आधुनिक औपचारिक तर्क के प्रतीक. तार्किक संक्रियाएँ और उनके गुण तर्क की भाषा में प्रतीक का अर्थ है

तार्किक संक्रियाओं के गुण

1. पदनाम

1.1. तार्किक संयोजकों (संचालन) के लिए संकेतन:

ए) नकार(उलटा, तार्किक NOT) को ¬ द्वारा दर्शाया जाता है (उदाहरण के लिए, ¬A);

बी) संयोजक(तार्किक गुणन, तार्किक तथा) को /\ द्वारा दर्शाया जाता है
(उदाहरण के लिए, ए /\ बी) या & (उदाहरण के लिए, ए और बी);

सी) अलगाव(तार्किक जोड़, तार्किक OR) को \/ द्वारा दर्शाया जाता है
(उदाहरण के लिए, ए\/बी);

डी) अगले(निहितार्थ) को → (उदाहरण के लिए, ए → बी) द्वारा दर्शाया जाता है;

इ) पहचान≡ द्वारा निरूपित (उदाहरण के लिए, ए ≡ बी)। अभिव्यक्ति A ≡ B सत्य है यदि और केवल यदि A और B के मान समान हैं (या तो वे दोनों सत्य हैं, या वे दोनों गलत हैं);

च) प्रतीक 1 का प्रयोग सत्य (सत्य कथन) को दर्शाने के लिए किया जाता है; प्रतीक 0 - झूठ (झूठा कथन) दर्शाने के लिए।

1.2. वेरिएबल्स वाले दो बूलियन एक्सप्रेशन कहलाते हैं समकक्ष (समतुल्य) यदि इन अभिव्यक्तियों के मान चर के किसी भी मान के लिए मेल खाते हैं। इस प्रकार, अभिव्यक्ति A → B और (¬A) \/ B समतुल्य हैं, लेकिन A /\ B और A \/ B नहीं हैं (अभिव्यक्ति के अर्थ भिन्न हैं, उदाहरण के लिए, जब A = 1, B = 0 ).

1.3. तार्किक संचालन की प्राथमिकताएँ:व्युत्क्रम (निषेध), संयोजन (तार्किक गुणन), विच्छेदन (तार्किक जोड़), निहितार्थ (निम्नलिखित), पहचान। इस प्रकार, ¬A\/B\/C\/D का मतलब वही है

((¬ए)\/बी)\/(सी\/डी).

(A \/ B) \/ C के स्थान पर A \/ B \/ C लिखना संभव है। यही बात संयोजन पर भी लागू होती है: (A /\ B) के स्थान पर A /\ B /\ C लिखना संभव है ) /\ सी।

2. गुण

नीचे दी गई सूची संपूर्ण नहीं है, लेकिन हमें आशा है कि यह पर्याप्त रूप से प्रतिनिधि होगी।

2.1. सामान्य विशेषता

1. के एक सेट के लिए एनबिल्कुल तार्किक चर हैं 2 एनविभिन्न अर्थ। तार्किक अभिव्यक्ति के लिए सत्य तालिका एनचर शामिल हैं एन+1स्तंभ और 2 एनपंक्तियाँ.

2.2.विच्छेदन

1. यदि उप-अभिव्यक्तियों में से कम से कम एक, जिस पर वियोजन लागू होता है, चर के मानों के कुछ सेट पर सत्य है, तो मूल्यों के इस सेट के लिए संपूर्ण वियोजन सत्य है।
2. यदि एक निश्चित सूची से सभी अभिव्यक्तियाँ चर मानों के एक निश्चित सेट पर सत्य हैं, तो इन अभिव्यक्तियों का विच्छेदन भी सत्य है।
3. यदि एक निश्चित सूची से सभी अभिव्यक्तियाँ परिवर्तनीय मानों के एक निश्चित सेट पर झूठी हैं, तो इन अभिव्यक्तियों का विच्छेदन भी गलत है।
4. विच्छेदन का अर्थ उन उपअभिव्यक्तियों के लेखन क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिन पर इसे लागू किया जाता है।

2.3. संयोजक

1. यदि उप-अभिव्यक्तियों में से कम से कम एक, जिस पर संयोजन लागू होता है, चर मानों के कुछ सेट पर गलत है, तो मूल्यों के इस सेट के लिए संपूर्ण संयोजन गलत है।
2. यदि एक निश्चित सूची से सभी अभिव्यक्तियाँ चर मानों के एक निश्चित सेट पर सत्य हैं, तो इन अभिव्यक्तियों का संयोजन भी सत्य है।
3. यदि एक निश्चित सूची से सभी अभिव्यक्तियाँ परिवर्तनीय मानों के एक निश्चित सेट पर झूठी हैं, तो इन अभिव्यक्तियों का संयोजन भी गलत है।
4. संयोजन का अर्थ उन उपअभिव्यक्तियों के लेखन क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिन पर इसे लागू किया जाता है।

2.4. सरल वियोजन एवं समुच्चयबोधक

आइए (सुविधा के लिए) समुच्चयबोधक कहें सरल, यदि जिन उपअभिव्यक्तियों पर संयोजन लागू होता है वे अलग-अलग चर या उनके निषेध हैं। इसी प्रकार विभक्ति भी कहलाती है सरल, यदि जिन उपअभिव्यक्तियों पर विच्छेदन लागू किया गया है वे अलग-अलग चर या उनके निषेध हैं।

1. एक साधारण संयोजन चर मानों के बिल्कुल एक सेट पर 1 (सत्य) का मूल्यांकन करता है।
2. एक साधारण वियोजन परिवर्तनीय मानों के ठीक एक सेट पर 0 (गलत) का मूल्यांकन करता है।

2.5. निहितार्थ

1. निहितार्थ ए →बीविच्छेद के समतुल्य है (¬ ए)\/बी.इस विच्छेद को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: ¬ ए\/बी.
2. निहितार्थ ए →बीमान 0 (गलत) केवल तभी लेता है ए=1और बी=0.अगर ए=0,फिर निहितार्थ ए →बीकिसी भी मूल्य के लिए सत्य बी।

गणित की विशेषता प्रतीकवाद का व्यापक उपयोग है, जो संक्षेप में, औपचारिक तर्क का उपकरण है। औपचारिक, या प्रतीकात्मक, तर्क सोच की संरचना को समझने की एक विशेष विधि है। इस विकसित उपकरण का उपयोग हर जगह किया जाता है। गणित में कई महत्वपूर्ण प्रावधानों को प्रतीकों के रूप में लिखा जा सकता है। तार्किक तर्क को प्रतीकों में लिखने से प्रमाण अधिक संक्षिप्त, सरल दिखते हैं। औपचारिक तर्क कथनों से संचालित होता है (वैसे, हमारे भाषण में वे शामिल होते हैं)। प्रस्ताव एक वाक्य है जिसके बारे में यह कहना उचित है कि यह सत्य है या असत्य। उदाहरण 1.3. „मास्को रूस की राजधानी है**, „पेट्रोव आई.आई. - MSTU छात्र ", x2 + y2 = 1, x € R - कथन; x2 -2x + + U2 - एक कथन नहीं है। # सरल कथनों को "और", "या", "नहीं", "यदि" शब्दों के साथ जोड़ना ..., फिर," हमें अधिक जटिल कथन मिलते हैं जो हमारे भाषण को परिभाषित करते हैं। गणित में, इन शब्दों को तार्किक संयोजक कहा जाता है, औपचारिक तर्क में वे बुनियादी तार्किक प्रतीकों के अनुरूप होते हैं, जिन पर हम संक्षेप में चर्चा करेंगे। 1. संयोजन pAq कथन p और q वह कथन है, जो तभी सत्य है जब दोनों कथन (p और q दोनों) सत्य हैं। संयोजन A का तार्किक प्रतीक भाषण में संयोजन "और" को प्रतिस्थापित करता है। संयोजन को p एवं q से भी दर्शाया जाता है। 2. कथन p और q का वियोजन pW q एक कथन है जो गलत है यदि और केवल यदि दोनों कथन गलत हैं, और सत्य है जब उनमें से कम से कम एक (p या q) सत्य है। भाषण में विच्छेदन V का तार्किक प्रतीक "या" शब्द को प्रतिस्थापित करता है। 3. कथन p और q का निहितार्थ p => q एक कथन है जो गलत है यदि और केवल यदि p सत्य है और q का तार्किक प्रतीक है निहितार्थ => का उपयोग किसी तथ्य के परिणामों को इंगित करते समय किया जाता है, यह "यदि... तो" शब्दों को प्रतिस्थापित करता है। कोई "पी का तात्पर्य क्व" भी पढ़ सकता है। 4. तार्किक तुल्यता प्रतीक & का अर्थ है कि एक कथन p q सत्य है यदि और केवल यदि दोनों कथन p और q सत्य हैं या दोनों कथन गलत हैं। यह प्रतीक भाषण में "समतुल्य" शब्द को प्रतिस्थापित करता है। कथन पी का निषेध कथन है - "पी, जो सत्य है यदि पी गलत है, और गलत है जब पी सत्य है। तार्किक प्रतीक -" भाषण में प्रतिस्थापित करता है शब्द "नहीं"। बयानों की रिकॉर्डिंग को छोटा और स्पष्ट करने के लिए, दो संकेत V और 3 पेश किए गए हैं, जिन्हें क्रमशः कुछ बुनियादी तार्किक प्रतीक कहा जाता है। औपचारिक या प्रतीकात्मक तर्क. अनिवार्य रूप से व्यापकता और अस्तित्व के परिमाणक। समुच्चय E के किसी तत्व x के लिए अभिव्यक्ति "Vs 6 E" के रूप में लिखी गई है। इस नोटेशन का अर्थ है कि इसके बाद का कथन सेट E के एक मनमाने तत्व के लिए संतुष्ट होगा। नोटेशन V&i, "2" xn€E का अर्थ है: "सेट Eu के तत्व xi, 32, xn जो भी हों। अभिव्यक्ति "सेट ई का कम से कम एक तत्व ऐसा है कि..." 3x £ ई लिखा गया है: ... इस नोटेशन का पालन करने वाली हर चीज सेट ई के कम से कम एक तत्व के लिए सत्य है। इसके विपरीत, $ x e E: ... का अर्थ है कि निम्नलिखित सभी E से किसी भी तत्व के लिए मान्य नहीं है। अभिव्यक्ति „ E से एक और केवल एक तत्व है जैसे कि...u को E!z € E के रूप में लिखा गया है : .. अंकन 3x\) xs, xn € E: ... का अर्थ है: सेट E के तत्व x\y a?2" "i" ऐसे हैं कि...t प्रस्तुत प्रतीकों का उपयोग करना सुविधाजनक है, क्योंकि उदाहरण के लिए, सेट पर संचालन को परिभाषित करते समय, AUB:<*{х: (х € А) V (х € В)}, АПВ:*>(x: (x € A) L (f € B)), A\B:*>(x: (x € A) L (x g B)), A:<${х: (ж €Й)Л(х£ Л)}, где символ означает эквивалентность по определению. Связь теории множеств и формальной логики достаточно широка. Исследованием этой связи впервые занимался английский математик Джордж Буль (1815-1864), работы которого положили начало одному из важнейших направлений современной алгебры, называемому булевой алгеброй. Ясно, что взятие дополнения тесно связано с отрицанием высказывания, операции объединены и пересечения множеств - с дизъюнкцией и конъюнкцией высказываний соответственно, включение подмножества в множество - с импликацией, а равенство множеств - с эквиваленцией высказываний. В силу этой связи с помощью теории множеств можно решать некоторые логические задачи. Пример 1.4. Рассмотрим набор высказываний: 1) животные, которых не видно в темноте, серы; 2) соседи не любят тех, кто не дает им спать; 3) кто кредко спит, громко храпит; 4) соседи любят животных, которых видно в темноте; 5) все слоны крепко спят; 6) кто громко храпит, не дает спать соседям. Эти высказывания можно перевести на язык теории множеств, если ввести следующие обозначения: А - множество тех, кто будит соседей; В - множество тех, кто крепко спит; С - множество тех, кто громко храпит; D - множество животных, которых видно в темноте; Е - множество слонов; F - множество тех, кого любят соседи; G - множество тех, кто серые. Высказывание 1) означает, что элементы, не лежащие в D) содержатся в G, т.е. 1) D С G. Остальные высказывания принимают вид: 2) Л С F; 3) £ С С; 4) D С F; 5) Е С В; б)ССЛ. Взяв дополнения множеств D и F, из 4) согласно принципу двойственности получим F С D и затем соединим все выскаг зывания в цепочку ECCCACFCDCG. Из этой цепочки (с учетом свойства транзитивности символа включения) следует, что ECGy т.е. все слоны серы. # Рассмотренные логические символы и кванторы существования и общности широко используют математики для записи предложений, в которых они, по сути, воплощают плоды своего творчества. Эти предложения представляют собой устанавливающие свойства математических объектов теоремы, леммы, утверждения и следствия из них, а также различные формулы. Однако следует отметить, что часть предложений приходится все же выражать словами. Любая теорема состоит, вообще говоря, в задании некоторого свойства Л, называемого условием, из которого выводят свойство Ву называемое заключением. Коротко теорему пА влечет Ви записывают в виде А В и говорят, что А является достаточным условием для Б, а Б - необходимым условием для А. Тогда обратная теорема имеет вид В А (возможна запись при помощи обратной импликации А <= В), но справедливость прямой теоремы еще не гарантирует справедливости обратной ей теоремы. Если справедливы данная тедрема и обратная ей, то свойства А я В эквивалентны, и такую теорему можно записать в виде А о В. Эта запись соответствует фразам: „Для того, чтобы Л, необходимо и достаточно, чтобы В", „А тогда и только тогда, когда Ви или „А, если и только если Ви. Ясно, что в этих фразах А и В можно поменять местами. Утверждение, противоположное утверждению А} записывают -^Л, что соответствует словам „не Аи. Если в символьную запись утверждения А входят кванторы 3, V и условие Р, то при построении символьной записи противоположного утверждения -*А квантор 3 заменяют на V, квантор V - на 3, а условие Р заменяют на условие -»Р. Пример 1.6. Рассмотрим утверждение Зх € Е: Р (существует элемент х множества Е, обладающий свойством Р) и построим его отрицание. Если это утверждение неверно, то указанного элемента не существует, т.е. для каждого х € Е свойство Р не выполняется, или -.(За: 6 Е: Р) = Vx € Е: -.Р. Теперь построим отрицание утверждения Vx 6 Е: Р (для каждого элемента х множества Е имеет место свойство Р). Если данное утверждение неверно, то свойство Р имеет место не для каждого элемента указанного множества, т.е. существует хотя бы один элемент х € Е, не обладающий этим свойством, или -.(УхбЕ: Р) = Зх€Я: -чР. # Доказательство предложения представляет собой проводимое по определенным правилам рассуждение, в котором для обоснования сформулированного предложения используют определения, аксиомы и ранее доказанные предложения. Примеры доказательств свойств абсолютных значений действительных чисел приведены доше (см. 1.3), а первого из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения и первого из законов де Моргана (1.7) - в 1.4. Одним из используемых приемов является метод доказательства от противного. Для доказательства таким методом теоремы А =>बी मान लें कि यह सच है - “बी. यदि तर्क इस तथ्य की ओर ले जाता है कि ऐसी धारणा के तहत स्थिति ए असंभव है, यानी। यदि कोई विरोधाभास उत्पन्न होता है, तो प्रमेय सिद्ध माना जाता है। उदाहरण 1.6. हम डी मॉर्गन के दूसरे नियम (1.7) AC\B = AUB की वैधता को सत्यापित करने के लिए विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि का उपयोग करते हैं। यदि यह समानता सत्य है, तो प्रत्येक तत्व x € A P B को भी A U B से संबंधित होना चाहिए, अर्थात। x € A U B. विपरीत मान लें: s £ AUB। फिर, द्वंद्व के सिद्धांत के अनुसार (1.4 देखें) x € APV, यानी। x ^ APV, और यह मूल स्थिति x € A P B का खंडन करता है, जो कथन x € AG\B => he liv के निहितार्थ की वैधता को साबित करता है। इसके विपरीत, प्रत्येक तत्व x 6 A U B को A G) B से संबंधित होना चाहिए, अर्थात। x € A O B. आइए हम फिर से विपरीत मान लें: x £ i AP B, यानी। x £ AP B, या (xbA)L(xbB)। फिर (x £ A)L A (x £ B) और x £ AUB, और यह फिर से स्वीकृत शर्त x £ A U B का खंडन करता है, जो कथनों x € APV « = x € AUB के व्युत्क्रम निहितार्थ की वैधता को साबित करता है। कुछ बुनियादी तार्किक प्रतीक. औपचारिक या प्रतीकात्मक तर्क. परिणामस्वरूप, दूसरे सूत्र (1.7) की वैधता पूर्णतः सिद्ध हो जाती है। # उन प्रस्तावों को साबित करते समय जो एक मनमानी प्राकृतिक संख्या n G N के लिए मान्य हैं, गणितीय प्रेरण की विधि का कभी-कभी उपयोग किया जाता है: प्रत्यक्ष सत्यापन द्वारा, प्रस्ताव की वैधता n (n = 1, 2) के पहले कुछ मानों के लिए स्थापित की जाती है , ...), और फिर यह मान लिया जाता है कि यह n = k के लिए सत्य है) और यदि इस धारणा से यह निष्कर्ष निकलता है कि दिया गया प्रस्ताव n = k -f 1 के लिए मान्य है, तो इसे सभी n € के लिए सिद्ध माना जाता है एन. उदाहरण 1.7. आइए हम ज्यामितीय प्रगति 0|, a2 = aitf, a3 = alq2) an = aign_1 के पहले n पदों के योग के लिए सूत्र "P = "1 (1.8) की वैधता को प्रगति q ^ के हर के साथ सिद्ध करें। 1. यह स्पष्ट है कि सूत्र n = 1 और n = 2 के लिए सही है। आइए मान लें कि यह n = k के लिए भी सत्य है, अर्थात। कुछ बुनियादी तार्किक प्रतीक. औपचारिक या प्रतीकात्मक तर्क. यदि (1.9) में हम k +1 = n दर्शाते हैं, तो हम फिर से (1.8) पर आते हैं, जो इस सूत्र की वैधता को साबित करता है।

इसका उपयोग तार्किक संक्रियाओं की गणना करने के लिए किया जाता है। आइए नीचे कंप्यूटर विज्ञान के सभी सबसे प्राथमिक तार्किक परिचालनों पर विचार करें। आख़िरकार, यदि आप इसके बारे में सोचते हैं, तो वे ही कंप्यूटर और उपकरणों का तर्क बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

नकार

इससे पहले कि हम विशिष्ट उदाहरणों पर विस्तार से विचार करना शुरू करें, हम कंप्यूटर विज्ञान में बुनियादी तार्किक संचालन सूचीबद्ध करते हैं:

• निषेध;
• जोड़ना;
• गुणन;
• अगले;
• समानता.

इसके अलावा, तार्किक संचालन का अध्ययन शुरू करने से पहले, यह कहना उचित है कि कंप्यूटर विज्ञान में, झूठ को "0" और सत्य को "1" से दर्शाया जाता है।

प्रत्येक क्रिया के लिए, सामान्य गणित की तरह, कंप्यूटर विज्ञान में तार्किक संचालन के निम्नलिखित संकेतों का उपयोग किया जाता है: ¬, v, &, ->।

प्रत्येक क्रिया को या तो संख्या 1/0 द्वारा, या केवल तार्किक अभिव्यक्तियों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। आइए गणितीय तर्क पर अपना विचार सबसे सरल ऑपरेशन से शुरू करें जो केवल एक चर का उपयोग करता है।

तार्किक निषेध एक व्युत्क्रम संक्रिया है। विचार यह है कि यदि मूल अभिव्यक्ति सत्य है, तो व्युत्क्रम का परिणाम गलत है। और इसके विपरीत, यदि मूल अभिव्यक्ति गलत है, तो व्युत्क्रम का परिणाम सत्य होगा।

इस अभिव्यक्ति को लिखते समय, निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जाता है: "¬A"।

आइए हम एक सत्य तालिका प्रस्तुत करें - एक आरेख जो किसी भी प्रारंभिक डेटा के लिए किसी ऑपरेशन के सभी संभावित परिणाम दिखाता है।

अर्थात् यदि हमारी मूल अभिव्यक्ति सत्य (1) है तो उसका निषेधन असत्य (0) होगा। और यदि मूल अभिव्यक्ति असत्य (0) है, तो इसका निषेधन सत्य (1) है।

जोड़ना

शेष संचालन के लिए दो चर की आवश्यकता होती है। आइए हम एक अभिव्यक्ति को निरूपित करें -

ए, दूसरा - बी। कंप्यूटर विज्ञान में तार्किक संचालन, जो जोड़ने (या विच्छेदन) की क्रिया को दर्शाता है, जब लिखा जाता है, तो उसे या तो शब्द "या" या प्रतीक "वी" द्वारा दर्शाया जाता है। आइए संभावित डेटा विकल्पों और गणना परिणामों का वर्णन करें।

1. E=1, H=1, तो E v H = 1. यदि दोनों हैं तो उनका वियोजन भी सत्य है।
2. E = 0, H = 1, परिणामस्वरूप E v H = 1. E = 1, H = 0, फिर E v H = 1. यदि कम से कम एक अभिव्यक्ति सत्य है, तो उनके योग का परिणाम होगा सत्य।
3. E=0, H=0, परिणाम E v H = 0. यदि दोनों अभिव्यक्तियाँ असत्य हैं, तो उनका योग भी असत्य है।

संक्षिप्तता के लिए, आइए एक सत्य तालिका बनाएं।

अलगाव

इ	एक्स	एक्स	हे	हे
एन	एक्स	हे	एक्स	हे
ई वी एन	एक्स	एक्स	एक्स	हे

गुणा

जोड़ की संक्रिया से निपटने के बाद, हम गुणन (संयोजन) की ओर बढ़ते हैं। आइए जोड़ने के लिए उसी संकेतन का उपयोग करें जो ऊपर दिया गया था। लिखते समय, तार्किक गुणन को प्रतीक "&" या अक्षर "I" द्वारा दर्शाया जाता है।

1. E=1, H=1, फिर E और H = 1. यदि दोनों हैं तो उनका संयोजन सत्य है।
2. यदि कम से कम एक अभिव्यक्ति गलत है, तो तार्किक गुणन का परिणाम भी गलत होगा।

• ई=1, एच=0, इसलिए ई और एच = 0।
• E=0, H=1, फिर E और H = 0.
• E=0, H=0, कुल E और H = 0.

संयोजक

इ	एक्स	एक्स	0	0
एन	एक्स	0	एक्स	0
ई एंड एन	एक्स	0	0	0

परिणाम

निहितार्थ (निहितार्थ) की तार्किक संक्रिया गणितीय तर्क में सबसे सरल में से एक है। यह एक ही सिद्धांत पर आधारित है - झूठ सच का अनुसरण नहीं कर सकता।

1. ई = 1, एच =, इसलिए ई -> एच = 1। यदि कोई जोड़ा प्यार में है, तो वे चुंबन कर सकते हैं - सच है।
2. E = 0, H = 1, फिर E -> H = 1. यदि जोड़ा प्यार में नहीं है, तो वे चुंबन कर सकते हैं - यह सच भी हो सकता है।
3. E = 0, H = 0, इससे E -> H = 1. यदि कोई जोड़ा प्यार में नहीं है, तो वे चुंबन नहीं करते - यह भी सच है।
4. E = 1, H = 0, परिणाम होगा E -> H = 0. यदि कोई जोड़ा प्यार में है, तो वे चुंबन नहीं करते - यह झूठ है।

गणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करना आसान बनाने के लिए, हम एक सत्य तालिका भी प्रस्तुत करते हैं।

समानता

माना जाने वाला अंतिम ऑपरेशन तार्किक पहचान समानता या तुल्यता होगा। पाठ में इसे "...यदि और केवल यदि..." के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। इस सूत्रीकरण के आधार पर, हम सभी मूल विकल्पों के लिए उदाहरण लिखेंगे।

1. A=1, B=1, फिर A≡B = 1. एक व्यक्ति गोलियां तभी लेता है जब वह बीमार हो। (सत्य)
2. A = 0, B = 0, परिणामस्वरूप A≡B = 1. एक व्यक्ति गोलियां नहीं लेता है यदि और केवल यदि वह बीमार नहीं है। (सत्य)
3. A = 1, B = 0, इसलिए A≡B = 0. एक व्यक्ति गोलियाँ तभी लेता है जब वह बीमार न हो। (झूठ)
4. ए = 0, बी = 1, फिर ए≡बी = 0. एक व्यक्ति गोलियां नहीं लेता है यदि और केवल यदि वह बीमार है। (झूठ)

गुण

इसलिए, कंप्यूटर विज्ञान में सबसे सरल गुणों पर विचार करने के बाद, हम उनके कुछ गुणों का अध्ययन शुरू कर सकते हैं। गणित की तरह, तार्किक संक्रियाओं का अपना प्रसंस्करण क्रम होता है। बड़े बूलियन अभिव्यक्तियों में, कोष्ठक में संचालन पहले किया जाता है। उनके बाद, पहली चीज़ जो हम करते हैं वह उदाहरण में सभी निषेध मानों को गिनना है। अगला कदम संयोजन और फिर विच्छेदन की गणना करना है। इसके बाद ही हम परिणाम और अंततः समतुल्यता की क्रिया करते हैं। आइए स्पष्टता के लिए एक छोटा सा उदाहरण देखें।

ए वी बी और ¬बी -> बी ≡ ए

क्रियाओं का क्रम इस प्रकार है।

1. वी&(¬वी)
2. ए वी(बी&(¬बी))
3. (ए वी(बी&(¬बी)))->बी
4. ((A v(B&(¬B)))->B)≡A

इस उदाहरण को हल करने के लिए, हमें एक विस्तारित सत्य तालिका बनाने की आवश्यकता होगी। इसे बनाते समय, याद रखें कि कॉलम को उसी क्रम में रखना बेहतर है जिसमें क्रियाएं की जाएंगी।

उदाहरण समाधान

ए	में				(ए वी(बी&(¬बी)))->बी	((A v(B&(¬B)))->B)≡A
एक्स	हे	एक्स	हे	एक्स	एक्स	एक्स
एक्स	एक्स	हे	हे	एक्स	एक्स	एक्स
हे	हे	एक्स	हे	हे	एक्स	हे
हे	एक्स	हे	हे	हे	एक्स	हे

जैसा कि हम देख सकते हैं, उदाहरण को हल करने का परिणाम अंतिम कॉलम होगा। सत्य तालिका ने किसी भी संभावित इनपुट डेटा के साथ समस्या को हल करने में मदद की।

निष्कर्ष

इस लेख में गणितीय तर्क की कुछ अवधारणाओं की जांच की गई, जैसे कंप्यूटर विज्ञान, तार्किक संचालन के गुण, और यह भी कि तार्किक संचालन स्वयं क्या हैं। गणितीय तर्क में समस्याओं को हल करने के लिए कुछ सरल उदाहरण और इस प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए आवश्यक सत्य तालिकाएँ दी गईं।

संयोजन या तार्किक गुणन (सेट सिद्धांत में, यह प्रतिच्छेदन है)

संयोजन एक जटिल तार्किक अभिव्यक्ति है जो तभी सत्य है जब दोनों सरल अभिव्यक्तियाँ सत्य हों। यह स्थिति केवल एक ही स्थिति में संभव है; अन्य सभी मामलों में संयोजन गलत है।

संकेतन: &, $\वेज$, $\cdot$।

संयोजन के लिए सत्य तालिका

चित्र 1।

संयोजक के गुण:

1. यदि चर मानों के कुछ सेट पर संयोजन के उप-अभिव्यक्तियों में से कम से कम एक गलत है, तो मूल्यों के इस सेट के लिए संपूर्ण संयोजन गलत होगा।
2. यदि संयोजन के सभी भाव चर मानों के कुछ सेट पर सत्य हैं, तो संपूर्ण संयोजन भी सत्य होगा।
3. किसी जटिल अभिव्यक्ति के संपूर्ण संयोजन का अर्थ उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें इसे लागू करने वाले उप-अभिव्यक्तियों को लिखा जाता है (जैसे गणित में गुणा)।

विच्छेदन या तार्किक जोड़ (सेट सिद्धांत में यह मिलन है)

वियोजन एक जटिल तार्किक अभिव्यक्ति है जो लगभग हमेशा सत्य होती है, सिवाय इसके कि जब सभी अभिव्यक्तियाँ झूठी हों।

संकेतन: +, $\vee$।

विच्छेदन के लिए सत्य तालिका

चित्र 2।

विच्छेदन के गुण:

1. यदि वियोजन के उप-अभिव्यक्तियों में से कम से कम एक चर मानों के एक निश्चित सेट पर सत्य है, तो उप-अभिव्यक्तियों के इस सेट के लिए संपूर्ण वियोजन एक सही मान लेता है।
2. यदि परिवर्तनशील मानों के कुछ सेट पर विभक्तियों की किसी सूची के सभी भाव झूठे हैं, तो इन अभिव्यक्तियों का संपूर्ण वियोजन भी गलत है।
3. संपूर्ण वियोजन का अर्थ उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें उपअभिव्यक्तियाँ लिखी जाती हैं (जैसा कि गणित में - जोड़)।

निषेध, तार्किक निषेध या उलटा (सेट सिद्धांत में यह निषेध है)

निषेध का अर्थ है कि कण NOT या FALSE शब्द को मूल तार्किक अभिव्यक्ति, WHAT में जोड़ा जाता है और परिणामस्वरूप हम पाते हैं कि यदि मूल अभिव्यक्ति सत्य है, तो मूल अभिव्यक्ति का निषेध असत्य होगा और इसके विपरीत, यदि मूल अभिव्यक्ति है असत्य है, तो उसका निषेध सत्य होगा।

संकेतन: $A$ नहीं, $\bar(A)$, $¬A$।

व्युत्क्रम के लिए सत्य तालिका

चित्र तीन।

निषेध के गुण:

$¬¬A$ का "दोहरा निषेध" प्रस्ताव $A$ का परिणाम है, यानी, यह औपचारिक तर्क में एक टॉटोलॉजी है और बूलियन तर्क में मूल्य के बराबर है।

निहितार्थ या तार्किक परिणाम

निहितार्थ एक जटिल तार्किक अभिव्यक्ति है जो सभी मामलों में सत्य है, सिवाय इसके कि जब सत्य झूठ का अनुसरण करता है। अर्थात्, यह तार्किक ऑपरेशन दो सरल तार्किक अभिव्यक्तियों को जोड़ता है, जिनमें से पहली एक शर्त ($A$) है, और दूसरी ($A$) स्थिति ($A$) का परिणाम है।

नोटेशन: $\से$, $\राइटएरो$।

निहितार्थ के लिए सत्य तालिका

चित्र 4.

निहितार्थ के गुण:

1. $A \से B = ¬A \vee B$.
2. यदि $A=1$ और $B=0$ का निहितार्थ $A \to B$ गलत है।
3. यदि $A=0$, तो $A \ से B$ का निहितार्थ $B$ के किसी भी मूल्य के लिए सत्य है, (सत्य गलत से अनुसरण कर सकता है)।

समतुल्यता या तार्किक समतुल्यता

समतुल्यता एक जटिल तार्किक अभिव्यक्ति है जो चर $A$ और $B$ के समान मानों के लिए सत्य है।

संकेतन: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$।

समतुल्यता के लिए सत्य तालिका

चित्र 5.

तुल्यता गुण:

1. चर $A$ और $B$ के मानों के समान सेट पर समतुल्यता सत्य है।
2. CNF $A \equiv B = (\bar(A) \vee B) \cdot (A \cdot \bar(B))$
3. DNF $A \equiv B = \bar(A) \cdot \bar(B) \vee A \cdot B$

सख्त वियोजन या जोड़ मॉड्यूलो 2 (सेट सिद्धांत में, यह दो सेटों का उनके प्रतिच्छेदन के बिना मिलन है)

यदि तर्कों के मान समान नहीं हैं तो एक सख्त वियोजन सत्य है।

इलेक्ट्रॉनिक्स के लिए, इसका मतलब है कि सर्किट का कार्यान्वयन एक मानक तत्व का उपयोग करके संभव है (हालांकि यह एक महंगा तत्व है)।

एक जटिल तार्किक अभिव्यक्ति में तार्किक संचालन का क्रम

1. व्युत्क्रम(नकार);
2. संयोजन (तार्किक गुणन);
3. विच्छेदन और सख्त विच्छेदन (तार्किक जोड़);
4. निहितार्थ (परिणाम);
5. समतुल्यता (पहचान)।

तार्किक संचालन के निर्दिष्ट क्रम को बदलने के लिए, आपको कोष्ठक का उपयोग करना होगा।

सामान्य विशेषता

$n$ बूलियन वेरिएबल्स के सेट के लिए, बिल्कुल $2^n$ अलग-अलग मान हैं। $n$ चर की तार्किक अभिव्यक्ति के लिए सत्य तालिका में $n+1$ कॉलम और $2^n$ पंक्तियाँ शामिल हैं।

⊃ का मतलब ⇒ जैसा ही हो सकता है (प्रतीक का मतलब सुपरसेट भी हो सकता है)।

यू+21डी2 ⇒

⇒ (\displaystyle \राइटएरो)
→ (\displaystyle \to )\को
⊃ (\displaystyle \supset )
⟹ (\प्रदर्शनशैली\का तात्पर्य)\तात्पर्य

यू+2254 (यू+003ए यू+003डी)

यू+003ए यू+229सी

:=
:

:= (\प्रदर्शनशैली:=):=
≡ (\displaystyle \equiv )
⇔ (\displaystyle \लेफ्टराइटएरो )

यू+0028 यू+0029 () () (\डिस्प्लेस्टाइल (~)) () यू+22ए2 ⊢ ⊢ (\displaystyle \vdash)\vdash यू+22ए8 ⊨ ⊨ (\displaystyle \vDash)\vडैश, AND-NOT ऑपरेटर के लिए एक चिह्न।

U+22A7 ⊧ निहितार्थ (तार्किक परिणाम): है के लिए मॉडल.... उदाहरण के लिए, A ⊧ B का अर्थ है कि A का अर्थ B है। किसी भी मॉडल में जहां A ⊧ B, यदि A सत्य है, तो B सत्य है।

U+22A8 ⊨ सत्य: सत्य है।

U+22AC ⊬ आउटपुट नहीं: निषेध ⊢, प्रतीक अप्रासंगिक रूप से, उदाहरण के लिए, टी ⊬ पीमतलब कि " पीमें एक प्रमेय नहीं है टी»

U+22AD ⊭ असत्य: सत्य नहीं

U+22BC ⊼ NAND: एक अन्य NAND ऑपरेटर, को ∧ के रूप में भी लिखा जा सकता है

U+22BD ⊽ NOR: एक्सक्लूसिव OR ऑपरेटर, को V के रूप में भी लिखा जा सकता है

U+22C4 ⋄ डायमंड: "यह संभव है", "जरूरी नहीं कि नहीं" या, शायद ही कभी, "संगत" के लिए मोडल ऑपरेटर (अधिकांश मोडल लॉजिक्स में ऑपरेटर को "¬◻¬" के रूप में परिभाषित किया गया है)

U+22C6 ⋆ तारांकन चिह्न: आमतौर पर एक विशेष ऑपरेटर के रूप में उपयोग किया जाता है

U+22A5 ⊥ ऊपर बटन या U+2193 ↓ नीचे तीर: पियर्स तीर, XOR प्रतीक। कभी-कभी "⊥" का प्रयोग विरोधाभास या बेतुकेपन के लिए किया जाता है।

• यू+2310 ⌐ रद्द नहीं

निम्नलिखित ऑपरेटर शायद ही कभी मानक फ़ॉन्ट द्वारा समर्थित होते हैं। यदि आप उन्हें अपने पेज पर उपयोग करना चाहते हैं, तो आपको हमेशा आवश्यक फ़ॉन्ट एम्बेड करना चाहिए ताकि ब्राउज़र आपके कंप्यूटर पर फ़ॉन्ट इंस्टॉल किए बिना वर्ण प्रदर्शित कर सके।

पोलैंड और जर्मनी

पोलैंड में, सार्वभौमिक परिमाणक को कभी-कभी इस प्रकार लिखा जाता है ∧ (\displaystyle \वेज), और अस्तित्व परिमाणक के रूप में ∨ (\displaystyle \vee). जर्मन साहित्य में भी यही बात देखने को मिलती है.

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