Ekstrem dari fungsi kalkulator online. Cara mencari titik ekstrem (titik minimum dan maksimum) suatu fungsi

Informasi yang sangat penting tentang perilaku suatu fungsi disediakan oleh interval naik dan turun. Menemukannya adalah bagian dari proses memeriksa fungsi dan membuat grafik. Selain itu, titik ekstrim dimana terjadi perubahan dari naik ke turun atau dari turun ke naik mendapat perhatian khusus ketika mencari nilai fungsi terbesar dan terkecil pada interval tertentu.

Pada artikel ini kami akan memberikan definisi yang diperlukan, merumuskan kriteria cukup untuk kenaikan dan penurunan suatu fungsi pada interval dan kondisi cukup untuk keberadaan ekstrem, dan menerapkan keseluruhan teori ini untuk memecahkan contoh dan masalah.

Navigasi halaman.

Fungsi naik dan turun pada suatu interval.

Definisi fungsi meningkat.

Fungsi y=f(x) bertambah pada interval X jika untuk sembarang dan ketimpangan tetap terjadi. Dengan kata lain, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih besar.

Definisi fungsi menurun.

Fungsi y=f(x) berkurang pada interval X jika untuk sembarang dan ketimpangan tetap terjadi . Dengan kata lain, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih kecil.

CATATAN: jika fungsi terdefinisi dan kontinu pada ujung interval naik atau turun (a;b), yaitu pada x=a dan x=b, maka titik-titik tersebut termasuk dalam interval naik atau turun. Hal ini tidak bertentangan dengan definisi fungsi naik dan turun pada interval X.

Misalnya, dari sifat-sifat fungsi dasar dasar kita mengetahui bahwa y=sinx terdefinisi dan kontinu untuk semua nilai riil argumen. Oleh karena itu, dari kenaikan fungsi sinus pada interval tersebut, kita dapat menyatakan bahwa fungsi tersebut meningkat pada interval tersebut.

Titik ekstrem, ekstrem suatu fungsi.

Intinya disebut titik maksimum fungsi y=f(x) jika pertidaksamaan tersebut benar untuk semua x di lingkungannya. Nilai fungsi pada titik maksimum disebut maksimal dari fungsinya dan menunjukkan .

Intinya disebut poin minimum fungsi y=f(x) jika pertidaksamaan tersebut benar untuk semua x di lingkungannya. Nilai fungsi pada titik minimum disebut fungsi minimal dan menunjukkan .

Lingkungan suatu titik dipahami sebagai interval , dimana merupakan bilangan positif yang cukup kecil.

Poin minimum dan maksimum disebut titik ekstrim, dan nilai fungsi yang bersesuaian dengan titik ekstrem disebut ekstrem dari fungsi tersebut.

Jangan bingung membedakan ekstrem suatu fungsi dengan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.

Pada gambar pertama nilai fungsi terbesar pada ruas dicapai pada titik maksimum dan sama dengan maksimum fungsi, dan pada gambar kedua nilai fungsi terbesar dicapai pada titik x=b , yang bukan merupakan titik maksimal.

Kondisi yang cukup untuk menambah dan mengurangi fungsi.

Berdasarkan kondisi (tanda) cukup bagi kenaikan dan penurunan suatu fungsi, dicari interval kenaikan dan penurunan fungsi tersebut.

Berikut rumusan tanda fungsi naik dan turun pada suatu interval:

jika turunan fungsi y=f(x) positif untuk sembarang x dari interval X, maka fungsinya bertambah sebesar X;
jika turunan fungsi y=f(x) negatif untuk sembarang x dari interval X, maka fungsinya menurun pada X.

Jadi, untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan suatu fungsi, perlu:

Mari kita perhatikan contoh mencari interval fungsi naik dan turun untuk menjelaskan algoritmanya.

Contoh.

Temukan interval fungsi naik dan turun.

Larutan.

Langkah pertama adalah mencari domain definisi fungsi. Dalam contoh kita, ekspresi penyebutnya tidak boleh nol, oleh karena itu, .

Mari kita lanjutkan mencari turunan dari fungsi tersebut:

Untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan suatu fungsi berdasarkan kriteria cukup, kita menyelesaikan pertidaksamaan pada domain definisi. Mari kita gunakan generalisasi metode interval. Satu-satunya akar real dari pembilangnya adalah x = 2, dan penyebutnya menjadi nol pada x=0. Titik-titik ini membagi domain definisi menjadi interval-interval di mana turunan fungsi tersebut mempertahankan tandanya. Mari tandai titik-titik ini pada garis bilangan. Kami secara konvensional menyatakan dengan plus dan minus interval di mana turunannya positif atau negatif. Panah di bawah secara skematis menunjukkan kenaikan atau penurunan fungsi pada interval yang sesuai.

Dengan demikian, Dan .

Pada intinya Fungsi x=2 terdefinisi dan kontinu, sehingga harus ditambahkan pada interval naik dan turun. Pada titik x=0 fungsinya tidak terdefinisi, jadi kami tidak memasukkan titik ini ke dalam interval yang diperlukan.

Kami menyajikan grafik fungsi untuk membandingkan hasil yang diperoleh dengannya.

Menjawab:

Fungsinya meningkat sebagai , berkurang pada interval (0;2] .

Kondisi cukup untuk ekstrem suatu fungsi.

Untuk mencari maxima dan minima suatu fungsi, Anda dapat menggunakan salah satu dari tiga tanda ekstrem, tentunya jika fungsi tersebut memenuhi kondisinya. Yang paling umum dan nyaman adalah yang pertama.

Kondisi cukup pertama untuk kondisi ekstrem.

Misalkan fungsi y=f(x) terdiferensialkan di lingkungan -titik dan kontinu di titik itu sendiri.

Dengan kata lain:

Algoritma untuk mencari titik ekstrem berdasarkan tanda pertama ekstrem suatu fungsi.

Kami menemukan domain definisi fungsi.
Kami menemukan turunan fungsi pada domain definisi.
Kita tentukan angka nol pada pembilangnya, angka nol pada penyebut turunannya, dan titik-titik pada daerah definisi yang tidak ada turunannya (semua titik yang terdaftar disebut titik-titik ekstrem yang mungkin terjadi, melewati titik-titik tersebut, turunannya bisa saja berubah tandanya).
Titik-titik ini membagi domain definisi fungsi menjadi interval-interval di mana turunannya mempertahankan tandanya. Kita menentukan tanda-tanda turunan pada setiap interval (misalnya dengan menghitung nilai turunan suatu fungsi pada titik mana pun dalam interval tertentu).
Kami memilih titik-titik di mana fungsinya kontinu dan, melaluinya, turunannya berubah tanda - ini adalah titik ekstrem.

Terlalu banyak kata, mari kita lihat beberapa contoh mencari titik ekstrem dan ekstrem suatu fungsi menggunakan kondisi cukup pertama untuk ekstrem suatu fungsi.

Contoh.

Temukan ekstrem dari fungsinya.

Larutan.

Domain suatu fungsi adalah seluruh himpunan bilangan real kecuali x=2.

Menemukan turunannya:

Angka nol pada pembilangnya adalah titik x=-1 dan x=5, penyebutnya menjadi nol di x=2. Tandai titik-titik ini pada sumbu bilangan

Kita menentukan tanda-tanda turunannya pada setiap interval; untuk melakukannya, kita menghitung nilai turunan di salah satu titik pada setiap interval, misalnya pada titik x=-2, x=0, x=3 dan x=6.

Oleh karena itu, pada interval tersebut turunannya positif (pada gambar kita memberi tanda tambah pada interval ini). Juga

Oleh karena itu, kami menempatkan minus di atas interval kedua, minus di atas interval ketiga, dan plus di atas interval keempat.

Tetap memilih titik-titik di mana fungsinya kontinu dan turunannya berubah tanda. Ini adalah titik ekstremnya.

Pada intinya x=-1 fungsinya kontinu dan turunannya berubah tanda dari plus ke minus, oleh karena itu, menurut tanda ekstrem pertama, x=-1 adalah titik maksimum, maksimum fungsi yang sesuai dengannya .

Pada intinya x=5 fungsinya kontinu dan turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, oleh karena itu x=-1 adalah titik minimum, minimum fungsi tersebut bersesuaian dengannya .

Ilustrasi grafis.

Menjawab:

HARAP DICATAT: kriteria cukup pertama untuk suatu ekstrem tidak memerlukan diferensiasi fungsi pada titik itu sendiri.

Contoh.

Temukan titik ekstrem dan ekstrem fungsi .

Larutan.

Domain suatu fungsi adalah seluruh himpunan bilangan real. Fungsinya sendiri dapat ditulis sebagai:

Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Pada intinya x=0 turunannya tidak ada, karena nilai limit satu sisi tidak bertepatan ketika argumen cenderung nol:

Pada saat yang sama, fungsi aslinya kontinu di titik x=0 (lihat bagian mempelajari fungsi kontinuitas):

Mari kita cari nilai argumen yang turunannya menjadi nol:

Mari kita tandai semua titik yang diperoleh pada garis bilangan dan menentukan tanda turunannya pada setiap interval. Untuk melakukan ini, kami menghitung nilai turunan pada titik sembarang di setiap interval, misalnya di x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Itu adalah,

Jadi, menurut tanda pertama suatu ekstrem, titik minimumnya adalah , poin maksimalnya adalah .

Kami menghitung fungsi minimum yang sesuai

Kami menghitung maksimum fungsi yang sesuai

Ilustrasi grafis.

Menjawab:

Tanda kedua dari ekstrem suatu fungsi.

Seperti yang Anda lihat, tanda ekstrem suatu fungsi ini memerlukan adanya turunan setidaknya hingga orde kedua di titik tersebut.

Untuk menentukan sifat suatu fungsi dan membicarakan perilakunya, perlu dicari interval kenaikan dan penurunan. Proses ini disebut penelitian fungsi dan pembuatan grafik. Titik ekstrem digunakan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi, karena pada titik tersebut fungsi bertambah atau berkurang dari intervalnya.

Artikel ini mengungkap definisi, merumuskan tanda cukup kenaikan dan penurunan interval dan syarat adanya ekstrem. Hal ini berlaku untuk memecahkan contoh dan masalah. Bagian tentang diferensiasi fungsi harus diulangi karena penyelesaiannya perlu menggunakan pencarian turunan.

Definisi 1

Fungsi y = f (x) akan bertambah pada interval x jika, untuk sembarang x 1 ∈ X dan x 2 ∈ X, x 2 > x 1, pertidaksamaan f (x 2) > f (x 1) terpenuhi. Dengan kata lain, nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih besar.

Definisi 2

Fungsi y = f (x) dianggap menurun pada interval x jika, untuk sembarang x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, persamaan f (x 2) > f (x 1) dianggap benar. Dengan kata lain, nilai fungsi yang lebih besar berarti nilai argumen yang lebih kecil. Perhatikan gambar di bawah ini.

Komentar: Apabila fungsi tersebut pasti dan kontinu pada ujung-ujung selang naik dan turun, yaitu (a; b), dimana x = a, x = b, maka titik-titik tersebut termasuk dalam selang naik dan turun. Hal ini tidak bertentangan dengan definisi; artinya terjadi pada interval x.

Sifat utama fungsi dasar tipe y = sin x adalah kepastian dan kontinuitas nilai riil argumen. Dari sini kita mendapatkan bahwa sinus meningkat pada interval - π 2; π 2, maka pertambahan ruas tersebut berbentuk - π 2; π 2.

Definisi 3

Titik x 0 disebut titik maksimum untuk fungsi y = f (x), padahal untuk semua nilai x pertidaksamaan f (x 0) ≥ f (x) valid. Fungsi maksimal adalah nilai fungsi di suatu titik, dan dilambangkan dengan y m a x .

Titik x 0 disebut titik minimum fungsi y = f (x), bila untuk semua nilai x pertidaksamaan f (x 0) ≤ f (x) valid. Fungsi minimal adalah nilai fungsi di suatu titik, dan mempunyai sebutan dalam bentuk y m i n .

Lingkungan titik x 0 dipertimbangkan titik ekstrem, dan nilai fungsi yang sesuai dengan titik ekstrem. Perhatikan gambar di bawah ini.

Ekstrem suatu fungsi yang memiliki nilai fungsi terbesar dan terkecil. Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar pertama menyatakan bahwa perlu dicari nilai fungsi terbesar dari segmen [a; B ] . Ditemukan menggunakan titik maksimum dan sama dengan nilai maksimum fungsi, dan angka kedua lebih seperti mencari titik maksimum di x = b.

Kondisi yang cukup bagi suatu fungsi untuk bertambah dan berkurang

Untuk mencari maksimum dan minimum suatu fungsi, perlu diterapkan tanda-tanda ekstrem jika fungsi tersebut memenuhi kondisi tersebut. Tanda pertama dianggap yang paling sering digunakan.

Kondisi cukup pertama untuk kondisi ekstrem

Definisi 4

Misalkan diberikan suatu fungsi y = f (x), yang terdiferensialkan di lingkungan titik x 0, dan mempunyai kontinuitas di titik tertentu x 0. Dari sini kita mendapatkannya

ketika f " (x) > 0 dengan x ∈ (x 0 - ε ; x 0) dan f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
ketika f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 untuk x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), maka x 0 adalah titik minimum.

Dengan kata lain, kita memperoleh kondisinya untuk menetapkan tanda:

bila suatu fungsi kontinu di titik x 0, maka mempunyai turunan yang tandanya berubah-ubah, yaitu dari + ke -, yang berarti titik tersebut disebut maksimum;
bila suatu fungsi kontinu di titik x 0, maka mempunyai turunan yang tandanya berubah-ubah dari - menjadi +, artinya titik tersebut disebut minimum.

Untuk menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi dengan benar, Anda harus mengikuti algoritma untuk menemukannya:

temukan domain definisi;
temukan turunan fungsi pada luas tersebut;
mengidentifikasi angka nol dan titik di mana fungsi tersebut tidak ada;
menentukan tanda turunan pada interval;
pilih titik di mana fungsi berubah tanda.

Mari kita pertimbangkan algoritme dengan menyelesaikan beberapa contoh pencarian ekstrem suatu fungsi.

Contoh 1

Tentukan titik maksimum dan minimum dari fungsi yang diberikan y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Larutan

Daerah definisi fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali x = 2. Pertama, cari turunan dari fungsi tersebut dan dapatkan:

y" = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Dari sini kita melihat bahwa nol dari fungsi tersebut adalah x = - 1, x = 5, x = 2, artinya setiap tanda kurung harus disamakan dengan nol. Mari tandai pada sumbu bilangan dan dapatkan:

Sekarang kita tentukan tanda turunan dari setiap interval. Penting untuk memilih titik yang termasuk dalam interval dan menggantinya ke dalam ekspresi. Misalnya titik x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Kami mengerti

y" (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, artinya interval - ∞ - 1 mempunyai turunan positif.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Karena interval kedua ternyata kurang dari nol, berarti turunan pada interval tersebut akan negatif. Yang ketiga dengan minus, yang keempat dengan plus. Untuk menentukan kontinuitas perlu memperhatikan tanda turunannya; jika berubah maka ini merupakan titik ekstrem.

Diketahui bahwa di titik x = - 1 fungsi tersebut kontinu, artinya turunannya akan berubah tanda dari + menjadi -. Berdasarkan tanda pertama kita mengetahui bahwa x = - 1 adalah titik maksimum, yang berarti kita peroleh

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Titik x = 5 menunjukkan bahwa fungsi tersebut kontinu dan turunannya akan berubah tanda dari – menjadi +. Artinya x = -1 adalah titik minimum, dan penentuannya berbentuk

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Gambar grafis

Menjawab: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Perlu diperhatikan fakta bahwa penggunaan kriteria cukup pertama untuk suatu ekstrem tidak memerlukan diferensiasi fungsi pada titik x 0, ini menyederhanakan penghitungan.

Contoh 2

Tentukan titik maksimum dan minimum dari fungsi y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Larutan.

Domain suatu fungsi adalah semua bilangan real. Ini dapat ditulis sebagai sistem persamaan dalam bentuk:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Maka Anda perlu mencari turunannya:

kamu" = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 kamu" = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Titik x = 0 tidak mempunyai turunan, karena nilai limit satu sisinya berbeda-beda. Kami mendapatkan bahwa:

lim y"x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Maka fungsinya kontinu di titik x = 0, lalu kita hitung

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Perlu dilakukan perhitungan untuk mencari nilai argumen ketika turunannya menjadi nol:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Semua titik yang diperoleh harus ditandai pada garis lurus untuk menentukan tanda setiap interval. Oleh karena itu, perlu untuk menghitung turunan pada titik-titik sembarang untuk setiap interval. Misalnya kita mengambil titik dengan nilai x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Kami mengerti

y" (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y" (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y"(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Gambar pada garis lurus terlihat seperti ini

Ini berarti bahwa kita sampai pada kesimpulan bahwa kita perlu menggunakan tanda ekstrem pertama. Mari kita hitung dan temukan itu

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , maka dari sini titik maksimalnya bernilai x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Mari kita beralih ke menghitung minimum:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Mari kita hitung maksimum fungsi tersebut. Kami mengerti

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Gambar grafis

Menjawab:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = kamu 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Jika diberikan fungsi f " (x 0) = 0, maka jika f "" (x 0) > 0, kita peroleh bahwa x 0 adalah titik minimum jika f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Contoh 3

Tentukan maxima dan minima dari fungsi y = 8 x x + 1.

Larutan

Pertama, kita menemukan domain definisi. Kami mengerti

D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Kita perlu membedakan fungsinya, setelah itu kita mendapatkannya

y" = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Pada x = 1, turunannya menjadi nol, artinya titik tersebut merupakan titik ekstrem yang mungkin. Untuk memperjelasnya, perlu dicari turunan keduanya dan menghitung nilainya di x = 1. Kita mendapatkan:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Artinya, dengan menggunakan kondisi cukup 2 untuk suatu ekstrem, kita peroleh bahwa x = 1 adalah titik maksimum. Jika tidak, entrinya akan terlihat seperti y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Gambar grafis

Menjawab: y m a x = y (1) = 4 ..

Definisi 5

Fungsi y = f (x) mempunyai turunan sampai orde ke-n di lingkungan ε suatu titik tertentu x 0 dan turunannya sampai orde n + ke-1 di titik x 0 . Maka f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Maka bila n bilangan genap, maka x 0 dianggap sebagai titik belok, bila n bilangan ganjil, maka x 0 merupakan titik ekstrem, dan f (n + 1) (x 0) > 0, maka x 0 adalah titik minimum, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Contoh 4

Tentukan titik maksimum dan minimum dari fungsi y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Larutan

Fungsi aslinya adalah fungsi keseluruhan rasional, artinya domain definisinya adalah semua bilangan real. Fungsinya perlu dibedakan. Kami mengerti

y" = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7x - 5)

Turunan ini akan menjadi nol pada x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Artinya, titik-titik tersebut mungkin merupakan titik ekstrem. Hal ini diperlukan untuk menerapkan kondisi cukup ketiga untuk ekstrem. Menemukan turunan kedua memungkinkan Anda menentukan secara akurat keberadaan fungsi maksimum dan minimum. Turunan kedua dihitung pada titik-titik kemungkinan ekstremnya. Kami mengerti

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 tahun "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Artinya x 2 = 5 7 adalah titik maksimum. Dengan menerapkan kriteria cukup ke-3, diperoleh bahwa untuk n = 1 dan f (n + 1) 5 7< 0 .

Sifat titik x 1 = - 1, x 3 = 3 perlu ditentukan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari turunan ketiga dan menghitung nilai pada titik-titik tersebut. Kami mengerti

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) kamu " " " (- 1) = 96 ≠ 0 kamu " " " (3) = 0

Artinya x 1 = - 1 adalah titik belok fungsi tersebut, karena untuk n = 2 dan f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Perlu diselidiki titik x 3 = 3. Untuk melakukan ini, kita mencari turunan ke-4 dan melakukan perhitungan pada titik ini:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Dari keputusan di atas kita menyimpulkan bahwa x 3 = 3 adalah titik minimum dari fungsi tersebut.

Gambar grafis

Menjawab: x 2 = 5 7 adalah titik maksimum, x 3 = 3 adalah titik minimum dari fungsi yang diberikan.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Fungsi y = f(x) disebut meningkat (menurun) dalam selang waktu tertentu, jika untuk x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Jika fungsi terdiferensiasi y = f(x) bertambah (berkurang) pada suatu interval, maka turunannya pada interval tersebut f " (X)> 0

(F"(X)< 0).

Dot X HAI ditelepon titik maksimum lokal (minimum) fungsi f (x) jika terdapat lingkungan titik tersebut x o, untuk semua titik yang pertidaksamaannya f(x) benar≤ f (x o ) (f (x )≥ f (xo )).

Poin maksimum dan minimum disebut titik ekstrim, dan nilai fungsi pada titik-titik tersebut adalah miliknya ekstrem.

Poin ekstrem

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem . Jika intinya X HAI adalah titik ekstrem dari fungsi f (x), maka f " (x o ) = 0, atau f(x o ) tidak ada. Titik-titik seperti ini disebut kritis, dan fungsi itu sendiri didefinisikan pada titik kritis. Titik ekstrem suatu fungsi harus dicari di antara titik-titik kritisnya.

Kondisi cukup pertama. Membiarkan X HAI - titik kritis. Jika f" (x ) ketika melewati suatu titik X HAI mengubah tanda plus menjadi minus, lalu pada intinya x o fungsinya memiliki maksimum, selain itu ia memiliki minimum. Jika pada saat melewati titik kritis turunannya tidak berubah tanda, maka pada titik tersebut X HAI tidak ada yang ekstrim.

Kondisi cukup kedua. Biarkan fungsi f(x) memiliki
F" (x ) di sekitar titik tersebut X HAI dan turunan kedua f "" (x 0) di titik itu sendiri x o. Jika f"(x o) = 0, f "" (x 0)>0 (f "" (x 0)<0), то точка x o adalah titik minimum (maksimum) lokal dari fungsi f (x). Jika f "" (x 0) = 0, maka Anda perlu menggunakan kondisi cukup pertama atau melibatkan kondisi yang lebih tinggi.

Pada suatu ruas, fungsi y = f(x) dapat mencapai nilai minimum atau maksimumnya baik pada titik kritis maupun pada ujung ruas.

Contoh 3.22.

Larutan. Karena F " (

Masalah dalam menemukan ekstrem suatu fungsi

Contoh 3.23. A

Larutan. X Dan kamu kamu
0 ≤ X≤
> 0, dan kapan x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fungsi kv. unit).

Contoh 3.24. hal ≈

Larutan. hal
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Contoh 3.22.Tentukan ekstrem dari fungsi f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Larutan. Karena F " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), maka titik kritis fungsi x 1 = 2 dan x 2 = 3. Ekstrem hanya dapat berada pada titik-titik tersebut. Karena ketika melewati titik x 1 = 2 turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka pada titik tersebut fungsinya sudah maksimal. Ketika melewati titik x 2 = 3, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, sehingga pada titik x 2 = 3 fungsinya mempunyai nilai minimum. Setelah menghitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut
x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita cari ekstrem dari fungsi tersebut: f maksimum (2) = 14 dan minimum f (3) = 13.

Contoh 3.23.Area persegi panjang perlu dibangun di dekat dinding batu sehingga di tiga sisinya dipagari dengan kawat kasa, dan sisi keempat berbatasan dengan dinding. Untuk ini ada A meter linier mesh. Pada rasio aspek berapa situs tersebut akan memiliki luas terluas?

Larutan.Mari kita tunjukkan sisi-sisi platform dengan X Dan kamu. Luas situs tersebut adalah S = xy. Membiarkan kamu- ini adalah panjang sisi yang berdekatan dengan dinding. Maka dengan syarat persamaan 2x + y = a harus dipenuhi. Jadi y = a - 2x dan S = x (a - 2x), dimana
0 ≤ X≤ a /2 (panjang dan lebar luas tidak boleh negatif). S " = a - 4x, a - 4x = 0 pada x = a/4, dari mana
y = a - 2 × a/4 =a/2. Karena x = a /4 adalah satu-satunya titik kritis; mari kita periksa apakah tanda turunannya berubah ketika melewati titik tersebut. Pada x a /4 S "> 0, dan kapan x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fungsi S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kv. unit). Karena S kontinu pada dan nilai pada ujung S(0) dan S(a /2) sama dengan nol, maka nilai yang ditemukan akan menjadi nilai terbesar dari fungsi tersebut. Jadi, rasio aspek situs yang paling disukai dalam kondisi masalah tertentu adalah y = 2x.

Contoh 3.24.Diperlukan pembuatan tangki berbentuk silinder tertutup dengan kapasitas V=16 hal ≈ 50 m 3 . Berapa dimensi tangki (radius R dan tinggi H) agar bahan yang digunakan untuk pembuatannya paling sedikit?

Larutan.Luas permukaan total silinder adalah S = 2 P R(R+H). Kita mengetahui volume silinder V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / hal R2 = 16/R2. Jadi S(R) = 2 P (R 2 +16/Kanan). Kami menemukan turunan dari fungsi ini:
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 pada R 3 = 8, oleh karena itu,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Dari artikel ini pembaca akan belajar tentang apa itu nilai fungsional ekstrem, serta ciri-ciri penggunaannya dalam kegiatan praktis. Mempelajari konsep seperti itu sangat penting untuk memahami dasar-dasar matematika tingkat tinggi. Topik ini sangat penting untuk mempelajari kursus lebih dalam.

Dalam kontak dengan

Apa itu ekstrem?

Dalam kursus sekolah, banyak definisi tentang konsep “ekstrim” yang diberikan. Artikel ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman terdalam dan jelas tentang istilah tersebut bagi mereka yang tidak mengetahui masalah tersebut. Jadi, istilah tersebut dipahami sejauh mana interval fungsional memperoleh nilai minimum atau maksimum pada suatu himpunan tertentu.

Ekstrem adalah nilai minimum suatu fungsi dan nilai maksimum pada saat yang bersamaan. Ada titik minimum dan titik maksimum, yaitu nilai ekstrim argumen pada grafik. Ilmu-ilmu utama yang menggunakan konsep ini adalah:

statistik;
kontrol mesin;
ekonometrika.

Titik ekstrem berperan penting dalam menentukan barisan suatu fungsi tertentu. Sistem koordinat pada grafik paling baik menunjukkan perubahan posisi ekstrim tergantung pada perubahan fungsi.

Ekstrem dari fungsi turunan

Ada juga fenomena “turunan”. Penting untuk menentukan titik ekstrem. Penting untuk tidak mengacaukan titik minimum dan maksimum dengan nilai tertinggi dan terendah. Ini adalah konsep yang berbeda, meskipun mungkin tampak serupa.

Nilai fungsi merupakan faktor utama dalam menentukan cara mencari titik maksimum. Turunannya tidak terbentuk dari nilai-nilai, tetapi semata-mata dari posisi ekstrimnya dalam suatu tatanan tertentu.

Turunannya sendiri ditentukan berdasarkan titik ekstrem tersebut, dan bukan berdasarkan nilai terbesar atau terkecil. Di sekolah-sekolah Rusia, garis antara kedua konsep ini tidak ditarik dengan jelas, sehingga mempengaruhi pemahaman topik ini secara umum.

Sekarang mari kita pertimbangkan konsep seperti “ekstrim akut”. Saat ini, terdapat nilai minimum akut dan nilai maksimum akut. Definisi tersebut diberikan sesuai dengan klasifikasi titik kritis suatu fungsi Rusia. Konsep titik ekstrem menjadi dasar untuk mencari titik kritis pada suatu grafik.

Untuk mendefinisikan konsep seperti itu, mereka menggunakan teorema Fermat. Ini adalah hal terpenting dalam studi tentang titik-titik ekstrem dan memberikan gambaran yang jelas tentang keberadaannya dalam satu atau lain bentuk. Untuk memastikan ekstremitas, penting untuk menciptakan kondisi tertentu untuk penurunan atau kenaikan grafik.

Untuk menjawab pertanyaan “bagaimana mencari titik maksimal” secara akurat, Anda harus mengikuti pedoman berikut:

Menemukan domain definisi yang tepat pada grafik.
Mencari turunan suatu fungsi dan titik ekstremnya.
Selesaikan pertidaksamaan standar untuk domain tempat argumen ditemukan.
Mampu membuktikan fungsi mana yang suatu titik pada suatu grafik terdefinisi dan kontinu.

Perhatian! Pencarian titik kritis suatu fungsi hanya mungkin dilakukan jika terdapat turunan setidaknya orde kedua, yang dijamin dengan adanya titik ekstrem dalam proporsi yang tinggi.

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem suatu fungsi

Agar ada titik ekstrem, penting adanya titik minimum dan maksimum. Jika aturan ini hanya dipatuhi sebagian, maka kondisi keberadaan ekstrem dilanggar.

Setiap fungsi dalam posisi apa pun harus dibedakan untuk mengidentifikasi makna barunya. Penting untuk dipahami bahwa kasus suatu titik menuju nol bukanlah prinsip utama untuk mencari titik terdiferensiasi.

Ekstremum lancip, serta fungsi minimum, merupakan aspek yang sangat penting dalam menyelesaikan masalah matematika menggunakan nilai ekstrem. Untuk lebih memahami komponen ini, penting untuk merujuk pada nilai tabel untuk menentukan fungsionalitas.

Penelitian Makna Penuh

Merencanakan Grafik Nilai

1. Penentuan titik kenaikan dan penurunan nilai.

2. Mencari titik diskontinuitas, titik ekstrim dan perpotongan dengan sumbu koordinat.

3. Proses penentuan perubahan posisi pada suatu grafik.

4. Penentuan indikator dan arah konveksitas dan konveksitas, dengan memperhatikan adanya asimtot.

5. Pembuatan tabel ringkasan penelitian ditinjau dari penentuan koordinatnya.

6. Menemukan interval kenaikan dan penurunan titik ekstrim dan tajam.

7. Penentuan kecembungan dan kecekungan suatu kurva.

8. Merencanakan grafik dengan mempertimbangkan penelitian memungkinkan Anda menemukan nilai minimum atau maksimum.

Elemen utama ketika perlu bekerja dengan titik ekstrem adalah konstruksi grafiknya yang akurat.

Guru sekolah seringkali tidak memberikan perhatian yang maksimal terhadap aspek penting tersebut, sehingga merupakan pelanggaran berat terhadap proses pendidikan.

Pembuatan grafik hanya terjadi berdasarkan hasil pembelajaran data fungsional, identifikasi ekstrem lancip, serta titik-titik pada grafik.

Ekstrem tajam dari fungsi turunan ditampilkan pada plot nilai eksak, menggunakan prosedur standar untuk menentukan asimtot.

Titik maksimum dan minimum suatu fungsi disertai dengan konstruksi grafik yang lebih kompleks. Hal ini disebabkan oleh kebutuhan yang lebih mendalam untuk mengatasi masalah ekstrem akut.

Turunan dari fungsi kompleks dan sederhana juga perlu dicari, karena ini adalah salah satu konsep terpenting dalam masalah ekstrem.

Fungsi ekstrem

Untuk menemukan nilai di atas, Anda harus mematuhi aturan berikut:

menentukan kondisi yang diperlukan untuk hubungan ekstrim;
memperhitungkan kondisi kecukupan titik-titik ekstrim pada grafik;
melakukan perhitungan ekstrem akut.

Konsep seperti minimum lemah dan minimum kuat juga digunakan. Ini harus diperhitungkan saat menentukan titik ekstrem dan perhitungan akuratnya. Pada saat yang sama, fungsionalitas akut adalah pencarian dan penciptaan semua kondisi yang diperlukan untuk bekerja dengan grafik suatu fungsi.

Konsep penting dalam matematika adalah fungsi. Dengan bantuannya, Anda dapat membayangkan secara visual banyak proses yang terjadi di alam dan merefleksikan hubungan antara besaran tertentu menggunakan rumus, tabel, dan gambar pada grafik. Contohnya adalah ketergantungan tekanan lapisan zat cair pada suatu benda pada kedalaman pencelupan, percepatan pada aksi gaya tertentu pada suatu benda, peningkatan suhu pada energi yang ditransfer, dan banyak proses lainnya. Mempelajari suatu fungsi melibatkan pembuatan grafik, mencari tahu sifat-sifatnya, domain definisi dan nilai, interval kenaikan dan penurunan. Poin penting dalam proses ini adalah menemukan titik ekstrem. Kami akan berbicara lebih jauh tentang cara melakukan ini dengan benar.

Tentang konsep itu sendiri menggunakan contoh spesifik

Dalam dunia kedokteran, membuat grafik fungsi dapat memberi tahu kita tentang perkembangan suatu penyakit dalam tubuh pasien, yang secara jelas mencerminkan kondisinya. Misalkan sumbu OX mewakili waktu dalam hari, dan sumbu OU mewakili suhu tubuh manusia. Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bagaimana indikator ini naik tajam dan kemudian turun. Juga mudah untuk melihat titik-titik khusus yang mencerminkan momen ketika suatu fungsi, yang sebelumnya meningkat, mulai menurun, dan sebaliknya. Ini adalah titik ekstrim, yaitu nilai kritis (maksimum dan minimum) dalam hal ini suhu pasien, setelah itu terjadi perubahan kondisinya.

Sudut kemiringan

Anda dapat dengan mudah menentukan dari gambar bagaimana turunan suatu fungsi berubah. Jika garis lurus pada grafik naik seiring waktu, maka grafiknya positif. Dan semakin curam, semakin besar nilai turunannya, seiring dengan bertambahnya sudut kemiringan. Selama periode penurunan, nilai ini mengambil nilai negatif, berubah menjadi nol pada titik ekstrem, dan grafik turunan dalam kasus terakhir digambar sejajar dengan sumbu OX.

Proses lainnya harus diperlakukan dengan cara yang sama. Namun cara terbaik untuk mengetahui konsep ini adalah pergerakan berbagai benda, yang ditunjukkan dengan jelas dalam grafik.

Pergerakan

Misalkan sebuah benda bergerak lurus dengan kecepatan yang seragam. Selama periode ini, perubahan koordinat benda secara grafis diwakili oleh kurva tertentu, yang oleh ahli matematika disebut sebagai cabang parabola. Pada saat yang sama, fungsinya terus meningkat, karena indikator koordinat berubah semakin cepat setiap detiknya. Grafik kecepatan menunjukkan perilaku turunan yang nilainya juga meningkat. Artinya pergerakan tersebut tidak memiliki titik kritis.

Hal ini akan terus berlanjut tanpa batas waktu. Namun bagaimana jika tubuh tiba-tiba memutuskan untuk melambat, berhenti, dan mulai bergerak ke arah lain? Dalam hal ini, indikator koordinat akan mulai berkurang. Dan fungsi tersebut akan melewati nilai kritis dan berubah dari naik menjadi turun.

Dengan menggunakan contoh ini, Anda dapat kembali memahami bahwa titik ekstrem pada grafik suatu fungsi muncul pada saat fungsi tersebut tidak lagi monoton.

Arti fisis dari turunan

Apa yang telah dijelaskan sebelumnya dengan jelas menunjukkan bahwa turunan pada dasarnya adalah laju perubahan suatu fungsi. Klarifikasi ini mengandung makna fisiknya. Titik ekstrem merupakan area kritis pada grafik. Mereka dapat diidentifikasi dan dideteksi dengan menghitung nilai turunannya, yang ternyata sama dengan nol.

Ada tanda lain yang merupakan kondisi cukup untuk ekstrem. Turunan pada titik belok tersebut berubah tandanya: dari “+” menjadi “-” pada luas maksimum dan dari “-” menjadi “+” pada luas minimum.

Gerakan di bawah pengaruh gravitasi

Mari kita bayangkan situasi lain. Anak-anak, sambil bermain bola, melemparkannya sedemikian rupa sehingga mulai bergerak membentuk sudut terhadap cakrawala. Pada saat awal, kecepatan benda ini adalah yang tertinggi, tetapi karena pengaruh gravitasi, kecepatannya mulai berkurang, dan setiap detiknya dengan jumlah yang sama, kira-kira sama dengan 9,8 m/s 2 . Inilah nilai percepatan yang terjadi akibat pengaruh gravitasi bumi pada saat jatuh bebas. Di Bulan ukurannya akan sekitar enam kali lebih kecil.

Grafik yang menggambarkan gerak suatu benda adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke bawah. Bagaimana cara menemukan titik ekstrim? Dalam hal ini, ini adalah puncak fungsi, di mana kecepatan benda (bola) bernilai nol. Turunan fungsi tersebut menjadi nol. Dalam hal ini, arah, dan nilai kecepatan, berubah menjadi sebaliknya. Benda itu terbang ke bawah lebih cepat setiap detik, dan berakselerasi dengan jumlah yang sama - 9,8 m/s 2 .

Turunan kedua

Pada kasus sebelumnya, grafik modulus kecepatan digambarkan sebagai garis lurus. Garis ini awalnya mengarah ke bawah, karena nilai nilai ini terus menurun. Setelah mencapai nol pada suatu waktu, indikator nilai ini mulai meningkat, dan arah representasi grafis modul kecepatan berubah secara dramatis. Garisnya sekarang mengarah ke atas.

Kecepatan, yang merupakan turunan koordinat terhadap waktu, juga memiliki titik kritis. Di wilayah ini fungsinya yang semula menurun, mulai meningkat. Ini adalah letak titik ekstrem turunan fungsi. Dalam hal ini sudut kemiringan garis singgung menjadi nol. Dan percepatan, yang merupakan turunan kedua koordinat terhadap waktu, berubah tanda dari “-” menjadi “+”. Dan pergerakan dari lambat seragam menjadi dipercepat seragam.

Grafik percepatan

Sekarang mari kita lihat empat gambar. Masing-masing menampilkan grafik perubahan waktu dalam besaran fisika seperti percepatan. Dalam kasus “A” nilainya tetap positif dan konstan. Artinya kecepatan suatu benda, seperti koordinatnya, terus meningkat. Jika kita membayangkan suatu benda akan bergerak dengan cara ini dalam jangka waktu yang tak terhingga, fungsi yang mencerminkan ketergantungan koordinat terhadap waktu akan terus meningkat. Oleh karena itu, tidak ada area kritis di dalamnya. Juga tidak ada titik ekstrem pada grafik turunannya, yaitu kecepatan yang bervariasi secara linier.

Hal yang sama berlaku untuk kasus “B” dengan percepatan positif dan terus meningkat. Benar, grafik koordinat dan kecepatan di sini akan sedikit lebih rumit.

Ketika percepatan menjadi nol

Melihat gambar "B", seseorang dapat mengamati gambaran yang sangat berbeda yang mencirikan pergerakan suatu benda. Kecepatannya secara grafis akan diwakili oleh parabola dengan cabang mengarah ke bawah. Jika kita meneruskan garis yang menggambarkan perubahan percepatan hingga berpotongan dengan sumbu OX dan selanjutnya, kita dapat membayangkan bahwa sampai nilai kritis ini, dimana percepatan menjadi nol, kecepatan benda akan bertambah semakin lambat. . Titik ekstrem turunan fungsi koordinat akan tepat berada di titik puncak parabola, setelah itu benda akan secara radikal mengubah sifat geraknya dan mulai bergerak ke arah yang berbeda.

Dalam kasus terakhir, “G”, sifat gerakan tidak dapat ditentukan secara akurat. Di sini kita hanya mengetahui bahwa tidak ada percepatan untuk beberapa periode yang dipertimbangkan. Artinya benda dapat tetap di tempatnya atau bergerak dengan kecepatan tetap.

Masalah penjumlahan koordinat

Mari kita beralih ke tugas-tugas yang sering ditemui ketika mempelajari aljabar di sekolah dan ditawarkan untuk persiapan Ujian Negara Bersatu. Gambar di bawah menunjukkan grafik fungsinya. Diperlukan untuk menghitung jumlah titik ekstrem.

Mari kita lakukan ini untuk sumbu ordinat dengan menentukan koordinat area kritis di mana perubahan karakteristik fungsi diamati. Sederhananya, kita akan mencari nilai sepanjang sumbu OX untuk titik belok, dan kemudian melanjutkan dengan menjumlahkan suku-suku yang dihasilkan. Berdasarkan grafik, terlihat jelas bahwa mereka mengambil nilai sebagai berikut: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. Jumlahnya menjadi -21, itulah jawabannya.

Solusi optimal

Tidak perlu dijelaskan betapa pentingnya pilihan solusi optimal dalam melaksanakan tugas-tugas praktis. Lagi pula, ada banyak cara untuk mencapai suatu tujuan, tetapi jalan keluar terbaik, biasanya, hanya satu. Hal ini sangat diperlukan, misalnya ketika merancang kapal, pesawat luar angkasa dan pesawat terbang, serta struktur arsitektur untuk menemukan bentuk optimal dari benda-benda buatan manusia tersebut.

Kecepatan kendaraan sangat bergantung pada minimalisasi hambatan yang mereka alami saat bergerak melalui air dan udara, pada beban berlebih yang timbul akibat pengaruh gaya gravitasi dan banyak indikator lainnya. Sebuah kapal di laut membutuhkan kualitas seperti stabilitas saat badai; untuk kapal sungai, draft minimum itu penting. Saat menghitung desain optimal, titik-titik ekstrem pada grafik secara visual dapat memberikan gambaran tentang solusi terbaik untuk suatu masalah yang kompleks. Masalah-masalah semacam ini sering kali diselesaikan dalam bidang ekonomi, bidang bisnis, dan dalam banyak situasi kehidupan lainnya.

Dari sejarah kuno

Bahkan orang bijak zaman dahulu pun disibukkan dengan masalah-masalah ekstrem. Ilmuwan Yunani berhasil mengungkap misteri luas dan volume melalui perhitungan matematis. Merekalah yang pertama kali memahami bahwa pada suatu bidang yang terdiri dari berbagai bangun datar yang mempunyai keliling yang sama, lingkaran selalu mempunyai luas terbesar. Demikian pula bola diberkahi dengan volume maksimum di antara benda-benda lain di ruang angkasa dengan luas permukaan yang sama. Tokoh terkenal seperti Archimedes, Euclid, Aristoteles, Apollonius mengabdikan dirinya untuk memecahkan masalah tersebut. Heron sangat ahli dalam menemukan titik ekstrem dan, dengan menggunakan perhitungan, membuat perangkat yang cerdik. Ini termasuk mesin yang bergerak dengan uap, pompa dan turbin yang beroperasi dengan prinsip yang sama.

Pembangunan Kartago

Ada sebuah legenda, yang plotnya didasarkan pada pemecahan salah satu masalah ekstrem. Hasil dari pendekatan bisnis yang ditunjukkan oleh putri Fenisia, yang meminta bantuan orang bijak, adalah pembangunan Kartago. Sebidang tanah untuk kota kuno dan terkenal ini diberikan kepada Dido (begitulah nama penguasanya) oleh pemimpin salah satu suku Afrika. Area penjatahan pada awalnya tampak tidak terlalu luas baginya, karena menurut kontrak seharusnya ditutupi dengan kulit sapi. Namun sang putri memerintahkan tentaranya untuk memotongnya menjadi potongan-potongan tipis dan membuat ikat pinggang darinya. Ternyata ukurannya sangat panjang sehingga menutupi area yang bisa ditampung seluruh kota.

Asal usul analisis matematika

Sekarang mari kita beralih dari zaman dahulu ke zaman yang lebih baru. Menariknya, Kepler terdorong untuk memahami dasar-dasar analisis matematis pada abad ke-17 melalui pertemuannya dengan seorang penjual anggur. Pedagang itu sangat berpengetahuan dalam profesinya sehingga dia dapat dengan mudah menentukan volume minuman dalam tong hanya dengan menurunkan tali besi ke dalamnya. Berkaca pada keingintahuannya, ilmuwan terkenal itu berhasil memecahkan dilema ini sendiri. Ternyata para pembuat kapal yang terampil pada masa itu terbiasa membuat bejana sedemikian rupa sehingga, pada ketinggian dan radius keliling cincin pengikat tertentu, mereka memiliki kapasitas maksimum.

Hal ini menjadi alasan Kepler untuk berpikir lebih jauh. Para coopers menemukan solusi optimal melalui pencarian panjang, kesalahan dan upaya baru, mewariskan pengalaman mereka dari generasi ke generasi. Namun Kepler ingin mempercepat prosesnya dan mempelajari cara melakukan hal yang sama dalam waktu singkat melalui perhitungan matematis. Semua perkembangannya, yang diambil oleh rekan-rekannya, diubah menjadi teorema Fermat dan Newton-Leibniz yang sekarang terkenal.

Masalah luas maksimum

Bayangkan kita mempunyai kawat yang panjangnya 50 cm. Bagaimana kita bisa membuat persegi panjang yang luasnya paling besar?

Saat memulai suatu keputusan, Anda harus melanjutkan dari kebenaran sederhana yang diketahui semua orang. Jelas bahwa keliling gambar kita adalah 50 cm. Ini terdiri dari dua kali panjang kedua sisinya. Artinya, dengan menetapkan salah satunya sebagai “X”, yang lain dapat dinyatakan sebagai (25 - X).

Dari sini kita mendapatkan luas yang sama dengan X(25 - X). Ekspresi ini dapat dianggap sebagai fungsi yang mengambil banyak nilai. Memecahkan masalah memerlukan pencarian titik maksimum, yang berarti Anda perlu mencari titik ekstremnya.

Untuk melakukan ini, kita mencari turunan pertama dan menyamakannya dengan nol. Hasilnya persamaan sederhana: 25 - 2X = 0.

Dari situ kita mengetahui bahwa salah satu sisinya adalah X = 12,5.

Jadi, yang lain: 25 - 12,5 = 12,5.

Ternyata penyelesaian soal tersebut adalah persegi dengan panjang sisi 12,5 cm.

Cara mencari kecepatan maksimum

Mari kita lihat contoh lainnya. Bayangkan ada sebuah benda yang gerak liniernya dijelaskan dengan persamaan S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, dimana jarak yang ditempuh dinyatakan dalam meter dan waktu dalam detik. Kita perlu menemukan kecepatan maksimum. Bagaimana cara melakukannya? Diunduh, kami menemukan kecepatannya, yaitu turunan pertama.

Kita mendapatkan persamaannya: V = - 3t 2 + 18t - 24. Sekarang untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mencari titik ekstremnya lagi. Ini harus dilakukan dengan cara yang sama seperti pada tugas sebelumnya. Kita cari turunan pertama kecepatan dan samakan dengan nol.

Kita peroleh: - 6t + 18 = 0. Jadi t = 3 s. Ini adalah saat ketika kecepatan tubuh mencapai nilai kritis. Kami mengganti data yang dihasilkan ke dalam persamaan kecepatan dan mendapatkan: V = 3 m/s.

Namun bagaimana kita dapat memahami bahwa ini adalah kecepatan maksimum, karena titik kritis suatu fungsi dapat berupa nilai terbesar atau terkecilnya? Untuk memeriksanya, Anda perlu mencari turunan kedua dari kecepatan. Dinyatakan dengan angka 6 dengan tanda minus. Artinya titik yang ditemukan adalah maksimum. Dan jika nilainya positif, turunan keduanya akan memiliki nilai minimum. Artinya solusi yang ditemukan ternyata benar.

Masalah-masalah yang diberikan sebagai contoh hanyalah sebagian dari masalah yang dapat diselesaikan jika Anda mengetahui cara mencari titik ekstrem suatu fungsi. Faktanya, masih banyak lagi. Dan pengetahuan semacam itu membuka kemungkinan tak terbatas bagi peradaban manusia.