Ekstrema e një kalkulatori në internet funksioni. Si të gjeni ekstremumin (pikat minimale dhe maksimale) të një funksioni

Një informacion shumë i rëndësishëm për sjelljen e një funksioni jepet nga intervalet në rritje dhe në ulje. Gjetja e tyre është pjesë e procesit të ekzaminimit të funksionit dhe vizatimit të grafikut. Për më tepër, pikave ekstreme në të cilat ka një ndryshim nga rritja në ulje ose nga zvogëlimi në rritje u kushtohet vëmendje e veçantë kur gjenden vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në një interval të caktuar.

Në këtë artikull do të japim përkufizimet e nevojshme, do të formulojmë një kriter të mjaftueshëm për rritjen dhe uljen e një funksioni në një interval dhe kushte të mjaftueshme për ekzistencën e një ekstremi dhe do ta zbatojmë të gjithë këtë teori për zgjidhjen e shembujve dhe problemeve.

Navigimi i faqes.

Funksioni rritës dhe pakësues në një interval.

Përkufizimi i një funksioni në rritje.

Funksioni y=f(x) rritet në intervalin X nëse për ndonjë dhe qëndron pabarazia. Me fjalë të tjera, një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit.

Përkufizimi i një funksioni në rënie.

Funksioni y=f(x) zvogëlohet në intervalin X nëse për ndonjë dhe pabarazia qëndron . Me fjalë të tjera, një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.

SHËNIM: nëse funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në skajet e intervalit në rritje ose në zvogëlim (a;b), pra në x=a dhe x=b, atëherë këto pika përfshihen në intervalin në rritje ose në ulje. Kjo nuk bie ndesh me përkufizimet e një funksioni në rritje dhe në rënie në intervalin X.

Për shembull, nga vetitë e funksioneve elementare bazë dimë se y=sinx është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm për të gjitha vlerat reale të argumentit. Prandaj, nga rritja e funksionit të sinusit në interval, mund të pohojmë se ai rritet në interval.

Pika ekstreme, ekstreme të një funksioni.

Pika quhet pikë maksimale funksioni y=f(x) nëse pabarazia është e vërtetë për të gjithë x në lagjen e tij. Vlera e funksionit në pikën maksimale quhet maksimumi i funksionit dhe shënoni .

Pika quhet pikë minimale funksioni y=f(x) nëse pabarazia është e vërtetë për të gjithë x në lagjen e tij. Vlera e funksionit në pikën minimale quhet funksioni minimal dhe shënoni .

Lagjja e një pike kuptohet si interval , ku është një numër mjaft i vogël pozitiv.

Quhen pikët minimale dhe maksimale pika ekstreme, dhe quhen vlerat e funksionit që korrespondojnë me pikat ekstreme ekstreme të funksionit.

Mos ngatërroni ekstremet e një funksioni me vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit.

Në figurën e parë, vlera më e madhe e funksionit në segment arrihet në pikën maksimale dhe është e barabartë me maksimumin e funksionit, dhe në figurën e dytë, vlera më e madhe e funksionit arrihet në pikën x=b. , e cila nuk është pika maksimale.

Kushtet e mjaftueshme për rritjen dhe zvogëlimin e funksioneve.

Në bazë të kushteve (shenjave) të mjaftueshme për rritjen dhe uljen e një funksioni, gjenden intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit.

Këtu janë formulimet e shenjave të rritjes dhe zvogëlimit të funksioneve në një interval:

• nëse derivati ​​i funksionit y=f(x) është pozitiv për çdo x nga intervali X, atëherë funksioni rritet me X;
• nëse derivati ​​i funksionit y=f(x) është negativ për çdo x nga intervali X, atëherë funksioni zvogëlohet në X.

Kështu, për të përcaktuar intervalet e rritjes dhe uljes së një funksioni, është e nevojshme:

Le të shqyrtojmë një shembull të gjetjes së intervaleve të funksioneve në rritje dhe zvogëlim për të shpjeguar algoritmin.

Shembull.

Gjeni intervalet e funksionit zmadhues dhe zbritës.

Zgjidhje.

Hapi i parë është gjetja e domenit të përkufizimit të funksionit. Në shembullin tonë, shprehja në emërues nuk duhet të shkojë në zero, prandaj, .

Le të kalojmë në gjetjen e derivatit të funksionit:

Për të përcaktuar intervalet e rritjes dhe zvogëlimit të një funksioni bazuar në një kriter të mjaftueshëm, ne zgjidhim pabarazitë në fushën e përkufizimit. Le të përdorim një përgjithësim të metodës së intervalit. Rrënja e vetme reale e numëruesit është x = 2, dhe emëruesi shkon në zero në x=0. Këto pika e ndajnë domenin e përkufizimit në intervale në të cilat derivati ​​i funksionit ruan shenjën e tij. Le t'i shënojmë këto pika në vijën numerike. Në mënyrë konvencionale shënojmë me pluse dhe minuse intervalet në të cilat derivati ​​është pozitiv ose negativ. Shigjetat e mëposhtme tregojnë në mënyrë skematike rritjen ose uljen e funksionit në intervalin përkatës.

Kështu, Dhe .

Në pikën Funksioni x=2 është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm, kështu që duhet t'i shtohet intervalit në rritje dhe në zvogëlim. Në pikën x=0 funksioni nuk është i përcaktuar, kështu që këtë pikë nuk e përfshijmë në intervalet e kërkuara.

Ne paraqesim një grafik të funksionit për të krahasuar rezultatet e marra me të.

Përgjigje:

Funksioni rritet me , zvogëlohet në intervalin (0;2] .

Kushtet e mjaftueshme për ekstremin e një funksioni.

Për të gjetur maksimumin dhe minimumin e një funksioni, mund të përdorni një nga tre shenjat e ekstremit, natyrisht, nëse funksioni i plotëson kushtet e tyre. Më e zakonshme dhe më e përshtatshme është e para prej tyre.

Kushti i parë i mjaftueshëm për një ekstrem.

Le të jetë funksioni y=f(x) i diferencueshëm në - fqinjësinë e pikës dhe i vazhdueshëm në vetë pikën.

Me fjale te tjera:

Algoritmi për gjetjen e pikave ekstreme bazuar në shenjën e parë të ekstremit të një funksioni.

• Gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit.
• Derivatin e funksionit e gjejmë në fushën e përkufizimit.
• Ne përcaktojmë zerot e numëruesit, zerot e emëruesit të derivatit dhe pikat e fushës së përkufizimit në të cilat derivati ​​nuk ekziston (të gjitha pikat e listuara quhen pikat e ekstremit të mundshëm, duke kaluar nëpër këto pika, derivati ​​thjesht mund të ndryshojë shenjën e tij).
• Këto pika e ndajnë domenin e përkufizimit të funksionit në intervale në të cilat derivati ​​ruan shenjën e tij. Ne përcaktojmë shenjat e derivatit në secilin prej intervaleve (për shembull, duke llogaritur vlerën e derivatit të një funksioni në çdo pikë në një interval të caktuar).
• Ne zgjedhim pikat në të cilat funksioni është i vazhdueshëm dhe, duke kaluar nëpër të cilat, derivati ​​ndryshon shenjën - këto janë pikat ekstreme.

Ka shumë fjalë, le të shohim më mirë disa shembuj të gjetjes së pikave ekstreme dhe ekstremeve të një funksioni duke përdorur kushtin e parë të mjaftueshëm për ekstremin e një funksioni.

Shembull.

Gjeni ekstremin e funksionit.

Zgjidhje.

Fusha e një funksioni është tërësia e numrave realë përveç x=2.

Gjetja e derivatit:

Zerot e numëruesit janë pikat x=-1 dhe x=5, emëruesi shkon në zero në x=2. Shënoni këto pika në boshtin e numrave

Përcaktojmë shenjat e derivatit në çdo interval për ta bërë këtë, llogarisim vlerën e derivatit në secilën nga pikat e çdo intervali, për shembull, në pikat x=-2, x=0, x=3 dhe; x=6.

Prandaj, në interval derivati ​​është pozitiv (në figurë vendosim një shenjë plus mbi këtë interval). Po kështu

Prandaj, vendosim një minus mbi intervalin e dytë, një minus mbi të tretën dhe një plus mbi të katërtin.

Mbetet për të zgjedhur pikat në të cilat funksioni është i vazhdueshëm dhe derivati ​​i tij ndryshon shenjën. Këto janë pikat ekstreme.

Në pikën x=-1 funksioni është i vazhdueshëm dhe derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus, prandaj, sipas shenjës së parë të ekstremit, x=-1 është pika maksimale, maksimumi i funksionit korrespondon me të. .

Në pikën x=5 funksioni është i vazhdueshëm dhe derivati ​​ndryshon shenjën nga minus në plus, pra, x=-1 është pika minimale, minimumi i funksionit i korrespondon asaj. .

Ilustrim grafik.

Përgjigje:

JU LUTEM KUJDES: kriteri i parë i mjaftueshëm për një ekstrem nuk kërkon diferencim të funksionit në vetë pikën.

Shembull.

Gjeni pikat ekstreme dhe ekstremet e funksionit .

Zgjidhje.

Fusha e një funksioni është tërësia e numrave realë. Vetë funksioni mund të shkruhet si:

Le të gjejmë derivatin e funksionit:

Në pikën x=0 derivati ​​nuk ekziston, pasi vlerat e kufijve të njëanshëm nuk përkojnë kur argumenti tenton në zero:

Në të njëjtën kohë, funksioni origjinal është i vazhdueshëm në pikën x=0 (shih seksionin për studimin e funksionit për vazhdimësinë):

Le të gjejmë vlerën e argumentit në të cilin derivati ​​shkon në zero:

Le të shënojmë të gjitha pikat e marra në vijën numerike dhe të përcaktojmë shenjën e derivatit në secilin nga intervalet. Për ta bërë këtë, ne llogarisim vlerat e derivatit në pika arbitrare të secilit interval, për shembull, në x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Kjo eshte,

Kështu, sipas shenjës së parë të një ekstremi, pikët minimale janë , pikët maksimale janë .

Ne llogarisim minimumin përkatës të funksionit

Ne llogarisim maksimumin përkatës të funksionit

Ilustrim grafik.

Përgjigje:

.

Shenja e dytë e një ekstremi të një funksioni.

Siç mund ta shihni, kjo shenjë e një ekstremi të një funksioni kërkon ekzistencën e një derivati ​​të paktën në rendin e dytë në pikë.

Për të përcaktuar natyrën e një funksioni dhe për të folur për sjelljen e tij, është e nevojshme të gjenden intervalet e rritjes dhe uljes. Ky proces quhet hulumtimi i funksionit dhe grafiku. Pika ekstreme përdoret për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni, pasi në to funksioni rritet ose zvogëlohet nga intervali.

Ky artikull zbulon përkufizimet, formulon një shenjë të mjaftueshme të rritjes dhe uljes së intervalit dhe një kusht për ekzistencën e një ekstremi. Kjo vlen për zgjidhjen e shembujve dhe problemeve. Seksioni për funksionet diferencuese duhet të përsëritet, sepse zgjidhja do të duhet të përdorë gjetjen e derivatit.

Përkufizimi 1

Funksioni y = f (x) do të rritet në intervalin x kur, për çdo x 1 ∈ X dhe x 2 ∈ X, x 2 > x 1, pabarazia f (x 2) > f (x 1) plotësohet. Me fjalë të tjera, një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit.

Përkufizimi 2

Funksioni y = f (x) konsiderohet të jetë në rënie në intervalin x kur, për çdo x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, barazia f (x 2) > f (x 1) konsiderohet e vërtetë. Me fjalë të tjera, një vlerë më e madhe funksioni korrespondon me një vlerë më të vogël të argumentit. Konsideroni figurën më poshtë.

Koment: Kur funksioni është i caktuar dhe i vazhdueshëm në skajet e intervalit të rritjes dhe zvogëlimit, domethënë (a; b), ku x = a, x = b, pikat përfshihen në intervalin e rritjes dhe zvogëlimit. Kjo nuk bie ndesh me përkufizimin, do të thotë se ndodh në intervalin x.

Vetitë kryesore të funksioneve elementare të tipit y = sin x janë siguria dhe vazhdimësia për vlerat reale të argumenteve. Nga këtu marrim se sinusi rritet gjatë intervalit - π 2; π 2, atëherë rritja në segment ka formën - π 2; π 2.

Përkufizimi 3

Pika x 0 quhet pikë maksimale për funksionin y = f (x), kur për të gjitha vlerat e x është i vlefshëm pabarazia f (x 0) ≥ f (x). Funksioni maksimalështë vlera e funksionit në një pikë dhe shënohet me y m a x.

Pika x 0 quhet pika minimale për funksionin y = f (x), kur për të gjitha vlerat e x është e vlefshme pabarazia f (x 0) ≤ f (x). Funksionet minimaleështë vlera e funksionit në një pikë dhe ka një emërtim të formës y m i n.

Konsiderohen lagjet e pikës x 0 pika ekstreme, dhe vlera e funksionit që korrespondon me pikat ekstreme. Konsideroni figurën më poshtë.

Ekstrema e një funksioni me vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit. Konsideroni figurën më poshtë.

Figura e parë thotë se është e nevojshme të gjendet vlera më e madhe e funksionit nga segmenti [a; b]. Gjendet duke përdorur pikat maksimale dhe është e barabartë me vlerën maksimale të funksionit, dhe figura e dytë është më shumë si gjetja e pikës maksimale në x = b.

Kushtet e mjaftueshme që një funksion të rritet dhe ulet

Për të gjetur maksimumin dhe minimumin e një funksioni, është e nevojshme të aplikohen shenjat e ekstremit në rastin kur funksioni i plotëson këto kushte. Shenja e parë konsiderohet më e përdorura.

Kushti i parë i mjaftueshëm për një ekstrem

Përkufizimi 4

Le të jepet një funksion y = f (x), i cili është i diferencueshëm në një lagje ε të pikës x 0 dhe ka vazhdimësi në pikën e dhënë x 0. Nga këtu e marrim atë

• kur f " (x) > 0 me x ∈ (x 0 - ε ; x 0) dhe f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• kur f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 për x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), atëherë x 0 është pika minimale.

Me fjalë të tjera, marrim kushtet e tyre për vendosjen e shenjës:

• kur funksioni është i vazhdueshëm në pikën x 0, atëherë ai ka një derivat me shenjë ndryshimi, domethënë nga + në -, që do të thotë se pika quhet maksimum;
• kur funksioni është i vazhdueshëm në pikën x 0, atëherë ai ka një derivat me shenjë ndryshimi nga - në +, që do të thotë se pika quhet minimale.

Për të përcaktuar saktë pikat maksimale dhe minimale të një funksioni, duhet të ndiqni algoritmin për gjetjen e tyre:

• gjeni domenin e përkufizimit;
• gjeni derivatin e funksionit në këtë zonë;
• të identifikojë zero dhe pika ku funksioni nuk ekziston;
• përcaktimi i shenjës së derivatit në intervale;
• zgjidhni pikat ku funksioni ndryshon shenjën.

Le të shqyrtojmë algoritmin duke zgjidhur disa shembuj të gjetjes së ekstremeve të një funksioni.

Shembulli 1

Gjeni pikat maksimale dhe minimale të funksionit të dhënë y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Zgjidhje

Fusha e përkufizimit të këtij funksioni janë të gjithë numrat realë përveç x = 2. Së pari, le të gjejmë derivatin e funksionit dhe të marrim:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Nga këtu shohim se zerot e funksionit janë x = - 1, x = 5, x = 2, domethënë secila kllapa duhet të barazohet me zero. Le ta shënojmë në boshtin e numrave dhe të marrim:

Tani përcaktojmë shenjat e derivatit nga çdo interval. Është e nevojshme të zgjidhni një pikë të përfshirë në interval dhe ta zëvendësoni atë në shprehje. Për shembull, pikat x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Ne e kuptojmë atë

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, që do të thotë se intervali - ∞ - 1 ka një derivat pozitiv në mënyrë të ngjashme.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Meqenëse intervali i dytë doli të jetë më i vogël se zero, do të thotë që derivati ​​në interval do të jetë negativ. E treta me një minus, e katërta me një plus. Për të përcaktuar vazhdimësinë, duhet t'i kushtoni vëmendje shenjës së derivatit nëse ndryshon, atëherë kjo është një pikë ekstreme.

Konstatojmë se në pikën x = - 1 funksioni do të jetë i vazhdueshëm, që do të thotë se derivati ​​do të ndryshojë shenjën nga + në -. Sipas shenjës së parë, ne kemi se x = - 1 është një pikë maksimale, që do të thotë se marrim

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Pika x = 5 tregon se funksioni është i vazhdueshëm dhe derivati ​​do të ndryshojë shenjën nga – në +. Kjo do të thotë se x = -1 është pika minimale, dhe përcaktimi i saj ka formën

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Imazhi grafik

Përgjigje: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Vlen t'i kushtohet vëmendje faktit që përdorimi i kriterit të parë të mjaftueshëm për një ekstrem nuk kërkon diferencueshmërinë e funksionit në pikën x 0, kjo thjeshton llogaritjen.

Shembulli 2

Gjeni pikat maksimale dhe minimale të funksionit y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Zgjidhje.

Fusha e një funksioni është të gjithë numrat realë. Kjo mund të shkruhet si një sistem ekuacionesh të formës:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Pastaj ju duhet të gjeni derivatin:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Pika x = 0 nuk ka një derivat, sepse vlerat e kufijve të njëanshëm janë të ndryshme. Ne marrim se:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Nga kjo rrjedh se funksioni është i vazhdueshëm në pikën x = 0, atëherë ne llogarisim

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Është e nevojshme të kryhen llogaritjet për të gjetur vlerën e argumentit kur derivati ​​bëhet zero:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Të gjitha pikat e marra duhet të shënohen në një vijë të drejtë për të përcaktuar shenjën e çdo intervali. Prandaj, është e nevojshme të llogaritet derivati ​​në pika arbitrare për çdo interval. Për shembull, mund të marrim pikë me vlera x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Ne e kuptojmë atë

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Imazhi në vijën e drejtë duket si

Kjo do të thotë se arrijmë në përfundimin se është e nevojshme t'i drejtohemi shenjës së parë të një ekstremi. Le ta llogarisim dhe ta gjejmë atë

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , pastaj nga këtu pikët maksimale kanë vlerat x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Le të kalojmë në llogaritjen e minimumeve:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Le të llogarisim maksimumin e funksionit. Ne e kuptojmë atë

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Imazhi grafik

Përgjigje:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 m 27 x3 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Nëse është dhënë një funksion f " (x 0) = 0, atëherë nëse f "" (x 0) > 0, marrim se x 0 është një pikë minimale nëse f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Shembulli 3

Gjeni maksimumin dhe minimumin e funksionit y = 8 x x + 1.

Zgjidhje

Së pari, gjejmë domenin e përkufizimit. Ne e kuptojmë atë

D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Është e nevojshme të diferencojmë funksionin, pas së cilës marrim

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Në x = 1, derivati ​​bëhet zero, që do të thotë se pika është një ekstrem i mundshëm. Për të sqaruar, është e nevojshme të gjendet derivati ​​i dytë dhe të llogaritet vlera në x = 1. Ne marrim:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 "x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Kjo do të thotë që duke përdorur kushtin 2 të mjaftueshëm për një ekstrem, marrim se x = 1 është një pikë maksimale. Përndryshe, hyrja duket si y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Imazhi grafik

Përgjigje: y m a x = y (1) = 4 ..

Përkufizimi 5

Funksioni y = f (x) ka derivatin e tij deri në rendin e n-të në lagjen ε të një pike të dhënë x 0 dhe derivatin e tij deri në rendin n + 1 në pikën x 0 . Pastaj f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Nga kjo rrjedh se kur n është një numër çift, atëherë x 0 konsiderohet një pikë lakimi, kur n është një numër tek, atëherë x 0 është një pikë ekstreme dhe f (n + 1) (x 0) > 0, atëherë x 0 është një pikë minimale, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Shembulli 4

Gjeni pikat maksimale dhe minimale të funksionit y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Zgjidhje

Funksioni origjinal është një funksion i tërë racional, që do të thotë se domeni i përkufizimit janë të gjithë numrat realë. Është e nevojshme të diferencohet funksioni. Ne e kuptojmë atë

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Ky derivat do të shkojë në zero në x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Kjo do të thotë, pikat mund të jenë pika ekstreme të mundshme. Është e nevojshme të zbatohet kushti i tretë i mjaftueshëm për ekstremin. Gjetja e derivatit të dytë ju lejon të përcaktoni me saktësi praninë e një maksimumi dhe minimumi të një funksioni. Derivati ​​i dytë llogaritet në pikat e ekstremumit të tij të mundshëm. Ne e kuptojmë atë

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Kjo do të thotë se x 2 = 5 7 është pika maksimale. Duke zbatuar kriterin e tretë të mjaftueshëm, marrim se për n = 1 dhe f (n + 1) 5 7< 0 .

Është e nevojshme të përcaktohet natyra e pikave x 1 = - 1, x 3 = 3. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni derivatin e tretë dhe të llogaritni vlerat në këto pika. Ne e kuptojmë atë

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Kjo do të thotë se x 1 = - 1 është pika e lakimit të funksionit, pasi për n = 2 dhe f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Është e nevojshme të hulumtohet pika x 3 = 3. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e 4-të dhe kryejmë llogaritjet në këtë pikë:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Nga sa u vendos më sipër, arrijmë në përfundimin se x 3 = 3 është pika minimale e funksionit.

Imazhi grafik

Përgjigje: x 2 = 5 7 është pika maksimale, x 3 = 3 është pika minimale e funksionit të dhënë.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Funksioni thirret y = f(x). në rritje (në rënie) në një interval të caktuar, nëse për x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Nëse funksioni i diferencueshëm y = f (x) rritet (zvogëlohet) në një interval, atëherë derivati ​​i tij në këtë interval f " (x)> 0

(f"(x)< 0).

Pika x O thirrur pikë maksimale lokale (minimale) funksioni f (x) nëse ka një fqinjësi të pikës x o, për të gjitha pikat e të cilave mosbarazimi f (x) është i vërtetë≤ f (x o ) (f (x)≥ f (x o )).

Quhen pikët maksimale dhe minimale pika ekstreme, dhe vlerat e funksionit në këto pika janë të tij ekstremet.

Pikat ekstreme

Kushtet e nevojshme për një ekstrem . Nëse pika x O është pika ekstreme e funksionit f (x), atëherë ose f " (x o ) = 0, ose f(x o ) nuk ekziston. Pika të tilla quhen kritike, dhe vetë funksioni përcaktohet në pikën kritike. Ekstrema e një funksioni duhet kërkuar midis pikave kritike të tij.

Kushti i parë i mjaftueshëm. Le x O - pikë kritike. Nëse f" (x) kur kalon nëpër një pikë x O ndryshon shenjën plus në minus, pastaj në pikë x o funksioni ka një maksimum, përndryshe ka një minimum. Nëse, gjatë kalimit nëpër pikën kritike, derivati ​​nuk ndryshon shenjë, atëherë në pikën x O nuk ka ekstrem.

Kushti i dytë i mjaftueshëm. Le të ketë funksioni f(x).
f" (x) në afërsi të pikës x O dhe derivati ​​i dytë f "" (x 0) në vetë pikën x o. Nëse f"(x o) = 0, f "" (x 0)>0 (f "" (x 0)<0), то точка x oështë pika minimale (maksimale) lokale e funksionit f (x). Nëse f "" (x 0) = 0, atëherë duhet të përdorni ose kushtin e parë të mjaftueshëm ose të përfshini ato më të larta.

Në një segment, funksioni y = f (x) mund të arrijë vlerën e tij minimale ose maksimale qoftë në pikat kritike ose në skajet e segmentit.

Shembulli 3.22.

Zgjidhje. Sepse f " (

Problemet e gjetjes së ekstremit të një funksioni

Shembulli 3.23. a

Zgjidhje. x Dhe y y
0 ≤ x≤
> 0 dhe kur x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funksione kv. njësive).

Shembulli 3.24. p ≈

Zgjidhje. fq fq
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Shembulli 3.22.Gjeni ekstremin e funksionit f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Zgjidhje. Sepse f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x‑2)(x - 3), pastaj pikat kritike të funksionit x 1 = 2 dhe x 2 = 3. Ekstremet mund të jenë vetëm në këto pika. Meqenëse kur kalon në pikën x 1 = 2 derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus, atëherë në këtë pikë funksioni ka një maksimum. Kur kalon në pikën x 2 = 3, derivati ​​ndryshon shenjën e tij nga minus në plus, kështu që në pikën x 2 = 3 funksioni ka një minimum. Duke llogaritur vlerat e funksionit në pika
x 1 = 2 dhe x 2 = 3, gjejmë ekstremin e funksionit: maksimumi f (2) = 14 dhe minimumi f (3) = 13.

Shembulli 3.23.Është e nevojshme të ndërtohet një zonë drejtkëndëshe pranë murit prej guri në mënyrë që të rrethohet nga tre anët me rrjetë teli dhe ana e katërt të jetë ngjitur me murin. Për këtë ka a metra lineare rrjetë. Në çfarë raporti aspekti do të ketë siti zonën më të madhe?

Zgjidhje.Le të shënojmë anët e platformës me x Dhe y. Zona e sitit është S = xy. Le y- kjo është gjatësia e anës ngjitur me murin. Pastaj, sipas kushtit, duhet të plotësohet barazia 2x + y = a. Prandaj y = a - 2x dhe S = x (a - 2x), ku
0 ≤ x≤ a /2 (gjatësia dhe gjerësia e zonës nuk mund të jenë negative). S " = a - 4x, a - 4x = 0 në x = a/4, prej nga
y = a - 2 × a/4 =a/2. Sepse x = a /4 është e vetmja pikë kritike, le të kontrollojmë nëse shenja e derivatit ndryshon kur kalon në këtë pikë. Në x a/4 S"> 0 dhe kur x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funksione S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (kv. njësive). Meqenëse S është i vazhdueshëm dhe vlerat e tij në skajet S(0) dhe S(a /2) janë të barabarta me zero, atëherë vlera e gjetur do të jetë vlera më e madhe e funksionit. Kështu, raporti më i favorshëm i pamjes së faqes në kushtet e dhëna të problemit është y = 2x.

Shembulli 3.24.Kërkohet prodhimi i një depozite cilindrike të mbyllur me kapacitet V=16 p ≈ 50 m 3. Cilat duhet të jenë dimensionet e rezervuarit (rrezja R dhe lartësia H) në mënyrë që të përdoret sa më pak material për prodhimin e tij?

Zgjidhje.Sipërfaqja totale e cilindrit është S = 2 fq R(R+H). Dihet vëllimi i cilindrit V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Pra S(R) = 2 fq (R 2 +16/R). Gjejmë derivatin e këtij funksioni:
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 në R 3 = 8, pra,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Nga ky artikull lexuesi do të mësojë se çfarë është një ekstrem me vlerë funksionale, si dhe për veçoritë e përdorimit të tij në aktivitetet praktike. Studimi i një koncepti të tillë është jashtëzakonisht i rëndësishëm për të kuptuar themelet e matematikës së lartë. Kjo temë është thelbësore për një studim më të thellë të kursit.

Në kontakt me

Çfarë është një ekstrem?

Në kursin shkollor jepen shumë përkufizime të konceptit "ekstrem". Ky artikull synon të japë kuptimin më të thellë dhe më të qartë të termit për ata që nuk e dinë këtë çështje. Pra, termi kuptohet se në çfarë mase intervali funksional fiton një vlerë minimale ose maksimale në një grup të caktuar.

Një ekstrem është edhe vlera minimale e një funksioni dhe maksimumi në të njëjtën kohë. Ekziston një pikë minimale dhe një pikë maksimale, domethënë vlerat ekstreme të argumentit në grafik. Shkencat kryesore që përdorin këtë koncept janë:

• statistika;
• kontrolli i makinës;
• ekonometria.

Pikat ekstreme luajnë një rol të rëndësishëm në përcaktimin e sekuencës së një funksioni të caktuar. Sistemi i koordinatave në grafik tregon ndryshimin në pozicionin ekstrem në varësi të ndryshimit të funksionalitetit.

Ekstrema e funksionit derivat

Ekziston edhe një fenomen i tillë si "derivativ". Është e nevojshme të përcaktohet pika ekstreme. Është e rëndësishme të mos ngatërroni pikët minimale ose maksimale me vlerat më të larta dhe më të ulëta. Këto janë koncepte të ndryshme, megjithëse mund të duken të ngjashme.

Vlera e funksionit është faktori kryesor në përcaktimin e mënyrës së gjetjes së pikës maksimale. Derivati ​​nuk formohet nga vlerat, por ekskluzivisht nga pozicioni i tij ekstrem në një ose një rend tjetër.

Vetë derivati ​​përcaktohet në bazë të këtyre pikave ekstreme, dhe jo në vlerën më të madhe apo më të vogël. Në shkollat ​​ruse, kufiri midis këtyre dy koncepteve nuk është tërhequr qartë, gjë që ndikon në kuptimin e kësaj teme në përgjithësi.

Le ta konsiderojmë tani një koncept të tillë si "ekstrem akut". Sot, ekziston një vlerë minimale akute dhe një vlerë maksimale akute. Përkufizimi është dhënë në përputhje me klasifikimin rus të pikave kritike të një funksioni. Koncepti i një pike ekstreme është baza për gjetjen e pikave kritike në një grafik.

Për të përcaktuar një koncept të tillë, ata përdorin teoremën e Fermatit. Është më e rëndësishmja në studimin e pikave ekstreme dhe jep një ide të qartë të ekzistencës së tyre në një formë ose në një tjetër. Për të siguruar ekstremitetin, është e rëndësishme të krijohen kushte të caktuara për një ulje ose rritje në grafik.

Për t'iu përgjigjur me saktësi pyetjes "si të gjeni pikën maksimale", duhet të ndiqni këto udhëzime:

1. Gjetja e domenit të saktë të përkufizimit në grafik.
2. Kërkoni për derivatin e një funksioni dhe pikën ekstreme.
3. Zgjidhja e pabarazive standarde për domenin ku gjendet argumenti.
4. Të jetë në gjendje të vërtetojë se në cilat funksione një pikë në një grafik është e përcaktuar dhe e vazhdueshme.

Kujdes! Kërkimi i pikës kritike të një funksioni është i mundur vetëm nëse ekziston një derivat i së paku rendit të dytë, i cili sigurohet nga një përqindje e lartë e pranisë së një pike ekstreme.

Kusht i domosdoshëm për ekstremin e një funksioni

Në mënyrë që një ekstrem të ekzistojë, është e rëndësishme që të ketë pikë minimale dhe maksimale. Nëse ky rregull respektohet vetëm pjesërisht, atëherë cenohet kushti për ekzistimin e një ekstremi.

Çdo funksion në çdo pozicion duhet të diferencohet në mënyrë që të identifikohen kuptimet e tij të reja. Është e rëndësishme të kuptohet se rasti i një pike që shkon në zero nuk është parimi kryesor për gjetjen e një pike të diferencueshme.

Një ekstrem akut, si dhe një minimum i një funksioni, është një aspekt jashtëzakonisht i rëndësishëm i zgjidhjes së një problemi matematikor duke përdorur vlera ekstreme. Për të kuptuar më mirë këtë komponent, është e rëndësishme t'i referoheni vlerave tabelare për të specifikuar funksionalitetin.

Kërkim i plotë i kuptimit

Hartimi i grafikut të vlerës

1. Përcaktimi i pikave të vlerave në rritje dhe në ulje. 2. Gjetja e pikave të ndërprerjes, ekstremit dhe kryqëzimit me boshtet koordinative. 3. Procesi i përcaktimit të ndryshimeve në pozicion në një grafik. 4. Përcaktimi i treguesit dhe drejtimit të konveksitetit dhe konveksitetit, duke marrë parasysh praninë e asimptotave. 5. Krijimi i një tabele përmbledhëse kërkimore nga pikëpamja e përcaktimit të koordinatave të saj. 6. Gjetja e intervaleve të rritjes dhe zvogëlimit të pikave ekstreme dhe të mprehta. 7. Përcaktimi i konveksitetit dhe konkavitetit të një lakore. 8. Hartimi i një grafiku duke marrë parasysh hulumtimin ju lejon të gjeni minimumin ose maksimumin.

Elementi kryesor kur është e nevojshme të punohet me pika ekstreme është ndërtimi i saktë i grafikut të tij. Mësuesit e shkollave nuk i kushtojnë shpesh vëmendjen maksimale një aspekti kaq të rëndësishëm, që është një shkelje e rëndë e procesit arsimor. Ndërtimi i një grafiku ndodh vetëm në bazë të rezultateve të studimit të të dhënave funksionale, identifikimit të ekstremeve akute, si dhe pikave në grafik. Ekstremet e mprehta të funksionit të derivatit shfaqen në një grafik me vlera të sakta, duke përdorur një procedurë standarde për përcaktimin e asimptotave. Pikat maksimale dhe minimale të funksionit shoqërohen me ndërtime grafikësh më komplekse. Kjo është për shkak të një nevoje më të thellë për të trajtuar problemin e ekstremumit akut. Është gjithashtu e nevojshme të gjendet derivati ​​i një funksioni kompleks dhe të thjeshtë, pasi ky është një nga konceptet më të rëndësishme në problemin e ekstremit.

Ekstrem i funksionalit

Për të gjetur vlerën e mësipërme, duhet t'i përmbaheni rregullave të mëposhtme:

• të përcaktojë kushtin e nevojshëm për një marrëdhënie ekstreme;
• të marrë parasysh gjendjen e mjaftueshme të pikave ekstreme në grafik;
• kryejnë llogaritjen e ekstremumit akut.

Përdoren gjithashtu koncepte të tilla si minimumi i dobët dhe minimumi i fortë. Kjo duhet të merret parasysh gjatë përcaktimit të ekstremit dhe llogaritjes së saktë të tij. Në të njëjtën kohë, funksionaliteti akut është kërkimi dhe krijimi i të gjitha kushteve të nevojshme për të punuar me grafikun e një funksioni.

Një koncept i rëndësishëm në matematikë është funksioni. Me ndihmën e tij, ju mund të imagjinoni vizualisht shumë procese që ndodhin në natyrë dhe të pasqyroni marrëdhënien midis sasive të caktuara duke përdorur formula, tabela dhe imazhe në një grafik. Një shembull është varësia e presionit të një shtrese lëngu në një trup nga thellësia e zhytjes, nxitimi - nga veprimi i një force të caktuar në një objekt, rritja e temperaturës - nga energjia e transferuar dhe shumë procese të tjera. Studimi i një funksioni përfshin ndërtimin e një grafiku, gjetjen e vetive të tij, domenin e përkufizimit dhe vlerat, intervalet e rritjes dhe uljes. Një pikë e rëndësishme në këtë proces është gjetja e pikave ekstreme. Ne do të flasim më tej se si ta bëjmë këtë në mënyrë korrekte.

Rreth vetë konceptit duke përdorur një shembull specifik

Në mjekësi, vizatimi i një grafiku funksioni mund të na tregojë për ecurinë e një sëmundjeje në trupin e një pacienti, duke pasqyruar qartë gjendjen e tij. Le të supozojmë se boshti OX përfaqëson kohën në ditë, dhe boshti OU përfaqëson temperaturën e trupit të njeriut. Figura tregon qartë se si ky tregues rritet ndjeshëm dhe më pas bie. Është gjithashtu e lehtë të vërehen pika të veçanta që pasqyrojnë momentet kur një funksion, në rritje më parë, fillon të ulet dhe anasjelltas. Këto janë pika ekstreme, domethënë vlera kritike (maksimale dhe minimale) në këtë rast të temperaturës së pacientit, pas së cilës ndodhin ndryshime në gjendjen e tij.

Këndi i animit

Mund të përcaktoni lehtësisht nga figura se si ndryshon derivati ​​i funksionit. Nëse vijat e drejta të grafikut rriten me kalimin e kohës, atëherë ai është pozitiv. Dhe sa më të pjerrëta të jenë, aq më e madhe është vlera e derivatit, pasi këndi i prirjes rritet. Gjatë periudhave të uljes, kjo vlerë merr vlera negative, duke u kthyer në zero në pikat e skajshme, dhe grafiku i derivatit në rastin e fundit është tërhequr paralel me boshtin OX.

Çdo proces tjetër duhet të trajtohet në të njëjtën mënyrë. Por mënyra më e mirë për të treguar për këtë koncept është lëvizja e trupave të ndryshëm, të treguar qartë në grafikët.

Lëvizja

Supozoni se një objekt lëviz në një vijë të drejtë, duke rritur në mënyrë uniforme shpejtësinë. Gjatë kësaj periudhe, ndryshimi i koordinatave të trupit paraqitet grafikisht me një kurbë të caktuar, të cilën një matematikan do ta quante një degë e një parabole. Në të njëjtën kohë, funksioni po rritet vazhdimisht, pasi treguesit e koordinatave ndryshojnë më shpejt dhe më shpejt çdo sekondë. Grafiku i shpejtësisë tregon sjelljen e derivatit, vlera e të cilit gjithashtu rritet. Kjo do të thotë se lëvizja nuk ka pika kritike.

Kjo do të vazhdonte pafundësisht. Por, çka nëse trupi papritmas vendos të ngadalësojë, të ndalojë dhe të fillojë të lëvizë në një drejtim tjetër? Në këtë rast, treguesit e koordinatave do të fillojnë të ulen. Dhe funksioni do të kalojë një vlerë kritike dhe do të kthehet nga rritja në ulje.

Duke përdorur këtë shembull, mund të kuptoni përsëri se pikat ekstreme në grafikun e një funksioni shfaqen në momentet kur ai pushon së qeni monoton.

Kuptimi fizik i derivatit

Ajo që u përshkrua më parë tregoi qartë se derivati ​​është në thelb shkalla e ndryshimit të funksionit. Ky sqarim përmban kuptimin e tij fizik. Pikat ekstreme janë zona kritike në grafik. Ato mund të identifikohen dhe zbulohen duke llogaritur vlerën e derivatit, e cila rezulton të jetë e barabartë me zero.

Ekziston edhe një shenjë tjetër që është kusht i mjaftueshëm për një ekstrem. Derivati ​​në pika të tilla lakimi ndryshon shenjën e tij: nga "+" në "-" në zonën maksimale dhe nga "-" në "+" në zonën minimale.

Lëvizja nën ndikimin e gravitetit

Le të imagjinojmë një situatë tjetër. Fëmijët, duke luajtur me një top, e hodhën në atë mënyrë që ai filloi të lëvizte në një kënd në horizont. Në momentin fillestar, shpejtësia e këtij objekti ishte më e larta, por nën ndikimin e gravitetit ajo filloi të zvogëlohej, dhe me çdo sekondë me të njëjtën sasi, e barabartë me afërsisht 9.8 m/s 2 . Kjo është vlera e nxitimit që ndodh nën ndikimin e gravitetit të tokës gjatë rënies së lirë. Në Hënë do të ishte rreth gjashtë herë më i vogël.

Grafiku që përshkruan lëvizjen e një trupi është një parabolë me degë të drejtuara poshtë. Si të gjeni pika ekstreme? Në këtë rast, kjo është maja e funksionit, ku shpejtësia e trupit (topit) merr vlerë zero. Derivati ​​i funksionit bëhet zero. Në këtë rast, drejtimi, dhe për rrjedhojë vlera e shpejtësisë, ndryshon në të kundërtën. Trupi fluturon poshtë çdo sekondë më shpejt dhe përshpejtohet me të njëjtën sasi - 9,8 m/s 2 .

Derivati ​​i dytë

Në rastin e mëparshëm, grafiku i modulit të shpejtësisë vizatohet si një vijë e drejtë. Kjo linjë fillimisht drejtohet poshtë, pasi vlera e kësaj vlere është vazhdimisht në rënie. Pasi të keni arritur zero në një moment në kohë, atëherë treguesit e kësaj vlere fillojnë të rriten, dhe drejtimi i paraqitjes grafike të modulit të shpejtësisë ndryshon në mënyrë dramatike. Linja tani është duke u drejtuar lart.

Shpejtësia, duke qenë një derivat i koordinatës në lidhje me kohën, ka gjithashtu një pikë kritike. Në këtë rajon, funksioni, fillimisht në rënie, fillon të rritet. Ky është vendndodhja e pikës ekstreme të derivatit të funksionit. Në këtë rast, këndi i prirjes së tangjentës bëhet zero. Dhe nxitimi, duke qenë derivati ​​i dytë i koordinatës në lidhje me kohën, ndryshon shenjën nga "-" në "+". Dhe lëvizja nga njëtrajtësisht e ngadalshme përshpejtohet në mënyrë uniforme.

Grafiku i nxitimit

Tani le të shohim katër foto. Secila prej tyre shfaq një grafik të ndryshimeve me kalimin e kohës në një sasi të tillë fizike si nxitimi. Në rastin e "A" vlera e tij mbetet pozitive dhe konstante. Kjo do të thotë se shpejtësia e trupit, si koordinata e tij, është vazhdimisht në rritje. Nëse imagjinojmë që objekti do të lëvizë në këtë mënyrë për një kohë pafundësisht të gjatë, funksioni që pasqyron varësinë e koordinatës nga koha do të rezultojë të jetë vazhdimisht në rritje. Nga kjo rezulton se nuk ka zona kritike. Nuk ka gjithashtu pika ekstreme në grafikun e derivatit, domethënë shpejtësi të ndryshme lineare.

E njëjta gjë vlen edhe për rastin "B" me nxitim pozitiv dhe vazhdimisht në rritje. Vërtetë, grafikët për koordinatat dhe shpejtësinë këtu do të jenë disi më të ndërlikuara.

Kur nxitimi shkon në zero

Duke parë figurën "B", mund të vërehet një pamje krejtësisht e ndryshme që karakterizon lëvizjen e trupit. Shpejtësia e saj do të përfaqësohet grafikisht nga një parabolë me degë të drejtuara poshtë. Nëse vazhdojmë vijën që përshkruan ndryshimin e nxitimit derisa të kryqëzohet me boshtin OX dhe më tej, mund të imagjinojmë se deri në këtë vlerë kritike, ku nxitimi rezulton të jetë zero, shpejtësia e objektit do të rritet gjithnjë e më ngadalë. . Pika ekstreme e derivatit të funksionit koordinativ do të jetë saktësisht në kulmin e parabolës, pas së cilës trupi do të ndryshojë rrënjësisht natyrën e lëvizjes së tij dhe do të fillojë të lëvizë në një drejtim tjetër.

Në rastin e fundit, "G", natyra e lëvizjes nuk mund të përcaktohet me saktësi. Këtu dimë vetëm se nuk ka përshpejtim për një periudhë në shqyrtim. Kjo do të thotë që objekti mund të qëndrojë në vend ose të lëvizë me një shpejtësi konstante.

Problemi i shtimit të koordinatave

Le të kalojmë te detyrat që hasen shpesh gjatë studimit të algjebrës në shkollë dhe që ofrohen për përgatitje për Provimin e Unifikuar të Shtetit. Figura më poshtë tregon grafikun e funksionit. Kërkohet të llogaritet shuma e pikave ekstreme.

Le ta bëjmë këtë për boshtin e ordinatave duke përcaktuar koordinatat e zonave kritike ku vërehet një ndryshim në karakteristikat e funksionit. E thënë thjesht, ne do të gjejmë vlerat përgjatë boshtit OX për pikat e lakimit dhe më pas do të vazhdojmë të shtojmë termat që rezultojnë. Sipas grafikut, është e qartë se ato marrin këto vlera: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Kjo shton deri në -21, që është përgjigja.

Zgjidhje optimale

Nuk ka nevojë të shpjegohet se sa e rëndësishme mund të jetë zgjedhja e zgjidhjes optimale në kryerjen e detyrave praktike. Në fund të fundit, ka shumë mënyra për të arritur një qëllim, por mënyra më e mirë për të dalë, si rregull, është vetëm një. Kjo është jashtëzakonisht e nevojshme, për shembull, kur projektohen anije, anije kozmike dhe aeroplanë, dhe struktura arkitekturore për të gjetur formën optimale të këtyre objekteve të krijuara nga njeriu.

Shpejtësia e automjeteve varet kryesisht nga minimizimi i duhur i rezistencës që ata përjetojnë kur lëvizin nëpër ujë dhe ajër, nga mbingarkesat që lindin nën ndikimin e forcave gravitacionale dhe shumë tregues të tjerë. Një anije në det kërkon cilësi të tilla si stabiliteti gjatë një stuhie për një anije lumi, një draft minimal është i rëndësishëm. Kur llogaritet dizajni optimal, pikat ekstreme në grafik mund të japin vizualisht një ide të zgjidhjes më të mirë për një problem kompleks. Problemet e këtij lloji shpesh zgjidhen në ekonomi, në fushat e biznesit dhe në shumë situata të tjera të jetës.

Nga historia e lashtë

Edhe të urtët e lashtë ishin të zënë me probleme ekstreme. Shkencëtarët grekë zbuluan me sukses misterin e zonave dhe vëllimeve përmes llogaritjeve matematikore. Ata ishin të parët që kuptuan se në një plan me figura të ndryshme që kanë të njëjtin perimetër, rrethi ka gjithmonë sipërfaqen më të madhe. Në mënyrë të ngjashme, topi është i pajisur me vëllimin maksimal midis objekteve të tjera në hapësirë ​​me të njëjtën sipërfaqe. Personalitete të tilla të famshme si Arkimedi, Euklidi, Aristoteli, Apollonius iu përkushtuan zgjidhjes së problemeve të tilla. Heron ishte i shkëlqyeshëm në gjetjen e pikave ekstreme dhe, duke përdorur llogaritjet, ndërtoi pajisje të zgjuara. Këto përfshinin makina që lëviznin me avull, pompa dhe turbina që funksiononin në të njëjtin parim.

Ndërtimi i Kartagjenës

Ekziston një legjendë, komploti i së cilës bazohet në zgjidhjen e një prej problemeve ekstreme. Rezultati i qasjes së biznesit të demonstruar nga princesha fenikase, e cila iu drejtua të urtëve për ndihmë, ishte ndërtimi i Kartagjenës. Parcela e tokës për këtë qytet të lashtë dhe të famshëm iu dha Didos (ky ishte emri i sundimtarit) nga udhëheqësi i një prej fiseve afrikane. Sipërfaqja e ndarjes në fillim nuk i dukej shumë e madhe, pasi sipas kontratës supozohej të mbulohej me oksid. Por princesha urdhëroi ushtarët e saj ta prisnin në shirita të hollë dhe të bënin një rrip prej tyre. Doli të ishte aq i gjatë sa mbulonte një zonë ku mund të futej një qytet i tërë.

Origjina e analizës matematikore

Tani le të kalojmë nga kohërat e lashta në një epokë të mëvonshme. Është interesante që Kepleri u nxit për të kuptuar themelet e analizës matematikore në shekullin e 17-të nga një takim me një shitës vere. Tregtari ishte aq i ditur në profesionin e tij, saqë mund të përcaktonte lehtësisht vëllimin e pijes në fuçi thjesht duke ulur një litar hekuri në të. Duke reflektuar për një kuriozitet të tillë, shkencëtari i famshëm arriti ta zgjidhte vetë këtë dilemë. Rezulton se kooperatorët e zotë të atyre kohërave kishin marrë përsipër të bënin enët në atë mënyrë që, në një lartësi dhe rreze të caktuar të perimetrit të unazave të fiksimit, të kishin kapacitet maksimal.

Kjo u bë një arsye që Kepleri të mendonte më tej. Kooperatorët erdhën në zgjidhjen optimale përmes një kërkimi të gjatë, gabimeve dhe përpjekjeve të reja, duke e përcjellë përvojën e tyre brez pas brezi. Por Kepler dëshironte të përshpejtonte procesin dhe të mësonte se si të bënte të njëjtën gjë në një kohë të shkurtër përmes llogaritjeve matematikore. Të gjitha zhvillimet e tij, të marra nga kolegët e tij, u shndërruan në teoremat tashmë të famshme të Fermat dhe Newton-Leibniz.

Problemi i zonës maksimale

Le të imagjinojmë se kemi një tel gjatësia e të cilit është 50 cm. Si mund të bëjmë një drejtkëndësh prej tij që ka sipërfaqen më të madhe?

Kur filloni një vendim, duhet të vazhdoni nga të vërtetat e thjeshta të njohura për të gjithë. Është e qartë se perimetri i figurës sonë do të jetë 50 cm. Ai përbëhet nga dyfishi i gjatësisë së të dy anëve. Kjo do të thotë që, duke caktuar njërën prej tyre si "X", tjetra mund të shprehet si (25 - X).

Nga këtu marrim një sipërfaqe të barabartë me X(25 - X). Kjo shprehje mund të konsiderohet si një funksion që merr shumë vlera. Zgjidhja e problemit kërkon gjetjen e maksimumit të tyre, që do të thotë se duhet të zbuloni pikat ekstreme.

Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e parë dhe e barazojmë me zero. Rezultati është një ekuacion i thjeshtë: 25 - 2X = 0.

Prej tij mësojmë se njëra nga anët është X = 12,5.

Prandaj, tjetra: 25 - 12.5 = 12.5.

Rezulton se zgjidhja e problemit do të jetë një katror me një anë prej 12.5 cm.

Si të gjeni shpejtësinë maksimale

Le të shohim një shembull tjetër. Le të imagjinojmë se ekziston një trup, lëvizja lineare e të cilit përshkruhet me ekuacionin S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, ku distanca e përshkuar shprehet në metra dhe koha në sekonda. Duhet të gjejmë shpejtësinë maksimale. Si ta bëjmë atë? Të shkarkuar, gjejmë shpejtësinë, domethënë derivatin e parë.

Marrim ekuacionin: V = - 3t 2 + 18t - 24. Tani, për të zgjidhur problemin, përsëri duhet të gjejmë pikat ekstreme. Kjo duhet të bëhet në të njëjtën mënyrë si në detyrën e mëparshme. Gjejmë derivatin e parë të shpejtësisë dhe e barazojmë me zero.

Marrim: - 6t + 18 = 0. Prandaj t = 3 s. Kjo është koha kur shpejtësia e trupit merr një vlerë kritike. Të dhënat rezultuese i zëvendësojmë në ekuacionin e shpejtësisë dhe marrim: V = 3 m/s.

Por si mund të kuptojmë që kjo është shpejtësia maksimale, pasi pikat kritike të një funksioni mund të jenë vlerat më të mëdha ose më të vogla të tij? Për të kontrolluar, duhet të gjeni derivatin e dytë të shpejtësisë. Shprehet me numrin 6 me shenjën minus. Kjo do të thotë që pika e gjetur është maksimumi. Dhe në rastin e një vlere pozitive, derivati ​​i dytë do të kishte një minimum. Kjo do të thotë se zgjidhja e gjetur doli e saktë.

Problemet e dhëna si shembull janë vetëm një pjesë e atyre që mund të zgjidhen nëse dini të gjeni pikat ekstreme të një funksioni. Në fakt, ka shumë më tepër prej tyre. Dhe një njohuri e tillë hap mundësi të pakufizuara për qytetërimin njerëzor.

Kthimi