Si të gjeni vlerën më të madhe. Ekstreme e funksionit

Le të shohim se si të ekzaminojmë një funksion duke përdorur një grafik. Rezulton se duke parë grafikun, ne mund të zbulojmë gjithçka që na intereson, përkatësisht:

domeni i një funksioni
diapazoni i funksionit
funksioni zero
intervalet e rritjes dhe zvogëlimit
pikë maksimale dhe minimale
vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni në një segment.

Le të sqarojmë terminologjinë:

Abshisaështë koordinata horizontale e pikës.
Ordinoni- koordinata vertikale.
Boshti i abshisave- boshti horizontal, më shpesh i quajtur bosht.
boshti Y- bosht vertikal, ose bosht.

Argumenti- një variabël i pavarur nga i cili varen vlerat e funksionit. Më shpesh tregohet.
Me fjalë të tjera, ne zgjedhim , zëvendësojmë funksionet në formulë dhe marrim .

Domeni funksionet - grupi i atyre (dhe vetëm atyre) vlerave të argumenteve për të cilat ekziston funksioni.
Tregohet nga: ose .

Në figurën tonë, fusha e përcaktimit të funksionit është segmenti. Pikërisht në këtë segment vizatohet grafiku i funksionit. Ky është i vetmi vend ku ekziston ky funksion.

Gama e funksionitështë grupi i vlerave që merr një ndryshore. Në figurën tonë, ky është një segment - nga vlera më e ulët në atë më të lartë.

Funksioni zero- pikat ku vlera e funksionit është zero, d.m.th. Në figurën tonë këto janë pika dhe .

Vlerat e funksionit janë pozitive ku . Në figurën tonë këto janë intervalet dhe .
Vlerat e funksionit janë negative ku . Për ne, ky është intervali (ose intervali) nga në .

Konceptet më të rëndësishme - funksion në rritje dhe në ulje në një set. Si grup, mund të merrni një segment, një interval, një bashkim intervalesh ose të gjithë vijën numerike.

Funksioni rritet

Me fjalë të tjera, sa më shumë, aq më shumë, domethënë, grafiku shkon djathtas dhe lart.

Funksioni zvogëlohet në një grup nëse për ndonjë dhe që i përket grupit, pabarazia nënkupton pabarazinë .

Për një funksion në rënie, një vlerë më e madhe korrespondon me një vlerë më të vogël. Grafiku shkon djathtas dhe poshtë.

Në figurën tonë, funksioni rritet në interval dhe zvogëlohet në intervalet dhe .

Le të përcaktojmë se çfarë është pikët maksimale dhe minimale të funksionit.

Pika maksimale- kjo është një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit, e tillë që vlera e funksionit në të është më e madhe se në të gjitha pikat mjaft afër tij.
Me fjalë të tjera, një pikë maksimale është një pikë në të cilën vlera e funksionit më shumë sesa në ato fqinje. Kjo është një "kodër" lokale në tabelë.

Në figurën tonë ka një pikë maksimale.

Pika minimale- një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit, e tillë që vlera e funksionit në të është më e vogël se në të gjitha pikat mjaft afër tij.
Kjo do të thotë, pika minimale është e tillë që vlera e funksionit në të është më e vogël se në fqinjët e saj. Kjo është një "vrimë" lokale në grafik.

Në figurën tonë ka një pikë minimale.

Pika është kufiri. Nuk është një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit dhe për këtë arsye nuk i përshtatet përkufizimit të një pike maksimale. Në fund të fundit, ajo nuk ka fqinjë në të majtë. Në të njëjtën mënyrë, në grafikun tonë nuk mund të ketë një pikë minimale.

Pikat maksimale dhe minimale së bashku quhen pikat ekstreme të funksionit. Në rastin tonë kjo është dhe .

Çfarë duhet të bëni nëse keni nevojë të gjeni, për shembull, funksioni minimal në segment? Në këtë rast përgjigja është: . Sepse funksioni minimalështë vlera e tij në pikën minimale.

Në mënyrë të ngjashme, maksimumi i funksionit tonë është . Është arritur në pikën.

Mund të themi se ekstremet e funksionit janë të barabarta me dhe .

Ndonjëherë problemet kërkojnë gjetje vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment të caktuar. Ato nuk përkojnë domosdoshmërisht me ekstremet.

Në rastin tonë vlera më e vogël e funksionit në segment është i barabartë dhe përkon me minimumin e funksionit. Por vlera e tij më e madhe në këtë segment është e barabartë me . Ajo arrihet në skajin e majtë të segmentit.

Në çdo rast, vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm në një segment arrihen ose në pikat ekstreme ose në skajet e segmentit.

Në praktikë, është mjaft e zakonshme të përdoret derivati për të llogaritur vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni. Ne e kryejmë këtë veprim kur kuptojmë se si të minimizojmë kostot, të rrisim fitimet, të llogarisim ngarkesën optimale në prodhim, etj., domethënë në rastet kur duhet të përcaktojmë vlerën optimale të një parametri. Për të zgjidhur në mënyrë korrekte probleme të tilla, duhet të kuptoni mirë se cilat janë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni.

Në mënyrë tipike, ne i përcaktojmë këto vlera brenda një intervali të caktuar x, i cili nga ana tjetër mund të korrespondojë me të gjithë domenin e funksionit ose një pjesë të tij. Mund të jetë si një segment [a; b ] , dhe intervali i hapur (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), intervali i pafundëm (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) ose intervali i pafund - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Në këtë material do t'ju tregojmë se si të llogaritni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të përcaktuar në mënyrë eksplicite me një ndryshore y=f(x) y = f (x) .

Përkufizimet bazë

Le të fillojmë, si gjithmonë, me formulimin e përkufizimeve bazë.

Përkufizimi 1

Vlera më e madhe e funksionit y = f (x) në një interval të caktuar x është vlera m a x y = f (x 0) x ∈ X, e cila për çdo vlerë x x ∈ X, x ≠ x 0 bën pabarazinë f (x) ≤ f (x) e vlefshme 0) .

Përkufizimi 2

Vlera më e vogël e funksionit y = f (x) në një interval të caktuar x është vlera m i n x ∈ X y = f (x 0), e cila për çdo vlerë x ∈ X, x ≠ x 0 bën pabarazinë f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Këto përkufizime janë mjaft të qarta. Edhe më e thjeshtë, mund të themi këtë: vlera më e madhe e një funksioni është vlera më e madhe e tij në një interval të njohur në abscissa x 0, dhe më e vogla është vlera më e vogël e pranuar në të njëjtin interval në x 0.

Përkufizimi 3

Pikat stacionare janë ato vlera të argumentit të një funksioni në të cilin derivati i tij bëhet 0.

Pse duhet të dimë se cilat janë pikat e palëvizshme? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, duhet të kujtojmë teoremën e Fermatit. Nga kjo rrjedh se një pikë e palëvizshme është pika në të cilën ndodhet ekstremi i funksionit të diferencueshëm (d.m.th., minimumi ose maksimumi i tij lokal). Rrjedhimisht, funksioni do të marrë vlerën më të vogël ose më të madhe në një interval të caktuar pikërisht në një nga pikat e palëvizshme.

Një funksion mund të marrë gjithashtu vlerën më të madhe ose më të vogël në ato pika në të cilat vetë funksioni është përcaktuar dhe derivati i tij i parë nuk ekziston.

Pyetja e parë që lind gjatë studimit të kësaj teme: në të gjitha rastet a mund të përcaktojmë vlerën më të madhe apo më të vogël të një funksioni në një interval të caktuar? Jo, nuk mund ta bëjmë këtë kur kufijtë e një intervali të caktuar përkojnë me kufijtë e domenit të përkufizimit, ose nëse kemi të bëjmë me një interval të pafund. Ndodh gjithashtu që një funksion në një segment të caktuar ose në pafundësi të marrë vlera pafundësisht të vogla ose pafundësisht të mëdha. Në këto raste, nuk është e mundur të përcaktohet vlera më e madhe dhe/ose më e vogël.

Këto pika do të bëhen më të qarta pasi të përshkruhen në grafikët:

Figura e parë na tregon një funksion që merr vlerat më të mëdha dhe më të vogla (m a x y dhe m i n y) në pikat stacionare të vendosura në segmentin [-6; 6].

Le të shqyrtojmë në detaje rastin e treguar në grafikun e dytë. Le të ndryshojmë vlerën e segmentit në [1; 6 ] dhe gjejmë se vlera maksimale e funksionit do të arrihet në pikën me abshisën në kufirin e djathtë të intervalit, dhe minimumi - në pikën e palëvizshme.

Në figurën e tretë, abshisat e pikave përfaqësojnë pikat kufitare të segmentit [-3; 2]. Ato korrespondojnë me vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni të caktuar.

Tani le të shohim foton e katërt. Në të, funksioni merr m a x y (vlera më e madhe) dhe m i n y (vlera më e vogël) në pikat stacionare në intervalin e hapur (- 6 ; 6).

Nëse marrim intervalin [1; 6), atëherë mund të themi se vlera më e vogël e funksionit në të do të arrihet në një pikë të palëvizshme. Vlera më e madhe do të jetë e panjohur për ne. Funksioni mund të marrë vlerën e tij maksimale në x të barabartë me 6 nëse x = 6 i përkiste intervalit. Ky është pikërisht rasti i paraqitur në grafikun 5.

Në grafikun 6, ky funksion fiton vlerën e tij më të vogël në kufirin e djathtë të intervalit (- 3; 2 ], dhe ne nuk mund të nxjerrim përfundime të caktuara për vlerën më të madhe.

Në figurën 7 shohim se funksioni do të ketë m a x y në një pikë të palëvizshme që ka një abshisë të barabartë me 1. Funksioni do të arrijë vlerën e tij minimale në kufirin e intervalit në anën e djathtë. Në minus pafundësi, vlerat e funksionit do të afrohen në mënyrë asimptotike y = 3.

Nëse marrim intervalin x ∈ 2 ; + ∞ , atëherë do të shohim se funksioni i dhënë nuk do të marrë as vlerën më të vogël dhe as më të madhe. Nëse x tenton në 2, atëherë vlerat e funksionit do të priren në minus pafundësi, pasi vija e drejtë x = 2 është një asimptotë vertikale. Nëse abshisa tenton në plus pafundësi, atëherë vlerat e funksionit do të afrohen në mënyrë asimptotike y = 3. Ky është pikërisht rasti i paraqitur në Figurën 8.

Në këtë paragraf do të paraqesim sekuencën e veprimeve që duhet të kryhen për të gjetur vlerën më të madhe ose më të vogël të një funksioni në një segment të caktuar.

Së pari, le të gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit. Le të kontrollojmë nëse segmenti i specifikuar në kusht përfshihet në të.
Tani le të llogarisim pikat që përmban ky segment në të cilin derivati i parë nuk ekziston. Më shpesh ato mund të gjenden në funksione, argumenti i të cilëve është shkruar nën shenjën e modulit, ose në funksionet e fuqisë, eksponenti i të cilëve është një numër racional thyesor.
Më pas, do të zbulojmë se cilat pika të palëvizshme do të bien në segmentin e dhënë. Për ta bërë këtë, duhet të llogarisni derivatin e funksionit, më pas ta barazoni me 0 dhe të zgjidhni ekuacionin që rezulton, dhe më pas të zgjidhni rrënjët e duhura. Nëse nuk marrim një pikë të vetme të palëvizshme ose ato nuk bien në segmentin e dhënë, atëherë kalojmë në hapin tjetër.
Ne përcaktojmë se çfarë vlerash do të marrë funksioni në pikat e dhëna stacionare (nëse ka), ose në ato pika në të cilat derivati i parë nuk ekziston (nëse ka), ose llogarisim vlerat për x = a dhe x = b.
5. Kemi një numër vlerash funksioni, nga të cilat tani duhet të zgjedhim më të madhin dhe më të voglin. Këto do të jenë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit që duhet të gjejmë.

Le të shohim se si ta zbatojmë saktë këtë algoritëm kur zgjidhim probleme.

Shembulli 1

Kushti: jepet funksioni y = x 3 + 4 x 2. Përcaktoni vlerat e tij më të mëdha dhe më të vogla në segmentet [1; 4 ] dhe [ - 4 ; - 1 ] .

Zgjidhja:

Le të fillojmë duke gjetur domenin e përkufizimit të një funksioni të caktuar. Në këtë rast, do të jetë bashkësia e të gjithë numrave realë përveç 0. Me fjalë të tjera, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Të dy segmentet e specifikuar në kusht do të jenë brenda zonës së përkufizimit.

Tani ne llogarisim derivatin e funksionit sipas rregullit të diferencimit të thyesave:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Mësuam se derivati i një funksioni do të ekzistojë në të gjitha pikat e segmenteve [1; 4 ] dhe [ - 4 ; - 1 ] .

Tani duhet të përcaktojmë pikat stacionare të funksionit. Le ta bëjmë këtë duke përdorur ekuacionin x 3 - 8 x 3 = 0. Ajo ka vetëm një rrënjë të vërtetë, e cila është 2. Do të jetë një pikë e palëvizshme e funksionit dhe do të bjerë në segmentin e parë [1; 4 ] .

Le të llogarisim vlerat e funksionit në skajet e segmentit të parë dhe në këtë pikë, d.m.th. për x = 1, x = 2 dhe x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Kemi gjetur se vlera më e madhe e funksionit m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 do të arrihet në x = 1, dhe m i vogël m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 - në x = 2.

Segmenti i dytë nuk përfshin një pikë të vetme të palëvizshme, kështu që ne duhet të llogarisim vlerat e funksionit vetëm në skajet e segmentit të caktuar:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Kjo do të thotë m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Përgjigje: Për segmentin [1; 4 ] - m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, për segmentin [-4; - 1 ] - m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Shihni foton:

Para se të studioni këtë metodë, ju këshillojmë të rishikoni se si të llogaritni saktë kufirin e njëanshëm dhe kufirin në pafundësi, si dhe të mësoni metodat themelore për gjetjen e tyre. Për të gjetur vlerën më të madhe dhe/ose më të vogël të një funksioni në një interval të hapur ose të pafund, kryeni hapat e mëposhtëm me radhë.

Së pari, duhet të kontrolloni nëse intervali i dhënë do të jetë një nëngrup i domenit të funksionit të caktuar.
Le të përcaktojmë të gjitha pikat që përmbahen në intervalin e kërkuar dhe në të cilat derivati i parë nuk ekziston. Ato zakonisht ndodhin për funksionet ku argumenti është i mbyllur në shenjën e modulit dhe për funksionet e fuqisë me një eksponent racional fraksional. Nëse këto pika mungojnë, atëherë mund të vazhdoni në hapin tjetër.
Tani le të përcaktojmë se cilat pika të palëvizshme do të bien brenda intervalit të dhënë. Së pari, barazojmë derivatin me 0, zgjidhim ekuacionin dhe zgjedhim rrënjët e përshtatshme. Nëse nuk kemi një pikë të vetme të palëvizshme ose ato nuk bien brenda intervalit të specifikuar, atëherë ne vazhdojmë menjëherë me veprime të mëtejshme. Ato përcaktohen nga lloji i intervalit.

Nëse intervali është i formës [a; b) , atëherë duhet të llogarisim vlerën e funksionit në pikën x = a dhe kufirin e njëanshëm lim x → b - 0 f (x) .
Nëse intervali ka formën (a; b ], atëherë duhet të llogarisim vlerën e funksionit në pikën x = b dhe kufirin e njëanshëm lim x → a + 0 f (x).
Nëse intervali ka formën (a; b), atëherë duhet të llogarisim kufijtë e njëanshëm lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Nëse intervali është i formës [a; + ∞), atëherë duhet të llogarisim vlerën në pikën x = a dhe kufirin në plus pafundësi lim x → + ∞ f (x) .
Nëse intervali duket si (- ∞ ; b ] , ne llogarisim vlerën në pikën x = b dhe kufirin në minus pafundësi lim x → - ∞ f (x) .
Nëse - ∞ ; b , atëherë konsiderojmë kufirin e njëanshëm lim x → b - 0 f (x) dhe kufirin në minus pafundësi lim x → - ∞ f (x)
Nëse - ∞; + ∞ , atëherë konsiderojmë kufijtë në minus dhe plus pafundësi lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Në fund, duhet të nxirrni një përfundim bazuar në vlerat dhe kufijtë e funksionit të marrë. Ka shumë opsione të disponueshme këtu. Pra, nëse kufiri i njëanshëm është i barabartë me minus pafundësi ose plus pafundësi, atëherë është menjëherë e qartë se asgjë nuk mund të thuhet për vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksionit. Më poshtë do të shohim një shembull tipik. Përshkrimet e hollësishme do t'ju ndihmojnë të kuptoni se çfarë është. Nëse është e nevojshme, mund të ktheheni te figurat 4 - 8 në pjesën e parë të materialit.

Shembulli 2

Gjendja: është dhënë funksioni y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Llogaritni vlerën e tij më të madhe dhe më të vogël në intervalet - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞, [4; + ∞).

Zgjidhje

Para së gjithash, gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit. Emëruesi i thyesës përmban një trinom kuadratik, i cili nuk duhet të kthehet në 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Ne kemi marrë domenin e përcaktimit të funksionit të cilit i përkasin të gjitha intervalet e specifikuara në kusht.

Tani le të dallojmë funksionin dhe të marrim:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Rrjedhimisht, derivatet e një funksioni ekzistojnë në të gjithë domenin e tij të përkufizimit.

Le të kalojmë në gjetjen e pikave të palëvizshme. Derivati i funksionit bëhet 0 në x = - 1 2 . Kjo është një pikë e palëvizshme që shtrihet në intervalet (- 3 ; 1 ] dhe (- 3 ; 2) .

Le të llogarisim vlerën e funksionit në x = - 4 për intervalin (- ∞ ; - 4 ], si dhe kufirin në minus pafundësi:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Meqenëse 3 e 1 6 - 4 > - 1, do të thotë që m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Kjo nuk na lejon të përcaktojmë në mënyrë unike vlerën më të vogël të Funksioni Mund të konkludojmë vetëm se ka një kufizim më poshtë - 1, pasi është pikërisht kjo vlerë që funksioni i afrohet në mënyrë asimptotike në minus pafundësi.

E veçanta e intervalit të dytë është se nuk ka një pikë të vetme të palëvizshme dhe asnjë kufi të vetëm të rreptë në të. Rrjedhimisht, nuk do të jemi në gjendje të llogarisim as vlerën më të madhe dhe as më të vogël të funksionit. Pasi kemi përcaktuar kufirin në minus pafundësi dhe ndërsa argumenti tenton në - 3 në anën e majtë, marrim vetëm një interval vlerash:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Kjo do të thotë që vlerat e funksionit do të vendosen në intervalin - 1; +∞

Për të gjetur vlerën më të madhe të funksionit në intervalin e tretë, ne përcaktojmë vlerën e tij në pikën stacionare x = - 1 2 nëse x = 1. Do të na duhet gjithashtu të dimë kufirin e njëanshëm për rastin kur argumenti priret në - 3 në anën e djathtë:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Doli se funksioni do të marrë vlerën më të madhe në një pikë të palëvizshme m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Sa i përket vlerës më të vogël, ne nuk mund ta përcaktojmë atë. Gjithçka që dimë , është prania e një kufiri më të ulët në - 4 .

Për intervalin (- 3 ; 2), merrni rezultatet e llogaritjes së mëparshme dhe llogaritni edhe një herë se me çfarë kufiri i njëanshëm është i barabartë kur prireni në 2 në anën e majtë:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Kjo do të thotë që m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, dhe vlera më e vogël nuk mund të përcaktohet, dhe vlerat e funksionit janë të kufizuara nga poshtë me numrin - 4 .

Bazuar në atë që morëm në dy llogaritjet e mëparshme, mund të themi se në intervalin [1; 2) funksioni do të marrë vlerën e tij më të madhe në x = 1, por është e pamundur të gjendet më i vogli.

Në intervalin (2 ; + ∞) funksioni nuk do të arrijë as vlerën më të madhe dhe as vlerën më të vogël, d.m.th. do të marrë vlera nga intervali - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Pasi kemi llogaritur se me çfarë do të jetë vlera e funksionit të barabartë me x = 4, zbulojmë se m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , dhe funksioni i dhënë në plus pafundësi do t'i afrohet asimptotikisht drejtëzës y = - 1 .

Le të krahasojmë atë që kemi marrë në çdo llogaritje me grafikun e funksionit të dhënë. Në figurë, asimptotat tregohen me vija me pika.

Kjo është gjithçka që donim t'ju tregonim për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni. Sekuencat e veprimeve që kemi dhënë do t'ju ndihmojnë të bëni llogaritjet e nevojshme sa më shpejt dhe thjesht. Por mbani mend se shpesh është e dobishme që së pari të zbuloni se në cilat intervale funksioni do të ulet dhe në cilin do të rritet, pas së cilës mund të nxirrni përfundime të mëtejshme. Në këtë mënyrë ju mund të përcaktoni më saktë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit dhe të justifikoni rezultatet e marra.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Algoritmi për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm në një segment:

1) Gjeni të gjitha pikat kritike të funksionit që i përkasin segmentit;

2) Llogaritni vlerat e funksionit në këto pika dhe në skajet e segmentit;

3) Nga vlerat e marra, zgjidhni më të madhin dhe më të voglin.

Shembulli 8.1. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni
në segment
.

Zgjidhje. 1) Gjeni pikat kritike të funksionit.

,




.

Në segment
emëruesi nuk zhduket. Prandaj, një thyesë është e barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse numëruesi është i barabartë me zero:




.

Do të thotë,
– pika kritike e funksionit. I përket këtij segmenti.

Le të gjejmë vlerën e funksionit në pikën kritike:

2) Gjeni vlerat e funksionit në skajet e segmentit:

, .

3) Nga vlerat e marra, zgjidhni më të madhin dhe më të voglin:

,
.

9. Probleme të gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të sasive

Kur zgjidhni problemet që përfshijnë llogaritjen e vlerave më të vogla dhe më të mëdha të sasive, së pari duhet të përcaktoni se për cilën sasi në problem ju duhet të gjeni vlerën më të vogël ose më të madhe. Kjo vlerë do të jetë funksioni në studim. Më pas një nga madhësitë nga ndryshimi i së cilës varet zbatimi i funksionit duhet marrë si ndryshore e pavarur dhe funksioni të shprehet përmes saj. Në këtë rast, është e nevojshme të zgjidhni si variabël të pavarur vlerën përmes së cilës funksioni në studim shprehet më thjesht. Pas kësaj, zgjidhet problemi i gjetjes së vlerave më të vogla dhe më të mëdha të funksionit që rezulton në një interval të caktuar ndryshimi në variablin e pavarur, i cili zakonisht përcaktohet nga vetë thelbi i problemit.

Shembulli 9.1. Gjeni lartësinë e konit të vëllimit më të madh që mund të futet në një top me rreze .

R vendim. Përcaktimi i rrezes së bazës, lartësisë dhe vëllimit të konit, përkatësisht ,Dhe , le të shkruajmë
. Kjo barazi shpreh varësinë nga dy variabla Dhe ; le të përjashtojmë një nga këto sasi, domethënë . Për ta bërë këtë, nga një trekëndësh kënddrejtë
ne nxjerrim (duke përdorur teoremën për katrorin e një pingule të rënë nga kulmi i një këndi të drejtë në hipotenuzë):

Figura 6 – Ilustrimi për shembull 9.1.

ose
.

Zëvendësimi i vlerës në formulën për vëllimin e një koni, marrim:

Shohim se vëllimi kon i gdhendur në një top me rreze , ka një funksion të lartësisë së këtij koni . Të gjesh lartësinë në të cilën koni i brendashkruar ka një vëllim të madh do të thotë të gjesh të tillë , në të cilën funksioni ka një maksimum. Ne jemi duke kërkuar për funksionin maksimal:

1)
,

2)
,
,
, ku
ose
,

3)
.

Zëvendësimi në vend ne fillim
, dhe pastaj
, marrim:

Në rastin e parë kemi një minimum (
në
), në të dytën maksimumi i dëshiruar (pasi
në
).

Prandaj, kur
kon i gdhendur në një top me rreze , ka vëllimin më të madh.

P Shembulli 9.2. Kërkohet rrethimi me gjatësi rrjetë teli 60 m një zonë drejtkëndëshe ngjitur me murin e shtëpisë (Fig. 7). Sa duhet të jetë gjatësia dhe gjerësia e parcelës në mënyrë që ajo të ketë sipërfaqen më të madhe?

Zgjidhje. Lëreni gjerësinë e komplotit m, dhe zonën m 2 , Pastaj:

Figura 7 – Ilustrimi për shembull 9.2.

vlerat Dhe nuk mund të jetë negativ, pra shumëzuesi
, A
.

Sheshi ka një funksion , ne përcaktojmë intervalet e rritjes dhe uljes së tij:

.
, dhe funksioni rritet kur
;
, dhe funksioni zvogëlohet kur
. Prandaj, pika
është pika maksimale. Meqenëse kjo është pika e vetme që i përket intervalit
, pastaj në pikën
funksioni ka më shumë rëndësi.

Prandaj, zona e parcelës është më e madhe (maksimale) nëse gjerësia
m, dhe gjatësia m.

Shembulli 9.3. Cilat duhet të jenë dimensionet e një dhome drejtkëndore zona e së cilës 36 m 2 në mënyrë që perimetri i tij të jetë më i vogël?

Zgjidhje. Le të jetë gjatësia m, pastaj gjerësia e drejtkëndëshit m, dhe perimetri:

Perimetër ka një funksion të gjatësisë , të përcaktuara për të gjitha vlerat pozitive :
.

Le të përcaktojmë intervalet e rritjes dhe uljes së tij:

Shenja e derivatit përcaktohet nga shenja e ndryshimit
. Në ndërkohë

, dhe në mes

.

Prandaj, pika
është pika minimale. Meqenëse kjo është pika e vetme që i përket intervalit:
, pastaj në pikën
funksioni ka vlerën më të vogël.

Prandaj, perimetri i një drejtkëndëshi ka vlerën më të vogël (minimale) nëse gjatësia e tij 6 m dhe gjerësia m = 6 m, pra kur është katror.

$\blacktriangleright$ Për të gjetur vlerën më të madhe/më të vogël të një funksioni në segmentin  , është e nevojshme që në mënyrë skematike të paraqitet grafiku i funksionit në këtë segment.
Në problemet nga kjo nëntemë, kjo mund të bëhet duke përdorur derivatin: gjeni intervalet e rritjes ($f">0$ ) dhe zvogëlimit ($f"<0$ ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

$\blacktriangleright$ Mos harroni se funksioni mund të marrë vlerën më të madhe/më të vogël jo vetëm në pikat e brendshme të segmentit , por edhe në skajet e tij.

$\blacktreangleright$ Vlera më e madhe/më e vogël e funksionit është vlera e koordinatave $y=f(x)$ .

$\trekëndëshi i zi$ Derivati i një funksioni kompleks $f(t(x))$ gjendet sipas rregullit: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function) f(x) & \text(Derivativ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \fund(array)\]

Detyra 1 #2357

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni vlerën më të vogël të funksionit $y = e^(x^2 - 4)$ në segmentin $[-10; -2]$ .

ODZ: $x$ – arbitrare.

1) \

\ Kështu, $y" = 0$ për $x = 0$ .

3) Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante $y"$ në segmentin në shqyrtim $[-10; -2]$:

4) Skica e një grafiku në segmentin $[-10; -2]$ :

Kështu, funksioni arrin vlerën e tij më të vogël në $[-10; -2]$ në $x = -2$ .

\ Total: $1$ – vlera më e vogël e funksionit $y$ në $[-10; -2]$ .

Përgjigje: 1

Detyra 2 #2355

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

$y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)$ në segmentin $[-1; 1]$ .

ODZ: $x$ – arbitrare.

1) \

Le të gjejmë pikat kritike (d.m.th., pikat e brendshme të domenit të përkufizimit të funksionit në të cilat derivati i tij është i barabartë me $0$ ose nuk ekziston): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Shigjeta e majta e djathta\qquad x = 0\,.\] Derivati ekziston për çdo $x$ .

2) Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante $y"$:

3) Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante $y"$ në segmentin në shqyrtim $[-1; 1]$:

4) Skica e një grafiku në segmentin $[-1; 1]$ :

Kështu, funksioni arrin vlerën e tij më të madhe në $[-1; 1]$ në $x = -1$ ose në $x = 1$ . Le të krahasojmë vlerat e funksionit në këto pika.

\ Total: $2$ – vlera më e madhe e funksionit $y$ në $[-1; 1]$ .

Përgjigje: 2

Detyra 3 #2356

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni vlerën më të vogël të funksionit $y = \cos 2x$ në segmentin  .

ODZ: $x$ – arbitrare.

1) \

Le të gjejmë pikat kritike (d.m.th., pikat e brendshme të domenit të përkufizimit të funksionit në të cilat derivati i tij është i barabartë me $0$ ose nuk ekziston): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Derivati ekziston për çdo $x$ .

2) Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante $y"$:

(këtu ka një numër të pafund intervalesh në të cilat alternojnë shenjat e derivatit).

3) Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante $y"$ në segmentin në shqyrtim :

4) Skica e një grafiku në segmentin  :

Kështu, funksioni arrin vlerën e tij më të vogël në  në $x = \dfrac(\pi)(2)$ .

\ Total: $-1$ – vlera më e vogël e funksionit $y$ në  .

Përgjigje: -1

Detyra 4 #915

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni vlerën më të madhe të funksionit

$y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)$.

ODZ: $2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0$ . Le të vendosim për ODZ:

1) Le të shënojmë $2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)$ , pastaj $y(t)=-\log_(17)t$ .

Le të gjejmë pikat kritike (d.m.th., pikat e brendshme të domenit të përkufizimit të funksionit në të cilat derivati i tij është i barabartë me $0$ ose nuk ekziston): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\shigjeta e majta djathtas\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– në ODZ, nga ku gjejmë rrënjën $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ . Derivati i funksionit $y$ nuk ekziston kur $2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0$, por ky ekuacion ka një diskriminues negativ, prandaj nuk ka zgjidhje. Për të gjetur vlerën më të madhe/më të vogël të një funksioni, duhet të kuptoni se si duket skematikisht grafiku i tij.

2) Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante $y"$:

3) Skica e grafikut:

Kështu, funksioni arrin vlerën e tij më të madhe në $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$:

$y\majtas(\dfrac(\sqrt(2))(2)\djathtas) = -\log_(17)1 = 0$,

Total: $0$ – vlera më e madhe e funksionit $y$ .

Përgjigje: 0

Detyra 5 #2344

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni vlerën më të vogël të funksionit

$y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)$.

ODZ: $x^2 + 8x + 19 > 0$ . Le të vendosim për ODZ:

1) Le të shënojmë $x^2 + 8x + 19=t(x)$ , pastaj $y(t)=\log_(3)t$ .

Le të gjejmë pikat kritike (d.m.th., pikat e brendshme të domenit të përkufizimit të funksionit në të cilat derivati i tij është i barabartë me $0$ ose nuk ekziston): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Shigjeta majtas djathtas\qquad 2x+8 = 0\]– në ODZ, nga ku gjejmë rrënjën $x = -4$ . Derivati i funksionit $y$ nuk ekziston kur $x^2 + 8x + 19 = 0$, por ky ekuacion ka një diskriminues negativ, prandaj nuk ka zgjidhje. Për të gjetur vlerën më të madhe/më të vogël të një funksioni, duhet të kuptoni se si duket skematikisht grafiku i tij.

2) Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante $y"$:

3) Skica e grafikut:

Kështu, $x = -4$ është pika minimale e funksionit $y$ dhe vlera më e vogël arrihet në të:

$y(-4) = \log_(3)3 = 1$ .

Total: $1$ – vlera më e vogël e funksionit $y$ .

Përgjigje: 1

Detyra 6 #917

Niveli i detyrës: Më i vështirë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

Gjeni vlerën më të madhe të funksionit

$y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))$.

Le të jetë funksioni $z=f(x,y)$ i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një fushë të mbyllur të kufizuar $D$. Le të ketë funksioni i dhënë në këtë rajon derivate të fundme të pjesshme të rendit të parë (përveç, ndoshta, për një numër të kufizuar pikash). Për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të dy ndryshoreve në një rajon të mbyllur të caktuar, kërkohen tre hapa të një algoritmi të thjeshtë.

Algoritmi për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit $z=f(x,y)$ në një domen të mbyllur $D$.

Gjeni pikat kritike të funksionit $z=f(x,y)$ që i përkasin domenit $D$. Llogaritni vlerat e funksionit në pikat kritike.
Hulumtoni sjelljen e funksionit $z=f(x,y)$ në kufirin e rajonit $D$, duke gjetur pikat e vlerave maksimale dhe minimale të mundshme. Llogaritni vlerat e funksionit në pikat e marra.
Nga vlerat e funksionit të marra në dy paragrafët e mëparshëm, zgjidhni më të madhin dhe më të voglin.

Cilat janë pikat kritike? Shfaq Fshih

Nën pikat kritike nënkuptojnë pikat në të cilat të dy derivatet e pjesshëm të rendit të parë janë të barabarta me zero (d.m.th. $\frac(\ z pjesshme)(\x pjesshme)=0$ dhe $\frac(\z pjesshme)(\partial y)=0 $) ose të paktën një derivat i pjesshëm nuk ekziston.

Shpesh quhen pikat në të cilat derivatet e pjesshme të rendit të parë janë të barabarta me zero pika të palëvizshme. Kështu, pikat stacionare janë një nëngrup pikash kritike.

Shembulli nr. 1

Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit $z=x^2+2xy-y^2-4x$ në një rajon të mbyllur të kufizuar nga vijat $x=3$, $y=0$ dhe $y=x +1$.

Do të ndjekim sa më sipër, por fillimisht do të merremi me vizatimin e një zone të caktuar, të cilën do ta shënojmë me shkronjën $D$. Na janë dhënë ekuacionet e tre drejtëzave që kufizojnë këtë zonë. Drejtëza $x=3$ kalon në pikën $(3;0)$ paralele me boshtin e ordinatave (boshti Oy). Drejtëza $y=0$ është ekuacioni i boshtit të abshisave (boshti Ox). Epo, për të ndërtuar drejtëzën $y=x+1$, do të gjejmë dy pika nëpër të cilat do ta tërheqim këtë drejtëz. Ju, sigurisht, mund të zëvendësoni disa vlera arbitrare në vend të $x$. Për shembull, duke zëvendësuar $x=10$, marrim: $y=x+1=10+1=11$. Ne kemi gjetur pikën $(10;11)$ të shtrirë në vijën $y=x+1$. Megjithatë, është më mirë të gjejmë ato pika në të cilat drejtëza $y=x+1$ pret drejtëzat $x=3$ dhe $y=0$. Pse është më mirë kjo? Sepse do të vrasim nja dy zogj me një gur: do të marrim dy pika për të ndërtuar drejtëzën $y=x+1$ dhe në të njëjtën kohë do të zbulojmë se në cilat pika kjo drejtëz i pret vijat e tjera që kufizojnë zonën e dhënë. Drejtëza $y=x+1$ pret drejtëzën $x=3$ në pikën $(3;4)$ dhe drejtëza $y=0$ prehet në pikën $(-1;0)$. Për të mos e ngatërruar ecurinë e zgjidhjes me shpjegime ndihmëse, çështjen e marrjes së këtyre dy pikave do ta shtroj në një shënim.

Si janë marrë pikët $(3;4)$ dhe $(-1;0)$? Shfaq Fshih

Le të fillojmë nga pika e kryqëzimit të drejtëzave $y=x+1$ dhe $x=3$. Koordinatat e pikës së dëshiruar i përkasin të dy linjave të drejta të parë dhe të dytë, prandaj, për të gjetur koordinatat e panjohura, duhet të zgjidhni sistemin e ekuacioneve:

$$ \majtas \( \fillimi(rrenjosur) & y=x+1;\\ & x=3. \fund (lidhur) \djathtas. $$

Zgjidhja për një sistem të tillë është e parëndësishme: duke zëvendësuar $x=3$ në ekuacionin e parë do të kemi: $y=3+1=4$. Pika $(3;4)$ është pika e dëshiruar e kryqëzimit të vijave $y=x+1$ dhe $x=3$.

Tani le të gjejmë pikën e kryqëzimit të drejtëzave $y=x+1$ dhe $y=0$. Le të hartojmë dhe zgjidhim përsëri sistemin e ekuacioneve:

$$ \majtas \( \fillimi(lidhur) & y=x+1;\\ & y=0. \fund (rrenjuar) \djathtas. $$

Duke zëvendësuar $y=0$ në ekuacionin e parë, marrim: $0=x+1$, $x=-1$. Pika $(-1;0)$ është pika e dëshiruar e kryqëzimit të drejtëzave $y=x+1$ dhe $y=0$ (boshti x).

Gjithçka është gati për të ndërtuar një vizatim që do të duket kështu:

Çështja e shënimit duket e qartë, sepse gjithçka është e dukshme në foto. Sidoqoftë, ia vlen të kujtojmë se një vizatim nuk mund të shërbejë si provë. Vizatimi është vetëm për qëllime ilustruese.

Zona jonë u përcaktua duke përdorur ekuacionet me vijë të drejtë që e lidhnin atë. Natyrisht, këto rreshta përcaktojnë një trekëndësh, apo jo? Apo nuk është plotësisht e qartë? Ose ndoshta na jepet një zonë tjetër, e kufizuar nga të njëjtat vija:

Sigurisht, kushti thotë se zona është e mbyllur, kështu që fotografia e paraqitur është e pasaktë. Por për të shmangur paqartësi të tilla, është më mirë të përcaktohen rajonet me pabarazi. A na intereson pjesa e rrafshit që ndodhet nën drejtëzën $y=x+1$? Në rregull, kështu që $y ≤ x+1$. A duhet të jetë zona jonë mbi vijën $y=0$? E shkëlqyeshme, kjo do të thotë $y ≥ 0$. Nga rruga, dy pabarazitë e fundit mund të kombinohen lehtësisht në një: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \majtas \( \fillimi(lidhur) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \fund (lidhur) \djathtas. $$

Këto pabarazi përcaktojnë rajonin $D$ dhe e përcaktojnë atë në mënyrë të qartë, pa lejuar asnjë paqartësi. Por si na ndihmon kjo me pyetjen e thënë në fillim të shënimit? Do të ndihmojë gjithashtu :) Ne duhet të kontrollojmë nëse pika $M_1(1;1)$ i përket zonës $D$. Le të zëvendësojmë $x=1$ dhe $y=1$ në sistemin e pabarazive që përcaktojnë këtë rajon. Nëse të dyja pabarazitë plotësohen, atëherë pika qëndron brenda rajonit. Nëse të paktën një nga pabarazitë nuk plotësohet, atëherë pika nuk i përket rajonit. Kështu që:

$$ \majtas \( \fillimi(linjëzuar) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \fund (linjëzuar) \djathtas. \;\; \majtas \( \fillimi (i rreshtuar) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \fund (lidhur) \djathtas $$.

Të dyja pabarazitë janë të vlefshme. Pika $M_1(1;1)$ i përket rajonit $D$.

Tani është radha për të studiuar sjelljen e funksionit në kufirin e rajonit, d.m.th. Shkojmë . Le të fillojmë me vijën e drejtë $y=0$.

Vija e drejtë $y=0$ (boshti i abshisave) kufizon rajonin $D$ nën kushtin $-1 ≤ x ≤ 3$. Le të zëvendësojmë $y=0$ në funksionin e dhënë $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Ne shënojmë funksionin e një ndryshoreje $x$ të marrë si rezultat i zëvendësimit si $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Tani për funksionin $f_1(x)$ duhet të gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla në intervalin $-1 ≤ x ≤ 3$. Le të gjejmë derivatin e këtij funksioni dhe ta barazojmë me zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vlera $x=2$ i përket segmentit $-1 ≤ x ≤ 3$, kështu që ne do të shtojmë edhe $M_2(2;0)$ në listën e pikave. Përveç kësaj, le të llogarisim vlerat e funksionit $z$ në skajet e segmentit $-1 ≤ x ≤ 3$, d.m.th. në pikat $M_3(-1;0)$ dhe $M_4(3;0)$. Nga rruga, nëse pika $M_2$ nuk i përkiste segmentit në shqyrtim, atëherë, natyrisht, nuk do të kishte nevojë të llogaritet vlera e funksionit $z$ në të.

Pra, le të llogarisim vlerat e funksionit $z$ në pikat $M_2$, $M_3$, $M_4$. Ju, sigurisht, mund t'i zëvendësoni koordinatat e këtyre pikave në shprehjen origjinale $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Për shembull, për pikën $M_2$ marrim:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Sidoqoftë, llogaritjet mund të thjeshtohen pak. Për ta bërë këtë, ia vlen të kujtojmë se në segmentin $M_3M_4$ kemi $z(x,y)=f_1(x)$. Unë do ta shkruaj në detaje:

\fillim(i rreshtuar) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \fund (në linjë)

Sigurisht, zakonisht nuk ka nevojë për regjistrime të tilla të detajuara, dhe në të ardhmen do t'i shkruajmë shkurtimisht të gjitha llogaritjet:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Tani le të kthehemi në vijën e drejtë $x=3$. Kjo vijë e drejtë kufizon rajonin $D$ nën kushtin $0 ≤ y ≤ 4$. Le të zëvendësojmë $x=3$ në funksionin e dhënë $z$. Si rezultat i këtij zëvendësimi marrim funksionin $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Për funksionin $f_2(y)$ duhet të gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla në intervalin $0 ≤ y ≤ 4$. Le të gjejmë derivatin e këtij funksioni dhe ta barazojmë me zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vlera $y=3$ i përket segmentit $0 ≤ y ≤ 4$, kështu që ne do të shtojmë edhe $M_5(3;3)$ në pikat e gjetura më parë. Përveç kësaj, është e nevojshme të llogaritet vlera e funksionit $z$ në pikat në skajet e segmentit $0 ≤ y ≤ 4$, d.m.th. në pikat $M_4(3;0)$ dhe $M_6(3;4)$. Në pikën $M_4(3;0)$ ne kemi llogaritur tashmë vlerën e $z$. Le të llogarisim vlerën e funksionit $z$ në pikat $M_5$ dhe $M_6$. Më lejoni t'ju kujtoj se në segmentin $M_4M_6$ kemi $z(x,y)=f_2(y)$, prandaj:

\fillimi(lidhur) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \fund (në linjë)

Dhe së fundi, merrni parasysh kufirin e fundit të rajonit $D$, d.m.th. drejtëz $y=x+1$. Kjo vijë e drejtë kufizon rajonin $D$ nën kushtin $-1 ≤ x ≤ 3$. Duke zëvendësuar $y=x+1$ në funksionin $z$, do të kemi:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Edhe një herë kemi një funksion të një ndryshoreje $x$. Dhe përsëri ne duhet të gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të këtij funksioni në intervalin $-1 ≤ x ≤ 3$. Le të gjejmë derivatin e funksionit $f_(3)(x)$ dhe ta barazojmë me zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vlera $x=1$ i përket intervalit $-1 ≤ x ≤ 3$. Nëse $x=1$, atëherë $y=x+1=2$. Le të shtojmë $M_7(1;2)$ në listën e pikave dhe të zbulojmë se sa është vlera e funksionit $z$ në këtë pikë. Pikat në skajet e segmentit $-1 ≤ x ≤ 3$, d.m.th. pikat $M_3(-1;0)$ dhe $M_6(3;4)$ u konsideruan më herët, ne kemi gjetur tashmë vlerën e funksionit në to.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Hapi i dytë i zgjidhjes ka përfunduar. Ne morëm shtatë vlera:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Le të kthehemi tek. Duke zgjedhur vlerat më të mëdha dhe më të vogla nga numrat e marrë në paragrafin e tretë, do të kemi:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Problemi është zgjidhur, ajo që mbetet është të shkruajmë përgjigjen.

Përgjigju: $z_(min)=-4; \; z_(maks)=6$.

Shembulli nr. 2

Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit $z=x^2+y^2-12x+16y$ në rajonin $x^2+y^2 ≤ 25$.

Së pari, le të ndërtojmë një vizatim. Ekuacioni $x^2+y^2=25$ (kjo është vija kufitare e një zone të caktuar) përcakton një rreth me qendër në origjinë (d.m.th. në pikën $(0;0)$) dhe një rreze prej 5. Pabarazia $x^2 +y^2 ≤ $25 kënaq të gjitha pikat brenda dhe në rrethin e përmendur.

Ne do të veprojmë sipas. Le të gjejmë derivatet e pjesshme dhe të gjejmë pikat kritike.

$$ \frac(\z pjesshme)(\x pjesore)=2x-12; \frac(\z pjesore)(\y pjesore)=2y+16. $$

Nuk ka pika në të cilat nuk ekzistojnë derivatet e pjesshme të gjetura. Le të zbulojmë se në cilat pika të dy derivatet e pjesshëm janë njëkohësisht të barabartë me zero, d.m.th. le të gjejmë pika të palëvizshme.

$$ \majtas \( \fillimi (lidhur) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end (lidhur) \djathtas. \;\; \majtas \( \fillimi (lidhur) & x =6;\\ & y=-8.

Ne kemi marrë një pikë të palëvizshme $(6;-8)$. Megjithatë, pika e gjetur nuk i përket rajonit $D$. Kjo është e lehtë për t'u treguar pa iu drejtuar as vizatimit. Le të kontrollojmë nëse vlen pabarazia $x^2+y^2 ≤ 25$, e cila përcakton rajonin tonë $D$. Nëse $x=6$, $y=-8$, atëherë $x^2+y^2=36+64=100$, d.m.th. pabarazia $x^2+y^2 ≤ 25$ nuk vlen. Përfundim: pika $(6;-8)$ nuk i përket zonës $D$.

Pra, nuk ka pika kritike brenda rajonit $D$. Le të kalojmë në... Duhet të studiojmë sjelljen e një funksioni në kufirin e një rajoni të caktuar, d.m.th. në rrethin $x^2+y^2=25$. Sigurisht, ne mund të shprehim $y$ në terma $x$, dhe më pas të zëvendësojmë shprehjen që rezulton në funksionin tonë $z$. Nga ekuacioni i një rrethi marrim: $y=\sqrt(25-x^2)$ ose $y=-\sqrt(25-x^2)$. Duke zëvendësuar, për shembull, $y=\sqrt(25-x^2)$ në funksionin e dhënë, do të kemi:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Zgjidhja e mëtejshme do të jetë plotësisht identike me studimin e sjelljes së funksionit në kufirin e rajonit në shembullin e mëparshëm nr. 1. Megjithatë, më duket më e arsyeshme të zbatohet metoda e Lagranzhit në këtë situatë. Ne do të jemi të interesuar vetëm në pjesën e parë të kësaj metode. Pas aplikimit të pjesës së parë të metodës Lagranzh, do të marrim pikat në të cilat do të shqyrtojmë funksionin $z$ për vlerat minimale dhe maksimale.

Ne hartojmë funksionin Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Gjejmë derivatet e pjesshme të funksionit të Lagranzhit dhe krijojmë sistemin përkatës të ekuacioneve:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \majtas \( \fillimi (të rreshtuara) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \majtas \( \fillimi(lidhur) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \fund( rreshtuar)\djathtas.$ $

Për të zgjidhur këtë sistem, le të theksojmë menjëherë se $\lambda\neq -1$. Pse $\lambda\neq -1$? Le të përpiqemi të zëvendësojmë $\lambda=-1$ në ekuacionin e parë:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Kontradikta që rezulton $0=6$ tregon se vlera $\lambda=-1$ është e papranueshme. Prodhimi: $\lambda\neq -1$. Le të shprehim $x$ dhe $y$ në terma të $\lambda$:

\fillim(rrenjosur) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \fund (në linjë)

Besoj se këtu bëhet e qartë pse ne përcaktuam në mënyrë specifike kushtin $\lambda\neq -1$. Kjo u bë për të përshtatur shprehjen $1+\lambda$ në emëruesit pa ndërhyrje. Kjo do të thotë, të sigurohemi që emëruesi $1+\lambda\neq 0$.

Le të zëvendësojmë shprehjet rezultuese për $x$ dhe $y$ në ekuacionin e tretë të sistemit, d.m.th. në $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \djathtas)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \djathtas)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Nga barazia që rezulton rrjedh se $1+\lambda=2$ ose $1+\lambda=-2$. Prandaj kemi dy vlera të parametrit $\lambda$, përkatësisht: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Prandaj, marrim dy palë vlerash $x$ dhe $y$:

\fillim(rreshtuar) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \fund (në linjë)

Pra, kemi marrë dy pika të një ekstremi të mundshëm të kushtëzuar, d.m.th. $M_1(3;-4)$ dhe $M_2(-3;4)$. Le të gjejmë vlerat e funksionit $z$ në pikat $M_1$ dhe $M_2$:

\fillim(lidhur) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cpika 3+16\cpika (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \fund (në linjë)

Ne duhet të zgjedhim vlerat më të mëdha dhe më të vogla nga ato që kemi marrë në hapin e parë dhe të dytë. Por në këtë rast zgjedhja është e vogël :) Kemi:

$$ z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Përgjigju: $z_(min)=-75; \; z_(maks)=125$.