कितने दशमलव? दशमलव, उदाहरण और परिभाषाएँ

हम पहले ही कह चुके हैं कि भिन्न होते हैं साधारणऔर दशमलव. इस बिंदु पर, हमने भिन्नों के बारे में थोड़ा सीखा है। हमने सीखा कि नियमित और अनुचित भिन्न होते हैं। हमने यह भी सीखा कि सामान्य भिन्नों को घटाया, जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। और हमने यह भी सीखा कि तथाकथित मिश्रित संख्याएँ भी होती हैं, जिनमें एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है।

हमने अभी तक सामान्य भिन्नों का पूरी तरह से पता नहीं लगाया है। ऐसी कई सूक्ष्मताएं और विवरण हैं जिनके बारे में बात की जानी चाहिए, लेकिन आज हम अध्ययन शुरू करेंगे दशमलवभिन्न, चूँकि साधारण और दशमलव भिन्नों को अक्सर संयोजित करना पड़ता है। अर्थात्, समस्याओं को हल करते समय आपको दोनों प्रकार के भिन्नों के साथ काम करना होगा।

यह पाठ जटिल और भ्रमित करने वाला लग सकता है। यह बिल्कुल सामान्य है. इस प्रकार के पाठों के लिए आवश्यक है कि उनका अध्ययन किया जाए, न कि सतही तौर पर सरसरी निगाह से देखा जाए।

पाठ सामग्री

मात्राओं को भिन्नात्मक रूप में व्यक्त करना

कभी-कभी किसी चीज़ को भिन्नात्मक रूप में दिखाना सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, एक डेसीमीटर का दसवां हिस्सा इस प्रकार लिखा जाता है:

इस अभिव्यक्ति का अर्थ है कि एक डेसीमीटर को दस बराबर भागों में विभाजित किया गया था, और इन दस भागों से एक भाग लिया गया था। और इस मामले में दस में से एक भाग एक सेंटीमीटर के बराबर है:

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. 6 सेमी और अन्य 3 मिमी को भिन्नात्मक रूप में सेंटीमीटर में दिखाएँ।

तो, आपको सेंटीमीटर में 6 सेमी और 3 मिमी दिखाने की ज़रूरत है, लेकिन आंशिक रूप में। हमारे पास पहले से ही 6 पूरे सेंटीमीटर हैं:

लेकिन अभी भी 3 मिलीमीटर बाकी है. इन 3 मिलीमीटर को और सेंटीमीटर में कैसे दिखाएं? अंश बचाव के लिए आते हैं। एक सेंटीमीटर दस मिलीमीटर है. तीन मिलीमीटर दस में से तीन भाग हैं। और दस में से तीन भागों को सेमी लिखा जाता है

अभिव्यक्ति सेमी का अर्थ है कि एक सेंटीमीटर को दस बराबर भागों में विभाजित किया गया था, और इन दस भागों से तीन भाग लिए गए थे।

परिणामस्वरूप, हमारे पास छह पूरे सेंटीमीटर और एक सेंटीमीटर का तीन दसवां हिस्सा है:

इस मामले में, 6 पूरे सेंटीमीटर की संख्या दिखाता है, और अंश आंशिक सेंटीमीटर की संख्या दिखाता है। इस भिन्न को इस प्रकार पढ़ा जाता है "छह दशमलव तीन सेंटीमीटर".

वे भिन्न जिनके हर में संख्याएँ 10, 100, 1000 हों, उन्हें हर के बिना लिखा जा सकता है। पहले पूरा भाग लिखें, और फिर भिन्नात्मक भाग का अंश लिखें। पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग के अंश से अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए इसे हर के बिना लिखें। सबसे पहले हम पूरा भाग लिखते हैं। संपूर्ण भाग 6 है

सारा पार्ट रिकार्ड किया हुआ है। पूरा भाग लिखने के तुरंत बाद हम अल्पविराम लगाते हैं:

और अब हम भिन्नात्मक भाग का अंश लिखते हैं। मिश्रित संख्या में, भिन्नात्मक भाग का अंश संख्या 3 होता है। हम दशमलव बिंदु के बाद तीन लिखते हैं:

इस रूप में प्रदर्शित कोई भी संख्या कहलाती है दशमलव.

इसलिए, आप दशमलव अंश का उपयोग करके 6 सेमी और सेंटीमीटर में अन्य 3 मिमी दिखा सकते हैं:

6.3 सेमी

यह इस तरह दिखेगा:

वास्तव में, दशमलव सामान्य भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के समान ही होते हैं। ऐसे भिन्नों की ख़ासियत यह है कि उनके भिन्नात्मक भाग के हर में संख्याएँ 10, 100, 1000 या 10000 होती हैं।

मिश्रित संख्या की तरह, दशमलव भिन्न में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। उदाहरण के लिए, किसी मिश्रित संख्या में पूर्णांक भाग 6 है, और भिन्नात्मक भाग है।

दशमलव भिन्न 6.3 में, पूर्णांक भाग संख्या 6 है, और भिन्नात्मक भाग भिन्न का अंश है, अर्थात संख्या 3 है।

ऐसा भी होता है कि साधारण भिन्न जिनके हर में संख्याएँ 10, 100, 1000 बिना किसी पूर्णांक भाग के दी जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक भिन्न पूर्ण भाग के बिना दिया जाता है। ऐसे भिन्न को दशमलव के रूप में लिखने के लिए पहले 0 लिखें, फिर अल्पविराम लगाएं और भिन्न का अंश लिखें। हर के बिना भिन्न को इस प्रकार लिखा जाएगा:

जैसे पढ़ता है "शून्य दशमलव पांच".

मिश्रित संख्याओं को दशमलव में परिवर्तित करना

जब हम हर के बिना मिश्रित संख्याएँ लिखते हैं, तो हम उन्हें दशमलव भिन्नों में बदल देते हैं। भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करते समय, कुछ चीजें हैं जिन्हें आपको जानना आवश्यक है, जिनके बारे में हम अभी बात करेंगे।

पूरा भाग लिखने के बाद, भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या गिनना आवश्यक है, क्योंकि भिन्नात्मक भाग के शून्य की संख्या और दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या होनी चाहिए। वही। इसका मतलब क्या है? निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

सर्वप्रथम

और आप भिन्नात्मक भाग का अंश तुरंत लिख सकते हैं और दशमलव भिन्न तैयार है, लेकिन आपको निश्चित रूप से भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या गिनने की आवश्यकता है।

इसलिए, हम मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग में शून्य की संख्या गिनते हैं। भिन्नात्मक भाग के हर में एक शून्य होता है। इसका मतलब यह है कि दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होगा और यह अंक मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग का अंश होगा, अर्थात संख्या 2

इस प्रकार, जब एक मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जाता है, तो वह 3.2 हो जाती है।

यह दशमलव अंश इस प्रकार पढ़ता है:

"तीन बिंदु दो"

"दसवां" क्योंकि संख्या 10 मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग में है।

उदाहरण 2.मिश्रित संख्या को दशमलव में बदलें.

पूरा भाग लिखें और अल्पविराम लगाएं:

और आप भिन्नात्मक भाग के अंश को तुरंत लिख सकते हैं और दशमलव भिन्न 5.3 प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन नियम कहता है कि दशमलव बिंदु के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य हों। और हम देखते हैं कि भिन्नात्मक भाग के हर में दो शून्य होते हैं। इसका मतलब यह है कि हमारे दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होने चाहिए, एक नहीं।

ऐसे मामलों में, भिन्नात्मक भाग के अंश को थोड़ा संशोधित करने की आवश्यकता है: अंश से पहले एक शून्य जोड़ें, अर्थात संख्या 3 से पहले

अब आप इस मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न में बदल सकते हैं। पूरा भाग लिखें और अल्पविराम लगाएं:

और भिन्नात्मक भाग का अंश लिखिए:

दशमलव भिन्न 5.03 इस प्रकार पढ़ा जाता है:

"पांच दशमलव तीन"

"सैकड़वाँ" क्योंकि मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग के हर में संख्या 100 होती है।

उदाहरण 3.मिश्रित संख्या को दशमलव में बदलें.

पिछले उदाहरणों से, हमने सीखा कि किसी मिश्रित संख्या को सफलतापूर्वक दशमलव में बदलने के लिए, भिन्न के अंश में अंकों की संख्या और भिन्न के हर में शून्य की संख्या समान होनी चाहिए।

किसी मिश्रित संख्या को दशमलव अंश में बदलने से पहले, उसके भिन्नात्मक भाग को थोड़ा संशोधित करने की आवश्यकता होती है, अर्थात्, यह सुनिश्चित करने के लिए कि भिन्नात्मक भाग के अंश में अंकों की संख्या और भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या होती है। वही।

सबसे पहले, हम भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या को देखते हैं। हम देखते हैं कि तीन शून्य हैं:

हमारा कार्य भिन्नात्मक भाग के अंश में तीन अंकों को व्यवस्थित करना है। हमारे पास पहले से ही एक अंक है - यह संख्या 2 है। इसमें दो और अंक जोड़ना बाकी है। वे दो शून्य होंगे. उन्हें संख्या 2 से पहले जोड़ें। परिणामस्वरूप, हर में शून्य की संख्या और अंश में अंकों की संख्या समान होगी:

अब आप इस मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न में बदलना शुरू कर सकते हैं। पहले हम पूरा भाग लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

और भिन्नात्मक भाग का अंश तुरंत लिख लें

3,002

हम देखते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या और मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या समान होती है।

दशमलव भिन्न 3.002 इस प्रकार पढ़ा जाता है:

"तीन दशमलव दो हज़ारवाँ भाग"

"हज़ारवां" क्योंकि मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग के हर में संख्या 1000 होती है।

भिन्नों को दशमलव में बदलना

10, 100, 1000, या 10000 के हर वाले सामान्य भिन्नों को भी दशमलव में बदला जा सकता है। चूँकि एक साधारण भिन्न में पूर्णांक भाग नहीं होता है, पहले 0 लिखें, फिर अल्पविराम लगाएं और भिन्नात्मक भाग का अंश लिखें।

यहां भी हर में शून्य की संख्या और अंश में अंकों की संख्या समान होनी चाहिए। इसलिए आपको सावधान रहना चाहिए.

उदाहरण 1।

पूरा भाग गायब है, इसलिए पहले हम 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम हर में शून्य की संख्या देखते हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। और अंश में एक अंक होता है। इसका मतलब है कि आप दशमलव बिंदु के बाद संख्या 5 लिखकर दशमलव अंश को सुरक्षित रूप से जारी रख सकते हैं

परिणामी दशमलव भिन्न 0.5 में, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या और भिन्न के हर में शून्य की संख्या समान होती है। इसका मतलब है कि अंश का अनुवाद सही ढंग से किया गया है।

दशमलव भिन्न 0.5 को इस प्रकार पढ़ा जाता है:

"शून्य दशमलव पांच"

उदाहरण 2.भिन्न को दशमलव में बदलें.

एक पूरा हिस्सा गायब है. पहले हम 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम हर में शून्य की संख्या देखते हैं। हम देखते हैं कि दो शून्य हैं। और अंश में केवल एक अंक होता है। अंकों की संख्या और शून्य की संख्या को समान बनाने के लिए, संख्या 2 से पहले अंश में एक शून्य जोड़ें। तब भिन्न रूप ले लेगा। अब हर में शून्य की संख्या और अंश में अंकों की संख्या समान है। तो आप दशमलव अंश जारी रख सकते हैं:

परिणामी दशमलव भिन्न 0.02 में, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या और भिन्न के हर में शून्य की संख्या समान होती है। इसका मतलब है कि अंश का अनुवाद सही ढंग से किया गया है।

दशमलव अंश 0.02 इस प्रकार पढ़ा जाता है:

"शून्य दशमलव दो।"

उदाहरण 3.भिन्न को दशमलव में बदलें.

0 लिखें और अल्पविराम लगाएं:

अब हम भिन्न के हर में शून्य की संख्या गिनते हैं। हम देखते हैं कि पाँच शून्य हैं, और अंश में केवल एक अंक है। हर में शून्य की संख्या और अंश में अंकों की संख्या को समान बनाने के लिए, आपको संख्या 5 से पहले अंश में चार शून्य जोड़ने होंगे:

अब हर में शून्य की संख्या और अंश में अंकों की संख्या समान है। इसलिए हम दशमलव भिन्न के साथ जारी रख सकते हैं। दशमलव बिंदु के बाद भिन्न का अंश लिखें

परिणामी दशमलव भिन्न 0.00005 में, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या और भिन्न के हर में शून्य की संख्या समान होती है। इसका मतलब है कि अंश का अनुवाद सही ढंग से किया गया है।

दशमलव अंश 0.00005 इस प्रकार पढ़ा जाता है:

"शून्य दशमलव पाँच सौ हज़ारवां।"

अनुचित भिन्नों को दशमलव में बदलना

अनुचित भिन्न वह भिन्न होती है जिसमें अंश हर से बड़ा होता है। ऐसे अनुचित भिन्न होते हैं जिनमें हर में संख्याएँ 10, 100, 1000 या 10000 होती हैं। ऐसे भिन्नों को दशमलव में बदला जा सकता है। लेकिन दशमलव भिन्न में बदलने से पहले ऐसे भिन्नों को पूर्ण भाग में अलग करना होगा।

उदाहरण 1।

भिन्न एक अनुचित भिन्न है. ऐसे भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आपको पहले उसके पूरे भाग का चयन करना होगा। आइए याद रखें कि अनुचित भिन्नों के पूरे भाग को कैसे अलग किया जाए। यदि आप भूल गए हैं, तो हम आपको सलाह देते हैं कि आप वापस आकर इसका अध्ययन करें।

तो आइए अनुचित भिन्न में पूरे भाग को हाइलाइट करें। याद रखें कि भिन्न का अर्थ विभाजन है - इस मामले में, संख्या 112 को संख्या 10 से विभाजित करना

आइए इस तस्वीर को देखें और बच्चों के निर्माण सेट की तरह एक नया मिश्रित नंबर इकट्ठा करें। संख्या 11 पूर्णांक भाग होगी, संख्या 2 भिन्नात्मक भाग का अंश होगी, और संख्या 10 भिन्नात्मक भाग का हर होगा।

हमें मिश्रित संख्या मिली. आइए इसे दशमलव भिन्न में बदलें। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसी संख्याओं को दशमलव भिन्नों में कैसे परिवर्तित किया जाए। सबसे पहले, पूरा भाग लिखें और अल्पविराम लगाएं:

अब हम भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या गिनते हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। और भिन्नात्मक भाग के अंश में एक अंक होता है। इसका मतलब यह है कि भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या और भिन्नात्मक भाग के अंश में अंकों की संख्या समान है। इससे हमें दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग के अंश को तुरंत लिखने का अवसर मिलता है:

परिणामी दशमलव भिन्न 11.2 में, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या और भिन्न के हर में शून्य की संख्या समान है। इसका मतलब है कि अंश का अनुवाद सही ढंग से किया गया है।

इसका मतलब यह है कि एक अनुचित भिन्न को दशमलव में बदलने पर 11.2 हो जाता है।

दशमलव भिन्न 11.2 इस प्रकार पढ़ा जाता है:

"ग्यारह दशमलव दो।"

उदाहरण 2.अनुचित भिन्न को दशमलव में बदलें.

यह एक अनुचित भिन्न है क्योंकि अंश हर से बड़ा है। लेकिन इसे दशमलव भिन्न में बदला जा सकता है, क्योंकि हर में संख्या 100 होती है।

सबसे पहले, आइए इस भिन्न के पूर्ण भाग का चयन करें। ऐसा करने के लिए, 450 को एक कोने से 100 से विभाजित करें:

आइए एक नई मिश्रित संख्या एकत्र करें - हमें मिलता है। और हम पहले से ही जानते हैं कि मिश्रित संख्याओं को दशमलव भिन्नों में कैसे बदला जाता है।

पूरा भाग लिखें और अल्पविराम लगाएं:

अब हम भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या और भिन्नात्मक भाग के अंश में अंकों की संख्या की गणना करते हैं। हम देखते हैं कि हर में शून्य की संख्या और अंश में अंकों की संख्या समान है। इससे हमें दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग के अंश को तुरंत लिखने का अवसर मिलता है:

परिणामी दशमलव भिन्न 4.50 में, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या और भिन्न के हर में शून्य की संख्या समान होती है। इसका मतलब है कि अंश का अनुवाद सही ढंग से किया गया है।

इसका मतलब यह है कि एक अनुचित भिन्न को दशमलव में बदलने पर 4.50 हो जाता है।

समस्याओं को हल करते समय, यदि दशमलव भिन्न के अंत में शून्य हों, तो उन्हें ख़ारिज किया जा सकता है। आइए अपने उत्तर में शून्य भी हटा दें। तब हमें 4.5 मिलता है

यह दशमलव के बारे में दिलचस्प बातों में से एक है। यह इस तथ्य में निहित है कि किसी अंश के अंत में आने वाले शून्य इस अंश को कोई भार नहीं देते हैं। दूसरे शब्दों में, दशमलव 4.50 और 4.5 बराबर हैं। आइए उनके बीच एक समान चिह्न लगाएं:

4,50 = 4,5

सवाल उठता है कि ऐसा क्यों होता है? आख़िरकार, 4.50 और 4.5 अलग-अलग भिन्नों की तरह दिखते हैं। सारा रहस्य भिन्नों के मूल गुण में निहित है, जिसका अध्ययन हमने पहले किया था। हम यह सिद्ध करने का प्रयास करेंगे कि दशमलव भिन्न 4.50 और 4.5 बराबर क्यों हैं, लेकिन अगले विषय का अध्ययन करने के बाद, जिसे "दशमलव भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलना" कहा जाता है।

दशमलव को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना

किसी भी दशमलव अंश को वापस मिश्रित संख्या में बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, दशमलव भिन्नों को पढ़ने में सक्षम होना ही पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, आइए 6.3 को मिश्रित संख्या में बदलें। 6.3 छह दशमलव तीन है. पहले हम छह पूर्णांक लिखते हैं:

और तीन दसवें के आगे:

उदाहरण 2.दशमलव 3.002 को मिश्रित संख्या में बदलें

3.002 तीन पूर्ण और दो हज़ारवां है। पहले हम तीन पूर्णांक लिखते हैं

और इसके आगे हम दो हज़ारवां लिखते हैं:

उदाहरण 3.दशमलव 4.50 को मिश्रित संख्या में बदलें

4.50 चार दशमलव पचास है। चार पूर्णांक लिखिए

और अगले पचास सौवां:

वैसे, आइए पिछले विषय से अंतिम उदाहरण याद रखें। हमने कहा कि दशमलव 4.50 और 4.5 बराबर हैं। हमने यह भी कहा कि शून्य को छोड़ा जा सकता है। आइए यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि दशमलव 4.50 और 4.5 बराबर हैं। ऐसा करने के लिए, हम दोनों दशमलव भिन्नों को मिश्रित संख्याओं में परिवर्तित करते हैं।

जब मिश्रित संख्या में परिवर्तित किया जाता है, तो दशमलव 4.50 हो जाता है, और दशमलव 4.5 हो जाता है

हमारे पास दो मिश्रित संख्याएँ हैं और। आइए इन मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

अब हमारे पास दो भिन्न हैं और। अब भिन्न के मूल गुण को याद करने का समय आ गया है, जो कहता है कि जब आप किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (या विभाजित) करते हैं, तो भिन्न का मान नहीं बदलता है।

आइए पहले भिन्न को 10 से विभाजित करें

हमें मिला, और यह दूसरा अंश है। इसका मतलब यह है कि दोनों एक दूसरे के बराबर हैं और समान मूल्य के बराबर हैं:

कैलकुलेटर का उपयोग करके पहले 450 को 100 से विभाजित करने का प्रयास करें, और फिर 45 को 10 से विभाजित करने का प्रयास करें। यह एक अजीब बात होगी।

दशमलव भिन्न को भिन्न में बदलना

किसी भी दशमलव अंश को वापस भिन्न में बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, फिर से, दशमलव भिन्नों को पढ़ने में सक्षम होना ही पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, आइए 0.3 को एक सामान्य भिन्न में बदलें। 0.3 शून्य दशमलव तीन है. सबसे पहले हम शून्य पूर्णांक लिखते हैं:

और तीन दसवें के आगे 0. शून्य को परंपरागत रूप से नहीं लिखा जाता है, इसलिए अंतिम उत्तर 0 नहीं, बल्कि बस होगा।

उदाहरण 2.दशमलव भिन्न 0.02 को भिन्न में बदलें।

0.02 शून्य दशमलव दो है. हम शून्य नहीं लिखते, इसलिए हम तुरंत दो सौवां लिख देते हैं

उदाहरण 3. 0.00005 को भिन्न में बदलें

0.00005 शून्य दशमलव पांच है. हम शून्य नहीं लिखते, इसलिए हम तुरंत पाँच सौ हज़ारवां लिख देते हैं

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इस लेख में हम समझेंगे कि दशमलव भिन्न क्या है, इसमें क्या विशेषताएं और गुण हैं। जाना! 🙂

दशमलव भिन्न साधारण भिन्नों का एक विशेष मामला है (जहाँ हर 10 का गुणज होता है)।

परिभाषा

दशमलव वे भिन्न होते हैं जिनके हर में एक संख्या होती है और उसके बाद कई शून्य होते हैं। अर्थात्, ये 10, 100, 1000, आदि के हर वाले भिन्न हैं। अन्यथा, एक दशमलव अंश को 10 के हर या दस की शक्तियों में से एक के साथ एक अंश के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

भिन्नों के उदाहरण:

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दशमलव भिन्नों को सामान्य भिन्नों की तुलना में अलग तरह से लिखा जाता है। इन भिन्नों के साथ संचालन भी सामान्य भिन्नों के साथ संचालन से भिन्न होता है। उनके साथ संचालन के नियम काफी हद तक पूर्णांकों के साथ संचालन के नियमों के समान हैं। यह, विशेष रूप से, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने की उनकी मांग को स्पष्ट करता है।

दशमलव संकेतन में भिन्नों का प्रतिनिधित्व

दशमलव अंश में हर नहीं होता है; यह अंश की संख्या प्रदर्शित करता है। सामान्य तौर पर, दशमलव अंश निम्नलिखित योजना के अनुसार लिखा जाता है:

जहाँ X भिन्न का पूर्णांक भाग है, Y उसका भिन्नात्मक भाग है, "," दशमलव बिंदु है।

किसी भिन्न को दशमलव के रूप में सही ढंग से प्रस्तुत करने के लिए, यह आवश्यक है कि यह एक नियमित भिन्न हो, अर्थात, पूर्णांक भाग हाइलाइट किया गया हो (यदि संभव हो) और एक अंश जो हर से कम हो। फिर दशमलव अंकन में पूर्णांक भाग दशमलव बिंदु (X) से पहले लिखा जाता है, और सामान्य अंश का अंश दशमलव बिंदु (Y) के बाद लिखा जाता है।

यदि अंश में हर में शून्य की संख्या से कम अंकों वाली संख्या होती है, तो भाग Y में दशमलव अंकन में अंकों की लुप्त संख्या को अंश अंकों के आगे शून्य से भर दिया जाता है।

उदाहरण:

यदि कोई साधारण भिन्न 1 से कम है, अर्थात पूर्णांक भाग नहीं है तो X के लिए दशमलव रूप में 0 लिखें।

भिन्नात्मक भाग (Y) में, अंतिम महत्वपूर्ण (गैर-शून्य) अंक के बाद, शून्य की एक मनमानी संख्या दर्ज की जा सकती है। इससे भिन्न के मान पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता. इसके विपरीत, दशमलव के भिन्नात्मक भाग के अंत में सभी शून्य को छोड़ा जा सकता है।

दशमलव पढ़ना

भाग X को आम तौर पर इस प्रकार पढ़ा जाता है: "X पूर्णांक।"

Y भाग को हर में मौजूद संख्या के अनुसार पढ़ा जाता है। हर 10 के लिए आपको पढ़ना चाहिए: "वाई दसवां", हर 100 के लिए: "वाई सौवां", हर 1000 के लिए: "वाई हजारवां" और इसी तरह... 😉

भिन्नात्मक भाग के अंकों की संख्या की गणना के आधार पर पढ़ने का एक और तरीका अधिक सही माना जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि भिन्नात्मक अंक भिन्न के पूरे भाग के अंकों के संबंध में दर्पण छवि में स्थित होते हैं।

सही पढ़ने के नाम तालिका में दिए गए हैं:

इसके आधार पर भिन्नात्मक भाग के अंतिम अंक के अंक के नाम के अनुपालन के आधार पर पठन किया जाना चाहिए।

• 3.5 में लिखा है "तीन दशमलव पाँच"
• 0.016 में लिखा है "शून्य दशमलव सोलह हजारवां"

एक मनमाना भिन्न को दशमलव में बदलना

यदि किसी सामान्य भिन्न का हर 10 या कुछ घात दस है, तो भिन्न को ऊपर बताए अनुसार परिवर्तित किया जाता है। अन्य स्थितियों में, अतिरिक्त परिवर्तनों की आवश्यकता होती है।

अनुवाद की 2 विधियाँ हैं.

प्रथम स्थानांतरण विधि

अंश और हर को ऐसे पूर्णांक से गुणा किया जाना चाहिए कि हर संख्या 10 या दस की घातों में से एक उत्पन्न करे। और फिर अंश को दशमलव संकेतन में दर्शाया जाता है।

यह विधि उन भिन्नों के लिए लागू होती है जिनके हर को केवल 2 और 5 में ही विस्तारित किया जा सकता है। इसलिए, पिछले उदाहरण में . यदि विस्तार में अन्य प्रमुख कारक शामिल हैं (उदाहरण के लिए,), तो आपको दूसरी विधि का सहारा लेना होगा।

दूसरी अनुवाद विधि

दूसरी विधि किसी कॉलम में या कैलकुलेटर पर अंश को हर से विभाजित करना है। संपूर्ण भाग, यदि कोई हो, परिवर्तन में भाग नहीं लेता है।

दीर्घ विभाजन का नियम जिसके परिणामस्वरूप दशमलव भिन्न प्राप्त होता है, नीचे वर्णित है (दशमलव का विभाजन देखें)।

दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदलना

ऐसा करने के लिए, आपको इसके भिन्नात्मक भाग (दशमलव बिंदु के दाईं ओर) को अंश के रूप में लिखना चाहिए, और भिन्नात्मक भाग को पढ़ने के परिणाम को हर में संगत संख्या के रूप में लिखना चाहिए। अगला, यदि संभव हो तो, आपको परिणामी अंश को कम करने की आवश्यकता है।

परिमित और अनंत दशमलव भिन्न

दशमलव भिन्न को अंतिम भिन्न कहा जाता है, जिसके भिन्नात्मक भाग में अंकों की एक सीमित संख्या होती है।

उपरोक्त सभी उदाहरणों में अंतिम दशमलव भिन्न शामिल हैं। हालाँकि, प्रत्येक साधारण भिन्न को अंतिम दशमलव के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। यदि पहली रूपांतरण विधि किसी दिए गए अंश के लिए लागू नहीं है, और दूसरी विधि दर्शाती है कि विभाजन पूरा नहीं किया जा सकता है, तो केवल एक अनंत दशमलव अंश प्राप्त किया जा सकता है।

किसी अनंत भिन्न को पूर्ण रूप में लिखना असंभव है। अपूर्ण रूप में, ऐसे अंशों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

1. दशमलव स्थानों की वांछित संख्या में कमी के परिणामस्वरूप;
2. एक आवधिक अंश के रूप में.

एक अंश को आवधिक कहा जाता है यदि दशमलव बिंदु के बाद अंकों के अंतहीन दोहराव वाले अनुक्रम को अलग करना संभव हो।

शेष भिन्नों को अआवधिक कहा जाता है। गैर-आवधिक भिन्नों के लिए, निरूपण की केवल पहली विधि (गोलीकरण) की अनुमति है।

आवधिक भिन्न का एक उदाहरण: 0.8888888... यहां एक दोहराई जाने वाली संख्या 8 है, जो, जाहिर है, अनंत काल तक दोहराई जाएगी, क्योंकि अन्यथा मानने का कोई कारण नहीं है। इस आकृति को कहा जाता है अंश की अवधि.

आवधिक अंश शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। शुद्ध दशमलव अंश वह होता है जिसकी अवधि दशमलव बिंदु के तुरंत बाद शुरू होती है। मिश्रित भिन्न में दशमलव बिंदु से पहले 1 या अधिक अंक होते हैं।

54.33333… - आवधिक शुद्ध दशमलव अंश

2.562121212121… - आवधिक मिश्रित अंश

अनंत दशमलव भिन्न लिखने के उदाहरण:

दूसरा उदाहरण दिखाता है कि आवधिक अंश लिखने में अवधि को सही ढंग से कैसे प्रारूपित किया जाए।

आवधिक दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना

एक शुद्ध आवर्त भिन्न को सामान्य आवर्त में बदलने के लिए, इसे अंश में लिखें, और आवर्त में अंकों की संख्या के बराबर मात्रा में नौ से बनी एक संख्या को हर में लिखें।

मिश्रित आवधिक दशमलव अंश का अनुवाद इस प्रकार किया गया है:

1. आपको अवधि और पहली अवधि से पहले दशमलव बिंदु के बाद की संख्या से मिलकर एक संख्या बनाने की आवश्यकता है;
2. परिणामी संख्या से, अवधि से पहले दशमलव बिंदु के बाद की संख्या घटाएं। परिणाम सामान्य भिन्न का अंश होगा;
3. हर में आपको अवधि के अंकों की संख्या के बराबर नौ की संख्या से युक्त एक संख्या दर्ज करने की आवश्यकता होती है, जिसके बाद शून्य होता है, जिसकी संख्या 1 से पहले दशमलव बिंदु के बाद संख्या के अंकों की संख्या के बराबर होती है अवधि।

दशमलव की तुलना

दशमलव भिन्नों की तुलना प्रारंभ में उनके संपूर्ण भागों से की जाती है। जिस भिन्न का पूरा भाग बड़ा होता है वह बड़ा होता है।

यदि पूर्णांक भाग समान हैं, तो पहले (दसवें से) से प्रारंभ करते हुए भिन्नात्मक भाग के संगत अंकों के अंकों की तुलना करें। वही सिद्धांत यहां लागू होता है: बड़ा अंश वह होता है जिसका दसवां हिस्सा अधिक होता है; यदि दसवां अंक बराबर है, तो सौवें अंक की तुलना की जाती है, इत्यादि।

क्योंकि

, चूँकि भिन्नात्मक भाग में समान पूर्ण भागों और समान दसवें भाग के साथ, दूसरे भिन्न में बड़ा सौवां अंक होता है।

दशमलव को जोड़ना और घटाना

दशमलव को पूर्ण संख्याओं की तरह ही एक दूसरे के नीचे संगत अंक लिखकर जोड़ा और घटाया जाता है। ऐसा करने के लिए, आपके पास दशमलव बिंदु एक दूसरे के नीचे होने चाहिए। तब पूर्णांक भाग की इकाइयाँ (दहाई, आदि), साथ ही भिन्नात्मक भाग का दसवां (सैकड़ा, आदि) तदनुसार होंगी। भिन्नात्मक भाग के लुप्त अंक शून्य से भरे जाते हैं। सीधे जोड़ और घटाव की प्रक्रिया पूर्णांकों की तरह ही की जाती है।

दशमलव को गुणा करना

दशमलव को गुणा करने के लिए, आपको उन्हें एक के नीचे एक लिखना होगा, अंतिम अंक के साथ संरेखित करना होगा और दशमलव बिंदुओं के स्थान पर ध्यान नहीं देना होगा। फिर आपको संख्याओं को उसी तरह गुणा करना होगा जैसे पूर्ण संख्याओं को गुणा करते समय करते हैं। परिणाम प्राप्त करने के बाद, आपको दोनों अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की पुनर्गणना करनी चाहिए और परिणामी संख्या में भिन्नात्मक अंकों की कुल संख्या को अल्पविराम से अलग करना चाहिए। यदि पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो उन्हें शून्य से बदल दिया जाता है।

दशमलव को 10n से गुणा और विभाजित करना

ये क्रियाएं सरल हैं और दशमलव बिंदु को हिलाने तक सीमित हैं। पी गुणा करते समय, दशमलव बिंदु को 10n में शून्य की संख्या के बराबर अंकों की संख्या से दाईं ओर ले जाया जाता है (अंश बढ़ जाता है), जहां n एक मनमाना पूर्णांक घात है। अर्थात् अंकों की एक निश्चित संख्या को भिन्नात्मक भाग से पूर्ण भाग में स्थानांतरित किया जाता है। विभाजित करते समय, तदनुसार, अल्पविराम बाईं ओर चला जाता है (संख्या घट जाती है), और कुछ अंक पूर्णांक भाग से भिन्नात्मक भाग में स्थानांतरित हो जाते हैं। यदि स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो गायब बिट्स शून्य से भर दिए जाते हैं।

एक दशमलव और एक पूर्ण संख्या को एक पूर्ण संख्या और एक दशमलव से विभाजित करना

दशमलव को पूर्णांक से विभाजित करना दो पूर्णांकों को विभाजित करने के समान है। इसके अतिरिक्त, आपको केवल दशमलव बिंदु की स्थिति को ध्यान में रखना होगा: किसी स्थान के अंक के बाद अल्पविराम को हटाते समय, आपको उत्पन्न उत्तर के वर्तमान अंक के बाद अल्पविराम लगाना होगा। इसके बाद आपको तब तक विभाजित करना जारी रखना होगा जब तक आपको शून्य न मिल जाए। यदि लाभांश में पूर्ण विभाजन के लिए पर्याप्त चिह्न नहीं हैं, तो उनके रूप में शून्य का उपयोग किया जाना चाहिए।

इसी प्रकार, यदि लाभांश के सभी अंक हटा दिए जाएं और पूरा विभाजन अभी तक पूरा नहीं हुआ है, तो 2 पूर्णांकों को एक कॉलम में विभाजित किया जाता है। इस मामले में, लाभांश के अंतिम अंक को हटाने के बाद, परिणामी उत्तर में एक दशमलव बिंदु रखा जाता है, और शून्य को हटाए गए अंकों के रूप में उपयोग किया जाता है। वे। यहां लाभांश अनिवार्य रूप से शून्य भिन्नात्मक भाग के साथ दशमलव अंश के रूप में दर्शाया गया है।

किसी दशमलव अंश (या पूर्णांक) को दशमलव संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको लाभांश और भाजक को संख्या 10 n से गुणा करना होगा, जिसमें शून्य की संख्या भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या के बराबर होती है। इस तरह, आप जिस भिन्न से भाग देना चाहते हैं उसमें दशमलव बिंदु से छुटकारा मिल जाता है। इसके अलावा, विभाजन प्रक्रिया ऊपर वर्णित प्रक्रिया से मेल खाती है।

दशमलव का चित्रमय प्रतिनिधित्व

दशमलव अंशों को एक समन्वय रेखा का उपयोग करके ग्राफ़िक रूप से दर्शाया जाता है। ऐसा करने के लिए, अलग-अलग खंडों को 10 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, जैसे एक रूलर पर सेंटीमीटर और मिलीमीटर को एक साथ चिह्नित किया जाता है। यह सुनिश्चित करता है कि दशमलव सटीक रूप से प्रदर्शित होते हैं और उनकी तुलना वस्तुनिष्ठ रूप से की जा सकती है।

अलग-अलग खंडों पर विभाजन समान होने के लिए, आपको सावधानीपूर्वक एकल खंड की लंबाई पर विचार करना चाहिए। यह ऐसा होना चाहिए जिससे अतिरिक्त विभाजन की सुविधा सुनिश्चित हो सके।

हम इस सामग्री को दशमलव भिन्न जैसे महत्वपूर्ण विषय पर समर्पित करेंगे। सबसे पहले, आइए बुनियादी परिभाषाओं को परिभाषित करें, उदाहरण दें और दशमलव अंकन के नियमों पर ध्यान दें, साथ ही दशमलव भिन्नों के अंक क्या हैं। इसके बाद, हम मुख्य प्रकारों पर प्रकाश डालते हैं: परिमित और अनंत, आवधिक और गैर-आवधिक भिन्न। अंतिम भाग में हम दिखाएंगे कि भिन्नात्मक संख्याओं के संगत बिंदु निर्देशांक अक्ष पर कैसे स्थित होते हैं।

भिन्नात्मक संख्याओं का दशमलव अंकन क्या है?

भिन्नात्मक संख्याओं के तथाकथित दशमलव अंकन का उपयोग प्राकृतिक और भिन्नात्मक दोनों संख्याओं के लिए किया जा सकता है। यह दो या दो से अधिक संख्याओं के समूह जैसा दिखता है जिनके बीच अल्पविराम है।

पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने के लिए दशमलव बिंदु की आवश्यकता होती है। एक नियम के रूप में, दशमलव अंश का अंतिम अंक शून्य नहीं होता है, जब तक कि दशमलव बिंदु पहले शून्य के तुरंत बाद दिखाई न दे।

दशमलव अंकन में भिन्नात्मक संख्याओं के कुछ उदाहरण क्या हैं? यह 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9, आदि हो सकता है।

कुछ पाठ्यपुस्तकों में आप अल्पविराम (5. 67, 6789. 1011, आदि) के बजाय एक अवधि का उपयोग पा सकते हैं। इस विकल्प को समतुल्य माना जाता है, लेकिन यह अंग्रेजी भाषा के स्रोतों के लिए अधिक विशिष्ट है।

दशमलव की परिभाषा

दशमलव अंकन की उपरोक्त अवधारणा के आधार पर, हम दशमलव भिन्नों की निम्नलिखित परिभाषा तैयार कर सकते हैं:

परिभाषा 1

दशमलव अंकन में दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

हमें भिन्नों को इस रूप में लिखने की आवश्यकता क्यों है? यह हमें सामान्य अंकन की तुलना में कुछ लाभ देता है, उदाहरण के लिए, एक अधिक संक्षिप्त अंकन, विशेष रूप से ऐसे मामलों में जहां हर में 1000, 100, 10, आदि या एक मिश्रित संख्या होती है। उदाहरण के लिए, 6 10 के स्थान पर हम 0.6, 25 के स्थान पर 10000 - 0.0023, 512 3 100 के स्थान पर - 512.03 निर्दिष्ट कर सकते हैं।

दशमलव रूप में हर में दहाई, सैकड़ों, हजारों के साथ सामान्य भिन्नों को सही ढंग से कैसे दर्शाया जाए, इस पर एक अलग सामग्री में चर्चा की जाएगी।

दशमलव को सही तरीके से कैसे पढ़ें

दशमलव अंकन पढ़ने के लिए कुछ नियम हैं। इस प्रकार, वे दशमलव अंश जो उनके नियमित सामान्य समकक्षों के अनुरूप होते हैं, लगभग उसी तरह पढ़े जाते हैं, लेकिन शुरुआत में "शून्य दसवां" शब्द जोड़ने के साथ। इस प्रकार, प्रविष्टि 0, 14, जो 14,100 से मेल खाती है, को "शून्य दशमलव चौदह सौवां" के रूप में पढ़ा जाता है।

यदि दशमलव भिन्न को मिश्रित संख्या के साथ जोड़ा जा सकता है, तो इसे इस संख्या के समान ही पढ़ा जाता है। इसलिए, यदि हमारे पास अंश 56, 002 है, जो 56 2 1000 से मेल खाता है, तो हम इस प्रविष्टि को "छप्पन दशमलव दो हजारवें" के रूप में पढ़ते हैं।

दशमलव अंश में किसी अंक का अर्थ इस बात पर निर्भर करता है कि वह कहाँ स्थित है (प्राकृतिक संख्याओं के मामले में भी ऐसा ही है)। तो, दशमलव अंश 0.7 में, सात दसवां है, 0.0007 में यह दस हजारवां है, और अंश 70,000.345 में इसका मतलब सात दसियों हजार पूर्ण इकाइयाँ हैं। इस प्रकार, दशमलव भिन्नों में स्थानीय मान की अवधारणा भी होती है।

दशमलव बिंदु से पहले स्थित अंकों के नाम प्राकृतिक संख्याओं के समान होते हैं। बाद में स्थित लोगों के नाम तालिका में स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किए गए हैं:

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

हमारे पास दशमलव भिन्न 43,098 है। उसके पास दहाई के स्थान पर चार, इकाई के स्थान पर तीन, दसवें स्थान पर शून्य, सौवें स्थान पर 9 और हजारवें स्थान पर 8 अंक हैं।

दशमलव भिन्नों की श्रेणियों को प्राथमिकता के आधार पर अलग करने की प्रथा है। यदि हम संख्याओं को बाएँ से दाएँ ओर ले जाएँ, तो हम सबसे महत्वपूर्ण से सबसे कम महत्वपूर्ण की ओर चले जाएँगे। यह पता चला है कि सैकड़ों दसियों से पुराने हैं, और प्रति मिलियन भाग सौवें से छोटे हैं। यदि हम अंतिम दशमलव अंश लेते हैं जिसे हमने ऊपर उदाहरण के रूप में उद्धृत किया है, तो इसमें उच्चतम, या उच्चतम, स्थान सैकड़ों का स्थान होगा, और सबसे कम, या निम्नतम, स्थान 10-हजारवाँ स्थान होगा।

किसी भी दशमलव अंश को अलग-अलग अंकों में विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात योग के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। यह क्रिया प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही की जाती है।

उदाहरण 2

आइए भिन्न 56, 0455 को अंकों में विस्तारित करने का प्रयास करें।

हमें मिल जाएगा:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

यदि हम योग के गुणों को याद रखें, तो हम इस अंश को अन्य रूपों में प्रस्तुत कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, योग 56 + 0, 0455, या 56, 0055 + 0, 4, आदि के रूप में।

अनुवर्ती दशमलव क्या हैं?

ऊपर हमने जिन भिन्नों के बारे में बात की वे सभी परिमित दशमलव हैं। इसका मतलब यह है कि दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या सीमित है। आइए परिभाषा निकालें:

परिभाषा 1

अनुगामी दशमलव एक प्रकार का दशमलव अंश है जिसमें दशमलव चिह्न के बाद दशमलव स्थानों की एक सीमित संख्या होती है।

ऐसे भिन्नों के उदाहरण 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49, आदि हो सकते हैं।

इनमें से किसी भी भिन्न को मिश्रित संख्या में (यदि उनके भिन्नात्मक भाग का मान शून्य से भिन्न है) या साधारण भिन्न में (यदि पूर्णांक भाग शून्य है) परिवर्तित किया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है, इसके लिए हमने एक अलग लेख समर्पित किया है। यहां हम केवल कुछ उदाहरण बताएंगे: उदाहरण के लिए, हम अंतिम दशमलव अंश 5, 63 को 5 63 100 के रूप में घटा सकते हैं, और 0, 2 2 10 (या इसके बराबर कोई अन्य अंश, के लिए) से मेल खाता है। उदाहरण, 4 20 या 1 5.)

लेकिन उलटी प्रक्रिया, यानी. एक सामान्य भिन्न को दशमलव रूप में लिखना हमेशा संभव नहीं हो सकता है। इसलिए, 5 13 को हर 100, 10, आदि के साथ एक समान भिन्न द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इससे अंतिम दशमलव अंश प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

अनंत दशमलव भिन्नों के मुख्य प्रकार: आवधिक और गैर-आवधिक भिन्न

हमने ऊपर बताया कि परिमित भिन्न कहलाते हैं क्योंकि उनमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक सीमित संख्या होती है। हालाँकि, यह अनंत भी हो सकता है, ऐसी स्थिति में भिन्नों को भी अनंत कहा जाएगा।

परिभाषा 2

अनंत दशमलव भिन्न वे हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की अनंत संख्या होती है।

जाहिर है, ऐसी संख्याओं को पूरी तरह से नहीं लिखा जा सकता है, इसलिए हम उनमें से केवल एक भाग को इंगित करते हैं और फिर एक दीर्घवृत्त जोड़ते हैं। यह चिन्ह दशमलव स्थानों के क्रम की अनंत निरंतरता को इंगित करता है। अनंत दशमलव भिन्नों के उदाहरणों में 0, 143346732…, ​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 6666666666…, 69, 748768152… शामिल हैं। वगैरह।

ऐसे अंश की "पूंछ" में न केवल संख्याओं के प्रतीत होने वाले यादृच्छिक अनुक्रम हो सकते हैं, बल्कि एक ही वर्ण या वर्णों के समूह की निरंतर पुनरावृत्ति भी हो सकती है। दशमलव बिंदु के बाद प्रत्यावर्ती संख्याओं वाली भिन्नों को आवर्त कहा जाता है।

परिभाषा 3

आवधिक दशमलव अंश वे अनंत दशमलव अंश होते हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद एक अंक या कई अंकों का समूह दोहराया जाता है। दोहराए जाने वाले भाग को भिन्न का आवर्त कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, भिन्न 3, 444444 के लिए.... अवधि संख्या 4 होगी, और 76 के लिए, 134134134134... - समूह 134।

किसी आवर्त भिन्न के अंकन में छोड़े जा सकने वाले वर्णों की न्यूनतम संख्या क्या है? आवर्त भिन्नों के लिए संपूर्ण आवर्त को एक बार कोष्ठक में लिखना पर्याप्त होगा। तो, भिन्न 3, 444444... इसे 3, (4), और 76, 134134134134... - 76, (134) के रूप में लिखना सही होगा।

सामान्य तौर पर, कोष्ठक में कई अवधियों वाली प्रविष्टियों का बिल्कुल वही अर्थ होगा: उदाहरण के लिए, आवधिक अंश 0.677777 0.6 (7) और 0.6 (77), आदि के समान है। फॉर्म 0, 67777 (7), 0, 67 (7777), आदि के रिकॉर्ड भी स्वीकार्य हैं।

गलतियों से बचने के लिए, हम अंकन की एकरूपता का परिचय देते हैं। आइए केवल एक अवधि (संख्याओं का सबसे छोटा संभव अनुक्रम) लिखने के लिए सहमत हों, जो दशमलव बिंदु के सबसे करीब है, और इसे कोष्ठक में संलग्न करें।

अर्थात्, उपरोक्त भिन्न के लिए, हम मुख्य प्रविष्टि 0, 6 (7) मानेंगे, और, उदाहरण के लिए, भिन्न 8, 9134343434 के मामले में, हम 8, 91 (34) लिखेंगे।

यदि किसी साधारण भिन्न के हर में ऐसे अभाज्य गुणनखंड हों जो 5 और 2 के बराबर न हों, तो दशमलव अंकन में परिवर्तित करने पर, उनका परिणाम अनंत भिन्न होगा।

सिद्धांत रूप में, हम किसी भी परिमित भिन्न को आवर्त के रूप में लिख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें बस दाईं ओर अनंत संख्या में शून्य जोड़ने की जरूरत है। रिकॉर्डिंग में यह कैसा दिखता है? मान लीजिए कि हमारे पास अंतिम भिन्न 45, 32 है। आवधिक रूप में यह 45, 32 (0) जैसा दिखेगा। यह क्रिया संभव है क्योंकि किसी भी दशमलव भिन्न के दाईं ओर शून्य जोड़ने पर उसके बराबर भिन्न प्राप्त होता है।

9 की अवधि वाले आवधिक भिन्नों पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, 4, 89 (9), 31, 6 (9)। वे 0 की अवधि वाली समान भिन्नों के लिए एक वैकल्पिक संकेतन हैं, इसलिए शून्य अवधि वाली भिन्नों के साथ लिखते समय उन्हें अक्सर बदल दिया जाता है। इस मामले में, अगले अंक के मान में एक जोड़ा जाता है, और (0) कोष्ठक में दर्शाया जाता है। परिणामी संख्याओं की समानता को साधारण भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, भिन्न 8, 31 (9) को संगत भिन्न 8, 32 (0) से बदला जा सकता है। या 4, (9) = 5, (0) = 5.

अनंत दशमलव आवर्त भिन्नों को परिमेय संख्याओं के रूप में वर्गीकृत किया गया है। दूसरे शब्दों में, किसी भी आवधिक अंश को एक साधारण अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, और इसके विपरीत।

ऐसे अंश भी होते हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद अंतहीन दोहराव वाला क्रम नहीं होता है। इस स्थिति में, उन्हें गैर-आवधिक भिन्न कहा जाता है।

परिभाषा 4

गैर-आवधिक दशमलव अंशों में वे अनंत दशमलव अंश शामिल होते हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद कोई अवधि नहीं होती है, अर्थात। संख्याओं का दोहराव वाला समूह।

कभी-कभी गैर-आवधिक भिन्न, आवर्त भिन्नों के समान ही दिखते हैं। उदाहरण के लिए, 9, 03003000300003 ... पहली नज़र में ऐसा लगता है कि इसमें एक अवधि है, लेकिन दशमलव स्थानों का विस्तृत विश्लेषण पुष्टि करता है कि यह अभी भी एक गैर-आवधिक अंश है। ऐसे नंबरों से आपको बेहद सावधान रहने की जरूरत है.

गैर-आवधिक भिन्नों को अपरिमेय संख्याओं के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। वे साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं होते।

दशमलव के साथ बुनियादी संचालन

निम्नलिखित ऑपरेशन दशमलव अंशों के साथ किए जा सकते हैं: तुलना, घटाव, जोड़, विभाजन और गुणा। आइए उनमें से प्रत्येक को अलग से देखें।

दशमलव की तुलना को मूल दशमलव के अनुरूप भिन्नों की तुलना करने तक सीमित किया जा सकता है। लेकिन अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को इस रूप में नहीं बदला जा सकता है, और दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना अक्सर एक श्रम-गहन कार्य होता है। यदि किसी समस्या को हल करते समय हमें ऐसा करने की आवश्यकता हो तो हम तुलनात्मक कार्रवाई कैसे शीघ्रता से कर सकते हैं? जिस प्रकार हम प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करते हैं, उसी प्रकार अंकों के आधार पर दशमलव भिन्नों की तुलना करना सुविधाजनक होता है। हम इस पद्धति पर एक अलग लेख समर्पित करेंगे।

कुछ दशमलव भिन्नों को दूसरों के साथ जोड़ने के लिए, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, कॉलम जोड़ विधि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आवधिक दशमलव अंशों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सामान्य अंशों से बदलना होगा और मानक योजना के अनुसार गिनना होगा। यदि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, हमें अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को जोड़ने की आवश्यकता है, तो हमें पहले उन्हें एक निश्चित अंक तक पूर्णांकित करना होगा, और फिर उन्हें जोड़ना होगा। हम जिस अंक को जितना छोटा करेंगे, गणना की सटीकता उतनी ही अधिक होगी। अनंत भिन्नों को घटाने, गुणा करने तथा भाग देने के लिए भी पूर्व-पूर्णांकन आवश्यक है।

दशमलव भिन्नों के बीच अंतर ज्ञात करना योग का व्युत्क्रम है। अनिवार्य रूप से, घटाव का उपयोग करके हम एक संख्या पा सकते हैं जिसका योग जिस अंश के साथ हम घटा रहे हैं वह हमें वह अंश देगा जिसे हम कम कर रहे हैं। हम इस बारे में एक अलग लेख में अधिक विस्तार से बात करेंगे।

दशमलव भिन्नों को गुणा करना प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही किया जाता है। स्तंभ गणना विधि भी इसके लिए उपयुक्त है। हम फिर से पहले से अध्ययन किए गए नियमों के अनुसार आवधिक भिन्नों के साथ इस क्रिया को साधारण भिन्नों के गुणन तक कम कर देते हैं। जैसा कि हमें याद है, अनंत भिन्नों को गणना से पहले पूर्णांकित किया जाना चाहिए।

दशमलव को विभाजित करने की प्रक्रिया गुणा करने की विपरीत प्रक्रिया है। समस्याओं को हल करते समय, हम स्तंभ गणना का भी उपयोग करते हैं।

आप अंतिम दशमलव अंश और निर्देशांक अक्ष पर एक बिंदु के बीच एक सटीक पत्राचार स्थापित कर सकते हैं। आइए जानें कि अक्ष पर एक बिंदु को कैसे चिह्नित किया जाए जो आवश्यक दशमलव अंश के बिल्कुल अनुरूप होगा।

हम पहले ही अध्ययन कर चुके हैं कि साधारण भिन्नों के अनुरूप बिंदु कैसे बनाए जाते हैं, लेकिन दशमलव भिन्नों को इस रूप में घटाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य अंश 14 10, 1, 4 के समान है, इसलिए संबंधित बिंदु को मूल से सकारात्मक दिशा में बिल्कुल उसी दूरी से हटा दिया जाएगा:

आप दशमलव अंश को साधारण अंश से बदले बिना भी काम कर सकते हैं, लेकिन आधार के रूप में अंकों द्वारा विस्तार की विधि का उपयोग करें। इसलिए, यदि हमें एक बिंदु चिह्नित करना है जिसका निर्देशांक 15, 4008 के बराबर होगा, तो हम पहले इस संख्या को योग 15 + 0, 4 +, 0008 के रूप में प्रस्तुत करेंगे। आरंभ करने के लिए, आइए उलटी गिनती की शुरुआत से सकारात्मक दिशा में 15 संपूर्ण इकाई खंडों को अलग रखें, फिर एक खंड का 4 दसवां हिस्सा, और फिर एक खंड का 8 दस-हजारवां हिस्सा। परिणामस्वरूप, हमें एक समन्वय बिंदु मिलता है जो भिन्न 15, 4008 से मेल खाता है।

अनंत दशमलव अंश के लिए, इस पद्धति का उपयोग करना बेहतर है, क्योंकि यह आपको वांछित बिंदु के जितना करीब चाहें उतना करीब पहुंचने की अनुमति देता है। कुछ मामलों में, निर्देशांक अक्ष पर एक अनंत अंश के लिए सटीक पत्राचार बनाना संभव है: उदाहरण के लिए, 2 = 1, 41421। . . , और यह अंश निर्देशांक किरण पर एक बिंदु से जुड़ा हो सकता है, जो वर्ग के विकर्ण की लंबाई से 0 से दूर है, जिसकी भुजा एक इकाई खंड के बराबर होगी।

यदि हमें अक्ष पर कोई बिंदु नहीं, बल्कि उसके अनुरूप एक दशमलव अंश मिलता है, तो इस क्रिया को किसी खंड का दशमलव माप कहा जाता है। आइए देखें कि इसे सही तरीके से कैसे करें।

मान लीजिए कि हमें निर्देशांक अक्ष पर शून्य से किसी दिए गए बिंदु तक पहुंचने की जरूरत है (या अनंत अंश के मामले में जितना संभव हो उतना करीब पहुंचना है)। ऐसा करने के लिए, हम धीरे-धीरे इकाई खंडों को मूल बिंदु से तब तक स्थगित करते हैं जब तक हम वांछित बिंदु तक नहीं पहुंच जाते। पूरे खंडों के बाद, यदि आवश्यक हो, तो हम दसवें, सौवें और छोटे अंशों को मापते हैं ताकि मिलान यथासंभव सटीक हो। परिणामस्वरूप, हमें एक दशमलव अंश प्राप्त हुआ जो निर्देशांक अक्ष पर दिए गए बिंदु से मेल खाता है।

ऊपर हमने बिंदु M के साथ एक चित्र दिखाया है। इसे फिर से देखें: इस बिंदु तक पहुंचने के लिए, आपको एक इकाई खंड और उसके चार दसवें हिस्से को शून्य से मापने की आवश्यकता है, क्योंकि यह बिंदु दशमलव अंश 1, 4 से मेल खाता है।

यदि हम दशमलव माप की प्रक्रिया में किसी बिंदु तक नहीं पहुंच पाते हैं, तो इसका मतलब है कि यह एक अनंत दशमलव अंश से मेल खाता है।

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उदाहरण के लिए।$\frac(3)(10), 4 \frac(7)(100), \frac(11)(10000)$

ऐसे भिन्न आमतौर पर हर के बिना लिखे जाते हैं, और प्रत्येक अंक का अर्थ उस स्थान पर निर्भर करता है जहां वह खड़ा है। ऐसे भिन्नों के लिए, पूर्णांक भाग को अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है, और दशमलव बिंदु के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने सामान्य भिन्न के हर में शून्य होते हैं। भिन्नात्मक अंकों को दशमलव कहा जाता है।

उदाहरण के लिए।$\frac(21)(100)=0.21 ; 3 \frac(21)(100)=$3.21

दशमलव बिंदु के बाद पहला दशमलव स्थान दसवें से, दूसरा सौवें से, तीसरा हजारवें से मेल खाता है, आदि।

यदि दशमलव अंश के हर में शून्य की संख्या उसी भिन्न के अंश में अंकों की संख्या से अधिक है, तो अंश अंकों से पहले दशमलव बिंदु के बाद शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ी जाती है।

चूँकि हर में चार शून्य होते हैं, और अंश में दो अंक होते हैं, भिन्न के दशमलव अंकन में हम अंश से पहले $4-2=2$ शून्य जोड़ते हैं।

दशमलव भिन्न का मुख्य गुण

संपत्ति

यदि आप दाईं ओर दशमलव अंश में कई शून्य जोड़ते हैं, तो दशमलव अंश का मान नहीं बदलेगा।

उदाहरण के लिए।$12,034=12,0340=12,03400=12,034000=\ldots$

टिप्पणी

इस प्रकार, दशमलव के अंत में शून्यों को ध्यान में नहीं रखा जाता है, इसलिए विभिन्न क्रियाएं करते समय, इन शून्यों को काटा/खारिज किया जा सकता है।

दशमलव की तुलना

दो दशमलव भिन्नों की तुलना करने के लिए (यह पता लगाने के लिए कि दो दशमलव भिन्नों में से कौन सा बड़ा है), आपको उनके पूरे भागों की तुलना करने की आवश्यकता है, फिर दसवां, सौवां, आदि। यदि किसी एक भिन्न का पूर्ण भाग दूसरे भिन्न के पूर्ण भाग से बड़ा हो तो पहला भिन्न बड़ा माना जाता है। पूर्ण भागों की समानता की स्थिति में, दहाई से अधिक वाली भिन्न बड़ी होती है, आदि।

उदाहरण

व्यायाम।भिन्नों की तुलना करें $2,432$ ; $2.41$ और $1,234$

समाधान।भिन्न $1.234$ सबसे छोटा भिन्न है क्योंकि इसका पूर्णांक भाग 1 और $1 है

आइए अब भिन्नों के आकार की तुलना $2.432$ और $1.234$ से करें। उनके पूरे हिस्से एक दूसरे के बराबर हैं और 2 के बराबर हैं। आइए दसवें हिस्से की तुलना करें: $4=4$। सौवें भाग की तुलना करें: $3>1$। इस प्रकार, $2.432>$2.41।

एक परिमेय संख्या m/n को दशमलव भिन्न के रूप में लिखने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। इस मामले में, भागफल को एक परिमित या अनंत दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है।

इस संख्या को दशमलव अंश के रूप में लिखें।

समाधान। प्रत्येक भिन्न के अंश को उसके हर से एक कॉलम में विभाजित करें: ए) 6 को 25 से विभाजित करें; बी) 2 को 3 से विभाजित करें; वी) 1 को 2 से विभाजित करें, और फिर परिणामी भिन्न को एक में जोड़ें - इस मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग।

अघुलनशील साधारण भिन्न जिनके हर में अभाज्य गुणनखंडों के अलावा अन्य गुणनखंड नहीं होते 2 और 5 , अंतिम दशमलव अंश के रूप में लिखे गए हैं।

में उदाहरण 1कब ए)हर 25=5·5; कब वी)हर 2 है, इसलिए हमें अंतिम दशमलव 0.24 और 1.5 मिलते हैं। कब बी)हर 3 है, इसलिए परिणाम को सीमित दशमलव के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

क्या बिना दीर्घ विभाजन के ऐसी साधारण भिन्न को दशमलव भिन्न में परिवर्तित करना संभव है, जिसके हर में 2 और 5 के अलावा अन्य भाजक न हों? आइए इसका पता लगाएं! कौन सा भिन्न दशमलव कहलाता है और बिना भिन्न दंड के लिखा जाता है? उत्तर: हर 10 वाली भिन्न; 100; 1000, आदि. और इनमें से प्रत्येक संख्या एक उत्पाद है बराबरदो और पांच की संख्या. वास्तव में: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 आदि।

नतीजतन, एक अपरिवर्तनीय साधारण अंश के हर को "दो" और "पांच" के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता होगी, और फिर 2 और (या) 5 से गुणा किया जाएगा ताकि "दो" और "पांच" बराबर हो जाएं। तब भिन्न का हर 10 या 100 या 1000 आदि के बराबर होगा। यह सुनिश्चित करने के लिए कि भिन्न का मान न बदले, हम भिन्न के अंश को उसी संख्या से गुणा करते हैं जिससे हमने हर को गुणा किया था।

निम्नलिखित सामान्य भिन्नों को दशमलव के रूप में व्यक्त करें:

समाधान। इनमें से प्रत्येक भिन्न अप्रासंगिक है। आइए प्रत्येक भिन्न के हर को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

20=2·2·5. निष्कर्ष: एक "ए" गायब है।

8=2·2·2. निष्कर्ष: तीन "ए" गायब हैं।

25=5·5. निष्कर्ष: दो "दो" गायब हैं।

टिप्पणी।व्यवहार में, वे अक्सर हर के गुणनखंडन का उपयोग नहीं करते हैं, बल्कि केवल यह प्रश्न पूछते हैं: हर को कितना गुणा किया जाना चाहिए ताकि परिणाम शून्य (10 या 100 या 1000, आदि) के साथ एक हो। और फिर अंश को उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

तो, मामले में ए)(उदाहरण 2) संख्या 20 से आप 5 से गुणा करके 100 प्राप्त कर सकते हैं, इसलिए, आपको अंश और हर को 5 से गुणा करना होगा।

कब बी)(उदाहरण 2) संख्या 8 से संख्या 100 प्राप्त नहीं होगी, लेकिन 125 से गुणा करने पर संख्या 1000 प्राप्त होगी। भिन्न के अंश (3) और हर (8) दोनों को 125 से गुणा किया जाता है।

कब वी)(उदाहरण 2) यदि आप 4 से गुणा करते हैं तो 25 में से 100 प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि अंश 8 को 4 से गुणा करना होगा।

एक अनंत दशमलव भिन्न जिसमें एक या अधिक अंक सदैव एक ही क्रम में दोहराए जाते हैं, कहलाते हैं आवधिकदशमलव के रूप में. दोहराए जाने वाले अंकों के समुच्चय को इस भिन्न का आवर्त कहा जाता है। संक्षिप्तता के लिए, भिन्न की अवधि को कोष्ठक में संलग्न करके एक बार लिखा जाता है।

कब बी)(उदाहरण 1) केवल एक दोहराव वाला अंक है और 6 के बराबर है। इसलिए, हमारा परिणाम 0.66... ​​इस तरह लिखा जाएगा: 0,(6) । वे पढ़ते हैं: शून्य बिंदु, अवधि में छह।

यदि दशमलव बिंदु और प्रथम आवर्त के बीच एक या अधिक गैर-दोहराए जाने वाले अंक हों, तो ऐसे आवर्त भिन्न को मिश्रित आवर्त भिन्न कहा जाता है।

एक अघुलनशील सामान्य भिन्न जिसका हर है दूसरों के साथ मिलकरगुणक में गुणक होता है 2 या 5 , बन जाता है मिश्रितआवधिक अंश.

संख्याओं को दशमलव के रूप में लिखें.

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