Dy shprehje thuhet se janë identike të barabarta në një grup nëse ato kanë kuptim në këtë grup dhe të gjitha vlerat e tyre përkatëse janë të barabarta.
Një barazi në të cilën anët e majta dhe të djathta janë shprehje identike të barabarta quhet identitetit.
Zëvendësimi i një shprehjeje me një tjetër që është identikisht i barabartë me të në një grup të caktuar quhet transformim identik i shprehjes.
Detyrë. Gjeni shtrirjen e një shprehjeje.
Zgjidhje. Meqenëse shprehja është një fraksion, për të gjetur domenin e saj të përkufizimit, duhet të gjeni ato vlera të ndryshores X, në të cilën emëruesi bëhet zero dhe eliminoni ato. Duke zgjidhur ekuacionin X 2 - 9 = 0, gjejmë se X= -3 dhe X= 3. Prandaj, fusha e përkufizimit të kësaj shprehje përbëhet nga të gjithë numrat përveç -3 dhe 3. Nëse e shënojmë me X, atëherë mund të shkruajmë:
X= (-¥; -3) È (-3; 3) È (3; +¥).
Detyrë. Janë shprehje dhe X- 2 identike të barabarta: a) në grup R; b) në bashkësinë e numrave të plotë të ndryshëm nga zero?
Zgjidhje. a) Në një set R këto shprehje nuk janë identike të barabarta, që kur X= 0 shprehja nuk ka kuptim, dhe shprehja X- 2 ka vlerën -2.
b) Në bashkësinë e numrave të plotë përveç zeros, këto shprehje janë identike të barabarta, pasi = 
.
Detyrë. Në çfarë vlerash X barazitë e mëposhtme janë identitete:
A) 
; b) .
Zgjidhje. a) Barazia është një identitet nëse ;
b) Barazia është një identitet nëse .
Le të shqyrtojmë dy barazi:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Kjo barazi do të mbahet për çdo vlerë të ndryshores a. Gama e vlerave të pranueshme për atë barazi do të jetë i gjithë grupi i numrave realë.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Kjo pabarazi do të jetë e vërtetë për të gjitha vlerat e ndryshores a, me përjashtim të një të barabartë me zero. Gama e vlerave të pranueshme për këtë pabarazi do të jetë i gjithë grupi i numrave realë përveç zeros.
Për secilën nga këto barazi mund të argumentohet se do të jetë e vërtetë për çdo vlerë të pranueshme të variablave a. Barazi të tilla në matematikë quhen identitetet.
Koncepti i identitetit
Një identitet është një barazi që është e vërtetë për çdo vlerë të pranueshme të variablave. Nëse zëvendësoni ndonjë vlerë të vlefshme në këtë barazi në vend të variablave, duhet të merrni një barazi të saktë numerike.
Vlen të theksohet se barazitë e vërteta numerike janë gjithashtu identitete. Identitetet, për shembull, do të jenë veti të veprimeve në numra.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Nëse dy shprehje për çdo ndryshore të pranueshme janë përkatësisht të barabarta, atëherë shprehjet e tilla quhen identikisht të barabartë. Më poshtë janë disa shembuj të shprehjeve identike të barabarta:
1. (a 2) 4 dhe a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) dhe -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) dhe x 10.
Ne gjithmonë mund të zëvendësojmë një shprehje me ndonjë shprehje tjetër identike të barabartë me të parën. Një zëvendësim i tillë do të jetë një transformim identiteti.
Shembuj identitetesh
Shembulli 1: janë identike barazitë e mëposhtme:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Jo të gjitha shprehjet e paraqitura më sipër do të jenë identitete. Nga këto barazi, vetëm 1, 2 dhe 3 barazi janë identitete. Pavarësisht se cilët numra zëvendësojmë në to, në vend të variablave a dhe b do të marrim përsëri barazime numerike të sakta.
Por barazia nuk është më identitet. Sepse kjo barazi nuk do të jetë e vlefshme për të gjitha vlerat e vlefshme. Për shembull, me vlerat a = 5 dhe b = 2, do të merret rezultati i mëposhtëm:
Kjo barazi nuk është e vërtetë, pasi numri 3 nuk është i barabartë me numrin -3.
Të dyja pjesët e të cilave janë shprehje identike të barabarta. Identitetet ndahen në alfabetike dhe numerike.
Shprehjet e identitetit
Quhen dy shprehje algjebrike identike(ose identikisht të barabartë), nëse për ndonjë vlerë numerike të shkronjave ato kanë të njëjtën vlerë numerike. Këto janë, për shembull, shprehjet:
x(5 + x) dhe 5 x + x 2
Të dyja paraqitën shprehje, për çdo vlerë x do të jenë të barabarta me njëra-tjetrën, pra mund të quhen identike ose identike të barabarta.
Shprehjet numerike që janë të barabarta me njëra-tjetrën mund të quhen edhe identike. Për shembull:
20 - 8 dhe 10 + 2
Identitetet e shkronjave dhe numrave
Identiteti literal- kjo është një barazi që vlen për çdo vlerë të shkronjave të përfshira në të. Me fjalë të tjera, një barazi në të cilën të dyja palët janë shprehje identike të barabarta, për shembull:
(a + b)m = jam + bm
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Identiteti numerikështë një barazi që përmban vetëm numra të shprehur me shifra, në të cilët të dy anët kanë të njëjtën vlerë numerike. Për shembull:
4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 (4 + 6) = 50
Shndërrime identike të shprehjeve
Të gjitha veprimet algjebrike janë një transformim i një shprehjeje algjebrike në një tjetër, identike me të parën.
Gjatë llogaritjes së vlerës së një shprehjeje, hapjes së kllapave, vendosjes së një faktori të përbashkët jashtë kllapave dhe në një sërë rastesh të tjera, disa shprehje zëvendësohen me të tjera që janë identike të barabarta me to. Zëvendësimi i një shprehjeje me një tjetër, identikisht i barabartë me të, quhet transformim identik i shprehjes ose thjesht duke transformuar shprehjen. Të gjitha transformimet e shprehjeve kryhen në bazë të vetive të veprimeve me numra.
Le të shqyrtojmë transformimin identik të një shprehjeje duke përdorur shembullin e nxjerrjes së faktorit të përbashkët nga kllapat:
10x - 7x + 3x = (10 - 7 + 3)x = 6x
Pasi të jemi marrë me konceptin e identiteteve, mund të kalojmë në studimin e shprehjeve identike të barabarta. Qëllimi i këtij artikulli është të shpjegojë se çfarë është dhe të tregojë me shembuj se cilat shprehje do të jenë identike të barabarta me të tjerat.
Shprehje identike të barabarta: përkufizim
Koncepti i shprehjeve identike të barabarta zakonisht studiohet së bashku me vetë konceptin e identitetit si pjesë e një kursi shkollor algjebër. Këtu është përkufizimi bazë i marrë nga një tekst shkollor:
Përkufizimi 1
Në mënyrë identike të barabartë Njëra-tjetra do të ketë shprehje të tilla, vlerat e të cilave do të jenë të njëjta për çdo vlerë të mundshme të variablave të përfshirë në përbërjen e tyre.
Gjithashtu, ato shprehje numerike me të cilat do të korrespondojnë të njëjtat vlera konsiderohen identike të barabarta.
Ky është një përkufizim mjaft i gjerë që do të jetë i vërtetë për të gjitha shprehjet me numra të plotë kuptimi i të cilave nuk ndryshon kur ndryshojnë vlerat e variablave. Megjithatë, më vonë bëhet i nevojshëm sqarimi i këtij përkufizimi, pasi përveç numrave të plotë, ekzistojnë lloje të tjera shprehjesh që nuk do të kenë kuptim me ndryshore të caktuara. Kjo lind konceptin e pranueshmërisë dhe papranueshmërisë së vlerave të caktuara të ndryshueshme, si dhe nevojën për të përcaktuar diapazonin e vlerave të lejueshme. Le të formulojmë një përkufizim të rafinuar.
Përkufizimi 2
Shprehje identike të barabarta- këto janë ato shprehje, vlerat e të cilave janë të barabarta me njëra-tjetrën për çdo vlerë të lejuar të variablave të përfshirë në përbërjen e tyre. Shprehjet numerike do të jenë identike të barabarta me njëra-tjetrën me kusht që vlerat të jenë të njëjta.
Shprehja "për çdo vlerë të vlefshme të ndryshoreve" tregon të gjitha ato vlera të variablave për të cilat të dyja shprehjet do të kenë kuptim. Ne do ta shpjegojmë këtë pikë më vonë kur të japim shembuj të shprehjeve identike të barabarta.
Ju gjithashtu mund të jepni përkufizimin e mëposhtëm:
Përkufizimi 3
Shprehjet identike të barabarta janë shprehje të vendosura në të njëjtin identitet në anën e majtë dhe të djathtë.
Shembuj shprehjesh që janë identike të barabarta me njëra-tjetrën
Duke përdorur përkufizimet e dhëna më sipër, le të shohim disa shembuj të shprehjeve të tilla.
Le të fillojmë me shprehjet numerike.
Shembulli 1
Kështu, 2 + 4 dhe 4 + 2 do të jenë identike të barabarta me njëra-tjetrën, pasi rezultatet e tyre do të jenë të barabarta (6 dhe 6).
Shembulli 2
Në të njëjtën mënyrë, shprehjet 3 dhe 30 janë identike të barabarta: 10, (2 2) 3 dhe 2 6 (për të llogaritur vlerën e shprehjes së fundit duhet të dini vetitë e shkallës).
Shembulli 3
Por shprehjet 4 - 2 dhe 9 - 1 nuk do të jenë të barabarta, pasi vlerat e tyre janë të ndryshme.
Le të kalojmë te shembujt e shprehjeve fjalë për fjalë. a + b dhe b + a do të jenë identike të barabarta, dhe kjo nuk varet nga vlerat e variablave (barazia e shprehjeve në këtë rast përcaktohet nga vetia komutative e mbledhjes).
Shembulli 4
Për shembull, nëse a është e barabartë me 4 dhe b është e barabartë me 5, atëherë rezultatet do të jenë ende të njëjta.
Një shembull tjetër i shprehjeve identike të barabarta me shkronja është 0 · x · y · z dhe 0 . Sido që të jenë vlerat e variablave në këtë rast, kur shumëzohen me 0, ato do të japin 0. Shprehjet e pabarabarta janë 6 · x dhe 8 · x, pasi ato nuk do të jenë të barabarta për asnjë x.
Në rast se zonat e vlerave të lejuara të variablave përkojnë, për shembull, në shprehjet a + 6 dhe 6 + a ose a · b · 0 dhe 0, ose x 4 dhe x, dhe vlerat e vetë shprehjet janë të barabarta për çdo variabël, atëherë shprehjet e tilla konsiderohen identike të barabarta. Pra, a + 8 = 8 + a për çdo vlerë të a, dhe a · b · 0 = 0 gjithashtu, pasi shumëzimi i çdo numri me 0 rezulton në 0. Shprehjet x 4 dhe x do të jenë identike të barabarta për çdo x nga intervali [0, + ∞).
Por diapazoni i vlerave të vlefshme në një shprehje mund të jetë i ndryshëm nga diapazoni i një tjetri.
Shembulli 5
Për shembull, le të marrim dy shprehje: x − 1 dhe x - 1 · x x. Për të parën prej tyre, diapazoni i vlerave të lejuara të x do të jetë i gjithë grupi i numrave realë, dhe për të dytën - grupi i të gjithë numrave realë, me përjashtim të zeros, sepse atëherë do të marrim 0 në emërues, dhe një ndarje e tillë nuk është e përcaktuar. Këto dy shprehje kanë një gamë të përbashkët vlerash të formuara nga kryqëzimi i dy vargjeve të veçanta. Mund të konkludojmë se të dyja shprehjet x - 1 · x x dhe x − 1 do të kenë kuptim për çdo vlerë reale të variablave, me përjashtim të 0.
Vetia bazë e thyesës na lejon gjithashtu të konkludojmë se x - 1 · x x dhe x - 1 do të jenë të barabarta për çdo x që nuk është 0. Kjo do të thotë se në gamën e përgjithshme të vlerave të lejuara këto shprehje do të jenë identike të barabarta me njëra-tjetrën, por për çdo x real nuk mund të flasim për barazi identike.
Nëse një shprehje e zëvendësojmë me një tjetër, e cila është identike e barabartë me të, atëherë ky proces quhet transformim identiteti. Ky koncept është shumë i rëndësishëm, dhe ne do të flasim për të në detaje në një material të veçantë.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Pasi të keni fituar një ide për identitetet, është logjike të kaloni në njohjen. Në këtë artikull do t'i përgjigjemi pyetjes se çfarë janë shprehjet identike të barabarta, dhe gjithashtu do të përdorim shembuj për të kuptuar se cilat shprehje janë identike të barabarta dhe cilat jo.
Navigimi i faqes.
Cilat janë shprehjet identike të barabarta?
Përkufizimi i shprehjeve identikisht të barabarta jepet paralelisht me përkufizimin e identitetit. Kjo ndodh në klasën e 7-të të algjebrës. Në librin shkollor për algjebër për klasën e 7-të nga autori Yu N. Makarychev jepet formulimi i mëposhtëm:
Përkufizimi.
- këto janë shprehje, vlerat e të cilave janë të barabarta për çdo vlerë të variablave të përfshirë në to. Shprehjet numerike që kanë vlera identike quhen gjithashtu identike të barabarta.
Ky përkufizim përdoret deri në klasën 8, është i vlefshëm për shprehjet me numra të plotë, pasi ato kanë kuptim për çdo vlerë të variablave të përfshirë në to. Dhe në klasën 8, sqarohet përkufizimi i shprehjeve identike të barabarta. Le të shpjegojmë se me çfarë lidhet kjo.
Në klasën e 8-të fillon studimi i llojeve të tjera të shprehjeve, të cilat, ndryshe nga shprehjet e tëra, mund të mos kenë kuptim për disa vlera të ndryshoreve. Kjo na detyron të prezantojmë përkufizime të vlerave të lejueshme dhe të papranueshme të variablave, si dhe gamën e vlerave të lejueshme të vlerës së variablës së ndryshores dhe, si pasojë, të sqarojmë përkufizimin e shprehjeve identike të barabarta.
Përkufizimi.
Dy shprehje, vlerat e të cilave janë të barabarta për të gjitha vlerat e lejuara të variablave të përfshirë në to quhen shprehje identike të barabarta. Dy shprehje numerike që kanë të njëjtat vlera quhen gjithashtu identike të barabarta.
Në këtë përkufizim të shprehjeve identike të barabarta, ia vlen të sqarohet kuptimi i frazës "për të gjitha vlerat e lejuara të variablave të përfshirë në to". Ai nënkupton të gjitha vlerat e tilla të variablave për të cilat të dyja shprehjet identike të barabarta kanë kuptim në të njëjtën kohë. Ne do ta shpjegojmë këtë ide në paragrafin tjetër duke parë shembuj.
Përkufizimi i shprehjeve identike të barabarta në librin shkollor të A. G. Mordkovich është dhënë pak më ndryshe:
Përkufizimi.
Shprehje identike të barabarta– këto janë shprehje në anën e majtë dhe të djathtë të identitetit.
Kuptimi i këtij dhe përkufizimeve të mëparshme përkojnë.
Shembuj të shprehjeve identike të barabarta
Përkufizimet e paraqitura në paragrafin e mëparshëm na lejojnë të japim shembuj të shprehjeve identike të barabarta.
Le të fillojmë me shprehje numerike identike të barabarta. Shprehjet numerike 1+2 dhe 2+1 janë identike të barabarta, pasi ato korrespondojnë me vlera të barabarta 3 dhe 3. Shprehjet 5 dhe 30:6 janë gjithashtu identike të barabarta, siç janë shprehjet (2 2) 3 dhe 2 6 (vlerat e shprehjeve të fundit janë të barabarta për shkak të ). Por shprehjet numerike 3+2 dhe 3−2 nuk janë identike të barabarta, pasi ato korrespondojnë me vlerat 5 dhe 1, përkatësisht, dhe ato nuk janë të barabarta.
Tani le të japim shembuj të shprehjeve identike të barabarta me ndryshore. Këto janë shprehjet a+b dhe b+a. Në të vërtetë, për çdo vlerë të variablave a dhe b, shprehjet e shkruara marrin të njëjtat vlera (siç vijon nga numrat). Për shembull, me a=1 dhe b=2 kemi a+b=1+2=3 dhe b+a=2+1=3 . Për çdo vlerë tjetër të variablave a dhe b, do të marrim gjithashtu vlera të barabarta të këtyre shprehjeve. Shprehjet 0·x·y·z dhe 0 janë gjithashtu identike të barabarta për çdo vlerë të ndryshoreve x, y dhe z. Por shprehjet 2 x dhe 3 x nuk janë identike të barabarta, pasi, për shembull, kur x=1 vlerat e tyre nuk janë të barabarta. Në të vërtetë, për x=1, shprehja 2 x është e barabartë me 2 x 1=2, dhe shprehja 3 x është e barabartë me 3 x 1=3.
Kur vargjet e vlerave të lejuara të variablave në shprehje përkojnë, si, për shembull, në shprehjet a+1 dhe 1+a, ose a·b·0 dhe 0, ose dhe, dhe vlerat e këtyre shprehjeve janë të barabarta për të gjitha vlerat e variablave nga këto zona, atëherë këtu gjithçka është e qartë - këto shprehje janë identike të barabarta për të gjitha vlerat e lejuara të variablave të përfshirë në to. Pra, a+1≡1+a për çdo a, shprehjet a·b·0 dhe 0 janë identike të barabarta për çdo vlerë të ndryshoreve a dhe b, dhe shprehjet dhe janë identike të barabarta për të gjitha x të ; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - Botimi i 17-të. - M.: Arsimi, 2008. - 240 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019315-3.