Cara mencari nilai terbesar. Fungsi ekstrem

Mari kita lihat cara memeriksa suatu fungsi menggunakan grafik. Ternyata dengan melihat grafik tersebut kita bisa mengetahui semua hal yang menarik perhatian kita, yaitu:

domain suatu fungsi
rentang fungsi
fungsi nol
interval kenaikan dan penurunan
poin maksimum dan minimum
nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen.

Mari kita perjelas terminologinya:

Absis adalah koordinat horizontal suatu titik.
Ordinat- koordinat vertikal.
Sumbu absis- sumbu horizontal, paling sering disebut sumbu.
sumbu Y- sumbu vertikal, atau sumbu.

Argumen- variabel independen yang menjadi sandaran nilai fungsi. Paling sering ditunjukkan.
Dengan kata lain, kita memilih , mengganti fungsi ke dalam rumus dan mendapatkan .

Domain fungsi - himpunan nilai argumen (dan hanya itu) yang fungsinya ada.
Ditunjukkan oleh: atau .

Pada gambar kita, domain definisi fungsi adalah segmen. Di segmen inilah grafik fungsi digambar. Ini adalah satu-satunya tempat di mana fungsi ini ada.

Rentang Fungsi adalah himpunan nilai yang diambil suatu variabel. Dalam gambar kami, ini adalah segmen - dari nilai terendah hingga tertinggi.

Fungsi nol- titik di mana nilai fungsinya nol, yaitu. Dalam gambar kami ini adalah poin dan .

Nilai fungsinya positif Di mana . Pada gambar kita, ini adalah interval dan .
Nilai fungsi negatif Di mana . Bagi kami ini adalah interval (atau interval) dari ke .

Konsep yang paling penting - fungsi naik dan turun pada beberapa set. Sebagai himpunan, Anda dapat mengambil segmen, interval, gabungan interval, atau seluruh garis bilangan.

Fungsi meningkat

Dengan kata lain, semakin , semakin , artinya grafiknya bergerak ke kanan dan ke atas.

Fungsi berkurang pada suatu himpunan jika untuk sembarang dan termasuk dalam himpunan tersebut, maka pertidaksamaan tersebut berarti pertidaksamaan .

Untuk fungsi menurun, nilai yang lebih besar berarti nilai yang lebih kecil. Grafiknya mengarah ke kanan dan ke bawah.

Pada gambar kita, fungsi bertambah pada interval dan berkurang pada interval dan .

Mari kita definisikan apa itu titik maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.

Poin maksimal- ini adalah titik internal dari domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih besar daripada di semua titik yang cukup dekat dengannya.
Dengan kata lain, titik maksimum adalah titik dimana nilai fungsi tersebut berada lagi daripada di negara tetangga. Ini adalah “bukit” lokal pada grafik.

Pada gambar kita ada titik maksimal.

Poin minimal- titik dalam domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih kecil daripada di semua titik yang cukup dekat dengannya.
Artinya, titik minimumnya sedemikian rupa sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih kecil daripada di tetangganya. Ini adalah “lubang” lokal pada grafik.

Ada titik minimum dalam gambar kami.

Intinya adalah batasnya. Ini bukan merupakan titik internal dari domain definisi dan oleh karena itu tidak sesuai dengan definisi titik maksimum. Lagi pula, dia tidak punya tetangga di sebelah kiri. Dengan cara yang sama, pada grafik kita tidak boleh ada titik minimum.

Poin maksimum dan minimum bersama-sama disebut titik ekstrem dari fungsi tersebut. Dalam kasus kami ini adalah dan .

Apa yang harus dilakukan jika Anda perlu mencari, misalnya, fungsi minimal di segmen tersebut? Dalam hal ini jawabannya adalah: . Karena fungsi minimal adalah nilainya pada titik minimum.

Demikian pula, fungsi maksimum kita adalah . Hal ini tercapai pada titik .

Kita dapat mengatakan bahwa ekstrem dari fungsi tersebut sama dengan dan .

Terkadang masalah memerlukan penemuan nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada segmen tertentu. Hal-hal tersebut belum tentu sejalan dengan hal-hal ekstrem.

Dalam kasus kami nilai fungsi terkecil pada segmen tersebut sama dengan dan berimpit dengan fungsi minimum. Namun nilai terbesarnya pada segmen ini adalah . Itu dicapai di ujung kiri segmen.

Bagaimanapun, nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada suatu segmen dicapai baik pada titik ekstrem atau di ujung segmen.

Dalam praktiknya, turunan sering digunakan untuk menghitung nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi. Kami melakukan tindakan ini ketika kami mengetahui cara meminimalkan biaya, meningkatkan keuntungan, menghitung beban produksi yang optimal, dll., yaitu, jika kami perlu menentukan nilai optimal dari suatu parameter. Untuk menyelesaikan soal seperti itu dengan benar, Anda perlu memiliki pemahaman yang baik tentang nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.

Biasanya kita mendefinisikan nilai-nilai ini dalam interval tertentu x, yang pada gilirannya mungkin sesuai dengan seluruh domain fungsi atau bagiannya. Itu bisa seperti segmen [a; b ] , dan interval terbuka (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), interval tak hingga (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) atau interval tak hingga - ∞ ; sebuah , (- ∞ ; sebuah ] , [ sebuah ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Pada materi kali ini kami akan memberi tahu Anda cara menghitung nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang didefinisikan secara eksplisit dengan satu variabel y=f(x) y = f (x) .

Definisi dasar

Mari kita mulai, seperti biasa, dengan perumusan definisi dasar.

Definisi 1

Nilai terbesar dari fungsi y = f (x) pada interval tertentu x adalah nilai m a x y = f (x 0) x ∈ X, yang mana untuk nilai berapapun x x ∈ X, x ≠ x 0 membuat pertidaksamaan f (x) ≤ f(x) sah 0) .

Definisi 2

Nilai terkecil dari fungsi y = f (x) pada interval tertentu x adalah nilai m i n x ∈ X y = f (x 0) , yang untuk nilai berapa pun x ∈ X, x ≠ x 0 membuat pertidaksamaan f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Definisi-definisi ini cukup jelas. Lebih sederhananya lagi, kita dapat mengatakan ini: nilai terbesar suatu fungsi adalah nilai terbesarnya pada interval yang diketahui pada absis x 0, dan nilai terkecil adalah nilai terkecil yang diterima pada interval yang sama pada x 0.

Definisi 3

Titik stasioner adalah nilai argumen suatu fungsi yang turunannya menjadi 0.

Mengapa kita perlu mengetahui apa itu titik stasioner? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu mengingat teorema Fermat. Oleh karena itu, titik stasioner adalah titik di mana titik ekstrem dari fungsi terdiferensiasi berada (yaitu, minimum atau maksimum lokalnya). Oleh karena itu, fungsi tersebut akan mengambil nilai terkecil atau terbesar pada interval tertentu tepatnya di salah satu titik stasioner.

Suatu fungsi juga dapat mengambil nilai terbesar atau terkecil pada titik-titik di mana fungsi itu sendiri terdefinisi dan turunan pertamanya tidak ada.

Pertanyaan pertama yang muncul ketika mempelajari topik ini: dalam semua kasus, dapatkah kita menentukan nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi pada interval tertentu? Tidak, kita tidak dapat melakukan ini jika batas suatu interval tertentu bertepatan dengan batas area definisi, atau jika kita berhadapan dengan interval tak terhingga. Hal ini juga terjadi bahwa suatu fungsi pada segmen tertentu atau pada tak terhingga akan mengambil nilai yang sangat kecil atau besar yang tak terhingga. Dalam kasus ini, tidak mungkin menentukan nilai terbesar dan/atau terkecil.

Poin-poin ini akan menjadi lebih jelas setelah digambarkan dalam grafik:

Gambar pertama menunjukkan kepada kita suatu fungsi yang mengambil nilai terbesar dan terkecil (m a x y dan m i n y) pada titik-titik stasioner yang terletak pada segmen [ - 6 ; 6].

Mari kita periksa secara rinci kasus yang ditunjukkan pada grafik kedua. Mari kita ubah nilai segmen menjadi [ 1 ; 6 ] dan kami menemukan bahwa nilai maksimum fungsi akan dicapai pada titik dengan absis di batas kanan interval, dan nilai minimum - pada titik stasioner.

Pada gambar ketiga, absis titik-titik tersebut mewakili titik-titik batas ruas [ - 3 ; 2]. Mereka sesuai dengan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi tertentu.

Sekarang mari kita lihat gambar keempat. Di dalamnya, fungsi tersebut mengambil m a x y (nilai terbesar) dan m i n y (nilai terkecil) pada titik stasioner pada interval terbuka (- 6 ; 6).

Jika kita mengambil interval [ 1 ; 6), maka kita dapat mengatakan bahwa nilai terkecil dari fungsi tersebut akan dicapai pada titik stasioner. Nilai terbesarnya tidak kita ketahui. Fungsi tersebut dapat mengambil nilai maksimumnya pada x sama dengan 6 jika x = 6 termasuk dalam interval. Hal ini persis seperti yang ditunjukkan pada grafik 5.

Pada grafik 6, fungsi ini memperoleh nilai terkecilnya pada batas kanan interval (- 3; 2 ], dan kita tidak dapat menarik kesimpulan pasti tentang nilai terbesarnya.

Pada Gambar 7 kita melihat bahwa fungsi tersebut akan memiliki m a x y pada titik stasioner yang absisnya sama dengan 1. Fungsi tersebut akan mencapai nilai minimumnya pada batas interval sebelah kanan. Pada minus tak terhingga, nilai fungsi akan mendekati y = 3 secara asimtotik.

Jika kita mengambil intervalnya x ∈ 2 ; + ∞ , maka kita akan melihat bahwa fungsi yang diberikan tidak akan mengambil nilai terkecil maupun terbesar. Jika x cenderung 2, maka nilai fungsinya cenderung minus tak terhingga, karena garis lurus x = 2 merupakan asimtot vertikal. Jika absisnya cenderung ditambah tak terhingga, maka nilai fungsinya akan mendekati y = 3 secara asimtotik. Hal ini persis seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.

Pada paragraf ini kami akan menyajikan urutan tindakan yang perlu dilakukan untuk mencari nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi pada segmen tertentu.

Pertama, mari kita cari domain definisi fungsinya. Mari kita periksa apakah segmen yang ditentukan dalam kondisi termasuk di dalamnya.
Sekarang mari kita hitung titik-titik yang terdapat pada segmen ini yang tidak memiliki turunan pertamanya. Paling sering mereka dapat ditemukan dalam fungsi yang argumennya ditulis di bawah tanda modulus, atau dalam fungsi pangkat yang eksponennya berupa bilangan rasional pecahan.
Selanjutnya, kita akan mengetahui titik stasioner mana yang akan berada pada segmen tertentu. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung turunan dari fungsi tersebut, lalu menyamakannya dengan 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, lalu memilih akar yang sesuai. Jika kita tidak mendapatkan satu titik stasioner pun atau titik tersebut tidak termasuk dalam segmen tertentu, maka kita lanjutkan ke langkah berikutnya.
Kita menentukan nilai apa yang akan diambil fungsi tersebut pada titik stasioner tertentu (jika ada), atau pada titik di mana turunan pertamanya tidak ada (jika ada), atau kita menghitung nilai x = a dan x = b.
5. Kita mempunyai sejumlah nilai fungsi, yang sekarang kita perlu memilih yang terbesar dan terkecil. Ini akan menjadi nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang perlu kita cari.

Mari kita lihat cara menerapkan algoritma ini dengan benar saat memecahkan masalah.

Contoh 1

Kondisi: fungsi y = x 3 + 4 x 2 diberikan. Tentukan nilai terbesar dan terkecilnya pada ruas [ 1 ; 4 ] dan [ - 4 ; - 1 ] .

Larutan:

Mari kita mulai dengan mencari domain definisi suatu fungsi tertentu. Dalam hal ini, ini akan menjadi himpunan semua bilangan real kecuali 0. Dengan kata lain, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Kedua segmen yang ditentukan dalam kondisi akan berada di dalam area definisi.

Sekarang kita menghitung turunan fungsi menurut aturan diferensiasi pecahan:

y" = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Kita belajar bahwa turunan suatu fungsi akan ada di semua titik pada segmen [ 1 ; 4 ] dan [ - 4 ; - 1 ] .

Sekarang kita perlu menentukan titik stasioner dari fungsi tersebut. Mari kita lakukan ini menggunakan persamaan x 3 - 8 x 3 = 0. Ia hanya mempunyai satu akar real yaitu 2. Ini akan menjadi titik stasioner dari fungsi tersebut dan akan jatuh ke dalam segmen pertama [1; 4 ] .

Mari kita hitung nilai fungsi di ujung segmen pertama dan pada titik ini, yaitu. untuk x = 1, x = 2 dan x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Kami menemukan bahwa nilai terbesar dari fungsi m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 akan tercapai pada x = 1, dan m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pada x = 2.

Segmen kedua tidak mencakup satu titik stasioner, jadi kita perlu menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen tertentu:

kamu (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Artinya m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = kamu (- 4) = - 3 3 4 .

Menjawab: Untuk segmen [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m saya n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , untuk ruas [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = kamu (- 4) = - 3 3 4 .

Lihat gambar:

Sebelum mempelajari metode ini, kami menyarankan Anda untuk meninjau cara menghitung dengan benar batas satu sisi dan batas tak terhingga, serta mempelajari metode dasar untuk menemukannya. Untuk mencari nilai terbesar dan/atau terkecil suatu fungsi pada interval terbuka atau tak hingga, lakukan langkah-langkah berikut secara berurutan.

Pertama, Anda perlu memeriksa apakah interval yang diberikan merupakan bagian dari domain definisi fungsi ini.
Mari kita tentukan semua titik yang terdapat dalam interval yang diperlukan dan di mana turunan pertamanya tidak ada. Biasanya terjadi pada fungsi yang argumennya diapit tanda modulus, dan pada fungsi pangkat dengan eksponen rasional pecahan. Jika poin-poin tersebut hilang, maka Anda dapat melanjutkan ke langkah berikutnya.
Sekarang mari kita tentukan titik stasioner mana yang berada dalam interval tertentu. Pertama, kita menyamakan turunannya dengan 0, menyelesaikan persamaannya dan memilih akar-akar yang sesuai. Jika kita tidak memiliki satu titik stasioner atau tidak berada dalam interval yang ditentukan, maka kita segera melanjutkan ke tindakan lebih lanjut. Mereka ditentukan oleh jenis interval.

Jika intervalnya berbentuk [ a ; b) , maka kita perlu menghitung nilai fungsi di titik x = a dan limit satu sisi lim x → b - 0 f (x) .
Jika intervalnya berbentuk (a; b ], maka kita perlu menghitung nilai fungsi di titik x = b dan limit satu sisi lim x → a + 0 f (x).
Jika intervalnya berbentuk (a; b), maka kita perlu menghitung limit satu sisi lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Jika intervalnya berbentuk [ a ; + ∞), maka kita perlu menghitung nilai di titik x = a dan limit di plus tak terhingga lim x → + ∞ f (x) .
Jika intervalnya terlihat seperti (- ∞ ; b ] , kita menghitung nilai di titik x = b dan limit di minus tak terhingga lim x → - ∞ f (x) .
Jika - ∞ ; b , maka kita perhatikan limit satu sisi lim x → b - 0 f (x) dan limit di minus tak terhingga lim x → - ∞ f (x)
Jika - ∞; + ∞ , lalu kita perhatikan limit minus dan plus tak terhingga lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Pada akhirnya, Anda perlu menarik kesimpulan berdasarkan nilai dan limit fungsi yang diperoleh. Ada banyak pilihan yang tersedia di sini. Jadi, jika limit satu sisi sama dengan minus tak terhingga atau plus tak terhingga, maka jelaslah bahwa tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terkecil dan terbesar dari fungsi tersebut. Di bawah ini kita akan melihat satu contoh tipikal. Deskripsi mendetail akan membantu Anda memahami apa itu. Jika perlu, Anda dapat kembali ke Gambar 4 - 8 pada materi bagian pertama.

Contoh 2

Kondisi: fungsi yang diberikan y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Hitung nilai terbesar dan terkecilnya dalam interval - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Larutan

Pertama-tama, kita mencari domain definisi fungsi. Penyebut pecahan mengandung trinomial kuadrat, yang tidak boleh berubah menjadi 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Kami telah memperoleh domain definisi fungsi yang mencakup semua interval yang ditentukan dalam kondisi.

Sekarang mari kita bedakan fungsinya dan dapatkan:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1" · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Akibatnya, turunan suatu fungsi ada di seluruh domain definisinya.

Mari kita lanjutkan mencari titik stasioner. Turunan fungsinya menjadi 0 di x = - 1 2 . Ini adalah titik stasioner yang terletak pada interval (- 3 ; 1 ] dan (- 3 ; 2) .

Mari kita hitung nilai fungsi di x = - 4 untuk interval (- ∞ ; - 4 ], serta limitnya di minus tak terhingga:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Karena 3 e 1 6 - 4 > - 1, berarti m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Hal ini tidak memungkinkan kita menentukan secara unik nilai terkecil dari fungsi. Kita hanya dapat menyimpulkan bahwa terdapat batasan di bawah - 1, karena pada nilai inilah fungsi tersebut mendekati secara asimtotik pada minus tak terhingga.

Keunikan interval kedua adalah tidak ada satu pun titik stasioner dan tidak ada satu pun batas tegas di dalamnya. Akibatnya, kita tidak akan bisa menghitung nilai terbesar atau terkecil dari fungsi tersebut. Setelah mendefinisikan limit pada minus tak terhingga dan argumennya cenderung - 3 di sisi kiri, kita hanya mendapatkan interval nilai:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Artinya nilai fungsi akan ditempatkan pada interval - 1; +∞

Untuk mencari nilai terbesar suatu fungsi pada interval ketiga, kita tentukan nilainya di titik stasioner x = - 1 2 jika x = 1. Kita juga perlu mengetahui limit satu sisi untuk kasus ketika argumennya cenderung - 3 di sisi kanan:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 tahun (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Ternyata fungsi tersebut akan mengambil nilai terbesar pada titik stasioner m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Sedangkan untuk nilai terkecilnya, kita tidak bisa menentukannya. Semua yang kita tahu , adalah adanya batas bawah ke -4 .

Untuk interval (- 3 ; 2), ambil hasil perhitungan sebelumnya dan hitung kembali berapa besar limit satu sisi jika dicondongkan ke 2 pada ruas kiri:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Artinya m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, dan nilai terkecil tidak dapat ditentukan, dan nilai fungsi dibatasi dari bawah oleh angka - 4 .

Berdasarkan apa yang kita peroleh pada dua perhitungan sebelumnya, kita dapat mengatakan bahwa pada interval [ 1 ; 2) fungsi tersebut akan mengambil nilai terbesar pada x = 1, tetapi tidak mungkin menemukan nilai terkecil.

Pada interval (2 ; + ∞) fungsi tidak akan mencapai nilai terbesar atau terkecil, yaitu itu akan mengambil nilai dari interval - 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Setelah menghitung berapa nilai fungsinya pada x = 4, kita mengetahui bahwa m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , dan fungsi yang diberikan pada plus tak terhingga akan mendekati garis lurus y = - 1 secara asimtotik.

Mari kita bandingkan apa yang kita peroleh dalam setiap perhitungan dengan grafik fungsi yang diberikan. Pada gambar, asimtot ditunjukkan dengan garis putus-putus.

Itu saja yang ingin kami sampaikan kepada Anda tentang mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi. Urutan tindakan yang kami berikan akan membantu Anda membuat perhitungan yang diperlukan secepat dan sesederhana mungkin. Namun perlu diingat bahwa sering kali berguna untuk mengetahui terlebih dahulu pada interval mana fungsi tersebut akan menurun dan pada interval mana fungsi tersebut akan meningkat, setelah itu Anda dapat menarik kesimpulan lebih lanjut. Dengan cara ini Anda dapat lebih akurat menentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut dan membenarkan hasil yang diperoleh.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi kontinu pada suatu segmen:

1) Temukan semua titik kritis dari fungsi yang termasuk dalam segmen tersebut ;

2) Hitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut dan pada ujung-ujung segmen;

3) Dari nilai yang diperoleh, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh 8.1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi
pada segmen tersebut
.

Larutan. 1) Temukan titik kritis dari fungsi tersebut.

,




.

Di segmen tersebut
penyebutnya tidak hilang. Oleh karena itu, suatu pecahan sama dengan nol jika dan hanya jika pembilangnya sama dengan nol:




.

Cara,
– titik kritis dari fungsi tersebut. Itu milik segmen ini.

Mari kita cari nilai fungsi pada titik kritis:

2) Temukan nilai fungsi di ujung segmen:

, .

3) Dari nilai yang diperoleh, pilih yang terbesar dan terkecil:

,
.

9. Masalah mencari nilai besaran terbesar dan terkecil

Saat menyelesaikan soal yang melibatkan penghitungan nilai besaran terkecil dan terbesar, Anda harus terlebih dahulu menentukan besaran mana dalam soal yang perlu dicari nilai terkecil atau terbesarnya. Nilai ini akan menjadi fungsi yang diteliti. Maka salah satu besaran yang perubahannya bergantung pada penerapan fungsi tersebut harus diambil sebagai variabel bebas dan fungsi dinyatakan melaluinya. Dalam hal ini, perlu untuk memilih sebagai variabel independen nilai yang melaluinya fungsi yang diteliti dapat diekspresikan dengan paling sederhana. Setelah ini, masalah menemukan nilai terkecil dan terbesar dari fungsi yang dihasilkan dalam interval perubahan tertentu dalam variabel independen diselesaikan, yang biasanya ditentukan dari inti permasalahan.

Contoh 9.1. Temukan tinggi kerucut dengan volume terbesar yang dapat dimasukkan ke dalam bola berjari-jari .

R keputusan. Menentukan jari-jari alas, tinggi, dan volume kerucut ,Dan , Mari menulis
. Kesetaraan ini menyatakan ketergantungan pada dua variabel Dan ; mari kita kecualikan salah satu dari besaran ini, yaitu . Untuk melakukan ini, dari segitiga siku-siku
kita peroleh (menggunakan teorema tentang kuadrat tegak lurus yang dijatuhkan dari titik sudut siku-siku ke sisi miring):

Gambar 6 – Ilustrasi misalnya 9.1.

atau
.

Mengganti nilainya ke dalam rumus volume kerucut, kita peroleh:

Kami melihat volumenya kerucut tertulis dalam bola berjari-jari , ada fungsi dari tinggi kerucut ini . Menemukan ketinggian di mana kerucut bertulisan memiliki volume yang besar berarti menemukannya , di mana fungsinya memiliki maksimum. Kami mencari fungsi maksimal:

1)
,

2)
,
,
, Di mana
atau
,

3)
.

Menggantikannya pertama
, kemudian
, kita mendapatkan:

Dalam kasus pertama kita memiliki minimum (
pada
), di detik maksimum yang diinginkan (sejak
pada
).

Oleh karena itu, kapan
kerucut tertulis dalam bola berjari-jari , mempunyai volume terbesar.

P Contoh 9.2. Diperlukan pagar dengan wire mesh yang panjang 60 M area berbentuk persegi panjang yang berdekatan dengan dinding rumah (Gbr. 7). Berapa panjang dan lebar petak tersebut agar mempunyai luas terluas?

Larutan. Biarkan lebar plot M, dan daerah tersebut M 2 , Kemudian:

Gambar 7 – Ilustrasi misalnya 9.2.

Nilai-nilai Dan tidak boleh negatif, jadi penggandanya
, A
.

Persegi ada fungsi , kami menentukan interval kenaikan dan penurunannya:

.
, dan fungsinya meningkat ketika
;
, dan fungsinya berkurang ketika
. Oleh karena itu, intinya
adalah titik maksimum. Karena ini adalah satu-satunya titik yang termasuk dalam interval tersebut
, lalu pada intinya
fungsi paling penting.

Oleh karena itu, luas petak paling besar (maksimum) jika lebarnya
M, dan panjangnya M.

Contoh 9.3. Berapakah ukuran ruangan berbentuk persegi panjang yang luasnya 36 m 2 sehingga kelilingnya terkecil?

Larutan. Biarlah panjangnya M, lalu lebar persegi panjang tersebut M, dan kelilingnya:

Perimeter ada fungsi panjang , didefinisikan untuk semua nilai positif :
.

Mari kita tentukan interval kenaikan dan penurunannya:

Tanda turunan ditentukan oleh tanda selisihnya
. Untuk sementara

, dan di antaranya

.

Oleh karena itu, intinya
adalah titik minimum. Karena ini adalah satu-satunya titik yang termasuk dalam interval:
, lalu pada intinya
fungsi mempunyai nilai terkecil.

Oleh karena itu, keliling suatu persegi panjang mempunyai nilai terkecil (minimum) jika panjangnya 6 M dan lebar m = 6 m, yaitu jika berbentuk persegi.

$\blacktriangleright$ Untuk mencari nilai terbesar/terkecil suatu fungsi pada segmen  , perlu digambarkan secara skematis grafik fungsi pada segmen tersebut.
Dalam soal dari subtopik ini, hal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan turunan: carilah interval kenaikan ($f">0$ ) dan penurunan ($f"<0$ ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

$\blacktriangleright$ Jangan lupa bahwa fungsi tersebut dapat mengambil nilai terbesar/terkecil tidak hanya pada titik dalam segmen , namun juga pada ujungnya.

$\blacktriangleright$ Nilai fungsi terbesar/terkecil adalah nilai koordinat $y=f(x)$ .

$\blacktriangleright$ Turunan dari fungsi kompleks $f(t(x))$ ditemukan berdasarkan aturan: \[(\Besar(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Fungsi ) f(x) & \text(Derivatif ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ teksbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Fungsi ) f(x) & \text(Derivatif ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(array)\]

Tugas 1 #2357

Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu

Temukan nilai terkecil dari fungsi $y = e^(x^2 - 4)$ pada segmen $[-10; -2]$ .

ODZ: $x$ – sewenang-wenang.

1) \

\ Jadi, $y" = 0$ untuk $x = 0$ .

3) Carilah interval tanda konstan $y"$ pada segmen yang ditinjau $[-10; -2]$ :

4) Sketsa grafik pada segmen $[-10; -2]$ :

Jadi, fungsi tersebut mencapai nilai terkecilnya pada $[-10; -2]$ pada $x = -2$ .

\ Total: $1$ – nilai terkecil dari fungsi $y$ pada $[-10; -2]$ .

Jawaban 1

Tugas 2 #2355

Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu

$y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)$ pada segmen $[-1; 1]$ .

ODZ: $x$ – sewenang-wenang.

1) \

Mari kita cari titik kritis (yaitu, titik dalam domain definisi fungsi yang turunannya sama dengan $0$ atau tidak ada): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Turunannya ada untuk semua $x$ .

2) Temukan interval tanda konstan $y"$ :

3) Carilah interval tanda konstan $y"$ pada segmen yang ditinjau $[-1; 1]$ :

4) Sketsa grafik pada segmen $[-1; 1]$ :

Jadi, fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya pada $[-1; 1]$ pada $x = -1$ atau pada $x = 1$ . Mari kita bandingkan nilai fungsi pada titik-titik ini.

\ Total: $2$ – nilai terbesar dari fungsi $y$ pada $[-1; 1]$ .

Jawaban: 2

Tugas 3 #2356

Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu

Tentukan nilai terkecil dari fungsi $y = \cos 2x$ pada ruas  .

ODZ: $x$ – sewenang-wenang.

1) \

Mari kita cari titik kritis (yaitu, titik dalam domain definisi fungsi yang turunannya sama dengan $0$ atau tidak ada): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Turunannya ada untuk semua $x$ .

2) Temukan interval tanda konstan $y"$ :

(di sini ada interval yang tak terhingga banyaknya di mana tanda-tanda turunannya bergantian).

3) Mari kita cari interval tanda konstan $y"$ pada segmen yang ditinjau :

4) Sketsa grafik pada segmen  :

Jadi, fungsi tersebut mencapai nilai terkecilnya pada  di $x = \dfrac(\pi)(2)$ .

\ Total: $-1$ – nilai terkecil dari fungsi $y$ pada  .

Jawaban 1

Tugas 4 #915

Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu

Temukan nilai terbesar dari fungsi tersebut

$y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)$.

ODZ: $2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0$ . Mari kita putuskan ODZ:

1) Mari kita nyatakan $2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)$ , lalu $y(t)=-\log_(17)t$ .

Mari kita cari titik kritis (yaitu, titik dalam domain definisi fungsi yang turunannya sama dengan $0$ atau tidak ada): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– di ODZ, dari mana kita menemukan akar $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ . Turunan dari fungsi $y$ tidak ada ketika $2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0$ , tetapi persamaan ini mempunyai diskriminan negatif sehingga tidak mempunyai penyelesaian. Untuk menemukan nilai terbesar/terkecil suatu fungsi, Anda perlu memahami tampilan grafiknya secara skematis.

2) Temukan interval tanda konstan $y"$ :

3) Sketsa grafik:

Jadi, fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya pada $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ :

$y\kiri(\dfrac(\sqrt(2))(2)\kanan) = -\log_(17)1 = 0$,

Total: $0$ – nilai terbesar dari fungsi $y$ .

Jawaban: 0

Tugas 5 #2344

Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu

Temukan nilai terkecil dari fungsi tersebut

$y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)$.

ODZ: $x^2 + 8x + 19 > 0$ . Mari kita putuskan ODZ:

1) Mari kita nyatakan $x^2 + 8x + 19=t(x)$ , lalu $y(t)=\log_(3)t$ .

Mari kita cari titik kritis (yaitu, titik dalam domain definisi fungsi yang turunannya sama dengan $0$ atau tidak ada): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– di ODZ, dari mana kita menemukan akarnya $x = -4$ . Turunan fungsi $y$ tidak ada jika $x^2 + 8x + 19 = 0$, tetapi persamaan ini mempunyai diskriminan negatif sehingga tidak mempunyai solusi. Untuk menemukan nilai terbesar/terkecil suatu fungsi, Anda perlu memahami tampilan grafiknya secara skematis.

2) Temukan interval tanda konstan $y"$ :

3) Sketsa grafik:

Jadi, $x = -4$ adalah titik minimum dari fungsi $y$ dan nilai terkecil dicapai pada titik tersebut:

$y(-4) = \log_(3)3 = 1$ .

Total: $1$ – nilai terkecil dari fungsi $y$ .

Jawaban 1

Tugas 6 #917

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada Ujian Negara Bersatu

Temukan nilai terbesar dari fungsi tersebut

$y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))$.

Biarkan fungsi $z=f(x,y)$ terdefinisi dan kontinu di beberapa domain tertutup berbatas $D$. Biarkan fungsi tertentu di wilayah ini memiliki turunan parsial berhingga orde pertama (kecuali, mungkin, untuk sejumlah titik berhingga). Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi dua variabel pada suatu daerah tertutup tertentu, diperlukan tiga langkah algoritma sederhana.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=f(x,y)$ dalam domain tertutup $D$.

Temukan titik kritis dari fungsi $z=f(x,y)$ milik domain $D$. Hitung nilai fungsi pada titik kritis.
Selidiki perilaku fungsi $z=f(x,y)$ pada batas wilayah $D$, temukan titik-titik dari kemungkinan nilai maksimum dan minimum. Hitung nilai fungsi pada titik-titik yang diperoleh.
Dari nilai fungsi yang diperoleh pada dua paragraf sebelumnya, pilih yang terbesar dan terkecil.

Apa saja poin kritisnya? tunjukan Sembunyikan

Di bawah poin kritis menyiratkan titik-titik di mana kedua turunan parsial orde pertama sama dengan nol (yaitu $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ dan $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) atau setidaknya satu turunan parsial tidak ada.

Seringkali titik-titik di mana turunan parsial orde pertama sama dengan nol disebut titik stasioner. Jadi, titik stasioner adalah bagian dari titik kritis.

Contoh No.1

Carilah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=x^2+2xy-y^2-4x$ pada daerah tertutup yang dibatasi oleh garis $x=3$, $y=0$ dan $y=x +1$.

Kita akan mengikuti cara di atas, tetapi pertama-tama kita akan menggambar suatu luas tertentu, yang akan kita tandai dengan huruf $D$. Kita diberikan persamaan tiga garis lurus yang membatasi luas tersebut. Garis lurus $x=3$ melalui titik $(3;0)$ sejajar sumbu ordinat (sumbu Oy). Garis lurus $y=0$ merupakan persamaan sumbu absis (sumbu Sapi). Nah, untuk membuat garis $y=x+1$, kita akan mencari dua titik yang melaluinya kita akan menggambar garis tersebut. Anda tentu saja dapat mengganti beberapa nilai arbitrer alih-alih $x$. Misalnya, mengganti $x=10$, kita mendapatkan: $y=x+1=10+1=11$. Kita telah menemukan titik $(10;11)$ terletak pada garis $y=x+1$. Namun, lebih baik mencari titik di mana garis lurus $y=x+1$ memotong garis $x=3$ dan $y=0$. Mengapa ini lebih baik? Karena kita akan membunuh beberapa burung dengan satu batu: kita akan mendapatkan dua titik untuk membuat garis lurus $y=x+1$ dan sekaligus mencari tahu di titik mana garis lurus tersebut memotong garis lain yang membatasi luas tertentu. Garis $y=x+1$ memotong garis $x=3$ di titik $(3;4)$, dan garis $y=0$ berpotongan di titik $(-1;0)$. Agar tidak mengacaukan kemajuan solusi dengan penjelasan tambahan, saya akan mengajukan pertanyaan untuk mendapatkan dua poin ini dalam sebuah catatan.

Bagaimana poin $(3;4)$ dan $(-1;0)$ diperoleh? tunjukan Sembunyikan

Mari kita mulai dari titik potong garis $y=x+1$ dan $x=3$. Koordinat titik yang diinginkan termasuk dalam garis lurus pertama dan kedua, oleh karena itu, untuk mencari koordinat yang tidak diketahui, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \kiri \( \begin(rata) & y=x+1;\\ & x=3. \end(rata) \kanan. $$

Solusi untuk sistem seperti ini sangatlah mudah: dengan mensubstitusikan $x=3$ ke dalam persamaan pertama kita akan mendapatkan: $y=3+1=4$. Titik $(3;4)$ adalah titik potong yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $x=3$.

Sekarang mari kita cari titik potong garis $y=x+1$ dan $y=0$. Mari kita kembali menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \kiri \( \begin(rata) & y=x+1;\\ & y=0. \end(rata) \kanan. $$

Mengganti $y=0$ ke persamaan pertama, kita mendapatkan: $0=x+1$, $x=-1$. Titik $(-1;0)$ adalah titik potong yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $y=0$ (sumbu x).

Semuanya siap untuk membuat gambar yang akan terlihat seperti ini:

Pertanyaan tentang catatan itu tampak jelas, karena semuanya terlihat dari gambar. Namun perlu diingat bahwa gambar tidak bisa dijadikan bukti. Gambar ini hanya untuk tujuan ilustrasi.

Daerah kami ditentukan menggunakan persamaan garis yang membatasinya. Jelas sekali, garis-garis ini mendefinisikan sebuah segitiga, bukan? Atau tidak sepenuhnya jelas? Atau mungkin kita diberi luas berbeda, dibatasi oleh garis yang sama:

Tentu saja kondisinya mengatakan area tersebut tertutup sehingga gambar yang ditampilkan tidak tepat. Namun untuk menghindari ambiguitas seperti itu, lebih baik mendefinisikan wilayah berdasarkan kesenjangan. Apakah kita tertarik pada bagian bidang yang terletak di bawah garis lurus $y=x+1$? Oke, jadi $y ≤ x+1$. Haruskah area kita terletak di atas garis $y=0$? Bagus, itu berarti $y ≥ 0$. Omong-omong, dua pertidaksamaan terakhir dapat dengan mudah digabungkan menjadi satu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \kiri \( \begin(rata) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(rata) \kanan. $$

Ketimpangan ini mendefinisikan wilayah $D$, dan mendefinisikannya secara jelas, tanpa menimbulkan ambiguitas. Namun bagaimana hal ini membantu kita menjawab pertanyaan yang disebutkan di awal catatan ini? Ini juga akan membantu :) Kita perlu memeriksa apakah titik $M_1(1;1)$ termasuk dalam area $D$. Mari kita substitusikan $x=1$ dan $y=1$ ke dalam sistem ketidaksetaraan yang mendefinisikan wilayah ini. Jika kedua pertidaksamaan tersebut terpenuhi, maka titik tersebut terletak di dalam daerah tersebut. Jika paling sedikit salah satu pertidaksamaan tersebut tidak terpenuhi, maka titik tersebut bukan milik daerah. Jadi:

$$ \kiri \( \begin(rata) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(rata) \kanan. \;\; \kiri \( \begin(rata) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(rata) \kanan $$.

Kedua ketidaksetaraan itu valid. Titik $M_1(1;1)$ milik wilayah $D$.

Sekarang giliran mempelajari perilaku fungsi pada batas wilayah, yaitu. Mari pergi ke . Mari kita mulai dengan garis lurus $y=0$.

Garis lurus $y=0$ (sumbu x) membatasi daerah $D$ dengan syarat $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita substitusikan $y=0$ ke dalam fungsi yang diberikan $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Kami menyatakan fungsi dari satu variabel $x$ yang diperoleh sebagai hasil substitusi sebagai $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sekarang untuk fungsi $f_1(x)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita cari turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2.$$

Nilai $x=2$ termasuk dalam segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, jadi kita juga akan menambahkan $M_2(2;0)$ ke daftar poin. Selain itu, mari kita hitung nilai fungsi $z$ di ujung segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, yaitu. di titik $M_3(-1;0)$ dan $M_4(3;0)$. Omong-omong, jika titik $M_2$ tidak termasuk dalam segmen yang dipertimbangkan, maka tentu saja tidak perlu menghitung nilai fungsi $z$ di dalamnya.

Jadi, mari kita hitung nilai fungsi $z$ di titik $M_2$, $M_3$, $M_4$. Anda tentu saja dapat mengganti koordinat titik-titik ini ke dalam ekspresi awal $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Misalnya, untuk poin $M_2$ kita mendapatkan:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Namun perhitungannya bisa sedikit disederhanakan. Untuk melakukan ini, perlu diingat bahwa pada segmen $M_3M_4$ kita memiliki $z(x,y)=f_1(x)$. Saya akan menuliskannya secara detail:

\mulai(sejajar) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(sejajar)

Tentu saja, catatan rinci seperti itu biasanya tidak diperlukan, dan di masa depan kami akan menuliskan semua perhitungan secara singkat:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sekarang mari kita beralih ke garis lurus $x=3$. Garis lurus ini membatasi daerah $D$ dengan syarat $0 ≤ y ≤ 4$. Mari kita substitusikan $x=3$ ke dalam fungsi $z$ yang diberikan. Sebagai hasil dari substitusi ini kita mendapatkan fungsi $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Untuk fungsi $f_2(y)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $0 ≤ y ≤ 4$. Mari kita cari turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Nilai $y=3$ termasuk dalam segmen $0 ≤ y ≤ 4$, jadi kita juga akan menambahkan $M_5(3;3)$ ke titik yang ditemukan sebelumnya. Selain itu, perlu menghitung nilai fungsi $z$ pada titik-titik di ujung segmen $0 ≤ y ≤ 4$, yaitu. di titik $M_4(3;0)$ dan $M_6(3;4)$. Pada titik $M_4(3;0)$ kita telah menghitung nilai $z$. Mari kita hitung nilai fungsi $z$ di titik $M_5$ dan $M_6$. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa pada segmen $M_4M_6$ kita memiliki $z(x,y)=f_2(y)$, oleh karena itu:

\mulai(sejajar) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(sejajar)

Dan terakhir, perhatikan batas terakhir wilayah $D$, yaitu. garis lurus $y=x+1$. Garis lurus ini membatasi daerah $D$ dengan syarat $-1 ≤ x ≤ 3$. Mengganti $y=x+1$ ke dalam fungsi $z$, kita akan mendapatkan:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Sekali lagi kita memiliki fungsi dari satu variabel $x$. Dan sekali lagi kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi ini pada interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita cari turunan dari fungsi $f_(3)(x)$ dan samakan dengan nol:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1.$$

Nilai $x=1$ termasuk dalam interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Jika $x=1$, maka $y=x+1=2$. Mari tambahkan $M_7(1;2)$ ke daftar poin dan cari tahu berapa nilai fungsi $z$ pada titik ini. Titik di ujung ruas $-1 ≤ x ≤ 3$, mis. poin $M_3(-1;0)$ dan $M_6(3;4)$ telah dipertimbangkan sebelumnya, kami telah menemukan nilai fungsi di dalamnya.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Langkah kedua dari solusi selesai. Kami menerima tujuh nilai:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Mari kita beralih ke. Memilih nilai terbesar dan terkecil dari angka-angka yang diperoleh pada paragraf ketiga, kita akan mendapatkan:

$$z_(menit)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Masalahnya sudah terpecahkan, tinggal menuliskan jawabannya.

Menjawab: $z_(menit)=-4; \; z_(maks)=6$.

Contoh No.2

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=x^2+y^2-12x+16y$ pada daerah $x^2+y^2 ≤ 25$.

Pertama, mari kita membuat gambar. Persamaan $x^2+y^2=25$ (ini adalah garis batas suatu luas tertentu) mendefinisikan sebuah lingkaran dengan pusat di titik asal (yaitu di titik $(0;0)$) dan berjari-jari 5. Pertidaksamaan $x^2 +y^2 ≤ $25 memenuhi semua titik di dalam dan pada lingkaran tersebut.

Kami akan bertindak sesuai dengan. Mari kita cari turunan parsial dan cari tahu titik kritisnya.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Tidak ada titik di mana turunan parsial yang ditemukan tidak ada. Mari kita cari tahu di titik mana kedua turunan parsial sama dengan nol secara bersamaan, yaitu. mari kita cari titik stasioner.

$$ \kiri \( \begin(rata) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(rata) \kanan. \;\; \kiri \( \begin(rata) & x =6;\\ & y=-8.\end(sejajar) \kanan $$.

Kita telah memperoleh titik stasioner $(6;-8)$. Namun, titik yang ditemukan bukan milik wilayah $D$. Ini mudah untuk ditunjukkan bahkan tanpa harus menggambar. Mari kita periksa apakah pertidaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ berlaku, yang mendefinisikan wilayah kita $D$. Jika $x=6$, $y=-8$, maka $x^2+y^2=36+64=100$, mis. pertidaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ tidak berlaku. Kesimpulan: titik $(6;-8)$ bukan termasuk area $D$.

Jadi, tidak ada titik kritis di dalam wilayah $D$. Mari kita lanjutkan ke... Kita perlu mempelajari perilaku suatu fungsi pada batas suatu wilayah tertentu, mis. pada lingkaran $x^2+y^2=25$. Tentu saja kita dapat menyatakan $y$ dalam bentuk $x$, dan kemudian mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam fungsi $z$. Dari persamaan lingkaran kita mendapatkan: $y=\sqrt(25-x^2)$ atau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Mengganti, misalnya, $y=\sqrt(25-x^2)$ ke dalam fungsi yang diberikan, kita akan mendapatkan:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5.$$

Penyelesaian selanjutnya akan sepenuhnya identik dengan mempelajari perilaku fungsi pada batas daerah pada contoh No.1 sebelumnya. Namun, menurut saya lebih masuk akal untuk menerapkan metode Lagrange dalam situasi ini. Kami hanya akan tertarik pada bagian pertama dari metode ini. Setelah menerapkan bagian pertama metode Lagrange, kita akan memperoleh titik di mana kita akan memeriksa fungsi $z$ untuk nilai minimum dan maksimum.

Kami membuat fungsi Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Kami menemukan turunan parsial dari fungsi Lagrange dan menyusun sistem persamaan yang sesuai:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \kiri \( \mulai (sejajar) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \kiri \( \begin(rata) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( sejajar)\kanan.$ $

Untuk mengatasi sistem ini, mari kita segera tunjukkan bahwa $\lambda\neq -1$. Mengapa $\lambda\neq -1$? Mari kita coba substitusikan $\lambda=-1$ ke dalam persamaan pertama:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Kontradiksi $0=6$ yang dihasilkan menunjukkan bahwa nilai $\lambda=-1$ tidak dapat diterima. Keluaran: $\lambda\neq -1$. Mari kita nyatakan $x$ dan $y$ dalam bentuk $\lambda$:

\mulai(sejajar) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(sejajar)

Saya yakin di sini menjadi jelas mengapa kami secara khusus menetapkan kondisi $\lambda\neq -1$. Hal ini dilakukan untuk menyesuaikan ekspresi $1+\lambda$ ke dalam penyebut tanpa gangguan. Yaitu, untuk memastikan bahwa penyebutnya $1+\lambda\neq 0$.

Mari kita gantikan ekspresi yang dihasilkan untuk $x$ dan $y$ ke dalam persamaan ketiga sistem, yaitu. dalam $x^2+y^2=25$:

$$ \kiri(\frac(6)(1+\lambda) \kanan)^2+\kiri(\frac(-8)(1+\lambda) \kanan)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Dari persamaan yang dihasilkan maka $1+\lambda=2$ atau $1+\lambda=-2$. Oleh karena itu kita mempunyai dua nilai parameter $\lambda$, yaitu: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Oleh karena itu, kita mendapatkan dua pasang nilai $x$ dan $y$:

\begin(sejajar) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(sejajar)

Jadi, kami memperoleh dua titik dari kemungkinan ekstrem bersyarat, yaitu. $M_1(3;-4)$ dan $M_2(-3;4)$. Mari kita cari nilai fungsi $z$ di titik $M_1$ dan $M_2$:

\begin(sejajar) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(sejajar)

Kita harus memilih nilai terbesar dan terkecil dari yang kita peroleh pada langkah pertama dan kedua. Namun dalam hal ini pilihannya kecil :) Kami punya:

$$ z_(menit)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Menjawab: $z_(menit)=-75; \; z_(maks)=$125.