Extrema av en funktion online-kalkylator. Hur man hittar extremumet (minsta och högsta poäng) för en funktion

Mycket viktig information om en funktions beteende tillhandahålls av de ökande och minskande intervallen. Att hitta dem är en del av processen att undersöka funktionen och rita grafen. Dessutom ägnas särskild uppmärksamhet åt de extrempunkter där det sker en förändring från ökande till minskande eller från minskande till ökande när man hittar de största och minsta värdena för funktionen på ett visst intervall.

I den här artikeln kommer vi att ge de nödvändiga definitionerna, formulera ett tillräckligt kriterium för ökning och minskning av en funktion på ett intervall och tillräckliga villkor för existensen av ett extremum, och tillämpa hela denna teori för att lösa exempel och problem.

Sidnavigering.

Ökande och minskande funktion på ett intervall.

Definition av en ökande funktion.

Funktionen y=f(x) ökar på intervallet X om för någon och ojämlikheten håller. Med andra ord, ett större argumentvärde motsvarar ett större funktionsvärde.

Definition av en minskande funktion.

Funktionen y=f(x) minskar på intervallet X om för någon och ojämlikheten håller . Med andra ord, ett större värde på argumentet motsvarar ett mindre värde på funktionen.

OBS: om funktionen är definierad och kontinuerlig i slutet av det ökande eller minskande intervallet (a;b), det vill säga vid x=a och x=b, så ingår dessa punkter i det ökande eller minskande intervallet. Detta motsäger inte definitionerna av en ökande och minskande funktion på intervallet X.

Till exempel, från egenskaperna hos grundläggande elementära funktioner vet vi att y=sinx är definierad och kontinuerlig för alla reella värden i argumentet. Därför, från ökningen av sinusfunktionen på intervallet, kan vi hävda att den ökar på intervallet.

Extremumpunkter, extrema för en funktion.

Punkten kallas högsta poäng funktion y=f(x) om olikheten är sann för alla x i dess grannskap. Funktionens värde vid maxpunkten anropas maximalt av funktionen och beteckna .

Punkten kallas minimipunkt funktion y=f(x) om olikheten är sann för alla x i dess grannskap. Funktionens värde vid minimipunkten anropas minsta funktion och beteckna .

Närheten till en punkt förstås som intervallet , där är ett tillräckligt litet positivt tal.

Minsta och högsta poäng kallas extrema punkter, och värdena för funktionen som motsvarar extremumpunkterna anropas extrema av funktionen.

Blanda inte ihop extremvärdena för en funktion med funktionens största och minsta värde.

I den första figuren uppnås det största värdet av funktionen på segmentet vid maximipunkten och är lika med funktionens maximum, och i den andra figuren uppnås funktionens största värde vid punkten x=b , vilket inte är maxpoängen.

Tillräckliga förutsättningar för att öka och minska funktioner.

Baserat på tillräckliga förutsättningar (tecken) för ökning och minskning av en funktion, hittas intervall för ökning och minskning av funktionen.

Här är formuleringarna av tecknen på ökande och minskande funktioner på ett intervall:

om derivatan av funktionen y=f(x) är positiv för något x från intervallet X, så ökar funktionen med X;
om derivatan av funktionen y=f(x) är negativ för något x från intervallet X, så minskar funktionen på X.

För att bestämma intervallen för ökning och minskning av en funktion är det därför nödvändigt:

Låt oss överväga ett exempel på att hitta intervallen för ökande och minskande funktioner för att förklara algoritmen.

Exempel.

Hitta intervallen för ökande och minskande funktioner.

Lösning.

Det första steget är att hitta definitionsdomänen för funktionen. I vårt exempel bör uttrycket i nämnaren inte gå till noll, därför, .

Låt oss gå vidare till att hitta derivatan av funktionen:

För att bestämma intervallen för ökning och minskning av en funktion baserat på ett tillräckligt kriterium, löser vi ojämlikheter på definitionsdomänen. Låt oss använda en generalisering av intervallmetoden. Den enda reella roten av täljaren är x = 2, och nämnaren går till noll vid x=0. Dessa punkter delar upp definitionsdomänen i intervall där funktionens derivata behåller sitt tecken. Låt oss markera dessa punkter på tallinjen. Vi betecknar konventionellt med plus och minus de intervall vid vilka derivatan är positiv eller negativ. Pilarna nedan visar schematiskt ökningen eller minskningen av funktionen på motsvarande intervall.

Således, Och .

Vid punkten x=2-funktionen är definierad och kontinuerlig, så den bör läggas till både de ökande och minskande intervallen. Vid punkten x=0 är funktionen inte definierad, så vi inkluderar inte denna punkt i de nödvändiga intervallen.

Vi presenterar en graf över funktionen för att jämföra resultaten som erhållits med den.

Svar:

Funktionen ökar med , minskar med intervallet (0;2] .

Tillräckliga förutsättningar för en funktions extremum.

För att hitta maxima och minima för en funktion kan du använda vilket som helst av de tre tecknen på extremum, naturligtvis, om funktionen uppfyller deras villkor. Den vanligaste och mest bekväma är den första av dem.

Det första tillräckliga villkoret för ett extremum.

Låt funktionen y=f(x) vara differentierbar i punktens -grannskap och kontinuerlig i själva punkten.

Med andra ord:

Algoritm för att hitta extrema punkter baserat på det första tecknet på extremum för en funktion.

Vi hittar definitionsdomänen för funktionen.
Vi hittar derivatan av funktionen på definitionsdomänen.
Vi bestämmer nollorna för täljaren, nollorna för nämnaren för derivatan och punkterna i definitionsdomänen där derivatan inte finns (alla listade punkter kallas möjliga extrema punkter, passerar genom dessa punkter, kan derivatan bara ändra sitt tecken).
Dessa punkter delar upp funktionens definitionsdomän i intervall där derivatan behåller sitt tecken. Vi bestämmer tecknen för derivatan på vart och ett av intervallen (till exempel genom att beräkna värdet på derivatan av en funktion vid vilken punkt som helst i ett visst intervall).
Vi väljer punkter där funktionen är kontinuerlig och genom vilka derivatan ändrar tecken - dessa är extrempunkterna.

Det finns för många ord, låt oss bättre titta på några exempel på att hitta extremumpunkter och extrema för en funktion genom att använda det första tillräckliga villkoret för en funktions extremum.

Exempel.

Hitta funktionens extrema.

Lösning.

En funktions domän är hela uppsättningen reella tal utom x=2.

Hitta derivatan:

Nollorna i täljaren är punkterna x=-1 och x=5, nämnaren går till noll vid x=2. Markera dessa punkter på talaxeln

Vi bestämmer tecknen för derivatan vid varje intervall för att göra detta, beräknar vi värdet på derivatan vid någon av punkterna i varje intervall, till exempel vid punkterna x=-2, x=0, x=3 och; x=6.

Därför är derivatan positiv på intervallet (i figuren sätter vi ett plustecken över detta intervall). likaså

Därför sätter vi ett minus över det andra intervallet, ett minus över det tredje och ett plus över det fjärde.

Det återstår att välja punkter där funktionen är kontinuerlig och dess derivata ändrar tecken. Det här är yttersta punkterna.

Vid punkten x=-1 funktionen är kontinuerlig och derivatan ändrar tecken från plus till minus, därför, enligt det första tecknet på extremum, är x=-1 maxpunkten, funktionens maximum motsvarar det .

Vid punkten x=5 funktionen är kontinuerlig och derivatan ändrar tecken från minus till plus, därför är x=-1 minimipunkten, funktionens minimum motsvarar den .

Grafisk illustration.

Svar:

OBSERVERA: det första tillräckliga kriteriet för ett extremum kräver inte differentierbarhet av funktionen vid själva punkten.

Exempel.

Hitta extrema punkter och extrema för funktionen .

Lösning.

En funktions domän är hela uppsättningen av reella tal. Själva funktionen kan skrivas som:

Låt oss hitta derivatan av funktionen:

Vid punkten x=0 derivatan existerar inte, eftersom värdena för de ensidiga gränserna inte sammanfaller när argumentet tenderar till noll:

Samtidigt är den ursprungliga funktionen kontinuerlig i punkten x=0 (se avsnittet om att studera funktionen för kontinuitet):

Låt oss hitta värdet på argumentet där derivatan går till noll:

Låt oss markera alla erhållna punkter på tallinjen och bestämma tecknet för derivatan på vart och ett av intervallen. För att göra detta beräknar vi värdena för derivatan vid godtyckliga punkter i varje intervall, till exempel vid x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Det är,

Således, enligt det första tecknet på ett extremum, är minimipunkterna , är maxpoängen .

Vi beräknar motsvarande minima för funktionen

Vi beräknar motsvarande maxima för funktionen

Grafisk illustration.

Svar:

Det andra tecknet på ett extremum av en funktion.

Som du kan se kräver detta tecken på ett extremum av en funktion att det finns en derivata åtminstone till andra ordningen vid punkten.

För att bestämma karaktären av en funktion och prata om dess beteende är det nödvändigt att hitta intervall för ökning och minskning. Denna process kallas funktionsforskning och grafer. Extremumpunkten används för att hitta de största och minsta värdena för en funktion, eftersom funktionen vid dem ökar eller minskar från intervallet.

Denna artikel avslöjar definitionerna, formulerar ett tillräckligt tecken på ökning och minskning av intervallet och ett villkor för existensen av ett extremum. Det gäller att lösa exempel och problem. Avsnittet om differentierande funktioner bör upprepas, eftersom lösningen kommer att behöva använda att hitta derivatan.

Definition 1

Funktionen y = f (x) kommer att öka på intervallet x när, för valfri x 1 ∈ X och x 2 ∈ X, x 2 > x 1, olikheten f (x 2) > f (x 1) är uppfylld. Med andra ord, ett större värde på argumentet motsvarar ett större värde på funktionen.

Definition 2

Funktionen y = f (x) anses vara avtagande på intervallet x när, för valfri x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, likheten f (x 2) > f (x 1) anses sant. Med andra ord, ett större funktionsvärde motsvarar ett mindre argumentvärde. Betrakta figuren nedan.

Kommentar: När funktionen är bestämd och kontinuerlig i ändarna av intervallet ökande och minskande, det vill säga (a; b), där x = a, x = b, ingår punkterna i intervallet ökande och minskande. Detta motsäger inte definitionen det betyder att det sker på intervallet x.

Huvudegenskaperna hos elementära funktioner av typen y = sin x är säkerhet och kontinuitet för argumentens reella värden. Härifrån får vi att sinus ökar över intervallet - π 2; π 2, då har ökningen på segmentet formen - π 2; π 2.

Definition 3

Punkten x 0 kallas högsta poäng för funktionen y = f (x), när för alla värden på x är olikheten f (x 0) ≥ f (x) giltig. Maximal funktionär värdet på funktionen i en punkt, och betecknas med y m a x .

Punkten x 0 kallas minimipunkten för funktionen y = f (x), när för alla värden på x är olikheten f (x 0) ≤ f (x) giltig. Minsta funktionerär värdet av funktionen vid en punkt, och har en beteckning på formen y m i n .

Områden till punkten x 0 beaktas extrema punkter, och värdet på den funktion som motsvarar extrempunkterna. Betrakta figuren nedan.

Extrema för en funktion med det största och minsta värdet av funktionen. Betrakta figuren nedan.

Den första figuren säger att det är nödvändigt att hitta det största värdet av funktionen från segmentet [a; b]. Den hittas med maximala poäng och är lika med maxvärdet för funktionen, och den andra siffran är mer som att hitta maxpunkten vid x = b.

Tillräckliga förutsättningar för att en funktion ska öka och minska

För att hitta maxima och minima för en funktion är det nödvändigt att tillämpa tecken på extremum i det fall då funktionen uppfyller dessa villkor. Det första tecknet anses vara det mest använda.

Det första tillräckliga villkoret för ett extremum

Definition 4

Låt en funktion y = f (x) ges, som är differentierbar i ett ε-område av punkten x 0, och har kontinuitet i den givna punkten x 0. Härifrån får vi det

när f " (x) > 0 med x ∈ (x 0 - ε ; x 0) och f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
när f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 för x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), då är x 0 minimipunkten.

Med andra ord får vi deras villkor för att sätta tecknet:

när funktionen är kontinuerlig i punkten x 0, så har den en derivata med ett föränderligt tecken, det vill säga från + till -, vilket betyder att punkten kallas ett maximum;
när funktionen är kontinuerlig i punkten x 0, så har den en derivata med ett skiftande tecken från - till +, vilket betyder att punkten kallas ett minimum.

För att korrekt bestämma max- och minimumpunkterna för en funktion måste du följa algoritmen för att hitta dem:

hitta definitionsdomänen;
hitta derivatan av funktionen på detta område;
identifiera nollor och punkter där funktionen inte finns;
bestämma tecknet för derivatan på intervall;
välj punkter där funktionen byter tecken.

Låt oss överväga algoritmen genom att lösa flera exempel på att hitta extrema för en funktion.

Exempel 1

Hitta max- och minimumpunkterna för den givna funktionen y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Lösning

Definitionsdomänen för denna funktion är alla reella tal utom x = 2. Låt oss först hitta derivatan av funktionen och få:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Härifrån ser vi att funktionens nollor är x = - 1, x = 5, x = 2, det vill säga att varje parentes måste likställas med noll. Låt oss markera det på nummeraxeln och få:

Nu bestämmer vi tecknen för derivatan från varje intervall. Det är nödvändigt att välja en punkt som ingår i intervallet och ersätta den i uttrycket. Till exempel, punkter x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Det förstår vi

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, vilket betyder att intervallet - ∞ - 1 har en positiv derivata.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Eftersom det andra intervallet visade sig vara mindre än noll betyder det att derivatan på intervallet blir negativ. Den tredje med minus, den fjärde med plus. För att bestämma kontinuitet måste du vara uppmärksam på derivatans tecken om det ändras, så är detta en extrempunkt.

Vi finner att i punkten x = - 1 kommer funktionen att vara kontinuerlig, vilket betyder att derivatan kommer att ändra tecken från + till -. Enligt det första tecknet har vi att x = - 1 är en maxpunkt, vilket betyder att vi får

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Punkten x = 5 indikerar att funktionen är kontinuerlig, och derivatan kommer att ändra tecken från – till +. Detta betyder att x = -1 är minimipunkten, och dess bestämning har formen

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafisk bild

Svar: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Det är värt att uppmärksamma det faktum att användningen av det första tillräckliga kriteriet för ett extremum inte kräver differentierbarheten av funktionen vid punkten x 0, detta förenklar beräkningen.

Exempel 2

Hitta max- och minimumpunkterna för funktionen y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Lösning.

En funktions domän är alla reella tal. Detta kan skrivas som ett ekvationssystem av formen:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Sedan måste du hitta derivatan:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Punkten x = 0 har ingen derivata, eftersom värdena för de ensidiga gränserna är olika. Vi får det:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Det följer att funktionen är kontinuerlig i punkten x = 0, sedan räknar vi

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Det är nödvändigt att utföra beräkningar för att hitta värdet på argumentet när derivatan blir noll:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Alla erhållna punkter måste markeras på en rak linje för att bestämma tecknet för varje intervall. Därför är det nödvändigt att beräkna derivatan vid godtyckliga punkter för varje intervall. Till exempel kan vi ta poäng med värden x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Det förstår vi

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Bilden på den raka linjen ser ut som

Detta innebär att vi kommer till slutsatsen att det är nödvändigt att ta till det första tecknet på ett extremum. Låt oss räkna ut och hitta det

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , sedan har maxpoängen värdena x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Låt oss gå vidare till att beräkna minimivärden:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Låt oss beräkna maxima för funktionen. Det förstår vi

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafisk bild

Svar:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 y a x 3 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Om en funktion f " (x 0) = 0 ges, då om f "" (x 0) > 0, får vi att x 0 är en minimipunkt om f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Exempel 3

Hitta maxima och minima för funktionen y = 8 x x + 1.

Lösning

Först hittar vi definitionsdomänen. Det förstår vi

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Det är nödvändigt att differentiera funktionen, varefter vi får

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Vid x = 1 blir derivatan noll, vilket betyder att punkten är ett möjligt extremum. För att förtydliga är det nödvändigt att hitta den andra derivatan och beräkna värdet vid x = 1. Vi får:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Detta betyder att genom att använda villkoret 2 för ett extremum, får vi att x = 1 är en maxpunkt. Annars ser posten ut som y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Grafisk bild

Svar: y m a x = y (1) = 4 ..

Definition 5

Funktionen y = f (x) har sin derivata upp till n:e ordningen i ε-området av en given punkt x 0 och sin derivata upp till n + 1:a ordningen i punkten x 0 . Då f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = fn (x 0) = 0 .

Det följer att när n är ett jämnt tal, då anses x 0 vara en böjningspunkt, när n är ett udda tal, då är x 0 en extrempunkt, och f (n + 1) (x 0) > 0, sedan x 0 är en minimipunkt, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Exempel 4

Hitta max- och minimumpunkterna för funktionen y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Lösning

Den ursprungliga funktionen är en rationell helfunktion, vilket innebär att definitionsdomänen är alla reella tal. Det är nödvändigt att differentiera funktionen. Det förstår vi

y " = 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Denna derivata kommer att gå till noll vid x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Det vill säga att punkterna kan vara möjliga extrema punkter. Det är nödvändigt att tillämpa det tredje tillräckliga villkoret för extremumet. Genom att hitta den andra derivatan kan du exakt bestämma närvaron av ett maximum och minimum av en funktion. Den andra derivatan beräknas vid punkterna för dess möjliga extremum. Det förstår vi

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Detta betyder att x 2 = 5 7 är maxpunkten. Genom att tillämpa det 3:e tillräckliga kriteriet får vi det för n = 1 och f (n + 1) 5 7< 0 .

Det är nödvändigt att bestämma arten av punkterna x 1 = - 1, x 3 = 3. För att göra detta måste du hitta den tredje derivatan och beräkna värdena vid dessa punkter. Det förstår vi

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Detta betyder att x 1 = - 1 är böjningspunkten för funktionen, eftersom för n = 2 och f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Det är nödvändigt att undersöka punkten x 3 = 3. För att göra detta hittar vi den fjärde derivatan och utför beräkningar vid denna punkt:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Av det som beslutades ovan drar vi slutsatsen att x 3 = 3 är minimipunkten för funktionen.

Grafisk bild

Svar: x 2 = 5 7 är maxpunkten, x 3 = 3 är minimipunkten för den givna funktionen.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Fungera y = f(x) anropas ökande (minskar) i ett visst intervall, om för x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Om den differentierbara funktionen y = f (x) ökar (minskar) på ett intervall, då dess derivata på detta intervall f " (x)> 0

(f"(x)< 0).

Punkt x O kallad lokal maxpunkt (minimum) funktion f (x) om det finns en grannskap till punkten puss kram, för alla punkter där olikheten f (x) är sann≤ f (x o) (f (x)≥ f (xo)).

Maximi- och minimumpoängen kallas extrema punkter, och funktionens värden vid dessa punkter är dess ytterligheter.

Extrema poäng

Nödvändiga förutsättningar för ett extremum . Om poängen x O är extremumpunkten för funktionen f (x), sedan antingen f " (x o ) = 0 eller f(x o ) finns inte. Sådana punkter kallas kritisk, och själva funktionen definieras vid den kritiska punkten. Extrema av en funktion bör sökas bland dess kritiska punkter.

Det första tillräckliga villkoret. Låta x O - kritisk punkt. Om f" (x ) när du passerar genom en punkt x O ändrar plustecknet till minus, sedan vid punkten puss kram funktionen har ett maximum, annars har den ett minimum. Om, när den passerar genom den kritiska punkten, derivatan inte ändrar tecken, då vid punkten x O det finns ingen extrem.

Andra tillräckligt villkor. Låt funktionen f(x) ha
f" (x ) i närheten av punkten x O och andraderivatan f "" (x 0) vid själva punkten puss kram. Om f"(puss kram) = 0, f "" (x 0)>0 (f "" (x 0)<0), то точка puss kramär den lokala minimipunkten (maximum) för funktionen f (x). Om f "" (x 0) = 0, måste du antingen använda det första tillräckliga villkoret eller involvera högre.

På ett segment kan funktionen y = f (x) nå sitt lägsta eller högsta värde antingen vid kritiska punkter eller i slutet av segmentet.

Exempel 3.22.

Lösning. Därför att f " (

Problem med att hitta yttersta delen av en funktion

Exempel 3.23. a

Lösning. x Och y y
0 ≤ x≤
> 0 och när x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funktioner kv. enheter).

Exempel 3.24. p ≈

Lösning. p sid
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exempel 3.22.Hitta extrema för funktionen f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Lösning. Därför att f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), då de kritiska punkterna för funktionen x 1 = 2 och x 2 = 3. Extrema kan bara vara vid dessa punkter. Eftersom derivatan ändrar tecken från plus till minus när den passerar genom punkten x 1 = 2, så har funktionen vid denna punkt ett maximum. När den passerar genom punkten x 2 = 3 ändrar derivatan sitt tecken från minus till plus, så vid punkten x 2 = 3 har funktionen ett minimum. Efter att ha beräknat funktionsvärdena vid punkterna
x 1 = 2 och x 2 = 3, vi hittar extrema för funktionen: maximalt f (2) = 14 och minimum f (3) = 13.

Exempel 3.23.Det är nödvändigt att bygga ett rektangulärt område nära stenmuren så att det är inhägnat på tre sidor med trådnät, och den fjärde sidan ligger intill väggen. För detta finns a linjära meter nät. Vid vilket bildförhållande kommer webbplatsen att ha störst yta?

Lösning.Låt oss beteckna plattformens sidor med x Och y. Området på webbplatsen är S = xy. Låta y- detta är längden på sidan som gränsar till väggen. Sedan, genom villkor, måste likheten 2x + y = a vara uppfylld. Därför y = a - 2x och S = x (a - 2x), där
0 ≤ x≤ a /2 (ytans längd och bredd kan inte vara negativ). S " = a - 4x, a - 4x = 0 vid x = a/4, varifrån
y = a - 2 x a/4 = a/2. Eftersom den x = a /4 är den enda kritiska punkten; låt oss kontrollera om tecknet för derivatan ändras när vi passerar denna punkt. Vid x a /4 S"> 0 och när x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funktioner S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (kv. enheter). Eftersom S är kontinuerligt på och dess värden i ändarna S(0) och S(a /2) är lika med noll, kommer värdet som hittas att vara det största värdet på funktionen. Således är det mest gynnsamma bildförhållandet för webbplatsen under de givna förhållandena för problemet y = 2x.

Exempel 3.24.Det krävs att tillverka en sluten cylindrisk tank med en kapacitet på V=16 p ≈ 50 m 3 . Vilka dimensioner ska tanken ha (radie R och höjd H) så att minsta mängd material används för dess tillverkning?

Lösning.Cylinderns totala yta är S = 2 sid R(R+H). Vi känner till cylinderns volym V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Så S(R) = 2 sid (R2+16/R). Vi hittar derivatan av denna funktion:
S"(R) = 2 p (2R-16/R2) = 4 p (R-8/R2). S" (R) = 0 vid R3 = 8, därför,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Från den här artikeln kommer läsaren att lära sig om vad ett extremum av funktionellt värde är, liksom om funktionerna i dess användning i praktiska aktiviteter. Att studera ett sådant koncept är oerhört viktigt för att förstå grunderna för högre matematik. Detta ämne är grundläggande för en djupare studie av kursen.

I kontakt med

Vad är ett extremum?

I skolkursen ges många definitioner av begreppet "extremum". Denna artikel är avsedd att ge den djupaste och tydligaste förståelsen av termen för de okunniga om frågan. Så, termen förstås i vilken utsträckning det funktionella intervallet får ett minimum eller maximivärde på en viss uppsättning.

Ett extremum är både minimivärdet för en funktion och maximum samtidigt. Det finns en minimipunkt och en maxpunkt, det vill säga extremvärdena för argumentet på grafen. De viktigaste vetenskaperna som använder detta koncept är:

statistik;
maskinstyrning;
ekonometri.

Extremumpunkter spelar en viktig roll för att bestämma sekvensen för en given funktion. Koordinatsystemet i grafen visar när den är som bäst förändringen i ytterläge beroende på funktionsförändringen.

Extrema för derivatans funktion

Det finns också ett sådant fenomen som "derivat". Det är nödvändigt att bestämma extremumpunkten. Det är viktigt att inte blanda ihop minimum- eller maximumpoäng med högsta och lägsta värden. Det är olika begrepp, även om de kan verka lika.

Funktionens värde är huvudfaktorn för att avgöra hur man hittar maxpunkten. Derivaten bildas inte av värden utan uteslutande från dess extrema position i en eller annan ordning.

Själva derivatan bestäms utifrån dessa extrema punkter och inte på det största eller minsta värdet. I ryska skolor är gränsen mellan dessa två begrepp inte tydligt dragen, vilket påverkar förståelsen av detta ämne i allmänhet.

Låt oss nu överväga ett sådant koncept som "akut extremum". Idag finns det ett akut minimivärde och ett akut maxvärde. Definitionen ges i enlighet med den ryska klassificeringen av kritiska punkter för en funktion. Konceptet med en extremumpunkt är grunden för att hitta kritiska punkter på en graf.

För att definiera ett sådant begrepp tillgriper de att använda Fermats teorem. Det är det viktigaste i studiet av extrema punkter och ger en tydlig uppfattning om deras existens i en eller annan form. För att säkerställa extremitet är det viktigt att skapa vissa förutsättningar för en minskning eller ökning på grafen.

För att korrekt svara på frågan "hur man hittar den maximala poängen", måste du följa dessa riktlinjer:

Hitta den exakta definitionsdomänen på grafen.
Sök efter derivatan av en funktion och extremumpunkten.
Lös standardolikheter för domänen där argumentet finns.
Kunna bevisa i vilka funktioner en punkt på en graf är definierad och kontinuerlig.

Uppmärksamhet! Att söka efter den kritiska punkten för en funktion är endast möjligt om det finns en derivata av åtminstone andra ordningen, vilket säkerställs av en hög andel av närvaron av en extremumpunkt.

Nödvändigt villkor för en funktions extremum

För att ett extremum ska existera är det viktigt att det finns både minimum- och maximumpoäng. Om denna regel endast delvis iakttas, överträds villkoret för existensen av ett extremum.

Varje funktion i vilken position som helst måste differentieras för att identifiera dess nya betydelser. Det är viktigt att förstå att fallet med en punkt som går till noll inte är huvudprincipen för att hitta en differentierbar punkt.

Ett akut extremum, såväl som ett minimum av en funktion, är en extremt viktig aspekt för att lösa ett matematiskt problem med hjälp av extrema värden. För att bättre förstå denna komponent är det viktigt att hänvisa till tabellvärdena för att specificera funktionaliteten.

Full meningsforskning

Rita en värdegraf

1. Bestämning av punkter med ökande och minskande värden.

2. Hitta diskontinuitetspunkter, extremum och skärningspunkt med koordinataxlar.

3. Processen att bestämma förändringar i position på en graf.

4. Bestämning av indikatorn och riktningen för konvexitet och konvexitet, med hänsyn till närvaron av asymptoter.

5. Skapande av en forskningssammanfattningstabell för att fastställa dess koordinater.

6. Hitta intervallen för ökande och minskande extrema och skarpa punkter.

7. Bestämning av konvexitet och konkavitet för en kurva.

8. Genom att rita en graf med hänsyn till forskningen kan du hitta minimum eller maximum.

Huvudelementet när det är nödvändigt att arbeta med extrema punkter är den exakta konstruktionen av dess graf.

Skollärare ägnar inte ofta maximal uppmärksamhet åt en så viktig aspekt, vilket är en grov kränkning av utbildningsprocessen.

Konstruktionen av en graf sker endast baserat på resultaten av att studera funktionella data, identifiera akuta extrema, såväl som punkter på grafen.

Skarpa extrema för derivatans funktion visas på ett diagram med exakta värden, med hjälp av en standardprocedur för att bestämma asymptoter.

Funktionens max- och minimumpunkter åtföljs av mer komplexa grafkonstruktioner. Detta beror på ett djupare behov av att arbeta igenom problemet med akut extremum.

Det är också nödvändigt att hitta derivatan av en komplex och enkel funktion, eftersom detta är ett av de viktigaste begreppen i problemet med extremum.

Extremum av det funktionella

För att hitta värdet ovan måste du följa följande regler:

bestämma det nödvändiga villkoret för en extrem relation;
ta hänsyn till det tillräckliga tillståndet för extrempunkterna på grafen;
utföra beräkningen av akut extremum.

Begrepp som svagt minimum och starkt minimum används också. Detta måste beaktas vid bestämning av extremum och dess exakta beräkning. Samtidigt är akut funktionalitet sökningen och skapandet av alla nödvändiga förutsättningar för att arbeta med grafen för en funktion.

Ett viktigt begrepp inom matematiken är funktion. Med dess hjälp kan du visuellt föreställa dig många processer som förekommer i naturen och spegla förhållandet mellan vissa kvantiteter med hjälp av formler, tabeller och bilder på en graf. Ett exempel är beroendet av trycket från ett vätskeskikt på en kropp på nedsänkningsdjupet, acceleration på verkan av en viss kraft på ett föremål, en ökning av temperaturen på den överförda energin och många andra processer. Att studera en funktion innebär att konstruera en graf, ta reda på dess egenskaper, definitionsdomän och värden, intervall för ökning och minskning. En viktig punkt i denna process är att hitta extrema punkter. Vi kommer att prata vidare om hur man gör detta korrekt.

Om själva konceptet med ett specifikt exempel

Inom medicin kan det att plotta en funktionsgraf berätta om utvecklingen av en sjukdom i en patients kropp, vilket tydligt återspeglar hans tillstånd. Låt oss anta att OX-axeln representerar tid i dagar och OU-axeln representerar den mänskliga kroppstemperaturen. Figuren visar tydligt hur denna indikator stiger kraftigt och sedan faller. Det är också lätt att lägga märke till speciella punkter som återspeglar de ögonblick då en funktion, som tidigare ökat, börjar minska, och vice versa. Dessa är extrema punkter, det vill säga kritiska värden (maximal och minimum) i detta fall av patientens temperatur, varefter förändringar i hans tillstånd inträffar.

Lutningsvinkel

Du kan enkelt avgöra från figuren hur derivatan av funktionen ändras. Om de raka linjerna i grafen går upp över tiden, så är det positivt. Och ju brantare de är, desto större blir derivatans värde, när lutningsvinkeln ökar. Under perioder av minskning antar detta värde negativa värden och vänds till noll vid extrema punkter, och grafen för derivatan i det senare fallet ritas parallellt med OX-axeln.

Alla andra processer bör behandlas på samma sätt. Men det bästa sättet att berätta om detta koncept är rörelsen av olika kroppar, tydligt visad i graferna.

Rörelse

Antag att ett föremål rör sig i en rak linje och tar jämnt fart. Under denna period representeras förändringen i kroppens koordinater grafiskt av en viss kurva, som en matematiker skulle kalla en gren av en parabel. Samtidigt ökar funktionen ständigt, eftersom koordinatindikatorerna ändras snabbare och snabbare för varje sekund. Hastighetsgrafen visar beteendet hos derivatan, vars värde också ökar. Det betyder att rörelsen inte har några kritiska punkter.

Detta skulle fortsätta på obestämd tid. Men vad händer om kroppen plötsligt bestämmer sig för att sakta ner, stanna och börja röra sig i en annan riktning? I det här fallet kommer koordinatindikatorerna att börja minska. Och funktionen kommer att passera ett kritiskt värde och vända från att öka till att minska.

Med hjälp av det här exemplet kan du återigen förstå att extrema punkter på grafen för en funktion visas i de ögonblick då den upphör att vara monoton.

Fysisk betydelse av derivatan

Det som beskrevs tidigare visade tydligt att derivatan i huvudsak är funktionens förändringshastighet. Detta förtydligande innehåller dess fysiska innebörd. Extrema punkter är kritiska områden på grafen. De kan identifieras och detekteras genom att beräkna värdet på derivatan, som visar sig vara lika med noll.

Det finns ett annat tecken som är ett tillräckligt villkor för ett extremum. Derivatan vid sådana böjningspunkter ändrar sitt tecken: från "+" till "-" i det maximala området och från "-" till "+" i minimiområdet.

Rörelse under påverkan av gravitationen

Låt oss föreställa oss en annan situation. Barnen, som lekte med en boll, kastade den på ett sådant sätt att den började röra sig i vinkel mot horisonten. I det första ögonblicket var hastigheten för detta föremål den högsta, men under påverkan av gravitationen började den minska, och med varje sekund med samma mängd, lika med ungefär 9,8 m/s 2 . Detta är värdet av den acceleration som sker under påverkan av jordens gravitation under fritt fall. På månen skulle den vara ungefär sex gånger mindre.

Grafen som beskriver en kropps rörelse är en parabel med grenar som pekar nedåt. Hur hittar man extrema punkter? I det här fallet är detta toppen av funktionen, där kroppens (bollens) hastighet har nollvärde. Funktionens derivata blir noll. I detta fall ändras riktningen, och därmed hastighetsvärdet, till det motsatta. Kroppen flyger ner snabbare för varje sekund och accelererar lika mycket - 9,8 m/s 2 .

Andra derivatan

I det föregående fallet ritas hastighetsmodulgrafen som en rät linje. Denna linje är initialt riktad nedåt, eftersom värdet på detta värde ständigt minskar. Efter att ha nått noll vid en tidpunkt börjar indikatorerna för detta värde att öka, och riktningen för den grafiska representationen av hastighetsmodulen förändras dramatiskt. Linjen pekar nu uppåt.

Hastighet, som är en derivata av koordinaten med avseende på tid, har också en kritisk punkt. I denna region börjar funktionen, initialt minskande, att öka. Detta är platsen för extremumpunkten för funktionens derivata. I detta fall blir tangentens lutningsvinkel noll. Och acceleration, som är den andra derivatan av koordinaten med avseende på tid, ändrar tecken från "-" till "+". Och rörelsen från jämnt långsam blir jämnt accelererad.

Accelerationsgraf

Låt oss nu titta på fyra bilder. Var och en av dem visar en graf över förändringar över tiden i en sådan fysisk mängd som acceleration. I fallet med "A" förblir dess värde positivt och konstant. Det betyder att kroppens hastighet, liksom dess koordinat, hela tiden ökar. Om vi föreställer oss att objektet kommer att röra sig på detta sätt under oändligt lång tid, kommer funktionen som reflekterar koordinatens beroende av tiden att visa sig vara ständigt ökande. Av detta följer att den inte har kritiska områden. Det finns inte heller några extrema punkter på grafen för derivatan, det vill säga linjärt varierande hastighet.

Detsamma gäller fall "B" med positiv och ständigt ökande acceleration. Det är sant att graferna för koordinater och hastighet här kommer att vara något mer komplicerade.

När accelerationen går till noll

Om man tittar på figur "B" kan man se en helt annan bild som kännetecknar kroppens rörelse. Dess hastighet kommer att representeras grafiskt av en parabel med grenar riktade nedåt. Om vi fortsätter linjen som beskriver accelerationsförändringen tills den skär OX-axeln och vidare kan vi tänka oss att upp till detta kritiska värde, där accelerationen visar sig vara noll, kommer objektets hastighet att öka allt långsammare . Extremumpunkten för derivatan av koordinatfunktionen kommer att vara exakt vid parabelns vertex, varefter kroppen radikalt kommer att ändra karaktären på sin rörelse och börja röra sig i en annan riktning.

I det sista fallet, "G", kan rörelsens natur inte bestämmas exakt. Här vet vi bara att det inte finns någon acceleration under en period under övervägande. Detta innebär att föremålet kan stanna på plats eller röra sig med konstant hastighet.

Koordinattilläggsproblem

Låt oss gå vidare till uppgifter som man ofta stöter på när man studerar algebra i skolan och som erbjuds som förberedelse för Unified State Exam. Figuren nedan visar grafen för funktionen. Det krävs att man beräknar summan av extrema punkter.

Låt oss göra detta för ordinataaxeln genom att bestämma koordinaterna för de kritiska områdena där en förändring i funktionens egenskaper observeras. Enkelt uttryckt hittar vi värdena längs OX-axeln för inflexionspunkterna och fortsätter sedan med att lägga till de resulterande termerna. Enligt grafen är det uppenbart att de tar följande värden: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Detta summerar till -21, vilket är svaret.

Optimal lösning

Det finns inget behov av att förklara hur viktigt valet av den optimala lösningen kan vara för att utföra praktiska uppgifter. Det finns trots allt många sätt att uppnå ett mål, men den bästa vägen ut är som regel bara ett. Detta är extremt nödvändigt, till exempel när man designar fartyg, rymdskepp och flygplan, och arkitektoniska strukturer för att hitta den optimala formen på dessa konstgjorda föremål.

Fordonens hastighet beror till stor del på korrekt minimering av motståndet som de upplever när de rör sig genom vatten och luft, på överbelastningar som uppstår under påverkan av gravitationskrafter och många andra indikatorer. Ett fartyg till sjöss kräver sådana egenskaper som stabilitet under en storm för ett flodfartyg, ett minsta djupgående är viktigt. Vid beräkning av den optimala designen kan extrema punkter på grafen visuellt ge en uppfattning om den bästa lösningen på ett komplext problem. Sådana problem löses ofta inom ekonomi, inom affärsområden och i många andra livssituationer.

Från antikens historia

Till och med de gamla visena var upptagna med extrema problem. Grekiska forskare avslöjade framgångsrikt mysteriet med områden och volymer genom matematiska beräkningar. De var de första som förstod att på ett plan med olika figurer som har samma omkrets har cirkeln alltid den största arean. På liknande sätt är bollen utrustad med den maximala volymen bland andra föremål i rymden med samma yta. Sådana kända personligheter som Arkimedes, Euklid, Aristoteles, Apollonius ägnade sig åt att lösa sådana problem. Heron var utmärkt på att hitta extrema punkter och, med hjälp av beräkningar, byggde geniala enheter. Dessa inkluderade maskiner som rörde sig med ånga, pumpar och turbiner som arbetade på samma princip.

Byggandet av Kartago

Det finns en legend, vars handling är baserad på att lösa ett av de extrema problemen. Resultatet av den affärsstrategi som den feniciska prinsessan visade, som vände sig till vismännen för att få hjälp, var byggandet av Kartago. Tomten för denna antika och berömda stad gavs till Dido (det var namnet på härskaren) av ledaren för en av de afrikanska stammarna. Området för tilldelningen verkade inte särskilt stort för honom till en början, eftersom det enligt kontraktet var tänkt att vara täckt med oxhud. Men prinsessan beordrade sina soldater att skära den i tunna remsor och göra ett bälte av dem. Den visade sig vara så lång att den täckte ett område där en hel stad fick plats.

Ursprunget till matematisk analys

Låt oss nu gå från antiken till en nyare tid. Det är intressant att Kepler föranleddes att förstå grunderna för matematisk analys på 1600-talet av ett möte med en vinförsäljare. Köpmannen var så kunnig i sitt yrke att han enkelt kunde bestämma volymen av drycken i fatet genom att bara sänka ner ett järnrep i den. Genom att reflektera över en sådan nyfikenhet lyckades den berömda vetenskapsmannen lösa detta dilemma för sig själv. Det visar sig att dåtidens skickliga kukare fick kläm på att tillverka fartyg på ett sådant sätt att de vid en viss höjd och radie av fästringarnas omkrets hade maximal kapacitet.

Detta blev en anledning för Kepler att tänka vidare. Coopers kom fram till den optimala lösningen genom ett långt sökande, misstag och nya försök och förde vidare sin erfarenhet från generation till generation. Men Kepler ville påskynda processen och lära sig att göra samma sak på kort tid genom matematiska beräkningar. Alla hans utvecklingar, plockade upp av hans kollegor, förvandlades till de nu berömda Fermat- och Newton-Leibniz-satserna.

Problem med maximal yta

Låt oss föreställa oss att vi har en tråd vars längd är 50 cm. Hur kan vi göra en rektangel av den som har störst yta?

När du påbörjar ett beslut bör du utgå från enkla sanningar som är kända för alla. Det är klart att omkretsen av vår figur kommer att vara 50 cm. Den består av dubbla längder på båda sidor. Detta betyder att, efter att ha betecknat en av dem som "X", kan den andra uttryckas som (25 - X).

Härifrån får vi en area lika med X(25 - X). Detta uttryck kan ses som en funktion som tar flera värden. Att lösa problemet kräver att du hittar det maximala av dem, vilket innebär att du måste ta reda på ytterpunkterna.

För att göra detta hittar vi den första derivatan och likställer den med noll. Resultatet är en enkel ekvation: 25 - 2X = 0.

Av den lär vi oss att en av sidorna är X = 12,5.

Därför den andra: 25 - 12,5 = 12,5.

Det visar sig att lösningen på problemet blir en kvadrat med en sida på 12,5 cm.

Hur man hittar maximal hastighet

Låt oss titta på ett annat exempel. Låt oss föreställa oss att det finns en kropp vars linjära rörelse beskrivs av ekvationen S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, där tillryggalagd sträcka uttrycks i meter och tid i sekunder. Vi måste hitta maxhastigheten. Hur man gör det? Nedladdat hittar vi hastigheten, det vill säga den första derivatan.

Vi får ekvationen: V = - 3t 2 + 18t - 24. För att lösa problemet måste vi återigen hitta ytterpunkterna. Detta måste göras på samma sätt som i föregående uppgift. Vi hittar den första derivatan av hastigheten och likställer den med noll.

Vi får: - 6t + 18 = 0. Därav t = 3 s. Detta är den tidpunkt då kroppens hastighet får ett kritiskt värde. Vi ersätter den resulterande datan i hastighetsekvationen och får: V = 3 m/s.

Men hur kan vi förstå att detta är den maximala hastigheten, eftersom de kritiska punkterna för en funktion kan vara dess största eller minsta värden? För att kontrollera måste du hitta den andra derivatan av hastigheten. Det uttrycks med siffran 6 med ett minustecken. Detta betyder att den hittade punkten är ett maximum. Och i fallet med ett positivt värde skulle den andra derivatan ha ett minimum. Det betyder att den hittade lösningen visade sig vara korrekt.

De problem som ges som exempel är bara en del av de som kan lösas om man vet hur man hittar ytterpunkterna för en funktion. Det finns faktiskt många fler av dem. Och sådan kunskap öppnar för obegränsade möjligheter för mänsklig civilisation.