क्रीमिया के स्कूली बच्चों की लघु विज्ञान अकादमी

"साधक"

अनुभाग "गणित"

दो-तरफा रूलर का उपयोग करके ज्यामितीय निर्माण

मैंने काम कर दिया है ए

_____________

कक्षा का विद्यार्थी

वैज्ञानिक निदेशक

परिचय……………………………………………………………………..3

I. समतल पर ज्यामितीय निर्माण………………4

मैं.1. रचनात्मक ज्यामिति के सामान्य सिद्धांत। गणितीय उपकरणों के अभिगृहीत……………………………………………………………………..4

मैं.2. ……………………….....5

मैं.3. एक रूलर के साथ ज्यामितीय निर्माण………………………………7

मैं.4. दो तरफा रूलर से निर्माण के लिए बुनियादी कार्य………………..8

मैं.5. विभिन्न निर्माण समस्याओं का समाधान ………………………………12

मैं.6. एक तरफा शासक के साथ निर्माण……………………………………20

मैं.7. एक कम्पास और एक शासक के साथ दो तरफा शासक की विनिमेयता....21

निष्कर्ष…………………………………………………………24

सन्दर्भों की सूची…………………………………….25

परिचय

सीमित साधनों के साथ निर्माण से जुड़ी समस्याओं में केवल कम्पास और रूलर का उपयोग करके निर्माण से जुड़ी समस्याएं शामिल हैं, जिन पर स्कूली पाठ्यक्रम में विचार किया जाता है। क्या केवल एक रूलर से निर्माण संबंधी समस्याओं का समाधान संभव है? अक्सर आपके पास कंपास नहीं होता है, लेकिन आप हमेशा एक रूलर ढूंढ सकते हैं।

ज्यामिति में निर्माण संबंधी समस्याएं एक आकर्षक अनुभाग हैं। इसमें रुचि ज्यामितीय सामग्री की सुंदरता और सरलता के कारण है। इन समस्याओं पर विचार करने की प्रासंगिकता इस तथ्य के कारण बढ़ जाती है कि इनका व्यवहार में उपयोग किया जाता है। इस कार्य में विचार की गई समस्याओं को हल करने के लिए एक शासक का उपयोग करने की क्षमता व्यावहारिक गतिविधियों में बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि हमें लगातार एक खंड को आधे में विभाजित करने, किसी दिए गए खंड को दोगुना करने आदि की समस्याओं का सामना करना पड़ता है।

यह पेपर मुख्य निर्माण समस्याओं की जांच करता है जो अधिक जटिल समस्याओं को हल करने के आधार के रूप में कार्य करती हैं।

जैसा कि अनुभव से पता चलता है, निर्माण कार्य रुचि जगाते हैं और मानसिक गतिविधि की सक्रियता में योगदान करते हैं। उन्हें हल करते समय, आकृतियों के गुणों के बारे में ज्ञान का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है, तर्क करने की क्षमता विकसित की जाती है, और ज्यामितीय निर्माण के कौशल में सुधार किया जाता है। परिणामस्वरूप, रचनात्मक क्षमताएँ विकसित होती हैं, जो ज्यामिति के अध्ययन के लक्ष्यों में से एक है।

परिकल्पना: कम्पास और रूलर का उपयोग करके हल की जा सकने वाली सभी निर्माण समस्याएं केवल दो तरफा रूलर का उपयोग करके ही हल की जा सकती हैं।

अध्ययन का उद्देश्य: निर्माण कार्य और दो तरफा शासक।

अनुसंधान के उद्देश्य: यह साबित करना कि सभी निर्माण समस्याओं को केवल दो तरफा शासक की मदद से हल किया जा सकता है.

अनुसंधान के उद्देश्य: निर्माण समस्याओं को हल करने की सैद्धांतिक नींव का अध्ययन करना; दो तरफा रूलर का उपयोग करके बुनियादी निर्माण समस्याओं को हल करें; अधिक जटिल निर्माण समस्याओं के उदाहरण दे सकेंगे; सैद्धांतिक और व्यावहारिक सामग्री को व्यवस्थित करें।

I. विमान पर ज्यामितीय निर्माण

मैं.1. रचनात्मक ज्यामिति के सामान्य सिद्धांत। गणितीय उपकरणों के अभिगृहीत

रचनात्मक ज्यामिति के लिए किसी विशेष उपकरण का सटीक और गणितीय उद्देश्यों के लिए पूर्ण विवरण होना आवश्यक है। यह विवरण सूक्तियों के रूप में दिया गया है। अमूर्त गणितीय रूप में ये सिद्धांत वास्तविक ड्राइंग उपकरणों के उन गुणों को व्यक्त करते हैं जिनका उपयोग ज्यामितीय निर्माणों के लिए किया जाता है।

सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले ज्यामितीय निर्माण उपकरण हैं:शासक (एकतरफा) , दिशा सूचक यंत्र, दो तरफा शासक (समानांतर किनारों के साथ) और कुछ अन्य.

ए. शासक स्वयंसिद्ध.

रूलर आपको निम्नलिखित ज्यामितीय निर्माण करने की अनुमति देता है:
ए) दो निर्मित बिंदुओं को जोड़ने वाले एक खंड का निर्माण करें;

बी) दो निर्मित बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का निर्माण करें;

ग) एक निर्मित बिंदु से निकलने वाली और दूसरे निर्मित बिंदु से गुजरने वाली किरण का निर्माण करें।

बी. कम्पास स्वयंसिद्ध.

कम्पास आपको निम्नलिखित ज्यामितीय निर्माण करने की अनुमति देता है:
ए) एक वृत्त का निर्माण करें यदि वृत्त का केंद्र और वृत्त की त्रिज्या (या उसके सिरे) के बराबर एक खंड बनाया गया हो;

बी. दो तरफा शासक का अभिगृहीत।

दो तरफा शासक आपको इसकी अनुमति देता है:

ए) अभिगृहीत ए में सूचीबद्ध किसी भी निर्माण को पूरा करना;

बी) निर्मित रेखा द्वारा परिभाषित प्रत्येक आधे-तल में, इस रेखा के समानांतर और इससे कुछ दूरी पर गुजरने वाली एक रेखा का निर्माण करेंए, कहाँ ए - किसी दिए गए शासक (शासक की चौड़ाई) के लिए निर्धारित एक खंड;

ग) यदि दो बिंदु A और B बनाए गए हैं, तो निर्धारित करें कि क्या AB एक निश्चित निश्चित खंड से बड़ा होगाए (रूलर चौड़ाई), और यदि एबी >ए , फिर क्रमशः बिंदु A और B से गुजरने वाली समानांतर रेखाओं के दो जोड़े बनाएं और एक दूसरे से कुछ दूरी पर रखेंए .

सूचीबद्ध उपकरणों के अलावा, आप ज्यामितीय निर्माणों के लिए अन्य उपकरणों का उपयोग कर सकते हैं: एक मनमाना कोण, एक वर्ग, निशान वाला एक शासक, समकोण की एक जोड़ी, विशेष वक्र बनाने के लिए विभिन्न उपकरण, आदि।

मैं.2. निर्माण समस्याओं को हल करने के सामान्य सिद्धांत

निर्माण कार्य इस तथ्य में निहित है कि यदि कोई अन्य आकृति दी गई है और वांछित आकृति के तत्वों और इस आकृति के तत्वों के बीच कुछ संबंध दर्शाए गए हैं तो निर्दिष्ट उपकरणों के साथ एक निश्चित आकृति का निर्माण करना आवश्यक है।

प्रत्येक आकृति जो समस्या की शर्तों को पूरा करती है, कहलाती हैफ़ैसलाइस कार्य।

एक समाधान खोजो निर्माण कार्य का अर्थ है इसे बुनियादी निर्माणों की एक सीमित संख्या तक कम करना, अर्थात, बुनियादी निर्माणों के एक सीमित अनुक्रम को इंगित करना, जिसके बाद वांछित आकृति को रचनात्मक ज्यामिति के स्वीकृत सिद्धांतों के आधार पर पहले से ही निर्मित माना जाएगा। स्वीकार्य बुनियादी निर्माणों की सूची, और, परिणामस्वरूप, समस्या को हल करने की प्रगति, महत्वपूर्ण रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि निर्माण के लिए कौन से विशिष्ट उपकरण उपयोग किए जाते हैं।

निर्माण समस्या का समाधान करें - मतलब, इसके सभी समाधान खोजें .

अंतिम परिभाषा में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। समस्या की शर्तों को पूरा करने वाले आंकड़े आकार या आकार और विमान पर स्थिति दोनों में भिन्न हो सकते हैं। निर्माण समस्या के निरूपण के आधार पर विमान पर स्थिति में अंतर को ध्यान में रखा जाता है या नहीं लिया जाता है, समस्या की स्थिति किसी भी दिए गए आंकड़े के सापेक्ष वांछित आंकड़े के एक निश्चित स्थान के लिए प्रदान करती है या नहीं प्रदान करती है। .

यदि किसी समस्या का समाधान मिल जाता है, तो भविष्य में इस समाधान को "संपूर्ण रूप से" उपयोग करने की अनुमति दी जाती है, अर्थात इसे मुख्य निर्माणों में विभाजित किए बिना।

कई सरल ज्यामितीय निर्माण समस्याएं हैं, जिन्हें विशेष रूप से अक्सर अधिक जटिल समस्याओं को हल करने में घटकों के रूप में शामिल किया जाता है। हम उन्हें प्राथमिक ज्यामितीय निर्माण समस्याएँ कहेंगे। प्राथमिक कार्यों की सूची निस्संदेह सशर्त है। बुनियादी कार्यों में आमतौर पर निम्नलिखित शामिल होते हैं:

इस खंड को आधा भाग में बाँट लें।

किसी दिए गए कोण को आधा भाग में बाँटना।

किसी दी गई रेखा पर दिए गए रेखा के बराबर एक खंड की रचना करना।

दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना।

किसी दिए गए रेखा के समानांतर किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा का निर्माण करना।

किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरने वाली और दी गई रेखा के लंबवत रेखा की रचना करना।

इस संबंध में एक खंड का विभाजन.

दी गई तीन भुजाओं का उपयोग करके एक त्रिभुज की रचना करना।

एक भुजा और दो आसन्न कोणों का उपयोग करके एक त्रिभुज की रचना करना।

दो भुजाओं और उनके बीच के कोण का उपयोग करके एक त्रिभुज की रचना करना।

किसी भी जटिल निर्माण समस्या को हल करते समय, यह सवाल उठता है कि समस्या को हल करने का तरीका खोजने के लिए तर्क कैसे किया जाए, समस्या के सभी समाधान प्राप्त किए जाएं, समस्या को हल करने की संभावना के लिए शर्तों का पता लगाया जाए, आदि। रचनात्मक समस्याओं को हल करते समय, वे एक समाधान योजना का उपयोग करते हैं, जिसमें निम्नलिखित चार चरण होते हैं:

1) विश्लेषण;
2) निर्माण;
3) प्रमाण;
4) अनुसंधान.

मैं.3. एक रूलर के साथ ज्यामितीय निर्माण

हम शासक पर दो दृष्टिकोण से विचार करेंगे: एक शासक के रूप में और दो तरफा शासक के रूप में।

1. दो तरफा शासकचौड़ाई ए हम दूरी पर स्थित समानांतर किनारों वाला रूलर कहेंगे ए एक दूसरे से, सीधे निर्माण करना संभव बनाता है:

क) एक मनमाना सीधी रेखा;

बी) समस्या को हल करने की प्रक्रिया में दिए गए या प्राप्त किए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा;

ग) समानांतर रेखाएं, जिनमें से प्रत्येक एक बिंदु से होकर गुजरती है, जिनके बीच की दूरी अधिक होती हैए (इस निर्माण में, रूलर ऐसी स्थिति में है कि उसके प्रत्येक दो समानांतर किनारों पर दिए गए दो बिंदुओं में से एक है; इस मामले में, हम प्रत्यक्ष निर्माण के बारे में बात करेंगे)।

इस निर्माण में रूलर की चौड़ाई स्थिर मानी जाती है, और इसलिए, यदि किसी विशिष्ट समस्या को हल करने की प्रक्रिया में कुछ प्राप्त बिंदुओं के सापेक्ष सीधा निर्माण करना आवश्यक हो जाता हैएऔर में , तो हमें यह सिद्ध करना होगा कि लंबाईअबअब ए .

हम निर्मित किए जाने वाले बिंदु पर विचार करेंगे यदि यह डेटा में से एक है या दो निर्मित रेखाओं का प्रतिच्छेदन है; बदले में, हम निर्मित होने वाली एक सीधी रेखा पर विचार करेंगे यदि वह निर्मित या दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरती है।

दो तरफा रूलर का उपयोग करके आप निम्नलिखित का निर्माण कर सकते हैं।

क) किन्हीं दो बिंदुओं से होकर आप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।

ख) सीधी रेखा जो भी हो, समतल में बिल्कुल दो सीधी रेखाएं होती हैं, उसके समानांतर और कुछ दूरी पर उससे अलग होती हैंए .

ग) एबी पर दो बिंदुओं ए और बी से होकर ए समांतर के दो जोड़े खींचना संभव हैसीधा; एबी के साथ = ए आप समानांतर रेखाओं का एक जोड़ा खींच सकते हैं, जिनके बीच की दूरी बराबर होए .

यदि एक, दो, तीन बिंदु दिए गए हैं तो कोई नया बिंदु नहीं बनाया जा सकता

(आकृति 1);

यदि चार बिंदु दिए गए हैं, जिनमें से कुछ तीन (या सभी चार) एक ही रेखा पर स्थित हैं, तो कोई अन्य बिंदु नहीं बनाया जा सकता है (चित्र 2);

यदि आपको समांतर चतुर्भुज के शीर्षों पर स्थित चार बिंदु दिए गए हैं, तो आप केवल एक बिंदु - इसका केंद्र - बना सकते हैं। (चित्र.3).

उपरोक्त को स्वीकार करने के बाद, आइए हम दो तरफा शासक द्वारा हल की गई समस्याओं पर अलग से विचार करें।

मैं.4. दो तरफा रूलर से निर्माण के लिए बुनियादी कार्य

1
. कोण ABC का समद्विभाजक बनाइये।

समाधान: (चित्र 4)

ए  (में सी) और बी  (एक बैंड  बी = डी .

हमें बी मिलता है डी– द्विभाजक  एबीसी.

वास्तव में, द्वारा प्राप्त किया गया

समांतर चतुर्भुज का निर्माण करना है

समचतुर्भुज, चूँकि इसकी ऊँचाई समान है। मेंडी –

समचतुर्भुज का विकर्ण समद्विभाजक होता है एबीसी. चित्र.4

2
. दिए गए कोण ABC को दोगुना करें

समाधान : (चित्र 5)ए) ए  (एबी),

ए  (में सी)= डी , बिंदु बी के माध्यम से और डी

बी सीधे तौर पर;

बी) बिंदु बी के माध्यम से औरडी एम  बी

सीधे,बी Ç ए = एफ .

हम पाते हैं Ð अब एफ = 2 Ð एबीसी .

चित्र.5

3 . किसी दी गई सीधी रेखा M पर एन इस में

बिंदु A पर एक लंब खींचिए

समाधान : (चित्र.6)

1) (एए 1) || (बीबी 1) || (एसएस 1)-

सीधे (बी (एम एन),

साथ Î (एम एन)); 2) ए और बी के माध्यम से

एम || एन - सीधे,

एम Ç (एसएस 1) = डी .

हमें मिलता है (ए डी )  (एम एन ).

चित्र 6.

4
. किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से झूठ बोलना नहीं

दी गई पंक्ति, एक लम्बवत रेखा खींचिए

को यह रेखा।

समाधान: इस बिंदु O के माध्यम से हम रेखांकन करते हैं

किसी दिए गए को प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाएँ

सीधी रेखा AB, और परिणामी कोणों को दोगुना करें

इसके समीप त्रिभुज

सीधा।  ओए एन = 2  ओएवी और

ओबी एन = 2  ओवीए (चित्र 7)।

चित्र 7

5. किसी दी गई रेखा के सापेक्ष किसी रेखा के सममित बिंदु का निर्माण करें।

समाधान: समस्या 4 देखें। (बिंदु O, बिंदु के सममित हैएन. चित्र.7)

6. एक सीधी रेखा खींचिए इस के समानांतर

पी
सीधे एम एन , बिंदु A के माध्यम से, नहीं

एम लाइन से संबंधित एन .

समाधान 1: (चित्र 8)

1)(एए 1) || (बीबी 1) || (एसएस 1) || (डीडी 1 ) || (केके 1) -

– सीधे, (एसए)Ç (बीबी 1) = सी 2;

2) (2 के के साथ) Ç (डीडी 1 ) = एफ .

(ए एफ ) वांछित सीधी रेखा है।

चित्र 8

समाधान 2 . चित्र 8 में 1 अंकित है

सीधी रेखाओं का क्रम,

जिनमें से 1, 2 और 3 समानांतर हैं

प्रत्यक्ष निर्माण;

(ए एफ) || (एम एन).

चित्र 8 1

7
. इस खंड AB को आधा भाग में विभाजित करें।

समाधान 1. (चित्र 9) (केवल उस स्थिति के लिए जब रूलर की चौड़ाई इस खंड की लंबाई से कम हो)। सीधे समानांतर रेखाओं के दो जोड़े खींचें

इस खंड के सिरे, और फिर विकर्ण

परिणामी समचतुर्भुज. ओ - मध्य एबी.

चावल। 9.

समाधान 2. (चित्र 9, ए)

1)ए || (एक बैंड बी || (ए.बी.)-सीधे;

2) (एआर), (एआर)Ç ए = सी, (एपी) Ç बी = डी ;

3) (डी में) Ç ए = एम, (एसवी) Ç बी = एन ;

4) (एम एन ) Ç (एबी) = के;

5) (डी को) Ç (ए एन ) = एफ ;

6) (बी एफ ) Ç बी = डी 1, (बी एफ ) Ç ए = सी 1;

7) (डी में ) Ç (ए डी 1 ) = एक्स,

(एसी 1) Ç (एसवी)= जेड.

8) (एक्स जेड) Ç (एबी) =ओ. हमें AO = OB प्राप्त होता है।

चित्र 9,ए

समाधान 3 .(चावल। 9, बी)

जैसा कि ज्ञात है , मध्य समलम्बाकार में

आधार, प्रतिच्छेदन बिंदु

विकर्ण और प्रतिच्छेदन बिंदु

पक्षों का विस्तार

एक ही सीधी रेखा पर लेट जाएं.

1) एम || (ए.बी.)-सीधे;

2) सी Î एम , डी Î एम , (जैसा) Ç (में डी ) = को; चित्र 9, बी

3) (एनई) Ç (ए डी ) = एफ ; 4) (के एफ ) Ç (एबी) =ओ. हमें AO = OB प्राप्त होता है।

मैं.5. विभिन्न निर्माण समस्याओं का समाधान

निम्नलिखित निर्माण समस्याओं को हल करने में केवल दो तरफा शासक का उपयोग करके, समानांतर रेखाओं का सीधा निर्माण और ऊपर दी गई सात मुख्य समस्याओं का उपयोग किया जाता है।

1. इस बिंदु से होकर दो परस्पर लंबवत रेखाएँ खींचिए।

आर समाधान: आइए इस बिंदु से होकर गुजरें

दो मनमानी रेखाएँ,

और फिर - समद्विभाजक

आसन्न कोने. (चित्र.10)

चित्र.10

2. एक खंड ए दिया गया है डी दी गई लंबाई ए.

एक खंड का निर्माण करें जिसकी लंबाई के बराबर हो।

आर
फ़ैसला : आइए अमल करें एम  एऔर एच || एम के माध्यम से

बिंदु ए. एफ || (ए डी ) , क || (विज्ञापन) सीधे.

आइए AB और AC बनाएं, जहां B =एफ  एम ,

एक सी = एम  क . एक ज्ञात तरीके से

एबी और एसी को आधा-आधा बांटें और

आइए त्रिभुज की माध्यिकाएँ बनाएं

एबीसी. मध्यस्थों की संपत्ति द्वारा

त्रिकोण, ओ डी = - ढूँढा गया

खंड (चित्र 11)

चावल। ग्यारह

3. एक खंड की रचना कीजिए जिसकी लंबाई है

दिए गए त्रिभुज की परिधि के बराबर।

समाधान: (चित्र 12)। आइए समद्विभाजक का निर्माण करें

त्रिभुज के दो बाहरी कोने, और फिर

3 चोटियाँ में आइए लंब रेखाएं बनाएं

इन द्विभाजकों को.

डे = ए + बी + एस

चित्र.12

4. लंबाई का एक खंड दिया गया है। लंबाई खंडों का निर्माण करें 2ए, 3ए.

आर समाधान: (चित्र 13)

1M एन) || (एबी) और (एम 1 एन 1 ) || (एम एन) || (एम 2 एन 2 ) –

सीधे तौर पर;

2) (सीए) और (सीबी) ए और बी के माध्यम से।

खंड ए 1 बी 1 और ए 2 बी 2 आवश्यक हैं।

इस समस्या का एक और समाधान हो सकता है

समस्या 7 के समाधान से प्राप्त किया गया।

चावल। 13

5. एक सीधी रेखा पर दो खंड दिए गए हैं, जिनकी लंबाई एक और है बी . ऐसे खंड बनाएं जिनकी लंबाई + के बराबर हो बी , बी - ए, ( ए + बी )/2 और ( बी - ए )/2 .

समाधान: और के लिए ए + बी(चित्र 14, ए)

चित्र 14, ए

बी) के लिए ( ए + बी)/2 (चित्र 14, बी)

1) (ए 1 बी 1) || (ए 2 बी 2) || (ए.बी.)-सीधे;

2) एम Î (ए 2 बी 2), (एमएक्स) Ç (ए 1 बी 1 )= एन, (एम एच) Ç (ए 1 बी 1 )= पी;

3) (पीवाई) Ç (ए 2 बी 2)= एल, (एलजेड ) Ç (ए 1 बी 1 )= हे,

हम पाते हैं: एन हे = एनपी + पी.ओ. =
.

चावल। 14, बी

ग) के लिए बी - ए(चित्र 14, सी)

चावल। 14,वी

ग) के लिए ( बी - ए )/2 (चित्र 14, डी)

चावल। 14,जी

6
. इस वृत्त के केंद्र का निर्माण करें।

समाधान : (चित्र 15) आइए एक सीधी रेखा AB खींचें,

वृत्त को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करना;

सूरज  एबी, जहां सी प्रतिच्छेदन बिंदु है

एक वृत्त के साथ.

बिंदु C से होकर हम AB के समानांतर रेखा खींचते हैं

सीधा सी डी; साथडीएक वृत्त को काटता है

बिंदु परडी.

कनेक्टडीबी के साथ और ए के साथ सी, हमें मिलता है

वांछित बिंदु वृत्त का केंद्र है। चावल। 15

समाधान 2: (चित्र 16) एक दोतरफा रूलर का उपयोग करके, दो समानांतर जीवाएँ बनाएँविज्ञापन औरईसा पूर्व . हमें एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज मिलता हैए बी सी डी. होने देनाक औरपी - रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुएसी। औरबी.डी , अब औरडीसी . फिर सीधापी क समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिंदुओं से होकर उनके लंबवत गुजरता है, जिसका अर्थ है कि यह दिए गए वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है। इसी प्रकार एक और सीधी रेखा बनाकर हम वृत्त का केंद्र ज्ञात करते हैं।

चावल। 16

7. एक वृत्त का चाप दिया गया है। वृत्त के केंद्र का निर्माण करें

समाधान . (चित्र 17) इस चाप पर तीन बिंदु A, B और C अंकित करें। खंड AB के सिरों पर एक रूलर लगाएं और इसके किनारों को ट्रेस करें। हमें दो समानांतर रेखाएँ मिलती हैं। रूलर की स्थिति बदलते हुए, हम दो और समानांतर रेखाएँ खींचते हैं। हमें एक समचतुर्भुज (समान ऊंचाई वाला एक समांतर चतुर्भुज) मिलता है। समचतुर्भुज के विकर्णों में से एक खंड का लंबवत समद्विभाजक हैअब , क्योंकि एक समचतुर्भुज का विकर्ण दूसरे विकर्ण के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित होता है। इसी प्रकार, हम खंड के लंबवत समद्विभाजक का निर्माण करते हैंएसी। . निर्मित द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु वांछित वृत्त का केंद्र है।

चावल। 17

8. एक खंड AB, एक गैर-समानांतर रेखा l और उस पर एक बिंदु M दिया गया है। एक दोतरफा रूलर का उपयोग करके, केंद्र M के साथ त्रिज्या AB वाले एक वृत्त के साथ सीधी रेखा l के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्माण करें।

समाधान: (चित्र.18)

आइए त्रिभुज को पूरा करेंए.बी.एम. समांतर चतुर्भुज कोएबीएनएम . आइए हम समद्विभाजक MT और की रचना करेंएमएसके बीच के कोणएम.एन.और सीधाएल . आइए बिंदु के माध्यम से जानेंएन इन समद्विभाजकों के समानांतर रेखाएँ:एनक्यू || एमएस, एन.आर. || एम.टी.. मीट्रिक टन│ एमएसआसन्न कोणों के समद्विभाजक के रूप में। मतलब,एनक्यू │ एमटी, यानी एक त्रिकोण मेंएनएमक्यूसमद्विभाजक ऊंचाई है, इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है:एमक्यू = एम.एन.. वैसे ही,श्री। = एम.एन.. अंकक्यूऔरआरढूँढा गया।

चावल। 18

9. एक रेखा l और l के समानांतर एक खंड OA दिया गया है। एक दोतरफा रूलर का उपयोग करके, केंद्र O के साथ त्रिज्या OA के एक वृत्त के साथ सीधी रेखा l के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्माण करें।

समाधान: (चित्र 19,ए)

चलो एक सीधा रास्ता बनाते हैंएल 1 , रेखा के समानांतरओ.ए. और उससे कुछ दूरी पर दूरए . चलिए इसे एक सीधी रेखा पर लेते हैंएल मनमाना बिंदुबी . होने देनाबी 1 - रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदुओ.बी. औरएल 1 . आइए बिंदु के माध्यम से जानेंबी 1 सीधा, समानांतरअब ; यह रेखा रेखा को प्रतिच्छेद करती हैओ.ए. बिंदु परए 1 . आइए अब हम बिंदुओं पर गौर करेंहे औरए 1 समानान्तर रेखाओं का एक युग्म, उनके बीच की दूरी हैए (रेखाओं के ऐसे दो जोड़े हो सकते हैं); होने देनाएक्स औरएक्स 1 - एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुहे , सीधी रेखाओं के साथएल औरएल 1 . क्योंकिओ.ए. 1 = बैल 1 और ∆ओ.ए. 1 एक्स 1 ∆ OAX , फिर OA = OX, बिंदुएक्स मांग में।

इसी प्रकार, हम वृत्त और रेखा के प्रतिच्छेदन का दूसरा बिंदु - बिंदु बनाते हैंवाई(चित्र 18, बी)।

चावल। 18,ए

चावल। 18, बी

मैं.6.एक तरफा शासक के साथ निर्माण

जेड
यहां हम एक विशेष मामले पर विचार करते हैं: मान लीजिए कि अंक P दिए गए हैं,क्यू, आर 1 औरक्यू 1 . और वे समलंब के शीर्ष पर स्थित हैं।

1. खंड P को विभाजित करें क्यू आधे में

समाधान चित्र 19 में दिखाया गया है

दिए गए बिंदु P,क्यू, आर 1 औरक्यू 1 और समानांतर रेखाएं

आरक्यू, आर 1 क्यू 1 . आइए आर को अंजाम देंक्यू 1  क्यूआर 1 = बी , आरआर 1  QQ 1 = ए

आइए बिंदु A और B को जोड़ें। AB आरक्यू = एफ- मध्य

खंड पीक्यू.

चावल। 19

2. खंड को दोगुना करें आर 1 क्यू 1.

आर
फ़ैसला चित्र 20 में दिखाया गया है। आइए निर्माण करें

बिंदुएफ– खंड पी के मध्यक्यूऔर इसे कनेक्ट करें

साथक्यू 1. आर 1 क्यू सामान्य प्रश्न 1 = एम। आइए आरएम को अंजाम दें। आर एम आर 1 क्यू 1 = आर

समानताआरक्यूऔर पी 1 क्यू 1 समानता से अनुसरण करता है

त्रिभुज आर एमएफऔर आरएमक्यू 1 ,

एफएमक्यूऔर आर 1 एमक्यू 1 , और समानताएं पीएफऔरसामान्य प्रश्न.

चावल। 20

3
. एक लंबाई खंड का निर्माण करें एन  आर 1 क्यू 1 .

एम – 1 समान खंड पीक्यू 2 , क्यू 2 क्यू 3, … क्यू एम -1 क्यू एम

फिर हम निर्माण करते हैं (आरआर 1 ) औरक्यू एम क्यू 1 और कनेक्ट करें

बिंदुओं के साथ उनका प्रतिच्छेदन बिंदु A

क्यू 2 , क्यू 3, … क्यू एम प्राप्तएम -1 प्रत्यक्ष

विभाजित करनाआर 1 क्यू 1 परएम बराबर भागों.

के लिएएम = 4 समाधान चित्र 22 में दिखाया गया है

चित्र.22

मैं.7. कम्पास और रूलर के साथ दो तरफा रूलर की विनिमेयता

आइए हम साबित करें कि एक दो तरफा शासक एक कम्पास और एक शासक के साथ विनिमेय है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित कथनों को सिद्ध करते हैं:

कथन 1: कम्पास और रूलर से किए जा सकने वाले सभी निर्माण दो तरफा रूलर से किए जा सकते हैं।

चूंकि एक कंपास और एक रूलर के साथ निर्माण करते समय, रूलर दो बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा खींचता है, और कंपास एक वृत्त का निर्माण करता है (किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर बिंदुओं का एक सेट ढूंढता है), तो एक कंपास और एक रूलर के साथ सभी निर्माण कम हो जाते हैं दो सीधी रेखाओं, दो वृत्तों और एक सीधी रेखा वाले एक वृत्त के प्रतिच्छेदन का निर्माण करना।

एक रूलर का उपयोग करके दो सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन बनाया जा सकता है।

एक वृत्त और एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन (चित्र 23):

निर्माण:मान लीजिए कि खंड AB दिया गया है - वृत्त की त्रिज्या, एक सीधी रेखाएल , वृत्त O का केंद्र, फिर:

1) हम ओएस चलाते हैं ||एल , ओएस = एबी.

2) हम ओएस चलाते हैं ||कऔर रिमोट से ए.

3) हम निभाते हैंओ.डी., ओ.डी. एल = डी; ओ.डी. k) थेल्स प्रमेय के परिणाम द्वारा

4) समानता की परिवर्तनशीलता के नियम के अनुसार

5) विचार करेंओएमक्यूई. ओएमक्यूईचूँकि OM || एक समांतर चतुर्भुज हैeq केऔर OE ||एम.सी.(रूलर की भुजाएँ समानांतर हैं)। आइए सिद्ध करें कि यह एक समचतुर्भुज है।

5.1) आचरणQZ ओ.सी.औरक्यूजी पर, तबक्यूजी = QZ = ए.

5.2)  ओएमक्यू =  आरक्यूएम(आड़े-तिरछे लेटे हुए);  ओएस =पर, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

दो वृत्तों का प्रतिच्छेदन: समान।

कथन 2: सभी निर्माण जो दो तरफा शासक के साथ किए जा सकते हैं, वे कम्पास और स्ट्रेटएज के साथ किए जा सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, हम एक कम्पास और एक रूलर का उपयोग करके दो तरफा रूलर के लिए मानक निर्माण कार्य करेंगे।

1) दो बिंदुओं का उपयोग करते हुए एक सीधी रेखा एक रूलर का उपयोग करके आसानी से बनाई जा सकती है।

2) किसी दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा का निर्माण और उससे दी गई दूरी पर दूरी बनाना:

2.1) मान लीजिए एक सीधी रेखा दी गई हैकऔर लंबाई खंडए.

2.2) एक मनमानी सीधी रेखा का निर्माण करेंबी क, होने देनाक बी= बी.

2.3) चालूबीबिंदु के दोनों ओरबीएक सीधी रेखा परबीलम्बाई का एक टुकड़ा अलग रख देंए, अंक देंसीऔरडी.

2.4) एक बिंदु के माध्यम सेसीएक सीधी रेखा बनाएंसी क.

2.5) एक बिंदु के माध्यम सेडीएक सीधी रेखा बनाएंडी क.

2.6) प्रत्यक्षसीऔरडी-आवश्यक, क्योंकिईसा पूर्वऔरबी.डीबराबरएनिर्माण द्वारा और सीधी रेखा के बीच की दूरी के बराबर हैंकऔर सीधा

3) एक दूसरे के समानांतर और दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखाओं का निर्माण, और उनके बीच की दूरी दिए गए खंड के बराबर है:

3.1) अंक दिए जाएंएऔरबीऔर लंबाई खंडए.

3.2) एक बिंदु पर केंद्र रखकर एक वृत्त की रचना करनाएऔर त्रिज्याए.

3.3) किसी दिए गए वृत्त पर एक बिंदु से होकर जाने वाली स्पर्शरेखा की रचना कीजिएबी; ऐसी दो स्पर्शरेखाएँ हैं यदिबीवृत्त के बाहर स्थित है (यदिअब> ए), एक अगरबीवृत्त पर स्थित है (यदिअब= ए), कोई नहीं यदिबीवृत्त के अंदर स्थित है (अब< ए). यह स्पर्शरेखा उन रेखाओं में से एक है जिनकी हम तलाश कर रहे हैं; बिंदु से गुजरना बाकी हैएइसके समानांतर सीधी रेखा.

3.4) चूँकि एक रेखा वृत्त की त्रिज्या पर स्पर्शरेखा के रूप में लंबवत है, दूसरी भी इसके लंबवत है (क्योंकि वे समानांतर हैं), इसलिए, उनके बीच की दूरी त्रिज्या के बराबर है, जो निर्माण के अनुसार बराबर हैए, जिसे प्राप्त करना आवश्यक था।

इस प्रकार, हमने एक दो-तरफा शासक और एक कम्पास और शासक की विनिमेयता को साबित कर दिया है।

निष्कर्ष: एक दो तरफा शासक एक कम्पास और एक शासक के साथ विनिमेय है।

निष्कर्ष

इसलिए, एक कंपास और एक रूलर का उपयोग करके शास्त्रीय निर्माण समस्याओं को हल करने के लिए एक रूलर का उपयोग करने की संभावना के प्रश्न पर विचार किया गया और हल किया गया। यह पता चला है कि निर्माण समस्याओं को केवल समानांतर किनारों वाले रूलर का उपयोग करके हल किया जा सकता है। अधिक जटिल समस्याओं को हल करते समय, किसी को इस कार्य में चर्चा की गई तथाकथित बुनियादी संरचनाओं पर भरोसा करना चाहिए।

प्रस्तुत सामग्री को न केवल गणित के पाठों में, गणित सर्कल कक्षाओं में, बल्कि व्यावहारिक गतिविधियों में भी सीधे लागू किया जा सकता है।

प्रयुक्त साहित्य की सूची

अलीयेव ए.वी. ज्यामितीय निर्माण. स्कूल में गणित. 1978 नंबर 3

ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास. एम., ज्ञानोदय. 1981.

डेपमैन आई.वाई.ए. गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। एम.. ज्ञानोदय. 1989.

एलेंस्की शच। पाइथागोरस के नक्शेकदम पर। एम., डेटगिज़. 1961.

एक युवा गणितज्ञ का विश्वकोश शब्दकोश। एम., शिक्षाशास्त्र। 1985

Src='https://current5.com/pretation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg' alt='>रूलर और कम्पास का उपयोग करके निर्माण ज्यामिति">!}

Src='https://current5.com/pretation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg' alt='> दिए गए Ú समस्या A B के बराबर एक खंड बनाएं"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src='https://current5.com/pretation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg' alt='> किसी दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना, त्रिभुजों पर विचार करना"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src='https://current5.com/pretation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg' alt='> एक कोण का समद्विभाजक बनाना समस्या Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src='https://current5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg' alt='> लंब रेखाओं का निर्माण Ú समस्या एक रेखा दी गई है"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src='https://current5.com/pretation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg' alt='> एक खंड के मध्यबिंदु का निर्माण कार्य Ú एक के मध्यबिंदु का निर्माण दिया गया"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

नगरपालिका बजटीय शैक्षणिक संस्थान

व्यक्तिगत विषयों के गहन अध्ययन के साथ माध्यमिक विद्यालय संख्या 34

MAN, भौतिकी और गणित अनुभाग

"कम्पास और रूलर का उपयोग करके ज्यामितीय निर्माण"

द्वारा पूरा किया गया: ग्रेड 7 "ए" का छात्र

बतिश्चेवा विक्टोरिया

प्रमुख: कोल्टोव्स्काया वी.वी.

वोरोनिश, 2013

3. दिए गए कोण के बराबर एक कोण बनाना।

पी आइए किसी दिए गए कोण के शीर्ष A पर केंद्र लेकर एक मनमाना वृत्त बनाएं (चित्र 3)। मान लीजिए कि B और C, कोण की भुजाओं के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। त्रिज्या AB से हम बिंदु O पर केंद्र रखकर एक वृत्त खींचते हैं, जो इस अर्ध-रेखा का प्रारंभिक बिंदु है। आइए हम इस अर्ध-रेखा के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को C के रूप में निरूपित करें 1 . आइए केंद्र C वाले एक वृत्त का वर्णन करें 1 और चित्र 3

विमान की त्रिज्या. बिंदु बी 1 संकेतित अर्ध-तल में निर्मित वृत्तों का प्रतिच्छेदन वांछित कोण के किनारे पर स्थित है।

6. लम्बवत रेखाओं का निर्माण.

हम चित्र 6 में बिंदु O पर केंद्र के साथ एक मनमानी त्रिज्या r के साथ एक वृत्त खींचते हैं। वृत्त रेखा को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करता है।बिंदु A और B से हम त्रिज्या AB वाले वृत्त बनाते हैं। मान लीजिए उदासी C इन वृत्तों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। एक मनमाना त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाते समय, हमें पहले चरण में बिंदु A और B प्राप्त हुए।

वांछित सीधी रेखा बिंदु C और O से होकर गुजरती है।

चित्र 6

ज्ञात पहलु

1.ब्रह्मगुप्त की समस्या

इसकी चारों भुजाओं का उपयोग करके एक उत्कीर्ण चतुर्भुज की रचना कीजिए। एक समाधान अपोलोनियस सर्कल का उपयोग करता है।आइए त्रिवृत्त और त्रिभुज के बीच सादृश्य का उपयोग करके अपोलोनियस की समस्या को हल करें। हम एक त्रिभुज में अंकित एक वृत्त को कैसे ढूंढते हैं: हम समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करते हैं, इससे त्रिभुज की भुजाओं पर लंब गिराते हैं, लंबों के आधार (जिस पक्ष पर यह है उसके साथ लंब के प्रतिच्छेदन बिंदु) गिरा दिया गया है) और हमें वांछित वृत्त पर स्थित तीन बिंदु दें। इन तीन बिंदुओं के माध्यम से एक वृत्त बनाएं - समाधान तैयार है। हम अपोलोनियस की समस्या के साथ भी ऐसा ही करेंगे।

2. अपोलोनियस की समस्या

एक कंपास और रूलर का उपयोग करके, दिए गए तीन वृत्तों की स्पर्श रेखा वाला एक वृत्त बनाएं। किंवदंती के अनुसार, यह समस्या 220 ईसा पूर्व के आसपास पेरगा के अपोलोनियस द्वारा तैयार की गई थी। इ। पुस्तक "टच" में, जो खो गया था, लेकिन 1600 में फ्रांकोइस विएते, "गैलिक अपोलोनियस" द्वारा बहाल किया गया था, जैसा कि उनके समकालीन उन्हें कहते थे।

यदि दिए गए वृत्तों में से कोई भी दूसरे वृत्त के अंदर नहीं है, तो इस समस्या के 8 महत्वपूर्ण रूप से भिन्न समाधान हैं।

नियमित बहुभुजों का निर्माण.

पी

सही (या समभुज ) त्रिकोण - यह नियमित बहुभुजतीन भुजाओं वाला, नियमित बहुभुजों में से पहला। सभीएक नियमित त्रिभुज की भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हैं, और सभीकोण 60° हैं. एक समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए, आपको वृत्त को 3 बराबर भागों में विभाजित करना होगा। ऐसा करने के लिए, व्यास के केवल एक छोर से इस वृत्त की त्रिज्या R का एक चाप खींचना आवश्यक है, हमें पहला और दूसरा विभाजन मिलता है। तीसरा विभाजन व्यास के विपरीत छोर पर है। इन बिंदुओं को जोड़ने पर हमें एक समबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है।

नियमित षट्कोण कर सकनाकम्पास और रूलर का उपयोग करके निर्माण करें। नीचेनिर्माण विधि दी गई हैवृत्त को 6 भागों में बाँटकर। हम एक नियमित षट्भुज की भुजाओं की समानता और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या का उपयोग करते हैं। वृत्त के किसी एक व्यास के विपरीत छोर से हम त्रिज्या R के चापों का वर्णन करते हैं। किसी दिए गए वृत्त के साथ इन चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु इसे 6 बराबर भागों में विभाजित करेंगे। पाए गए बिंदुओं को क्रमिक रूप से जोड़ने से एक नियमित षट्भुज प्राप्त होता है।

एक नियमित पंचकोण का निर्माण.

पी
एक नियमित पंचकोण हो सकता हैकम्पास और रूलर का उपयोग करके, या इसे किसी दिए गए में फिट करके बनाया गया हैवृत्त, या किसी दिए गए पक्ष पर आधारित निर्माण। इस प्रक्रिया का वर्णन यूक्लिड ने किया हैअपने तत्वों में लगभग 300 ई.पू. इ।

किसी दिए गए वृत्त में एक नियमित पंचभुज बनाने की एक विधि यहां दी गई है:

एक वृत्त बनाएं जिसमें पंचकोण अंकित हो और इसके केंद्र को इस रूप में चिह्नित करेंहे . (यह दाहिनी ओर के चित्र में हरा वृत्त है)।

वृत्त पर एक बिंदु चुनेंए , जो पंचभुज के शीर्षों में से एक होगा। के माध्यम से एक सीधी रेखा का निर्माण करेंहे औरए .

रेखा के लंबवत एक रेखा का निर्माण करेंओ.ए. , बिंदु से गुजर रहा हैहे . वृत्त के साथ इसके किसी एक प्रतिच्छेदन को एक बिंदु के रूप में नामित करेंबी .

एक बिंदु प्लॉट करेंसी बीच बीच मेंहे औरबी .

सी बिंदु के माध्यम सेए . इसके प्रतिच्छेदन को रेखा से चिह्नित करेंओ.बी. (मूल वृत्त के अंदर) एक बिंदु के रूप मेंडी .

केंद्र पर एक वृत्त बनाएंए बिंदु D के माध्यम से, इस वृत्त के प्रतिच्छेदन को मूल (हरा वृत्त) के साथ बिंदुओं के रूप में चिह्नित करेंइ औरएफ .

केंद्र पर एक वृत्त बनाएंइ बिंदु के माध्यम सेए जी .

केंद्र पर एक वृत्त बनाएंएफ बिंदु के माध्यम सेए . इसके दूसरे प्रतिच्छेदन को मूल वृत्त के साथ एक बिंदु के रूप में लेबल करेंएच .

एक नियमित पंचकोण का निर्माण करेंएईजीएचएफ .

न सुलझने वाली समस्याएँ

प्राचीन काल में निम्नलिखित तीन निर्माण कार्य निर्धारित किये गये थे:

एक कोण का त्रिखंड - एक मनमाने कोण को तीन बराबर भागों में विभाजित करें।

दूसरे शब्दों में, कोण ट्राइसेक्टर का निर्माण करना आवश्यक है - कोण को तीन समान भागों में विभाजित करने वाली किरणें। पी. एल. वान्ज़ेल ने 1837 में सिद्ध किया कि समस्या केवल तभी हल हो सकती है, उदाहरण के लिए, कोण α = 360°/n के लिए त्रिविभाजन संभव है, बशर्ते कि पूर्णांक n 3 से विभाज्य न हो। हालाँकि, समय-समय पर प्रेस में (गलत) ) कम्पास और रूलर से किसी कोण को त्रिविभाजित करने की विधियाँ प्रकाशित की गई हैं।

घन को दोगुना करना - कम्पास और रूलर से एक घन के किनारे का निर्माण करने की शास्त्रीय प्राचीन समस्या, जिसका आयतन किसी दिए गए घन के आयतन का दोगुना है।

आधुनिक संकेतन में, समस्या को समीकरण को हल करने तक सीमित कर दिया गया है. यह सब लंबाई के एक खंड के निर्माण की समस्या पर निर्भर करता है. पी. वांटज़ेल ने 1837 में साबित किया कि इस समस्या को कम्पास और स्ट्रेट एज का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है।

एक वृत्त का वर्ग बनाना - एक कार्य जिसमें दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर वर्ग के कंपास और रूलर का उपयोग करके एक निर्माण ढूंढना शामिल है.

जैसा कि आप जानते हैं, एक कंपास और एक रूलर की सहायता से आप सभी 4 अंकगणितीय ऑपरेशन कर सकते हैं और वर्गमूल निकाल सकते हैं; इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि वृत्त का वर्ग करना तभी संभव है जब, ऐसी क्रियाओं की एक सीमित संख्या का उपयोग करके, लंबाई π का ​​एक खंड बनाना संभव हो। इस प्रकार, इस समस्या की अघुलनशीलता संख्या π की गैर-बीजगणितीय प्रकृति (ट्रान्सेंडेंस) से आती है, जिसे 1882 में लिंडमैन द्वारा सिद्ध किया गया था।

एक और प्रसिद्ध समस्या जिसे कम्पास और रूलर का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता हैतीन दी गई समद्विभाजक लंबाई का उपयोग करके एक त्रिभुज का निर्माण करना .

इसके अलावा, ट्राइसेक्टर की उपस्थिति में भी यह समस्या हल नहीं हो पाती है।

19वीं शताब्दी में ही यह सिद्ध हो गया था कि केवल कम्पास और स्ट्रेटएज का उपयोग करके तीनों समस्याओं का समाधान नहीं किया जा सकता था। निर्माण की संभावना का प्रश्न गैलोज़ सिद्धांत पर आधारित बीजगणितीय विधियों द्वारा पूरी तरह से हल किया गया है।

क्या आप जानते हैं...

(ज्यामितीय निर्माणों के इतिहास से)

एक समय की बात है, नियमित बहुभुजों के निर्माण में एक रहस्यमय अर्थ का निवेश किया गया था।

इस प्रकार, पाइथागोरस, पाइथागोरस द्वारा स्थापित धार्मिक और दार्शनिक शिक्षण के अनुयायी, और जो प्राचीन ग्रीस में रहते थे (वीमैं-मैं वीसदियों ईसा पूर्व BC), उनके मिलन के संकेत के रूप में एक नियमित पंचकोण के विकर्णों द्वारा निर्मित एक तारे के आकार का बहुभुज अपनाया गया।

कुछ नियमित बहुभुजों के सख्त ज्यामितीय निर्माण के नियम प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड की पुस्तक "एलिमेंट्स" में दिए गए हैं, जो कहाँ रहते थेतृतीयवी ईसा पूर्व. इन निर्माणों को पूरा करने के लिए, यूक्लिड ने केवल एक शासक और एक कम्पास का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा, जिसमें उस समय पैरों को जोड़ने के लिए एक टिका हुआ उपकरण नहीं था (उपकरणों में ऐसी सीमा प्राचीन गणित की एक अपरिवर्तनीय आवश्यकता थी)।

प्राचीन खगोल विज्ञान में नियमित बहुभुजों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता था। यदि यूक्लिड गणित की दृष्टि से इन आकृतियों के निर्माण में रुचि रखते थे, तो प्राचीन यूनानी खगोलशास्त्री क्लॉडियस टॉलेमी (लगभग 90 - 160 ई.) के लिए यह खगोलीय समस्याओं को हल करने में सहायक उपकरण के रूप में आवश्यक साबित हुआ। तो, अल्मागेस्ट्स की पहली पुस्तक में, पूरा दसवां अध्याय नियमित पेंटागन और डेकागन के निर्माण के लिए समर्पित है।

हालाँकि, विशुद्ध रूप से वैज्ञानिक कार्यों के अलावा, नियमित बहुभुजों का निर्माण बिल्डरों, शिल्पकारों और कलाकारों के लिए पुस्तकों का एक अभिन्न अंग था। वास्तुकला, आभूषण और ललित कलाओं में इन आकृतियों को चित्रित करने की क्षमता की लंबे समय से आवश्यकता रही है।

रोमन वास्तुकार विट्रुवियस (जो लगभग 63-14 ईसा पूर्व रहते थे) की "वास्तुकला पर दस पुस्तकें" कहती हैं कि शहर की दीवारों की योजना में एक नियमित बहुभुज का रूप होना चाहिए, और किले के टावरों को "गोल या बहुभुज बनाया जाना चाहिए" , घेराबंदी के हथियारों द्वारा नष्ट किए गए चतुर्भुज के लिए।

विट्रुवियस के लिए शहरों का लेआउट बहुत रुचिकर था, उनका मानना ​​था कि सड़कों की योजना बनाना आवश्यक था ताकि मुख्य हवाएँ उनके साथ न चलें। यह माना गया कि ऐसी आठ हवाएँ थीं और वे निश्चित दिशाओं में बहती थीं।

पुनर्जागरण के दौरान, नियमित बहुभुज और विशेष रूप से पेंटागन का निर्माण, एक साधारण गणितीय खेल नहीं था, बल्कि किले के निर्माण के लिए एक आवश्यक शर्त थी।

नियमित षट्भुज महान जर्मन खगोलशास्त्री और गणितज्ञ जोहान्स केप्लर (1571-1630) के विशेष अध्ययन का विषय था, जिसके बारे में उन्होंने अपनी पुस्तक "न्यू ईयर गिफ्ट, या हेक्सागोनल स्नोफ्लेक्स" में बात की है। उन कारणों पर चर्चा करते हुए कि बर्फ के टुकड़ों का आकार षट्कोणीय क्यों होता है, वह विशेष रूप से निम्नलिखित पर ध्यान देते हैं: “... एक विमान को बिना अंतराल के केवल निम्नलिखित आकृतियों के साथ कवर किया जा सकता है: समबाहु त्रिकोण, वर्ग और नियमित षट्भुज। इन आकृतियों में, नियमित षट्भुज सबसे बड़े क्षेत्र को कवर करता है।"

ज्यामितीय निर्माणों में शामिल सबसे प्रसिद्ध वैज्ञानिकों में से एक महान जर्मन कलाकार और गणितज्ञ अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471 -1528) थे, जिन्होंने अपनी पुस्तक "मैनुअल..." का एक महत्वपूर्ण हिस्सा उन्हें समर्पित किया था। उन्होंने 3, 4, 5...16 भुजाओं वाले नियमित बहुभुज के निर्माण के लिए नियम प्रस्तावित किए। ड्यूरर द्वारा प्रस्तावित वृत्त को विभाजित करने की विधियाँ सार्वभौमिक नहीं हैं; प्रत्येक विशिष्ट मामले में एक व्यक्तिगत तकनीक का उपयोग किया जाता है।

ड्यूरर ने कलात्मक अभ्यास में नियमित बहुभुजों के निर्माण के तरीकों का उपयोग किया, उदाहरण के लिए, लकड़ी की छत के लिए विभिन्न प्रकार के आभूषण और पैटर्न बनाते समय। उन्होंने नीदरलैंड की यात्रा के दौरान ऐसे पैटर्न बनाए, जहां कई घरों में लकड़ी के फर्श पाए गए।

ड्यूरर ने नियमित बहुभुजों से आभूषणों की रचना की, जो छल्लों (छह समबाहु त्रिभुज, चार चतुर्भुज, तीन या छह षटकोण, चौदह सप्तकोण, चार अष्टकोण के छल्ले) में जुड़े हुए हैं।

निष्कर्ष

इसलिए,ज्यामितीय निर्माण किसी समस्या को हल करने की एक विधि है जिसमें उत्तर ग्राफ़िक रूप से प्राप्त किया जाता है। काम की अधिकतम परिशुद्धता और सटीकता के साथ ड्राइंग टूल्स का उपयोग करके निर्माण किया जाता है, क्योंकि समाधान की शुद्धता इस पर निर्भर करती है।

इस कार्य के लिए धन्यवाद, मैं कम्पास की उत्पत्ति के इतिहास से परिचित हो गया, ज्यामितीय निर्माण करने के नियमों से अधिक परिचित हो गया, नया ज्ञान प्राप्त किया और इसे व्यवहार में लागू किया।
परकार और रूलर के साथ निर्माण से जुड़ी समस्याओं को हल करना एक उपयोगी शगल है जो आपको ज्यामितीय आकृतियों और उनके तत्वों के ज्ञात गुणों पर नए सिरे से नज़र डालने की अनुमति देता है।यह पेपर कम्पास और रूलर का उपयोग करके ज्यामितीय निर्माणों से जुड़ी सबसे गंभीर समस्याओं पर चर्चा करता है। मुख्य समस्याओं पर विचार कर उनका समाधान बताया गया। दी गई समस्याएं महत्वपूर्ण व्यावहारिक रुचि की हैं, ज्यामिति में अर्जित ज्ञान को समेकित करती हैं और व्यावहारिक कार्यों के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है।
इस प्रकार, कार्य का लक्ष्य प्राप्त हो गया है, सौंपे गए कार्य पूरे हो गए हैं।

निर्माण कार्यों में हम एक ज्यामितीय आकृति के निर्माण पर विचार करेंगे, जो एक रूलर और कम्पास का उपयोग करके किया जा सकता है।

एक रूलर का उपयोग करके आप यह कर सकते हैं:

मनमानी सीधी रेखा;

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक मनमानी सीधी रेखा;

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा।

कम्पास का उपयोग करके, आप किसी दिए गए केंद्र से दिए गए त्रिज्या के एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं।

कम्पास का उपयोग करके आप किसी दिए गए बिंदु से दी गई रेखा पर एक खंड खींच सकते हैं।

आइए मुख्य निर्माण कार्यों पर विचार करें।

कार्य 1।दी गई भुजाओं a, b, c से एक त्रिभुज की रचना कीजिए (चित्र 1)।

समाधान। एक रूलर का उपयोग करके, एक मनमाना सीधी रेखा खींचें और उस पर एक मनमाना बिंदु B लें। a के बराबर एक कम्पास छेद का उपयोग करके, हम केंद्र B और त्रिज्या a के साथ एक वृत्त का वर्णन करते हैं। मान लीजिए C रेखा के साथ इसका प्रतिच्छेदन बिंदु है। सी के बराबर एक कंपास उद्घाटन के साथ, हम केंद्र बी से एक वृत्त का वर्णन करते हैं, और बी के बराबर एक कंपास उद्घाटन के साथ, हम केंद्र सी से एक वृत्त का वर्णन करते हैं। मान लीजिए कि ए इन वृत्तों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। त्रिभुज ABC की भुजाएँ a, b, c के बराबर हैं।

टिप्पणी। तीन सीधे खंडों को एक त्रिभुज की भुजाओं के रूप में कार्य करने के लिए, यह आवश्यक है कि उनमें से सबसे बड़ा खंड अन्य दो के योग से कम हो (और< b + с).

कार्य 2.

समाधान। शीर्ष A और किरण OM के साथ यह कोण चित्र 2 में दिखाया गया है।

आइए हम एक मनमाना वृत्त बनाएं जिसका केंद्र दिए गए कोण के शीर्ष A पर हो। मान लीजिए B और C कोण की भुजाओं के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं (चित्र 3, a)। त्रिज्या AB से हम एक वृत्त खींचते हैं जिसका केंद्र बिंदु O पर है - इस किरण का प्रारंभिक बिंदु (चित्र 3, बी)। आइए हम इस किरण के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को C 1 के रूप में निरूपित करें। आइए केंद्र C1 और त्रिज्या BC वाले एक वृत्त का वर्णन करें। दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन का बिंदु B 1 वांछित कोण के किनारे पर स्थित है। यह समानता Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिह्न) से अनुसरण करता है।

कार्य 3.इस कोण का समद्विभाजक बनाइए (चित्र 4)।

समाधान। किसी दिए गए कोण के शीर्ष A से, केंद्र की तरह, हम मनमानी त्रिज्या का एक वृत्त खींचते हैं। मान लीजिए B और C कोण की भुजाओं के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। बिंदु B और C से हम समान त्रिज्या वाले वृत्तों का वर्णन करते हैं। मान लीजिए कि D उनका प्रतिच्छेदन बिंदु है, जो A से भिन्न है। किरण AD कोण A को समद्विभाजित करती है। यह समानता Δ ABD = Δ ACD (त्रिकोणों की समानता के लिए तीसरा मानदंड) से अनुसरण करता है।

कार्य 4.इस खंड पर एक लंबवत समद्विभाजक बनाएं (चित्र 5)।

समाधान। एक मनमाना लेकिन समान कंपास उद्घाटन (1/2 एबी से बड़ा) का उपयोग करते हुए, हम बिंदु ए और बी पर केंद्रों के साथ दो चापों का वर्णन करते हैं, जो कुछ बिंदुओं सी और डी पर एक दूसरे को काटेंगे। सीधी रेखा सीडी वांछित लंबवत होगी। वास्तव में, जैसा कि निर्माण से देखा जा सकता है, प्रत्येक बिंदु C और D, A और B से समान दूरी पर है; इसलिए, ये बिंदु खंड AB के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित होने चाहिए।

कार्य 5.इस खंड को आधा भाग में बाँट लें। इसे समस्या 4 की तरह ही हल किया जाता है (चित्र 5 देखें)।

कार्य 6.किसी दिए गए बिंदु से होकर दी गई रेखा पर लंब रेखा खींचिए।

समाधान। दो संभावित मामले हैं:

1) एक दिया हुआ बिंदु O एक दी हुई सीधी रेखा a पर स्थित है (चित्र 6)।

बिंदु O से हम मनमानी त्रिज्या का एक वृत्त खींचते हैं जो रेखा a को बिंदु A और B पर काटता है। बिंदु A और B से हम समान त्रिज्या वाले वृत्त खींचते हैं। मान लीजिए कि O 1 उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु है, जो O से भिन्न है। हमें OO 1 ⊥ AB प्राप्त होता है। वास्तव में, बिंदु O और O 1 खंड AB के सिरों से समान दूरी पर हैं और इसलिए, इस खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित हैं।

उदाहरण

एक खंड को आधे में विभाजित करना

द्विभाजन समस्या. इस खंड को विभाजित करने के लिए कंपास और रूलर का उपयोग करें अबदो बराबर भागों में. समाधानों में से एक चित्र में दिखाया गया है:

• कम्पास का उपयोग करके हम बिंदुओं पर केंद्र वाले वृत्त बनाते हैं एऔर बी RADIUS अब.
• प्रतिच्छेदन बिंदु ढूँढना पीऔर क्यूदो निर्मित वृत्त (चाप)।
• रूलर का उपयोग करके, बिंदुओं से होकर गुजरने वाला एक खंड या रेखा खींचें पीऔर क्यू.
• खंड का वांछित मध्यबिंदु ढूँढना अब- प्रतिच्छेदन बिंदु अबऔर पी क्यू.

औपचारिक परिभाषा

निर्माण समस्याओं में, समतल के सभी बिंदुओं के समुच्चय, समतल की सभी सीधी रेखाओं के समुच्चय और समतल के सभी वृत्तों के समुच्चय पर विचार किया जाता है, जिस पर निम्नलिखित संक्रियाओं की अनुमति होती है:

1. सभी बिंदुओं के सेट से एक बिंदु चुनें:
   1. मनमाना बिंदु
   2. किसी दी गई रेखा पर मनमाना बिंदु
   3. किसी दिए गए वृत्त पर मनमाना बिंदु
   4. दो दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु
   5. किसी दी गई रेखा और किसी दिए गए वृत्त का प्रतिच्छेदन/स्पर्शरेखा बिंदु
   6. दो दिए गए वृत्तों के प्रतिच्छेदन/स्पर्शरेखा बिंदु
2. "का उपयोग करके शासकों»सभी पंक्तियों के सेट में से एक पंक्ति का चयन करें:
   1. मनमानी सीधी रेखा
   2. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक मनमानी सीधी रेखा
   3. दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा
3. "का उपयोग करके दिशा सूचक यंत्र»सभी वृत्तों के सेट में से एक वृत्त का चयन करें:
   1. मनमाना चक्र
   2. किसी दिए गए बिंदु पर केंद्र वाला एक मनमाना वृत्त
   3. दो दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर त्रिज्या वाला एक मनमाना वृत्त
   4. एक वृत्त जिसका केंद्र किसी दिए गए बिंदु पर हो और जिसकी त्रिज्या दो दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर हो

समस्या की स्थितियों में, बिंदुओं का एक निश्चित सेट निर्दिष्ट किया जाता है। ऊपर सूचीबद्ध स्वीकार्य परिचालनों में से एक सीमित संख्या में संचालन का उपयोग करके, बिंदुओं का एक और सेट बनाना आवश्यक है जो मूल सेट के साथ दिए गए संबंध में है।

निर्माण समस्या के समाधान में तीन आवश्यक भाग शामिल हैं:

1. किसी दिए गए सेट के निर्माण की विधि का विवरण.
2. सबूत है कि वर्णित तरीके से निर्मित सेट वास्तव में मूल सेट के साथ दिए गए संबंध में है। आमतौर पर निर्माण का प्रमाण स्वयंसिद्ध और अन्य सिद्ध प्रमेयों के आधार पर प्रमेय के नियमित प्रमाण के रूप में किया जाता है।
3. प्रारंभिक स्थितियों के विभिन्न संस्करणों के लिए इसकी प्रयोज्यता के साथ-साथ वर्णित विधि द्वारा प्राप्त समाधान की विशिष्टता या गैर-विशिष्टता के लिए वर्णित निर्माण विधि का विश्लेषण।

ज्ञात पहलु

• अपोलोनियस की तीन दिए गए वृत्तों की स्पर्श रेखा बनाने की समस्या। यदि दिए गए वृत्तों में से कोई भी दूसरे वृत्त के अंदर नहीं है, तो इस समस्या के 8 महत्वपूर्ण रूप से भिन्न समाधान हैं।
• ब्रह्मगुप्त की चारों भुजाओं का उपयोग करके एक उत्कीर्ण चतुर्भुज बनाने की समस्या।

नियमित बहुभुजों का निर्माण

प्राचीन भूगोलवेत्ता सही निर्माण करना जानते थे एन-गोन्स फॉर , , और .

संभव और असंभव निर्माण

सभी निर्माण किसी समीकरण के समाधान से अधिक कुछ नहीं हैं, और इस समीकरण के गुणांक दिए गए खंडों की लंबाई से संबंधित हैं। इसलिए, किसी संख्या के निर्माण के बारे में बात करना सुविधाजनक है - एक निश्चित प्रकार के समीकरण का ग्राफिकल समाधान। उपरोक्त आवश्यकताओं के ढांचे के भीतर, निम्नलिखित निर्माण संभव हैं:

• रैखिक समीकरणों के समाधान का निर्माण.
• द्विघात समीकरणों का समाधान बनाना।

दूसरे शब्दों में, केवल मूल संख्याओं (खंडों की लंबाई) के वर्गमूल का उपयोग करके अंकगणितीय अभिव्यक्तियों के बराबर संख्याएँ बनाना संभव है। उदाहरण के लिए,

विविधताएं और सामान्यीकरण

• एक कंपास का उपयोग कर निर्माण।मोहर-माशेरोनी प्रमेय के अनुसार, एक कंपास की सहायता से आप कोई भी आकृति बना सकते हैं जिसे एक कंपास और एक रूलर के साथ बनाया जा सकता है। इस मामले में, एक सीधी रेखा का निर्माण तब माना जाता है जब उस पर दो बिंदु निर्दिष्ट हों।
• एक रूलर का उपयोग कर निर्माण।यह देखना आसान है कि एक रूलर की सहायता से केवल प्रक्षेपी-अपरिवर्तनीय निर्माण ही किये जा सकते हैं। विशेष रूप से, किसी खंड को दो बराबर भागों में विभाजित करना, या खींचे गए वृत्त का केंद्र ढूंढना भी असंभव है। लेकिन यदि समतल पर एक चिह्नित केंद्र के साथ एक पूर्व-खींचा हुआ वृत्त है, तो एक रूलर का उपयोग करके, आप कम्पास और एक रूलर (पॉन्सलेट-स्टाइनर प्रमेय) के समान निर्माण कर सकते हैं। अंग्रेज़ी)), 1833. यदि एक रूलर पर दो पायदान हैं, तो इसका उपयोग करने वाला निर्माण कम्पास और एक रूलर का उपयोग करने वाले निर्माण के बराबर है (नेपोलियन ने इसे साबित करने के लिए एक महत्वपूर्ण कदम उठाया)।
• सीमित क्षमताओं वाले उपकरणों का उपयोग करके निर्माण।इस प्रकार की समस्याओं में, उपकरण (समस्या के शास्त्रीय सूत्रीकरण के विपरीत) को आदर्श नहीं, बल्कि सीमित माना जाता है: दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा केवल एक शासक का उपयोग करके खींची जा सकती है यदि इन बिंदुओं के बीच की दूरी एक निश्चित से अधिक न हो कीमत; कम्पास का उपयोग करके खींचे गए वृत्तों की त्रिज्या ऊपर, नीचे, या ऊपर और नीचे दोनों से सीमित की जा सकती है।
• फ्लैट ओरिगेमी का उपयोग कर निर्माण।हुजित नियम देखें

यह सभी देखें

• डायनेमिक ज्योमेट्री प्रोग्राम आपको कंप्यूटर पर कंपास और रूलर का उपयोग करके निर्माण करने की अनुमति देते हैं।

टिप्पणियाँ

साहित्य

• ए. एडलरज्यामितीय निर्माणों का सिद्धांत / जर्मन से अनुवाद जी. एम. फिख्तेनगोल्ट्स द्वारा। - तीसरा संस्करण। - एल.: उचपेडगिज़, 1940. - 232 पी।
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• बी. आई. अर्गुनोव, एम. बी. बाल्क. - दूसरा संस्करण। - एम.: उचपेडगिज़, 1957. - 268 पी।
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विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.

देखें कि "कम्पास और रूलर का उपयोग करके निर्माण" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

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यूक्लिडियन ज्यामिति की एक शाखा, जिसे प्राचीन काल से जाना जाता है। निर्माण कार्यों में, निम्नलिखित ऑपरेशन संभव हैं: समतल पर एक मनमाना बिंदु, निर्मित रेखाओं में से एक पर एक बिंदु, या दो निर्मित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें। ... विकिपीडिया की मदद से

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संज्ञा, स., प्रयुक्त. तुलना करना अक्सर आकृति विज्ञान: (नहीं) क्या? निर्माण, क्या? निर्माण, (मैं देखता हूं) क्या? निर्माण, क्या? निर्माण, किस बारे में? निर्माण के बारे में; कृपया. क्या? निर्माण, (नहीं) क्या? निर्माण, क्यों? निर्माण, (मैं देखता हूं) क्या? निर्माण, किसके साथ?... ... दिमित्रीव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

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