AKADEMIA E VOGLA E SHKENCAVE TË NXËNËVE TË SHKOLLAVE TË KRIMES

"KËRKUES"

Seksioni "Matematika"

KONSTRUKSIONE GJEOMETRIKE QË PËRDORIN NJË RREGULLOR TË DY KANËSH

Unë e kam bërë punën A

_____________

Nxënës i klasës

Drejtor shkencor

HYRJE……………………………………………………………………………………..3

I. KONSTRUKSIONE GJEOMETRIKE NË RAFSH………………...4

I.1. Aksiomat e përgjithshme të gjeometrisë konstruktive. Aksiomat e instrumenteve matematikore…………………………………………………………………………………..4

I.2. ……………………….....5

I.3. Ndërtime gjeometrike me një vizore……………………………..7

I.4. Detyrat bazë për ndërtimin me vizore të dyanshme…………………..8

I.5. Zgjidhja e problemeve të ndryshme të ndërtimit ……………………………………12

I.6. Ndërtime me vizore të njëanshme……………………………………………………………………………………………………………………………

I.7. Ndërrueshmëria e një vizoreje të dyanshme me një busull dhe një vizore....21

KONKLUZION………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Lista e referencave……………………………..………….25

Prezantimi

Problemet që përfshijnë ndërtimin me mjete të kufizuara përfshijnë problemet që përfshijnë ndërtimin duke përdorur vetëm busull dhe një vizore, të cilat merren parasysh në kurrikulën e shkollës. A është e mundur të zgjidhen problemet e ndërtimit vetëm me një vizore? Shpesh nuk keni një busull në dorë, por gjithmonë mund të gjeni një sundimtar.

Problemet mbi ndërtimet në gjeometri janë një seksion magjepsës. Interesi për të është për shkak të bukurisë dhe thjeshtësisë së përmbajtjes gjeometrike. Rëndësia e shqyrtimit të këtyre problemeve rritet për faktin se ato përdoren në praktikë. Aftësia për të përdorur një vizore për të zgjidhur problemet e shqyrtuara në këtë vepër ka një rëndësi të madhe në aktivitetet praktike, sepse Ne vazhdimisht përballemi me probleme të ndarjes së një segmenti në gjysmë, dyfishimit të një segmenti të caktuar, etj.

Ky punim shqyrton detyrat kryesore të ndërtimit që shërbejnë si bazë për zgjidhjen e problemeve më komplekse.

Siç tregon përvoja, detyrat e ndërtimit ngjallin interes dhe kontribuojnë në aktivizimin e aktivitetit mendor. Gjatë zgjidhjes së tyre, njohuritë për vetitë e figurave përdoren në mënyrë aktive, zhvillohet aftësia për të arsyetuar dhe përmirësohen aftësitë e ndërtimeve gjeometrike. Si rezultat, zhvillohen aftësitë konstruktive, që është një nga qëllimet e studimit të gjeometrisë.

Hipoteza: të gjitha problemet e ndërtimit që mund të zgjidhen duke përdorur një busull dhe vizore mund të zgjidhen vetëm duke përdorur një vizore të dyanshme.

Objekti i studimit: detyra ndërtimi dhe vizore dypalëshe.

Objektivat e kërkimit: të vërtetohet se të gjitha problemet e ndërtimit mund të zgjidhen vetëm me ndihmën e një vizore të dyanshme.

Objektivat e kërkimit: të studiohen bazat teorike të zgjidhjes së problemeve të ndërtimit; zgjidhni problemet themelore të ndërtimit duke përdorur një sundimtar të dyanshëm; jepni shembuj të problemeve më komplekse të ndërtimit; sistematizojnë materialin teorik dhe praktik.

I. KONSTRUKSIONE GJEOMETRIKE NË RAFSH

I.1. Aksiomat e përgjithshme të gjeometrisë konstruktive. Aksiomat e mjeteve matematikore

Për gjeometrinë konstruktive është e nevojshme të kemi një përshkrim të saktë dhe, për qëllime matematikore, të plotë të një mjeti të caktuar. Ky përshkrim është dhënë në formën e aksiomave. Këto aksioma në formë matematikore abstrakte shprehin ato veti të instrumenteve reale të vizatimit që përdoren për ndërtime gjeometrike.

Mjetet gjeometrike më të përdorura të ndërtimit janë:sundimtar (i njëanshëm) , busull, me dy anë vizore (me skaje paralele) dhe disa të tjerë.

A. Aksioma e vizores.

Sundimtari ju lejon të kryeni ndërtimet e mëposhtme gjeometrike:
a) ndërtoni një segment që lidh dy pika të ndërtuara;

b) të ndërtojë një drejtëz që kalon nga dy pika të ndërtuara;

c) të ndërtojë një rreze që buron nga një pikë e ndërtuar dhe që kalon nga një pikë tjetër e ndërtuar.

B. Aksioma e busullës.

Busulla ju lejon të kryeni ndërtimet e mëposhtme gjeometrike:
a) ndërtoni një rreth nëse janë ndërtuar qendra e rrethit dhe një segment i barabartë me rrezen e rrethit (ose skajet e tij);

B. Aksioma e një vizoreje të dyanshme.

Vizitori i dyanshëm ju lejon të:

a) kryejnë ndonjë nga ndërtimet e renditura në aksiomën A;

b) në secilin nga gjysmërrafshet e përcaktuara nga vija e ndërtuar, ndërtoni një vijë paralele me këtë drejtëz dhe që kalon prej saj në një distancëA, Ku A - një segment i fiksuar për një vizore të caktuar (gjerësia e vizores);

c) nëse ndërtohen dy pika A dhe B, atëherë përcaktoni nëse AB do të jetë më i madh se një segment i caktuar fiksA (gjerësia e vizores), dhe nëse AB >A , më pas ndërtoni dy palë drejtëza paralele që kalojnë përkatësisht nga pikat A dhe B dhe të ndara nga njëra-tjetra në një distancëA .

Përveç mjeteve të listuara, mund të përdorni mjete të tjera për ndërtime gjeometrike: një kënd arbitrar, një katror, ​​një vizore me shenja, një palë kënde të drejta, pajisje të ndryshme për vizatimin e kthesave të veçanta etj.

I.2. Parimet e përgjithshme për zgjidhjen e problemeve të ndërtimit

Detyrë ndërtimi konsiston në faktin se kërkohet të ndërtohet një figurë e caktuar me mjetet e specifikuara nëse jepet ndonjë figurë tjetër dhe tregohen marrëdhënie të caktuara ndërmjet elementeve të figurës së dëshiruar dhe elementeve të kësaj figure.

Çdo figurë që plotëson kushtet e problemit quhetvendim këtë detyrë.

Gjej nje zgjidhje Detyra e ndërtimit nënkupton reduktimin e saj në një numër të kufizuar ndërtimesh bazë, d.m.th., duke treguar një sekuencë të fundme të konstruksioneve bazë, pas së cilës figura e dëshiruar tashmë do të konsiderohet e ndërtuar në bazë të aksiomave të pranuara të gjeometrisë konstruktive. Lista e konstruksioneve bazë të pranueshme dhe, rrjedhimisht, ecuria e zgjidhjes së problemit, varet ndjeshëm nga mjetet specifike që përdoren për ndërtime.

Zgjidhja e problemit të ndërtimit - Do të thotë, gjeni të gjitha zgjidhjet e saj .

Përkufizimi i fundit kërkon disa sqarime. Shifrat që plotësojnë kushtet e problemit mund të ndryshojnë si në formë ashtu edhe në madhësi dhe në pozicionin në plan. Dallimet në pozicionin në aeroplan merren parasysh ose nuk merren parasysh në varësi të formulimit të vetë problemit të ndërtimit, nëse gjendja e problemit siguron ose jo një vendndodhje të caktuar të figurës së dëshiruar në lidhje me ndonjë figurë të dhënë. .

Nëse gjendet një zgjidhje për një problem, atëherë në të ardhmen lejohet të përdoret kjo zgjidhje "në tërësi", domethënë pa e ndarë atë në ndërtime kryesore.

Ekzistojnë një numër problemesh të thjeshta gjeometrike të ndërtimit, të cilat veçanërisht shpesh përfshihen si komponentë në zgjidhjen e problemeve më komplekse. Do t'i quajmë probleme elementare gjeometrike të ndërtimit. Lista e detyrave elementare është, natyrisht, e kushtëzuar. Detyrat themelore zakonisht përfshijnë sa vijon:

Ndani këtë segment në gjysmë.

Ndarja e një këndi të dhënë në gjysmë.

Ndërtimi në një vijë të caktuar të një segmenti të barabartë me atë të dhënë.

Ndërtimi i një këndi të barabartë me një të dhënë.

Ndërtimi i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar paralel me një drejtëz të caktuar.

Ndërtimi i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe pingul me një drejtëz të caktuar.

Ndarja e një segmenti në këtë drejtim.

Ndërtimi i një trekëndëshi duke përdorur tre brinjë të dhëna.

Ndërtimi i një trekëndëshi duke përdorur një anë dhe dy kënde ngjitur.

Ndërtimi i një trekëndëshi duke përdorur dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre.

Kur zgjidhet një problem ndërtimi disi kompleks, lind pyetja se si të arsyetohet për të gjetur një mënyrë për të zgjidhur problemin, për të marrë të gjitha zgjidhjet e problemit, për të gjetur kushtet për mundësinë e zgjidhjes së problemit, etj. Prandaj , kur zgjidhin probleme konstruktive, ata përdorin një skemë zgjidhjeje, e cila përbëhet nga katër fazat e mëposhtme:

1) analiza;
2) ndërtimi;
3) dëshmi;
4) hulumtim.

I.3. Ndërtime gjeometrike me një vizore

Sundimtarin do ta konsiderojmë nga dy këndvështrime: si sundimtar dhe si sundimtar i dyanshëm.

1. Vizitor me dy anë gjerësia A do të quajmë një vizore me skaje paralele të vendosura në distancë A nga njëri-tjetri, duke bërë të mundur ndërtimin e drejtpërdrejtë:

a) një vijë e drejtë arbitrare;

b) një drejtëz që kalon nga dy pika të dhëna ose të marra në procesin e zgjidhjes së problemit;

c) drejtëza paralele, secila prej të cilave kalon në njërën nga pikat, distancat ndërmjet të cilave janë më të mëdhaA (në këtë konstruksion, vizori është në një pozicion të tillë që në secilën nga dy skajet e tij paralele të jetë një nga dy pikat e dhëna; në këtë rast, do të flasim për ndërtim të drejtpërdrejtë).

Gjerësia e vizores në këtë ndërtim konsiderohet konstante, dhe për këtë arsye, nëse në procesin e zgjidhjes së një problemi specifik, bëhet e nevojshme të kryhet një ndërtim i drejtpërdrejtë në lidhje me disa pika të marraA Dhe NË , atëherë duhet të vërtetojmë se gjatësiaAB më gjatë A .

Ne do të konsiderojmë një pikë për t'u ndërtuar nëse është një nga të dhënat ose është kryqëzimi i dy vijave të ndërtuara; nga ana tjetër, ne do të konsiderojmë një drejtëz të ndërtuar nëse ajo kalon nëpër pikat e ndërtuara ose të dhëna.

Duke përdorur një vizore të dyanshme mund të ndërtoni sa vijon.

a) Në çdo dy pika mund të vizatoni një vijë të drejtë, dhe vetëm një.

b) Cilado qoftë vija e drejtë, në rrafsh ka saktësisht dy drejtëza, paralele me të dhe të ndara prej saj me një distancëa .

c) Nëpër dy pika A dhe B në AB A është e mundur të vizatohen dy palë paralele drejt; me AB = A mund të vizatoni një palë vija paralele, distanca ndërmjet të cilave është e barabartëA .

Nëse jepen një, dy, tre pikë, atëherë nuk mund të ndërtohen pikë të reja

(Figura 1);

nëse jepen katër pika, nga të cilat tre (ose të katër) shtrihen në të njëjtën vijë, atëherë nuk mund të ndërtohen pika të tjera (Fig. 2);

Nëse ju jepen katër pika që shtrihen në kulmet e një paralelogrami, mund të ndërtoni vetëm një pikë - qendrën e saj. (Fig.3).

Duke pranuar sa më sipër, le të shqyrtojmë veçmas problemet e zgjidhura nga një sundimtar i dyanshëm.

I.4. Detyrat bazë për ndërtimin me vizore të dyanshme

1
. Ndërtoni përgjysmuesin e këndit ABC.

Zgjidhja: (Fig. 4)

A  (NË C) Dhe b  (Një grup  b = D .

Ne marrim B D– përgjysmues  ABC.

Në të vërtetë, të marra nga

ndërtimi i një paralelogrami është

romb, pasi lartësitë e tij janë të barabarta. NËD –

diagonalja e një rombi është një përgjysmues ABC. Fig.4

2
. Dyfishoni këndin e dhënë ABC

Zgjidhje : (Fig. 5) a) A  (AB),

A  (NË C)= D , përmes pikave B dhe D

b drejtpërdrejt;

b) përmes pikave B dheD m  b

drejtpërdrejt,b Ç a = F .

marrim Ð AB F = 2 Ð ABC .

Fig.5

3 . Në një drejtëz të dhënë M N në këtë

vizatoni një pingul me pikën A

Zgjidhje : (Fig.6)

1) (AA 1) || (BB 1) || (SS 1) -

drejtpërdrejt (B (M N),

ME Î (M N)); 2) përmes A dhe B

m || n - drejtpërdrejt,

m Ç (SS 1) = D .

Ne marrim (A D )  (M N ).

Fig.6.

4
. Përmes një pike të caktuar nuk shtrihet në

linjë e dhënë, vizatoni një pingul

te këtë linjë.

Zgjidhja: Përmes kësaj pike O ne tërheqim

dy drejtëza që kryqëzojnë një të dhënë

drejtëz AB, dhe dyfishoni këndet e rezultatit

trekëndëshat ngjitur me këtë

drejt.  OA N = 2  OAV dhe

OB N = 2  OVA (Fig. 7).

Fig.7

5. Ndërtoni një pikë simetrike me një drejtëz të caktuar në lidhje me një drejtëz të caktuar.

Zgjidhja: shih problemin 4. (pika O është simetrike me pikënN. Fig.7)

6. Kryeni një vijë të drejtë paralel me këtë

P
drejt M N , përmes pikës A, jo

që i përket linjës M N .

Zgjidhja 1: (Fig. 8)

1)(AA 1) || (BB 1) || (SS 1) || (DD 1 ) || (КК 1) -

– drejtpërdrejt, (SA)Ç (BB 1) = C 2;

2) (Me 2 K) Ç (DD 1 ) = F .

(A F ) është vija e drejtë e dëshiruar.

Fig 8

Zgjidhja 2 . Në figurën 8 1 është numëruar

sekuenca e vijave të drejta,

nga të cilat 1, 2 dhe 3 janë paralele në

ndërtim i drejtpërdrejtë;

(A F) || (M N).

Fig.8 1

7
. Ndajeni këtë segment AB në gjysmë.

Zgjidhja 1. (Fig. 9) (vetëm për rastin kur gjerësia e vizores është më e vogël se gjatësia e këtij segmenti). Vizatoni drejtpërsëdrejti dy çifte drejtëzash paralele

skajet e këtij segmenti, dhe më pas diagonalja

rombi që rezulton. O – AB e mesme.

Oriz. 9.

Zgjidhja 2. (Fig. 9, a)

1) a || (Një grup b || (AB) – drejtpërdrejt;

2) (AR), (AR)Ç a = C, (AP) Ç b = D ;

3) (D NË) Ç a = M, (SV) Ç b = N ;

4) (M N ) Ç (AB) = K;

5) (D TE) Ç (A N ) = F ;

6) (B F ) Ç b = D 1, (B F ) Ç a = C1;

7) (D NË ) Ç (A D 1) = X,

(AC 1) Ç (SV) = Z.

8) (X Z) Ç (AB) =O. Ne marrim AO = OB.

Fig.9,a

Zgjidhja 3 .( Oriz. 9, b)

Siç dihet , në trapezin e mesëm

bazat, pika e kryqëzimit

diagonalet dhe pikat e kryqëzimit

zgjatimet e anëve

shtrihuni në të njëjtën vijë të drejtë.

1) m || (AB) – drejtpërdrejt;

2) C Î m , D Î m , (AS) Ç (NË D ) = TE; Fig.9,b

3) (NE) Ç (A D ) = F ; 4) (K F ) Ç (AB) =O. Ne marrim AO = OB.

I.5. Zgjidhja e problemeve të ndryshme të ndërtimit

Në zgjidhjen e problemeve të mëposhtme të ndërtimit duke përdorur vetëm një vizore të dyanshme, përdoret ndërtimi i drejtpërdrejtë i vijave paralele dhe shtatë problemet kryesore të dhëna më sipër.

1. Vizatoni dy vija pingule në këtë pikë.

R zgjidhje: le të kalojmë nga kjo pikë

dy rreshta arbitrare,

dhe pastaj - përgjysmues

qoshet ngjitur. (Fig.10)

Fig.10

2. Jepet një segment A D gjatësia e dhënë a.

Ndërtoni një segment gjatësia e të cilit është e barabartë me .

R
vendim : Le të kryejmë m  A Dhe h || m përmes

pika A. f || (A D ) , k || (pas Krishtit) drejtpërdrejt.

Le të vizatojmë AB dhe AC, ku B =f  m ,

a C = m  k . Në një mënyrë të njohur

ndani AB dhe AC në gjysmë dhe

le të vizatojmë medianat e trekëndëshit

ABC. Nga vetia e medianave

trekëndësh, O D = – kërkoi

segment (Fig. 11)

Oriz. njëmbëdhjetë

3. Ndërtoni një segment gjatësia e të cilit është

e barabartë me perimetrin e trekëndëshit të dhënë.

Zgjidhja: (Fig. 12). Le të ndërtojmë përgjysmues

dy qoshet e jashtme të trekëndëshit, dhe më pas

3 maja NË le të vizatojmë pingulet

këtyre përgjysmuesve.

DE = a + b + s

Fig.12

4. Jepet një segment me gjatësi a. Ndërtoni segmente me gjatësi 2a, 3a.

R zgjidhje: (Fig. 13)

1 milion N) || (AB) dhe (M 1 N 1 ) || (M N) || (M 2 N 2 ) –

Direkt;

2) (CA) dhe (CB) përmes A dhe B.

Segmentet A 1 B 1 dhe A 2 B 2 janë të nevojshme.

Një zgjidhje tjetër për këtë problem mund të jetë

marrë nga zgjidhja e problemit 7.

Oriz. 13

5. Në një vijë të drejtë jepen dy segmente, gjatësitë e të cilave janë a dhe b . Ndërtoni segmente gjatësitë e të cilave janë të barabarta me + b , b - A, ( a + b )/2 dhe ( b - a )/2 .

Zgjidhja: dhe për a + b(Fig. 14,a)

Fig. 14, a

b) për ( a + b)/2 (Fig. 14, b)

1) (A 1 B 1) || (A 2 B 2) || (AB) – drejtpërdrejt;

2) M Î (A 2 B 2), (MX) Ç (A 1 B 1 ) = N, (M H) Ç (A 1 B 1 ) = P;

3) (PY) Ç (A 2 B 2) = L, (LZ ) Ç (A 1 B 1 ) = O,

Ne marrim: N O = N.P. + P.O. =
.

Oriz. 14, b

c) për b - A(Fig. 14, c)

Oriz. 14, v

c) për ( b - a )/2 (Fig. 14, d)

Oriz. 14, g

6
. Ndërtoni qendrën e këtij rrethi.

Zgjidhje : (Fig. 15) Le të vizatojmë një vijë të drejtë AB,

prerja e rrethit në pikat A dhe B;

dielli  AB, ku C është pika e kryqëzimit

me një rreth.

Nëpër pikën C ne tërheqim paralele me AB

drejt C D; MEDkryqëzon një rreth

në pikënD.

Duke u lidhurDme B dhe A me C, marrim

pika e dëshiruar është qendra e rrethit. Oriz. 15

Zgjidhja 2: (Fig. 16) Duke përdorur një vizore të dyanshme, ndërtoni dy korda paralelepas Krishtit DheB.C. . Ne marrim një trapezoid isoscelesABCD. LeK DheP - pikat e prerjes së drejtëzaveA.C. DheBD , AB DheDC . Pastaj drejtP K kalon nëpër mesin e bazave të trapezit pingul me to, që do të thotë se kalon nga qendra e rrethit të dhënë. Duke ndërtuar në mënyrë të ngjashme një vijë tjetër të tillë të drejtë, gjejmë qendrën e rrethit.

Oriz. 16

7. Është dhënë një hark rrethi. Ndërtoni qendrën e rrethit

Zgjidhje . (Fig. 17) Shënoni tre pika A, B dhe C në këtë hark. Aplikoni një vizore në skajet e segmentit AB dhe gjurmoni skajet e tij. Marrim dy vija paralele. Duke ndryshuar pozicionin e sundimtarit, ne tërheqim dy vija të tjera paralele. Marrim një romb (një paralelogram me lartësi të barabarta). Një nga diagonalet e një rombi është përgjysmues pingul me segmentinAB , meqenëse diagonalja e një rombi shtrihet në përgjysmuesin pingul me diagonalen tjetër. Në mënyrë të ngjashme, ne ndërtojmë përgjysmuesin pingul me segmentinA.C. . Pika e kryqëzimit të përgjysmuesve të ndërtuar është qendra e rrethit të dëshiruar.

Oriz. 17

8. Jepet një segment AB, një drejtëz jo paralele l dhe një pikë M në të. Duke përdorur një vizore të dyanshme, ndërtoni pikat e kryqëzimit të drejtëzës l me një rreth me rreze AB me qendër M.

Zgjidhja: (Fig.18)

Le të plotësojmë trekëndëshinA.B.M. në paralelogramABNM . Le të ndërtojmë përgjysmorët MT dheZNJkënde ndërmjetMNdhe drejtl . Le të nxjerrim përmes pikësN vijat paralele me këta përgjysmues:NQ || ZNJ, NR || M.T.. MT│ ZNJsi përgjysmues të këndeve ngjitur. Do të thotë,NQ │ MT, domethënë në një trekëndëshNMQpërgjysmuesi është lartësia, prandaj trekëndëshi është dykëndësh:MQ = MN. Po kështu,ZOTI. = MN. PikatPDheRkërkuar.

Oriz. 18

9. Jepet drejtëza l dhe segmenti OA paralel me l. Duke përdorur një vizore të dyanshme, ndërtoni pikat e kryqëzimit të drejtëzës l me një rreth me rreze OA me qendër O.

Zgjidhja: (Fig. 19, a)

Le të bëjmë një direktivël 1 , paralel me vijënO.A. dhe larg saj në një distancëa . Le ta marrim në një vijë të drejtël pikë arbitrareB . LeB 1 - pika e prerjes së vijaveO.B. Dhel 1 . Le të nxjerrim përmes pikësB 1 drejt, paralelAB ; kjo vijë e pret vijënO.A. në pikënA 1 . Tani le të nxjerrim pikatO DheA 1 një çift drejtëzash paralele, distanca ndërmjet tyre ështëa (mund të ketë dy palë vija të tilla); leX DheX 1 - pikat e prerjes së drejtëzës që kalon nga një pikëO , me vija të drejtal Dhel 1 . SepseO.A. 1 = OK 1 dhe ∆O.A. 1 X 1 ∆ OAX , pastaj OA = OX, pikëX i kërkuar.

Në mënyrë të ngjashme, ne ndërtojmë pikën e dytë të kryqëzimit të rrethit dhe vijës - pikënY(Fig. 18, b).

Oriz. 18, a

Oriz. 18, b

I.6.Ndërtime me vizore të njëanshme

Z
Këtu shqyrtojmë një rast të veçantë: le të jepen pikat P,P, R 1 DheP 1 . dhe ato shtrihen në kulmet e trapezit.

1. Ndani segmentin P P në gjysmë

Zgjidhje treguar në figurën 19

Duke pasur parasysh pikat P,P, R 1 DheP 1 dhe vijat paralele

RP, R 1 P 1 . Le të kryejmë RP 1  PR 1 = B , RR 1  QQ 1 = A

Le të lidhim pikat A dhe B. AB RP = F– mes

segmenti PP.

Oriz. 19

2. Dyfishoni segmentin R 1 P 1.

R
vendim treguar në figurën 20. Le të ndërtojmë

pikëF- mesi i segmentit PPdhe lidheni atë

MeP 1. R 1 P FQ 1 = M. Le të kryejmë RM. RM R 1 P 1 = R

barazisëRQdhe P 1 P 1 rrjedh nga ngjashmëria

trekëndëshat RMFDhe RMP 1 ,

FMPDhe R 1 MP 1 , dhe barazitë PFDheFQ.

Oriz. 20

3
. Ndërtoni një segment gjatësi n  R 1 P 1 .

m – 1 segmente të barabarta PP 2 , P 2 P 3, … P m -1 P m

Pastaj ne ndërtojmë (RR 1 ) DheP m P 1 dhe lidheni

pika e tyre e prerjes A me pikat

P 2 , P 3, … P m Marrëm -1 e drejtpërdrejtë

ndajnëR 1 P 1 nëm të barabartë pjesët.

Përm = 4 zgjidhja është paraqitur në figurën 22

Fig.22

I.7. Këmbyeshmëria e vizores së dyanshme me busull dhe vizore

Le të vërtetojmë se një vizore e dyanshme është e këmbyeshme me një busull dhe një vizore. Për ta bërë këtë, ne vërtetojmë pohimet e mëposhtme:

Pohimi 1: të gjitha ndërtimet që mund të bëhen me busull dhe vizore mund të bëhen me vizore të dyanshme.

Meqenëse kur ndërtohet me një busull dhe një vizore, vizori tërheq një vijë përmes dy pikave, dhe busulla ndërton një rreth (gjen një grup pikash të barabarta nga një e dhënë), atëherë të gjitha ndërtimet me një busull dhe një vizore reduktohen në duke ndërtuar kryqëzimin e dy drejtëzave, dy rrathëve dhe një rrethi me një vijë të drejtë.

Kryqëzimi i dy vijave të drejta mund të ndërtohet duke përdorur një vizore.

Kryqëzimi i një rrethi me një vijë të drejtë (Fig. 23):

Ndërtimi:Le të jepet segmenti AB - rrezja e rrethit, një vijë e drejtël , qendra e rrethit O, pastaj:

1) Ne kryejmë OS ||l , OS = AB.

2) Ne kryejmë OS ||kdhe në distancë në a.

3) ne kryejmëO.D., O.D. l = D; O.D. k) Si pasojë e teoremës së Talesit

4) Sipas ligjit të kalueshmërisë së barazive

5) KonsideroniOMQE. OMQEështë një paralelogram, pasi OM ||EQdhe OE ||M.C.(anët e vizores janë paralele). Le të vërtetojmë se ky është një romb.

5.1) SjelljaQZ O.C.DheQG AKTIV, PastajQG = QZ = a.

5.2)  OMQ =  RQM(shtrirë kryq);  OS =AKTIV, që ishte ajo që duhej vërtetuar.

Kryqëzimi i dy rrathëve: i ngjashëm.

Deklarata 2: të gjitha ndërtimet që mund të bëhen me një vizore të dyanshme mund të bëhen me një busull dhe një vijë të drejtë.

Për ta bërë këtë, ne do të kryejmë standardet e konstruksioneve për një sundimtar të dyanshëm duke përdorur një busull dhe një sundimtar.

1) Një vijë e drejtë me dy pika ndërtohet lehtësisht duke përdorur një vizore.

2) Ndërtimi i një vije të drejtë paralele me një të dhënë dhe e hequr prej saj në një distancë të caktuar:

2.1) Le të jepet një vijë e drejtëkdhe segmentin e gjatësisëa.

2.2) Ndërtoni një vijë të drejtë arbitrareb k, lek b= B.

2.3) Aktivbnë të dy anët e pikësBnë një vijë të drejtëblini mënjanë një copë gjatësia, le pikatCDheD.

2.4) Përmes një pikeCndërtoni një vijë të drejtëc k.

2.5) Përmes një pikeDndërtoni një vijë të drejtëd k.

2.6) DirektcDhed-e nevojshme, sepseB.C.DheBDtë barabartëanga ndërtimi dhe janë të barabarta me distancën ndërmjet vijës së drejtëkdhe drejt

3) Ndërtimi i drejtëzave paralele me njëra-tjetrën dhe që kalojnë nëpër dy pika të dhëna, dhe distanca ndërmjet tyre është e barabartë me segmentin e dhënë:

3.1) Le të jepen pikëtADheBdhe segmentin e gjatësisëa.

3.2) Ndërtimi i një rrethi me qendër në një pikëAdhe rrezea.

3.3) Ndërtoni një tangjente me një rreth të caktuar përmes një pikeB; ka dy tangjente të tilla nëseBshtrihet jashtë rrethit (nëseAB> a), një nëseBshtrihet në rreth (nëseAB= a), asnjë nëseBshtrihet brenda rrethit (AB< a). Kjo tangjente është një nga linjat që ne po kërkojmë; mbetet për të kaluar nëpër pikëAvijë e drejtë paralele me të.

3.4) Meqenëse njëra prej drejtëzave është pingul me rrezen e rrethit si tangjente, e dyta është gjithashtu pingul me të (pasi janë paralele), prandaj distanca ndërmjet tyre është e barabartë me rrezen, e cila nga ndërtimi është e barabartë mea, që është ajo që kërkohej të merrej.

Kështu, ne kemi vërtetuar këmbyeshmërinë e një sundimtari të dyanshëm dhe një busull dhe sundimtar.

Përfundim: Një sundimtar i dyanshëm është i këmbyeshëm me një busull dhe një vizore.

konkluzioni

Pra, çështja e mundësisë së përdorimit të një vizore për zgjidhjen e problemeve klasike të ndërtimit duke përdorur një busull dhe një vizore është shqyrtuar dhe zgjidhur. Rezulton se problemet e ndërtimit mund të zgjidhen duke përdorur vetëm një vizore me skaje paralele. Kur zgjidhen probleme më komplekse, duhet të mbështetet më tej në të ashtuquajturat ndërtime themelore të diskutuara në këtë punim.

Materiali i paraqitur mund të ketë zbatim të drejtpërdrejtë jo vetëm në mësimet e matematikës, në orët e rrethit të matematikës, por edhe në veprimtari praktike.

Lista e literaturës së përdorur

Aliev A.V. Ndërtime gjeometrike. Matematika në shkollë. 1978 nr. 3

Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë. M., Iluminizmi. 1981.

Depman I.Ya. Pas faqeve të një teksti matematike. M.. Iluminizmi 1989.

Elensky Shch. Në gjurmët e Pitagorës. M., Detgiz. 1961.

Fjalor enciklopedik i një matematikani të ri. M., Pedagogji. 1985

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">Ndërtimi duke përdorur një vizore dhe busull Gjeometria">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> Ndërtoni një segment të barabartë me Ú Problemi A B"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> Ndërtimi i një këndi të barabartë me një të dhënë Merrni parasysh trekëndëshat"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> Ndërtimi i përgjysmuesit të një këndi Problemi Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> Ndërtimi i drejtëzave pingule Ú Problemi Jepet një drejtëz"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> Ndërtimi i pikës së mesit të një segmenti Detyra Ú Ndërtimi i pikës së mesme të segmentit dhënë"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Institucion arsimor buxhetor komunal

shkolla e mesme nr.34 me studim të thelluar të lëndëve individuale

NJERIU, seksioni i fizikës dhe matematikës

"Ndërtimet gjeometrike duke përdorur busull dhe vizore"

Plotësuar nga: nxënësi i klasës 7 “A”

Batishcheva Victoria

Shefi: Koltovskaya V.V.

Voronezh, 2013

3. Ndërtimi i një këndi të barabartë me atë të dhënë.

P Le të vizatojmë një rreth arbitrar me qendër në kulmin A të një këndi të caktuar (Fig. 3). Le të jenë B dhe C pikat e prerjes së rrethit me brinjët e këndit. Me rreze AB vizatojmë një rreth me qendër në pikën O, pikënisja e kësaj gjysmëdrejtëze. Le ta shënojmë pikën e kryqëzimit të këtij rrethi me këtë gjysmëdrejtëzë si C 1 . Le të përshkruajmë një rreth me qendër C 1 dhe Fig.3

rrezja e avionit. Pika B 1 kryqëzimi i rrathëve të ndërtuar në gjysmëplanin e treguar shtrihet në anën e këndit të dëshiruar.

6. Ndërtimi i vijave pingule.

Ne vizatojmë një rreth me një rreze arbitrare r me një qendër në pikën O në Fig. 6. Rrethi pret drejtëzën në pikat A dhe B.Nga pikat A dhe B vizatojmë rrathë me rreze AB. Le të jetë melankolia C pika e kryqëzimit të këtyre rrathëve. Pikat A dhe B i morëm në hapin e parë, kur ndërtuam një rreth me një rreze arbitrare.

Vija e drejtë e dëshiruar kalon nëpër pikat C dhe O.

Fig.6

Çështje të njohura

1.Problemi i Brahmagupta-s

Ndërtoni një katërkëndësh të brendashkruar duke përdorur katër anët e tij. Një zgjidhje përdor rrethin e Apollonit.Le të zgjidhim problemin e Apolonit duke përdorur analogjinë midis një trekëndëshi dhe një trekëndëshi. Si gjejmë një rreth të brendashkruar në një trekëndësh: ndërtojmë pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve, hedhim pingulet prej saj në anët e trekëndëshit, bazat e pinguleve (pikat e kryqëzimit të pingulit me anën në të cilën ai është rrëzuar) dhe na jepni tre pika të shtrira në rrethin e dëshiruar. Vizatoni një rreth nëpër këto tre pika - zgjidhja është gati. Ne do të bëjmë të njëjtën gjë me problemin e Apollonit.

2. Problemi i Apolonisë

Duke përdorur një busull dhe vizore, ndërtoni një rreth tangent me tre rrathët e dhënë. Sipas legjendës, problemi u formulua nga Apollonius i Pergës rreth vitit 220 para Krishtit. e. në librin "Prekja", i cili humbi, por u restaurua në vitin 1600 nga François Viète, "Apolonius Gallic", siç e quanin bashkëkohësit e tij.

Nëse asnjë nga rrathët e dhënë nuk shtrihet brenda tjetrit, atëherë ky problem ka 8 zgjidhje dukshëm të ndryshme.

Ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt.

P

korrekte (ose barabrinjës ) trekëndëshi - Kjo shumëkëndëshi i rregulltme tre brinjë, e para e shumëkëndëshave të rregullt. Të gjitha brinjët e një trekëndëshi të rregullt janë të barabartë me njëri-tjetrin, dhe të gjitha këndet janë 60°. Për të ndërtuar një trekëndësh barabrinjës, duhet ta ndani rrethin në 3 pjesë të barabarta. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të vizatoni një hark me rreze R të këtij rrethi nga vetëm një skaj i diametrit, marrim ndarjet e para dhe të dyta. Ndarja e tretë është në skajin e kundërt të diametrit. Duke i lidhur këto pika, marrim një trekëndësh barabrinjës.

Gjashtëkëndësh i rregullt Mundndërtoni duke përdorur një busull dhe vizore. Më poshtëjepet mënyra e ndërtimitduke e ndarë rrethin në 6 pjesë. Ne përdorim barazinë e brinjëve të një gjashtëkëndëshi të rregullt me ​​rrezen e rrethit të rrethuar. Nga skajet e kundërta të njërit prej diametrave të rrethit përshkruajmë harqe me rreze R. Pikat e kryqëzimit të këtyre harqeve me një rreth të caktuar do ta ndajnë atë në 6 pjesë të barabarta. Duke lidhur në mënyrë sekuenciale pikat e gjetura, fitohet një gjashtëkëndësh i rregullt.

Ndërtimi i një pesëkëndëshi të rregullt.

P
një pesëkëndësh i rregullt mund të jetëndërtuar duke përdorur një busull dhe vizore, ose duke e përshtatur atë në një të dhënërrethi, ose ndërtimi i bazuar në një anë të caktuar. Ky proces është përshkruar nga Euklidinë Elementet e tij rreth 300 para Krishtit. e.

Këtu është një metodë për ndërtimin e një pesëkëndëshi të rregullt në një rreth të caktuar:

Ndërtoni një rreth në të cilin do të futet pesëkëndëshi dhe shënoni qendrën e tij siO . (Ky është rrethi i gjelbër në diagramin në të djathtë).

Zgjidhni një pikë në rrethA , e cila do të jetë një nga kulmet e pesëkëndëshit. Ndërtoni një vijë të drejtë përmesO DheA .

Ndërtoni një vijë pingul me vijënO.A. , duke kaluar nëpër pikëO . Përcaktoni një nga kryqëzimet e tij me rrethin si pikëB .

Hartoni një pikëC në mes ndërmjetO DheB .

C përmes pikësA . Shënoni kryqëzimin e tij me vijënO.B. (brenda rrethit origjinal) si pikëD .

Vizatoni një rreth me qendër nëA përmes pikës D, shënoni pikëprerjen e këtij rrethi me origjinalin (rrethin e gjelbër).E DheF .

Vizatoni një rreth me qendër nëE përmes pikësA G .

Vizatoni një rreth me qendër nëF përmes pikësA . Etiketoni kryqëzimin tjetër të tij me rrethin origjinal si një pikëH .

Ndërtoni një pesëkëndësh të rregulltAEGHF .

Probleme të pazgjidhshme

Tre detyrat e mëposhtme të ndërtimit u vendosën në antikitet:

Triprerja e këndit - ndani një kënd arbitrar në tre pjesë të barabarta.

Me fjalë të tjera, është e nevojshme të ndërtohen tresektorë këndorë - rrezet që ndajnë këndin në tre pjesë të barabarta. P. L. Wanzel vërtetoi në 1837 se problemi është i zgjidhshëm vetëm kur, për shembull, treprerja është e realizueshme për këndet α = 360°/n, me kusht që numri i plotë n të mos pjesëtohet me 3. Megjithatë, herë pas here në shtyp (e pasaktë ) publikohen metodat për treprerjen e një këndi me busull dhe vizore.

Dyfishimi i kubit - problemi klasik i lashtë i ndërtimit me busull dhe vizore të skajit të një kubi, vëllimi i të cilit është dyfishi i vëllimit të një kubi të caktuar.

Në shënimin modern, problemi reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit. E gjitha varet nga problemi i ndërtimit të një segmenti të gjatësisë. P. Wantzel vërtetoi në 1837 se ky problem nuk mund të zgjidhej duke përdorur busull dhe një vizore.

Katrorja e një rrethi - një detyrë që konsiston në gjetjen e një konstruksioni duke përdorur një busull dhe një vizore të një katrori të barabartë në sipërfaqe me rrethin e dhënë.

Siç e dini, me ndihmën e një busull dhe një vizore mund të kryeni të 4 veprimet aritmetike dhe të nxirrni rrënjën katrore; rrjedh se katrorimi i rrethit është i mundur nëse dhe vetëm nëse, duke përdorur një numër të kufizuar veprimesh të tilla, është e mundur të ndërtohet një segment me gjatësi π. Kështu, pazgjidhshmëria e këtij problemi rrjedh nga natyra joalgjebrike (transcendenca) e numrit π, e cila u vërtetua në 1882 nga Lindemann.

Një problem tjetër i njohur që nuk mund të zgjidhet duke përdorur një busull dhe vizore ështëndërtimi i një trekëndëshi duke përdorur tre gjatësi të dhëna përgjysmore .

Për më tepër, ky problem mbetet i pazgjidhshëm edhe në prani të një trisektori.

Vetëm në shekullin e 19-të u vërtetua se të tre problemet ishin të pazgjidhshme duke përdorur vetëm një busull dhe një vijë të drejtë. Çështja e mundësisë së ndërtimit zgjidhet plotësisht me metoda algjebrike të bazuara në teorinë Galois.

A KE DITUR ATË...

(nga historia e ndërtimeve gjeometrike)

Njëherë e një kohë, një kuptim mistik u investua në ndërtimin e shumëkëndëshave të rregullt.

Kështu, pitagorianët, pasuesit e mësimit fetar dhe filozofik të themeluar nga Pitagora dhe që jetuan në Greqinë e lashtë (V I-I Vshekuj para Krishtit BC), adoptoi si shenjë të bashkimit të tyre një poligon në formë ylli të formuar nga diagonalet e një pesëkëndëshi të rregullt.

Rregullat për ndërtimin e rreptë gjeometrik të disa shumëkëndëshave të rregullt janë përcaktuar në librin "Elementet" nga matematikani i lashtë grek Euklidi, i cili jetoi nëIIIV. para Krishtit. Për të kryer këto ndërtime, Euklidi propozoi përdorimin e vetëm një sundimtari dhe një busull, i cili në atë kohë nuk kishte një pajisje me varëse për lidhjen e këmbëve (një kufizim i tillë në instrumente ishte një kërkesë e pandryshueshme e matematikës antike).

Shumëkëndëshat e rregullt u përdorën gjerësisht në astronominë e lashtë. Nëse Euklidi ishte i interesuar për ndërtimin e këtyre figurave nga pikëpamja e matematikës, atëherë për astronomin e lashtë grek Klaudi Ptolemeu (rreth 90 - 160 pas Krishtit) doli të ishte i nevojshëm si një mjet ndihmës në zgjidhjen e problemeve astronomike. Pra, në librin e parë të Almagests, i gjithë kapitulli i dhjetë i kushtohet ndërtimit të pesëkëndëshave dhe dhjetëkëndëshave të rregullt.

Megjithatë, përveç punimeve thjesht shkencore, ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt ishte pjesë përbërëse e librave për ndërtuesit, mjeshtrit dhe artistët. Aftësia për të përshkruar këto figura është kërkuar prej kohësh në arkitekturë, bizhuteri dhe arte të bukura.

"Dhjetë librat mbi arkitekturën" e arkitektit romak Vitruvius (i cili jetoi afërsisht 63-14 pes) thotë se muret e qytetit duhet të kenë formën e një poligoni të rregullt në plan dhe kullat e kalasë "duhet të bëhen të rrumbullakëta ose poligonale. , për një katërkëndësh mjaft të shkatërruar nga armët e rrethimit.”

Paraqitja e qyteteve ishte me interes të madh për Vitruvius, i cili besonte se ishte e nevojshme të planifikoheshin rrugët në mënyrë që erërat kryesore të mos frynin përgjatë tyre. Supozohej se kishte tetë erëra të tilla dhe se ato frynin në drejtime të caktuara.

Gjatë Rilindjes, ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt, dhe në veçanti i pesëkëndëshit, nuk ishte një lojë e thjeshtë matematikore, por ishte një parakusht i domosdoshëm për ndërtimin e fortesave.

Gjashtëkëndëshi i rregullt ishte objekt i një studimi të veçantë nga astronomi dhe matematikani i madh gjerman Johannes Kepler (1571-1630), për të cilin ai flet në librin e tij "Dhurata e Vitit të Ri, ose Flokët gjashtëkëndore të borës". Duke diskutuar arsyet pse floket e borës kanë një formë gjashtëkëndore, ai vë në dukje, veçanërisht, sa vijon: “... një rrafsh mund të mbulohet pa boshllëqe vetëm me figurat e mëposhtme: trekëndëshat barabrinjës, katrorë dhe gjashtëkëndësha të rregullt. Ndër këto shifra, gjashtëkëndëshi i rregullt mbulon sipërfaqen më të madhe”.

Një nga shkencëtarët më të famshëm të përfshirë në ndërtimet gjeometrike ishte artisti dhe matematikani i madh gjerman Albrecht Durer (1471 -1528), i cili ua kushtoi atyre një pjesë të konsiderueshme të librit të tij “Manuals...”. Ai propozoi rregulla për ndërtimin e shumëkëndëshave të rregullt me ​​3, 4, 5... 16 brinjë. Metodat për ndarjen e një rrethi të propozuara nga Dürer nuk janë universale, një teknikë individuale përdoret në secilin rast.

Dürer përdori metoda për ndërtimin e poligoneve të rregullt në praktikën artistike, për shembull, kur krijonte lloje të ndryshme zbukurimesh dhe modelesh për parket. Ai skicoi modele të tilla gjatë një udhëtimi në Holandë, ku në shumë shtëpi u gjetën dysheme me parket.

Dürer kompozoi stoli nga shumëkëndësha të rregullt, të cilët janë të lidhur në unaza (unaza prej gjashtë trekëndëshash barabrinjës, katër katërkëndësha, tre ose gjashtë gjashtëkëndësha, katërmbëdhjetë shtatëkëndësha, katër tetëkëndësha).

konkluzioni

Kështu që,ndërtime gjeometrike është një metodë e zgjidhjes së një problemi në të cilën përgjigja merret në mënyrë grafike. Ndërtimet kryhen duke përdorur mjete vizatimi me saktësi dhe saktësi maksimale të punës, pasi korrektësia e zgjidhjes varet nga kjo.

Falë kësaj pune u njoha me historinë e origjinës së busullës, u njoha më shumë me rregullat e kryerjes së ndërtimeve gjeometrike, fitova njohuri të reja dhe i zbatova në praktikë.
Zgjidhja e problemeve që përfshijnë ndërtimin me busull dhe një vizore është një kalim kohe e dobishme që ju lejon të hidhni një vështrim të ri në vetitë e njohura të figurave gjeometrike dhe elementet e tyre.Ky punim diskuton problemet më urgjente që lidhen me ndërtimet gjeometrike duke përdorur busulla dhe vizore. Shqyrtohen problemet kryesore dhe jepen zgjidhjet e tyre. Problemet e dhëna janë me interes të konsiderueshëm praktik, konsolidojnë njohuritë e marra në gjeometri dhe mund të përdoren për punë praktike.
Kështu, qëllimi i punës është arritur, detyrat e caktuara janë kryer.

Në detyrat e ndërtimit do të shqyrtojmë ndërtimin e një figure gjeometrike, e cila mund të bëhet duke përdorur një vizore dhe busull.

Duke përdorur një vizore mund të:

vijë e drejtë arbitrare;

një vijë e drejtë arbitrare që kalon nëpër një pikë të caktuar;

një drejtëz që kalon nëpër dy pika të dhëna.

Duke përdorur një busull, mund të përshkruani një rreth me një rreze të caktuar nga një qendër e caktuar.

Duke përdorur një busull, mund të vizatoni një segment në një vijë të caktuar nga një pikë e caktuar.

Le të shqyrtojmë detyrat kryesore të ndërtimit.

Detyra 1. Ndërtoni një trekëndësh me brinjët e dhëna a, b, c (Fig. 1).

Zgjidhje. Duke përdorur një vizore, vizatoni një vijë të drejtë arbitrare dhe merrni një pikë arbitrare B mbi të, duke përdorur një hapje busull të barabartë me a, ne përshkruajmë një rreth me qendër B dhe rreze a. Le të jetë C pika e prerjes së saj me drejtëzën. Me një hapje busull të barabartë me c, ne përshkruajmë një rreth nga qendra B, dhe me një hapje busull të barabartë me b, përshkruajmë një rreth nga qendra C. Le të jetë A pika e kryqëzimit të këtyre rrathëve. Trekëndëshi ABC ka brinjë të barabarta me a, b, c.

Komentoni. Në mënyrë që tre segmente të drejtë të shërbejnë si brinjë të një trekëndëshi, është e nevojshme që më i madhi prej tyre të jetë më i vogël se shuma e dy të tjerëve (dhe< b + с).

Detyra 2.

Zgjidhje. Ky kënd me kulmin A dhe rrezen OM janë paraqitur në figurën 2.

Le të vizatojmë një rreth arbitrar me qendër në kulmin A të këndit të dhënë. Le të jenë B dhe C pikat e prerjes së rrethit me anët e këndit (Fig. 3, a). Me rreze AB vizatojmë një rreth me qendër në pikën O - pika e fillimit të kësaj rreze (Fig. 3, b). Le ta shënojmë pikën e kryqëzimit të këtij rrethi me këtë rreze si C 1 . Le të përshkruajmë një rreth me qendër C 1 dhe rreze BC. Pika B 1 e kryqëzimit të dy rrathëve shtrihet në anën e këndit të dëshiruar. Kjo rrjedh nga barazia Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (shenja e tretë e barazisë së trekëndëshave).

Detyra 3. Ndërtoni përgjysmuesin e këtij këndi (Fig. 4).

Zgjidhje. Nga kulmi A i një këndi të caktuar, si nga qendra, vizatojmë një rreth me rreze arbitrare. Le të jenë B dhe C pikat e prerjes së tij me brinjët e këndit. Nga pikat B dhe C përshkruajmë rrathë me të njëjtën rreze. Le të jetë D pika e tyre e kryqëzimit, e ndryshme nga A. Rrezja AD përgjysmon këndin A. Kjo rrjedh nga barazia Δ ABD = Δ ACD (kriteri i tretë për barazinë e trekëndëshave).

Detyra 4. Vizatoni një përgjysmues pingul në këtë segment (Fig. 5).

Zgjidhje. Duke përdorur një hapje arbitrare, por identike të busullës (më e madhe se 1/2 AB), ne përshkruajmë dy harqe me qendra në pikat A dhe B, të cilët do të kryqëzojnë njëri-tjetrin në disa pika C dhe D. Vija e drejtë CD do të jetë pingulja e dëshiruar. Në të vërtetë, siç mund të shihet nga konstruksioni, secila nga pikat C dhe D është po aq e largët nga A dhe B; prandaj, këto pika duhet të shtrihen në përgjysmuesin pingul me segmentin AB.

Detyra 5. Ndani këtë segment në gjysmë. Zgjidhet në të njëjtën mënyrë si problemi 4 (shih Fig. 5).

Detyra 6. Nëpër një pikë të caktuar vizatoni një drejtëz pingul me drejtëzën e dhënë.

Zgjidhje. Ka dy raste të mundshme:

1) një pikë e dhënë O shtrihet në një drejtëz të dhënë a (Fig. 6).

Nga pika O vizatojmë një rreth me rreze arbitrare që pret drejtëzën a në pikat A dhe B. Nga pikat A dhe B vizatojmë rrathë me të njëjtën rreze. Le të jetë O 1 pika e kryqëzimit të tyre, e ndryshme nga O. Përftojmë OO 1 ⊥ AB. Në fakt, pikat O dhe O 1 janë të barabarta nga skajet e segmentit AB dhe, për rrjedhojë, shtrihen në përgjysmuesin pingul me këtë segment.

Shembull

Ndarja e një segmenti në gjysmë

Problemi i ndarjes. Përdorni një busull dhe vizore për të ndarë këtë segment AB në dy pjesë të barabarta. Një nga zgjidhjet është paraqitur në figurë:

• Duke përdorur një busull vizatojmë rrathë me qendra në pika A Dhe B rreze AB.
• Gjetja e pikave të kryqëzimit P Dhe P dy rrathë (harqe) të ndërtuar.
• Duke përdorur një vizore, vizatoni një segment ose vijë që kalon nëpër pika P Dhe P.
• Gjetja e mesit të dëshiruar të segmentit AB- pika e kryqëzimit AB Dhe PQ.

Përkufizimi formal

Në problemet e ndërtimit merren parasysh grupi i të gjitha pikave të rrafshit, bashkësia e të gjitha vijave të rrafshit dhe grupi i të gjitha rrathëve të rrafshit, në të cilat lejohen veprimet e mëposhtme:

1. Zgjidhni një pikë nga grupi i të gjitha pikave:
   1. pikë arbitrare
   2. pikë arbitrare në një vijë të caktuar
   3. pikë arbitrare në një rreth të caktuar
   4. pika e prerjes së dy drejtëzave të dhëna
   5. pika e kryqëzimit/tangjenca e një drejtëze të caktuar dhe një rrethi të caktuar
   6. pikat e kryqëzimit/tangjencave të dy rrathëve të dhënë
2. "Duke përdorur sundimtarët» zgjidhni një rresht nga grupi i të gjitha rreshtave:
   1. vijë e drejtë arbitrare
   2. një drejtëz arbitrare që kalon nëpër një pikë të caktuar
   3. një drejtëz që kalon nëpër dy pika të dhëna
3. "Duke përdorur busull» zgjidhni një rreth nga grupi i të gjithë rrathëve:
   1. rreth arbitrar
   2. një rreth arbitrar me qendër në një pikë të caktuar
   3. një rreth arbitrar me një rreze të barabartë me distancën midis dy pikave të dhëna
   4. një rreth me qendër në një pikë të caktuar dhe me rreze të barabartë me distancën midis dy pikave të dhëna

Në kushtet e problemit, specifikohet një grup i caktuar pikash. Kërkohet, duke përdorur një numër të kufizuar operacionesh nga operacionet e pranueshme të listuara më sipër, për të ndërtuar një grup tjetër pikash që është në një marrëdhënie të caktuar me grupin origjinal.

Zgjidhja e problemit të ndërtimit përmban tre pjesë thelbësore:

1. Përshkrimi i metodës për ndërtimin e një grupi të caktuar.
2. Dëshmi se grupi i ndërtuar në mënyrën e përshkruar është me të vërtetë në një marrëdhënie të caktuar me grupin origjinal. Zakonisht vërtetimi i konstruksionit kryhet si vërtetim i rregullt i teoremës, bazuar në aksioma dhe teorema të tjera të vërtetuara.
3. Analiza e metodës së përshkruar të ndërtimit për zbatueshmërinë e saj në versione të ndryshme të kushteve fillestare, si dhe për unike ose jo unike të zgjidhjes së marrë me metodën e përshkruar.

Çështje të njohura

• Problemi i Apolonit për ndërtimin e një rrethi tangjent me tre rrathë të dhënë. Nëse asnjë nga rrathët e dhënë nuk shtrihet brenda tjetrit, atëherë ky problem ka 8 zgjidhje dukshëm të ndryshme.
• Problemi i Brahmagupta-s për ndërtimin e një katërkëndëshi të brendashkruar duke përdorur katër anët e tij.

Ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt

Gjeometrit e lashtë dinin të ndërtonin saktë n-gons për , , dhe .

Ndërtime të mundshme dhe të pamundura

Të gjitha ndërtimet nuk janë gjë tjetër veçse zgjidhje për disa ekuacione, dhe koeficientët e këtij ekuacioni lidhen me gjatësitë e segmenteve të dhëna. Prandaj, është e përshtatshme të flasim për ndërtimin e një numri - një zgjidhje grafike për një ekuacion të një lloji të caktuar. Në kuadër të kërkesave të mësipërme, janë të mundshme ndërtimet e mëposhtme:

• Ndërtimi i zgjidhjeve të ekuacioneve lineare.
• Ndërtimi i zgjidhjeve të ekuacioneve kuadratike.

Me fjalë të tjera, është e mundur vetëm të ndërtohen numra të barabartë me shprehjet aritmetike duke përdorur rrënjën katrore të numrave origjinalë (gjatësitë e segmenteve). Për shembull,

Variacione dhe përgjithësime

• Ndërtime duke përdorur një busull. Sipas teoremës Mohr-Mascheroni, me ndihmën e një busulle mund të ndërtoni çdo figurë që mund të ndërtohet me një busull dhe një vizore. Në këtë rast, një vijë e drejtë konsiderohet e ndërtuar nëse në të janë specifikuar dy pika.
• Ndërtime duke përdorur një vizore.Është e lehtë të shihet se me ndihmën e një vizoreje mund të kryhen vetëm ndërtime projektive-invariante. Në veçanti, është e pamundur madje të ndash një segment në dy pjesë të barabarta, ose të gjesh qendrën e një rrethi të vizatuar. Por nëse ka një rreth të vizatuar paraprakisht në aeroplan me një qendër të shënuar, duke përdorur një vizore, mund të kryeni të njëjtat ndërtime si me busullat dhe një vizore (teorema Poncelet-Steiner ( anglisht)), 1833. Nëse ka dy nivele në një vizore, atëherë ndërtimet që përdorin atë janë ekuivalente me ndërtimet që përdorin busulla dhe një vizore (Napoleoni ndërmori një hap të rëndësishëm në vërtetimin e kësaj).
• Ndërtime duke përdorur mjete me aftësi të kufizuara. Në problemet e këtij lloji, mjetet (në krahasim me formulimin klasik të problemit) konsiderohen jo ideale, por të kufizuara: një vijë e drejtë përmes dy pikave mund të vizatohet duke përdorur një vizore vetëm nëse distanca midis këtyre pikave nuk tejkalon një të caktuar. vlera; rrezja e rrathëve të vizatuar duke përdorur një busull mund të kufizohet nga lart, poshtë ose nga lart dhe poshtë.
• Ndërtime duke përdorur origami të sheshtë. shih rregullat e Hujit

Shiko gjithashtu

• Programet e gjeometrisë dinamike ju lejojnë të kryeni ndërtime duke përdorur një busull dhe vizore në një kompjuter.

Shënime

Letërsia

• A. Adler Teoria e ndërtimeve gjeometrike / Përkthim nga gjermanishtja nga G. M. Fikhtengolts. - Botimi i tretë. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 f.
• I. I. Alexandrov Mbledhja e problemeve gjeometrike të ndërtimit. - Botimi i tetëmbëdhjetë. - M.: Uchpedgiz, 1950. - 176 f.
• B. I. Argunov, M. B. Balk. - Edicioni i dyte. - M.: Uchpedgiz, 1957. - 268 f.
• A. M. Voronets Gjeometria e busullës. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 f. - (Biblioteka popullore për matematikën nën redaksinë e përgjithshme të L. A. Lyusternik).
• V. A. Geiler Probleme të pazgjidhshme ndërtimi // ftohës. - 1999. - Nr 12. - F. 115-118.
• V. A. Kirichenko Ndërtimet me busull dhe vizore dhe teoria Galois // Shkolla Verore "Matematika moderne". - Dubna, 2005.
• Yu. I. Manin Libri IV. Gjeometria // Enciklopedia e matematikës elementare. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 568 f.
• Y. Petersen Metoda dhe teori për zgjidhjen e problemeve gjeometrike të ndërtimit. - M.: Shtypshkronja e E. Lissner dhe Y. Roman, 1892. - 114 f.
• V. V. Prasolov Tre probleme klasike të ndërtimit. Dyfishimi i një kubi, treprerja e një këndi, kuadrimi i një rrethi. - M.: Nauka, 1992. - 80 f. - (Ligjërata popullore për matematikën).
• J. Steiner Ndërtimet gjeometrike të kryera duke përdorur një vijë të drejtë dhe një rreth fiks. - M.: Uchpedgiz, 1939. - 80 f.
• Kurs me zgjedhje në matematikë. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaya. - M.: Arsimi, 1991. - F. 80. - 383 f. - ISBN 5-09-001287-3

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Shihni se çfarë është "Ndërtimi duke përdorur një busull dhe vizore" në fjalorë të tjerë:

Sunduesit - merrni një kupon pune për një zbritje në AllInstruments në Akademika ose blini vizore me fitim me dërgesë falas në shitje në AllInstruments

Një degë e gjeometrisë Euklidiane, e njohur që nga kohërat e lashta. Në detyrat e ndërtimit, operacionet e mëposhtme janë të mundshme: Shënoni një pikë arbitrare në plan, një pikë në një nga linjat e ndërtuara ose pikën e kryqëzimit të dy linjave të ndërtuara. Me ndihmën e... ... Wikipedia

Ndërtimet që përdorin busulla dhe vizore janë një degë e gjeometrisë Euklidiane e njohur që nga kohërat e lashta. Në detyrat e ndërtimit, operacionet e mëposhtme janë të mundshme: Shënoni një pikë arbitrare në aeroplan, një pikë në një nga linjat e ndërtuara ose një pikë... ... Wikipedia

Emër, s., i përdorur. krahasojnë shpesh Morfologjia: (jo) çfarë? ndërtim, çfarë? ndërtim, (Unë shoh) çfarë? ndërtim, çfarë? ndërtimi, për çfarë? rreth ndërtimit; pl. Çfarë? ndërtim, (jo) çfarë? ndërtimet, çfarë? ndërtime, (Unë shoh) çfarë? ndërtimi, me çfarë?... ... Fjalori shpjegues i Dmitriev

Kthimi