Paraqitja e logaritmeve dhe vetive të tyre. Logaritmet dhe vetitë e tyre

JOHN NAPER (1550-1617)

Matematikan skocez

shpikësi i logaritmeve.

Në vitet 1590 ai lindi me idenë

llogaritjet logaritmike

dhe përpiloi tabelat e para

logaritme, por është e famshme

Vepra "Përshkrimi i tabelave mahnitëse të logaritmeve" u botua vetëm në 1614.

Ai është përgjegjës për përcaktimin e logaritmeve, shpjegimin e vetive të tyre, tabelat e logaritmeve, sinuseve, kosinuseve, tangjenteve dhe aplikimeve të logaritmeve në trigonometrinë sferike.

Nga historia e logaritmeve

Logaritmet u shfaqën 350 vjet më parë në lidhje me nevojat e praktikës kompjuterike.

Në ato ditë, duheshin bërë llogaritje shumë të rënda për të zgjidhur problemet në astronomi dhe lundrim.

Astronomi i famshëm Johannes Kepler ishte i pari që prezantoi shenjën e logaritmit - log në 1624. Ai përdori logaritmet për të gjetur orbitën e Marsit.

Fjala "logaritëm" është me origjinë greke, që do të thotë raport i numrave

0, a ≠1 është eksponenti tek i cili duhet të rritet numri a për të marrë b. "width = "640"

Përkufizimi

Logaritmi i një numri pozitiv b në bazën a, ku a0, a ≠1 është eksponenti tek i cili duhet të rritet numri a për të marrë b.

Llogaritni:

log 2 16; log 2 64; regjistri 2 2;

log 2 1 ; regjistri 2 (1/2); regjistri 2 (1/8);

log 3 27; log 3 81; regjistri 3 3;

regjistri 3 1; log 3 (1/9); regjistri 3 (1/3);

log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Regjistri 0,5 (1/2); log 0,5 1; regjistri 1/2 2.

Identiteti bazë logaritmik

Sipas përkufizimit të logaritmit

Llogaritni:

3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;

8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .

3 X X X R Nuk ekziston për asnjë x " width="640"

Në çfarë vlerash X ka një logaritëm

Nuk ekziston fare

e cila X

1. Logaritmi i prodhimit të numrave pozitivë është i barabartë me shumën e logaritmeve të faktorëve.

log a (bc) = log a b + log a c

( b

c )

a log a (bc) =

a log a b

=a log a b + log a c

a log a c

a log a b

a log a c

1. Logaritmi i prodhimit të numrave pozitivë është i barabartë me shumën e logaritmeve të faktorëve. log a (bc) = log a b + log a c

Shembull:

log a

= log a b-log a c

= a log a b - log a c

a log a b

a log a

a log a c

b = a log a b

c = a log a c

0; a ≠ 1; b 0; c 0. Shembull: 1 " width="640"

2. Logaritmi i herësit të dy numrave pozitivë është i barabartë me diferencën ndërmjet logaritmeve të dividendit dhe pjesëtuesit.

log a

= log a b–log a c,

a 0; a ≠ 1; b 0; c 0.

Shembull:

0; b 0; r R log a b r = r log a b Shembull a log a b =b 1.5 (a log a b) r =b r a rlog a b =b r " width="640"

3. Logaritmi i një fuqie me bazë pozitive është i barabartë me eksponentin shumëfishin e logaritmit të bazës

log a b r = r log a b

Shembull

a log a b =b

(a log a b ) r =b r

a rlog a b =b r

Formula për lëvizjen nga një bazë

logaritmi tek tjetri, shembuj.

A. Diesterweg

ZHVILLIMI DHE EDUKIMI NUK MUND T'I JEPET APO TË KOMUNIKOHET ASNJË PERSONI. KUDO QË DËSHIRON T'I BASHKET TYRE DUHET TA ARRIJË KËTË ME AKTIVITETIN VETËT, FORCËN VETA, TENSIONIN VETËT .

Përcaktoni temën e mësimit duke zgjidhur ekuacione

2 x = ; 3 x = ; 5 x = 1/125; 2 x = 1/4; 2 x = 4; 3 x = 81; 7 x = 1/7; 3 x = 1/81

Logaritmi dhe vetitë e tij

John Napier, shpikësi i logaritmeve

Në 1590, ai erdhi me idenë e llogaritjeve logaritmike dhe përpiloi tabelat e para të logaritmeve, duke botuar veprën "Përshkrimi i Tabelave të mahnitshme të Logaritmeve". Kjo punë përmbante një përkufizim të logaritmeve dhe një shpjegim të vetive të tyre. Shpiku rregullin e rrëshqitjes, një instrument llogaritës që përdorte tabelat Napier për të thjeshtuar llogaritjet.

Sundimtar logaritmik

Në ditët e sotme, me ardhjen e kalkulatorëve dhe kompjuterëve kompakt, nevoja për të përdorur tabela

Logaritmet dhe rregullat e rrëshqitjes nuk janë më të nevojshme.

Logaritmi i numrit a 0 në bazën a 0 dhe a 1 është eksponenti në të cilin duhet të rritet numri a për të marrë numrin b.
- logaritëm me bazë arbitrare.
Për shembull: a) log 3 81 = 4, pasi 3 4 = 81; b) log 5 125 = 3, pasi 5 3 = 125; c) log 0,5 16 = -4, pasi (0,5) -4 = 16;

Zbatimi i logaritmit: Llogaritjet bankare, gjeografia, llogaritjet në prodhim, biologji, kimi, fizikë, astronomi, psikologji, sociologji, muzikë.

Spiralja logaritmike në natyrë

Predha Nautilus

Rregullimi i farave në një luledielli

Vetitë e logaritmeve

log a 1 = 0.
log a a = 1.
log a xy = log a x + log a y.
log a x ∕ y = log a x - log a y.
log a x p = p log a x
log a р x = 1 ∕ р log a x

Nëse baza e logaritmit është 10, atëherë logaritmi quhet dhjetor:

Nëse baza e logaritmit është e 2.7, atëherë logaritmi quhet natyror:

1. Gjeni logaritmin bazë 4 të 64.

Zgjidhje: log 4 64 = 3, pasi 4 3 = 64.

Përgjigje: 3

2. Gjeni numrin x, nëse regjistri 5 x = 2

Zgjidhja: regjistri 5 x = 2, x= 5 2 (sipas përkufizimit të logaritmit), x = 25.

Përgjigju : 25.

3. Llogaritni: log 3 1/ 81 = x ,

Zgjidhja: log 3 1/ 81 = x , 3 x = 1/ 81, x = – 4.

Përgjigje: – 4.

1. Llogaritni: log 6 12 + log 6 3

Zgjidhja:

log 6 12 +log 6 3 = log 6 (12*3) = log 6 36 = log 6 6 2 = 2

Përgjigju : 2.

2. Llogaritni: log 5 250 – log 5 2.

Zgjidhja:

log 5 250 – log 5 2 = log 5 (250/2) = log 5 125 = 3

Përgjigju : 3.

3. Llogaritni:

Zgjidhje :

Përgjigje: 8.

Tema e mësimit:

Logaritmet dhe vetitë e tyre.

Esmaganbetov K.S. Mësues matematike.

Qëllimi i mësimit:

1.Zhvillimi i aftësisë për të sistemuar dhe përgjithësuar vetitë e logaritmeve; t'i zbatojë ato gjatë thjeshtimit të shprehjeve.

2. Zhvillimi i perceptimit të ndërgjegjshëm të materialit arsimor, kujtesës vizuale, të folurit matematikor të studentëve, për të formuar aftësi të vetë-mësimit, vetëorganizimit dhe vetëvlerësimit, për të nxitur zhvillimin e veprimtarisë krijuese të studentëve.

3. Nxitja e veprimtarisë njohëse, ngjallja e dashurisë dhe respektit te nxënësit për lëndën, duke i mësuar ata të shohin në të jo vetëm ashpërsinë dhe kompleksitetin, por edhe logjikën, thjeshtësinë dhe bukurinë.

I. Stuhi mendimesh:

1) Çfarë është një antiderivativ?

2) Cilat lloje të integraleve njihni?

3) Si ndryshon një integral i caktuar nga një integral i pacaktuar?

4) Cilat ekuacione quhen irracionale?

5) Sa rregulla ka për gjetjen e antiderivativëve?

Pyetje:

Punë në grup

Përcaktoni temën e mësimit duke përdorur një anagram:
YMFIRAOL DHE KHI AVTSYOVS
Kriteret për vlerësimin e hamendjes së anagramit (1 pikë për një përgjigje të saktë, 0 pikë për një përgjigje të pasaktë)

Logaritmet dhe vetitë e tyre

Logaritmi i një numri pozitiv b në bazën a, ku a>0, a≠1, është eksponenti tek i cili duhet të rritet numri a për të marrë b.
Identiteti bazë logaritmik:

alogab= b,

Nëse baza e një logaritmi është 10, atëherë një logaritëm i tillë quhet dhjetor.
Nëse baza e një logaritmi është e barabartë me numrin e, atëherë një logaritëm i tillë quhet natyror

Vetitë e logaritmeve

Logaritmi i vetë bazës është 1:
Logaritmi i një për çdo bazë është i barabartë me zero:
Logaritmi i prodhimit të dy ose më shumë numrave pozitivë është i barabartë me shumën e logaritmeve të faktorëve:
Logaritmi i herësit të numrave pozitivë është i barabartë me diferencën midis logaritmeve të dividentit dhe pjesëtuesit:
Logaritmi i fuqisë është i barabartë me produktin e eksponentit dhe logaritmin e bazës së tij:
Formula për lëvizjen nga baza b në bazën a:

Kriteret për vlerësimin e hartës teknologjike:

Jepni informacionin matematikor në mënyrë të qartë dhe logjike - 1 pikë;
Nxënësi demonstron njohuri për simbolet matematikore - 1 pikë;

Llogaritni me gojë:

Kriteret e vlerësimit për llogaritjen gojore

për llogaritjen e saktë gojore - 1 pikë
për llogaritjen e gabuar gojore - 0 pikë

Fizminutka

Dy gjysma

loga(x/y) loga x -loga y

Punë në grup:

Detyra për grupin 1

Punë në grup: Detyrë për grupin 2 Në grafikun e rrjedhës së mësimit, përdorni shigjetat për të lidhur formulat

logax +logay

Punë në grupe: Detyrë për grupin 3 Plotësoni formulat në grafikun e rrjedhës së mësimit Vlerësimi i bashkëmoshatarëve Kriteret e vlerësimit të bashkëmoshatarëve

për gjetjen e saktë të formulave - 1 pikë për grupin;
Për gjetjen e gabuar të formulave - 0 pikë.

Punë individuale me shkrim për detyra të diferencuara


	regjistri 26 - regjistri 2 (6/32)
	log 3 5 - log 3 135
	2 log 27 - log 2 49
	log 93+ log 9243

Zgjidhja e punës individuale për detyra të diferencuara

		log (8∙125) = log 1000 = 3
	regjistri 26 - regjistri 2 (6/32)	log 2 (6: (6/32)) = log 232 = 5
	log 3 5 - log 3 135	log 3 (5: 135)= log 3 (1:27)= -3
	2 log 27 - log 2 49	log 272 - log 249 = log 2(49:49) = log 2 1 = 0
	log 93+ log 9243	log 9(3∙243) = log 9729=3

Kriteret për vlerësimin e punës individuale me shkrim

për zgjidhjen e saktë të shembujve të plotë - 5 pikë;
Për drejtshkrimin e saktë të simboleve matematikore - 1 pikë;

Zhvillimi i kritereve të vlerësimit të performancës:

Kriteret e vlerësimit: për 20 pikë e lart - pikë "5"
për 16-19 pikë e lart - shënoni "4"
për 9 -15 pikë e lart - shënoni "3"

Krijimi i grupimeve dhe mbrojtja e tyre Kriteret për vlerësimin e grupimeve:

Për krijimin e saktë të një grupi - 1 pikë;
Për elegancën e dizajnit të grupimit - 0,5 pikë;
Për mbrojtje të mirë të grupimeve - 1 pikë

Reflektimi

1. Çfarë di unë për____
2. Çfarë dua të di_____
3. Çfarë mësova ____
4. Vlerësoni punën tuaj në klasë_____

Detyre shtepie

1. Hartoni një sinkron "Logaritmet"

2. Detyrë teksti mësimor: Nr 241, nr 242

Rrëshqitja 2

Objektivat e mësimit:

Edukative: Rishikoni përkufizimin e logaritmit; të njihen me vetitë e logaritmeve; të mësojnë të zbatojnë vetitë e logaritmeve gjatë zgjidhjes së ushtrimeve.

Rrëshqitja 3

Përkufizimi i logaritmit

Logaritmi i një numri pozitiv b në bazën a, ku a > 0 dhe a ≠ 1, është eksponenti në të cilin duhet të rritet numri a për të marrë numrin b. Identiteti bazë logaritmik alogab=b (ku a>0, a≠1, b>0)

Rrëshqitja 4

Historia e logaritmeve

Fjala logaritëm vjen nga dy fjalë greke dhe përkthehet si një raport numrash. Gjatë shekullit të gjashtëmbëdhjetë. Vëllimi i punës që lidhet me kryerjen e llogaritjeve të përafërta në rrjedhën e zgjidhjes së problemeve të ndryshme, dhe kryesisht problemet e astronomisë, e cila ka zbatim të drejtpërdrejtë praktik (në përcaktimin e pozicionit të anijeve nga yjet dhe Dielli), është rritur ndjeshëm. Problemet më të mëdha u shfaqën gjatë kryerjes së operacioneve të shumëzimit dhe pjesëtimit. Përpjekjet për të thjeshtuar pjesërisht këto operacione duke i reduktuar në shtim nuk sollën shumë sukses.

Rrëshqitja 5

Logaritmet hynë në praktikë jashtëzakonisht shpejt. Shpikësit e logaritmeve nuk u kufizuan në zhvillimin e një teorie të re. U krijua një mjet praktik - tabelat e logaritmeve - i cili rriti ndjeshëm produktivitetin e kalkulatorëve. Le të shtojmë se tashmë në vitin 1623, d.m.th. vetëm 9 vjet pas publikimit të tabelave të para, matematikani anglez D. Gunter shpiku rregullin e parë të rrëshqitjes, i cili u bë një mjet pune për shumë breza. Tabelat e para të logaritmeve u përpiluan në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra nga matematikani skocez J. Napier (1550 - 1617) dhe zvicerani I. Burgi (1552 - 1632). Tabelat e Napier përfshinin vlerat e logaritmeve të sinuseve, kosinuseve dhe tangjenteve për këndet nga 0 në 900 në hapa 1 minutësh. Burgi përgatiti tabelat e tij të logaritmeve të numrave, por ato u botuan në vitin 1620, pas botimit të tabelave të Napier-it, dhe për këtë arsye kaluan pa u vënë re. Napier John (1550-1617)

Rrëshqitja 6

Shpikja e logaritmeve, duke reduktuar punën e astronomit, i zgjati jetën. P. S. Laplace Prandaj, zbulimi i logaritmeve, i cili redukton shumëzimin dhe pjesëtimin e numrave në mbledhjen dhe zbritjen e logaritmeve të tyre, zgjati, sipas Laplace, jetën e kalkulatorëve.

Rrëshqitja 7

Vetitë e gradës

sëpatë ay = sëpatë +y = sëpatë –y (x)y = sëpatë y

Rrëshqitja 8

Llogaritni:

Rrëshqitja 9

Kontrollo:

Rrëshqitja 10

VETITË E LOGARITMEVE

Rrëshqitja 11

Zbatimi i materialit të studiuar

a) log 153 + log 155 = log 15(3 5) = log 1515 =1, b) log 1545 – log 153 = log 15 = log 1515 = 1 c) log 243 = log 226 = 6 log 22 = 6, ) log 7494 = log 7(72)4 = log 7 78 = 8 log 77 = 8. Faqe. 93; Nr. 290,291 - 294, 296* (shembuj tek)

Rrëshqitja 12

Gjeni gjysmën e dytë të formulës

Rrëshqitja 13

Kontrollo:

Rrëshqitja 14

Detyrë shtëpie: 1. Mësoni vetitë e logaritmeve 2. Libër mësuesi: § 16 f. 92-93; 3. Libri i problemeve: Nr. 290,291,296 (madje edhe shembuj)

Rrëshqitja 15

Vazhdo shprehjen: "Sot në mësim mësova..." "Sot në mësim mësova..." "Sot në mësim mësova..." "Sot në mësim përsërita..." "Sot në mësim përforcova ...” Mësimi ka mbaruar!

Rrëshqitja 16

Tekstet dhe mjetet mësimore të përdorura: Mordkovich A.G. Algjebra dhe fillimet e analizës. Klasa e 11-të: Teksti mësimor në nivel profili / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov et al - M.: Mnemosyna, 2007. Mordkovich A.G. Algjebra dhe fillimet e analizës. Klasa e 11-të: Libri me probleme në nivel profili / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov et al - M.: Mnemosyne, 2007. Literatura metodologjike e përdorur: Mordkovich A.G. Algjebër. 10-11: manual metodologjik për mësuesit. – M.: Mnemosyne, 2000 (Kaliningrad: Amber Tale, GIPP). Matematika. Suplementi javor i gazetës “I Shtatori”.

Përkufizimi i derivatit. Vija e mesme. Studimi i një funksioni për monotoninë. Puna: Konsolidimi i materialit të studiuar. Llogaritni përafërsisht duke përdorur diferencialin. Vlerat minimale të funksioneve. Derivati dhe zbatimi i tij në algjebër dhe gjeometri. Funksioni në fjalë. Detyrë. Pabarazia. Shenjat e rritjes dhe zvogëlimit të funksionit. Pika. Përkufizimi. Gjetja e diferencialit. Vërtetimi i pabarazive.

“Klasa e 11-të e integruar” - Sa i mposhtur shtriheshe në numrin e zakonshëm në faqe. Integrale në letërsi. Një integral i caktuar, fillova të ëndërroja për ty natën. Krijo një frazë. Çfarë lumturie përjetova në zgjedhjen e prototipit. Zamyatin Evgeny Ivanovich (1884-1937). Gjeni antiderivativë për funksionet. Epigrafi. Romani "Ne" (1920). Një sërë zëvendësimesh dhe zëvendësimesh çuan në zgjidhjen e problemit. Ilustrim për romanin "Ne". Integrale. Grupi integral. Mësimi i algjebrës dhe filloi analiza.

"Zbatimi i logaritmeve" - Që nga koha e astronomit të lashtë grek Hipparchus (shekulli II para Krishtit), është përdorur koncepti i "magnitudës yjore". Siç e shohim, logaritmet po pushtojnë fushën e psikologjisë. Nga tabela gjejmë madhësinë e Capella (m1 = +0,2t) dhe Deneb (m2 = +1,3t). Njësia e vëllimit. Yjet, zhurmat dhe logaritmet. Efektet e dëmshme të zhurmës industriale në shëndetin dhe prodhimin e punëtorëve. Tema: “LOGARITMET NË ASTRONOMI”. Napier (1550 - 1617) dhe zvicerani I. Burgi (1552 - 1632).

"Algjebra "Funksionet" - Llogarit. Le të bëjmë një tryezë. Studimi i funksioneve dhe ndërtimi i grafikëve të tyre. Koncepti i integralit. Funksioni F quhet antiderivativ i funksionit f. Zona e një trapezi të lakuar. Një funksion është një antiderivativ i një funksioni. Le të llogarisim sipërfaqen S të një trapezi lakor. "Integral nga a në b ef nga x de x." Metoda e intervalit. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikut me Ox (y = 0). Rregullat e diferencimit. Le të gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në segment.

"Shembuj të pabarazive logaritmike" - Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit! Cilat funksione janë në rritje dhe cilat janë në rënie? Përmbledhja e mësimit. Gjeni zgjidhjen e duhur. Në rritje. Algjebra klasa e 11-të. Detyrë: zgjidhni pabarazitë logaritmike të propozuara në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit 2010 Suksese në Provimin e Unifikuar të Shtetit! Kllaster për të plotësuar gjatë orës së mësimit: Objektivat e mësimit: Gjeni fushën e përkufizimit të funksionit. Ndërmjet numrave m dhe n vendosni një shenjë > ose<.(m, n >0). Grafikët e funksioneve logaritmike.

"Kuptimi gjeometrik i derivatit të një funksioni" - Kuptimi i derivatit të një funksioni. Algoritmi për kompozimin e ekuacionit tangjent. Kuptimi gjeometrik i derivatit. Ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndor. Ekuacionet tangjente. Bëni një palë. Sekante. Fjalori i mësimit. ia dola. Ideja e saktë matematikore. Rezultatet e llogaritjes. Pozicioni kufizues i sekantit. Përkufizimi. Gjeni pjerrësinë. Shkruani një ekuacion për tangjenten në grafikun e funksionit.