एनोटेशन: दोहराव के बिना प्लेसमेंट. पुनर्व्यवस्था. संयोजन. पुनरावृत्ति संबंध. प्रमाण की एक और विधि. क्रमिक विभाजन की प्रक्रिया. कार्य: "मेजर्डोमो के लिए कठिनाई।"
दोहराव के बिना प्लेसमेंट
विभिन्न वस्तुएं हैं. उनमें से कितने को व्यवस्थित किया जा सकता है? इस मामले में, दो व्यवस्थाओं को अलग-अलग माना जाता है यदि वे या तो कम से कम एक तत्व में एक-दूसरे से भिन्न हों, या समान तत्वों से युक्त हों, लेकिन एक अलग क्रम में व्यवस्थित हों। ऐसी व्यवस्था कहलाती है दोहराव के बिना प्लेसमेंट, और उनकी संख्या को . द्वारा निरूपित किया जाता है। आइटमों की पुनरावृत्ति के बिना प्लेसमेंट संकलित करते समय, हमें विकल्प बनाने की आवश्यकता होती है। पहले चरण में, आप उपलब्ध वस्तुओं में से किसी का चयन कर सकते हैं। यदि यह विकल्प पहले ही चुना जा चुका है तो दूसरे चरण में आपको बचे हुए आइटम में से चयन करना होगा। वस्तुओं के -वें चरण पर। इसलिए, उत्पाद नियम के अनुसार, हम पाते हैं कि वस्तुओं की पुनरावृत्ति के बिना -प्लेसमेंट की संख्या निम्नानुसार व्यक्त की गई है:
पुनर्व्यवस्था
तत्वों की पुनरावृत्ति के बिना व्यवस्थाओं को संकलित करते समय, हमें ऐसी व्यवस्थाएँ प्राप्त हुईं जो तत्वों की संरचना और क्रम दोनों में एक दूसरे से भिन्न थीं। लेकिन यदि हम ऐसी व्यवस्थाएँ लेते हैं जिनमें सभी तत्व शामिल हैं, तो वे केवल उनमें शामिल तत्वों के क्रम में ही एक-दूसरे से भिन्न हो सकते हैं। ऐसी व्यवस्था कहलाती है n तत्वों का क्रमपरिवर्तन, या, संक्षेप में, क्रमपरिवर्तन।
युग्म
ऐसे मामलों में जहां हम किसी संयोजन में तत्वों के क्रम में रुचि नहीं रखते हैं, बल्कि केवल इसकी संरचना में रुचि रखते हैं, हम संयोजनों के बारे में बात करते हैं। तो, तत्वों का संयोजन इन तत्वों से बनी सभी प्रकार की व्यवस्थाएं हैं और संरचना में एक दूसरे से भिन्न होती हैं, लेकिन तत्वों के क्रम में नहीं। तत्वों से बनने वाले -संयोजनों की संख्या को द्वारा दर्शाया जाता है।
संयोजनों की संख्या का सूत्र प्लेसमेंट की संख्या के सूत्र से प्राप्त किया जाता है। वास्तव में, आइए पहले सब कुछ बनाएं - तत्वों का संयोजन, और फिर प्रत्येक संयोजन में शामिल तत्वों को सभी संभावित तरीकों से पुनर्व्यवस्थित करें। इस मामले में, यह पता चलता है कि सभी तत्वों का प्लेसमेंट है, प्रत्येक केवल एक बार। लेकिन आप प्रत्येक का संयोजन बना सकते हैं! क्रमपरिवर्तन, और इन संयोजनों की संख्या बराबर है। तो सूत्र सही है
इस सूत्र से हमें वह ज्ञात होता है
पुनरावृत्ति संबंध
कई संयुक्त समस्याओं को हल करते समय, वे किसी दी गई समस्या को कम संख्या में वस्तुओं से जुड़ी समस्या में बदलने की विधि का उपयोग करते हैं। वस्तुओं की कम संख्या के लिए समान समस्या को कम करने की विधि कहलाती है पुनरावृत्ति संबंधों की विधि(लैटिन से "recurrere" - "वापसी करने के लिए")।
हम पुनरावृत्ति संबंधों की अवधारणा को एक शास्त्रीय समस्या के साथ चित्रित करते हैं जिसे 1202 के आसपास पीसा के लियोनार्डो द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिसे फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है। कॉम्बिनेटरियल एल्गोरिदम के विश्लेषण के लिए फाइबोनैचि संख्याओं का महत्व इस उदाहरण को काफी उपयुक्त बनाता है।
फाइबोनैचि ने निम्नलिखित धारणाओं के तहत खरगोशों की आबादी की वृद्धि दर के बारे में एक कहानी के रूप में समस्या को प्रस्तुत किया। यह सब खरगोशों की एक जोड़ी से शुरू होता है। प्रत्येक जोड़ा एक महीने के बाद उपजाऊ हो जाता है, जिसके बाद प्रत्येक जोड़ा हर महीने खरगोशों के एक नए जोड़े को जन्म देता है। खरगोश कभी नहीं मरते और उनका प्रजनन कभी नहीं रुकता।
मान लीजिए कि महीनों के बाद आबादी में खरगोशों के जोड़े की संख्या है, और इस आबादी में संतान जोड़े और "बूढ़े" जोड़े शामिल हैं, यानी। इस प्रकार, अगले महीने में निम्नलिखित घटनाएँ घटित होंगी:। समय पर पुरानी जनसंख्या समय पर जन्मों की संख्या से बढ़ेगी। 
. प्रत्येक वृद्ध जोड़ा एक समय में एक जोड़ी संतान पैदा करता है। यह पैटर्न अगले महीने खुद को दोहराता है:
इन समानताओं को मिलाकर, हम निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त करते हैं:
| (7.1) |
फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम के लिए प्रारंभिक स्थितियों का चुनाव महत्वपूर्ण नहीं है; इस अनुक्रम का आवश्यक गुण पुनरावृत्ति संबंध द्वारा निर्धारित होता है। हम मान लेंगे (कभी-कभी 
).
आइए इस समस्या को थोड़ा अलग तरीके से देखें.
खरगोशों का एक जोड़ा महीने में एक बार दो खरगोशों (एक मादा और एक नर) को जन्म देता है, और नवजात खरगोश जन्म के दो महीने बाद ही संतान पैदा करते हैं। यदि वर्ष की शुरुआत में खरगोशों का एक जोड़ा था तो एक वर्ष में कितने खरगोश दिखाई देंगे?
समस्या की स्थितियों से यह पता चलता है कि एक महीने में खरगोशों के दो जोड़े होंगे। दो महीने के बाद, खरगोशों का केवल पहला जोड़ा ही बच्चे को जन्म देगा, और कुल 3 जोड़े होंगे। और एक और महीने में, खरगोशों की मूल जोड़ी और दो महीने पहले दिखाई देने वाले खरगोशों की जोड़ी दोनों बच्चे पैदा करेंगी। इसलिए, कुल मिलाकर खरगोशों के 5 जोड़े होंगे। आइए हम वर्ष की शुरुआत से महीनों के बाद खरगोशों के जोड़े की संख्या से निरूपित करें। यह स्पष्ट है कि कुछ महीनों में ये जोड़े होंगे और खरगोशों के उतने ही नवजात जोड़े होंगे जितने महीने के अंत में थे, यानी खरगोशों के और भी जोड़े होंगे। दूसरे शब्दों में, पुनरावृत्ति संबंध है
| (7.2) |
चूँकि, शर्त के अनुसार, और, हम लगातार पाते हैं
विशेष रूप से, 
.
नंबरों को बुलाया जाता है फाइबोनैचि संख्याएँ. उनके पास कई अद्भुत संपत्तियां हैं। आइए अब इन संख्याओं के लिए व्यंजक प्राप्त करें। ऐसा करने के लिए, हम फाइबोनैचि संख्याओं और निम्नलिखित संयोजन समस्या के बीच एक संबंध स्थापित करेंगे।
शून्य और एक से युक्त अनुक्रमों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें कोई भी दो क्रमागत नहीं हैं.
इस संबंध को स्थापित करने के लिए, आइए ऐसा कोई क्रम लें और निम्नलिखित नियम के अनुसार खरगोशों की एक जोड़ी की तुलना करें: एक जोड़ी इस जोड़ी के "पूर्वजों" (मूल एक सहित) के जोड़े में से एक के जन्म के महीनों के अनुरूप है, और शून्य अन्य सभी महीनों के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 010010100010 निम्नलिखित "वंशावली" स्थापित करता है: युगल स्वयं 11वें महीने के अंत में दिखाई दिए, उसके माता-पिता 7वें महीने के अंत में, "दादा" 5वें महीने के अंत में और "महान" -दादाजी” दूसरे महीने के अंत में। फिर खरगोशों की मूल जोड़ी को अनुक्रम 00000000000 के साथ एन्क्रिप्ट किया जाता है।
यह स्पष्ट है कि इस मामले में एक पंक्ति में दो इकाइयाँ किसी भी क्रम में प्रकट नहीं हो सकती हैं - एक जोड़ी जो अभी प्रकट हुई है, शर्त के अनुसार, एक महीने में संतान उत्पन्न नहीं कर सकती है। इसके अलावा, निर्दिष्ट नियम के अनुसार, खरगोशों के विभिन्न जोड़े अलग-अलग अनुक्रमों के अनुरूप होते हैं, और इसके विपरीत, खरगोशों के दो अलग-अलग जोड़े में हमेशा अलग-अलग "वंशावली" होती है, क्योंकि, स्थिति के अनुसार, एक मादा खरगोश केवल संतानों को जन्म देती है खरगोशों की एक जोड़ी.
स्थापित कनेक्शन से पता चलता है कि निर्दिष्ट संपत्ति रखने वाले -अनुक्रमों की संख्या बराबर है।
आइए अब हम इसे साबित करें
| (7.3) |
कहाँ, यदि विषम, और, यदि सम। दूसरे शब्दों में, - संख्या का पूर्णांक भाग (भविष्य में हम संख्या के पूर्णांक भाग को ; द्वारा निरूपित करेंगे; इस प्रकार, 
).
दरअसल, यह 0s और 1s के सभी अनुक्रमों की संख्या है जिसमें कोई भी दो 1 आसन्न नहीं हैं। ऐसे अनुक्रमों की संख्या, जिनमें बिल्कुल एक और शून्य शामिल हैं, के बराबर है। चूंकि यह किया जाना चाहिए
फाइबोनैचि संख्याएँ.
कई संयुक्त समस्याओं को हल करते समय, वे किसी दी गई समस्या को कम संख्या में तत्वों वाली समस्या में बदलने की विधि का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, आप क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:
इससे पता चलता है कि इसे हमेशा छोटी संख्या के भाज्य में घटाया जा सकता है।
पुनरावृत्ति संबंधों के निर्माण का एक अच्छा उदाहरण फाइबोनैचि समस्या है। 1202 में अपनी पुस्तक में, इतालवी गणितज्ञ फिबोनाची ने निम्नलिखित समस्या प्रस्तुत की। खरगोशों का एक जोड़ा महीने में एक बार दो खरगोशों (एक मादा और एक नर) को जन्म देता है, और नवजात खरगोश जन्म के दो महीने बाद स्वयं संतान पैदा करते हैं। यदि शुरुआत में खरगोशों का एक जोड़ा था तो एक वर्ष में कितने खरगोश पैदा होंगे?
समस्या की स्थितियों से यह पता चलता है कि एक महीने में खरगोशों के दो जोड़े होंगे, दो महीने में केवल खरगोशों की पहली जोड़ी जो दो महीने पहले दिखाई दी थी, संतान पैदा करेगी, इसलिए कुल मिलाकर 3 जोड़े खरगोश होंगे। एक और महीने में पहले से ही 5 जोड़े होंगे। और इसी तरह।
आइए हम वर्ष की शुरुआत से महीनों के बाद खरगोशों के जोड़े की संख्या से निरूपित करें। फिर एक महीने के बाद सूत्र का उपयोग करके खरगोशों के जोड़े की संख्या ज्ञात की जा सकती है:
इस निर्भरता को कहा जाता है पुनरावृत्ति संबंध . शब्द "रिकर्सन" का अर्थ है पीछे जाना (हमारे मामले में, पिछले परिणामों पर वापस जाना)।
शर्त के अनुसार, और, फिर संबंध के अनुसार हमारे पास:,,, आदि हैं।
परिभाषा 1:नंबरों को बुलाया जाता है फाइबोनैचि संख्याएँ . यह गणित में संख्याओं का एक प्रसिद्ध क्रम है:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
इस क्रम में, प्रत्येक अगली संख्या पिछली दो संख्याओं का योग होती है। तथा पुनरावृत्ति संबंध में अगला पद भी पिछले दो पदों के योग के रूप में पाया जाता है।
आइए हम फाइबोनैचि संख्याओं और संयोजन समस्या के बीच संबंध स्थापित करें। मान लीजिए कि हमें शून्य और एक से मिलकर कई अनुक्रम खोजने की ज़रूरत है जिनमें कोई भी दो एक पंक्ति में नहीं हैं।
आइए ऐसे किसी भी क्रम को लें और निम्नलिखित नियम के अनुसार खरगोशों की एक जोड़ी का मिलान करें: एक इस जोड़ी के "पूर्वजों" (मूल एक सहित) के जोड़े में से एक के जन्म के महीनों के अनुरूप है, और शून्य अन्य सभी के अनुरूप है महीने. उदाहरण के लिए, अनुक्रम ऐसी "वंशावली" स्थापित करता है - जोड़ा स्वयं 11वें महीने के अंत में प्रकट हुआ, उसके माता-पिता 7वें महीने के अंत में, "दादा" 5वें महीने के अंत में, और "महान" -दादाजी” दूसरे महीने के अंत में। प्रारंभिक जोड़ी अनुक्रम के साथ एन्क्रिप्टेड है। किसी भी क्रम में दो इकाइयाँ एक पंक्ति में खड़ी नहीं हो सकतीं - एक जोड़ा जो अभी सामने आया है वह एक महीने में संतान उत्पन्न नहीं कर सकता है। जाहिर है, अलग-अलग अनुक्रम अलग-अलग जोड़ियों के अनुरूप होते हैं और इसके विपरीत भी।
इस प्रकार, निर्दिष्ट गुणों वाले अनुक्रमों की संख्या बराबर है।
प्रमेय 1:संख्या द्विपद गुणांकों के योग के रूप में पाई जाती है:. यदि - विषम, तो . यदि – सम, तो . अन्यथा:- संख्या का पूर्णांक भाग।
सबूत:दरअसल, 0 और 1 के सभी अनुक्रमों की संख्या है जिसमें कोई भी दो 1 आसन्न नहीं हैं। बिल्कुल एक और शून्य वाले ऐसे अनुक्रमों की संख्या बराबर होती है, और फिर 0 से भिन्न होती है। योग नियम लागू करने पर हमें यह योग प्राप्त होता है।
इस समानता को अलग ढंग से सिद्ध किया जा सकता है। आइए निरूपित करें:
समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि . इसके अतिरिक्त यह भी स्पष्ट है कि. चूंकि दोनों अनुक्रम और पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं, तो, और।
परिभाषा 2:पुनरावृत्ति संबंध है आदेश , यदि यह अनुक्रम के पिछले सदस्यों के माध्यम से गणना की अनुमति देता है: .
उदाहरण के लिए, दूसरे क्रम का पुनरावृत्ति संबंध है, और तीसरे क्रम का पुनरावृत्ति संबंध है। फाइबोनैचि अनुपात एक दूसरे क्रम का संबंध है।
परिभाषा 3: समाधान द्वारापुनरावृत्ति संबंध एक अनुक्रम है जो इस संबंध को संतुष्ट करता है।
यदि क्रम का पुनरावृत्ति संबंध दिया गया है, तो यह अनंत अनुक्रमों से संतुष्ट होता है, क्योंकि पहले तत्वों को मनमाने ढंग से सेट किया जा सकता है। लेकिन यदि पहले तत्व दिए गए हैं, तो शेष पद विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जाते हैं।
उदाहरण के लिए, ऊपर चर्चा किए गए अनुक्रम 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... के अलावा, फाइबोनैचि अनुपात को अन्य अनुक्रमों से भी संतुष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2, 2, 4, 8, 12,... एक ही सिद्धांत के अनुसार बनाया गया है। लेकिन यदि आप प्रारंभिक शब्द निर्दिष्ट करते हैं (फाइबोनैचि अनुक्रम में उनमें से 2 हैं), तो समाधान विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। रिश्ते के क्रम के रूप में कई प्रारंभिक शर्तों को लिया जाता है।
ज्ञात पुनरावृत्ति संबंधों और प्रारंभिक शब्दों का उपयोग करके, हम अनुक्रम के पदों को एक के बाद एक लिख सकते हैं और इस तरह हम इसके किसी भी पद को प्राप्त कर सकते हैं। लेकिन कई मामलों में, हमें पिछले सभी सदस्यों की नहीं, बल्कि केवल एक विशिष्ट सदस्य की आवश्यकता होती है। इस मामले में, अनुक्रम के वें पद के लिए एक सूत्र रखना अधिक सुविधाजनक है।
हम कहेंगे कि एक निश्चित अनुक्रम किसी दिए गए पुनरावृत्ति संबंध का एक समाधान है, यदि इस अनुक्रम के प्रतिस्थापन पर, संबंध समान रूप से संतुष्ट होता है।
उदाहरण के लिए, अनुक्रम संबंध के समाधानों में से एक है:। एक साधारण प्रतिस्थापन से इसे जांचना आसान है।
परिभाषा 4:-वें क्रम के पुनरावृत्ति संबंध का समाधान कहा जाता है सामान्य , यदि यह मनमाने स्थिरांक पर निर्भर करता है, जिसे बदलकर, कोई इस संबंध का कोई भी समाधान प्राप्त कर सकता है।
उदाहरण के लिए, संबंध के लिए सामान्य समाधान होगा।
वास्तव में, यह सत्यापित करना आसान है कि यह हमारे रिश्ते का समाधान होगा। आइए हम दिखाएं कि कोई भी समाधान इस रूप में प्राप्त किया जा सकता है। उन्हें मनमानी करने दीजिए.
फिर वो लोग होंगे जो
जाहिर है, किसी के लिए भी, समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान होता है।
परिभाषा 5:पुनरावृत्ति संबंध कहलाता है रेखीय , यदि यह फॉर्म में लिखा गया है:
संख्यात्मक गुणांक कहां हैं.
सामान्यतया, मनमाने ढंग से आवर्ती संबंधों को हल करने के लिए कोई सामान्य नियम नहीं हैं। हालाँकि, रैखिक पुनरावृत्ति संबंधों को हल करने के लिए सामान्य समाधान नियम हैं।
आइए पहले दूसरे क्रम के संबंध पर विचार करें।
इस रिश्ते का समाधान निम्नलिखित कथनों पर आधारित है।
प्रमेय 2:यदि और - दूसरे क्रम के दिए गए पुनरावृत्ति संबंध का एक समाधान है, तो किसी भी संख्या और अनुक्रम के लिए भी इस संबंध का एक समाधान है।
प्रमेय 3:यदि संख्या द्विघात समीकरण का मूल है, तो अनुक्रम पुनरावृत्ति संबंध का समाधान है।
प्रमेयों से 2, 3 दूसरे क्रम के रैखिक पुनरावृत्ति संबंधों को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम का पालन किया जाता है।
एक पुनरावृत्ति संबंध दिया जाए.
1) आइए एक द्विघात समीकरण बनाते हैं, जिसे कहा जाता है विशेषता किसी दिए गए अनुपात के लिए. पता लगाते हैं सभीइस समीकरण की जड़ें (यहां तक कि एकाधिक और जटिल)।
2) आइए पुनरावृत्ति संबंध का एक सामान्य समाधान बनाएं। इसकी संरचना जड़ों के प्रकार (वे समान या भिन्न होती हैं) पर निर्भर करती है।
a) यदि इस संबंध में दो हैं विभिन्न जड़ेंऔर, तब संबंध के सामान्य समाधान का रूप होता है।
दरअसल, प्रमेयों से 2, 3 यह इस प्रकार है - समाधान और समीकरणों की प्रणाली
इसका एक ही समाधान है, क्योंकि मान लें कि ।
उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्याओं के लिए, हमारे पास है। विशेषता समीकरण का रूप है: . अंतिम समीकरण को हल करने पर, हमें मूल प्राप्त होते हैं:,।
यदि विशेषता समीकरण की सभी जड़ें अलग-अलग हैं, तो सामान्य समाधान का रूप होता है:।
यदि, उदाहरण के लिए, यह रूट समाधान से मेल खाता है:
इस पुनरावृत्ति संबंध का. सामान्य समाधान में, यह मूल भाग से मेल खाता है।
उदाहरण के लिए, पुनरावृत्ति संबंध को हल करना:
हम फॉर्म का एक विशिष्ट समीकरण बनाते हैं:।
इसकी जड़ें हैं... इसलिए, एक सामान्य समाधान है.
परिमित सेटों पर संयुक्त संगणनाएँ
कॉम्बिनेटरिक्स का परिचय
कॉम्बिनेटरियल एल्गोरिदम के सिद्धांत का विषय, जिसे अक्सर कॉम्बिनेटरियल गणना कहा जाता है, असतत गणितीय संरचनाओं पर गणना है। इस सिद्धांत में, अलग-अलग गणित की समस्याओं को हल करने, विकल्पों के चयन को अनुकूलित करने और विचाराधीन समाधानों की संख्या को कम करने के लिए एल्गोरिथम दृष्टिकोण पर बहुत ध्यान दिया जाता है।
कॉम्बिनेटरियल एल्गोरिदम के क्षेत्र में ऐसी समस्याएं शामिल हैं जिनके लिए एक सीमित सेट में तत्वों की संख्या की गणना (अनुमान लगाना) या इन तत्वों को एक विशेष क्रम में सूचीबद्ध करना आवश्यक है (परिशिष्ट बी)। इस मामले में, रिटर्न और उसके वेरिएंट के साथ तत्वों का चयन करने की प्रक्रिया का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
गिनती की समस्याएँ दो प्रकार की होती हैं। साधारण मामले में, एक विशिष्ट सेट निर्दिष्ट किया गया है और इसकी आवश्यकता है तत्वों की सटीक संख्या निर्धारित करेंउसमें। सामान्य स्थिति में, कुछ पैरामीटर द्वारा परिभाषित सेटों का एक परिवार होता है, और सेट की कार्डिनैलिटी पैरामीटर के फ़ंक्शन के रूप में निर्धारित की जाती है। साथ ही ऐसा अक्सर होता है किसी फ़ंक्शन के क्रम का पर्याप्त अनुमान, और कभी-कभी आपको केवल इसकी आवश्यकता होती है इसकी विकास दर का अनुमान. उदाहरण के लिए, यदि विचार किए जाने वाले सेट की शक्ति किसी पैरामीटर के साथ तेजी से बढ़ती है, तो यह विभिन्न विवरणों से निपटने के बिना समस्या का अध्ययन करने के लिए प्रस्तावित दृष्टिकोण को छोड़ने के लिए पर्याप्त हो सकता है। इस अधिक सामान्य प्रकार की समस्या पर स्पर्शोन्मुख विस्तार, पुनरावृत्ति संबंध और सृजन कार्यों की प्रक्रियाएं लागू की जाती हैं।
स्पर्शोन्मुखता
अनंतस्पर्शी एक विशेष रेखा (अक्सर एक सीधी रेखा) होती है जो विचाराधीन वक्र की सीमा होती है।
एसिम्प्टोटिक्स कार्यों की वृद्धि दर का अनुमान लगाने और तुलना करने की कला है। वे कहते हैं कि जब एक्स®¥ फ़ंक्शन "जैसा व्यवहार करता है एक्स", या "उसी दर से बढ़ता है एक्स", और जब एक्स®0 "1/ की तरह व्यवहार करता है एक्स"। वे कहते हैं कि "लॉग एक्सपर एक्स®0 और कोई भी e>0 जैसा व्यवहार करता है एक्सइ , और क्या पर एन®¥ इससे अधिक तेजी से नहीं बढ़ रहा है एनलकड़ी का लट्ठा एन"इस तरह के अस्पष्ट लेकिन सहज ज्ञान युक्त कथन कार्यों की तुलना करने में उतने ही उपयोगी होते हैं जितने कि अनुपात<, £ и = при сравнивании чисел.
आइए हम तीन मुख्य स्पर्शोन्मुख संबंधों को परिभाषित करें।
परिभाषा 1.समारोह एफ(एक्स) समतुल्य है जी(एक्स) पर एक्स® एक्स 0, यदि और केवल यदि =1.
इस मामले में फ़ंक्शन कहा जाता है एफ(एक्स) असम्बद्ध रूप से फ़ंक्शन के बराबर है जी(एक्स) या क्या एफ(एक्स) उसी दर से बढ़ता है जी(एक्स).
परिभाषा 2. एफ(एक्स)=ओ( जी(एक्स)) पर एक्स® एक्स 0, यदि और केवल यदि =0.
वे कहते हैं कि जब एक्स® x 0 फ(एक्स) की तुलना में धीमी गति से बढ़ता है जी(एक्स), या क्या एफ(एक्स) "बहुत कम है"। जी(एक्स).
परिभाषा 3 . एफ(एक्स)=ओ( जी(एक्स)) पर एक्स® एक्स 0, यदि और केवल यदि कोई स्थिरांक C है जैसे कि सुपर = सी।
ऐसे में उनका कहना है एफ(एक्स) से अधिक तेजी से नहीं बढ़ता है जी(एक्स), या क्या एक्स® x 0 फ(एक्स) "वहाँ एक बड़ा ओ है" से जी(एक्स).
अनुपात एफ(एक्स)=जी(एक्स)+हे(एच(एक्स)) पर एक्स®¥ का मतलब है एफ(एक्स)-जी(एक्स)=ओ(एच(एक्स)). वैसे ही एफ(एक्स)=जी(एक्स)+के बारे में(एच(एक्स)) मतलब कि एफ(एक्स)-जी(एक्स)=ओ(एच(एक्स)).
अभिव्यक्ति O(·) और o(·) का उपयोग असमानताओं में भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, असमानता एक्स+हे(एक्स)£2 एक्सपर एक्स®0 का मतलब है कि किसी भी फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) ऐसा है कि एफ(एक्स)=ओ(एक्स), पर एक्स®¥ संबंध कायम है एक्स+एफ(एक्स)£2 एक्ससभी पर्याप्त रूप से बड़े मूल्यों के लिए एक्स.
आइए हम कुछ उपयोगी स्पर्शोन्मुख समानताएँ प्रस्तुत करें।
बहुपद असममित रूप से अपने प्रमुख पद के बराबर है:
पर एक्स®¥; (4.1)
पर एक्स®¥; (4.2)
पर एक्स®¥ और एक क#0. (4.3)
पूर्णांकों की घातों का योग संबंध को संतुष्ट करता है:
पर एन®¥. (4.4)
इसलिए, विशेष रूप से, हमारे पास है एन®¥
अधिक सामान्य मामले में, जब एन®¥ और किसी भी पूर्णांक के लिए क³0
; (4.6)
. (4.7)
पुनरावृत्ति संबंध
हम 1200 के आसपास फाइबोनैचि द्वारा प्रस्तुत और अध्ययन की गई एक शास्त्रीय समस्या का उपयोग करके पुनरावृत्ति संबंधों की अवधारणा को चित्रित करते हैं।
फाइबोनैचि ने निम्नलिखित धारणाओं के तहत खरगोशों की आबादी की वृद्धि दर के बारे में एक कहानी के रूप में अपनी समस्या प्रस्तुत की। यह सब खरगोशों की एक जोड़ी से शुरू होता है। खरगोशों का प्रत्येक जोड़ा एक महीने के बाद उपजाऊ हो जाता है, जिसके बाद प्रत्येक जोड़ा हर महीने खरगोशों के एक नए जोड़े को जन्म देता है। खरगोश कभी नहीं मरते और उनका प्रजनन कभी नहीं रुकता। होने देना एफ.एन- बाद की आबादी में खरगोशों के जोड़े की संख्या एनमहीनों और इस जनसंख्या को शामिल होने दें एनसंतान जोड़े और पर"पुराने" जोड़े, यानी एफ.एन = एन + पर. इस प्रकार, अगले महीने में निम्नलिखित घटनाएँ घटित होंगी:
पुरानी आबादी ( एन+1)वें क्षण में समय के अनुसार जन्मों की संख्या बढ़ जाएगी एन, अर्थात। हे एन+1 = पर + एन= एफ.एन;
एक पल में हर पुराना एनजोड़ी समय पर उत्पादन करती है ( एन+1) संतानों की एक जोड़ी, अर्थात्। एनएन+1= सीएन.
यह पैटर्न अगले महीने खुद को दोहराता है:
हे एन+2 = हे एन+1+ एनएन+1= एफएन+1,
एनएन+2=हे एन+1;
इन समानताओं को मिलाकर, हम फाइबोनैचि पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त करते हैं:
हे एन+2 + एनएन+2=एफएन+1 + हे एन+1,
एफएन+2 = एफएन+1 + एफ.एन. (4.8)
फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम के लिए प्रारंभिक स्थितियों का चुनाव महत्वपूर्ण नहीं है; इस अनुक्रम के आवश्यक गुण पुनरावृत्ति संबंध (4.8) द्वारा निर्धारित होते हैं। आमतौर पर ऐसा माना जाता है एफ 0=0, एफ 1=1 (कभी-कभी यह मान लिया जाता है एफ 0=एफ 1=1).
पुनरावृत्ति संबंध (4.8) निरंतर गुणांक वाले सजातीय रैखिक पुनरावृत्ति संबंधों का एक विशेष मामला है:
x n = a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…a k x n-k, (4.9)
गुणांक कहां हैं एक मैंपर निर्भर न रहें एनऔर एक्स 1, एक्स 2, …, एक्स कदिए गए माने जाते हैं.
हल करने (अर्थात् खोजने) के लिए एक सामान्य विधि है एक्स एनकार्यों के रूप में एन) स्थिर गुणांकों के साथ रैखिक पुनरावृत्ति संबंध। आइए एक उदाहरण के रूप में संबंध (4.8) का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें। आइए फॉर्म में समाधान खोजें
एफ.एन=करोड़ एन (4.10)
स्थिरांक के साथ साथऔर आर. इस व्यंजक को (4.8) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं
करोड़ एन + 2 = करोड़ एन+ 1 + करोड़ एन,
करोड़ एन(आर एन -आर-1)=0. (4.11)
यह मतलब है कि एफ.एन=करोड़ एनयदि दोनों में से कोई एक समाधान है साथ=0, या आर= 0 (और इसलिए सभी के लिए एफ एन = 0)। एन), और यह भी (और यह एक अधिक दिलचस्प मामला है) यदि आर 2 - r -1=0, और एक स्थिरांक साथमनमाना। फिर (4.11) से यह अनुसरण करता है
आर= या आर = . (4.12)
संख्या "1.618" को "सुनहरा" अनुपात के रूप में जाना जाता है, क्योंकि प्राचीन काल से यह माना जाता रहा है कि 1 की भुजाओं वाले त्रिभुज (आयत) का अनुपात आंख के लिए सबसे सुखद होता है।
एक सजातीय रैखिक पुनरावृत्ति संबंध के दो समाधानों का योग स्पष्ट रूप से एक समाधान है, और कोई वास्तव में दिखा सकता है कि फाइबोनैचि अनुक्रम का सामान्य समाधान है
एफ.एन= 
, (4.13)
स्थिरांक कहाँ हैं साथऔर साथ'प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित होते हैं। F 0 =0 और F 1 =1 रखने पर, हमें रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:
, (4.14)
जिसका समाधान देता है
सी = -सी" = . (4.15)
आवर्ती संबंध
आवर्ती संबंध
(अक्षांश से। रिकर-रेंस, जेन। केस रिकरंटिस - रिटर्निंग) - एक ही प्रकार के एफ-लिस, जो एक दूसरे का अनुसरण करने वाले कुछ अनुक्रमों को जोड़ते हैं (यह संख्याओं, कार्यों आदि का अनुक्रम हो सकता है)। सिस्टम से जुड़ी वस्तुओं की प्रकृति के आधार पर, ये संबंध बीजगणितीय, कार्यात्मक, विभेदक, अभिन्न आदि हो सकते हैं।
नायब. आर.एस. के सुप्रसिद्ध वर्ग के लिए आवर्ती कार्य हैं विशेष कार्य.इसके लिए हां बेलनाकार फलन Z m (x)पी। साथ। हमशक्ल
वे कार्य के अनुसार अनुमति देते हैं जेड एम0 (एक्स)फ़ंक्शंस ढूंढें Zm(x)पर टी= टी 0 बी 1, टी 0 बी 2आदि या, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन मानों द्वारा 
एक निश्चित बिंदु पर एक्स 0 . 0 (संख्यात्मक गणना में) किसी भी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें
उसी बिंदु पर (यहाँ) एम 0 - कोई भी वास्तविक संख्या)।
डॉ। आर.एस. का महत्वपूर्ण वर्ग। क्रमिक सन्निकटन की अनेक विधियाँ दीजिए (देखें)। पुनरावृत्ति विधि);यहां तरीके भी शामिल हैं. गड़बड़ी सिद्धांत.
क्वांटम यांत्रिकी में, एक अन्य प्रकार की गतिशील प्रणाली है जो राज्यों के हिल्बर्ट स्थान में वैक्टर को जोड़ती है। उदाहरण के लिए, स्थिर सामंजस्य ऑसिलेटर्स को गैर-नकारात्मक पूर्णांकों द्वारा मानकीकृत किया जाता है। संगत सदिश, द्वारा निरूपित, जहाँ एन- संपूर्ण, भिन्न के साथ एनसृजन संचालकों की कार्रवाई से एक दूसरे से प्राप्त किया जा सकता है एक +और विनाश ए:
इन संबंधों को किसी भी वेक्टर को (न्यूनतम ऊर्जा अवस्था) के रूप में व्यक्त करके हल किया जा सकता है। एच = 0):
इस निर्माण का एक सामान्यीकरण प्रतिनिधित्व है द्वितीयक परिमाणीकरणक्वांटम सांख्यिकी में यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (देखें फोकाअंतरिक्ष)।
आर.एस. का एक विशिष्ट उदाहरण. सांख्यिकीय में यांत्रिकी - आंशिक वितरण कार्यों के लिए समीकरण जो बोगोलीबॉव श्रृंखला बनाते हैं (देखें)। बोगोलीबॉव समीकरण);ऐसे कार्यों का ज्ञान आपको सभी थर्मोडायनामिक खोजने की अनुमति देता है। सिस्टम विशेषताएँ.
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, गतिशील उदाहरण के लिए, में निहित है ग्रीन के कार्य.उनकी गणना करने के लिए, विभिन्न का उपयोग करें। सन्निकटन, अक्सर - गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग कर गणना। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण पूर्णांक-विभेदक पर आधारित है डायसन समीकरण,जो आर सिस्टम हैं: ग्रीन के दो-बिंदु फ़ंक्शन के समीकरण में चार-बिंदु फ़ंक्शन आदि शामिल हैं। बोगोल्युबोव के समीकरण की तरह, इस प्रणाली को केवल श्रृंखला को "तोड़ने" से हल किया जा सकता है ("ब्रेक" का स्थान आमतौर पर चुना जाता है) भौतिक विचारों से और यह निर्धारित करता है कि क्या प्राप्त किया गया है)।
एक अन्य प्रकार का आर. एस. क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में - भीड़ की अपनी पहचान होती हैसिद्धांतों में फ़ील्ड गेज करें.ये पहचान ग्रीन के कार्यों को विभिन्न कार्यों से जोड़ने वाले पूर्णांक-विभेदक संबंधों की एक श्रृंखला का भी प्रतिनिधित्व करती हैं। बाहरी रेखाओं की संख्या, पी सिद्धांत के गेज अपरिवर्तनीयता का परिणाम है। वे प्रक्रिया के दौरान गेज समरूपता की जाँच करने में निर्णायक भूमिका निभाते हैं। पुनर्सामान्यीकरण.
अंततः, प्रक्रिया स्वयं भी एक आवर्ती प्रक्रिया है: प्रत्येक चरण पर (प्रत्येक बाद के लूप में) प्रतिसदस्य,कम लूप वाले आरेखों की गणना से प्राप्त (अधिक विवरण के लिए, देखें)। आर-ऑपरेशन)।ए. एम. मालोकोस्तोव।
भौतिक विश्वकोश. 5 खंडों में. - एम.: सोवियत विश्वकोश. प्रधान संपादक ए. एम. प्रोखोरोव. 1988 .
देखें अन्य शब्दकोशों में "आवर्ती संबंध" क्या हैं:
पुनरावृत्ति संबंध- - [एल.जी. सुमेंको। सूचना प्रौद्योगिकी पर अंग्रेजी-रूसी शब्दकोश। एम.: राज्य उद्यम TsNIIS, 2003.] सामान्य EN पुनरावृत्ति संबंधों में विषय सूचना प्रौद्योगिकी ... तकनीकी अनुवादक की मार्गदर्शिका
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रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों की एक प्रणाली को हल करने की एक विधि। हर्मिटियन गैर-डीजेनरेट मैट्रिक्स ए के साथ समीकरण ए एक्स = बी। प्रत्यक्ष तरीकों के बीच, कंप्यूटर पर लागू होने पर यह सबसे प्रभावी है। विधि की कम्प्यूटेशनल योजना आम तौर पर हर्मिटियन फैक्टराइजेशन पर आधारित होती है... ... गणितीय विश्वकोश
संशोधित बेसेल फ़ंक्शन पूरी तरह से काल्पनिक तर्क के बेसेल फ़ंक्शन हैं। यदि बेसेल अंतर समीकरण में हम इसे प्रतिस्थापित करते हैं, तो यह रूप ले लेगा इस समीकरण को संशोधित बेसेल समीकरण कहा जाता है ... विकिपीडिया
बड़ी मात्रा में अवलोकन डेटा के साथ एक्ससंभावना समीकरण को हल करने की सीमित विधियाँ बड़ी संख्या में प्रारंभिक डेटा और गणना के मध्यवर्ती परिणामों को याद रखने की आवश्यकता से जुड़ी महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों को जन्म देती हैं। इस संबंध में, विशेष रुचि आवर्ती तरीकों की है जिसमें अधिकतम संभावना अनुमान की गणना धीरे-धीरे बढ़ती सटीकता के साथ चरणों में की जाती है, प्रत्येक चरण नए अवलोकन डेटा प्राप्त करने से जुड़ा होता है, और आवर्ती प्रक्रिया का निर्माण इस तरह से किया जाता है कि इसे स्मृति में संग्रहीत किया जा सके। पिछले चरणों से डेटा की न्यूनतम संभव मात्रा। व्यावहारिक दृष्टिकोण से आवर्ती तरीकों का एक अतिरिक्त और बहुत महत्वपूर्ण लाभ किसी भी मध्यवर्ती चरण पर परिणाम देने की उनकी तत्परता है।
यह उन मामलों में भी आवर्ती तरीकों का उपयोग करने की सलाह देता है जहां परिमित विधि द्वारा अधिकतम संभावना समीकरण का सटीक समाधान प्राप्त करना संभव है, और जब अधिकतम का अनुमान लगाने के लिए सटीक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति ढूंढना असंभव होता है तो उन्हें और भी अधिक मूल्यवान बनाता है। संभावना.
मान लें कि अवलोकन डेटा का सेट एक अनुक्रम है जिसका वर्णन करने के लिए हम एक वेक्टर का परिचय देते हैं। (हमेशा की तरह, इसका प्रत्येक घटक, बदले में, एक वेक्टर, एक यादृच्छिक प्रक्रिया का एक खंड, आदि हो सकता है)। चलो संभावना समारोह हो, और
इसका लघुगणक. उत्तरार्द्ध को हमेशा फॉर्म में दर्शाया जा सकता है
अंतिम मान के बिना अवलोकन डेटा की आबादी के लिए संभावना फ़ंक्शन का लघुगणक, और
और के दिए गए मानों के लिए मान की सशर्त संभाव्यता घनत्व का लघुगणक।
संभावना फ़ंक्शन के लघुगणक के लिए प्रतिनिधित्व (7.5.16) अधिकतम संभावना अनुमान की गणना के लिए आवर्ती प्रक्रिया प्राप्त करने का आधार है। आइए नियमित मामले पर विचार करें। इस मामले में, अधिकतम संभावना अनुमान को समीकरण के समाधान के रूप में पाया जा सकता है
जो केवल सूचकांक प्रस्तुत करने से (7.1.6) से भिन्न है पी वाईसंभाव्यता फ़ंक्शन का लघुगणक।
आइए हम इस समीकरण के समाधान को इस बात पर जोर देकर निरूपित करें कि यह अनुमान अवलोकन संबंधी डेटा के एक सेट से प्राप्त किया गया था। इसी प्रकार, आइए समीकरण के समाधान द्वारा डेटा की समग्रता से प्राप्त अधिकतम संभावना अनुमान को निरूपित करें।
समीकरण (7.5.19) को निम्नलिखित रूप में (7.5.16) को ध्यान में रखते हुए फिर से लिखा जा सकता है:
आइए हम बिंदु के पड़ोस में टेलर श्रृंखला में (7.5.20) के बाईं ओर का विस्तार करें। जिसमें
(7.5.22)
बिंदु पर फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट वेक्टर; यह शब्द इस तथ्य के कारण शून्य हो जाता है कि, पिछले के लिए संभावना समीकरण का एक समाधान है (पी -पहला चरण:
बिंदु पर संभाव्यता फ़ंक्शन के लघुगणक के दूसरे व्युत्पन्न का एक सममित मैट्रिक्स, विपरीत चिह्न के साथ लिया गया, विस्तार के अलिखित शब्दों में अंतर के संबंध में छोटेपन का एक द्विघात और उच्च क्रम होता है। इन उत्तरार्द्धों की उपेक्षा करते हुए, हमें अधिकतम संभावना समीकरण का निम्नलिखित अनुमानित समाधान प्राप्त होता है:
व्युत्क्रम मैट्रिक्स कहां है.
यह समाधान एक पुनरावृत्ति संबंध के रूप में प्रस्तुत किया गया है जो पिछले चरण के अनुमान और सुधार के माध्यम से अनुमान का अगला मूल्य निर्धारित करता है , सीधे और पिछले मूल्यांकन के माध्यम से उपलब्ध अवलोकन डेटा पर निर्भर करता है। सुधार नए प्राप्त मूल्य की सशर्त संभाव्यता घनत्व के लघुगणक के ढाल के उत्पाद के रूप में बनता है एक्स n पिछले अनुमान के बराबर एक बिंदु पर, भार मैट्रिक्स के लिए . उत्तरार्द्ध अभिव्यक्ति (7.5.23) द्वारा निर्धारित किया जाता है और पिछले चरण के अनुमान पर भी निर्भर करता है, और नए अवलोकन डेटा पर इसकी निर्भरता पूरी तरह से सशर्त संभाव्यता घनत्व के लघुगणक के रूप से निर्धारित होती है।
संबंध का रूप (7.5.24) (7.5.8) के समान है, जो न्यूटन की विधि का उपयोग करके अधिकतम संभावना अनुमान की गणना करने की एक पुनरावृत्त विधि लागू करता है। हालाँकि, वास्तव में वे एक-दूसरे से काफी भिन्न हैं। (7.5.8) में, पिछले अनुमान मूल्य में सुधार संपूर्ण संभावना फ़ंक्शन के लघुगणक के ग्रेडिएंट द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो हमेशा सभी उपलब्ध अवलोकन डेटा पर निर्भर करता है, जिसके लिए इस पूरे सेट को याद रखने की आवश्यकता होती है। (7.5.24) के अनुसार, सुधार ग्रेडिएंट के परिमाण द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो सशर्त संभाव्यता घनत्व के गुणों के कारण, वास्तव में केवल उन मूल्यों () पर निर्भर करता है जो एक मजबूत सांख्यिकीय कनेक्शन में हैं साथ एक्सएन। यह अंतर एक मान से कम किए गए अवलोकन डेटा के एक सेट से पाए गए अधिकतम संभावना अनुमान के रूप में पिछले सन्निकटन की विशेष पसंद का परिणाम है, और विशेष रूप से () के स्वतंत्र मूल्यों के लिए उच्चारित किया जाता है। इस आखिरी मामले में
जिसके कारण यह केवल और पर निर्भर करता है एक्स n , और ग्रेडिएंट केवल अनुमान के पिछले मूल्य और नए प्राप्त मूल्य से है पी-अवलोकन डेटा का mstep। इसलिए, स्वतंत्र मूल्यों के साथ, एक वेक्टर बनाने के लिए, मूल्यांकन मूल्य को छोड़कर पिछले चरण से किसी भी अन्य जानकारी को याद रखना आवश्यक नहीं है।
इसी तरह, अवलोकन डेटा के मार्कोव अनुक्रम के मामले में, यानी, जब
वेक्टर केवल वर्तमान और एक पिछले मूल्य पर निर्भर करता है, इस मामले में, गणना के लिए, पिछले चरण से, मूल्य के अलावा, केवल मूल्य को याद रखना आवश्यक है, लेकिन अवलोकन डेटा का पूरा सेट नहीं। जैसा कि पुनरावृत्तीय प्रक्रिया में होता है। सामान्य तौर पर, गणना के लिए बड़ी संख्या में पिछले मानों को संग्रहीत करने की आवश्यकता हो सकती है (), हालांकि, केवल उन मानों को ध्यान में रखने की आवश्यकता के कारण जो सांख्यिकीय रूप से निर्भर हैं, यह संख्या लगभग हमेशा कुल मात्रा से कम होती है अवलोकन डेटा का. इस प्रकार, यदि कोई वेक्टर किसी समय अनुक्रम का वर्णन करता है, तो इस अनुक्रम के याद किए जाने वाले सदस्यों की संख्या उसके सहसंबंध समय से निर्धारित होती है, और उनका सापेक्ष अनुपात व्युत्क्रम अनुपात में घट जाता है एन, जैसा कि स्वतंत्र मूल्यों के मामले में होता है।
आइए अब पुनरावृत्ति संबंध (7.5.24) में शामिल भार मैट्रिक्स की संरचना पर विचार करें। परिभाषा (7.5.23) के अनुसार, एक पद की उपस्थिति के कारण, यह, सामान्यतया, स्वतंत्र मूल्यों के साथ भी सभी मूल्यों पर निर्भर करता है, जो पुनरावृत्ति संबंध (7.5.24) के लाभों से वंचित करता है पिछले चरण से संग्रहीत डेटा की मात्रा में संभावित कमी से जुड़ा हुआ है। मैट्रिक्स गणना का अनुमान लगाने के कई तरीके हैं , जो इस कमी को दूर करता है.
उनमें से पहला अनुमान और के दो अगले मूल्यों के बीच एक छोटे अंतर की बुनियादी धारणा के अधिक सुसंगत उपयोग पर आधारित है, जो पुनरावृत्ति संबंध (7.5.24) प्राप्त करने का आधार है। यह हमें भार मैट्रिक्स के लिए एक समान पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त करने की अनुमति देता है, वास्तव में, (7.5.23) से लघुता का उपयोग करते हुए
पदनाम दर्ज करके
(7.5.24) और (7.5.25) से हम वेक्टर और भार मैट्रिक्स के लिए आवर्ती संबंधों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं
यह प्रणाली, प्रारंभिक मूल्यों के साथ, किसी भी चरण में अनुमान के मूल्य को पूरी तरह से निर्धारित करती है, उनमें से प्रत्येक पर वर्तमान देखे गए मूल्य के लिए सशर्त संभाव्यता घनत्व के लघुगणक के दूसरे डेरिवेटिव के केवल ग्रेडिएंट और मैट्रिक्स की गणना करने की आवश्यकता होती है। प्रारंभिक मूल्यों को संभावित मूल्यों और मापदंडों की भिन्नता की सीमा पर उपलब्ध प्राथमिक डेटा को ध्यान में रखते हुए चुना जाता है, और इन डेटा की पूर्ण अनुपस्थिति में उन्हें शून्य (,) के रूप में लिया जाता है।
स्वतंत्र मूल्यों के लिए, आवर्ती संबंधों की प्रणाली (7.5.27) स्पष्ट रूप से एक बहुआयामी (आयाम) मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया का वर्णन करती है, जिसका घटक पैरामीटर के वास्तविक मूल्य में परिवर्तित होता है, और घटक फिशर सूचना मैट्रिक्स (7.3) में परिवर्तित होता है। 8), अनुमानित पैरामीटर का सही मूल्य कहां है, और वृद्धि के साथ अनिश्चित काल तक बढ़ता है पी।यदि अनुक्रम एर्गोडिक है तो सिस्टम (7.5.27) में अधिक सामान्य परिस्थितियों में समान अभिसरण गुण होते हैं।
उल्लिखित विधियों में से दूसरा, संभावना फ़ंक्शन के लघुगणक के दूसरे डेरिवेटिव के मैट्रिक्स को उसकी गणितीय अपेक्षा के साथ बदलने पर आधारित है - फिशर सूचना मैट्रिक्स, जिसे ध्यान में रखते हुए (7.5.16), इस प्रकार लिखा जा सकता है:
जहां (7.5.26) के समान है
(7.5.24) में मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के साथ प्रतिस्थापित करने पर, हम पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त करते हैं
सैक्रिसन द्वारा प्रस्तावित अधिकतम संभावना अनुमानों की अनुमानित गणना के लिए (स्वतंत्र रूप से समान रूप से वितरित के लिए मूल में, जब और। यह पुनरावृत्ति संबंध प्रणाली (7.5.27) से सरल है, क्योंकि इष्टतम वजन मैट्रिक्स को इसके गणितीय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है अपेक्षा, और इसे खोजने के लिए मौजूदा अवलोकन डेटा की आवश्यकता नहीं है, सिवाय उन लोगों के जो अनुमान के मूल्य में केंद्रित हैं। साथ ही, यह स्पष्ट है कि इस तरह के प्रतिस्थापन का मतलब इसकी तुलना में एक अतिरिक्त आवश्यकता को पूरा करने की आवश्यकता है। 7.5.27) कि दूसरे डेरिवेटिव का मैट्रिक्स इसकी गणितीय अपेक्षा के करीब है।
यदि संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और मैट्रिक्स चरण दर चरण बदलते हैं, तो प्रत्येक चरण को सीधे खोजने के लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता हो सकती है। इस मामले में, परिणामों की सटीकता में अतिरिक्त कमी के कारण, छोटे अंतरों की शून्य से असमानता द्वारा निर्धारित, कोई मैट्रिक्स के अनुमानित मूल्य की आवर्ती गणना के लिए आगे बढ़ सकता है। इस अनुमानित मान के लिए पिछले अंकन पर लौटने पर, हमें पुनरावृत्ति संबंधों की एक और प्रणाली प्राप्त होती है
मैट्रिक्स का अपेक्षित मूल्य (एक अवलोकन के लिए फिशर सूचना मैट्रिक्स) बिंदु पर लिया गया। यह प्रणाली (7.5.27) से इस मायने में भिन्न है कि पुनरावृत्ति संबंधों के दूसरे भाग (7.5.31) में सीधे तौर पर अवलोकन संबंधी डेटा शामिल नहीं है।
ऊपर मानी गई पुनरावृत्ति संबंधों की कोई भी प्रणाली पूरी तरह से सटीक है यदि फ़ंक्शन द्विघात रूप से निर्भर करता है, और इसके अतिरिक्त, दूसरे डेरिवेटिव का मैट्रिक्स निर्भर नहीं करता है। वास्तव में, यह एक अज्ञात गणितीय अपेक्षा के साथ स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित (जरूरी नहीं कि समान) मूल्यों के मामले से मेल खाता है, जो अनुमानित पैरामीटर का प्रतिनिधित्व करता है।
पुनरावृत्ति संबंधों की प्रणाली (7.5.24) बहुत व्यापक परिस्थितियों में अधिकतम संभावना समीकरण का सटीक समाधान देती है, केवल इस आवश्यकता के साथ कि फ़ंक्शन द्विघात रूप से निर्भर करता है। इसके अलावा, निर्भरता मनमानी है, जो स्वतंत्र और आश्रित दोनों मूल्यों के साथ जनसंख्या संभाव्यता वितरण की एक विस्तृत श्रेणी से मेल खाती है।
विचार की गई सामान्य विधियों के साथ-साथ, आवर्ती संबंध (7.5.24) में भार गुणांक के मैट्रिक्स का चयन करने के लिए कई विधियां हैं, जो कुछ विशिष्ट प्रतिबंधों के अनुकूल हैं। इनमें से सबसे सरल एक विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में विकल्प है, ताकि, ( मैं- यूनिट मैट्रिक्स), जहां संख्यात्मक गुणांकों का घटता क्रम है, जिसे रॉबिन्स-मोनरो स्टोकेस्टिक सन्निकटन प्रक्रिया की तरह ही संभावना फ़ंक्शन के गुणों से स्वतंत्र रूप से चुना जाता है, जिस पर निम्नलिखित अध्यायों में चर्चा की जाएगी।
यह ध्यान देने योग्य है कि अधिकतम संभावना अनुमान खोजने के लिए कोई भी पुनरावृत्त या आवर्ती प्रक्रिया आम तौर पर अनुमानित होती है। इसलिए, सामान्यतया, इन प्रक्रियाओं को लागू करने के परिणामस्वरूप प्राप्त अनुमानों के लिए, स्थिरता, स्पर्शोन्मुख दक्षता और स्पर्शोन्मुख सामान्यता को नए सिरे से सिद्ध किया जाना चाहिए। पुनरावृत्त प्रक्रियाओं के लिए, अनुमानों के आवश्यक गुणों की गारंटी इस तथ्य से होती है कि, सिद्धांत रूप में, ऐसी प्रक्रियाएं, पुनरावृत्तियों की उचित संख्या के साथ, किसी भी पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ संभावना समीकरण का समाधान प्रदान करती हैं। आवर्ती प्रक्रियाओं के लिए विशेष प्रमाण हैं जैसे (7.5.27), (7.5.30), (7.5.31) और अन्य। साथ ही, नियमितता की आवश्यकता के अतिरिक्त, कुछ अतिरिक्त आवश्यकताएँ भी लगाई जाती हैं:
|| के विभिन्न मानों के लिए फ़ंक्शन (7.2.2) के व्यवहार पर, एक आवर्ती प्रक्रिया का उपयोग करके, पैरामीटर के वास्तविक मान के अनुरूप बिंदु पर इस फ़ंक्शन का एक वैश्विक अधिकतम प्राप्त करने के लिए;
बड़े निरपेक्ष मानों के लिए संभाव्यता फलन के लघुगणक के व्युत्पन्नों के दूसरे क्षणों में वृद्धि के क्रम से। ये आवश्यकताएं मार्कोव यादृच्छिक प्रक्रिया के घटकों के सभी या कुछ हिस्सों के एक बिंदु पर अभिसरण के लिए अधिक सामान्य स्थितियों का परिणाम हैं, जहां एक या किसी अन्य आवर्ती प्रक्रिया का नेतृत्व होता है।
निष्कर्ष में, हम यह भी ध्यान देते हैं कि ऐसे मामले में जब अधिकतम संभावना समीकरण का सटीक समाधान होता है, इसे लगभग हमेशा आवर्ती रूप में दर्शाया जा सकता है। आइए हम दो सरल भिन्न उदाहरण दें। इस प्रकार, जनसंख्या में एक सामान्य यादृच्छिक चर की अज्ञात गणितीय अपेक्षा का एक प्रारंभिक अनुमान एनअंकगणितीय माध्य के रूप में इसका नमूना मान
अधिकतम संभावना अनुमान है और इसे आवर्ती रूप में दर्शाया जा सकता है:
जो कि सबसे सरल विशेष मामला (7.5.30) है
एक अन्य उदाहरण पैरामीटर के लिए अनियमित अधिकतम संभावना अनुमान है - आयताकार वितरण की चौड़ाई - (7.4.2) से, जिसे पुनरावृत्ति संबंध द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है
प्रारंभिक शर्त के साथ. यह पुनरावृत्ति संबंध एक अलग प्रकार का है: इसके दाहिने हिस्से को पिछले अनुमान और एक छोटे सुधार के योग के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जो इस उदाहरण की अनियमितता का परिणाम है; हालाँकि, इसमें आवर्ती दृष्टिकोण के सभी फायदे हैं: इसमें पिछले चरण - अनुमान - से सिर्फ एक संख्या को याद रखने की आवश्यकता होती है और सभी मूल्यों की तुलना करने के बजाय खोज को एक तुलना तक कम कर देता है।
दिए गए उदाहरण उस स्थिति में भी आवर्ती तरीकों के फायदों को दर्शाते हैं जब अधिकतम संभावना समीकरण एक सटीक समाधान की अनुमति देता है, क्योंकि परिणाम के विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व की सादगी इसे प्राप्त करने की कम्प्यूटेशनल सादगी के समान नहीं है।
7.5.3. निरंतर समय में संक्रमण. अधिकतम संभावना अनुमानकों के लिए विभेदक समीकरण
आइए अब उस विशेष मामले पर विचार करें जब अवलोकन डेटा उपलब्ध हो एक्सनमूना बिंदुओं के एक सेट द्वारा वर्णित नहीं हैं , a किसी प्रक्रिया के कार्यान्वयन के एक खंड का प्रतिनिधित्व करता है , अंतराल पर निर्दिष्ट मापदंडों के आधार पर , और अवलोकन के दौरान इस अंतराल की लंबाई बढ़ सकती है (समय बिंदु)। टीपरिवर्तनशील है)।
अवलोकन डेटा के सांख्यिकीय विवरण के लिए, इस मामले में, एक संभावना अनुपात कार्यात्मक पेश किया गया है, जो एक समान संभावना के लिए मनमाने ढंग से दिए गए मूल्य पर मूल्यों के एक सेट के संभाव्यता घनत्व वितरण के अनुपात की अधिकतम सीमा है। एक निश्चित निश्चित मूल्य पर घनत्व, और कुछ मामलों में, जब यह प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है, जहां एक यादृच्छिक प्रक्रिया होती है, जो प्रदान किए गए मूल्यों के एक सेट की संभावना घनत्व से स्वतंत्र होती है। संभाव्यता अनुपात कार्यात्मक का उपयोग हमें निरंतर समय पर जाने पर उत्पन्न होने वाली संभाव्यता घनत्व को निर्धारित करने में औपचारिक कठिनाइयों को खत्म करने की अनुमति देता है।
संभाव्यता अनुपात कार्यात्मक के लघुगणक को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है
अंतराल पर प्रक्रिया की कुछ कार्यात्मकता कहां है। कुछ मामलों में, फ़ंक्शनल एक ऐसे फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है जो केवल के मान पर निर्भर करता है। तो यदि
जहां समय और मापदंडों का एक ज्ञात कार्य है, और वर्णक्रमीय घनत्व के साथ एक डेल्टा-सहसंबद्ध यादृच्छिक प्रक्रिया ("सफेद" शोर) है एनओ, फिर, संभाव्यता वितरण के संभाव्यता अनुपात को हर के रूप में चुनना एक्सपर, हमारे पास होगा
मान लीजिए पैरामीटर का अधिकतम संभावना अनुमान है, जो अंतराल पर प्रक्रिया के कार्यान्वयन से निर्मित होता है, यानी अधिकतम संभावना समीकरण का समाधान
समय के संबंध में इस समीकरण के बाएँ पक्ष को विभेदित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
पदनामों का परिचय
और समीकरण (7.5.42) को हल करने पर, हमें अधिकतम संभावना का अनुमान लगाने के लिए एक अंतर समीकरण प्राप्त होता है
मैट्रिक्स, बदले में, (7.5.37) के अनुसार अंतर समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है
असतत मामले की तरह, (7.5.45), (7.5.47) में मैट्रिक्स को इसकी गणितीय अपेक्षा से बदला जा सकता है - के मूल्य पर फिशर सूचना मैट्रिक्स, और वजन के लिए अंतर समीकरण (7.5.46) मैट्रिक्स - समीकरण द्वारा
जहां असतत मामले के समान है
दूसरे डेरिवेटिव के मैट्रिक्स की गणितीय अपेक्षा।
अंतर समीकरणों का सेट (7.5.45), (7.5.46) या (7.5.45), (7.5.48), प्रारंभिक शर्तों के साथ, जिसके विकल्प के संबंध में असतत मामले के लिए कही गई हर बात पूरी तरह से वैध रहती है समय में किसी भी क्षण के लिए अधिकतम संभावना अनुमान निर्धारित करता है। इस सेट को उपयुक्त, आम तौर पर बोलने वाले, गैर-रेखीय एनालॉग उपकरणों का उपयोग करके या उपयुक्त समय नमूने के साथ, कंप्यूटर का उपयोग करके हल किया जा सकता है। अंत में, आइए हम इन समीकरणों के संशोधनों में से एक पर ध्यान दें, जो हमें मैट्रिक्स को उलटने की आवश्यकता से बचने की अनुमति देता है।
पदनाम का परिचय
, कहाँ मैं
और समय के संबंध में संबंध को अलग करना , कहाँ मैंपहचान मैट्रिक्स है, (7.5.46) का उपयोग करके हम एक अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं जो सीधे मैट्रिक्स को निर्धारित करता है:
(और इसी तरह जब प्रतिस्थापित किया जाता है), जो समीकरण (7.5.45) के साथ मिलकर
मूल्यांकन निर्धारित करता है , मैट्रिक्स व्युत्क्रमण की आवश्यकता के बिना। इस मामले में, सबसे सरल रैखिक अंतर समीकरण (7.5.46) से रिकाती प्रकार के एक गैर-रेखीय अपेक्षाकृत अंतर समीकरण (7.5.51) में संक्रमण होता है।