दो भावों को सर्वथा समान कहा जाता है किसी समुच्चय पर यदि इस समुच्चय पर उनका अर्थ है और उनके सभी संगत मान समान हैं।
वह समानता जिसमें बाएँ और दाएँ पक्ष सर्वथा समान भाव हों, कहलाती है पहचान।
किसी दिए गए सेट पर एक अभिव्यक्ति को दूसरे के साथ प्रतिस्थापित करना जो उसके समान रूप से बराबर हो, कहलाता है अभिव्यक्ति का समान परिवर्तन.
काम।किसी अभिव्यक्ति का दायरा खोजें.
समाधान।चूँकि अभिव्यक्ति एक भिन्न है, इसकी परिभाषा के क्षेत्र को खोजने के लिए आपको चर के उन मानों को खोजने की आवश्यकता है एक्स, जिस पर हर शून्य हो जाता है, और उन्हें हटा दें। समीकरण हल कर लिया एक्स 2 - 9 = 0, हम पाते हैं एक्स= -3 और एक्स= 3. इसलिए, इस अभिव्यक्ति की परिभाषा के क्षेत्र में -3 और 3 के अलावा सभी संख्याएँ शामिल हैं। यदि हम इसे निरूपित करते हैं एक्स, तो हम लिख सकते हैं:
एक्स= (-¥; -3) È (-3; 3) È (3; +¥).
काम।भाव हैं और एक्स- 2 समान रूप से बराबर: ए) सेट पर आर; ख) शून्य से भिन्न पूर्णांकों के समुच्चय पर?
समाधान।क) एक सेट पर आरये अभिव्यक्तियाँ कब से समान रूप से समान नहीं हैं एक्स= 0 अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है, और अभिव्यक्ति एक्स- 2 का मान -2 है।
बी) शून्य के अलावा अन्य पूर्णांकों के सेट पर, ये अभिव्यक्तियाँ समान रूप से समान हैं, क्योंकि = 
.
काम।किन मूल्यों पर एक्सनिम्नलिखित समानताएँ पहचान हैं:
ए) 
; बी) ।
समाधान।क) समानता एक पहचान है यदि ;
ख) समानता एक पहचान है यदि।
आइए दो समानताओं पर विचार करें:
1. ए 12 *ए 3 = ए 7 *ए 8
यह समानता वेरिएबल a के किसी भी मान के लिए मान्य होगी। उस समानता के लिए स्वीकार्य मानों की सीमा वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट होगी।
2. ए 12: ए 3 = ए 2 *ए 7।
यह असमानता शून्य के बराबर को छोड़कर, चर a के सभी मानों के लिए सत्य होगी। इस असमानता के लिए स्वीकार्य मानों की सीमा शून्य को छोड़कर वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट होगी।
इनमें से प्रत्येक समानता के लिए यह तर्क दिया जा सकता है कि यह चर के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए सत्य होगा। गणित में ऐसी समानताएँ कहलाती हैं पहचान.
पहचान की अवधारणा
एक पहचान एक समानता है जो चर के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए सत्य है। यदि आप इस समानता में चर के स्थान पर कोई मान्य मान प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको एक सही संख्यात्मक समानता मिलनी चाहिए।
यह ध्यान देने योग्य है कि सच्ची संख्यात्मक समानताएँ भी पहचान हैं। उदाहरण के लिए, पहचान संख्याओं पर क्रियाओं के गुण होंगे।
3. ए + बी = बी + ए;
4. ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी;
6. ए*(बी*सी) = (ए*बी)*सी;
7. ए*(बी + सी) = ए*बी + ए*सी;
11. ए*(-1) = -ए.
यदि किन्हीं स्वीकार्य चरों के लिए दो व्यंजक क्रमशः समान हों, तो ऐसे व्यंजक कहलाते हैं समान रूप से बराबर. नीचे समरूप समान भावों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
1. (ए 2) 4 और ए 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) और -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) और x 10.
हम हमेशा एक अभिव्यक्ति को पहले के समान किसी अन्य अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित कर सकते हैं। ऐसा प्रतिस्थापन एक पहचान परिवर्तन होगा।
पहचान के उदाहरण
उदाहरण 1: क्या निम्नलिखित समानताएँ समान हैं:
1. ए + 5 = 5 + ए;
2. ए*(-बी) = -ए*बी;
3. 3*ए*3*बी = 9*ए*बी;
ऊपर प्रस्तुत सभी अभिव्यक्तियाँ सर्वसमिकाएँ नहीं होंगी। इन समानताओं में से केवल 1, 2 और 3 समानताएँ ही सर्वसमिकाएँ हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम उनमें कौन सी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं, चर ए और बी के बजाय हमें अभी भी सही संख्यात्मक समानताएँ मिलेंगी।
लेकिन 4 समानता अब कोई पहचान नहीं रही. क्योंकि यह समानता सभी मान्य मूल्यों के लिए मान्य नहीं होगी। उदाहरण के लिए, मान a = 5 और b = 2 के साथ, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होगा:
यह समानता सत्य नहीं है, क्योंकि संख्या 3, संख्या -3 के बराबर नहीं है।
जिसके दोनों भाग समान रूप से समान भाव हैं। पहचान को वर्णमाला और संख्यात्मक में विभाजित किया गया है।
पहचान के भाव
दो बीजगणितीय व्यंजक कहलाते हैं समान(या समान रूप से बराबर), यदि अक्षरों के किसी संख्यात्मक मान के लिए उनका संख्यात्मक मान समान है। उदाहरण के लिए, ये अभिव्यक्तियाँ हैं:
एक्स(5 + एक्स) और 5 एक्स + एक्स 2
दोनों ने किसी भी मूल्य के लिए अभिव्यक्तियाँ प्रस्तुत कीं एक्सएक दूसरे के बराबर होंगे, इसलिए उन्हें समान या समान रूप से बराबर कहा जा सकता है।
संख्यात्मक व्यंजक जो एक दूसरे के बराबर होते हैं उन्हें समरूप भी कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए:
20 - 8 और 10+2
अक्षर और संख्या पहचान
शाब्दिक पहचान- यह एक समानता है जो इसमें शामिल अक्षरों के किसी भी मान के लिए मान्य है। दूसरे शब्दों में, एक समानता जिसमें दोनों पक्ष समान रूप से समान अभिव्यक्तियाँ हैं, उदाहरण के लिए:
(ए + बी)एम = पूर्वाह्न + बी.एम.
(ए + बी) 2 = ए 2 + 2अब + बी 2
संख्यात्मक पहचानएक समानता है जिसमें केवल अंकों के रूप में व्यक्त संख्याएँ होती हैं, जिसमें दोनों पक्षों का संख्यात्मक मान समान होता है। उदाहरण के लिए:
4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50
भावों का समान परिवर्तन
सभी बीजगणितीय संक्रियाएँ एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति का दूसरे में परिवर्तन हैं, जो पहले के समान है।
किसी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करते समय, कोष्ठक खोलना, कोष्ठक के बाहर एक सामान्य कारक रखना, और कई अन्य मामलों में, कुछ अभिव्यक्तियों को दूसरों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो उनके समान हैं। एक व्यंजक का उसी के समतुल्य दूसरे व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापन कहलाता है अभिव्यक्ति का समान परिवर्तनया केवल अभिव्यक्ति को रूपांतरित करना. सभी अभिव्यक्ति परिवर्तन संख्याओं पर संचालन के गुणों के आधार पर किए जाते हैं।
आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने के उदाहरण का उपयोग करके किसी अभिव्यक्ति के समान परिवर्तन पर विचार करें:
10एक्स - 7एक्स + 3एक्स = (10 - 7 + 3)एक्स = 6एक्स
सर्वसमिकाओं की अवधारणा से निपटने के बाद, हम समान रूप से समान अभिव्यक्तियों का अध्ययन करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। इस लेख का उद्देश्य यह समझाना है कि यह क्या है और उदाहरणों के साथ यह दिखाना है कि कौन से भाव दूसरों के समान होंगे।
समान रूप से समान अभिव्यक्तियाँ: परिभाषा
समान रूप से समान अभिव्यक्तियों की अवधारणा का अध्ययन आमतौर पर स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम के हिस्से के रूप में पहचान की अवधारणा के साथ किया जाता है। यहां एक पाठ्यपुस्तक से ली गई मूल परिभाषा दी गई है:
परिभाषा 1
समान रूप से बराबरएक-दूसरे में ऐसे भाव होंगे, जिनके मान उनकी संरचना में शामिल चर के किसी भी संभावित मान के लिए समान होंगे।
साथ ही, वे संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ जिनके समान मान अनुरूप होंगे, समान रूप से समान माने जाते हैं।
यह एक काफी व्यापक परिभाषा है जो सभी पूर्णांक अभिव्यक्तियों के लिए सत्य होगी जिनका अर्थ चर के मान बदलने पर नहीं बदलता है। हालाँकि, बाद में इस परिभाषा को स्पष्ट करना आवश्यक हो जाता है, क्योंकि पूर्णांकों के अलावा, अन्य प्रकार के व्यंजक भी होते हैं जिनका कुछ चरों के साथ कोई अर्थ नहीं होगा। यह कुछ परिवर्तनीय मूल्यों की स्वीकार्यता और अस्वीकार्यता की अवधारणा को जन्म देता है, साथ ही अनुमेय मूल्यों की सीमा निर्धारित करने की आवश्यकता को भी जन्म देता है। आइए हम एक परिष्कृत परिभाषा तैयार करें।
परिभाषा 2
समान रूप से समान भाव- ये वे अभिव्यक्तियाँ हैं जिनके मान उनकी संरचना में शामिल चर के किसी भी अनुमेय मान के लिए एक दूसरे के बराबर हैं। संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ एक-दूसरे के समान होंगी, बशर्ते मान समान हों।
वाक्यांश "चर के किसी भी मान्य मान के लिए" चर के उन सभी मानों को इंगित करता है जिनके लिए दोनों अभिव्यक्तियाँ समझ में आएंगी। हम इस बिंदु को बाद में समझाएंगे जब हम समान रूप से समान अभिव्यक्तियों के उदाहरण देंगे।
आप निम्नलिखित परिभाषा भी प्रदान कर सकते हैं:
परिभाषा 3
समान रूप से समान अभिव्यक्तियाँ बाईं और दाईं ओर समान पहचान में स्थित अभिव्यक्तियाँ हैं।
भावों के उदाहरण जो एक-दूसरे के समान हैं
ऊपर दी गई परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, आइए ऐसी अभिव्यक्तियों के कुछ उदाहरण देखें।
आइए संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से शुरू करें।
उदाहरण 1
इस प्रकार, 2 + 4 और 4 + 2 एक दूसरे के समान रूप से बराबर होंगे, क्योंकि उनके परिणाम बराबर (6 और 6) होंगे।
उदाहरण 2
उसी तरह, अभिव्यक्ति 3 और 30 समान रूप से बराबर हैं: 10, (2 2) 3 और 2 6 (अंतिम अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए आपको डिग्री के गुणों को जानना होगा)।
उदाहरण 3
लेकिन भाव 4 - 2 और 9 - 1 समान नहीं होंगे, क्योंकि उनके मान भिन्न हैं।
आइए शाब्दिक अभिव्यक्तियों के उदाहरणों पर चलते हैं। ए + बी और बी + ए समान रूप से बराबर होंगे, और यह चर के मूल्यों पर निर्भर नहीं करता है (इस मामले में अभिव्यक्तियों की समानता जोड़ की क्रमविनिमेय संपत्ति द्वारा निर्धारित की जाती है)।
उदाहरण 4
उदाहरण के लिए, यदि a 4 के बराबर है और b 5 के बराबर है, तो परिणाम अभी भी वही होंगे।
अक्षरों के साथ समान रूप से समान अभिव्यक्ति का एक और उदाहरण 0 · x · y · z और 0 है। इस मामले में चरों का मान जो भी हो, 0 से गुणा करने पर वे 0 देंगे। असमान अभिव्यक्तियाँ 6 · x और 8 · x हैं, क्योंकि वे किसी भी x के लिए समान नहीं होंगी।
इस घटना में कि चर के अनुमेय मानों के क्षेत्र मेल खाते हैं, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्तियों में ए + 6 और 6 + ए या ए · बी · 0 और 0, या एक्स 4 और एक्स, और के मान किसी भी चर के लिए व्यंजक स्वयं समान हैं, तो ऐसे व्यंजकों को सर्वथा समान माना जाता है। तो, a के किसी भी मान के लिए a + 8 = 8 + a, और a · b · 0 = 0 भी, क्योंकि किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर परिणाम 0 आता है। अंतराल [ 0 , + ∞) से किसी भी x के लिए अभिव्यक्ति x 4 और x समान रूप से बराबर होंगे।
लेकिन एक अभिव्यक्ति में मान्य मानों की सीमा दूसरे की सीमा से भिन्न हो सकती है।
उदाहरण 5
उदाहरण के लिए, आइए दो अभिव्यक्तियाँ लें: x - 1 और x - 1 · x x। उनमें से पहले के लिए, x के अनुमेय मानों की सीमा वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट होगी, और दूसरे के लिए - शून्य के अपवाद के साथ सभी वास्तविक संख्याओं का सेट, क्योंकि तब हमें 0 मिलेगा हर, और ऐसा विभाजन परिभाषित नहीं है। इन दो अभिव्यक्तियों में दो अलग-अलग श्रेणियों के प्रतिच्छेदन द्वारा गठित मूल्यों की एक सामान्य श्रृंखला होती है। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दोनों अभिव्यक्तियाँ x - 1 · x x और x - 1, 0 के अपवाद के साथ, चर के किसी भी वास्तविक मान के लिए अर्थपूर्ण होंगी।
भिन्न की मूल संपत्ति हमें यह निष्कर्ष निकालने की भी अनुमति देती है कि x - 1 · x x और x - 1 किसी भी x के लिए बराबर होंगे जो 0 नहीं है। इसका मतलब यह है कि अनुमेय मूल्यों की सामान्य सीमा पर ये अभिव्यक्तियाँ एक-दूसरे के समान होंगी, लेकिन किसी भी वास्तविक x के लिए हम समान समानता की बात नहीं कर सकते।
यदि हम एक अभिव्यक्ति को दूसरे के साथ प्रतिस्थापित करते हैं, जो उसके समान है, तो इस प्रक्रिया को पहचान परिवर्तन कहा जाता है। यह अवधारणा बहुत महत्वपूर्ण है, और हम इसके बारे में एक अलग लेख में विस्तार से बात करेंगे।
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पहचानों का एक विचार प्राप्त करने के बाद, परिचित होने के लिए आगे बढ़ना तर्कसंगत है। इस लेख में हम इस प्रश्न का उत्तर देंगे कि समान रूप से समान अभिव्यक्तियाँ क्या हैं, और यह समझने के लिए उदाहरणों का भी उपयोग करेंगे कि कौन से अभिव्यक्तियाँ समान रूप से समान हैं और कौन सी नहीं हैं।
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सर्वसम समान भाव क्या हैं?
समान रूप से समान अभिव्यक्तियों की परिभाषा पहचान की परिभाषा के समानांतर दी गई है। ऐसा सातवीं कक्षा की बीजगणित कक्षा में होता है। लेखक यू.एन. मकारिचेव द्वारा 7वीं कक्षा के लिए बीजगणित पर पाठ्यपुस्तक में, निम्नलिखित सूत्र दिया गया है:
परिभाषा।
- ये ऐसे भाव हैं जिनके मान उनमें शामिल चर के किसी भी मान के लिए समान हैं। जिन संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का मान समान होता है उन्हें समान रूप से समान भी कहा जाता है।
यह परिभाषा ग्रेड 8 तक उपयोग की जाती है; यह पूर्णांक अभिव्यक्तियों के लिए मान्य है, क्योंकि वे उनमें शामिल चर के किसी भी मान के लिए समझ में आते हैं। और ग्रेड 8 में, समान रूप से समान अभिव्यक्तियों की परिभाषा को स्पष्ट किया गया है। आइए हम बताएं कि इसका संबंध किससे है।
8वीं कक्षा में, अन्य प्रकार के भावों का अध्ययन शुरू होता है, जो संपूर्ण भावों के विपरीत, चर के कुछ मूल्यों के लिए समझ में नहीं आता है। यह हमें चर के अनुमेय और अस्वीकार्य मूल्यों की परिभाषाओं के साथ-साथ चर के चर मूल्य के अनुमेय मूल्यों की सीमा को प्रस्तुत करने के लिए मजबूर करता है, और, परिणामस्वरूप, समान रूप से समान अभिव्यक्तियों की परिभाषा को स्पष्ट करने के लिए।
परिभाषा।
दो अभिव्यक्तियाँ जिनके मान उनमें सम्मिलित चरों के सभी अनुमेय मानों के लिए समान हों, कहलाते हैं समान रूप से समान अभिव्यक्तियाँ. समान मान वाले दो संख्यात्मक भाव भी समान रूप से समान कहलाते हैं।
समान रूप से समान अभिव्यक्तियों की इस परिभाषा में, "उनमें शामिल चर के सभी अनुमेय मूल्यों के लिए" वाक्यांश का अर्थ स्पष्ट करना उचित है। इसका तात्पर्य चर के ऐसे सभी मानों से है जिनके लिए दोनों समान रूप से समान अभिव्यक्तियाँ एक ही समय में समझ में आती हैं। हम इस विचार को उदाहरणों को देखकर अगले पैराग्राफ में समझाएंगे।
ए.जी. मोर्दकोविच की पाठ्यपुस्तक में समान रूप से समान अभिव्यक्तियों की परिभाषा थोड़ी अलग तरीके से दी गई है:
परिभाषा।
समान रूप से समान भाव- ये पहचान के बाएँ और दाएँ पक्ष की अभिव्यक्तियाँ हैं।
इसका अर्थ और पिछली परिभाषाएँ मेल खाती हैं।
समान रूप से समान अभिव्यक्तियों के उदाहरण
पिछले पैराग्राफ में प्रस्तुत परिभाषाएँ हमें देने की अनुमति देती हैं समान रूप से समान अभिव्यक्तियों के उदाहरण.
आइए समान रूप से समान संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से प्रारंभ करें। संख्यात्मक अभिव्यक्ति 1+2 और 2+1 समान रूप से समान हैं, क्योंकि वे समान मान 3 और 3 के अनुरूप हैं। भाव 5 और 30:6 भी समान रूप से समान हैं, जैसे भाव (2 2) 3 और 2 6 (बाद वाले भावों के मान समान हैं)। लेकिन संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ 3+2 और 3−2 समान रूप से समान नहीं हैं, क्योंकि वे क्रमशः 5 और 1 के मानों के अनुरूप हैं, और वे समान नहीं हैं।
आइए अब चरों के साथ समान रूप से समान व्यंजकों के उदाहरण दें। ये अभिव्यक्तियाँ a+b और b+a हैं। दरअसल, चर a और b के किसी भी मान के लिए, लिखित अभिव्यक्तियाँ समान मान लेती हैं (जैसा कि संख्याओं से होता है)। उदाहरण के लिए, a=1 और b=2 के साथ हमारे पास a+b=1+2=3 और b+a=2+1=3 है। चर a और b के किसी अन्य मान के लिए, हम इन अभिव्यक्तियों के समान मान भी प्राप्त करेंगे। अभिव्यक्ति 0·x·y·z और 0 भी चर x, y और z के किसी भी मान के लिए समान रूप से समान हैं। लेकिन अभिव्यक्तियाँ 2 x और 3 x समान रूप से समान नहीं हैं, उदाहरण के लिए, जब x=1 उनके मान समान नहीं हैं। वास्तव में, x=1 के लिए, अभिव्यक्ति 2 x, 2 x 1=2 के बराबर है, और अभिव्यक्ति 3 x, 3 x 1=3 के बराबर है।
जब अभिव्यक्तियों में चर के अनुमेय मानों की सीमाएँ मेल खाती हैं, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्तियों में a+1 और 1+a, या a·b·0 और 0, या और, और इन अभिव्यक्तियों के मान इन क्षेत्रों से चर के सभी मानों के लिए समान हैं, तो यहां सब कुछ स्पष्ट है - ये अभिव्यक्तियाँ उनमें शामिल चर के सभी अनुमेय मूल्यों के लिए समान रूप से समान हैं। तो a+1≡1+a किसी भी a के लिए, अभिव्यक्ति a·b·0 और 0 चर a और b के किसी भी मान के लिए समान रूप से बराबर हैं, और अभिव्यक्ति और सभी x के लिए समान रूप से समान हैं; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 17वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 240 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019315-3।