हे फ़ंक्शन f (x) का चरम बिंदु है, तो या तो f " (x o ) = 0, या f(x o ) मौजूद नहीं है. ऐसे बिंदुओं को कहा जाता है गंभीर,और फ़ंक्शन स्वयं महत्वपूर्ण बिंदु पर परिभाषित होता है। किसी फ़ंक्शन के चरम को उसके महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच खोजा जाना चाहिए।

पहली पर्याप्त शर्त. होने देना एक्स हे - महत्वपूर्ण बिन्दू। यदि च" (x ) एक बिंदु से गुजरते समय एक्स हे प्लस चिह्न को माइनस में बदल देता है, फिर बिंदु पर एक्स ओफ़ंक्शन में अधिकतम है, अन्यथा इसमें न्यूनतम है। यदि, महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न संकेत नहीं बदलता है, तो बिंदु पर एक्स हे कोई अति नहीं है.

दूसरी पर्याप्त शर्त. मान लीजिए फलन f(x) है
एफ" (x ) बिंदु के आसपास एक्स हे और दूसरा व्युत्पन्न f "" (x 0) बिंदु पर ही एक्स ओ. यदि च"(एक्स ओ) = 0, एफ "" (एक्स 0)>0 (एफ "" (एक्स 0)<0), то точка एक्स ओफ़ंक्शन f (x) का स्थानीय न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु है। यदि f "" (x 0) = 0, तो आपको या तो पहली पर्याप्त शर्त का उपयोग करना होगा या उच्चतर शर्तों को शामिल करना होगा।

एक खंड पर, फ़ंक्शन y = f (x) या तो महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या खंड के अंत में अपने न्यूनतम या अधिकतम मूल्य तक पहुंच सकता है।

उदाहरण 3.22.

समाधान।क्योंकि एफ " (

किसी फ़ंक्शन का चरम खोजने की समस्याएँ

उदाहरण 3.23. ए

समाधान। एक्सऔर य य
0 ≤ एक्स≤
> 0, और कब एक्स >ए /4 एस " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение कार्य के। वी. इकाइयां).

उदाहरण 3.24.पी≈

समाधान।पी पी
एस"
आर = 2, एच = 16/4 = 4.

उदाहरण 3.22.फलन f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान।क्योंकि एफ " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), तो फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु x 1 = 2 और x 2 = 3। एक्स्ट्रेमा केवल इन बिंदुओं पर हो सकता है। चूंकि बिंदु x 1 = 2 से गुजरने पर व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम मान होता है। बिंदु x 2 = 3 से गुजरते समय, व्युत्पन्न अपना चिह्न शून्य से प्लस में बदल देता है, इसलिए बिंदु x 2 = 3 पर फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है। बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करने के बाद
x 1 = 2 और x 2 = 3, हम फलन का चरम पाते हैं: अधिकतम f (2) = 14 और न्यूनतम f (3) = 13।

उदाहरण 3.23.पत्थर की दीवार के पास एक आयताकार क्षेत्र बनाना आवश्यक है ताकि यह तीन तरफ से तार की जाली से घिरा हो, और चौथा पक्ष दीवार से सटा हो। इसके लिए वहाँ है एजाल के रैखिक मीटर. किस पहलू अनुपात पर साइट का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होगा?

समाधान।आइए हम प्लेटफ़ॉर्म के किनारों को इससे निरूपित करें एक्सऔर य. साइट का क्षेत्रफल S = xy है. होने देना य- यह दीवार से सटे किनारे की लंबाई है। फिर, शर्त के अनुसार, समानता 2x + y = a संतुष्ट होनी चाहिए। इसलिए y = a - 2x और S = x (a - 2x), जहां
0 ≤ एक्स≤ a /2 (क्षेत्र की लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)। S " = a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4 पर, जहाँ से
y = a - 2 × a/4 =a/2. क्योंकि x = a /4 एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए देखें कि इस बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है या नहीं। एक्स ए /4 एस पर "> 0, और कब एक्स >ए /4 एस " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение कार्य एस(ए/4) = ए/4(ए - ए/2) = ए 2/8 (के। वी. इकाइयां). चूँकि S निरंतर चालू है और S(0) तथा S(a /2) सिरों पर इसका मान शून्य के बराबर है, तो पाया गया मान फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान होगा। इस प्रकार, समस्या की दी गई शर्तों के तहत साइट का सबसे अनुकूल पहलू अनुपात y = 2x है।

उदाहरण 3.24.V=16 की क्षमता वाले एक बंद बेलनाकार टैंक के निर्माण के लिए इसकी आवश्यकता होती हैपी≈ 50 मीटर 3 . टैंक का आयाम (त्रिज्या आर और ऊंचाई एच) क्या होना चाहिए ताकि इसके निर्माण के लिए कम से कम सामग्री का उपयोग किया जाए?

समाधान।बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2 हैपी आर(आर+एच). हम बेलन का आयतन V = जानते हैंपी आर 2 एच Þ एन = वी/ पी आर 2 =16 पी / पी आर2 = 16/आर2. तो एस(आर) = 2पी (आर 2 +16/आर). हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
एस"(आर) = 2 पी (2आर- 16/आर 2) = 4 पी (आर- 8/आर 2)। एस" (आर) = 0 पर आर 3 = 8, इसलिए,
आर = 2, एच = 16/4 = 4.

इस लेख से पाठक सीखेंगे कि कार्यात्मक मूल्य की चरम सीमा क्या है, साथ ही व्यावहारिक गतिविधियों में इसके उपयोग की विशेषताओं के बारे में भी। उच्च गणित की नींव को समझने के लिए ऐसी अवधारणा का अध्ययन करना अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह विषय पाठ्यक्रम के गहन अध्ययन के लिए मौलिक है।

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चरम सीमा क्या है?

स्कूली पाठ्यक्रम में, "चरम" की अवधारणा की कई परिभाषाएँ दी गई हैं। इस लेख का उद्देश्य इस मुद्दे से अनभिज्ञ लोगों को इस शब्द की सबसे गहरी और स्पष्ट समझ प्रदान करना है। तो, इस शब्द से यह समझा जाता है कि कार्यात्मक अंतराल किस हद तक किसी विशेष सेट पर न्यूनतम या अधिकतम मूल्य प्राप्त करता है।

एक चरम एक फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और एक ही समय में अधिकतम दोनों है। एक न्यूनतम बिंदु और एक अधिकतम बिंदु होता है, यानी ग्राफ़ पर तर्क का चरम मान। इस अवधारणा का उपयोग करने वाले मुख्य विज्ञान हैं:

• आँकड़े;
• मशीन नियंत्रण;
• अर्थमिति.

चरम बिंदु किसी दिए गए फ़ंक्शन के अनुक्रम को निर्धारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। ग्राफ़ में समन्वय प्रणाली कार्यक्षमता में परिवर्तन के आधार पर चरम स्थिति में परिवर्तन को सर्वोत्तम रूप से दर्शाती है।

व्युत्पन्न फलन की चरम सीमा

"व्युत्पन्न" जैसी एक घटना भी है। चरम बिंदु निर्धारित करना आवश्यक है। यह महत्वपूर्ण है कि न्यूनतम या अधिकतम अंक को उच्चतम और निम्नतम मान के साथ भ्रमित न करें। ये अलग-अलग अवधारणाएँ हैं, हालाँकि ये समान लग सकती हैं।

फ़ंक्शन का मान अधिकतम बिंदु कैसे प्राप्त करें यह निर्धारित करने में मुख्य कारक है। व्युत्पन्न मूल्यों से नहीं बनता है, बल्कि विशेष रूप से एक या दूसरे क्रम में इसकी चरम स्थिति से बनता है।

व्युत्पन्न स्वयं इन चरम बिंदुओं के आधार पर निर्धारित किया जाता है, न कि सबसे बड़े या सबसे छोटे मूल्य पर। रूसी स्कूलों में, इन दो अवधारणाओं के बीच की रेखा स्पष्ट रूप से नहीं खींची जाती है, जो सामान्य रूप से इस विषय की समझ को प्रभावित करती है।

आइए अब हम "तीव्र चरम" जैसी अवधारणा पर विचार करें। आज, एक तीव्र न्यूनतम मूल्य और एक तीव्र अधिकतम मूल्य है। परिभाषा किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं के रूसी वर्गीकरण के अनुसार दी गई है। चरम बिंदु की अवधारणा ग्राफ़ पर महत्वपूर्ण बिंदु खोजने का आधार है।

ऐसी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए, वे फ़र्मेट के प्रमेय का उपयोग करते हैं। यह चरम बिंदुओं के अध्ययन में सबसे महत्वपूर्ण है और किसी न किसी रूप में उनके अस्तित्व का स्पष्ट विचार देता है। चरमता सुनिश्चित करने के लिए, ग्राफ़ पर कमी या वृद्धि के लिए कुछ स्थितियाँ बनाना महत्वपूर्ण है।

"अधिकतम बिंदु कैसे ज्ञात करें" प्रश्न का सटीक उत्तर देने के लिए, आपको इन दिशानिर्देशों का पालन करना होगा:

1. ग्राफ़ पर परिभाषा का सटीक डोमेन ढूँढना।
2. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और चरम बिंदु की खोज करें।
3. उस डोमेन के लिए मानक असमानताओं को हल करें जहां तर्क पाया जाता है।
4. यह साबित करने में सक्षम हो कि ग्राफ़ पर एक बिंदु किन कार्यों में परिभाषित और निरंतर है।

ध्यान!किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु की खोज केवल तभी संभव है जब कम से कम दूसरे क्रम का व्युत्पन्न हो, जो एक चरम बिंदु की उपस्थिति के उच्च अनुपात द्वारा सुनिश्चित किया जाता है।

किसी कार्य के चरम के लिए आवश्यक शर्त

एक चरम के अस्तित्व के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि न्यूनतम और अधिकतम दोनों बिंदु हों। यदि इस नियम का केवल आंशिक रूप से पालन किया जाता है, तो एक चरम के अस्तित्व की स्थिति का उल्लंघन होता है।

किसी भी स्थिति में प्रत्येक फ़ंक्शन को उसके नए अर्थों की पहचान करने के लिए विभेदित किया जाना चाहिए। यह समझना महत्वपूर्ण है कि किसी बिंदु के शून्य पर जाने का मामला किसी भिन्न बिंदु को खोजने का मुख्य सिद्धांत नहीं है।

एक तीव्र चरम, साथ ही एक फ़ंक्शन का न्यूनतम, चरम मूल्यों का उपयोग करके गणितीय समस्या को हल करने का एक अत्यंत महत्वपूर्ण पहलू है। इस घटक को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कार्यक्षमता निर्दिष्ट करने के लिए सारणीबद्ध मानों को संदर्भित करना महत्वपूर्ण है।

पूर्ण अर्थ अनुसंधान

एक वैल्यू ग्राफ़ प्लॉट करना

1. बढ़ते और घटते मूल्यों के बिंदुओं का निर्धारण। 2. समन्वय अक्षों के साथ असंततता बिंदु, चरम और प्रतिच्छेदन ढूँढना। 3. ग्राफ़ पर स्थिति में परिवर्तन निर्धारित करने की प्रक्रिया। 4. स्पर्शोन्मुखता की उपस्थिति को ध्यान में रखते हुए उत्तलता और उत्तलता के सूचक और दिशा का निर्धारण। 5. इसके निर्देशांक निर्धारित करने की दृष्टि से एक शोध सारांश तालिका का निर्माण। 6. चरम और तीक्ष्ण बिंदुओं के बढ़ने और घटने का अंतराल ज्ञात करना। 7. वक्र की उत्तलता एवं अवतलता का निर्धारण। 8. शोध को ध्यान में रखते हुए ग्राफ बनाने से आप न्यूनतम या अधिकतम ज्ञात कर सकते हैं।

जब चरम बिंदुओं के साथ काम करना आवश्यक होता है तो मुख्य तत्व उसके ग्राफ का सटीक निर्माण होता है। स्कूल के शिक्षक अक्सर ऐसे महत्वपूर्ण पहलू पर अधिकतम ध्यान नहीं देते हैं, जो शैक्षिक प्रक्रिया का घोर उल्लंघन है। ग्राफ़ का निर्माण केवल कार्यात्मक डेटा के अध्ययन के परिणामों, तीव्र एक्स्ट्रेमा की पहचान, साथ ही ग्राफ़ पर बिंदुओं के आधार पर होता है। अनंतस्पर्शी निर्धारण के लिए एक मानक प्रक्रिया का उपयोग करते हुए, व्युत्पन्न फ़ंक्शन के तीव्र चरम को सटीक मानों के प्लॉट पर प्रदर्शित किया जाता है। फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु अधिक जटिल ग्राफ़ निर्माण के साथ होते हैं। यह तीव्र चरम की समस्या पर काम करने की गहरी आवश्यकता के कारण है। एक जटिल और सरल फलन का व्युत्पन्न खोजना भी आवश्यक है, क्योंकि यह चरम की समस्या में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है।

क्रियाशीलता की चरम सीमा

उपरोक्त मान ज्ञात करने के लिए, आपको निम्नलिखित नियमों का पालन करना होगा:

• किसी चरम संबंध के लिए आवश्यक शर्त निर्धारित कर सकेंगे;
• ग्राफ़ पर चरम बिंदुओं की पर्याप्त स्थिति को ध्यान में रखें;
• तीव्र चरम की गणना करें.

कमजोर न्यूनतम और मजबूत न्यूनतम जैसी अवधारणाओं का भी उपयोग किया जाता है। चरम सीमा का निर्धारण और इसकी सटीक गणना करते समय इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। साथ ही, तीव्र कार्यक्षमता किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ काम करने के लिए सभी आवश्यक शर्तों की खोज और निर्माण है।

गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा फ़ंक्शन है। इसकी मदद से, आप प्रकृति में होने वाली कई प्रक्रियाओं का दृश्य रूप से प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, और एक ग्राफ़ पर सूत्रों, तालिकाओं और छवियों का उपयोग करके कुछ मात्राओं के बीच संबंध को प्रतिबिंबित कर सकते हैं। एक उदाहरण विसर्जन की गहराई पर किसी पिंड पर तरल की परत के दबाव की निर्भरता, किसी वस्तु पर एक निश्चित बल की कार्रवाई पर त्वरण, स्थानांतरित ऊर्जा पर तापमान में वृद्धि और कई अन्य प्रक्रियाएं हैं। किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने में एक ग्राफ़ बनाना, उसके गुणों, परिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, वृद्धि और कमी के अंतराल का पता लगाना शामिल है। इस प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण बिंदु चरम बिंदु ढूंढना है। इसे सही तरीके से कैसे करें, इसके बारे में हम आगे बात करेंगे।

एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके स्वयं अवधारणा के बारे में

चिकित्सा में, एक फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाकर हमें रोगी के शरीर में किसी बीमारी की प्रगति के बारे में बताया जा सकता है, जो उसकी स्थिति को स्पष्ट रूप से दर्शाता है। आइए मान लें कि OX अक्ष दिनों में समय का प्रतिनिधित्व करता है, और OU अक्ष मानव शरीर के तापमान का प्रतिनिधित्व करता है। यह आंकड़ा स्पष्ट रूप से दिखाता है कि यह सूचक कैसे तेजी से बढ़ता है और फिर गिर जाता है। उन विशेष बिंदुओं को नोटिस करना भी आसान है जो उन क्षणों को दर्शाते हैं जब कोई फ़ंक्शन, जो पहले बढ़ रहा था, घटने लगता है, और इसके विपरीत। ये चरम बिंदु हैं, अर्थात्, रोगी के तापमान के इस मामले में महत्वपूर्ण मूल्य (अधिकतम और न्यूनतम), जिसके बाद उसकी स्थिति में परिवर्तन होते हैं।

टिल्ट एंगल

आप चित्र से आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कैसे बदलता है। यदि ग्राफ़ की सीधी रेखाएँ समय के साथ ऊपर जाती हैं, तो यह सकारात्मक है। और वे जितने तीव्र होंगे, झुकाव का कोण बढ़ने पर व्युत्पन्न का मूल्य उतना ही अधिक होगा। कमी की अवधि के दौरान, यह मान नकारात्मक मान लेता है, चरम बिंदुओं पर शून्य में बदल जाता है, और बाद के मामले में व्युत्पन्न का ग्राफ ओएक्स अक्ष के समानांतर खींचा जाता है।

किसी अन्य प्रक्रिया को भी इसी तरह से व्यवहार किया जाना चाहिए। लेकिन इस अवधारणा के बारे में बताने का सबसे अच्छा तरीका विभिन्न पिंडों की गति है, जो ग्राफ़ में स्पष्ट रूप से दिखाई गई है।

आंदोलन

मान लीजिए कि कोई वस्तु एक सीधी रेखा में समान गति से चलती है। इस अवधि के दौरान, शरीर के निर्देशांक में परिवर्तन को ग्राफिक रूप से एक निश्चित वक्र द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे एक गणितज्ञ परवलय की एक शाखा कहेगा। साथ ही, फ़ंक्शन लगातार बढ़ रहा है, क्योंकि समन्वय संकेतक हर सेकंड तेजी से बदल रहे हैं। वेग ग्राफ़ व्युत्पन्न के व्यवहार को दर्शाता है, जिसका मूल्य भी बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि आंदोलन का कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है।

यह अनिश्चित काल तक जारी रहेगा. लेकिन क्या होगा यदि शरीर अचानक धीमा होने, रुकने और एक अलग दिशा में आगे बढ़ना शुरू करने का फैसला करता है? इस मामले में, समन्वय संकेतक कम होने लगेंगे। और फ़ंक्शन एक महत्वपूर्ण मान पार करेगा और बढ़ने से घटने की ओर मुड़ जाएगा।

इस उदाहरण का उपयोग करके, आप फिर से समझ सकते हैं कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर चरम बिंदु उन क्षणों में दिखाई देते हैं जब यह मोनोटोनिक होना बंद हो जाता है।

व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ

जो पहले वर्णित किया गया था वह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि व्युत्पन्न मूलतः फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है। इस स्पष्टीकरण में इसका भौतिक अर्थ निहित है। चरम बिंदु ग्राफ़ पर महत्वपूर्ण क्षेत्र हैं। उन्हें व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करके पहचाना और पता लगाया जा सकता है, जो शून्य के बराबर निकलता है।

एक और संकेत है जो चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति है। ऐसे विभक्ति बिंदुओं पर व्युत्पन्न अपना चिह्न बदलता है: अधिकतम क्षेत्र में "+" से "-" और न्यूनतम क्षेत्र में "-" से "+" तक।

गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति

आइए एक और स्थिति की कल्पना करें। बच्चों ने गेंद से खेलते हुए उसे इस प्रकार फेंका कि वह क्षितिज की ओर एक कोण पर घूमने लगी। प्रारंभिक क्षण में, इस वस्तु की गति सबसे अधिक थी, लेकिन गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में यह कम होने लगी, और प्रत्येक सेकंड में समान मात्रा में, लगभग 9.8 मीटर/सेकेंड 2 के बराबर। यह उस त्वरण का मान है जो मुक्त गिरावट के दौरान पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में होता है। चंद्रमा पर यह लगभग छह गुना छोटा होगा।

किसी पिंड की गति का वर्णन करने वाला ग्राफ़ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर इशारा करती हैं। चरम बिंदु कैसे खोजें? इस मामले में, यह फ़ंक्शन का शीर्ष है, जहां शरीर (गेंद) की गति शून्य मान लेती है। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य हो जाता है. इस मामले में, दिशा, और इसलिए गति मान, विपरीत में बदल जाता है। शरीर हर सेकंड तेजी से नीचे उड़ता है, और उतनी ही तेजी से बढ़ता है - 9.8 मी/से 2।

दूसरा व्युत्पन्न

पिछले मामले में, वेग मापांक ग्राफ़ एक सीधी रेखा के रूप में खींचा गया है। यह रेखा प्रारंभ में नीचे की ओर निर्देशित होती है, क्योंकि इस मान का मान लगातार घट रहा है। एक समय में शून्य पर पहुंचने के बाद, इस मान के संकेतक बढ़ने लगते हैं, और गति मॉड्यूल के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व की दिशा नाटकीय रूप से बदल जाती है। रेखा अब ऊपर की ओर इशारा कर रही है।

वेग, समय के संबंध में समन्वय का व्युत्पन्न होने के कारण, एक महत्वपूर्ण बिंदु भी है। इस क्षेत्र में, कार्य, प्रारंभ में घटते हुए, बढ़ने लगता है। यह फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के चरम बिंदु का स्थान है। इस स्थिति में, स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण शून्य हो जाता है। और त्वरण, समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न होने के कारण, चिह्न को "-" से "+" में बदल देता है। और गति समान रूप से धीमी से समान रूप से त्वरित हो जाती है।

त्वरण ग्राफ

आइए अब चार तस्वीरों पर नजर डालते हैं. उनमें से प्रत्येक त्वरण जैसी भौतिक मात्रा में समय के साथ परिवर्तनों का एक ग्राफ प्रदर्शित करता है। "ए" के मामले में इसका मान सकारात्मक और स्थिर रहता है। इसका मतलब यह है कि शरीर की गति, उसके समन्वय की तरह, लगातार बढ़ रही है। यदि हम कल्पना करें कि वस्तु अनंत काल तक इसी प्रकार गति करती रहेगी, तो समय पर निर्देशांक की निर्भरता को दर्शाने वाला फलन लगातार बढ़ता जाएगा। इससे यह पता चलता है कि इसमें महत्वपूर्ण क्षेत्र नहीं हैं। व्युत्पन्न के ग्राफ़ पर कोई चरम बिंदु भी नहीं हैं, अर्थात, रैखिक रूप से बदलती गति।

सकारात्मक और लगातार बढ़ती त्वरण के साथ केस "बी" पर भी यही बात लागू होती है। सच है, यहां निर्देशांक और गति के ग्राफ़ कुछ अधिक जटिल होंगे।

जब त्वरण शून्य हो जाता है

आकृति "बी" को देखते हुए, कोई शरीर की गति को दर्शाने वाली एक पूरी तरह से अलग तस्वीर देख सकता है। इसकी गति को रेखांकन द्वारा नीचे की ओर निर्देशित शाखाओं वाले परवलय द्वारा दर्शाया जाएगा। यदि हम त्वरण में परिवर्तन का वर्णन करने वाली रेखा को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि यह OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेद न कर दे और आगे, हम कल्पना कर सकते हैं कि इस महत्वपूर्ण मान तक, जहां त्वरण शून्य हो जाता है, वस्तु की गति अधिक से अधिक धीरे-धीरे बढ़ेगी . समन्वय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का चरम बिंदु बिल्कुल परवलय के शीर्ष पर होगा, जिसके बाद शरीर मौलिक रूप से अपने आंदोलन की प्रकृति को बदल देगा और एक अलग दिशा में चलना शुरू कर देगा।

अंतिम स्थिति, "जी" में, आंदोलन की प्रकृति को सटीक रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। यहां हम केवल इतना जानते हैं कि विचाराधीन कुछ अवधि के लिए कोई त्वरण नहीं है। इसका मतलब यह है कि वस्तु अपनी जगह पर रह सकती है या स्थिर गति से चल सकती है।

समन्वित जोड़ समस्या

आइए उन कार्यों पर आगे बढ़ें जो स्कूल में बीजगणित का अध्ययन करते समय अक्सर सामने आते हैं और एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए पेश किए जाते हैं। नीचे दिया गया चित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। चरम बिंदुओं के योग की गणना करना आवश्यक है।

आइए उन महत्वपूर्ण क्षेत्रों के निर्देशांक निर्धारित करके कोर्डिनेट अक्ष के लिए ऐसा करें जहां फ़ंक्शन की विशेषताओं में परिवर्तन देखा जाता है। सीधे शब्दों में कहें तो, हम विभक्ति बिंदुओं के लिए OX अक्ष के साथ मान पाएंगे, और फिर परिणामी शब्दों को जोड़ने के लिए आगे बढ़ेंगे। ग्राफ़ के अनुसार, यह स्पष्ट है कि वे निम्नलिखित मान लेते हैं: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. इसका योग -21 है, जो उत्तर है।

सर्वोतम उपाय

यह समझाने की आवश्यकता नहीं है कि व्यावहारिक कार्यों को करने में इष्टतम समाधान का चुनाव कितना महत्वपूर्ण हो सकता है। आख़िरकार, किसी लक्ष्य को प्राप्त करने के कई तरीके हैं, लेकिन सबसे अच्छा तरीका, एक नियम के रूप में, केवल एक ही है। यह अत्यंत आवश्यक है, उदाहरण के लिए, इन मानव निर्मित वस्तुओं के इष्टतम आकार को खोजने के लिए जहाजों, अंतरिक्ष यान और हवाई जहाज और वास्तुशिल्प संरचनाओं को डिजाइन करते समय।

वाहनों की गति काफी हद तक गुरुत्वाकर्षण बलों और कई अन्य संकेतकों के प्रभाव में उत्पन्न होने वाले अधिभार पर, पानी और हवा के माध्यम से चलते समय उनके द्वारा अनुभव किए जाने वाले प्रतिरोध के उचित न्यूनतमकरण पर निर्भर करती है। समुद्र में एक जहाज को तूफान के दौरान स्थिरता जैसे गुणों की आवश्यकता होती है, एक नदी जहाज के लिए न्यूनतम ड्राफ्ट महत्वपूर्ण है। इष्टतम डिज़ाइन की गणना करते समय, ग्राफ़ पर चरम बिंदु एक जटिल समस्या के सर्वोत्तम समाधान का एक विचार दे सकते हैं। इस प्रकार की समस्याएं अक्सर अर्थशास्त्र, व्यावसायिक क्षेत्रों और कई अन्य जीवन स्थितियों में हल की जाती हैं।

प्राचीन इतिहास से

यहां तक ​​कि प्राचीन ऋषि-मुनि भी अत्यधिक समस्याओं से घिरे हुए थे। यूनानी वैज्ञानिकों ने गणितीय गणनाओं के माध्यम से क्षेत्रफलों और आयतनों के रहस्य को सफलतापूर्वक सुलझा लिया। वे यह समझने वाले पहले व्यक्ति थे कि समान परिधि वाले विभिन्न आकृतियों के तल पर, वृत्त का क्षेत्रफल हमेशा सबसे बड़ा होता है। इसी प्रकार, गेंद अंतरिक्ष में समान सतह क्षेत्र वाली अन्य वस्तुओं की तुलना में अधिकतम आयतन से संपन्न है। आर्किमिडीज़, यूक्लिड, अरस्तू, अपोलोनियस जैसी प्रसिद्ध हस्तियों ने ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए खुद को समर्पित किया। हेरोन चरम बिंदुओं को खोजने में उत्कृष्ट था और गणनाओं का उपयोग करके, सरल उपकरणों का निर्माण करता था। इनमें भाप से चलने वाली मशीनें, एक ही सिद्धांत पर चलने वाले पंप और टरबाइन शामिल थे।

कार्थेज का निर्माण

एक किंवदंती है, जिसका कथानक एक चरम समस्या के समाधान पर आधारित है। फोनीशियन राजकुमारी द्वारा प्रदर्शित व्यावसायिक दृष्टिकोण का परिणाम, जो मदद के लिए ऋषियों की ओर मुड़ी, कार्थेज का निर्माण था। इस प्राचीन और प्रसिद्ध शहर के लिए भूमि का भूखंड अफ्रीकी जनजातियों में से एक के नेता द्वारा डिडो (यह शासक का नाम था) को दिया गया था। आबंटन का क्षेत्र पहले तो उसे बहुत बड़ा नहीं लगा, क्योंकि अनुबंध के अनुसार इसे ऑक्सहाइड से ढका जाना था। लेकिन राजकुमारी ने अपने सैनिकों को इसे पतली पट्टियों में काटने और उनसे एक बेल्ट बनाने का आदेश दिया। यह इतना लंबा निकला कि इसमें एक ऐसा क्षेत्र शामिल हो गया जहां पूरा शहर समा सकता था।

गणितीय विश्लेषण की उत्पत्ति

अब चलिए प्राचीन काल से बाद के युग की ओर चलते हैं। यह दिलचस्प है कि केप्लर को 17वीं शताब्दी में एक शराब विक्रेता के साथ मुलाकात से गणितीय विश्लेषण की नींव को समझने के लिए प्रेरित किया गया था। व्यापारी अपने पेशे में इतना जानकार था कि वह बैरल में लोहे की रस्सी डालकर आसानी से बैरल में पेय की मात्रा निर्धारित कर सकता था। ऐसी जिज्ञासा पर विचार करते हुए, प्रसिद्ध वैज्ञानिक अपने लिए इस दुविधा को हल करने में कामयाब रहे। इससे पता चलता है कि उस समय के कुशल कूपर्स को बर्तनों को इस तरह से बनाने में महारत हासिल थी कि, एक निश्चित ऊंचाई और बन्धन के छल्ले की परिधि की त्रिज्या पर, उनकी अधिकतम क्षमता हो।

यह केप्लर के लिए आगे सोचने का कारण बन गया। कूपर्स एक लंबी खोज, गलतियों और नए प्रयासों के माध्यम से, अपने अनुभव को पीढ़ी-दर-पीढ़ी आगे बढ़ाते हुए इष्टतम समाधान पर पहुंचे। लेकिन केप्लर इस प्रक्रिया को तेज़ करना चाहते थे और गणितीय गणनाओं के माध्यम से कम समय में एक ही काम करना सीखना चाहते थे। उनके सभी विकास, उनके सहयोगियों द्वारा उठाए गए, अब प्रसिद्ध फ़र्मेट और न्यूटन-लीबनिज़ प्रमेय में बदल गए।

अधिकतम क्षेत्र की समस्या

आइए कल्पना करें कि हमारे पास एक तार है जिसकी लंबाई 50 सेमी है। हम इससे एक आयत कैसे बना सकते हैं जिसका क्षेत्रफल सबसे अधिक है?

निर्णय लेते समय, आपको सभी को ज्ञात सरल सत्यों से आगे बढ़ना चाहिए। यह स्पष्ट है कि हमारी आकृति का परिमाप 50 सेमी होगा। यह दोनों भुजाओं की दोगुनी लंबाई से बना है। इसका मतलब यह है कि, उनमें से एक को "एक्स" के रूप में नामित करने पर, दूसरे को (25 - एक्स) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यहां से हमें X(25 - X) के बराबर क्षेत्रफल मिलता है। इस अभिव्यक्ति को एक ऐसे फ़ंक्शन के रूप में सोचा जा सकता है जो एकाधिक मान लेता है। समस्या को हल करने के लिए उनमें से अधिकतम को खोजने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि आपको चरम बिंदुओं का पता लगाने की आवश्यकता है।

ऐसा करने के लिए, हम पहला व्युत्पन्न ढूंढते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं। परिणाम एक सरल समीकरण है: 25 - 2X = 0.

इससे हमें पता चलता है कि एक भुजा X = 12.5 है।

इसलिए, अन्य: 25 - 12.5 = 12.5.

इससे पता चलता है कि समस्या का समाधान 12.5 सेमी भुजा वाला एक वर्ग होगा।

अधिकतम गति कैसे ज्ञात करें

आइए एक और उदाहरण देखें. आइए कल्पना करें कि एक पिंड है जिसकी रैखिक गति समीकरण S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8 द्वारा वर्णित है, जहां तय की गई दूरी मीटर में और समय सेकंड में व्यक्त किया जाता है। हमें अधिकतम गति ज्ञात करने की आवश्यकता है। इसे कैसे करना है? डाउनलोड करने पर, हमें गति मिलती है, यानी पहला व्युत्पन्न।

हमें समीकरण मिलता है: V = - 3t 2 + 18t - 24. अब समस्या को हल करने के लिए हमें फिर से चरम बिंदु खोजने की आवश्यकता है। इसे पिछले कार्य की तरह ही किया जाना चाहिए। हम गति का पहला व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं।

हमें मिलता है: - 6t + 18 = 0. इसलिए t = 3 s. यह वह समय है जब शरीर की गति महत्वपूर्ण मान लेती है। हम परिणामी डेटा को वेग समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: V = 3 m/s।

लेकिन हम यह कैसे समझ सकते हैं कि यह अधिकतम गति है, क्योंकि किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु इसके सबसे बड़े या सबसे छोटे मान हो सकते हैं? जाँच करने के लिए, आपको गति का दूसरा व्युत्पन्न ढूँढ़ना होगा। इसे संख्या 6 द्वारा ऋण चिह्न के साथ व्यक्त किया जाता है। इसका मतलब है कि पाया गया बिंदु अधिकतम है। और सकारात्मक मान के मामले में, दूसरे व्युत्पन्न का न्यूनतम होगा। इसका मतलब यह है कि जो समाधान निकला वह सही निकला.

उदाहरण के तौर पर दी गई समस्याएँ उन्हीं समस्याओं का एक हिस्सा हैं जिन्हें हल किया जा सकता है यदि आप जानते हैं कि किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को कैसे खोजना है। वास्तव में, उनमें से और भी बहुत कुछ हैं। और ऐसा ज्ञान मानव सभ्यता के लिए असीमित संभावनाएं खोलता है।

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