सबसे बड़ा मूल्य कैसे ज्ञात करें. समारोह की चरम सीमा

आइए देखें कि ग्राफ़ का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन की जांच कैसे करें। यह पता चलता है कि ग्राफ़ को देखकर, हम वह सब कुछ पता लगा सकते हैं जिसमें हमारी रुचि है, अर्थात्:

किसी फ़ंक्शन का डोमेन
फ़ंक्शन रेंज
फ़ंक्शन शून्य
बढ़ने और घटने का अंतराल
अधिकतम और न्यूनतम अंक
किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान।

आइए शब्दावली स्पष्ट करें:

सूच्याकार आकृति का भुजबिंदु का क्षैतिज निर्देशांक है.
तालमेल- लंबवत समन्वय.
एब्सिस्सा अक्ष- क्षैतिज अक्ष, जिसे अक्सर अक्ष कहा जाता है।
Y अक्ष- ऊर्ध्वाधर अक्ष, या अक्ष।

तर्क- एक स्वतंत्र चर जिस पर फ़ंक्शन मान निर्भर करते हैं। सबसे अधिक बार संकेत दिया गया है।
दूसरे शब्दों में, हम फ़ंक्शन को सूत्र में चुनते हैं, स्थानापन्न करते हैं और प्राप्त करते हैं।

कार्यक्षेत्रफ़ंक्शंस - उन (और केवल उन) तर्क मानों का सेट जिसके लिए फ़ंक्शन मौजूद है।
द्वारा संकेतित: या .

हमारे चित्र में, फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खंड है। इसी खंड पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ खींचा जाता है। यह एकमात्र स्थान है जहां यह फ़ंक्शन मौजूद है।

फ़ंक्शन रेंजमानों का वह समूह है जो एक चर लेता है। हमारे चित्र में, यह एक खंड है - निम्नतम से उच्चतम मान तक।

फ़ंक्शन शून्य- वे बिंदु जहां फ़ंक्शन का मान शून्य है, अर्थात। हमारे चित्र में ये बिंदु हैं और।

फ़ंक्शन मान सकारात्मक हैंकहाँ । हमारे चित्र में ये अंतराल हैं और।
फ़ंक्शन मान नकारात्मक हैंकहाँ । हमारे लिए यह से तक का अंतराल (या अंतराल) है।

सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएँ - बढ़ता और घटता कार्यकिसी सेट पर. एक सेट के रूप में, आप एक खंड, एक अंतराल, अंतरालों का एक संघ या संपूर्ण संख्या रेखा ले सकते हैं।

समारोह बढ़ती है

दूसरे शब्दों में, जितना अधिक, उतना अधिक, यानी ग्राफ़ दाईं ओर और ऊपर जाता है।

समारोह कम हो जाती हैकिसी सेट पर यदि किसी के लिए और सेट से संबंधित है, तो असमानता का तात्पर्य असमानता से है।

घटते फ़ंक्शन के लिए, बड़ा मान छोटे मान से मेल खाता है। ग्राफ़ दाएँ और नीचे जाता है।

हमारे चित्र में, फलन अंतराल पर बढ़ता है और अंतराल पर घटता है।

आइए परिभाषित करें कि यह क्या है फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम अंक.

अधिकतम बिंदु- यह परिभाषा के क्षेत्र का एक आंतरिक बिंदु है, जैसे कि इसमें फ़ंक्शन का मान इसके पर्याप्त करीब सभी बिंदुओं से अधिक है।
दूसरे शब्दों में, अधिकतम बिंदु वह बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन का मान होता है अधिकपड़ोसी की तुलना में. यह चार्ट पर एक स्थानीय "पहाड़ी" है।

हमारे चित्र में एक अधिकतम बिंदु है।

न्यूनतम बिंदु- परिभाषा के क्षेत्र का एक आंतरिक बिंदु, जैसे कि इसमें फ़ंक्शन का मान इसके पर्याप्त रूप से करीब सभी बिंदुओं से कम है।
यानी न्यूनतम बिंदु ऐसा है कि इसमें फ़ंक्शन का मान उसके पड़ोसियों की तुलना में कम है। यह ग्राफ़ पर एक स्थानीय "छेद" है।

हमारे चित्र में न्यूनतम बिंदु है।

मुद्दा सीमा है. यह परिभाषा के क्षेत्र का आंतरिक बिंदु नहीं है और इसलिए अधिकतम बिंदु की परिभाषा में फिट नहीं बैठता है। आख़िरकार, बाईं ओर उसका कोई पड़ोसी नहीं है। उसी तरह, हमारे चार्ट पर कोई न्यूनतम बिंदु नहीं हो सकता।

अधिकतम और न्यूनतम अंक एक साथ कहलाते हैं फ़ंक्शन के चरम बिंदु. हमारे मामले में यह है और .

यदि आपको खोजने की आवश्यकता हो तो क्या करें, उदाहरण के लिए, न्यूनतम कार्यखंड पर? इस मामले में उत्तर है: . क्योंकि न्यूनतम कार्यन्यूनतम बिंदु पर इसका मान है.

इसी प्रकार, हमारे कार्य की अधिकतम सीमा है। यह बिंदु पर पहुंच गया है.

हम कह सकते हैं कि फलन का चरम और के बराबर है।

कभी-कभी समस्याओं को खोजने की आवश्यकता होती है किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मानकिसी दिए गए खंड पर. जरूरी नहीं कि वे चरम सीमाओं से मेल खाते हों।

हमारे मामले में सबसे छोटा फ़ंक्शन मानखंड पर फ़ंक्शन के न्यूनतम के बराबर है और उसके साथ मेल खाता है। लेकिन इस सेगमेंट पर इसका सबसे बड़ा मूल्य बराबर है। यह खंड के बाएँ छोर पर पहुँच जाता है।

किसी भी स्थिति में, किसी खंड पर निरंतर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान या तो चरम बिंदु पर या खंड के अंत में प्राप्त किया जाता है।

व्यवहार में, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना करने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना काफी आम है। हम यह क्रिया तब करते हैं जब हम यह पता लगाते हैं कि लागत को कैसे कम किया जाए, मुनाफा कैसे बढ़ाया जाए, उत्पादन पर इष्टतम भार की गणना कैसे की जाए, आदि, अर्थात, ऐसे मामलों में जहां हमें किसी पैरामीटर का इष्टतम मूल्य निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। ऐसी समस्याओं को सही ढंग से हल करने के लिए, आपको इस बात की अच्छी समझ होनी चाहिए कि किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान क्या हैं।

आमतौर पर हम इन मानों को एक निश्चित अंतराल x के भीतर परिभाषित करते हैं, जो बदले में फ़ंक्शन के संपूर्ण डोमेन या उसके भाग के अनुरूप हो सकता है। यह एक खंड की तरह हो सकता है [ए; b ] , और खुला अंतराल (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), अनंत अंतराल (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) या अनंत अंतराल - ∞ ; ए , (- ∞ ; ए ] , [ ए ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

इस सामग्री में हम आपको बताएंगे कि एक चर y=f(x) y = f (x) के साथ स्पष्ट रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों की गणना कैसे करें।

बुनियादी परिभाषाएँ

आइए, हमेशा की तरह, बुनियादी परिभाषाओं के निर्माण के साथ शुरुआत करें।

परिभाषा 1

एक निश्चित अंतराल x पर फ़ंक्शन y = f (x) का सबसे बड़ा मान m a x y = f (x 0) x ∈ X है, जो किसी भी मान x x ∈ X, x ≠ x 0 के लिए असमानता f (x) बनाता है ≤ f (x) वैध 0) .

परिभाषा 2

एक निश्चित अंतराल x पर फ़ंक्शन y = f (x) का सबसे छोटा मान m i n x ∈ X y = f (x 0) का मान है, जो किसी भी मान x ∈ X, x ≠ x 0 के लिए असमानता f(X f) बनाता है (एक्स) ≥ एफ (एक्स 0) .

ये परिभाषाएँ बिल्कुल स्पष्ट हैं। और भी सरलता से, हम यह कह सकते हैं: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान एब्सिस्सा x 0 पर ज्ञात अंतराल पर इसका सबसे बड़ा मान है, और सबसे छोटा x 0 पर समान अंतराल पर सबसे छोटा स्वीकृत मान है।

परिभाषा 3

स्थिर बिंदु किसी फ़ंक्शन के तर्क के वे मान हैं जिन पर इसका व्युत्पन्न 0 हो जाता है।

हमें यह जानने की आवश्यकता क्यों है कि स्थिर बिंदु क्या हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए हमें फ़र्मेट के प्रमेय को याद रखना होगा। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक स्थिर बिंदु वह बिंदु है जिस पर अवकलनीय फलन का चरम स्थित होता है (अर्थात, इसका स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम)। नतीजतन, फ़ंक्शन निश्चित अंतराल पर किसी स्थिर बिंदु पर सबसे छोटा या सबसे बड़ा मान लेगा।

एक फ़ंक्शन उन बिंदुओं पर सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान भी ले सकता है, जहां फ़ंक्शन स्वयं परिभाषित है और इसका पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

इस विषय का अध्ययन करते समय पहला प्रश्न यह उठता है: क्या सभी मामलों में हम किसी दिए गए अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान निर्धारित कर सकते हैं? नहीं, हम ऐसा तब नहीं कर सकते जब किसी दिए गए अंतराल की सीमाएँ परिभाषा क्षेत्र की सीमाओं से मेल खाती हों, या यदि हम एक अनंत अंतराल से निपट रहे हों। ऐसा भी होता है कि किसी दिए गए खंड में या अनंत पर कोई फ़ंक्शन अनंत रूप से छोटे या असीम रूप से बड़े मान लेगा। इन मामलों में, सबसे बड़ा और/या सबसे छोटा मूल्य निर्धारित करना संभव नहीं है।

ग्राफ़ पर दर्शाए जाने के बाद ये बिंदु स्पष्ट हो जाएंगे:

पहला आंकड़ा हमें एक फ़ंक्शन दिखाता है जो खंड पर स्थित स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान (एम ए एक्स वाई और एम आई एन वाई) लेता है [ - 6 ; 6].

आइए दूसरे ग्राफ़ में दर्शाए गए मामले की विस्तार से जाँच करें। आइए खंड का मान बदलकर [ 1 ; 6 ] और हम पाते हैं कि फ़ंक्शन का अधिकतम मान अंतराल की दाहिनी सीमा पर भुज के साथ बिंदु पर प्राप्त किया जाएगा, और न्यूनतम - स्थिर बिंदु पर।

तीसरी आकृति में, बिंदुओं के भुज खंड के सीमा बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं [-3; 2]. वे किसी दिए गए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के अनुरूप होते हैं।

अब चौथी तस्वीर पर नजर डालते हैं. इसमें, फ़ंक्शन खुले अंतराल (- 6; 6) पर स्थिर बिंदुओं पर m a x y (सबसे बड़ा मान) और m i n y (सबसे छोटा मान) लेता है।

यदि हम अंतराल लें [ 1 ; 6), तो हम कह सकते हैं कि इस पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एक स्थिर बिंदु पर प्राप्त किया जाएगा। सबसे बड़ा मूल्य हमारे लिए अज्ञात होगा। यदि x = 6 अंतराल से संबंधित है तो फ़ंक्शन x पर अपना अधिकतम मान 6 के बराबर ले सकता है। यह बिल्कुल वैसा ही मामला है जैसा ग्राफ़ 5 में दिखाया गया है।

ग्राफ़ 6 में, यह फ़ंक्शन अंतराल (- 3; 2 ] की दाहिनी सीमा पर अपना सबसे छोटा मान प्राप्त करता है, और हम सबसे बड़े मान के बारे में निश्चित निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं।

चित्र 7 में हम देखते हैं कि फलन में एक स्थिर बिंदु पर m a x y होगा जिसका भुज 1 के बराबर होगा। फ़ंक्शन दाईं ओर अंतराल की सीमा पर अपने न्यूनतम मान तक पहुंच जाएगा। माइनस इनफिनिटी पर, फ़ंक्शन मान स्पर्शोन्मुख रूप से y = 3 तक पहुंच जाएगा।

यदि हम अंतराल x ∈ 2 लेते हैं; + ∞ , तो हम देखेंगे कि दिया गया फ़ंक्शन न तो सबसे छोटा और न ही सबसे बड़ा मान लेगा। यदि x 2 की ओर प्रवृत्त होता है, तो फ़ंक्शन का मान शून्य से अनंत की ओर प्रवृत्त होगा, क्योंकि सीधी रेखा x = 2 एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है। यदि एब्सिस्सा प्लस इनफिनिटी की ओर जाता है, तो फ़ंक्शन मान असम्बद्ध रूप से y = 3 तक पहुंच जाएगा। यह बिल्कुल वैसा ही है जैसा चित्र 8 में दिखाया गया है।

इस पैराग्राफ में हम उन क्रियाओं का क्रम प्रस्तुत करेंगे जिन्हें एक निश्चित खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने के लिए निष्पादित करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें। आइए जांचें कि शर्त में निर्दिष्ट खंड इसमें शामिल है या नहीं।
आइए अब इस खंड में शामिल उन बिंदुओं की गणना करें जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। अक्सर वे उन फ़ंक्शंस में पाए जा सकते हैं जिनका तर्क मापांक चिह्न के तहत लिखा जाता है, या पावर फ़ंक्शंस में जिनका घातांक एक भिन्नात्मक तर्कसंगत संख्या है।
इसके बाद, हम यह पता लगाएंगे कि दिए गए खंड में कौन से स्थिर बिंदु आएंगे। ऐसा करने के लिए, आपको फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने की आवश्यकता है, फिर इसे 0 के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें, और फिर उचित जड़ों का चयन करें। यदि हमें एक भी स्थिर बिंदु नहीं मिलता है या वे दिए गए खंड में नहीं आते हैं, तो हम अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।
हम यह निर्धारित करते हैं कि दिए गए स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) पर फ़ंक्शन कौन से मान लेगा, या उन बिंदुओं पर जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (यदि कोई है), या हम x = a और के मानों की गणना करते हैं एक्स = बी.
5. हमारे पास कई फ़ंक्शन मान हैं, जिनमें से अब हमें सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करने की आवश्यकता है। ये फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान होंगे जिन्हें हमें खोजने की आवश्यकता है।

आइए देखें कि समस्याओं को हल करते समय इस एल्गोरिदम को सही ढंग से कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण 1

स्थिति:फलन y = x 3 + 4 x 2 दिया गया है। खंडों पर इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें [ 1 ; 4 ] और [-4 ; - 1 ] .

समाधान:

आइए किसी दिए गए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढकर शुरुआत करें। इस स्थिति में, यह 0 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा। दूसरे शब्दों में, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . शर्त में निर्दिष्ट दोनों खंड परिभाषा क्षेत्र के अंदर होंगे।

अब हम भिन्न विभेदन के नियम के अनुसार फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 एक्स 3

हमने सीखा कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खंडों के सभी बिंदुओं पर मौजूद होगा [ 1 ; 4 ] और [-4 ; - 1 ] .

अब हमें फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु निर्धारित करने की आवश्यकता है। आइए इसे समीकरण x 3 - 8 x 3 = 0 का उपयोग करके करें। इसकी केवल एक ही वास्तविक जड़ है, जो कि 2 है। यह फ़ंक्शन का एक स्थिर बिंदु होगा और पहले खंड में आएगा [1; 4 ] .

आइए पहले खंड के अंत में और इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें, अर्थात। x = 1, x = 2 और x = 4 के लिए:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

हमने पाया कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 x = 1 पर प्राप्त किया जाएगा, और सबसे छोटा m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 - x = 2 पर।

दूसरे खंड में एक भी स्थिर बिंदु शामिल नहीं है, इसलिए हमें केवल दिए गए खंड के अंत में फ़ंक्शन मानों की गणना करने की आवश्यकता है:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

इसका मतलब यह है कि m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

उत्तर:खंड के लिए [1 ; 4 ] - एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [ 1 ; 4 ] = वाई (2) = 3 , एम आई एन वाई एक्स ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , खंड के लिए [ - 4 ; - 1 ] - एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

तस्वीर देखने:

इस विधि का अध्ययन करने से पहले, हम आपको सलाह देते हैं कि आप समीक्षा करें कि एक तरफा सीमा और अनंत पर सीमा की सही गणना कैसे करें, साथ ही उन्हें खोजने के लिए बुनियादी तरीकों को भी सीखें। किसी खुले या अनंत अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और/या सबसे छोटा मान खोजने के लिए, निम्नलिखित चरणों का क्रमिक रूप से पालन करें।

सबसे पहले, आपको यह जांचना होगा कि क्या दिया गया अंतराल दिए गए फ़ंक्शन के डोमेन का सबसेट होगा।
आइए हम उन सभी बिंदुओं को निर्धारित करें जो आवश्यक अंतराल में शामिल हैं और जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। वे आम तौर पर उन कार्यों के लिए होते हैं जहां तर्क मापांक चिह्न में संलग्न होता है, और आंशिक रूप से तर्कसंगत घातांक के साथ शक्ति कार्यों के लिए होता है। यदि ये बिंदु गायब हैं, तो आप अगले चरण पर आगे बढ़ सकते हैं।
अब आइए निर्धारित करें कि दिए गए अंतराल में कौन से स्थिर बिंदु आएंगे। सबसे पहले, हम अवकलज को 0 के बराबर करते हैं, समीकरण को हल करते हैं और उपयुक्त मूलों का चयन करते हैं। यदि हमारे पास एक भी स्थिर बिंदु नहीं है या वे निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं आते हैं, तो हम तुरंत आगे की कार्रवाई के लिए आगे बढ़ते हैं। वे अंतराल के प्रकार से निर्धारित होते हैं।

यदि अंतराल फॉर्म का है [ ए ; बी) , तो हमें बिंदु x = a और एक तरफा सीमा lim x → b - 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
यदि अंतराल का रूप (a; b ] है, तो हमें बिंदु x = b और एक तरफा सीमा lim x → a + 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
यदि अंतराल का रूप (ए; बी) है, तो हमें एक तरफा सीमा लिम एक्स → बी - 0 एफ (एक्स), लिम एक्स → ए + 0 एफ (एक्स) की गणना करने की आवश्यकता है।
यदि अंतराल फॉर्म का है [ ए ; + ∞), तो हमें बिंदु x = a पर मान और प्लस अनंत lim x → + ∞ f (x) पर सीमा की गणना करने की आवश्यकता है।
यदि अंतराल (- ∞ ; b ] जैसा दिखता है, तो हम बिंदु x = b पर मान और शून्य से अनंत सीमा x → - ∞ f (x) पर सीमा की गणना करते हैं।
यदि - ∞ ; b , तो हम एक तरफा सीमा lim x → b - 0 f (x) और शून्य से अनंत lim x → - ∞ f (x) पर सीमा पर विचार करते हैं
अगर - ∞; + ∞ , फिर हम माइनस और प्लस अनंत lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) पर सीमा पर विचार करते हैं।

अंत में, आपको प्राप्त फ़ंक्शन मानों और सीमाओं के आधार पर निष्कर्ष निकालना होगा। यहां कई विकल्प उपलब्ध हैं. इसलिए, यदि एकतरफा सीमा माइनस इनफिनिटी या प्लस इनफिनिटी के बराबर है, तो यह तुरंत स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों के बारे में कुछ भी नहीं कहा जा सकता है। नीचे हम एक विशिष्ट उदाहरण देखेंगे. विस्तृत विवरण आपको यह समझने में मदद करेंगे कि क्या है। यदि आवश्यक हो, तो आप सामग्री के पहले भाग में चित्र 4 - 8 पर लौट सकते हैं।

उदाहरण 2

शर्त: दिया गया फलन y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4। अंतरालों में इसके सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना करें - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [4 ; + ∞) .

समाधान

सबसे पहले, हम फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढते हैं। भिन्न के हर में एक द्विघात त्रिपद होता है, जिसे 0 में नहीं बदलना चाहिए:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

हमने फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन प्राप्त कर लिया है जिससे स्थिति में निर्दिष्ट सभी अंतराल संबंधित हैं।

आइए अब फ़ंक्शन को अलग करें और प्राप्त करें:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 एक्स 2 + एक्स - 6 2

नतीजतन, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न उसकी परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में मौजूद होते हैं।

आइए स्थिर बिंदुओं को खोजने की ओर आगे बढ़ें। फ़ंक्शन का अवकलज x = - 1 2 पर 0 हो जाता है। यह एक स्थिर बिंदु है जो अंतराल (- 3 ; 1 ] और (- 3 ; 2) में स्थित है।

आइए अंतराल (- ∞ ; - 4 ] के लिए x = - 4 पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें, साथ ही शून्य से अनंत पर सीमा की गणना करें:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0। 456 लिम x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

चूँकि 3 e 1 6 - 4 > - 1, इसका मतलब है कि m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. यह हमें विशिष्ट रूप से न्यूनतम मान निर्धारित करने की अनुमति नहीं देता है फ़ंक्शन। हम केवल यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि -1 के नीचे एक बाधा है, क्योंकि यह इस मान पर है कि फ़ंक्शन माइनस इनफिनिटी पर स्पर्शोन्मुख रूप से आता है।

दूसरे अंतराल की ख़ासियत यह है कि इसमें एक भी स्थिर बिंदु नहीं है और एक भी सख्त सीमा नहीं है। परिणामस्वरूप, हम फ़ंक्शन के सबसे बड़े या सबसे छोटे मान की गणना नहीं कर पाएंगे। माइनस इनफिनिटी पर सीमा को परिभाषित करने के बाद और जैसे ही तर्क बाईं ओर -3 की ओर जाता है, हमें केवल मानों का अंतराल मिलता है:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (+ 0) - 4 = 3 ई + ∞ - 4 = + ∞ लिम एक्स → - ∞ 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = 3 ई 0 - 4 = - 1

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन मान अंतराल - 1 में स्थित होंगे; +∞

तीसरे अंतराल में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान खोजने के लिए, हम स्थिर बिंदु x = - 1 2 पर इसका मान निर्धारित करते हैं यदि x = 1 है। हमें उस मामले के लिए एकतरफ़ा सीमा जानने की भी आवश्यकता होगी जब तर्क दाहिनी ओर -3 पर हो:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1। 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1। 644 लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 (एक्स + 3) (एक्स - 2) - 4 = 3 ई 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (- 0) - 4 = 3 ई - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

यह पता चला कि फ़ंक्शन एक स्थिर बिंदु m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 पर सबसे बड़ा मान लेगा। सबसे छोटे मान के लिए, हम इसे निर्धारित नहीं कर सकते। हम जो कुछ भी जानते हैं , - 4 की निचली सीमा की उपस्थिति है।

अंतराल (- 3; 2) के लिए, पिछली गणना के परिणाम लें और एक बार फिर से गणना करें कि बाईं ओर 2 की ओर बढ़ने पर एक तरफा सीमा किसके बराबर है:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1। 444 लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = - 4 लिम एक्स → 2 - 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

इसका मतलब यह है कि m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, और सबसे छोटा मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है, और फ़ंक्शन के मान नीचे से संख्या - 4 द्वारा सीमित हैं .

पिछली दो गणनाओं में हमें जो मिला, उसके आधार पर हम कह सकते हैं कि अंतराल पर [ 1 ; 2) फ़ंक्शन x = 1 पर सबसे बड़ा मान लेगा, लेकिन सबसे छोटा मान ढूंढना असंभव है।

अंतराल (2 ; + ∞) पर फ़ंक्शन या तो सबसे बड़े या सबसे छोटे मान तक नहीं पहुंचेगा, यानी। यह अंतराल से मान लेगा - 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (+ 0) - 4 = 3 ई + ∞ - 4 = + ∞ लिम एक्स → + ∞ 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = 3 ई 0 - 4 = - 1

यह गणना करने पर कि x = 4 पर फ़ंक्शन का मान किसके बराबर होगा, हमें पता चलता है कि m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4, और प्लस इनफिनिटी पर दिया गया फ़ंक्शन स्पर्शोन्मुख रूप से सीधी रेखा y = - 1 तक पहुंचेगा।

आइए प्रत्येक गणना में हमें जो मिला उसकी तुलना दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ से करें। चित्र में, अनंतस्पर्शियों को बिंदीदार रेखाओं द्वारा दिखाया गया है।

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने के बारे में हम आपको बस इतना ही बताना चाहते थे। हमारे द्वारा दिए गए कार्यों का क्रम आपको आवश्यक गणना यथासंभव शीघ्र और सरलता से करने में मदद करेगा। लेकिन याद रखें कि पहले यह पता लगाना अक्सर उपयोगी होता है कि फ़ंक्शन किस अंतराल पर घटेगा और किस अंतराल पर बढ़ेगा, जिसके बाद आप आगे निष्कर्ष निकाल सकते हैं। इस तरह आप फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को अधिक सटीक रूप से निर्धारित कर सकते हैं और प्राप्त परिणामों को सही ठहरा सकते हैं।

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किसी खंड पर सतत फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1) खंड से संबंधित फ़ंक्शन के सभी महत्वपूर्ण बिंदु खोजें;

2) इन बिंदुओं पर और खंड के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें;

3) प्राप्त मूल्यों में से सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें।

उदाहरण 8.1.किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें
खंड पर
.

समाधान। 1) फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।

,




.

खंड पर
हर लुप्त नहीं होता. इसलिए, एक भिन्न शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि अंश शून्य के बराबर है:




.

मतलब,
- फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु. यह इसी सेगमेंट का है.

आइए महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

2) खंड के अंत में फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें:

, .

3) प्राप्त मूल्यों में से, सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें:

,
.

9. मात्राओं का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करने की समस्याएँ

मात्राओं के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की गणना से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, आपको पहले यह निर्धारित करना होगा कि समस्या में किस मात्रा के लिए आपको सबसे छोटा या सबसे बड़ा मूल्य खोजने की आवश्यकता है। यह मान अध्ययनाधीन फ़ंक्शन होगा. फिर उन राशियों में से एक, जिसके परिवर्तन पर फ़ंक्शन का अनुप्रयोग निर्भर करता है, को एक स्वतंत्र चर के रूप में लिया जाना चाहिए और फ़ंक्शन को इसके माध्यम से व्यक्त किया जाना चाहिए। इस मामले में, स्वतंत्र चर के रूप में उस मान को चुनना आवश्यक है जिसके माध्यम से अध्ययन के तहत फ़ंक्शन को सबसे सरल रूप से व्यक्त किया जाता है। इसके बाद, स्वतंत्र चर में परिवर्तन के एक निश्चित अंतराल में परिणामी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने की समस्या हल हो जाती है, जो आमतौर पर समस्या के सार से स्थापित होती है।

उदाहरण 9.1.त्रिज्या की एक गेंद में अंकित किए जा सकने वाले सबसे बड़े आयतन के शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए .

आर फ़ैसला।शंकु के आधार की त्रिज्या, ऊंचाई और आयतन को क्रमशः निर्दिष्ट करना ,और , चलो लिखते है
. यह समानता दो चरों पर निर्भरता को व्यक्त करती है और ; आइए हम इनमें से एक मात्रा को हटा दें, अर्थात् . ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज से
हम प्राप्त करते हैं (एक समकोण के शीर्ष से कर्ण पर डाले गए लंब के वर्ग के बारे में प्रमेय का उपयोग करके):

चित्र 6 - उदाहरण 9.1 के लिए चित्रण।

या
.

मान को प्रतिस्थापित करना शंकु के आयतन के सूत्र में, हमें मिलता है:

हम देखते हैं कि वॉल्यूम त्रिज्या की एक गेंद में अंकित शंकु , इस शंकु की ऊंचाई का एक कार्य है . वह ऊँचाई ज्ञात करना जिस पर अंकित शंकु का आयतन बड़ा है, का अर्थ है ऐसी ऊँचाई ज्ञात करना , जिस पर समारोह अधिकतम है. हम अधिकतम फ़ंक्शन की तलाश में हैं:

1)
,

2)
,
,
, कहाँ
या
,

3)
.

इसके स्थान पर प्रतिस्थापित करना सर्वप्रथम
, और तब
, हम पाते हैं:

पहले मामले में हमारे पास न्यूनतम (
पर
), दूसरे में वांछित अधिकतम (चूंकि
पर
).

इसलिए, जब
त्रिज्या की एक गेंद में अंकित शंकु , सबसे बड़ी मात्रा है.

पी उदाहरण 9.2. तार की जाली की लंबाई के साथ बाड़ लगाना आवश्यक है 60 एमघर की दीवार से सटा एक आयताकार क्षेत्र (चित्र 7)। प्लॉट की लंबाई और चौड़ाई कितनी होनी चाहिए ताकि उसका क्षेत्रफल सबसे अधिक हो?

समाधान।प्लॉट की चौड़ाई बताइए एम, और क्षेत्र एम 2 , तब:

चित्र 7 - उदाहरण 9.2 के लिए चित्रण।

मान और ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए गुणक
, ए
.

वर्ग वहाँ एक समारोह है , हम इसकी वृद्धि और कमी के अंतराल निर्धारित करते हैं:

.
, और फ़ंक्शन तब बढ़ता है जब
;
, और जब फ़ंक्शन कम हो जाता है
. इसलिए, बात
अधिकतम बिंदु है. चूँकि यह अंतराल से संबंधित एकमात्र बिंदु है
, फिर बिंदु पर
कार्य सबसे अधिक मायने रखता है।

अत: भूखंड का क्षेत्रफल यदि चौड़ाई हो तो अधिकतम (अधिकतम) होता है
एम,और लंबाई एम.

उदाहरण 9.3.एक आयताकार कमरे का क्षेत्रफल कितना होना चाहिए 36 मी 2 ताकि इसकी परिधि सबसे छोटी हो?

समाधान. लंबाई रहने दीजिए एम,फिर आयत की चौड़ाई एम, और परिधि:

परिमाप लंबाई का एक कार्य है , सभी सकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित :
.

आइए हम इसके बढ़ने और घटने का अंतराल निर्धारित करें:

व्युत्पन्न का चिह्न अंतर के चिह्न से निर्धारित होता है
. अंतरिम में

, और बीच में

.

इसलिए, बात
न्यूनतम बिंदु है. चूँकि यह अंतराल से संबंधित एकमात्र बिंदु है:
, फिर बिंदु पर
फ़ंक्शन का मान सबसे छोटा है.

इसलिए, यदि आयत की लंबाई है तो उसकी परिधि का मान सबसे छोटा (न्यूनतम) होता है 6 एमऔर चौड़ाई मी = 6 मी,अर्थात्, जब यह एक वर्ग हो।

$\blacktriangleright$ खंड  पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा/छोटा मान खोजने के लिए, इस खंड पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करना आवश्यक है।
इस उपविषय की समस्याओं में, इसे व्युत्पन्न का उपयोग करके किया जा सकता है: बढ़ने ($f">0$ ) और घटने ($f") के अंतराल का पता लगाएं<0$ ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

$\blacktriangleright$ यह न भूलें कि फ़ंक्शन न केवल खंड  के आंतरिक बिंदुओं पर, बल्कि इसके सिरों पर भी सबसे बड़ा/छोटा मान ले सकता है।

$\blacktriangleright$ फ़ंक्शन का सबसे बड़ा/छोटा मान निर्देशांक मान $y=f(x)$ है।

$\blacktriangleright$ एक जटिल फ़ंक्शन $f(t(x))$ का व्युत्पन्न नियम के अनुसार पाया जाता है: \[(\बड़ा(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(व्युत्पन्न ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) और \log_ax और \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) और e^x और e^x\\&&\\ \textbf(6) और a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(सरणी) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(व्युत्पन्न ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ आर्ककोस x और -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) और \mathrm(arctg)\, x और \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) और \mathrm(arcctg)\, x और -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(array)\]

कार्य 1 #2357

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर

खंड $[-10; -2]$ पर फ़ंक्शन $y = e^(x^2 - 4)$ का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

ODZ: $x$ - मनमाना।

1) \

\ इस प्रकार, $y" = 0$ के लिए $x = 0$ ।

3) आइए विचाराधीन खंड $[-10; -2]$ पर स्थिर चिह्न $y"$ के अंतराल खोजें:

4) खंड $[-10; -2]$ पर एक ग्राफ़ का स्केच :

इस प्रकार, फ़ंक्शन $[-10; -2]$ पर $x = -2$ पर अपने सबसे छोटे मान तक पहुंच जाता है।

\ कुल: $1$ - $[-10; -2]$ पर फ़ंक्शन $y$ का सबसे छोटा मान।

उत्तर 1

कार्य 2 #2355

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर

$y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)$खंड पर $[-1; 1]$ .

ODZ: $x$ - मनमाना।

1) \

आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें (अर्थात, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के आंतरिक बिंदु जिस पर इसका व्युत्पन्न $0$ के बराबर है या मौजूद नहीं है): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]व्युत्पन्न किसी भी $x$ के लिए मौजूद है।

2) आइए स्थिर चिन्ह $y"$ के अंतराल ज्ञात करें:

3) आइए विचाराधीन खंड $[-1; 1]$ पर स्थिर चिह्न $y"$ के अंतराल खोजें:

4) खंड $[-1; 1]$ पर एक ग्राफ़ का स्केच :

इस प्रकार, फ़ंक्शन $[-1; 1]$ पर $x = -1$ या $x = 1$ पर अपने सबसे बड़े मान तक पहुंच जाता है। आइए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की तुलना करें।

\ कुल: $2$ - $[-1; 1]$ पर फ़ंक्शन $y$ का सबसे बड़ा मान।

उत्तर: 2

कार्य 3 #2356

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर

खंड  पर फ़ंक्शन $y = \cos 2x$ का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

ODZ: $x$ - मनमाना।

1) \

आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें (अर्थात, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के आंतरिक बिंदु जिस पर इसका व्युत्पन्न $0$ के बराबर है या मौजूद नहीं है): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\]व्युत्पन्न किसी भी $x$ के लिए मौजूद है।

2) आइए स्थिर चिन्ह $y"$ के अंतराल ज्ञात करें:

(यहां अनंत संख्या में अंतराल हैं जिनमें व्युत्पन्न के संकेत वैकल्पिक हैं)।

3) आइए विचाराधीन खंड पर स्थिर चिह्न $y"$ के अंतराल खोजें :

4) खंड  पर एक ग्राफ़ का स्केच :

इस प्रकार, फ़ंक्शन  पर $x = \dfrac(\pi)(2)$ पर अपने सबसे छोटे मान तक पहुंच जाता है।

\ कुल: $-1$ -  पर फ़ंक्शन $y$ का सबसे छोटा मान।

उत्तर 1

कार्य 4 #915

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें

$y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)$.

ODZ: $2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0$ . आइए ODZ पर निर्णय लें:

1) आइए हम $2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)$ को निरूपित करें, फिर $y(t)=-\log_(17)t$ को निरूपित करें।

आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें (अर्थात, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के आंतरिक बिंदु जिस पर इसका व्युत्पन्न $0$ के बराबर है या मौजूद नहीं है): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– ODZ पर, जहां से हम मूल $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ पाते हैं। फ़ंक्शन $y$ का व्युत्पन्न तब मौजूद नहीं होता जब $2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0$, लेकिन इस समीकरण में एक नकारात्मक विभेदक है, इसलिए, इसका कोई समाधान नहीं है। किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा/छोटा मान खोजने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि इसका ग्राफ़ योजनाबद्ध रूप से कैसा दिखता है।

2) आइए स्थिर चिन्ह $y"$ के अंतराल ज्ञात करें:

3) ग्राफ़ का स्केच:

इस प्रकार, फ़ंक्शन $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ पर अपने सबसे बड़े मान तक पहुंच जाता है:

$y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0$,

कुल: $0$ - फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान $y$ .

उत्तर: 0

कार्य 5 #2344

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर

फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें

$y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)$.

ODZ: $x^2 + 8x + 19 > 0$ . आइए ODZ पर निर्णय लें:

1) आइए हम $x^2 + 8x + 19=t(x)$ को निरूपित करें, फिर $y(t)=\log_(3)t$ को निरूपित करें।

आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें (अर्थात, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के आंतरिक बिंदु जिस पर इसका व्युत्पन्न $0$ के बराबर है या मौजूद नहीं है): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– ODZ पर, जहां से हमें मूल $x = -4$ मिलता है। फ़ंक्शन $y$ का व्युत्पन्न तब मौजूद नहीं होता जब $x^2 + 8x + 19 = 0$, लेकिन इस समीकरण में एक नकारात्मक विभेदक है, इसलिए, इसका कोई समाधान नहीं है। किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा/छोटा मान खोजने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि इसका ग्राफ़ योजनाबद्ध रूप से कैसा दिखता है।

2) आइए स्थिर चिन्ह $y"$ के अंतराल ज्ञात करें:

3) ग्राफ़ का स्केच:

इस प्रकार, $x = -4$ फ़ंक्शन $y$ का न्यूनतम बिंदु है और इस पर सबसे छोटा मान प्राप्त होता है:

$y(-4) = \log_(3)3 = 1$ .

कुल: $1$ - फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान $y$ .

उत्तर 1

कार्य 6 #917

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा से अधिक कठिन

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें

$y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))$.

मान लीजिए कि फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ को कुछ सीमित बंद डोमेन $D$ में परिभाषित और निरंतर किया जाता है। मान लीजिए कि इस क्षेत्र में दिए गए फ़ंक्शन में पहले क्रम के सीमित आंशिक व्युत्पन्न हैं (शायद, अंकों की एक सीमित संख्या को छोड़कर)। किसी दिए गए बंद क्षेत्र में दो चर वाले फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के लिए, एक सरल एल्गोरिदम के तीन चरणों की आवश्यकता होती है।

एक बंद डोमेन $D$ में फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिदम।

डोमेन $D$ से संबंधित फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें। महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करें।
संभावित अधिकतम और न्यूनतम मानों के बिंदुओं का पता लगाते हुए, क्षेत्र $D$ की सीमा पर फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ के व्यवहार की जांच करें। प्राप्त बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करें।
पिछले दो पैराग्राफ में प्राप्त फ़ंक्शन मानों में से, सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें।

महत्वपूर्ण बिंदु क्या हैं? छिपा हुया दिखाओ

अंतर्गत महत्वपूर्ण बिंदुउन बिंदुओं को इंगित करें जिन पर प्रथम-क्रम के दोनों आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं (अर्थात् $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ और $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) या कम से कम एक आंशिक व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

अक्सर वे बिंदु जिन पर प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं, कहलाते हैं स्थिर बिंदु. इस प्रकार, स्थिर बिंदु महत्वपूर्ण बिंदुओं का एक उपसमूह हैं।

उदाहरण क्रमांक 1

$x=3$, $y=0$ और $y=x रेखाओं से घिरे एक बंद क्षेत्र में फ़ंक्शन $z=x^2+2xy-y^2-4x$ का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें +1$.

हम उपरोक्त का पालन करेंगे, लेकिन पहले हम किसी दिए गए क्षेत्र के चित्रण से निपटेंगे, जिसे हम $D$ अक्षर से निरूपित करेंगे। हमें इस क्षेत्र को सीमित करने वाली तीन सीधी रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं। सीधी रेखा $x=3$ कोटि अक्ष (Oy अक्ष) के समानांतर बिंदु $(3;0)$ से होकर गुजरती है। सीधी रेखा $y=0$ भुज अक्ष (ऑक्स अक्ष) का समीकरण है। खैर, रेखा $y=x+1$ बनाने के लिए, हमें दो बिंदु मिलेंगे जिनके माध्यम से हम यह रेखा खींचेंगे। बेशक, आप $x$ के स्थान पर कुछ मनमाने मान स्थानापन्न कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, $x=10$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $y=x+1=10+1=11$. हमें रेखा $y=x+1$ पर स्थित बिंदु $(10;11)$ मिला है। हालाँकि, उन बिंदुओं को ढूंढना बेहतर है जिन पर सीधी रेखा $y=x+1$ रेखाओं $x=3$ और $y=0$ को काटती है। यह बेहतर क्यों है? क्योंकि हम एक पत्थर से कुछ पक्षियों को मार देंगे: हमें सीधी रेखा $y=x+1$ बनाने के लिए दो बिंदु मिलेंगे और साथ ही यह पता चलेगा कि यह सीधी रेखा दिए गए क्षेत्र को सीमित करने वाली अन्य रेखाओं को किन बिंदुओं पर काटती है। रेखा $y=x+1$ रेखा $x=3$ को बिंदु $(3;4)$ पर प्रतिच्छेद करती है, और रेखा $y=0$ बिंदु $(-1;0)$ पर प्रतिच्छेद करती है। सहायक स्पष्टीकरणों के साथ समाधान की प्रगति को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैं इन दो बिंदुओं को प्राप्त करने के प्रश्न को एक नोट में रखूंगा।

अंक $(3;4)$ और $(-1;0)$ कैसे प्राप्त हुए? छिपा हुया दिखाओ

आइए $y=x+1$ और $x=3$ रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से शुरू करें। वांछित बिंदु के निर्देशांक पहली और दूसरी दोनों सीधी रेखाओं से संबंधित हैं, इसलिए, अज्ञात निर्देशांक खोजने के लिए, आपको समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और y=x+1;\\ और x=3. \end(संरेखित) \दाएं। $$

ऐसी प्रणाली का समाधान तुच्छ है: पहले समीकरण में $x=3$ को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होगा: $y=3+1=4$। बिंदु $(3;4)$ रेखाओं $y=x+1$ और $x=3$ का वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए अब रेखाओं $y=x+1$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। आइए हम फिर से समीकरणों की प्रणाली बनाएं और हल करें:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और y=x+1;\\ और y=0. \end(संरेखित) \दाएं। $$

पहले समीकरण में $y=0$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $0=x+1$, $x=-1$। बिंदु $(-1;0)$ रेखाओं $y=x+1$ और $y=0$ (x-अक्ष) का वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु है।

एक चित्र बनाने के लिए सब कुछ तैयार है जो इस तरह दिखेगा:

नोट का सवाल स्पष्ट लगता है, क्योंकि तस्वीर में सब कुछ देखा जा सकता है. हालाँकि, यह याद रखने योग्य है कि कोई चित्र साक्ष्य के रूप में काम नहीं कर सकता। चित्र केवल चित्रण प्रयोजनों के लिए है।

हमारे क्षेत्र को इसे बांधने वाली रेखाओं के समीकरणों का उपयोग करके परिभाषित किया गया था। जाहिर है, ये रेखाएँ एक त्रिभुज को परिभाषित करती हैं, है ना? या यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है? या हो सकता है कि हमें एक ही पंक्ति से घिरा हुआ एक अलग क्षेत्र दिया गया हो:

बेशक, शर्त कहती है कि क्षेत्र बंद है, इसलिए दिखाया गया चित्र गलत है। लेकिन ऐसी अस्पष्टताओं से बचने के लिए, क्षेत्रों को असमानताओं के आधार पर परिभाषित करना बेहतर है। क्या हम सीधी रेखा $y=x+1$ के नीचे स्थित विमान के हिस्से में रुचि रखते हैं? ठीक है, तो $y ≤ x+1$। क्या हमारा क्षेत्र $y=0$ रेखा के ऊपर स्थित होना चाहिए? बढ़िया, इसका मतलब है $y ≥ 0$। वैसे, अंतिम दो असमानताओं को आसानी से एक में जोड़ा जा सकता है: $0 ≤ y ≤ x+1$।

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 0 ≤ y ≤ x+1;\\ और x ≤ 3. \end(संरेखित) \दाएं। $$

ये असमानताएँ क्षेत्र $D$ को परिभाषित करती हैं, और वे इसे किसी भी अस्पष्टता की अनुमति दिए बिना, स्पष्ट रूप से परिभाषित करते हैं। लेकिन नोट की शुरुआत में बताए गए प्रश्न से हमें यह कैसे मदद मिलती है? इससे भी मदद मिलेगी :) हमें यह जांचने की ज़रूरत है कि बिंदु $M_1(1;1)$ क्षेत्र $D$ से संबंधित है या नहीं। आइए हम इस क्षेत्र को परिभाषित करने वाली असमानताओं की प्रणाली में $x=1$ और $y=1$ को प्रतिस्थापित करें। यदि दोनों असमानताएँ संतुष्ट हैं, तो बिंदु क्षेत्र के अंदर है। यदि असमानताओं में से कम से कम एक संतुष्ट नहीं है, तो मुद्दा क्षेत्र से संबंधित नहीं है। इसलिए:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ और 1 ≤ 3. \अंत(संरेखित) \दाएं। \;\; \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(संरेखित) \दाएं $$।

दोनों असमानताएँ वैध हैं। बिंदु $M_1(1;1)$ क्षेत्र $D$ से संबंधित है।

अब क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करने का समय आ गया है, अर्थात। के लिए चलते हैं । आइए सीधी रेखा $y=0$ से शुरू करें।

सीधी रेखा $y=0$ (एब्सिस्सा अक्ष) $-1 ≤ x ≤ 3$ शर्त के तहत क्षेत्र $D$ को सीमित करती है। आइए दिए गए फ़ंक्शन $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ में $y=0$ को प्रतिस्थापित करें। हम प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप प्राप्त एक चर $x$ के फ़ंक्शन को $f_1(x)$ के रूप में दर्शाते हैं:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

अब फ़ंक्शन $f_1(x)$ के लिए हमें अंतराल $-1 ≤ x ≤ 3$ पर सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने की आवश्यकता है। आइए इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें और इसे शून्य के बराबर करें:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

मूल्य $x=2$ खंड $-1 ≤ x ≤ 3$ से संबंधित है, इसलिए हम अंकों की सूची में $M_2(2;0)$ भी जोड़ देंगे। इसके अलावा, आइए सेगमेंट $-1 ≤ x ≤ 3$ के अंत में फ़ंक्शन $z$ के मानों की गणना करें, यानी। बिंदु $M_3(-1;0)$ और $M_4(3;0)$ पर। वैसे, यदि बिंदु $M_2$ विचाराधीन खंड से संबंधित नहीं था, तो, निश्चित रूप से, इसमें फ़ंक्शन $z$ के मूल्य की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं होगी।

तो, आइए बिंदु $M_2$, $M_3$, $M_4$ पर फ़ंक्शन $z$ के मानों की गणना करें। बेशक, आप इन बिंदुओं के निर्देशांक को मूल अभिव्यक्ति $z=x^2+2xy-y^2-4x$ में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, बिंदु $M_2$ के लिए हमें मिलता है:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

हालाँकि, गणनाओं को थोड़ा सरल बनाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, यह याद रखने योग्य है कि सेगमेंट $M_3M_4$ पर हमारे पास $z(x,y)=f_1(x)$ है। मैं इसे विस्तार से लिखूंगा:

\begin(संरेखित) और z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ और z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(संरेखित)

बेशक, आमतौर पर ऐसे विस्तृत रिकॉर्ड की कोई आवश्यकता नहीं होती है, और भविष्य में हम सभी गणनाओं को संक्षेप में लिखेंगे:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

अब आइए सीधी रेखा $x=3$ की ओर मुड़ें। यह सीधी रेखा $0 ≤ y ≤ 4$ शर्त के तहत क्षेत्र $D$ को सीमित करती है। आइए दिए गए फ़ंक्शन $z$ में $x=3$ को प्रतिस्थापित करें। इस प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप हमें फ़ंक्शन $f_2(y)$ मिलता है:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

फ़ंक्शन $f_2(y)$ के लिए हमें अंतराल $0 ≤ y ≤ 4$ पर सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने की आवश्यकता है। आइए इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें और इसे शून्य के बराबर करें:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

मान $y=3$ खंड $0 ≤ y ≤ 4$ से संबंधित है, इसलिए हम पहले पाए गए बिंदुओं में $M_5(3;3)$ भी जोड़ देंगे। इसके अलावा, सेगमेंट $0 ≤ y ≤ 4$ के सिरों पर बिंदुओं पर फ़ंक्शन $z$ के मूल्य की गणना करना आवश्यक है, यानी। बिंदु $M_4(3;0)$ और $M_6(3;4)$ पर। बिंदु $M_4(3;0)$ पर हमने पहले ही $z$ के मूल्य की गणना कर ली है। आइए बिंदु $M_5$ और $M_6$ पर फ़ंक्शन $z$ के मान की गणना करें। मैं आपको याद दिला दूं कि सेगमेंट $M_4M_6$ पर हमारे पास $z(x,y)=f_2(y)$ है, इसलिए:

\begin(संरेखित) और z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; और z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(संरेखित)

और अंत में, क्षेत्र की अंतिम सीमा $D$ पर विचार करें, अर्थात। सीधी रेखा $y=x+1$. यह सीधी रेखा $-1 ≤ x ≤ 3$ शर्त के तहत क्षेत्र $D$ को सीमित करती है। फ़ंक्शन $z$ में $y=x+1$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

एक बार फिर हमारे पास एक वेरिएबल $x$ का एक फ़ंक्शन है। और फिर से हमें अंतराल $-1 ≤ x ≤ 3$ पर इस फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने की आवश्यकता है। आइए फ़ंक्शन $f_(3)(x)$ का व्युत्पन्न खोजें और इसे शून्य के बराबर करें:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

मान $x=1$ अंतराल $-1 ≤ x ≤ 3$ से संबंधित है। यदि $x=1$, तो $y=x+1=2$. आइए बिंदुओं की सूची में $M_7(1;2)$ जोड़ें और पता लगाएं कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन $z$ का मूल्य क्या है। खंड के अंत में बिंदु $-1 ≤ x ≤ 3$, यानी। बिंदु $M_3(-1;0)$ और $M_6(3;4)$ पर पहले विचार किया गया था, हमें उनमें फ़ंक्शन का मान पहले ही मिल गया था।

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

समाधान का दूसरा चरण पूरा हो गया है. हमें सात मान प्राप्त हुए:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

आइये आगे बढ़ते हैं. तीसरे पैराग्राफ में प्राप्त संख्याओं में से सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनने पर, हमारे पास होगा:

$$z_(मिनट)=-4; \; z_(अधिकतम)=6.$$

समस्या हल हो गई है, जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है।

उत्तर: $z_(मिनट)=-4; \; z_(अधिकतम)=6$.

उदाहरण क्रमांक 2

$x^2+y^2 ≤ 25$ क्षेत्र में फ़ंक्शन $z=x^2+y^2-12x+16y$ का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें।

सबसे पहले, आइए एक चित्र बनाएं। समीकरण $x^2+y^2=25$ (यह किसी दिए गए क्षेत्र की सीमा रेखा है) मूल बिंदु पर एक केंद्र (यानी बिंदु $(0;0)$) और त्रिज्या के साथ एक वृत्त को परिभाषित करता है 5. असमानता $x^2 +y^2 ≤ $25 उल्लिखित सर्कल के अंदर और ऊपर सभी बिंदुओं को संतुष्ट करती है।

हम उसके अनुसार कार्य करेंगे। आइए आंशिक व्युत्पन्न खोजें और महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं।

$$ \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x)=2x-12; \frac(\आंशिक z)(\आंशिक y)=2y+16. $$

ऐसा कोई बिंदु नहीं है जिस पर पाया गया आंशिक व्युत्पन्न मौजूद न हो। आइए जानें कि किन बिंदुओं पर दोनों आंशिक व्युत्पन्न एक साथ शून्य के बराबर हैं, यानी। आइए स्थिर बिंदु खोजें।

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 2x-12=0;\\ और 2y+16=0. \end(संरेखित) \दाएं। \;\; \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और x =6;\\ & y=-8. \end(संरेखित) \दाएं $$.

हमने एक स्थिर बिंदु $(6;-8)$ प्राप्त किया है। हालाँकि, पाया गया बिंदु $D$ क्षेत्र से संबंधित नहीं है। इसे रेखांकन का सहारा लिए बिना भी दिखाना आसान है। आइए देखें कि क्या असमानता $x^2+y^2 ≤ 25$ कायम है, जो हमारे क्षेत्र $D$ को परिभाषित करती है। यदि $x=6$, $y=-8$, तो $x^2+y^2=36+64=100$, यानी। असमानता $x^2+y^2 ≤ 25$ कायम नहीं है। निष्कर्ष: बिंदु $(6;-8)$ क्षेत्र $D$ से संबंधित नहीं है।

इसलिए, $D$ क्षेत्र के अंदर कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। चलिए आगे बढ़ते हैं... हमें किसी दिए गए क्षेत्र की सीमा पर किसी फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करने की आवश्यकता है, अर्थात। वृत्त पर $x^2+y^2=25$. बेशक, हम $y$ को $x$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को हमारे फ़ंक्शन $z$ में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। एक वृत्त के समीकरण से हमें मिलता है: $y=\sqrt(25-x^2)$ या $y=-\sqrt(25-x^2)$. उदाहरण के लिए, $y=\sqrt(25-x^2)$ को दिए गए फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

आगे का समाधान पिछले उदाहरण संख्या 1 में क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के व्यवहार के अध्ययन के पूरी तरह से समान होगा। हालाँकि, मुझे इस स्थिति में लैग्रेंज पद्धति को लागू करना अधिक उचित लगता है। हमें इस पद्धति के केवल पहले भाग में ही रुचि होगी। लैग्रेंज विधि के पहले भाग को लागू करने के बाद, हमें ऐसे बिंदु प्राप्त होंगे जिन पर हम न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों के लिए फ़ंक्शन $z$ की जांच करेंगे।

हम लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाते हैं:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

हम लैग्रेंज फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न ढूंढते हैं और समीकरणों की संगत प्रणाली बनाते हैं:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (संरेखित) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 सही. \left \( \begin(allined) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( संरेखित)\right.$ $

इस प्रणाली को हल करने के लिए, आइए तुरंत बताएं कि $\lambda\neq -1$। $\lambda\neq -1$ क्यों? आइए पहले समीकरण में $\lambda=-1$ को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

परिणामी विरोधाभास $0=6$ इंगित करता है कि मूल्य $\lambda=-1$ अस्वीकार्य है। आउटपुट: $\lambda\neq -1$। आइए $x$ और $y$ को $\lambda$ के रूप में व्यक्त करें:

\begin(संरेखित) और x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(संरेखित)

मेरा मानना है कि यहां यह स्पष्ट हो जाता है कि हमने विशेष रूप से शर्त $\lambda\neq -1$ क्यों निर्धारित की है। यह अभिव्यक्ति $1+\lambda$ को बिना किसी हस्तक्षेप के हर में फिट करने के लिए किया गया था। यानी, यह सुनिश्चित करने के लिए कि हर $1+\lambda\neq 0$ है।

आइए $x$ और $y$ के परिणामी भावों को सिस्टम के तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, यानी। $x^2+y^2=25$ में:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

परिणामी समानता से यह पता चलता है कि $1+\lambda=2$ या $1+\lambda=-2$। इसलिए हमारे पास पैरामीटर $\lambda$ के दो मान हैं, अर्थात्: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$। तदनुसार, हमें $x$ और $y$ मानों के दो जोड़े मिलते हैं:

\begin(संरेखित) और x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(संरेखित)

तो, हमने संभावित सशर्त चरम के दो बिंदु प्राप्त किए हैं, अर्थात। $M_1(3;-4)$ और $M_2(-3;4)$. आइए बिंदु $M_1$ और $M_2$ पर फ़ंक्शन $z$ का मान ज्ञात करें:

\begin(संरेखित) और z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(संरेखित)

हमें पहले और दूसरे चरण में प्राप्त मूल्यों में से सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों का चयन करना चाहिए। लेकिन इस मामले में विकल्प छोटा है :) हमारे पास है:

$$ z_(मिनट)=-75; \; z_(अधिकतम)=125. $$

उत्तर: $z_(मिनट)=-75; \; z_(अधिकतम)=$125.