Nga Masterweb
22.09.2018 22:00Progresioni gjeometrik, së bashku me progresionin aritmetik, është një seri numrash e rëndësishme që studiohet në lëndën e algjebrës shkollore në klasën e 9-të. Në këtë artikull do të shohim emëruesin e një progresion gjeometrik dhe se si vlera e tij ndikon në vetitë e tij.
Përkufizimi i progresionit gjeometrik
Së pari, le të japim përkufizimin e kësaj serie numrash. Një progresion gjeometrik është një seri numrash racionalë që formohen duke shumëzuar në mënyrë sekuenciale elementin e tij të parë me një numër konstant të quajtur emërues.
Për shembull, numrat në seritë 3, 6, 12, 24, ... janë një progresion gjeometrik, sepse nëse shumëzoni 3 (elementin e parë) me 2, merrni 6. Nëse shumëzoni 6 me 2, merrni 12, e kështu me radhë.
Anëtarët e sekuencës në shqyrtim zakonisht shënohen me simbolin ai, ku i është një numër i plotë që tregon numrin e elementit në seri.
Përkufizimi i mësipërm i progresionit mund të shkruhet në gjuhën matematikore si më poshtë: an = bn-1 * a1, ku b është emëruesi. Është e lehtë të kontrollosh këtë formulë: nëse n = 1, atëherë b1-1 = 1, dhe marrim a1 = a1. Nëse n = 2, atëherë an = b * a1, dhe përsëri vijmë te përkufizimi i serisë së numrave në fjalë. Arsyetimi i ngjashëm mund të vazhdohet për vlera të mëdha të n.
Emëruesi i progresionit gjeometrik
Numri b përcakton plotësisht se çfarë karakteri do të ketë e gjithë seria e numrave. Emëruesi b mund të jetë pozitiv, negativ ose më i madh ose më i vogël se një. Të gjitha opsionet e mësipërme çojnë në sekuenca të ndryshme:
- b > 1. Ka një seri numrash racionalë në rritje. Për shembull, 1, 2, 4, 8, ... Nëse elementi a1 është negativ, atëherë e gjithë sekuenca do të rritet vetëm në vlerë absolute, por do të zvogëlohet në varësi të shenjës së numrave.
- b = 1. Shpesh ky rast nuk quhet progresion, pasi ekziston një seri e zakonshme numrash racionalë identikë. Për shembull, -4, -4, -4.
Formula për shumën
Përpara se të kalojmë në shqyrtimin e problemeve specifike duke përdorur emëruesin e llojit të progresionit në shqyrtim, duhet të jepet një formulë e rëndësishme për shumën e n elementëve të tij të parë. Formula duket si: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Këtë shprehje mund ta merrni vetë nëse merrni parasysh sekuencën rekursive të termave të progresionit. Gjithashtu vini re se në formulën e mësipërme mjafton të njihni vetëm elementin e parë dhe emëruesin për të gjetur shumën e një numri arbitrar termash.
Sekuenca pafundësisht në rënie
Një shpjegim u dha më lart se çfarë është. Tani, duke ditur formulën për Sn, le ta zbatojmë atë në këtë seri numrash. Meqenëse çdo numër, moduli i të cilit nuk e kalon 1, tenton në zero kur rritet në fuqi të mëdha, domethënë b∞ => 0 nëse -1
Meqenëse diferenca (1 - b) do të jetë gjithmonë pozitive, pavarësisht nga vlera e emëruesit, shenja e shumës së një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie S∞ përcaktohet në mënyrë unike nga shenja e elementit të tij të parë a1.
Tani le të shohim disa probleme ku do të tregojmë se si të zbatojmë njohuritë e marra në numra specifikë.
Problemi nr. 1. Llogaritja e elementeve të panjohura të progresionit dhe shumës
Duke pasur parasysh një progresion gjeometrik, emëruesi i progresionit është 2, dhe elementi i tij i parë është 3. Me çfarë do të jenë të barabartë termat e 7-të dhe të 10-të të tij dhe sa është shuma e shtatë elementeve fillestare të tij?
Gjendja e problemit është mjaft e thjeshtë dhe përfshin përdorimin e drejtpërdrejtë të formulave të mësipërme. Pra, për të llogaritur numrin e elementit n, përdorim shprehjen an = bn-1 * a1. Për elementin e 7-të kemi: a7 = b6 * a1, duke zëvendësuar të dhënat e njohura, marrim: a7 = 26 * 3 = 192. Të njëjtën gjë bëjmë edhe për termin e 10-të: a10 = 29 * 3 = 1536.
Le të përdorim formulën e njohur për shumën dhe të përcaktojmë këtë vlerë për 7 elementët e parë të serisë. Ne kemi: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Problemi nr. 2. Përcaktimi i shumës së elementeve arbitrare të një progresion
Le të jetë -2 e barabartë me emëruesin e progresionit gjeometrik bn-1 * 4, ku n është një numër i plotë. Është e nevojshme të përcaktohet shuma nga elementi i 5-të në të 10-të të kësaj serie, përfshirëse.
Problemi i paraqitur nuk mund të zgjidhet drejtpërdrejt duke përdorur formula të njohura. Mund të zgjidhet duke përdorur 2 metoda të ndryshme. Për të përfunduar prezantimin e temës, i paraqesim të dyja.
Metoda 1. Ideja është e thjeshtë: duhet të llogaritni dy shumat korresponduese të termave të parë dhe më pas të zbrisni tjetrën nga njëri. Ne llogarisim shumën më të vogël: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Tani llogarisim shumën më të madhe: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Vini re se në shprehjen e fundit u përmblodhën vetëm 4 terma, pasi i pesti tashmë është përfshirë në shumën që duhet të llogaritet sipas kushteve të problemit. Së fundi, marrim ndryshimin: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Përpara se të zëvendësoni numrat dhe të numëroni, mund të merrni një formulë për shumën midis termave m dhe n të serisë në fjalë. Ne bëjmë saktësisht të njëjtën gjë si në metodën 1, vetëm se fillimisht punojmë me paraqitjen simbolike të shumës. Kemi: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Ju mund të zëvendësoni numrat e njohur në shprehjen që rezulton dhe të llogaritni rezultatin përfundimtar: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Problemi nr 3. Cili është emëruesi?
Le të gjejmë a1 = 2, emëruesin e progresionit gjeometrik, me kusht që shuma e tij e pafundme të jetë 3, dhe dihet se kjo është një seri numrash në rënie.
Bazuar në kushtet e problemit, nuk është e vështirë të merret me mend se cila formulë duhet të përdoret për ta zgjidhur atë. Sigurisht, për shumën e progresionit pafundësisht në rënie. Kemi: S∞ = a1 / (1 - b). Nga ku shprehim emëruesin: b = 1 - a1 / S∞. Mbetet për të zëvendësuar vlerat e njohura dhe për të marrë numrin e kërkuar: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ose -0.333(3). Këtë rezultat mund ta kontrollojmë në mënyrë cilësore nëse kujtojmë se për këtë lloj sekuence moduli b nuk duhet të shkojë përtej 1. Siç shihet, |-1 / 3|
Detyra nr. 4. Rivendosja e një serie numrash
Le të jepen 2 elementë të një serie numrash, për shembull, i 5-ti është i barabartë me 30 dhe i 10-ti është i barabartë me 60. Është e nevojshme të rindërtohet e gjithë seria nga këto të dhëna, duke ditur se ajo plotëson vetitë e një progresion gjeometrik.
Për të zgjidhur problemin, fillimisht duhet të shkruani shprehjen përkatëse për çdo term të njohur. Kemi: a5 = b4 * a1 dhe a10 = b9 * a1. Tani ndajmë shprehjen e dytë me të parën, marrim: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Prej këtu përcaktojmë emëruesin duke marrë rrënjën e pestë të raportit të termave të njohur nga deklarata e problemit, b = 1,148698. Ne e zëvendësojmë numrin që rezulton në një nga shprehjet për elementin e njohur, marrim: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Progresioni gjeometrik është një lloj i ri i sekuencës së numrave me të cilin do të njihemi. Për një takim të suksesshëm, nuk është e dëmshme të paktën të dish dhe të kuptosh. Atëherë nuk do të ketë probleme me përparimin gjeometrik.)
Çfarë është progresioni gjeometrik? Koncepti i progresionit gjeometrik.
Ne e fillojmë turneun, si zakonisht, me gjërat themelore. Unë shkruaj një sekuencë të papërfunduar numrash:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
A mund ta dalloni modelin dhe të tregoni se cilët numra do të vijnë më pas? Speci është i qartë, pastaj do të pasojnë numrat 100.000, 1.000.000 e kështu me radhë. Edhe pa shumë përpjekje mendore, gjithçka është e qartë, apo jo?)
NE RREGULL. Një shembull tjetër. Unë shkruaj këtë sekuencë:
1, 2, 4, 8, 16, …
A mund të thoni se cilët numra do të vijnë më pas, duke ndjekur numrin 16 dhe emrin i teti anëtar i sekuencës? Nëse e kuptoni se do të ishte numri 128, atëherë shumë mirë. Pra, gjysma e betejës është në mirëkuptim kuptim Dhe Pikat kryesore progresion gjeometrik tashmë është bërë. Ju mund të rriteni më tej.)
Dhe tani kalojmë përsëri nga ndjesitë në matematikë strikte.
Pikat kryesore të progresionit gjeometrik.
Pika kryesore #1
Progresioni gjeometrik është sekuencë numrash. Kështu është edhe progresi. Asgjë e zbukuruar. Vetëm kjo sekuencë është rregulluar ndryshe. Prandaj, natyrisht, ka një emër tjetër, po...
Pika kryesore #2
Me pikën e dytë kyçe, pyetja do të jetë më e ndërlikuar. Le të kthehemi pak prapa dhe të kujtojmë vetinë kryesore të progresionit aritmetik. Ja ku eshte: çdo anëtar është i ndryshëm nga ai i mëparshmi me të njëjtën sasi.
A është e mundur të formulohet një veti e ngjashme kyçe për një progresion gjeometrik? Mendoni pak... Hidhini një sy më afër shembujve të dhënë. E morët me mend? Po! Në progresion gjeometrik (çdo!) secili prej anëtarëve të tij ndryshon nga ai i mëparshmi të njëjtin numër herë. Gjithmonë!
Në shembullin e parë, ky numër është dhjetë. Cilido anëtar i sekuencës që merrni, ai është më i madh se ai i mëparshmi dhjetë herë.
Në shembullin e dytë është një dy: çdo term është më i madh se ai i mëparshmi dy herë.
Është kjo pikë kyçe që progresioni gjeometrik ndryshon nga progresioni aritmetik. Në një progresion aritmetik, fitohet çdo term pasues duke shtuar të njëjtën vlerë me termin e mëparshëm. Dhe këtu - shumëzimi mandatin e mëparshëm me të njëjtën shumë. Ky është i gjithë ndryshimi.)
Pika kryesore #3
Kjo pikë kyçe është plotësisht identike me atë për një progresion aritmetik. Gjegjësisht: Çdo anëtar i një progresion gjeometrik qëndron në vendin e tij. Gjithçka është saktësisht e njëjtë si në progresionin aritmetik dhe komentet, mendoj, janë të panevojshme. Ka termin e parë, është njëqind e parë etj. Le të shkëmbejmë të paktën dy terma - modeli (dhe bashkë me të edhe progresioni gjeometrik) do të zhduket. Ajo që do të mbetet është vetëm një sekuencë numrash pa asnjë logjikë.
Kjo eshte e gjitha. Kjo është e gjithë pika e progresionit gjeometrik.
Termat dhe emërtimet.
Por tani, duke kuptuar kuptimin dhe pikat kryesore të progresionit gjeometrik, ne mund të kalojmë në teori. Përndryshe, çfarë është një teori pa kuptuar kuptimin, apo jo?
Si të shënoni progresionin gjeometrik?
Si shkruhet progresioni gjeometrik në formë të përgjithshme? Nuk ka problem! Çdo term i progresionit shkruhet gjithashtu si një shkronjë. Vetëm për progresion aritmetik, zakonisht përdoret shkronja "A", për shkronja gjeometrike "b". Numri i anëtarit, si zakonisht, tregohet indeksi poshtë djathtas. Ne thjesht rendisim vetë anëtarët e progresionit, të ndarë me presje ose pikëpresje.
Si kjo:
b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Shkurtimisht, ky progresion është shkruar kështu: (b n) .
Ose si kjo, për përparime të fundme:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, …, b 29, b 30.
Ose shkurtimisht:
(b n), n=30 .
Ky, në fakt, është i gjithë përcaktimi. Gjithçka është e njëjtë, vetëm shkronja është e ndryshme, po.) Dhe tani kalojmë drejtpërdrejt në përkufizim.
Përkufizimi i progresionit gjeometrik.
Një progresion gjeometrik është një sekuencë numrash në të cilën termi i parë është jo zero, dhe çdo term pasues është i barabartë me termin e mëparshëm të shumëzuar me të njëjtin numër jozero.
Ky është i gjithë përkufizimi. Shumica e fjalëve dhe frazave janë të qarta dhe të njohura për ju. Nëse, sigurisht, e kuptoni kuptimin e progresionit gjeometrik "në gishta" dhe në përgjithësi. Por ka edhe disa fraza të reja që do të doja t'u kushtoja vëmendje të veçantë.
Së pari, fjalët: “anëtari i parë i të cilit jo zero".
Ky kufizim në mandatin e parë nuk u vendos rastësisht. Çfarë mendoni se do të ndodhë nëse anëtari i parë b 1 do të jetë e barabartë me zero? Me çfarë do të jetë i barabartë termi i dytë nëse secili term është më i madh se ai i mëparshmi? të njëjtin numër herë? Le të themi tre herë? Le të shohim... Shumëzoni termin e parë (d.m.th. 0) me 3 dhe merrni... zero! Po anëtari i tretë? Gjithashtu zero! Dhe termi i katërt është gjithashtu zero! Dhe kështu me radhë…
Ne marrim vetëm një qese me bagels, një sekuencë zero:
0, 0, 0, 0, …
Sigurisht, një sekuencë e tillë ka të drejtën e jetës, por nuk është me interes praktik. Gjithçka është e qartë. Çdo anëtar i tij është zero. Shuma e çdo numri termash është gjithashtu zero... Çfarë gjërash interesante mund të bëni me të? Asgjë…
Fjalët kyçe të mëposhtme: "shumëzuar me të njëjtin numër jozero."
I njëjti numër ka gjithashtu emrin e tij të veçantë - emëruesi i progresionit gjeometrik. Le të fillojmë të njihemi.)
Emëruesi i një progresion gjeometrik.
Gjithçka është aq e thjeshtë sa lëmimi i dardhave.
Emëruesi i një progresioni gjeometrik është një numër (ose sasi) jo zero që tregon sa herëçdo afat të progresionit më shumë se ai i mëparshmi.
Përsëri, ngjashëm me progresionin aritmetik, fjala kyçe për të kërkuar në këtë përkufizim është fjala "më shumë". Do të thotë se fitohet çdo term i progresionit gjeometrik shumëzimi pikërisht tek ky emërues anëtar i mëparshëm.
Më lejo të shpjegohem.
Për të llogaritur, le të themi e dyta kar, duhet të marrë së pari anëtar dhe shumohen atë në emërues. Për llogaritjen e dhjeta kar, duhet të marrë i nënti anëtar dhe shumohen atë në emërues.
Emëruesi i vetë progresionit gjeometrik mund të jetë çdo gjë. Absolutisht kushdo! E plotë, e pjesshme, pozitive, negative, irracionale - gjithçka. Përveç zeros. Kjo është ajo që na thotë fjala "jo-zero" në përkufizim. Pse kjo fjalë është e nevojshme këtu - më shumë për këtë më vonë.
Emëruesi i progresionit gjeometrik më së shpeshti tregohet me shkronjë q.
Si ta gjeni q? Nuk ka problem! Ne duhet të marrim çdo term të progresionit dhe pjesëtojeni me termin e mëparshëm. Ndarja është fraksioni. Prandaj emri - "emëruesi i progresionit". Emëruesi, zakonisht qëndron në një thyesë, po...) Edhe pse, logjikisht, vlera q duhet thirrur private progresion gjeometrik, i ngjashëm me ndryshim për progresion aritmetik. Por ne ramë dakord të telefononim emërues. Dhe ne nuk do ta rishpikim as timonin.)
Le të përcaktojmë, për shembull, sasinë q për këtë progresion gjeometrik:
2, 6, 18, 54, …
Gjithçka është elementare. Le ta marrim ndonjë numri i sekuencës. Ne marrim çfarë të duam. Përveç të parës. Për shembull, 18. Dhe pjesëtojeni me numri i mëparshëm. Kjo është, në 6.
Ne marrim:
q = 18/6 = 3
Kjo eshte e gjitha. Kjo është përgjigja e saktë. Për këtë progresion gjeometrik, emëruesi është tre.
Le të gjejmë tani emëruesin q për një tjetër progresion gjeometrik. Për shembull, ky:
1, -2, 4, -8, 16, …
Te gjitha njesoj. Pavarësisht se çfarë shenjash kanë vetë anëtarët, ne përsëri marrim ndonjë numri i sekuencës (për shembull, 16) dhe pjesëtojeni me numri i mëparshëm(dmth -8).
Ne marrim:
d = 16/(-8) = -2
Dhe kaq.) Kësaj radhe emëruesi i progresionit doli negativ. Minus dy. Ndodh.)
Le të marrim tani këtë progres:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
Dhe përsëri, pavarësisht nga lloji i numrave në sekuencë (qoftë numra të plotë, madje thyesa, madje negativë, madje edhe irracionalë), marrim çdo numër (për shembull, 1/9) dhe pjesëtojmë me numrin e mëparshëm (1/3). Sipas rregullave për të punuar me thyesa, natyrisht.
Ne marrim:
Kjo është e gjitha.) Këtu emëruesi doli të ishte thyesor: q = 1/3.
Çfarë mendoni për këtë "përparim"?
3, 3, 3, 3, 3, …
Natyrisht këtu q = 1 . Formalisht, ky është gjithashtu një progresion gjeometrik, vetëm me anëtarë të njëjtë.) Por përparime të tilla nuk janë interesante për studim dhe zbatim praktik. Njëlloj si progresionet me zero të ngurta. Prandaj, ne nuk do t'i konsiderojmë ato.
Siç mund ta shihni, emëruesi i progresionit mund të jetë çdo gjë - numër i plotë, i pjesshëm, pozitiv, negativ - çdo gjë! Nuk mund të jetë thjesht zero. Nuk mund ta merrni me mend pse?
Epo, le të përdorim një shembull specifik për të parë se çfarë ndodh nëse marrim si emërues q zero.) Le të kemi, për shembull b 1 = 2 , A q = 0 . Me çfarë do të jetë atëherë termi i dytë?
Ne numërojmë:
b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0
Po anëtari i tretë?
b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0
Llojet dhe sjellja e progresioneve gjeometrike.
Gjithçka ishte pak a shumë e qartë: nëse ndryshimi i progresionit dështë pozitive, atëherë progresioni rritet. Nëse ndryshimi është negativ, atëherë progresioni zvogëlohet. Ka vetëm dy opsione. Nuk ka asnjë të tretë.)
Por me sjelljen e progresionit gjeometrik, gjithçka do të jetë shumë më interesante dhe e larmishme!)
Pavarësisht se si sillen termat këtu: ato rriten, zvogëlohen, dhe pafundësisht i afrohen zeros, madje ndryshojnë shenjat, duke u hedhur në mënyrë alternative në "plus" dhe më pas në "minus"! Dhe në gjithë këtë diversitet ju duhet të jeni në gjendje të kuptoni mirë, po...
Le ta kuptojmë?) Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë.
Emëruesi është pozitiv ( q >0)
Me një emërues pozitiv, së pari, mund të hyjnë termat e progresionit gjeometrik plus pafundësi(d.m.th. rritet pa kufi) dhe mund të hyjë minus pafundësi(d.m.th., ulet pa kufi). Tashmë jemi mësuar me këtë sjellje progresionesh.
Për shembull:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Gjithçka është e thjeshtë këtu. Përftohet çdo term i progresionit më shumë se më parë. Për më tepër, çdo term rezulton shumëzimi anëtari i mëparshëm në pozitive numri +2 (d.m.th. q = 2 ). Sjellja e një progresioni të tillë është e qartë: të gjithë anëtarët e progresionit rriten pa kufi, duke shkuar në hapësirë. Plus pafundësi...
Dhe tani këtu është përparimi:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Edhe këtu fitohet çdo term i progresionit shumëzimi anëtari i mëparshëm në pozitive numri +2. Por sjellja e një progresioni të tillë është saktësisht e kundërta: fitohet çdo term i progresionit më pak se më parë, dhe të gjithë termat e tij zvogëlohen pa kufi, duke shkuar në minus pafundësi.
Tani le të mendojmë: çfarë kanë të përbashkët këto dy përparime? Ashtu është, emërues! Aty-këtu q = +2 . Numër pozitiv. Dy. Dhe këtu sjellje Këto dy përparime janë thelbësisht të ndryshme! Nuk mund ta merrni me mend pse? Po! Eshte e gjitha per anëtari i parë!Është ai, siç thonë ata, që e quan melodinë.) Shihni vetë.
Në rastin e parë, afati i parë i progresionit pozitive(+1) dhe, për rrjedhojë, të gjithë termat pasues të fituar duke shumëzuar me pozitive emërues q = +2 , gjithashtu do të jetë pozitive.
Por në rastin e dytë, mandati i parë negativ(-1). Prandaj, të gjitha kushtet pasuese të progresionit, të marra duke shumëzuar me pozitive q = +2 , do të merret gjithashtu negativ. Sepse "minus" në "plus" gjithmonë jep "minus", po.)
Siç mund ta shihni, ndryshe nga një progresion aritmetik, një progresion gjeometrik mund të sillet krejtësisht ndryshe jo vetëm në varësi të nga emëruesiq, por edhe në varësi nga anëtari i parë, Po.)
Mbani mend: sjellja e një progresioni gjeometrik përcaktohet në mënyrë unike nga termi i tij i parë b 1 dhe emëruesq .
Dhe tani fillojmë të analizojmë raste më pak të njohura, por shumë më interesante!
Le të marrim, për shembull, këtë sekuencë:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Ky sekuencë është gjithashtu një progresion gjeometrik! Çdo term i këtij progresi gjithashtu rezulton shumëzimi anëtari i mëparshëm, me të njëjtin numër. Është vetëm një numër - thyesore: q = +1/2 . Ose +0,5 . Për më tepër (e rëndësishme!) numri, më pak se një:q = 1/2<1.
Pse është interesant ky progresion gjeometrik? Ku po shkojnë anëtarët e saj? Le t'i hedhim një sy:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Çfarë gjërash interesante mund të vëreni këtu? Së pari, rënia në aspektin e progresionit vihet re menjëherë: secili prej anëtarëve të tij më pak saktësisht e mëparshmja 2 herë. Ose, sipas përkufizimit të një progresion gjeometrik, çdo term më shumë e mëparshme 1/2 herë, sepse emëruesi i progresionit q = 1/2 . Dhe kur shumëzohet me një numër pozitiv më të vogël se një, rezultati zakonisht zvogëlohet, po...
Çfarë më shumë a mund të shihet në sjelljen e këtij progresi? A po pakësohen anëtarët e saj? e pakufizuar, duke shkuar në minus pafundësi? Jo! Ata zhduken në një mënyrë të veçantë. Në fillim ato ulen mjaft shpejt, dhe më pas gjithnjë e më ngadalë. Dhe duke mbetur gjatë gjithë kohës pozitive. Edhe pse shumë, shumë e vogël. Dhe për çfarë përpiqen ata vetë? Nuk e morët me mend? Po! Ata përpiqen drejt zeros!) Për më tepër, kushtojini vëmendje, anëtarët e progresionit tonë janë nga zero kurrë mos arri! Vetëm duke iu afruar pafundësisht afër. Eshte shume e rendesishme.)
Një situatë e ngjashme do të ndodhë në përparimin e mëposhtëm:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Këtu b 1 = -1 , A q = 1/2 . Gjithçka është e njëjtë, vetëm tani termat do t'i afrohen zeros nga ana tjetër, nga poshtë. Duke qëndruar gjatë gjithë kohës negativ.)
Një progresion i tillë gjeometrik, termat e të cilit afrohet zeros pa kufi(pa marrë parasysh anën pozitive apo negative), në matematikë ka një emër të veçantë - progresion gjeometrik pafundësisht në rënie. Ky përparim është aq interesant dhe i pazakontë sa që do të diskutohet edhe mësim i veçantë .)
Pra, ne kemi konsideruar të gjitha të mundshme pozitive emëruesit janë edhe të mëdhenj edhe më të vegjël. Ne nuk e konsiderojmë vetë njësinë si emërues për arsyet e përmendura më sipër (kujtoni shembullin me një sekuencë treshe...)
Le të përmbledhim:
pozitiveDhe me shume se nje (q>1), pastaj kushtet e progresionit:
a) rritet pa kufi (nëseb 1 >0);
b) ulet pa kufi (nëseb 1 <0).
Nëse emëruesi i progresionit gjeometrik pozitive Dhe më pak se një (0< q<1), то члены прогрессии:
a) pafundësisht afër zeros sipër(Nëseb 1 >0);
b) pafundësisht afër zeros nga poshtë(Nëseb 1 <0).
Tani mbetet të shqyrtohet rasti emërues negativ.
Emëruesi është negativ ( q <0)
Ne nuk do të shkojmë larg për një shembull. Pse, pikërisht, gjyshe e ashpër?!) Le të jetë, për shembull, termi i parë i progresionit b 1 = 1 , dhe le të marrim emëruesin q = -2.
Ne marrim sekuencën e mëposhtme:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
Dhe kështu me radhë.) Përftohet çdo term i progresionit shumëzimi anëtari i mëparshëm në një numër negativ-2. Në këtë rast, të gjithë anëtarët që qëndrojnë në vende tek (i pari, i tretë, i pesti, etj.) do të jenë pozitive, dhe në vende të barabarta (e dyta, e katërta, etj.) - negativ. Shenjat alternojnë rreptësisht. Plus-minus-plus-minus... Ky progresion gjeometrik quhet - alternimi i shenjës në rritje.
Ku po shkojnë anëtarët e saj? Por askund.) Po, në vlerë absolute (d.m.th. modul) anëtarët e progresionit tonë rriten pa kufi (prandaj emri "rritje"). Por në të njëjtën kohë, secili anëtar i progresionit ju hedh në mënyrë alternative në nxehtësi, pastaj në të ftohtë. Ose "plus" ose "minus". Progresi ynë po lëkundet... Për më tepër, shtrirja e luhatjeve po rritet me shpejtësi me çdo hap, po.) Prandaj, aspiratat e anëtarëve të progresionit po shkojnë diku. konkretisht Këtu Nr. As në plus pafundësi, as në minus pafundësi, as në zero - askund.
Le të shqyrtojmë tani një emërues thyesor midis zeros dhe minus një.
Për shembull, le të jetë b 1 = 1 , A q = -1/2.
Pastaj marrim progresionin:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
Dhe përsëri kemi një alternim të shenjave! Por, ndryshe nga shembulli i mëparshëm, këtu tashmë ka një tendencë të qartë që termat t'i afrohen zeros.) Vetëm këtë herë termat tanë i afrohen zeros jo rreptësisht nga lart ose poshtë, por përsëri duke hezituar. Duke marrë në mënyrë alternative vlerat pozitive dhe negative. Por në të njëjtën kohë ata modulet po i afrohen gjithnjë e më shumë zeros së dashur.)
Ky progresion gjeometrik quhet shenjë pafundësisht në rënie, e alternuar.
Pse janë interesantë këta dy shembuj? Dhe fakti që në të dyja rastet zë vend shenja të alternuara! Ky truk është tipik vetëm për progresionet me emërues negativ, po.) Prandaj, nëse në ndonjë detyrë shihni një progresion gjeometrik me terma të alternuar, tashmë do ta dini me siguri se emëruesi i tij është 100% negativ dhe nuk do të gaboni. në shenjë.)
Nga rruga, në rastin e një emëruesi negativ, shenja e termit të parë nuk ndikon aspak në sjelljen e vetë progresionit. Pavarësisht nga shenja e afatit të parë të progresionit, në çdo rast do të respektohet shenja e termave. Pyetja e vetme është, në cilat vende(çift ose tek) do të ketë anëtarë me shenja specifike.
Mbani mend:
Nëse emëruesi i progresionit gjeometrik negativ , atëherë shenjat e kushteve të progresionit janë gjithmonë alternative.
Në të njëjtën kohë, vetë anëtarët:
a) rritje pa kufimodul, Nëseq<-1;
b) i afrohemi zeros pafundësisht nëse -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Kjo eshte e gjitha. Të gjitha rastet tipike janë analizuar.)
Në procesin e analizimit të një sërë shembujsh të progresioneve gjeometrike, kam përdorur periodikisht fjalët: "priret në zero", "priret në plus pafundësinë", "priret në minus pafundësi"... Është në rregull.) Këto figura të të folurit (dhe shembuj specifikë) janë vetëm një hyrje fillestare për sjellje një sërë sekuencash numrash. Duke përdorur shembullin e progresionit gjeometrik.
Pse duhet të dimë edhe sjelljen e progresionit? Çfarë ndryshimi ka se ku shkon ajo? Drejt zeros, në plus pafundësi, në minus pafundësi... Çfarë na bën kjo?
Gjë është se tashmë në universitet, në një kurs të matematikës më të lartë, do t'ju duhet aftësia për të punuar me një shumëllojshmëri të gjerë sekuencash numerike (me çdo, jo vetëm progresion!) dhe aftësia për të imagjinuar saktësisht se si kjo apo ajo sekuencë sillet - nëse rritet nëse zvogëlohet pafundësisht, nëse priret në një numër specifik (dhe jo domosdoshmërisht në zero), apo edhe nuk priret fare për asgjë... Një pjesë e tërë i kushtohet kësaj teme në kursin e matematikës. analiza - teoria e kufijve. Dhe pak më konkretisht - koncepti kufiri i sekuencës së numrave. Një temë shumë interesante! Ka kuptim të shkosh në kolegj dhe ta kuptosh.)
Disa shembuj nga ky seksion (sekuenca që kanë një kufi) dhe në veçanti, progresion gjeometrik pafundësisht në rënie Ata fillojnë të mësohen me të në shkollë. Ne po mësohemi me të.)
Për më tepër, aftësia për të studiuar mirë sjelljen e sekuencave do t'ju përfitojë shumë në të ardhmen dhe do të jetë shumë e dobishme në hulumtimi i funksionit. Më të ndryshmet. Por aftësia për të punuar me kompetencë me funksionet (llogaritni derivatet, studioni plotësisht, ndërtoni grafikët e tyre) tashmë rrit në mënyrë dramatike nivelin tuaj matematikor! A keni ndonjë dyshim? Nuk ka nevojë. Gjithashtu mbani mend fjalët e mia.)
Le të shohim progresionin gjeometrik në jetë?
Në jetën rreth nesh, ne hasim shumë, shumë shpesh progresion gjeometrik. Edhe pa e ditur atë.)
Për shembull, mikroorganizmat e ndryshëm që na rrethojnë kudo në sasi të mëdha dhe që ne nuk mund t'i shohim as pa mikroskop, shumohen saktësisht në progresion gjeometrik.
Le të themi se një bakter riprodhohet duke u ndarë në gjysmë, duke dhënë pasardhës në 2 baktere. Nga ana tjetër, secila prej tyre, kur shumëzohet, gjithashtu ndahet në gjysmë, duke dhënë një pasardhës të përbashkët të 4 baktereve. Brezi i ardhshëm do të prodhojë 8 baktere, pastaj 16 baktere, 32, 64 e kështu me radhë. Me çdo gjeneratë pasuese, numri i baktereve dyfishohet. Një shembull tipik i një progresion gjeometrik.)
Gjithashtu, disa insekte - aphids dhe miza - shumohen në mënyrë eksponenciale. Dhe ndonjëherë edhe lepujt, meqë ra fjala.)
Një shembull tjetër i një progresioni gjeometrik, më afër jetës së përditshme, është i ashtuquajturi interesi i përbërë. Ky fenomen interesant shpesh gjendet në depozitat bankare dhe quhet kapitalizimi i interesit. Cfare eshte?
Ju vetë, natyrisht, jeni ende i ri. Ju studioni në shkollë, nuk shkoni në banka. Por prindërit tuaj janë tashmë të rritur dhe njerëz të pavarur. Ata shkojnë në punë, fitojnë para për bukën e përditshme dhe një pjesë të parave i vendosin në bankë, duke bërë kursime.)
Le të themi se babai juaj dëshiron të kursejë një shumë të caktuar parash për një pushim familjar në Turqi dhe vendos 50,000 rubla në bankë me 10% në vit për një periudhë prej tre vjetësh. me kapitalizim vjetor interesi. Për më tepër, gjatë gjithë kësaj periudhe nuk mund të bëhet asgjë me depozitën. Ju as nuk mund të rimbushni depozitën dhe as të tërhiqni para nga llogaria. Sa fitim do të ketë ai pas këtyre tre viteve?
Epo, para së gjithash, ne duhet të kuptojmë se çfarë është 10% në vit. Do të thotë se ne një vit Banka do të shtojë 10% në shumën fillestare të depozitës. Nga çfarë? Sigurisht, nga shuma fillestare e depozitës.
Ne llogarisim madhësinë e llogarisë pas një viti. Nëse shuma fillestare e depozitës ishte 50,000 rubla (d.m.th. 100%), atëherë pas një viti do të ketë sa interes në llogari? Është e drejtë, 110%! Nga 50,000 rubla.
Pra, ne llogarisim 110% të 50,000 rubla:
50000·1.1 = 55000 rubla.
Shpresoj se e kuptoni se gjetja e 110% të një vlere do të thotë të shumëzosh atë vlerë me numrin 1.1? Nëse nuk e kuptoni pse është kështu, mbani mend klasat e pesta dhe të gjashta. Domethënë – lidhja ndërmjet përqindjeve dhe thyesave dhe pjesëve.)
Kështu, rritja për vitin e parë do të jetë 5000 rubla.
Sa para do të jenë në llogari në dy vjet? 60,000 rubla? Fatkeqësisht (ose më mirë, për fat të mirë), gjithçka nuk është aq e thjeshtë. E gjithë mashtrimi i kapitalizimit të interesit është se me çdo akumulim të ri interesi, të njëjtat interesa do të konsiderohen tashmë nga shuma e re! Nga ai që tashmëështë në llogari Për momentin. Dhe interesi i përllogaritur për periudhën e mëparshme i shtohet shumës fillestare të depozitës dhe, kështu, vetë merr pjesë në llogaritjen e interesit të ri! Kjo do të thotë, ato bëhen pjesë e plotë e llogarisë së përgjithshme. Ose e përgjithshme kapitale. Prandaj emri - kapitalizimi i interesit.
Është në ekonomi. Dhe në matematikë përqindje të tilla quhen interesi i përbërë. Ose përqindja e interesit.) Truku i tyre është se kur llogariten në mënyrë sekuenciale, përqindjet llogariten çdo herë nga vlera e re. Dhe jo nga origjinali...
Prandaj, për të llogaritur shumën përmes dy vjet, duhet të llogarisim 110% të shumës që do të jetë në llogari ne një vit. Kjo është, tashmë nga 55,000 rubla.
Ne llogarisim 110% të 55,000 rubla:
55000·1.1 = 60500 rubla.
Kjo do të thotë që rritja e përqindjes për vitin e dytë do të jetë 5,500 rubla, dhe për dy vjet - 10,500 rubla.
Tani mund të merrni me mend se pas tre vjetësh shuma në llogari do të jetë 110% e 60,500 rubla. Kjo është përsëri 110% nga ai i mëparshmi (viti i kaluar) shumat.
Këtu mendojmë:
60500·1.1 = 66550 rubla.
Tani le të rregullojmë shumat tona monetare sipas vitit në rend:
50000;
55000 = 50000·1,1;
60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;
66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1
Pra, si është ajo? Pse jo një progresion gjeometrik? Anëtari i parë b 1 = 50000 , dhe emëruesi q = 1,1 . Çdo term është rreptësisht 1.1 herë më i madh se ai i mëparshmi. Gjithçka është në përputhje të plotë me përkufizimin.)
Dhe sa bonuse shtesë interesi do të "akumulojë" babai juaj, ndërsa 50,000 rubla të tij qëndrojnë në llogarinë e tij bankare për tre vjet?
Ne numërojmë:
66550 - 50000 = 16550 rubla
Jo shumë, sigurisht. Por kjo është nëse shuma fillestare e depozitës është e vogël. Po sikur të ketë më shumë? Le të themi, jo 50, por 200 mijë rubla? Pastaj rritja gjatë tre viteve do të jetë 66,200 rubla (nëse bëni llogaritjen). E cila tashmë është shumë e mirë.) Po sikur kontributi të jetë edhe më i madh? Kjo eshte...
Përfundim: sa më e lartë të jetë depozita fillestare, aq më fitimprurës bëhet kapitalizimi i interesit. Kjo është arsyeja pse depozitat me kapitalizim interesi ofrohen nga bankat për periudha të gjata. Le të themi për pesë vjet.
Gjithashtu, të gjitha llojet e sëmundjeve të këqija si gripi, fruthi dhe sëmundjet edhe më të tmerrshme (i njëjti SARS në fillim të viteve 2000 ose murtaja në mesjetë) pëlqejnë të përhapen në mënyrë eksponenciale. Prandaj shkalla e epidemive, po...) Dhe e gjitha për faktin se progresioni gjeometrik me emërues i tërë pozitiv (q>1) – një gjë që rritet shumë shpejt! Mbani mend riprodhimin e baktereve: nga një bakter fitohen dy, nga dy - katër, nga katër - tetë, e kështu me radhë... Është e njëjta gjë me përhapjen e çdo infeksioni.)
Problemet më të thjeshta mbi progresionin gjeometrik.
Le të fillojmë, si gjithmonë, me një problem të thjeshtë. Thjesht për të kuptuar kuptimin.
1. Dihet se termi i dytë i progresionit gjeometrik është 6, kurse emëruesi është -0,5. Gjeni termat e parë, të tretë dhe të katërt.
Pra, ne jemi të dhënë pafund progresion gjeometrik, por i njohur mandati i dytë ky progres:
b 2 = 6
Përveç kësaj, ne gjithashtu e dimë emëruesi i progresionit:
q = -0,5
Dhe ju duhet të gjeni e para, e treta Dhe e katërta anëtarët e këtij progresi.
Pra veprojmë. Ne shkruajmë sekuencën sipas kushteve të problemit. Direkt në formë të përgjithshme, ku termi i dytë është gjashtë:
b 1, 6,b 3 , b 4 , …
Tani le të fillojmë të kërkojmë. Ne fillojmë, si gjithmonë, me më të thjeshtat. Ju mund të llogaritni, për shembull, termin e tretë b 3? Mund! Ju dhe unë tashmë e dimë (drejtpërsëdrejti në kuptimin e progresionit gjeometrik) se termi i tretë (b 3) më shumë se e dyta (b 2 ) V "q" një herë!
Kështu që ne shkruajmë:
b 3 =b 2 · q
Ne zëvendësojmë gjashtë në këtë shprehje në vend të b 2 dhe -0.5 në vend q dhe ne numërojmë. Dhe nuk e anashkalojmë as minusin, sigurisht...
b 3 = 6·(-0,5) = -3
Si kjo. Mandati i tretë doli negativ. Nuk është çudi: emëruesi ynë q- negativ. Dhe shumëzimi i një plus me një minus, natyrisht, do të jetë një minus.)
Tani numërojmë termin tjetër, të katërt të progresionit:
b 4 =b 3 · q
b 4 = -3·(-0,5) = 1,5
Mandati i katërt është përsëri me një plus. Termi i pestë do të jetë përsëri minus, i gjashti do të jetë plus, e kështu me radhë. Shenjat alternohen!
Pra, u gjetën termat e tretë dhe të katërt. Rezultati është sekuenca e mëposhtme:
b 1 ; 6; -3; 1.5; ...
Tani mbetet vetëm gjetja e mandatit të parë b 1 sipas të dytës së njohur. Për ta bërë këtë, ne hapim në drejtimin tjetër, në të majtë. Kjo do të thotë që në këtë rast nuk kemi nevojë të shumëzojmë termin e dytë të progresionit me emëruesin, por ndajnë.
Ne ndajmë dhe marrim:
Kjo është e gjitha.) Përgjigja për problemin do të jetë si kjo:
-12; 6; -3; 1,5; …
Siç mund ta shihni, parimi i zgjidhjes është i njëjtë si në . E dimë ndonjë anëtar dhe emërues progresion gjeometrik - mund të gjejmë çdo anëtar tjetër të tij. Do të gjejmë atë që duam.) I vetmi ndryshim është se mbledhja/zbritja zëvendësohet me shumëzim/pjestim.
Mbani mend: nëse njohim të paktën një anëtar dhe emërues të një progresioni gjeometrik, atëherë mund të gjejmë gjithmonë ndonjë anëtar tjetër të këtij progresioni.
Problemi i mëposhtëm, sipas traditës, është nga një version real i OGE:
2.
...; 150; X; 6; 1.2; ...
Pra, si është ajo? Këtë herë nuk ka asnjë term të parë, asnjë emërues q, jepet vetëm një sekuencë numrash... Diçka tashmë e njohur, apo jo? Po! Një problem i ngjashëm tashmë është zgjidhur në progresionin aritmetik!
Pra, ne nuk kemi frikë. Te gjitha njesoj. Le të kthehemi në kokë dhe të kujtojmë kuptimin elementar të progresionit gjeometrik. Ne shikojmë me kujdes sekuencën tonë dhe kuptojmë se cilët parametra të progresionit gjeometrik të tre atyre kryesore (termi i parë, emëruesi, numri i termit) janë të fshehura në të.
Numrat e anëtarëve? Nuk ka numra anëtarësie, po... Por janë katër të njëpasnjëshme numrat. Unë nuk shoh ndonjë kuptim për të shpjeguar se çfarë do të thotë kjo fjalë në këtë fazë.) A ka dy në këtë sekuencë? numrat fqinjë të njohur? Hani! Këto janë 6 dhe 1.2. Kështu që ne mund të gjejmë emëruesi i progresionit. Pra marrim numrin 1.2 dhe ndajmë në numrin e mëparshëm. Deri në gjashtë.
Ne marrim:
Ne marrim:
x= 150·0,2 = 30
Përgjigje: x = 30 .
Siç mund ta shihni, gjithçka është mjaft e thjeshtë. Vështirësia kryesore është vetëm në llogaritjet. Është veçanërisht e vështirë në rastin e emëruesve negativë dhe thyesorë. Pra, ata që kanë probleme, përsërisin aritmetikën! Si të punosh me thyesa, si të punosh me numra negativë e kështu me radhë... Përndryshe, këtu do të ngadalësosh pa mëshirë.
Tani le ta modifikojmë pak problemin. Tani do të bëhet interesante! Le të heqim numrin e fundit 1.2 prej tij. Tani le ta zgjidhim këtë problem:
3. Janë shkruar disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit gjeometrik:
...; 150; X; 6; ...
Gjeni termin e progresionit të treguar me shkronjën x.
Gjithçka është e njëjtë, vetëm dy ngjitur i famshëm Tani nuk kemi anëtarë të progresionit. Ky është problemi kryesor. Sepse madhësia q përmes dy termave fqinjë mund të përcaktojmë lehtësisht ne nuk mundemi. A kemi një shans për të përballuar detyrën? Sigurisht!
Le të shkruajmë termin e panjohur " x"drejtpërdrejt në kuptimin e progresionit gjeometrik! Në terma të përgjithshëm.
Po Po! E drejta me një emërues të panjohur!
Nga njëra anë, për X mund të shkruajmë raportin e mëposhtëm:
x= 150·q
Nga ana tjetër, ne kemi çdo të drejtë ta përshkruajmë të njëjtin X përmes tjetër anëtar, deri në gjashtë! Ndani gjashtë me emëruesin.
Si kjo:
x = 6/ q
Natyrisht, tani ne mund të barazojmë të dyja këto raporte. Meqë po shprehemi e njëjta madhësia (x), por dy menyra te ndryshme.
Ne marrim ekuacionin:
Duke shumëzuar gjithçka me q, duke thjeshtuar dhe shkurtuar, marrim ekuacionin:
q2 = 1/25
Ne zgjidhim dhe marrim:
q = ±1/5 = ±0,2
Oops! Emëruesi doli i dyfishtë! +0.2 dhe -0.2. Dhe cilën duhet të zgjidhni? Rrugë pa krye?
Qetë! Po, problemi ka vërtet dy zgjidhje! Nuk ka asgjë të keqe me këtë. Ndodh.) Nuk habiteni kur, për shembull, merrni dy rrënjë kur zgjidhni problemin e zakonshëm? Është e njëjta histori këtu.)
Për q = +0,2 do të marrim:
X = 150 0,2 = 30
Dhe për q = -0,2 do:
X = 150·(-0,2) = -30
Ne marrim një përgjigje të dyfishtë: x = 30; x = -30.
Çfarë do të thotë ky fakt interesant? Dhe çfarë ekziston dy progresione, duke plotësuar kushtet e problemit!
Si këto:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Të dyja janë të përshtatshme.) Pse mendoni se kemi pasur një ndarje në përgjigje? Vetëm për shkak të eliminimit të një anëtari specifik të progresionit (1,2), që vjen pas gjashtë. Dhe duke ditur vetëm termat e mëparshëm (n-1) dhe të mëpasshëm (n+1) të progresionit gjeometrik, nuk mund të themi më asgjë pa mëdyshje për termin e n-të që qëndron midis tyre. Ekzistojnë dy mundësi - me një plus dhe me një minus.
Por nuk ka problem. Si rregull, në detyrat mbi progresionin gjeometrik ka informacion shtesë që jep një përgjigje të paqartë. Le të themi fjalët: "progresi alternativ" ose "progresi me emërues pozitiv" e kështu me radhë... Janë këto fjalë që duhet të shërbejnë si indicie se cila shenjë, plus ose minus, duhet zgjedhur gjatë përgatitjes së përgjigjes përfundimtare. Nëse nuk ka një informacion të tillë, atëherë po, detyra do të ketë dy zgjidhje.)
Tani vendosim vetë.
4. Përcaktoni nëse numri 20 është anëtar i një progresion gjeometrik:
4 ; 6; 9; …
5. Është dhënë shenja e një progresion gjeometrik të alternuar:
…; 5; x ; 45; …
Gjeni termin e progresionit të treguar me shkronjë x .
6. Gjeni termin e katërt pozitiv të progresionit gjeometrik:
625; -250; 100; …
7. Termi i dytë i progresionit gjeometrik është i barabartë me -360, dhe termi i pestë i tij është i barabartë me 23.04. Gjeni termin e parë të këtij përparimi.
Përgjigjet (në çrregullim): -15; 900; Jo; 2.56.
Urime nëse gjithçka funksionoi!
Diçka nuk përshtatet? Diku kishte një përgjigje të dyfishtë? Lexoni me kujdes kushtet e detyrës!
Problemi i fundit nuk funksionon? Nuk ka asgjë të komplikuar atje.) Punojmë drejtpërdrejt sipas kuptimit të progresionit gjeometrik. Epo, mund të vizatoni një figurë. Te ndihmon.)
Siç mund ta shihni, gjithçka është elementare. Nëse progresioni është i shkurtër. Po sikur të jetë e gjatë? Apo numri i anëtarit të kërkuar është shumë i madh? Unë do të doja, në analogji me progresionin aritmetik, të merrja disi një formulë të përshtatshme që e bën të lehtë gjetjen ndonjë term i çdo progresioni gjeometrik me numrin e tij. Pa shumëzuar shumë e shumë herë q. Dhe ka një formulë të tillë!) Detajet janë në mësimin tjetër.
A e dini legjendën e mahnitshme për kokrrat në një tabelë shahu?
Legjenda e kokrrave në një tabelë shahu
Kur krijuesi i shahut (një matematikan i lashtë indian i quajtur Sessa) ia tregoi shpikjen e tij sundimtarit të vendit, atij i pëlqeu aq shumë loja saqë i lejoi shpikësit të drejtën të zgjidhte vetë shpërblimin. I urti i kërkoi mbretit t'i paguante një kokërr grurë për katrorin e parë të tabelës së shahut, dy për të dytin, katër për të tretën, etj., duke dyfishuar numrin e kokrrave në çdo katror të mëpasshëm. Sundimtari, i cili nuk e kuptonte matematikën, u pajtua shpejt, madje duke u ofenduar disi nga një vlerësim kaq i ulët i shpikjes, dhe urdhëroi arkëtarin të llogariste dhe t'i jepte shpikësit sasinë e kërkuar të grurit. Megjithatë, kur një javë më vonë, arkëtari ende nuk mund të llogariste se sa kokrra duheshin, sundimtari pyeti se cila ishte arsyeja e vonesës. Arkëtari i tregoi llogaritë dhe tha se ishte e pamundur të paguante mbreti i dëgjoi me habi fjalët e plakut.
Më thuaj këtë numër monstruoz,” tha ai.
18 kuintilion 446 kadrilion 744 trilion 73 miliardë 709 milion 551 mijë 615, o Zot!
Nëse supozojmë se një kokërr gruri ka një masë prej 0,065 gram, atëherë masa totale e grurit në tabelën e shahut do të jetë 1200 trilion tonë, që është më shumë se i gjithë vëllimi i grurit të korrur në të gjithë historinë e njerëzimit!
Përkufizimi
Progresioni gjeometrik- sekuenca e numrave ( anëtarët e progresionit) në të cilin çdo numër pasues, duke filluar nga i dyti, merret nga ai i mëparshmi duke e shumëzuar me një numër të caktuar ( emëruesi i progresionit):
Për shembull, sekuenca 1, 2, 4, 8, 16, ... është gjeometrike ()
Progresioni gjeometrik
Emëruesi i progresionit gjeometrik
Veti karakteristike e progresionit gjeometrik
Për title="Renderuar nga QuickLaTeX.com" height="15" width="48" style="vertical-align: -1px;">!}
Një sekuencë është gjeometrike nëse dhe vetëm nëse lidhja e mësipërme vlen për çdo n > 1.
Në veçanti, për një progresion gjeometrik me terma pozitivë, është e vërtetë:
Formula për termin e n-të të një progresion gjeometrik
Shuma e n termave të parë të një progresion gjeometrik
(nese atehere)
Progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie
Kur , quhet progresion gjeometrik pafundësisht në rënie . Shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie është numri dhe
Shembuj
Shembulli 1.
Sekuenca () - progresion gjeometrik.
Gjeni nëse
Zgjidhja:
Sipas formulës kemi:
Shembulli 2.
Gjeni emëruesin e progresionit gjeometrik (), në të cilin
Progresionet aritmetike dhe gjeometrike
Informacion teorik
Informacion teorik
Progresioni aritmetik |
Progresioni gjeometrik |
|
Përkufizimi |
Progresioni aritmetik a nështë një sekuencë në të cilën çdo anëtar, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me anëtarin e mëparshëm të shtuar në të njëjtin numër d (d- dallimi i progresionit) |
Progresioni gjeometrik b nështë një sekuencë numrash jozero, secili term i të cilit, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me termin e mëparshëm të shumëzuar me të njëjtin numër q (q- emëruesi i progresionit) |
Formula e përsëritjes |
Për çdo natyrale n |
Për çdo natyrale n |
Formula e termit të ntë |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Veti karakteristike |  |
|
| Shuma e n termave të parë |  |
 |
Shembuj detyrash me komente
Ushtrimi 1
Në progresion aritmetik ( a n) a 1 = -6, a 2
Sipas formulës së termit të n-të:
një 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Sipas kushtit:
a 1= -6, atëherë një 22= -6 + 21 d .
Është e nevojshme të gjesh ndryshimin e progresioneve:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
një 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Përgjigje: një 22 = -48.
Detyra 2
Gjeni termin e pestë të progresionit gjeometrik: -3; 6;....
Metoda 1 (duke përdorur formulën n-term)
Sipas formulës për termin e n-të të një progresion gjeometrik:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Sepse b 1 = -3,
Metoda e dytë (duke përdorur formulën e përsëritur)
Meqenëse emëruesi i progresionit është -2 (q = -2), atëherë:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Përgjigje: b 5 = -48.
Detyra 3
Në progresion aritmetik ( a n) a 74 = 34; një 76= 156. Gjeni termin e shtatëdhjetë e pestë të këtij progresioni.
Për një progresion aritmetik, vetia karakteristike ka formën 
.
Prandaj:
.
Le t'i zëvendësojmë të dhënat në formulën:
Përgjigje: 95.
Detyra 4
Në progresion aritmetik ( a n) a n= 3n - 4. Gjeni shumën e shtatëmbëdhjetë anëtarëve të parë.
Për të gjetur shumën e n termave të parë të një progresion aritmetik, përdoren dy formula:
.
Cili prej tyre është më i përshtatshëm për t'u përdorur në këtë rast?
Sipas kushtit, formula për termin e n-të të progresionit origjinal është e njohur ( a n) a n= 3n - 4. Ju mund të gjeni menjëherë dhe a 1, Dhe një 16 pa gjetur d. Prandaj, ne do të përdorim formulën e parë.
Përgjigje: 368.
Detyra 5
Në progresion aritmetik ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Gjeni termin e njëzet e dytë të progresionit.
Sipas formulës së termit të n-të:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 ditë.
Me kusht, nëse a 1= -6, atëherë një 22= -6 + 21d . Është e nevojshme të gjesh ndryshimin e progresioneve:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
një 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Përgjigje: një 22 = -48.
Detyra 6
Shkruhen disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit gjeometrik:
Gjeni termin e progresionit të treguar nga x.
Gjatë zgjidhjes, ne do të përdorim formulën për termin e n-të b n = b 1 ∙ q n - 1 për progresionet gjeometrike. Afati i parë i progresionit. Për të gjetur emëruesin e progresionit q, duhet të merrni cilindo nga termat e dhënë të progresionit dhe të ndani me atë të mëparshëm. Në shembullin tonë, ne mund të marrim dhe të ndajmë me. Ne marrim q = 3. Në vend të n, ne zëvendësojmë 3 në formulë, pasi është e nevojshme të gjejmë termin e tretë të një progresion të caktuar gjeometrik.
Duke zëvendësuar vlerat e gjetura në formulë, marrim:
.
Përgjigje:.
Detyra 7
Nga progresionet aritmetike të dhëna nga formula e termit të n-të, zgjidhni atë për të cilin kushti është i plotësuar. një 27 > 9:
Meqenëse kushti i dhënë duhet të plotësohet për termin e 27-të të progresionit, ne zëvendësojmë 27 në vend të n në secilin nga katër progresionet. Në progresionin e 4-të marrim:
.
Përgjigje: 4.
Detyra 8
Në progresion aritmetik a 1= 3, d = -1,5. Specifikoni vlerën më të madhe të n-së për të cilën vlen pabarazia a n > -6.