Dua ekspresi dikatakan identik secara identik pada suatu himpunan jika mempunyai arti pada himpunan tersebut dan semua nilainya yang bersesuaian adalah sama.
Persamaan yang ruas kiri dan ruas kanannya mempunyai persamaan yang sama disebut identitas.
Mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik sama pada suatu himpunan tertentu disebut transformasi ekspresi yang identik.
Tugas. Temukan cakupan ekspresi.
Larutan. Karena ekspresinya adalah pecahan, untuk menemukan domain definisinya, Anda perlu mencari nilai variabel tersebut X, yang penyebutnya menjadi nol, dan hilangkan. Setelah menyelesaikan persamaan X 2 - 9 = 0, kita temukan itu X= -3 dan X= 3. Oleh karena itu, domain definisi ekspresi ini terdiri dari semua bilangan selain -3 dan 3. Jika kita menyatakannya dengan X, maka kita dapat menulis:
X= (-¥; -3) È (-3; 3) È (3; +¥).
Tugas. Apakah ekspresi dan X- 2 identik sama: a) di himpunan R; b) pada himpunan bilangan bulat selain nol?
Larutan. a) Di satu set R ungkapan-ungkapan ini tidak sama persis, sejak kapan X= 0 ekspresi tidak memiliki arti, dan ekspresi X- 2 bernilai -2.
b) Pada himpunan bilangan bulat selain nol, persamaan-persamaan ini identik, karena = 
.
Tugas. Pada nilai apa X persamaan berikut adalah identitas:
A) 
; B) .
Larutan. a) Kesetaraan merupakan suatu identitas jika ;
b) Kesetaraan merupakan suatu identitas jika .
Mari kita pertimbangkan dua persamaan:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Persamaan ini berlaku untuk semua nilai variabel a. Kisaran nilai yang dapat diterima untuk persamaan tersebut adalah seluruh himpunan bilangan real.
2. sebuah 12: sebuah 3 = sebuah 2 *sebuah 7 .
Pertidaksamaan ini berlaku untuk semua nilai variabel a, kecuali a sama dengan nol. Kisaran nilai yang dapat diterima untuk pertidaksamaan ini adalah seluruh himpunan bilangan real kecuali nol.
Untuk masing-masing persamaan ini dapat dikatakan bahwa persamaan tersebut akan benar untuk setiap nilai yang diperbolehkan dari variabel a. Persamaan seperti itu dalam matematika disebut identitas.
Konsep identitas
Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk setiap nilai variabel yang diperbolehkan. Jika Anda mengganti nilai valid apa pun ke dalam persamaan ini alih-alih variabel, Anda akan mendapatkan persamaan numerik yang benar.
Perlu dicatat bahwa persamaan numerik yang sebenarnya juga merupakan identitas. Identitas, misalnya, akan menjadi properti tindakan pada angka.
3. a + b = b + a;
4.a+(b+c) = (a+b)+c;
6.a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11.a*(-1) = -a.
Jika dua ekspresi untuk setiap variabel yang diperbolehkan masing-masing sama, maka ekspresi tersebut disebut identik sama. Di bawah ini adalah beberapa contoh ekspresi yang identik sama:
1. (a 2) 4 dan a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) dan -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) dan x 10.
Kita selalu dapat mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik dengan ekspresi pertama. Penggantian tersebut akan menjadi transformasi identitas.
Contoh identitas
Contoh 1: apakah persamaan berikut ini identik:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Tidak semua ekspresi yang disajikan di atas akan menjadi identitas. Dari persamaan tersebut, hanya 1, 2 dan 3 persamaan yang merupakan identitas. Tidak peduli angka apa yang kita substitusikan ke dalamnya, alih-alih variabel a dan b kita akan tetap mendapatkan persamaan numerik yang benar.
Namun kesetaraan bukan lagi sebuah identitas. Karena persamaan ini tidak berlaku untuk semua nilai yang valid. Misalnya dengan nilai a = 5 dan b = 2 maka akan diperoleh hasil sebagai berikut:
Persamaan ini tidak benar, karena angka 3 tidak sama dengan angka -3.
Kedua bagiannya merupakan ekspresi yang identik dan setara. Identitas dibagi menjadi alfabet dan numerik.
Ekspresi identitas
Dua ekspresi aljabar disebut identik(atau identik sama), jika untuk nilai numerik apa pun dari huruf-huruf tersebut memiliki nilai numerik yang sama. Ini adalah, misalnya, ekspresi:
X(5 + X) dan 5 X + X 2
Keduanya menyajikan ekspresi, untuk nilai apa pun X akan sama satu sama lain, sehingga dapat disebut identik atau identik sama.
Ekspresi numerik yang sama juga bisa disebut identik. Misalnya:
20 - 8 dan 10 + 2
Identitas huruf dan angka
Identitas literal adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai huruf yang ada di dalamnya. Dengan kata lain, persamaan yang kedua ruasnya merupakan ekspresi yang identik sama, misalnya:
(A + B)M = saya + bm
(A + B) 2 = A 2 + 2ab + B 2
Identitas numerik adalah persamaan yang hanya memuat bilangan yang dinyatakan dalam angka, yang kedua ruasnya mempunyai nilai numerik yang sama. Misalnya:
4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50
Transformasi ekspresi yang identik
Semua operasi aljabar adalah transformasi dari satu ekspresi aljabar ke ekspresi aljabar lain yang identik dengan ekspresi aljabar pertama.
Saat menghitung nilai suatu ekspresi, membuka tanda kurung, menempatkan faktor persekutuan di luar tanda kurung, dan dalam beberapa kasus lainnya, beberapa ekspresi diganti dengan ekspresi lain yang identik sama dengannya. Penggantian suatu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik dengan ekspresi tersebut disebut transformasi ekspresi yang identik atau sederhananya mengubah ekspresi. Semua transformasi ekspresi dilakukan berdasarkan properti operasi bilangan.
Mari kita pertimbangkan transformasi identik dari sebuah ekspresi menggunakan contoh mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:
10X - 7X + 3X = (10 - 7 + 3)X = 6X
Setelah kita memahami konsep identitas, kita dapat melanjutkan mempelajari ekspresi identik yang setara. Tujuan artikel ini adalah untuk menjelaskan apa itu dan menunjukkan dengan contoh ekspresi mana yang identik dengan ekspresi lainnya.
Ekspresi yang identik sama: definisi
Konsep ekspresi identik yang sama biasanya dipelajari bersama dengan konsep identitas itu sendiri sebagai bagian dari kursus aljabar sekolah. Berikut adalah definisi dasar yang diambil dari salah satu buku teks:
Definisi 1
Sama persis satu sama lain akan ada ekspresi seperti itu, yang nilainya akan sama untuk setiap kemungkinan nilai variabel yang termasuk dalam komposisinya.
Juga, ekspresi numerik yang sesuai dengan nilai yang sama dianggap sama.
Ini adalah definisi yang cukup luas yang berlaku untuk semua ekspresi bilangan bulat yang maknanya tidak berubah ketika nilai variabel berubah. Namun, definisi ini kemudian perlu diperjelas, karena selain bilangan bulat, ada jenis ekspresi lain yang tidak masuk akal dengan variabel tertentu. Hal ini menimbulkan konsep diterima dan tidaknya nilai variabel tertentu, serta perlunya menentukan kisaran nilai yang diperbolehkan. Mari kita merumuskan definisi yang lebih baik.
Definisi 2
Ekspresi yang identik sama– ini adalah ekspresi yang nilainya sama satu sama lain untuk setiap nilai yang diizinkan dari variabel yang termasuk dalam komposisinya. Ekspresi numerik akan sama satu sama lain asalkan nilainya sama.
Ungkapan "untuk setiap nilai variabel yang valid" menunjukkan semua nilai variabel yang kedua ekspresi tersebut masuk akal. Kami akan menjelaskan hal ini nanti ketika kami memberikan contoh ekspresi yang identik sama.
Anda juga dapat memberikan definisi berikut:
Definisi 3
Ekspresi yang sama identik adalah ekspresi yang terletak pada identitas yang sama di sisi kiri dan kanan.
Contoh ekspresi yang identik satu sama lain
Dengan menggunakan definisi yang diberikan di atas, mari kita lihat beberapa contoh ekspresi tersebut.
Mari kita mulai dengan ekspresi numerik.
Contoh 1
Jadi, 2 + 4 dan 4 + 2 akan sama satu sama lain, karena hasilnya akan sama (6 dan 6).
Contoh 2
Dengan cara yang sama, ekspresi 3 dan 30 sama persis: 10, (2 2) 3 dan 2 6 (untuk menghitung nilai ekspresi terakhir, Anda perlu mengetahui sifat-sifat derajat).
Contoh 3
Namun ekspresi 4 - 2 dan 9 - 1 tidak akan sama, karena nilainya berbeda.
Mari beralih ke contoh ekspresi literal. a + b dan b + a akan sama identik, dan ini tidak bergantung pada nilai variabel (persamaan ekspresi dalam hal ini ditentukan oleh sifat komutatif penjumlahan).
Contoh 4
Misalnya a sama dengan 4 dan b sama dengan 5, maka hasilnya akan tetap sama.
Contoh lain ekspresi identik dengan huruf adalah 0 · x · y · z dan 0 . Berapapun nilai variabel dalam hal ini, jika dikalikan dengan 0 akan menghasilkan 0. Ekspresi tak setara adalah 6 · x dan 8 · x, karena keduanya tidak akan sama untuk x apa pun.
Jika daerah nilai yang diperbolehkan dari variabel-variabel tersebut bertepatan, misalnya dalam ekspresi a + 6 dan 6 + a atau a · b · 0 dan 0, atau x 4 dan x, dan nilai-nilai ekspresi itu sendiri sama untuk variabel apa pun, maka ekspresi tersebut dianggap sama. Jadi, a + 8 = 8 + a untuk sembarang nilai a, dan a · b · 0 = 0 juga, karena mengalikan bilangan apa pun dengan 0 akan menghasilkan 0. Ekspresi x 4 dan x akan sama persis untuk setiap x dari interval [ 0 , + ∞) .
Namun rentang nilai valid dalam satu ekspresi mungkin berbeda dari rentang lainnya.
Contoh 5
Sebagai contoh, mari kita ambil dua ekspresi: x − 1 dan x - 1 · x x. Untuk yang pertama, kisaran nilai x yang diizinkan adalah seluruh himpunan bilangan real, dan untuk yang kedua - himpunan semua bilangan real, kecuali nol, karena kita akan mendapatkan 0 di penyebutnya, dan pembagian seperti itu tidak ditentukan. Kedua ekspresi ini memiliki rentang nilai yang sama yang dibentuk oleh perpotongan dua rentang terpisah. Kita dapat menyimpulkan bahwa kedua ekspresi x - 1 · x x dan x − 1 akan masuk akal untuk semua nilai riil variabel, kecuali 0.
Sifat dasar pecahan juga memungkinkan kita menyimpulkan bahwa x - 1 · x x dan x − 1 akan sama untuk setiap x yang bukan 0. Ini berarti bahwa pada rentang umum nilai yang diizinkan, ekspresi-ekspresi ini akan sama satu sama lain, tetapi untuk x real apa pun kita tidak dapat berbicara tentang kesetaraan yang identik.
Jika kita mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik, maka proses ini disebut transformasi identitas. Konsep ini sangat penting, dan kami akan membicarakannya secara rinci pada materi terpisah.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Setelah memperoleh gambaran tentang identitas, masuk akal untuk melanjutkan ke perkenalan. Pada artikel ini kami akan menjawab pertanyaan tentang apa itu ekspresi yang identik sama, dan juga menggunakan contoh untuk memahami ekspresi mana yang identik sama dan mana yang tidak.
Navigasi halaman.
Apa ekspresi yang identik dan setara?
Definisi ekspresi identik yang sama diberikan secara paralel dengan definisi identitas. Hal ini terjadi pada kelas aljabar kelas 7. Dalam buku teks aljabar kelas 7 karya penulis Yu.N. Makarychev diberikan rumusan sebagai berikut:
Definisi.
– ini adalah ekspresi yang nilainya sama untuk setiap nilai variabel yang termasuk di dalamnya. Ekspresi numerik yang memiliki nilai identik disebut juga sama identik.
Definisi ini digunakan hingga kelas 8; definisi ini berlaku untuk ekspresi bilangan bulat, karena masuk akal untuk nilai apa pun dari variabel yang disertakan di dalamnya. Dan di kelas 8, definisi ekspresi identik yang sama diperjelas. Mari kita jelaskan apa hubungannya ini.
Di kelas 8, studi tentang jenis ekspresi lain dimulai, yang, tidak seperti ekspresi utuh, mungkin tidak masuk akal untuk beberapa nilai variabel. Hal ini memaksa kita untuk memperkenalkan definisi nilai variabel yang diperbolehkan dan tidak dapat diterima, serta kisaran nilai yang diperbolehkan dari nilai variabel variabel, dan, sebagai konsekuensinya, untuk memperjelas definisi ekspresi identik yang sama.
Definisi.
Dua ekspresi yang nilainya sama untuk semua nilai yang diizinkan dari variabel yang termasuk di dalamnya disebut ekspresi yang identik sama. Dua ekspresi numerik yang memiliki nilai yang sama disebut juga sama identik.
Dalam definisi ekspresi yang identik dan setara ini, perlu diperjelas arti frasa “untuk semua nilai yang diizinkan dari variabel yang termasuk di dalamnya”. Ini menyiratkan semua nilai variabel yang kedua ekspresi identiknya masuk akal pada saat yang bersamaan. Kami akan menjelaskan ide ini di paragraf berikutnya dengan melihat contoh.
Definisi ekspresi identik yang sama dalam buku teks A.G. Mordkovich diberikan sedikit berbeda:
Definisi.
Ekspresi yang identik sama– ini adalah ekspresi di sisi kiri dan kanan identitas.
Arti dari definisi ini dan definisi sebelumnya adalah sama.
Contoh ekspresi yang identik sama
Definisi yang diperkenalkan pada paragraf sebelumnya memungkinkan kita untuk memberi contoh ekspresi yang identik sama.
Mari kita mulai dengan ekspresi numerik yang identik. Ekspresi numerik 1+2 dan 2+1 sama identik, karena keduanya bersesuaian dengan nilai yang sama 3 dan 3. Ekspresi 5 dan 30:6 juga identik sama, begitu pula ekspresi (2 2) 3 dan 2 6 (nilai ekspresi terakhir adalah sama berdasarkan ). Tetapi ekspresi numerik 3+2 dan 3−2 tidak sama persis, karena keduanya sesuai dengan nilai 5 dan 1, dan keduanya tidak sama.
Sekarang mari kita berikan contoh ekspresi identik yang sama dengan variabel. Ini adalah ekspresi a+b dan b+a. Memang, untuk setiap nilai variabel a dan b, ekspresi tertulisnya mengambil nilai yang sama (sebagai berikut dari angka-angkanya). Misalnya, dengan a=1 dan b=2 kita memiliki a+b=1+2=3 dan b+a=2+1=3 . Untuk nilai lain dari variabel a dan b, kita juga akan memperoleh nilai yang sama dari ekspresi ini. Ekspresi 0·x·y·z dan 0 juga identik sama untuk semua nilai variabel x, y dan z. Tetapi ekspresi 2 x dan 3 x tidak sama persis, karena, misalnya, ketika x=1 nilainya tidak sama. Memang benar, untuk x=1 ekspresi 2·x sama dengan 2·1=2, dan ekspresi 3·x sama dengan 3·1=3.
Ketika rentang nilai variabel yang diizinkan dalam ekspresi bertepatan, seperti, misalnya, dalam ekspresi a+1 dan 1+a, atau a·b·0 dan 0, atau dan, dan nilai ekspresi ini sama untuk semua nilai variabel dari area ini, maka semuanya jelas di sini - ekspresi ini sama untuk semua nilai yang diizinkan dari variabel yang termasuk di dalamnya. Jadi a+1≡1+a untuk sembarang a, ekspresi a·b·0 dan 0 identik sama untuk semua nilai variabel a dan b, dan ekspresi dan identik sama untuk semua x dari ; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.