Simbol logika formal modern. Operasi logika dan sifat-sifatnya Simbol dalam bahasa logika artinya

SIFAT OPERASI LOGIS

1. Sebutan

1.1. Notasi untuk penghubung logis (operasi):

A) penyangkalan(inversi, logika BUKAN) dilambangkan dengan ¬ (misalnya, ¬A);

B) konjungsi(perkalian logika, logika AND) dilambangkan dengan /\
(misalnya, A /\ B) atau & (misalnya, A & B);

C) pemisahan(penjumlahan logis, logika OR) dilambangkan dengan \/
(misalnya, A \/ B);

D) mengikuti(implikasi) dilambangkan dengan → (misalnya, A → B);

e) identitas dilambangkan dengan ≡ (misalnya, A ≡ B). Ekspresi A ≡ B benar jika dan hanya jika nilai A dan B sama (keduanya benar, atau keduanya salah);

f) simbol 1 digunakan untuk menyatakan kebenaran (pernyataan benar); simbol 0 – untuk menunjukkan kebohongan (pernyataan salah).

1.2. Dua ekspresi Boolean yang mengandung variabel disebut setara (setara) jika nilai ekspresi ini bertepatan dengan nilai variabel apa pun. Jadi, ekspresi A → B dan (¬A) \/ B setara, tetapi A /\ B dan A \/ B tidak (arti ekspresi berbeda, misalnya ketika A = 1, B = 0 ).

1.3. Prioritas operasi logis: inversi (negasi), konjungsi (perkalian logis), disjungsi (penjumlahan logis), implikasi (mengikuti), identitas. Jadi, ¬A \/ B \/ C \/ D artinya sama dengan

((¬A) \/ B) \/ (C \/ D).

Anda dapat menulis A \/ B \/ C sebagai pengganti (A \/ B) \/ C. Hal yang sama berlaku untuk konjungsi: Anda dapat menulis A /\ B /\ C sebagai ganti (A /\ B ) /\ C.

2. Properti

Daftar di bawah ini TIDAK dimaksudkan untuk lengkap, namun diharapkan cukup mewakili.

2.1. Properti Umum

1. Untuk satu set N ada variabel logis 2 N arti yang berbeda. Tabel kebenaran untuk ekspresi logis dari N variabel berisi n+1 kolom dan 2 N garis.

2.2.Disjungsi

1. Jika setidaknya salah satu subekspresi yang menerapkan disjungsi benar pada himpunan nilai variabel tertentu, maka seluruh disjungsi juga benar untuk himpunan nilai tersebut.
2. Jika semua ekspresi dari daftar tertentu benar pada sekumpulan nilai variabel tertentu, maka disjungsi ekspresi tersebut juga benar.
3. Jika semua ekspresi dari daftar tertentu salah pada kumpulan nilai variabel tertentu, maka disjungsi ekspresi tersebut juga salah.
4. Arti disjungsi tidak bergantung pada urutan penulisan subekspresi yang menerapkannya.

2.3. Konjungsi

1. Jika setidaknya salah satu subekspresi yang menerapkan konjungsi salah pada kumpulan nilai variabel tertentu, maka seluruh konjungsi salah untuk kumpulan nilai ini.
2. Jika semua ekspresi dari daftar tertentu benar pada kumpulan nilai variabel tertentu, maka konjungsi ekspresi ini juga benar.
3. Jika semua ekspresi dari daftar tertentu salah pada kumpulan nilai variabel tertentu, maka konjungsi ekspresi tersebut juga salah.
4. Arti konjungsi tidak bergantung pada urutan penulisan subekspresi yang diterapkan.

2.4. Disjungsi dan konjungsi sederhana

Mari kita sebut (untuk kenyamanan) konjungsinya sederhana, jika subekspresi yang menerapkan konjungsi adalah variabel berbeda atau negasinya. Demikian pula disjungsi disebut sederhana, jika subekspresi yang menerapkan disjungsi adalah variabel berbeda atau negasinya.

1. Konjungsi sederhana bernilai 1 (benar) pada satu set nilai variabel.
2. Disjungsi sederhana bernilai 0 (salah) pada satu set nilai variabel.

2.5. Implikasi

1. Implikasi A →B setara dengan disjungsi (¬ A) \/ B. Disjungsi ini juga dapat ditulis sebagai berikut: ¬ A\/B.
2. Implikasi A →B mengambil nilai 0 (salah) hanya jika SEBUAH=1 Dan B=0. Jika SEBUAH=0, lalu implikasinya A →B benar untuk nilai apa pun B.

Matematika dicirikan oleh meluasnya penggunaan simbolisme, yang pada hakikatnya merupakan perangkat logika formal. Logika formal, atau simbolik, adalah metode khusus untuk memahami struktur berpikir. Peralatan yang dikembangkan ini digunakan di mana-mana. Dalam matematika, banyak ketentuan penting yang dapat dituliskan dalam bentuk simbol. Menulis penalaran logis dalam simbol memberikan bukti tampilan yang lebih ringkas dan sederhana. Logika formal beroperasi dengan pernyataan (omong-omong, pidato kita terdiri dari pernyataan tersebut). Proposisi adalah kalimat yang masuk akal untuk menyatakan benar atau salah. Contoh 1.3. „Moskow adalah ibu kota Rusia**, „Petrov I.I. - mahasiswa MSTU", x2 + y2 = 1, x€ R - pernyataan; x2 -2x + + U2 - bukan pernyataan. # Menghubungkan pernyataan sederhana dengan kata “dan”, “atau”, “tidak”, “jika ... , lalu,” kita mendapatkan pernyataan yang lebih kompleks yang mendefinisikan ucapan kita. Dalam matematika, kata-kata ini disebut penghubung logis, dalam logika formal kata-kata tersebut berhubungan dengan simbol-simbol logika dasar, yang akan kita bahas secara singkat 1. Konjungsi pAq dari pernyataan p dan q adalah pernyataan yang benar jika dan hanya jika kedua pernyataan (p dan q) benar Simbol logika konjungsi A menggantikan konjungsi “dan” dalam tuturan. Konjungsinya juga dilambangkan dengan p&q. 2. Disjungsi pW q dari pernyataan p dan q adalah pernyataan salah jika dan hanya jika kedua pernyataan salah, dan benar jika paling sedikit salah satu pernyataan (p atau q) benar. Simbol logika disjungsi V dalam tuturan menggantikan kata “atau”. 3. Implikasi p => q dari pernyataan p dan q adalah pernyataan salah jika dan hanya jika p benar dan q salah implikasi => digunakan untuk menunjukkan akibat dari suatu fakta. Ini menggantikan kata “jika… maka”. Kita juga bisa membaca “p menyiratkan qu.” 4. Simbol kesetaraan logis & berarti pernyataan p q benar jika dan hanya jika kedua pernyataan p dan q benar atau kedua pernyataan salah. Simbol ini menggantikan kata “ekuivalen” dalam ucapan. 5. Negasi dari pernyataan p adalah pernyataan - “p, yang benar jika p salah, dan salah jika p benar. Simbol logika -” dalam ucapan menggantikan kata “tidak”. Untuk mempersingkat dan memperjelas pencatatan pernyataan, diperkenalkan dua tanda V dan 3, yang masing-masing disebut Beberapa simbol logika dasar. Logika formal atau simbolik. pada dasarnya mengukur keumuman dan keberadaan. Ekspresi “untuk setiap elemen x dari himpunan E dan ditulis dalam bentuk Vs 6 E. Notasi ini berarti bahwa pernyataan yang mengikutinya akan dipenuhi untuk suatu elemen sembarang dari himpunan E. Notasi V&i, “2” xn€E berarti: “apapun elemen xi, 32, xn dari himpunan Eu. Ungkapan “setidaknya ada satu anggota himpunan E sehingga…” ditulis 3x £ E: ... Segala sesuatu yang mengikuti notasi ini berlaku untuk setidaknya satu anggota himpunan E. Sebaliknya, $ x e E: ... berarti semua pernyataan berikut tidak berlaku untuk setiap elemen dari E. Pernyataan „ hanya ada satu elemen dari E sehingga...u ditulis dalam bentuk E!z € E : .. Notasi 3x\) xs, xn € E: ... artinya: terdapat elemen x\y a?2" "i" dari himpunan E sedemikian rupa sehingga...t Simbol yang diperkenalkan mudah digunakan, misalnya contoh, ketika mendefinisikan operasi pada himpunan.<*{х: (х € А) V (х € В)}, АПВ:*>(x: (x € A) L (f € B)), A\B:*>(x: (x € A) L (x g B)), A:<${х: (ж €Й)Л(х£ Л)}, где символ означает эквивалентность по определению. Связь теории множеств и формальной логики достаточно широка. Исследованием этой связи впервые занимался английский математик Джордж Буль (1815-1864), работы которого положили начало одному из важнейших направлений современной алгебры, называемому булевой алгеброй. Ясно, что взятие дополнения тесно связано с отрицанием высказывания, операции объединены и пересечения множеств - с дизъюнкцией и конъюнкцией высказываний соответственно, включение подмножества в множество - с импликацией, а равенство множеств - с эквиваленцией высказываний. В силу этой связи с помощью теории множеств можно решать некоторые логические задачи. Пример 1.4. Рассмотрим набор высказываний: 1) животные, которых не видно в темноте, серы; 2) соседи не любят тех, кто не дает им спать; 3) кто кредко спит, громко храпит; 4) соседи любят животных, которых видно в темноте; 5) все слоны крепко спят; 6) кто громко храпит, не дает спать соседям. Эти высказывания можно перевести на язык теории множеств, если ввести следующие обозначения: А - множество тех, кто будит соседей; В - множество тех, кто крепко спит; С - множество тех, кто громко храпит; D - множество животных, которых видно в темноте; Е - множество слонов; F - множество тех, кого любят соседи; G - множество тех, кто серые. Высказывание 1) означает, что элементы, не лежащие в D) содержатся в G, т.е. 1) D С G. Остальные высказывания принимают вид: 2) Л С F; 3) £ С С; 4) D С F; 5) Е С В; б)ССЛ. Взяв дополнения множеств D и F, из 4) согласно принципу двойственности получим F С D и затем соединим все выскаг зывания в цепочку ECCCACFCDCG. Из этой цепочки (с учетом свойства транзитивности символа включения) следует, что ECGy т.е. все слоны серы. # Рассмотренные логические символы и кванторы существования и общности широко используют математики для записи предложений, в которых они, по сути, воплощают плоды своего творчества. Эти предложения представляют собой устанавливающие свойства математических объектов теоремы, леммы, утверждения и следствия из них, а также различные формулы. Однако следует отметить, что часть предложений приходится все же выражать словами. Любая теорема состоит, вообще говоря, в задании некоторого свойства Л, называемого условием, из которого выводят свойство Ву называемое заключением. Коротко теорему пА влечет Ви записывают в виде А В и говорят, что А является достаточным условием для Б, а Б - необходимым условием для А. Тогда обратная теорема имеет вид В А (возможна запись при помощи обратной импликации А <= В), но справедливость прямой теоремы еще не гарантирует справедливости обратной ей теоремы. Если справедливы данная тедрема и обратная ей, то свойства А я В эквивалентны, и такую теорему можно записать в виде А о В. Эта запись соответствует фразам: „Для того, чтобы Л, необходимо и достаточно, чтобы В", „А тогда и только тогда, когда Ви или „А, если и только если Ви. Ясно, что в этих фразах А и В можно поменять местами. Утверждение, противоположное утверждению А} записывают -^Л, что соответствует словам „не Аи. Если в символьную запись утверждения А входят кванторы 3, V и условие Р, то при построении символьной записи противоположного утверждения -*А квантор 3 заменяют на V, квантор V - на 3, а условие Р заменяют на условие -»Р. Пример 1.6. Рассмотрим утверждение Зх € Е: Р (существует элемент х множества Е, обладающий свойством Р) и построим его отрицание. Если это утверждение неверно, то указанного элемента не существует, т.е. для каждого х € Е свойство Р не выполняется, или -.(За: 6 Е: Р) = Vx € Е: -.Р. Теперь построим отрицание утверждения Vx 6 Е: Р (для каждого элемента х множества Е имеет место свойство Р). Если данное утверждение неверно, то свойство Р имеет место не для каждого элемента указанного множества, т.е. существует хотя бы один элемент х € Е, не обладающий этим свойством, или -.(УхбЕ: Р) = Зх€Я: -чР. # Доказательство предложения представляет собой проводимое по определенным правилам рассуждение, в котором для обоснования сформулированного предложения используют определения, аксиомы и ранее доказанные предложения. Примеры доказательств свойств абсолютных значений действительных чисел приведены доше (см. 1.3), а первого из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения и первого из законов де Моргана (1.7) - в 1.4. Одним из используемых приемов является метод доказательства от противного. Для доказательства таким методом теоремы А =>B berasumsi bahwa itu benar - “B. Jika penalaran mengarah pada fakta bahwa dalam asumsi seperti itu kondisi A tidak mungkin, yaitu. Jika timbul kontradiksi, teorema tersebut dianggap terbukti. Contoh 1.6. Kami menggunakan metode pembuktian dengan kontradiksi untuk memverifikasi validitas hukum kedua de Morgan (1.7) AC\B = AUB. Jika persamaan ini benar, maka setiap elemen x € A P B juga harus menjadi milik A U B, yaitu. x € A U B. Asumsikan sebaliknya: s £ AUB. Kemudian menurut prinsip dualitas (lihat 1.4) x € APV, yaitu. x ^ APV, dan ini bertentangan dengan kondisi awal x € A P B, yang membuktikan validitas implikasi pernyataan x € AG\B => he hidup. Sebaliknya, setiap elemen x 6 A U B harus menjadi milik A G) B, yaitu. x € A O B. Sekali lagi kita asumsikan kebalikannya: x £ i AP B, yaitu. x £ AP B, atau (xbA)L(xbB). Kemudian (x £ A)LA (x £ B) dan x £ AUB, dan ini sekali lagi bertentangan dengan kondisi yang diterima x £ A U B, yang membuktikan validitas implikasi kebalikan dari pernyataan x € APV « = x € AUB. Beberapa simbol logika dasar. Logika formal atau simbolik. Hasilnya, validitas rumus kedua (1.7) terbukti sepenuhnya. # Saat membuktikan proposisi yang valid untuk bilangan asli sembarang n G N, terkadang digunakan metode induksi matematika: dengan verifikasi langsung, validitas proposisi ditentukan untuk beberapa nilai pertama n (n = 1, 2 , ...), kemudian diasumsikan benar untuk n = k) dan jika dari asumsi tersebut maka proposisi yang diberikan valid untuk n = k -f 1, maka dianggap terbukti untuk semua n € N.Contoh 1.7. Mari kita buktikan validitas rumus “P = “1 (1,8) untuk jumlah n suku pertama suatu barisan geometri 0|, a2 = aitf, a3 = alq2) an = aign_1 dengan penyebut barisan tersebut q ^ 1. Jelas bahwa rumus tersebut benar untuk n = 1 dan n = 2. Mari kita asumsikan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k, yaitu. Beberapa simbol logika dasar. Logika formal atau simbolik. Jika pada (1.9) kita menyatakan k +1 = n, maka kita kembali sampai pada (1.8), yang membuktikan validitas rumus ini.

Ini digunakan untuk menghitung operasi logis. Mari kita pertimbangkan di bawah ini semua operasi logika paling dasar dalam ilmu komputer. Lagi pula, jika dipikir-pikir, merekalah yang digunakan untuk membuat logika komputer dan perangkat.

Penyangkalan

Sebelum kita mulai mempertimbangkan contoh spesifik secara mendetail, kami mencantumkan operasi logika dasar dalam ilmu komputer:

• penyangkalan;
• tambahan;
• perkalian;
• mengikuti;
• persamaan.

Selain itu, sebelum mulai mempelajari operasi logika, perlu dikatakan bahwa dalam ilmu komputer, kebohongan dilambangkan dengan “0”, dan kebenaran dengan “1”.

Untuk setiap tindakan, seperti dalam matematika biasa, tanda-tanda operasi logika berikut dalam ilmu komputer digunakan: ¬, v, &, ->.

Setiap tindakan dapat dijelaskan dengan angka 1/0, atau hanya dengan ekspresi logika. Mari kita mulai pembahasan logika matematika dengan operasi paling sederhana yang hanya menggunakan satu variabel.

Negasi logis adalah operasi inversi. Idenya adalah jika ekspresi aslinya benar, maka hasil inversinya salah. Begitu pula sebaliknya, jika ekspresi aslinya salah, maka hasil inversinya juga benar.

Notasi berikut digunakan saat menulis ekspresi ini: "¬A".

Mari kita sajikan tabel kebenaran - diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hasil operasi untuk data awal apa pun.

Artinya, jika ekspresi awal kita benar (1), maka negasinya akan salah (0). Dan jika ekspresi aslinya salah (0), maka negasinya benar (1).

Tambahan

Operasi lainnya memerlukan dua variabel. Mari kita tunjukkan satu ekspresi -

A, kedua - B. Operasi logika dalam ilmu komputer, yang menunjukkan tindakan penjumlahan (atau disjungsi), bila ditulis, dilambangkan dengan kata "atau" atau dengan simbol "v". Mari kita jelaskan kemungkinan opsi data dan hasil perhitungan.

1. E=1, H=1, maka E v H = 1. Jika keduanya maka disjungsi keduanya juga benar.
2. E = 0, H = 1, hasilnya E v H = 1. E = 1, H = 0, maka E v H = 1. Jika paling sedikit salah satu ekspresi benar, maka hasil penjumlahannya adalah BENAR.
3. E=0, H=0, hasil E v H = 0. Jika kedua ekspresi salah, maka jumlah keduanya juga salah.

Untuk singkatnya, mari kita buat tabel kebenaran.

Pemisahan

E	X	X	HAI	HAI
N	X	HAI	X	HAI
E v N	X	X	X	HAI

Perkalian

Setelah membahas operasi penjumlahan, kita beralih ke perkalian (konjungsi). Mari kita gunakan notasi yang sama yang diberikan di atas untuk penjumlahan. Dalam penulisannya, perkalian logika ditandai dengan simbol "&" atau huruf "I".

1. E=1, H=1, maka E & H = 1. Jika keduanya maka konjungsinya benar.
2. Jika setidaknya salah satu ekspresi salah, maka hasil perkalian logika juga salah.

• E=1, H=0, jadi E & H = 0.
• E=0, H=1, maka E & H = 0.
• E=0, H=0, jumlah E & H = 0.

Konjungsi

E	X	X	0	0
N	X	0	X	0
EN&N	X	0	0	0

Konsekuensi

Operasi logika implikasi (implikasi) merupakan salah satu operasi logika matematika yang paling sederhana. Ini didasarkan pada satu aksioma - kebohongan tidak bisa berasal dari kebenaran.

1. E = 1, H =, jadi E -> H = 1. Jika ada pasangan yang sedang jatuh cinta, maka mereka bisa berciuman - benar.
2. E = 0, H = 1, lalu E -> H = 1. Jika pasangan tidak sedang jatuh cinta, maka mereka bisa berciuman - bisa juga benar.
3. E = 0, H = 0, dari sini E -> H = 1. Jika pasangan tidak sedang jatuh cinta, maka mereka tidak berciuman - ini juga benar.
4. E = 1, H = 0, hasilnya E -> H = 0. Jika pasangan sedang jatuh cinta, maka mereka tidak berciuman - bohong.

Untuk memudahkan dalam melakukan operasi matematika, kami juga menyajikan tabel kebenaran.

Persamaan

Operasi terakhir yang dipertimbangkan adalah persamaan atau kesetaraan identitas logis. Dalam teks dapat ditetapkan sebagai “...jika dan hanya jika...”. Berdasarkan rumusan ini, kami akan menulis contoh untuk semua opsi asli.

1. A=1, B=1, maka A≡B = 1. Seseorang meminum pil jika dan hanya jika dia sakit. (BENAR)
2. A = 0, B = 0, hasilnya A≡B = 1. Seseorang tidak minum pil jika dan hanya jika dia tidak sakit. (BENAR)
3. A = 1, B = 0, maka A≡B = 0. Seseorang meminum pil jika dan hanya jika dia tidak sakit. (berbohong)
4. A = 0, B = 1, maka A≡B = 0. Seseorang tidak meminum pil jika dan hanya jika dia sakit. (berbohong)

Properti

Jadi, setelah mempertimbangkan ilmu komputer yang paling sederhana, kita dapat mulai mempelajari beberapa sifat-sifatnya. Seperti dalam matematika, operasi logika memiliki urutan pemrosesannya sendiri. Dalam ekspresi Boolean besar, operasi dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu. Setelahnya, hal pertama yang kita lakukan adalah menghitung semua nilai negasi dalam contoh. Langkah selanjutnya adalah menghitung konjungsi dan kemudian disjungsi. Hanya setelah ini kita melakukan operasi konsekuensi dan, akhirnya, kesetaraan. Mari kita lihat contoh kecil untuk kejelasan.

A v B & ¬B -> B ≡ A

Urutan tindakannya adalah sebagai berikut.

1. V&(¬V)
2. Sebuah v(B&(¬B))
3. (Av(B&(¬B)))->B
4. ((A v(B&(¬B)))->B)≡A

Untuk menyelesaikan contoh ini, kita perlu membuat tabel kebenaran yang diperluas. Saat membuatnya, ingatlah bahwa lebih baik menempatkan kolom dalam urutan yang sama dengan tindakan yang akan dilakukan.

Contoh solusi

A	DI DALAM				(Av(B&(¬B)))->B	((A v(B&(¬B)))->B)≡A
X	HAI	X	HAI	X	X	X
X	X	HAI	HAI	X	X	X
HAI	HAI	X	HAI	HAI	X	HAI
HAI	X	HAI	HAI	HAI	X	HAI

Seperti yang bisa kita lihat, hasil penyelesaian contoh akan menjadi kolom terakhir. Tabel kebenaran membantu menyelesaikan masalah dengan segala kemungkinan masukan data.

Kesimpulan

Artikel ini membahas beberapa konsep logika matematika, seperti ilmu komputer, sifat-sifat operasi logika, dan juga apa itu operasi logika itu sendiri. Beberapa contoh sederhana diberikan untuk memecahkan masalah dalam logika matematika dan tabel kebenaran yang diperlukan untuk menyederhanakan proses ini.

Konjungsi atau perkalian logika (dalam teori himpunan, ini adalah perpotongan)

Konjungsi adalah ekspresi logika kompleks yang bernilai benar jika dan hanya jika kedua ekspresi sederhana tersebut benar. Situasi ini hanya mungkin terjadi dalam satu kasus; dalam semua kasus lainnya, konjungsinya salah.

Notasi: &, $\wedge$, $\cdot$.

Tabel kebenaran untuk konjungsi

Gambar 1.

Sifat-sifat konjungsi:

1. Jika setidaknya salah satu subekspresi konjungsi bernilai salah pada himpunan nilai variabel tertentu, maka keseluruhan konjungsi akan bernilai salah untuk himpunan nilai tersebut.
2. Jika semua ekspresi konjungsi bernilai benar pada beberapa himpunan nilai variabel, maka seluruh konjungsi juga bernilai benar.
3. Arti seluruh konjungsi ekspresi kompleks tidak bergantung pada urutan penulisan subekspresi yang menerapkannya (seperti perkalian dalam matematika).

Disjungsi atau penjumlahan logis (dalam teori himpunan ini disebut penyatuan)

Disjungsi adalah ekspresi logika kompleks yang hampir selalu benar, kecuali semua ekspresi salah.

Notasi: +, $\vee$.

Tabel kebenaran disjungsi

Gambar 2.

Sifat-sifat disjungsi:

1. Jika setidaknya salah satu subekspresi disjungsi bernilai benar pada himpunan nilai variabel tertentu, maka seluruh disjungsi bernilai benar untuk himpunan subekspresi tersebut.
2. Jika semua ekspresi dari beberapa daftar disjungsi salah pada himpunan nilai variabel tertentu, maka seluruh disjungsi ekspresi ini juga salah.
3. Arti dari keseluruhan disjungsi tidak bergantung pada urutan penulisan subekspresi (seperti dalam matematika - penjumlahan).

Negasi, negasi logis atau inversi (dalam teori himpunan ini adalah negasi)

Negasi artinya partikel NOT atau kata FALSE ditambahkan pada ekspresi logika aslinya, APA dan sebagai hasilnya kita mendapatkan bahwa jika ekspresi aslinya benar, maka negasi dari aslinya akan salah dan sebaliknya, jika ekspresi aslinya salah, maka negasinya akan benar.

Notasi: bukan $A$, $\bar(A)$, $¬A$.

Tabel kebenaran untuk inversi

Gambar 3.

Sifat-sifat negasi:

“Negasi ganda” dari $¬¬A$ adalah konsekuensi dari proposisi $A$, yaitu merupakan tautologi dalam logika formal dan sama dengan nilai itu sendiri dalam logika Boolean.

Implikasi atau konsekuensi logis

Implikasi adalah ekspresi logis kompleks yang benar dalam semua kasus kecuali kebenaran mengikuti kepalsuan. Artinya, operasi logika ini menghubungkan dua ekspresi logika sederhana, yang pertama adalah kondisi ($A$), dan yang kedua ($A$) adalah konsekuensi dari kondisi ($A$).

Notasi: $\ke$, $\Panah Kanan$.

Tabel kebenaran untuk implikasinya

Gambar 4.

Sifat implikasi:

1. $A \ke B = ¬A \vee B$.
2. Implikasi $A \ke B$ salah jika $A=1$ dan $B=0$.
3. Jika $A=0$, maka implikasi $A \ke B$ adalah benar untuk nilai $B$ berapa pun, (benar dapat mengikuti dari salah).

Kesetaraan atau kesetaraan logis

Kesetaraan adalah ekspresi logika kompleks yang berlaku untuk nilai yang sama dari variabel $A$ dan $B$.

Notasi: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.

Tabel kebenaran untuk kesetaraan

Gambar 5.

Properti kesetaraan:

1. Kesetaraan ini berlaku pada himpunan nilai yang sama dari variabel $A$ dan $B$.
2. CNF $A \equiv B = (\bar(A) \vee B) \cdot (A \cdot \bar(B))$
3. DNF $A \equiv B = \bar(A) \cdot \bar(B) \vee A \cdot B$

Disjungsi atau penjumlahan tegas modulo 2 (dalam teori himpunan, ini adalah gabungan dua himpunan tanpa perpotongannya)

Disjungsi tegas berlaku jika nilai argumennya tidak sama.

Untuk elektronik, ini berarti penerapan rangkaian dapat dilakukan dengan menggunakan satu elemen standar (walaupun elemen ini mahal).

Urutan operasi logika dalam ekspresi logika kompleks

1. Inversi(negasi);
2. Konjungsi (perkalian logis);
3. Disjungsi dan disjungsi tegas (penjumlahan logis);
4. Implikasi (konsekuensi);
5. Kesetaraan (identitas).

Untuk mengubah urutan operasi logika yang ditentukan, Anda harus menggunakan tanda kurung.

Properti Umum

Untuk sekumpulan variabel boolean $n$, terdapat nilai persis $2^n$ yang berbeda. Tabel kebenaran untuk ekspresi logika variabel $n$ berisi $n+1$ kolom dan $2^n$ baris.

⊃ bisa berarti sama dengan ⇒ (simbolnya juga bisa berarti superset).

U+21D2 ⇒

⇒ (\displaystyle \Panah Kanan)
→ (\displaystyle \ke )\ke
⊃ (\displaystyle \supset )
⟹ (\displaystyle \menyiratkan )\menyiratkan

U+2254 (U+003A U+003D)

U+003A U+229C

:=
:

:= (\gaya tampilan:=):=
≡ (\displaystyle \ekuiv )
⇔ (\displaystyle \Panah Kiri-Kanan )

U+0028 U+0029 () () (\gaya tampilan (~)) () U+22A2 ⊢ ⊢ (\displaystyle \vdash)\vdash U+22A8 ⊨ ⊨ (\displaystyle \vDash)\vDash, tanda untuk operator AND-NOT.

U+22A7 ⊧ Implikasi (konsekuensi logis): adalah model untuk.... Misalnya, A ⊧ B berarti A menyiratkan B. Dalam model apa pun yang A ⊧ B, jika A benar, maka B juga benar.

U+22A8 ⊨ Benar: benar.

U+22AC ⊬ Bukan keluaran: negasi ⊢, simbol tidak dapat direduksi, Misalnya, T ⊬ P maksudnya " P bukan teorema di T»

U+22AD ⊭ Salah: tidak benar

U+22BC ⊼ NAND: operator NAND lainnya, dapat juga ditulis sebagai ∧

U+22BD ⊽ NOR: Operator OR eksklusif, bisa juga ditulis V

U+22C4 ⋄ Diamond: operator modal untuk "mungkin", "belum tentu tidak" atau, jarang, "konsisten" (dalam sebagian besar logika modal, operator didefinisikan sebagai "¬◻¬")

U+22C6 ⋆ Asterisk: biasanya digunakan sebagai operator khusus

U+22A5 ⊥ Tombol atas atau U+2193 ↓ Panah bawah: Panah tembus, simbol XOR. Terkadang "⊥" digunakan untuk kontradiksi atau absurditas.

• U+2310 ⌐ TIDAK Dibatalkan

Operator berikut ini jarang didukung oleh font standar. Jika Anda ingin menggunakannya di halaman Anda, Anda harus selalu menyematkan font yang Anda inginkan sehingga browser dapat menampilkan karakter tersebut tanpa harus menginstal font tersebut di komputer Anda.

Polandia dan Jerman

Di Polandia, bilangan universal terkadang ditulis sebagai ∧ (\displaystyle \irisan), dan bilangan keberadaan sebagai ∨ (\displaystyle \vee). Hal yang sama juga terlihat dalam sastra Jerman.

Kembali