Geometrisk progressionär en talföljd där varje term (med början från den andra) erhålls från den föregående genom att multiplicera den med samma tal q ≠ 0. Talet q kallas nämnare geometrisk progression. För att ställa in en geometrisk progression måste du sätta dess första term a 1 och nämnaren q.
Geometrisk progression ökar när q > 1, minskar när 0< q < 1.
Exempel på geometriska förlopp:
1. 2, 4, 8, 16... . Här är den första termen 1 och nämnaren är 2.
81, 27, 9, 3, 1, 1/3... . Här är första termen 81 och nämnaren är 1/3.
Så den första termen i progressionen är lika med a 1, den andra - a 1 q, den tredje a 1 q*q = a 1 q 2, den fjärde a 1 q 2 *q = a 1 q 3 ... . Således, Den n:te termen av progressionen beräknas med formeln a n = a 1 q n-1.
Påstående: Summan av n termer av en geometrisk progression beräknas med formeln
Sn = ai +aiq+a1q2 +aiq3 +...+aiqn-1.
Multiplicera med, vi får:
Snq = a 1 q+a 1 q 2 + a 1 q 3 +...a 1 q n.
Låt oss nu subtrahera S n q från S n .
Exempel på problem om geometrisk progression.
1. Hitta summan av de första 10 termerna i den geometriska progressionen om det är känt att a 1 = 3, q = 4.
2. På en minut fördubblas biomassan. Vilken vikt kommer hon att ha om 5 minuter om hennes nuvarande vikt är 3 kg.
Vi har att göra med en geometrisk progression där a 1 = 3 och q = 2. För att lösa problemet måste vi hitta den sjätte termen i denna progression.
Låt oss överväga en viss serie.
7 28 112 448 1792...
Det är helt klart att värdet av något av dess element är exakt fyra gånger större än det föregående. Det betyder att den här serien är en progression.
En geometrisk progression är en oändlig sekvens av tal, vars huvuddrag är att nästa tal erhålls från det föregående genom att multiplicera med ett specifikt tal. Detta uttrycks med följande formel.
a z +1 =a z ·q, där z är numret på det valda elementet.
Följaktligen, z ∈ N.
Perioden då geometrisk progression studeras i skolan är 9:e klass. Exempel hjälper dig att förstå konceptet:
0.25 0.125 0.0625...
Baserat på denna formel kan nämnaren för progressionen hittas enligt följande:
Varken q eller b z kan vara noll. Dessutom bör vart och ett av elementen i progressionen inte vara lika med noll.
Följaktligen, för att ta reda på nästa tal i en serie, måste du multiplicera det sista med q.
För att ställa in denna progression måste du ange dess första element och nämnare. Efter detta är det möjligt att hitta någon av de efterföljande termerna och deras summa.
Olika sorter
Beroende på q och a 1 är denna progression uppdelad i flera typer:
- Om både a 1 och q är större än ett, så är en sådan sekvens en geometrisk progression som ökar med varje efterföljande element. Ett exempel på detta presenteras nedan.
Exempel: a 1 =3, q=2 - båda parametrarna är större än en.
Sedan kan talföljden skrivas så här:
3 6 12 24 48 ...
- Om |q| är mindre än ett, det vill säga multiplikation med det är ekvivalent med division, då är en progression med liknande förutsättningar en minskande geometrisk progression. Ett exempel på detta presenteras nedan.
Exempel: a 1 =6, q=1/3 - a 1 är större än ett, q är mindre.
Sedan kan nummerföljden skrivas så här:
6 2 2/3 ... - vilket element som helst är 3 gånger större än elementet efter det.
- Växlande tecken. Om q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Exempel: a 1 = -3, q = -2 - båda parametrarna är mindre än noll.
Sedan kan talföljden skrivas så här:
3, 6, -12, 24,...
Formler
Det finns många formler för bekväm användning av geometriska progressioner:
- Z-term formel. Låter dig beräkna ett element under ett specifikt nummer utan att beräkna tidigare tal.
Exempel:q = 3, a 1 = 4. Det krävs att man räknar det fjärde momentet i progressionen.
Lösning:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Summan av de första elementen vars antal är lika med z. Låter dig beräkna summan av alla element i en sekvens upp tilla zinkluderande.
Sedan (1-q) är i nämnaren, då (1 - q)≠ 0, därför är q inte lika med 1.
Notera: om q=1, så skulle förloppet vara en serie av oändligt upprepade tal.
Summan av geometrisk progression, exempel:a 1 = 2, q= -2. Beräkna S5.
Lösning:S 5 = 22 - beräkning med formeln.
- Belopp om |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Exempel:a 1 = 2 , q= 0,5. Hitta beloppet.
Lösning:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Några egenskaper:
- Karakteristisk egenskap. Om följande villkor fungerar för vilken som helstz, då är den givna nummerserien en geometrisk progression:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Dessutom hittas kvadraten av ett tal i en geometrisk progression genom att addera kvadraterna för två andra tal i en given serie, om de är lika långt från detta element.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Vart- avståndet mellan dessa siffror.
- Elementskiljer sig i qen gång.
- Logaritmerna för elementen i en progression bildar också en progression, men en aritmetisk, det vill säga var och en av dem är större än den föregående med ett visst antal.
Exempel på några klassiska problem
För att bättre förstå vad en geometrisk progression är kan exempel med lösningar för klass 9 hjälpa.
- Betingelser:a 1 = 3, a 3 = 48. Hittaq.
Lösning: varje efterföljande element är större än det föregående iq en gång.Det är nödvändigt att uttrycka vissa element i termer av andra med hjälp av en nämnare.
Därav,a 3 = q 2 · a 1
Vid byteq= 4
- Betingelser:a 2 = 6, a 3 = 12. Beräkna S 6.
Lösning:För att göra detta, hitta bara q, det första elementet och ersätt det i formeln.
a 3 = q· a 2 , därav,q= 2
a 2 = q · en 1 ,Det är därför a 1 = 3
S6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Hitta det fjärde elementet i progressionen.
Lösning: för att göra detta räcker det att uttrycka det fjärde elementet genom det första och genom nämnaren.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Applikationsexempel:
- En bankklient gjorde en insättning på 10 000 rubel, enligt vilka villkoren varje år kommer att läggas till 6% av det till huvudbeloppet för kunden. Hur mycket pengar kommer det att finnas på kontot efter 4 år?
Lösning: Det ursprungliga beloppet är 10 tusen rubel. Detta innebär att ett år efter investeringen kommer kontot att ha ett belopp motsvarande 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06
Följaktligen kommer beloppet på kontot efter ytterligare ett år att uttryckas enligt följande:
(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000
Det vill säga varje år ökar beloppet med 1,06 gånger. Detta innebär att för att hitta mängden medel på kontot efter 4 år räcker det med att hitta det fjärde elementet i progressionen, vilket ges av det första elementet lika med 10 tusen och nämnaren lika med 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Exempel på problem med att beräkna summor:
Geometrisk progression används i olika problem. Ett exempel för att hitta summan kan ges enligt följande:
a 1 = 4, q= 2, beräknaS 5.
Lösning: alla data som behövs för beräkningen är kända, du behöver bara ersätta dem i formeln.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Beräkna summan av de första sex elementen.
Lösning:
I geom. progression, varje nästa element är q gånger större än det föregående, det vill säga för att beräkna summan behöver du känna till elementeta 1 och nämnareq.
a 2 · q = a 3
q = 3
På samma sätt måste du hittaa 1 , att vetaa 2 Ochq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Geometrisk progression är en ny typ av talföljd som vi är på väg att bekanta oss med. För framgångsrik dejting skadar det inte att åtminstone veta och förstå. Då blir det inga problem med geometrisk progression.)
Vad är geometrisk progression? Begreppet geometrisk progression.
Vi börjar som vanligt turen med grunderna. Jag skriver en oavslutad talföljd:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Kan du se mönstret och berätta vilka siffror som kommer härnäst? Pepparn är klar, sedan följer siffrorna 100 000, 1 000 000 och så vidare. Även utan mycket mental ansträngning är allt klart, eller hur?)
OK. Ett annat exempel. Jag skriver denna sekvens:
1, 2, 4, 8, 16, …
Kan du säga vilka nummer som kommer härnäst, efter siffran 16, och namn åttonde sekvensmedlem? Om du kom på att det skulle vara siffran 128, så mycket bra. Så halva striden ligger i förståelse känsla Och nyckelord geometrisk progression har redan gjorts. Du kan växa ytterligare.)
Och nu går vi igen från sensationer till strikt matematik.
Nyckelpunkter för geometrisk progression.
Nyckelpunkt #1
Geometrisk progression är nummersekvens. Så är progression. Inget märkvärdigt. Endast denna sekvens är arrangerad annorlunda. Därför har den naturligtvis ett annat namn, ja...
Nyckelpunkt #2
Med den andra nyckelpunkten blir frågan knepigare. Låt oss gå tillbaka lite och komma ihåg nyckelegenskapen för aritmetisk progression. Här är det: varje medlem skiljer sig från den föregående med samma belopp.
Är det möjligt att formulera en liknande nyckelegenskap för en geometrisk progression? Fundera lite... Titta närmare på de exempel som ges. Gissade du det? Ja! I geometrisk progression (vilken som helst!) skiljer sig var och en av dess medlemmar från den föregående samma antal gånger. Alltid!
I det första exemplet är detta nummer tio. Vilken medlem av sekvensen du än tar är den större än den föregående tio gånger.
I det andra exemplet är det en tvåa: varje term är större än den föregående dubbelt.
Det är denna nyckelpunkt som geometrisk progression skiljer sig från aritmetisk progression. I en aritmetisk progression erhålls varje efterföljande term genom att lägga till samma värde som föregående termin. Och här - multiplikation föregående termin med samma belopp. Det är hela skillnaden.)
Nyckelpunkt #3
Denna nyckelpunkt är helt identisk med den för en aritmetisk progression. Nämligen: Varje term i en geometrisk progression står på sin plats. Allt är precis som i räkneförloppet och kommentarer tycker jag är onödiga. Det finns den första termen, det finns den hundra och första osv. Låt oss byta minst två termer - mönstret (och med det den geometriska progressionen) kommer att försvinna. Det som blir kvar är bara en sekvens av tal utan logik.
Det är allt. Det är hela poängen med geometrisk progression.
Villkor och beteckningar.
Men nu, efter att ha förstått innebörden och nyckelpunkterna för geometrisk progression, kan vi gå vidare till teorin. Annars, vad är en teori utan att förstå innebörden, eller hur?
Hur betecknar man geometrisk progression?
Hur skrivs geometrisk progression i allmän form? Inga problem! Varje termin av progressionen skrivs också som en bokstav. Endast för aritmetisk progression, vanligtvis används bokstaven "A", för geometrisk – bokstav "b". Medlemsnummer, som vanligt, anges index längst ner till höger. Vi listar helt enkelt medlemmarna i progressionen själva, separerade med kommatecken eller semikolon.
Så här:
b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …
Kortfattat, denna utveckling är skriven så här: (b n) .
Eller så här, för ändliga progressioner:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, …, b 29, b 30.
Eller kort och gott:
(b n), n=30 .
Det är faktiskt hela beteckningen. Allt är sig likt, bara bokstaven är annorlunda, ja.) Och nu går vi direkt till definitionen.
Definition av geometrisk progression.
En geometrisk progression är en talsekvens där den första termen är icke-noll, och varje efterföljande term är lika med föregående term multiplicerad med samma icke-nolltal.
Det är hela definitionen. De flesta ord och fraser är tydliga och bekanta för dig. Om du förstår innebörden av geometrisk progression "på fingrarna" och i allmänhet. Men det finns också några nya fraser som jag skulle vilja fästa särskild uppmärksamhet vid.
Först orden: "vars första medlem icke-noll".
Denna begränsning av den första mandatperioden infördes inte av en slump. Vad tror du händer om den första medlemmen b 1 blir lika med noll? Vad kommer den andra termen att vara lika med om varje term är större än den föregående? lika många gånger? Låt oss säga tre gånger? Låt oss se... Multiplicera den första termen (dvs. 0) med 3 och få... noll! Och hur är det med den tredje medlemmen? Också noll! Och den fjärde terminen är också noll! Och så vidare…
Vi får bara en påse bagels, en sekvens av nollor:
0, 0, 0, 0, …
Naturligtvis har en sådan sekvens rätt till liv, men den har inget praktiskt intresse. Allt är klart. Varje medlem av den är noll. Summan av ett valfritt antal termer är också noll... Vilka intressanta saker kan du göra med det? Ingenting…
Följande nyckelord: "multiplicerat med samma tal som inte är noll."
Samma nummer har också sitt eget speciella namn - nämnare för geometrisk progression. Låt oss börja bekanta oss.)
Nämnare för en geometrisk progression.
Allt är så enkelt som att skala päron.
Nämnaren för en geometrisk progression är ett icke-nolltal (eller kvantitet) som indikerar hur många gångervarje termin av progressionen mer än den föregående.
Återigen, i likhet med den aritmetiska progressionen, är nyckelordet att leta efter i denna definition ordet "Mer". Det betyder att varje term av den geometriska progressionen erhålls multiplikation till just denna nämnare tidigare medlem.
Låt mig förklara.
För att räkna ut, låt oss säga andra kuk, måste ta först medlem och multiplicera det till nämnaren. För beräkning tionde kuk, måste ta nionde medlem och multiplicera det till nämnaren.
Nämnaren för den geometriska progressionen i sig kan vara vad som helst. Absolut vem som helst! Hel, bråkdel, positiv, negativ, irrationell - allt. Förutom noll. Detta är vad ordet "icke-noll" i definitionen säger oss. Varför detta ord behövs här - mer om det senare.
Nämnare för geometrisk progression oftast anges med bokstaven q.
Hur man hittar det q? Inga problem! Vi måste ta vilken period som helst av utvecklingen och dividera med föregående termin. Division är fraktion. Därav namnet - "progressions nämnare". Nämnaren, den sitter oftast i en bråkdel, ja...) Fast, logiskt sett, värdet q bör kallas privat geometrisk progression, liknande skillnad för aritmetisk progression. Men vi kom överens om att ringa nämnare. Och vi kommer inte att uppfinna hjulet igen.)
Låt oss definiera till exempel kvantiteten q för denna geometriska progression:
2, 6, 18, 54, …
Allt är elementärt. Låt oss ta det några sekvensnummer. Vi tar vad vi vill. Förutom den allra första. Till exempel 18. Och dividera med tidigare nummer. Det vill säga vid 6.
Vi får:
q = 18/6 = 3
Det är allt. Detta är det korrekta svaret. För denna geometriska progression är nämnaren tre.
Låt oss nu hitta nämnaren q för ytterligare en geometrisk progression. Till exempel den här:
1, -2, 4, -8, 16, …
Alla likadana. Oavsett vilka förtecken medlemmarna själva har så tar vi ändå några numret på sekvensen (till exempel 16) och dividera med tidigare nummer(dvs -8).
Vi får:
d = 16/(-8) = -2
Och det var allt.) Den här gången visade sig nämnaren för progressionen vara negativ. Minus två. händer.)
Låt oss nu ta denna utveckling:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
Och igen, oavsett typen av tal i sekvensen (jämna heltal, jämna bråk, till och med negativa, till och med irrationella), tar vi vilket tal som helst (till exempel 1/9) och dividerar med föregående tal (1/3). Enligt reglerna för att arbeta med bråk såklart.
Vi får:
Det är allt.) Här visade sig nämnaren vara bråkdel: q = 1/3.
Vad tycker du om denna "progression"?
3, 3, 3, 3, 3, …
Uppenbarligen här q = 1 . Formellt är detta också en geometrisk progression, endast med identiska medlemmar.) Men sådana progressioner är inte intressanta för studier och praktisk tillämpning. Samma som förlopp med fasta nollor. Därför kommer vi inte att överväga dem.
Som du kan se kan nämnaren för progressionen vara vad som helst - heltal, bråktal, positivt, negativt - vad som helst! Det kan inte bara vara noll. Kan inte gissa varför?
Tja, låt oss använda ett specifikt exempel för att se vad som kommer att hända om vi tar som nämnare q noll.) Låt oss till exempel ha b 1 = 2 , A q = 0 . Vad blir då den andra termen lika med?
Vi räknar:
b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0
Hur är det med den tredje medlemmen?
b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0
Typer och beteende av geometriska progressioner.
Allt var mer eller mindre klart: om progressionsskillnaden där positivt, då ökar progressionen. Om skillnaden är negativ minskar utvecklingen. Det finns bara två alternativ. Det finns ingen tredje.)
Men med beteendet för geometrisk progression kommer allt att bli mycket mer intressant och varierat!)
Oavsett hur termerna beter sig här: de ökar, och minskar, och närmar sig noll i oändlighet, och ändrar till och med tecken, växelvis kastar sig in i "plus" och sedan in i "minus"! Och i all denna mångfald måste man kunna förstå väl, ja...
Låt oss ta reda på det?) Låt oss börja med det enklaste fallet.
Nämnaren är positiv ( q >0)
Med en positiv nämnare, för det första, kan termerna för den geometriska progressionen gå in plus oändlighet(d.v.s. öka utan gräns) och kan gå in minus oändlighet(dvs minska utan gräns). Vi är redan vana vid detta beteende av progressioner.
Till exempel:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Allt är enkelt här. Varje termin av progressionen erhålls mer än tidigare. Dessutom visar sig varje termin multiplikation tidigare medlem på positiv nummer +2 (dvs. q = 2 ). Beteendet för en sådan progression är uppenbart: alla medlemmar av progressionen växer utan gräns och går ut i rymden. Plus oändlighet...
Och nu här är utvecklingen:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Även här erhålls varje term av progressionen multiplikation tidigare medlem på positiv nummer +2. Men beteendet för en sådan progression är precis det motsatta: varje term av progressionen erhålls mindre än tidigare, och alla dess termer minskar utan gräns och går till minus oändlighet.
Låt oss nu tänka: vad har dessa två progressioner gemensamt? Just det, nämnaren! Här och där q = +2 . Positivt nummer. Två. Och här beteende Dessa två progressioner är fundamentalt olika! Kan inte gissa varför? Ja! Allt handlar om första medlem! Det är han, som de säger, som kallar melodin.) Se själv.
I det första fallet, den första terminen av progressionen positiv(+1) och därför alla efterföljande termer som erhålls genom att multiplicera med positiv nämnare q = +2 , kommer också att vara positiv.
Men i det andra fallet, första mandatperioden negativ(-1). Därför, alla efterföljande termer av progressionen, erhålls genom att multiplicera med positiv q = +2 , kommer också att erhållas negativ. Eftersom "minus" till "plus" alltid ger "minus", ja.)
Som du kan se, till skillnad från en aritmetisk progression, kan en geometrisk progression bete sig helt annorlunda inte bara beroende på från nämnarenq, men också beroende från den första medlemmen, Ja.)
Kom ihåg: beteendet hos en geometrisk progression bestäms unikt av dess första term b 1 och nämnareq .
Och nu börjar vi analysera mindre bekanta, men mycket mer intressanta fall!
Låt oss ta den här sekvensen till exempel:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Denna sekvens är också en geometrisk progression! Varje termin av denna progression visar sig också multiplikation föregående medlem, med samma nummer. Det är bara en siffra - fraktionerad: q = +1/2 . Eller +0,5 . Dessutom (viktigt!) numret mindre än en:q = 1/2<1.
Varför är denna geometriska utveckling intressant? Vart är dess medlemmar på väg? Låt oss ta en titt:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Vilka intressanta saker kan du lägga märke till här? För det första är minskningen när det gäller utvecklingen omedelbart märkbar: var och en av dess medlemmar mindre precis den föregående 2 gånger. Eller, enligt definitionen av en geometrisk progression, varje term Mer tidigare 1/2 gånger, därför att progressionsnämnare q = 1/2 . Och när det multipliceras med ett positivt tal mindre än ett, minskar vanligtvis resultatet, ja...
Vad Mer kan ses i beteendet hos denna progression? Minskar dess medlemmar? obegränsat, går till minus oändlighet? Nej! De försvinner på ett speciellt sätt. Till en början minskar de ganska snabbt, och sedan allt långsammare. Och samtidigt vara kvar hela tiden positiv. Om än väldigt, väldigt liten. Och vad strävar de själva efter? Gissade du inte? Ja! De strävar mot noll!) Var dessutom uppmärksam, medlemmarna i vår progression är från noll aldrig nå! Endast närmar sig honom oändligt nära. Det är väldigt viktigt.)
En liknande situation kommer att inträffa i följande förlopp:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Här b 1 = -1 , A q = 1/2 . Allt är sig likt, bara nu kommer termerna att närma sig noll från andra sidan, underifrån. Blir kvar hela tiden negativ.)
En sådan geometrisk progression, vars villkor närma sig noll utan gräns(oavsett från den positiva eller negativa sidan), har i matematik ett speciellt namn - oändligt minskande geometrisk progression. Denna utveckling är så intressant och ovanlig att den till och med kommer att diskuteras separat lektion .)
Så vi har övervägt allt möjligt positiv nämnarna är både stora och mindre. Vi betraktar inte själva enheten som en nämnare av de skäl som anges ovan (kom ihåg exemplet med en sekvens av trillingar...)
Låt oss sammanfatta:
positivOch mer än en (q>1), sedan villkoren för progressionen:
a) öka utan gräns (omb 1 >0);
b) minska utan gräns (omb 1 <0).
Om nämnaren för den geometriska progressionen positiv Och mindre än en (0< q<1), то члены прогрессии:
a) oändligt nära noll ovan(Omb 1 >0);
b) närmar sig oändligt nära noll underifrån(Omb 1 <0).
Nu återstår att överväga ärendet negativ nämnare.
Nämnaren är negativ ( q <0)
Vi kommer inte att gå långt för ett exempel. Varför, exakt, lurvig mormor?!) Låt till exempel den första terminen av progressionen vara b 1 = 1 , och låt oss ta nämnaren q = -2.
Vi får följande sekvens:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
Och så vidare.) Varje term av progressionen erhålls multiplikation tidigare medlem på ett negativt tal-2. I det här fallet kommer alla medlemmar som står på udda platser (första, tredje, femte, etc.) att vara positiv, och på jämna platser (andra, fjärde, etc.) – negativ. Tecken växlar strikt. Plus-minus-plus-minus... Denna geometriska progression kallas - ökande tecken omväxlande.
Vart är dess medlemmar på väg? Men ingenstans.) Ja, i absolut värde (dvs. modulo) medlemmarna i vår progression ökar utan gräns (därav namnet "ökande"). Men samtidigt kastar varje medlem av progressionen dig växelvis in i värmen, sedan i kylan. Antingen "plus" eller "minus". Vår progression vacklar... Dessutom växer omfattningen av fluktuationer snabbt för varje steg, ja.) Därför är ambitionerna hos medlemmarna i progressionen på väg någonstans specifikt Här Nej. Varken till plus oändlighet, eller till minus oändlighet, eller till noll - ingenstans.
Låt oss nu betrakta någon bråkdelsnämnare mellan noll och minus ett.
Låt det till exempel vara b 1 = 1 , A q = -1/2.
Då får vi progressionen:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
Och återigen har vi en växling av tecken! Men, till skillnad från det tidigare exemplet, finns här redan en tydlig tendens att termerna närmar sig noll.) Bara den här gången närmar sig våra termer noll, inte strikt uppifrån eller under, utan igen tvekande. Omväxlande ta positiva och negativa värderingar. Men samtidigt de moduler kommer närmare och närmare den omhuldade nollan.)
Denna geometriska progression kallas oändligt avtagande tecken, alternerande.
Varför är dessa två exempel intressanta? Och det faktum att i båda fallen äger rum växling av tecken! Detta trick är typiskt endast för progressioner med en negativ nämnare, ja.) Därför, om du i någon uppgift ser en geometrisk progression med alternerande termer, kommer du redan att veta säkert att dess nämnare är 100 % negativ och du kommer inte att göra ett misstag i skylten.)
Förresten, i fallet med en negativ nämnare, påverkar tecknet för den första termen inte alls själva progressionens beteende. Oavsett tecknet på den första termen av progressionen kommer i alla fall termernas tecken att observeras. Frågan är bara, på vilka ställen(jämnt eller udda) kommer det att finnas medlemmar med specifika tecken.
Kom ihåg:
Om nämnaren för den geometriska progressionen negativ , då är tecknen på villkoren för progressionen alltid alternativ.
Samtidigt, medlemmarna själva:
a) öka utan gränsmodulo, Omq<-1;
b) närma dig noll oändligt om -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Det är allt. Alla typiska fall har analyserats.)
I processen med att analysera en mängd olika exempel på geometriska progressioner använde jag regelbundet orden: "tenderar till noll", "tenderar till plus oändligheten", "tenderar till minus oändlighet"... Det är okej.) Dessa uttryckssätt (och specifika exempel) är bara en första introduktion till beteende en mängd olika nummersekvenser. Med hjälp av exemplet med geometrisk progression.
Varför behöver vi ens känna till beteendet för progression? Vad spelar det för roll vart hon går? Mot noll, till plus oändlighet, till minus oändlighet... Vad gör det med oss?
Saken är den att du redan på universitetet, i en kurs i högre matematik, kommer att behöva förmågan att arbeta med en mängd olika numeriska sekvenser (med vilka som helst, inte bara progressioner!) och förmågan att föreställa dig exakt hur den eller den sekvensen beter sig - om det ökar oavsett om det minskar obegränsat, om det tenderar till ett specifikt tal (och inte nödvändigtvis till noll), eller ens inte tenderar till någonting alls... Ett helt avsnitt ägnas åt detta ämne under matematikens gång analys - teori om gränser. Och lite mer specifikt – konceptet gränsen för nummersekvensen. Ett mycket intressant ämne! Det är vettigt att gå på college och ta reda på det.)
Några exempel från detta avsnitt (sekvenser som har en gräns) och i synnerhet, oändligt minskande geometrisk progression De börjar vänja sig vid det i skolan. Vi börjar vänja oss vid det.)
Dessutom kommer förmågan att studera sekvensernas beteende väl att gynna dig i framtiden och kommer att vara mycket användbar i funktionsforskning. Den mest mångsidiga. Men förmågan att kompetent arbeta med funktioner (beräkna derivator, studera dem i sin helhet, bygga deras grafer) ökar redan din matematiska nivå dramatiskt! Har du några tvivel? Behövs inte. Kom också ihåg mina ord.)
Låt oss titta på den geometriska utvecklingen i livet?
I livet omkring oss möter vi geometrisk progression väldigt, väldigt ofta. Även utan att ens veta om det.)
Till exempel förökar sig olika mikroorganismer som omger oss överallt i enorma mängder och som vi inte ens kan se utan mikroskop exakt i geometrisk progression.
Låt oss säga att en bakterie reproducerar sig genom att dela sig på mitten, vilket ger avkomma i 2 bakterier. I sin tur delar var och en av dem, när de multipliceras, också på mitten, vilket ger en gemensam avkomma på 4 bakterier. Nästa generation kommer att producera 8 bakterier, sedan 16 bakterier, 32, 64 och så vidare. För varje efterföljande generation fördubblas antalet bakterier. Ett typiskt exempel på en geometrisk progression.)
Vissa insekter – bladlöss och flugor – förökar sig också exponentiellt. Och ibland kaniner också, förresten.)
Ett annat exempel på en geometrisk progression, närmare vardagen, är den sk ränta på ränta. Detta intressanta fenomen finns ofta i bankinlåning och kallas kapitalisering av räntor. Vad det är?
Du själv är naturligtvis fortfarande ung. Du går i skolan, går inte till bankerna. Men dina föräldrar är redan vuxna och självständiga människor. De går till jobbet, tjänar pengar till sitt dagliga bröd och lägger en del av pengarna på banken och gör besparingar.)
Låt oss säga att din pappa vill spara ihop en viss summa pengar för en familjesemester i Turkiet och lägger 50 000 rubel på banken till 10 % per år under en period av tre år med årlig räntekapitalisering. Dessutom kan ingenting göras med insättningen under hela denna period. Du kan varken fylla på insättningen eller ta ut pengar från kontot. Hur stor vinst kommer han att göra efter dessa tre år?
Tja, först och främst måste vi ta reda på vad 10 % per år är. Det betyder att om ett år Banken lägger till 10 % till det ursprungliga insättningsbeloppet. Från vad? Naturligtvis från första insättningsbeloppet.
Vi beräknar storleken på kontot efter ett år. Om det ursprungliga insättningsbeloppet var 50 000 rubel (dvs. 100%), efter ett år kommer det att finnas hur mycket ränta på kontot? Det stämmer, 110%! Från 50 000 rubel.
Så vi beräknar 110% av 50 000 rubel:
50000·1,1 = 55000 rubel.
Jag hoppas att du förstår att att hitta 110% av ett värde innebär att multiplicera det värdet med talet 1,1? Om du inte förstår varför det är så, kom ihåg femte och sjätte klass. Nämligen – samband mellan procenttal och bråk och delar.)
Således kommer ökningen för det första året att vara 5 000 rubel.
Hur mycket pengar kommer att finnas på kontot om två år? 60 000 rubel? Tyvärr (eller snarare, lyckligtvis) är allt inte så enkelt. Hela tricket med räntekapitalisering är att med varje ny ränteackumulering kommer samma intressen att beaktas redan från det nya beloppet! Från den som redan finns på kontot Just nu. Och den upplupna räntan för föregående period läggs till det ursprungliga insättningsbeloppet och deltar därmed själv i beräkningen av ny ränta! Det vill säga att de blir en fullständig del av det totala kontot. Eller allmänt huvudstad. Därav namnet - kapitalisering av räntor.
Det är inom ekonomi. Och i matematik kallas sådana procentsatser ränta på ränta. Eller ränta.) Deras knep är att när man beräknar sekventiellt så beräknas procentsatserna varje gång från det nya värdet. Och inte från originalet...
Därför att beräkna beloppet genom två år, måste vi beräkna 110 % av beloppet som kommer att finnas på kontot om ett år. Det vill säga redan från 55 000 rubel.
Vi räknar 110% av 55 000 rubel:
55000·1,1 = 60500 rubel.
Detta innebär att den procentuella ökningen för det andra året kommer att vara 5 500 rubel och i två år - 10 500 rubel.
Nu kan du redan gissa att efter tre år kommer beloppet på kontot att vara 110% av 60 500 rubel. Det är återigen 110% från den föregående (förra året) belopp.
Här tänker vi:
60500·1,1 = 66550 rubel.
Nu ordnar vi våra penningbelopp efter år i följd:
50000;
55000 = 50000·1,1;
60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1
Så hur är det? Varför inte en geometrisk progression? Första medlem b 1 = 50000 , och nämnaren q = 1,1 . Varje term är strikt 1,1 gånger större än den föregående. Allt är i strikt överensstämmelse med definitionen.)
Och hur många ytterligare räntebonusar kommer din pappa att "ackumulera" medan hans 50 000 rubel har legat på hans bankkonto i tre år?
Vi räknar:
66550 – 50000 = 16550 rubel
Inte mycket, förstås. Men detta är om det initiala insättningsbeloppet är litet. Tänk om det finns mer? Låt oss säga, inte 50, utan 200 tusen rubel? Då blir ökningen över tre år 66 200 rubel (om du räknar). Vilket redan är väldigt bra.) Tänk om bidraget är ännu större? Det är allt...
Slutsats: Ju högre initial insättning, desto mer lönsam blir räntekapitaliseringen. Det är därför inlåning med räntekapitalisering tillhandahålls av banker under långa perioder. Låt oss säga i fem år.
Dessutom sprider sig alla möjliga dåliga sjukdomar som influensa, mässling och ännu mer fruktansvärda sjukdomar (samma SARS i början av 2000-talet eller pesten på medeltiden) exponentiellt. Därav omfattningen av epidemier, ja...) Och allt på grund av att den geometriska utvecklingen med hela positiv nämnare (q>1) – en sak som växer väldigt snabbt! Kom ihåg reproduktionen av bakterier: från en bakterie erhålls två, från två - fyra, från fyra - åtta, och så vidare... Det är samma sak med spridningen av alla infektioner.)
De enklaste problemen med geometrisk progression.
Låt oss börja, som alltid, med ett enkelt problem. Rent för att förstå meningen.
1. Det är känt att den andra termen i den geometriska progressionen är lika med 6, och nämnaren är lika med -0,5. Hitta dess första, tredje och fjärde term.
Så vi är givna ändlös geometrisk progression, men känd andra terminen denna utveckling:
b 2 = 6
Dessutom vet vi också progressionsnämnare:
q = -0,5
Och du måste hitta första, tredje Och fjärde medlemmar i denna utveckling.
Så vi agerar. Vi skriver ner sekvensen enligt villkoren för problemet. Direkt i allmän form, där den andra termen är sex:
b 1, 6,b 3 , b 4 , …
Låt oss nu börja leta. Vi börjar som alltid med det enklaste. Du kan till exempel räkna ut den tredje termen b 3? Burk! Du och jag vet redan (direkt i betydelsen geometrisk progression) att den tredje termen (b 3) mer än tvåan (b 2 ) V "q" en gång!
Så vi skriver:
b 3 =b 2 · q
Vi ersätter sex i detta uttryck istället för b 2 och -0,5 istället q och vi räknar. Och vi ignorerar inte minus heller, förstås...
b3 = 6·(-0,5) = -3
Så här. Den tredje mandatperioden visade sig vara negativ. Inte konstigt: vår nämnare q– negativ. Och att multiplicera ett plus med ett minus blir naturligtvis ett minus.)
Nu räknar vi nästa, fjärde termin av progressionen:
b 4 =b 3 · q
b4 = -3·(-0,5) = 1,5
Fjärde terminen är återigen med plus. Den femte terminen blir återigen minus, den sjätte blir plus, och så vidare. Tecknen växlar!
Så den tredje och fjärde termen hittades. Resultatet är följande sekvens:
b1; 6; -3; 1,5; ...
Nu återstår bara att hitta den första termen b 1 enligt den välkända tvåan. För att göra detta kliver vi åt andra hållet, till vänster. Det betyder att vi i det här fallet inte behöver multiplicera den andra termen av progressionen med nämnaren, utan dela upp.
Vi delar upp och får:
Det är allt.) Svaret på problemet blir så här:
-12; 6; -3; 1,5; …
Som du kan se är lösningsprincipen densamma som i . Vi vet några medlem och nämnare geometrisk progression - vi kan hitta vilken annan medlem som helst av den. Vi hittar den vi vill ha.) Den enda skillnaden är att addition/subtraktion ersätts med multiplikation/division.
Kom ihåg: om vi känner till minst en medlem och nämnare för en geometrisk progression, så kan vi alltid hitta vilken annan medlem som helst av denna progression.
Följande problem kommer enligt traditionen från en riktig version av OGE:
2.
...; 150; X; 6; 1,2; ...
Så hur är det? Den här gången finns det ingen första term, ingen nämnare q, bara en sekvens av nummer ges... Något som redan är bekant, eller hur? Ja! Ett liknande problem har redan lösts i aritmetisk progression!
Så vi är inte rädda. Alla likadana. Låt oss vända på huvudet och komma ihåg den grundläggande betydelsen av geometrisk progression. Vi tittar noggrant på vår sekvens och tar reda på vilka parametrar för den geometriska progressionen för de tre huvudsakliga (första termen, nämnaren, termnummer) som är gömda i den.
Medlemsnummer? Det finns inga medlemsnummer, ja... Men det finns fyra i följd tal. Jag ser ingen mening med att förklara vad detta ord betyder i detta skede.) Finns det två närliggande kända nummer?Äta! Dessa är 6 och 1.2. Så vi kan hitta progressionsnämnare. Så vi tar talet 1,2 och dividerar till föregående nummer. Till sex.
Vi får:
Vi får:
x= 150·0,2 = 30
Svar: x = 30 .
Som du kan se är allt ganska enkelt. Den största svårigheten ligger bara i beräkningarna. Det är särskilt svårt när det gäller negativa och bråkdelar. Så de som har problem, upprepa aritmetiken! Hur man arbetar med bråk, hur man arbetar med negativa tal, och så vidare... Annars saktar du skoningslöst ner här.
Låt oss nu ändra problemet lite. Nu ska det bli intressant! Låt oss ta bort den sista siffran 1.2 från den. Låt oss nu lösa det här problemet:
3. Flera på varandra följande termer av den geometriska progressionen skrivs ut:
...; 150; X; 6; ...
Hitta termen för progressionen som anges med bokstaven x.
Allt är sig likt, bara två intilliggande känd Vi har inte längre medlemmar i progressionen. Detta är huvudproblemet. Eftersom storleken q genom två angränsande termer kan vi enkelt avgöra vi kan inte. Har vi en chans att klara uppgiften? Säkert!
Låt oss skriva ner den okända termen " x"direkt inom betydelsen av geometrisk progression! I allmänna termer.
Jaja! Rätt med en okänd nämnare!
Å ena sidan, för X kan vi skriva följande förhållande:
x= 150·q
Å andra sidan har vi all rätt att beskriva samma X genom Nästa medlem, genom sex! Dividera sex med nämnaren.
Så här:
x = 6/ q
Uppenbarligen kan vi nu likställa båda dessa förhållanden. Eftersom vi uttrycker det samma magnitud (x), men två olika sätt.
Vi får ekvationen:
Multiplicera allt med q, förenkla och förkorta, får vi ekvationen:
q2 = 1/25
Vi löser och får:
q = ±1/5 = ±0,2
hoppsan! Nämnaren visade sig vara dubbel! +0,2 och -0,2. Och vilken ska du välja? Återvändsgränd?
Lugna! Ja, det har verkligen problemet två lösningar! Inget fel med det. Det händer.) Du blir inte förvånad när du till exempel får två rötter när du löser det vanliga problemet? Det är samma historia här.)
För q = +0,2 vi kommer få:
X = 150 0,2 = 30
Och för q = -0,2 kommer:
X = 150·(-0,2) = -30
Vi får ett dubbelt svar: x = 30; x = -30.
Vad betyder detta intressanta faktum? Och vad som finns två förlopp, som uppfyller villkoren för problemet!
Som dessa:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Båda är lämpliga.) Varför tror du att vi hade en splittring i svaren? Bara på grund av elimineringen av en specifik medlem av progressionen (1,2), som kommer efter sex. Och genom att bara känna till föregående (n-1) och efterföljande (n+1) termer av den geometriska progressionen, kan vi inte längre säga något entydigt om den n:te termen som står mellan dem. Det finns två alternativ – med plus och minus.
Men inga problem. Som regel finns det i geometriska progressionsuppgifter ytterligare information som ger ett entydigt svar. Låt oss säga orden: "växelvis progression" eller "framsteg med en positiv nämnare" och så vidare... Det är dessa ord som ska fungera som en ledtråd om vilket tecken, plus eller minus, som ska väljas när man förbereder det slutliga svaret. Om det inte finns någon sådan information, ja, uppgiften kommer att ha två lösningar.)
Nu bestämmer vi själva.
4. Bestäm om talet 20 är en medlem av en geometrisk progression:
4 ; 6; 9; …
5. Givet tecknet på en alternerande geometrisk progression:
…; 5; x ; 45; …
Hitta termen för progressionen som anges med bokstaven x .
6. Hitta den fjärde positiva termen i den geometriska progressionen:
625; -250; 100; …
7. Den andra termen i den geometriska progressionen är lika med -360, och dess femte term är lika med 23,04. Hitta den första termen i denna progression.
Svar (i oordning): -15; 900; Nej; 2,56.
Grattis om allt löste sig!
Något som inte passar? Någonstans fanns det ett dubbelt svar? Läs villkoren för uppdraget noggrant!
Det sista problemet löser sig inte? Det är inget komplicerat där.) Vi arbetar direkt efter betydelsen av geometrisk progression. Tja, du kan rita en bild. Det hjälper.)
Som du kan se är allt elementärt. Om progressionen är kort. Tänk om den är lång? Eller är antalet medlemmar mycket stort? Jag skulle vilja, i analogi med den aritmetiska progressionen, på något sätt få en bekväm formel som gör det lätt att hitta några term för någon geometrisk progression efter hans nummer. Utan att multiplicera många, många gånger med q. Och det finns en sådan formel!) Detaljer finns i nästa lektion.
En geometrisk progression är en numerisk sekvens, vars första term är icke-noll, och varje efterföljande term är lika med föregående term multiplicerat med samma icke-nolltal.
Geometrisk progression betecknas b1,b2,b3, …, bn, … .
Förhållandet mellan en term av det geometriska felet och dess föregående term är lika med samma tal, det vill säga b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Detta följer direkt av definitionen av en aritmetisk progression. Detta tal kallas nämnaren för en geometrisk progression. Vanligtvis betecknas nämnaren för en geometrisk progression med bokstaven q.
Monotont och konstant sekvens
Ett av sätten att specificera en geometrisk progression är att specificera dess första term b1 och nämnaren för det geometriska felet q. Till exempel, b1=4, q=-2. Dessa två villkor definierar den geometriska progressionen 4, -8, 16, -32, ….
Om q>0 (q är inte lika med 1), så är utvecklingen monoton sekvens. Till exempel är sekvensen 2, 4,8,16,32, ... en monotont ökande sekvens (b1=2, q=2).
Om nämnaren i det geometriska felet är q=1, kommer alla termer i den geometriska progressionen att vara lika med varandra. I sådana fall säger de att progression är konstant sekvens.
Formel för den n:e termen av en geometrisk progression
För att en talsekvens (bn) ska vara en geometrisk progression, är det nödvändigt att var och en av dess medlemmar, med början från den andra, är det geometriska medelvärdet av angränsande medlemmar. Det vill säga, det är nödvändigt att uppfylla följande ekvation
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), för alla n>0, där n hör till mängden naturliga tal N.
Formeln för den n:e termen av den geometriska progressionen är:
bn=b1*q^(n-1),
där n tillhör mängden naturliga tal N.
Formel för summan av de första n termerna i en geometrisk progression
Formeln för summan av de första n termerna i en geometrisk progression har formen:
Sn = (bn*q - b1)/(q-1), där q inte är lika med 1.
Låt oss titta på ett enkelt exempel:
I geometrisk progression hittar b1=6, q=3, n=8 Sn.
För att hitta S8 använder vi formeln för summan av de första n termerna i en geometrisk progression.
S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19 680.
Så låt oss sätta oss ner och börja skriva några siffror. Till exempel:
Du kan skriva vilka siffror som helst, och det kan finnas hur många som helst (i vårt fall finns det dem). Oavsett hur många siffror vi skriver kan vi alltid se vilket som är först, vilket som är tvåa, och så vidare tills det sista, det vill säga vi kan numrera dem. Detta är ett exempel på en nummersekvens:
Nummerföljdär en uppsättning nummer som vart och ett kan tilldelas ett unikt nummer.
Till exempel för vår sekvens:
Det tilldelade numret är specifikt för endast ett nummer i sekvensen. Det finns med andra ord inga tresekundersnummer i sekvensen. Den andra siffran (som det th siffran) är alltid densamma.
Numret med numret kallas den n:te medlemmen av sekvensen.
Vi brukar kalla hela sekvensen med någon bokstav (till exempel), och varje medlem i denna sekvens är samma bokstav med ett index som är lika med numret på denna medlem: .
I vårat fall:
De vanligaste typerna av progression är aritmetiska och geometriska. I det här ämnet kommer vi att prata om den andra typen - geometrisk progression.
Varför behövs geometrisk progression och dess historia?
Även i antiken tog den italienske matematikermunken Leonardo av Pisa (mer känd som Fibonacci) hand om handelns praktiska behov. Munken ställdes inför uppgiften att bestämma vad som är det minsta antalet vikter som kan användas för att väga en produkt? I sina verk bevisar Fibonacci att ett sådant viktsystem är optimalt: Detta är en av de första situationerna där människor var tvungna att hantera en geometrisk progression, som du förmodligen redan har hört talas om och åtminstone har en allmän förståelse för. När du väl förstår ämnet, fundera på varför ett sådant system är optimalt?
För närvarande, i livets praktik, manifesterar geometrisk progression sig när man investerar pengar i en bank, när räntebeloppet samlas på det belopp som ackumulerats på kontot för föregående period. Med andra ord, om du lägger pengar på en tidsinsättning i en sparbank, så kommer efter ett år insättningen att öka med det ursprungliga beloppet, d.v.s. det nya beloppet blir lika med bidraget multiplicerat med. Om ytterligare ett år kommer detta belopp att öka med, d.v.s. det belopp som erhållits vid den tidpunkten kommer återigen att multipliceras med och så vidare. En liknande situation beskrivs i problem med att beräkna den sk ränta på ränta– procentsatsen tas varje gång från det belopp som finns på kontot med hänsyn tagen till tidigare ränta. Vi kommer att prata om dessa uppgifter lite senare.
Det finns många fler enkla fall där geometrisk progression tillämpas. Till exempel spridningen av influensa: en person infekterade en annan person, de i sin tur infekterade en annan person, och därmed är den andra infektionsvågen en person, och de i sin tur infekterade en annan... och så vidare. .
Förresten, en finansiell pyramid, samma MMM, är en enkel och torr beräkning baserad på egenskaperna hos en geometrisk progression. Intressant? Låt oss ta reda på det.
Geometrisk progression.
Låt oss säga att vi har en nummersekvens:
Du kommer omedelbart att svara att detta är enkelt och namnet på en sådan sekvens är med skillnaden mellan dess medlemmar. Vad sägs om det här:
Om du subtraherar det föregående talet från det efterföljande talet kommer du att se att varje gång du får en ny skillnad (och så vidare), men sekvensen finns definitivt och är lätt att märka - varje efterföljande nummer är gånger större än det föregående!
Denna typ av nummersekvens kallas geometrisk progression och är utsedd.
Geometrisk progression () är en numerisk sekvens, vars första term skiljer sig från noll, och varje term, med början från den andra, är lika med den föregående, multiplicerad med samma tal. Detta tal kallas nämnaren för en geometrisk progression.
Begränsningarna att den första termen ( ) inte är lika och inte är slumpmässiga. Låt oss anta att det inte finns några, och den första termen fortfarande är lika, och q är lika med, hmm.. låt det vara, så visar det sig:
Håller med om att detta inte längre är en progression.
Som du förstår kommer vi att få samma resultat om det finns något annat tal än noll, a. I dessa fall kommer det helt enkelt inte att ske någon progression, eftersom hela nummerserien kommer att vara antingen alla nollor eller ett nummer, och resten är nollor.
Låt oss nu prata mer i detalj om nämnaren för den geometriska progressionen, det vill säga o.
Låt oss upprepa: - det här är numret hur många gånger ändras varje efterföljande term? geometrisk progression.
Vad tror du att det kan vara? Det stämmer, positivt och negativt, men inte noll (vi pratade om detta lite högre).
Låt oss anta att vår är positiv. Låt i vårt fall, a. Vad är värdet av den andra termen och? Du kan enkelt svara på det:
Det är rätt. Följaktligen, om, då alla efterföljande termer av progressionen har samma tecken - de är positiva.
Tänk om det är negativt? Till exempel, en. Vad är värdet av den andra termen och?
Det här är en helt annan historia
Försök att räkna villkoren för denna utveckling. Hur mycket fick du? Jag har. Således, om, så växlar tecknen på termerna för den geometriska progressionen. Det vill säga, om du ser en progression med alternerande tecken för dess medlemmar, så är dess nämnare negativ. Denna kunskap kan hjälpa dig att testa dig själv när du löser problem i detta ämne.
Låt oss nu öva lite: försök att avgöra vilka talsekvenser som är en geometrisk progression och vilka som är en aritmetisk progression:
Jag fattar? Låt oss jämföra våra svar:
- Geometrisk progression – 3, 6.
- Aritmetisk progression – 2, 4.
- Det är varken en aritmetisk eller en geometrisk progression - 1, 5, 7.
Låt oss återgå till vår senaste utveckling och försöka hitta dess term, precis som i den aritmetiska. Som du kanske har gissat finns det två sätt att hitta den.
Vi multiplicerar successivt varje term med.
Så den e termen i den beskrivna geometriska progressionen är lika med.
Som du redan gissat kommer du nu själv att härleda en formel som hjälper dig att hitta vilken medlem som helst i den geometriska progressionen. Eller har du redan utvecklat det för dig själv och beskriver hur man hittar den e medlemen steg för steg? Om så är fallet, kontrollera att ditt resonemang är korrekt.
Låt oss illustrera detta med exemplet för att hitta den tredje termen i denna progression:
Med andra ord:
Hitta värdet av termen för den givna geometriska progressionen själv.
Hände? Låt oss jämföra våra svar:
Observera att du fick exakt samma tal som i den föregående metoden, när vi multiplicerade med varje föregående term i den geometriska progressionen.
Låt oss försöka "avpersonifiera" denna formel - låt oss sätta den i allmän form och få:
Den härledda formeln är sann för alla värden - både positiva och negativa. Kontrollera detta själv genom att beräkna villkoren för den geometriska progressionen med följande villkor: , a.
Har du räknat? Låt oss jämföra resultaten:
Håller med om att det skulle gå att hitta en term av en progression på samma sätt som en term, dock finns det en möjlighet att räkna fel. Och om vi redan har hittat den : e termen för den geometriska progressionen, vad kan då vara enklare än att använda den "stympade" delen av formeln.
Oändligt minskande geometrisk progression.
På senare tid talade vi om det faktum att det kan vara antingen större eller mindre än noll, men det finns speciella värden för vilka den geometriska progressionen kallas minskar oändligt.
Varför tror du att detta namn ges?
Låt oss först skriva ner en geometrisk progression som består av termer.
Låt oss säga då:
Vi ser att varje efterföljande term är mindre än den föregående med en faktor, men kommer det att finnas något tal? Du kommer genast att svara "nej". Det är därför den minskar oändligt - den minskar och minskar, men blir aldrig noll.
För att tydligt förstå hur detta ser ut visuellt, låt oss försöka rita en graf över vår utveckling. Så för vårt fall har formeln följande form:
På grafer är vi vana vid att plotta beroende av, därför:
Kärnan i uttrycket har inte förändrats: i den första posten visade vi beroendet av värdet av en medlem av en geometrisk progression på dess ordningsnummer, och i den andra posten tog vi helt enkelt värdet av en medlem av en geometrisk progression som , och betecknade ordningsnumret inte som, utan som. Allt som återstår att göra är att bygga en graf.
Låt oss se vad du har. Här är grafen jag kom fram till:
Ser du? Funktionen minskar, tenderar till noll, men korsar den aldrig, så den minskar oändligt. Låt oss markera våra punkter på grafen, och samtidigt vad koordinaten och betyder:
Försök att schematiskt avbilda en graf över en geometrisk progression om dess första term också är lika. Analysera vad som är skillnaden mot vår tidigare graf?
Klarade du dig? Här är grafen jag kom fram till:
Nu när du till fullo har förstått grunderna i ämnet geometrisk progression: du vet vad det är, du vet hur du hittar dess term, och du vet också vad en oändligt minskande geometrisk progression är, låt oss gå vidare till dess huvudsakliga egenskap.
Egenskapen för geometrisk progression.
Kommer du ihåg egenskapen hos termerna för en aritmetisk progression? Ja, ja, hur man hittar värdet av ett visst antal av en progression när det finns tidigare och efterföljande värden av villkoren för denna progression. Kommer du ihåg? Detta:
Nu står vi inför exakt samma fråga för termerna för en geometrisk progression. För att härleda en sådan formel, låt oss börja rita och resonera. Du ska se, det är väldigt enkelt, och om du glömmer det kan du få ut det själv.
Låt oss ta en annan enkel geometrisk progression, där vi vet och. Hur man hittar? Med aritmetisk progression är det enkelt och enkelt, men hur är det här? Faktum är att det inte är något komplicerat i geometriska heller - du behöver bara skriva ner varje värde som ges till oss enligt formeln.
Du kanske frågar, vad ska vi göra åt det nu? Ja, väldigt enkelt. Låt oss först avbilda dessa formler i en bild och försöka göra olika manipulationer med dem för att komma fram till värdet.
Låt oss abstrahera från siffrorna som ges till oss, låt oss bara fokusera på deras uttryck genom formeln. Vi måste hitta värdet markerat i orange, med kunskap om termerna intill det. Låt oss försöka utföra olika åtgärder med dem, som ett resultat av vilka vi kan få.
Tillägg.
Låt oss försöka lägga till två uttryck och vi får:
Från detta uttryck, som du kan se, kan vi inte uttrycka det på något sätt, därför kommer vi att försöka ett annat alternativ - subtraktion.
Subtraktion.
Som du kan se kan vi inte uttrycka detta heller, därför, låt oss försöka multiplicera dessa uttryck med varandra.
Multiplikation.
Titta nu noga på vad vi har genom att multiplicera termerna för den geometriska progressionen som ges till oss i jämförelse med vad som behöver hittas:
Gissa vad jag pratar om? Korrekt, för att hitta måste vi ta kvadratroten av de geometriska progressionstalen som gränsar till det önskade multiplicerat med varandra:
Här har du. Du härledde själv egenskapen till geometrisk progression. Försök att skriva denna formel i allmän form. Hände?
Glömt tillståndet? Fundera på varför det är viktigt, försök till exempel räkna ut det själv. Vad kommer att hända i det här fallet? Det stämmer, fullständigt nonsens eftersom formeln ser ut så här:
Glöm därför inte denna begränsning.
Låt oss nu beräkna vad det är lika med
Rätt svar - ! Om du inte glömde det andra möjliga värdet under beräkningen, då är du jättebra och kan genast gå vidare till träningen, och om du har glömt det, läs vad som diskuteras nedan och var uppmärksam på varför båda rötterna måste skrivas ner i svar.
Låt oss rita båda våra geometriska progressioner - den ena med ett värde och den andra med ett värde och kontrollera om båda har rätt att existera:
För att kontrollera om en sådan geometrisk progression existerar eller inte, är det nödvändigt att se om alla dess givna termer är desamma? Beräkna q för det första och andra fallet.
Förstår du varför vi måste skriva två svar? För tecknet på termen du letar efter beror på om det är positivt eller negativt! Och eftersom vi inte vet vad det är måste vi skriva båda svaren med plus och minus.
Nu när du har bemästrat huvudpunkterna och härlett formeln för egenskapen för geometrisk progression, hitta, veta och
Jämför dina svar med de rätta:
Vad tror du, tänk om vi inte fick värdena för termerna för den geometriska progressionen intill det önskade numret, utan på samma avstånd från det. Till exempel måste vi hitta, och ges och. Kan vi använda formeln vi härledde i det här fallet? Försök att bekräfta eller motbevisa denna möjlighet på samma sätt, och beskriv vad varje värde består av, som du gjorde när du ursprungligen härledde formeln, vid.
Vad fick du?
Titta nu noga igen.
och motsvarande:
Av detta kan vi dra slutsatsen att formeln fungerar inte bara med angränsande med de önskade termerna för den geometriska progressionen, men också med lika långt från vad medlemmarna letar efter.
Således tar vår initiala formel formen:
Det vill säga, om vi i det första fallet sa det, säger vi nu att det kan vara lika med vilket naturligt tal som helst som är mindre. Huvudsaken är att det är samma för båda givna siffrorna.
Öva med specifika exempel, var bara extremt försiktig!
- , . Hitta.
- , . Hitta.
- , . Hitta.
Bestämt? Jag hoppas att du var extremt uppmärksam och märkte en liten hake.
Låt oss jämföra resultaten.
I de två första fallen tillämpar vi lugnt ovanstående formel och får följande värden:
I det tredje fallet, när vi noggrant undersöker serienumren för numren som vi fått, förstår vi att de inte är lika långt från numret vi letar efter: det är det tidigare numret, men tas bort vid en position, så det är inte möjligt att tillämpa formeln.
Hur löser man det? Det är faktiskt inte så svårt som det verkar! Låt oss skriva ner vad varje nummer som ges till oss och numret vi letar efter består av.
Så vi har och. Låt oss se vad vi kan göra med dem? Jag föreslår att du dividerar med. Vi får:
Vi ersätter vår data med formeln:
Nästa steg vi kan hitta är - för detta måste vi ta kubroten av det resulterande talet.
Låt oss nu titta igen på vad vi har. Vi har det, men vi måste hitta det, och det är i sin tur lika med:
Vi hittade all nödvändig data för beräkningen. Ersätt i formeln:
Vårt svar: .
Försök att lösa ett annat liknande problem själv:
Givet: ,
Hitta:
Hur mycket fick du? Jag har - .
Som du kan se behöver du i princip kom ihåg bara en formel- . Du kan ta ut resten själv utan problem när som helst. För att göra detta, skriv helt enkelt den enklaste geometriska progressionen på ett papper och skriv ner vad vart och ett av dess nummer är lika med, enligt formeln som beskrivs ovan.
Summan av termerna för en geometrisk progression.
Låt oss nu titta på formler som gör att vi snabbt kan beräkna summan av termer för en geometrisk progression i ett givet intervall:
För att härleda formeln för summan av termer av en ändlig geometrisk progression, multiplicera alla delar av ovanstående ekvation med. Vi får:
Titta noga: vad har de två sista formlerna gemensamt? Just det, vanliga medlemmar, till exempel, och så vidare, förutom den första och sista medlemmen. Låt oss försöka subtrahera 1:an från 2:a ekvationen. Vad fick du?
Uttryck nu termen för den geometriska progressionen genom formeln och ersätt det resulterande uttrycket med vår sista formel:
Gruppera uttrycket. Du bör få:
Allt som återstår att göra är att uttrycka:
Följaktligen i detta fall.
Tänk om? Vilken formel fungerar då? Föreställ dig en geometrisk progression vid. Hur är hon? En serie identiska siffror är korrekta, så formeln kommer att se ut så här:
Det finns många legender om både aritmetisk och geometrisk progression. En av dem är legenden om Set, skaparen av schack.
Många vet att schackspelet uppfanns i Indien. När den hinduiska kungen träffade henne var han förtjust över hennes kvickhet och de olika positioner som var möjliga i henne. Efter att ha fått reda på att det uppfanns av en av hans undersåtar, beslutade kungen att belöna honom personligen. Han kallade till sig uppfinnaren och beordrade honom att be honom om allt han ville, och lovade att uppfylla även den mest skickliga önskan.
Seta bad om betänketid, och när Seta nästa dag dök upp inför kungen, överraskade han kungen med den oöverträffade blygsamheten i hans begäran. Han bad om att få ge ett vetekorn för den första rutan på schackbrädet, ett vetekorn för det andra, ett vetekorn för det tredje, ett fjärde osv.
Kungen blev arg och drev Seth iväg och sade att tjänarens begäran var ovärdig kungens generositet, men lovade att tjänaren skulle få sina korn för alla rutor på brädan.
Och nu frågan: med hjälp av formeln för summan av termerna för en geometrisk progression, beräkna hur många korn Seth ska få?
Låt oss börja resonera. Eftersom Seth, enligt villkoret, bad om ett vetekorn för den första ruta på schackbrädet, för den andra, för den tredje, för den fjärde, etc., då ser vi att problemet handlar om en geometrisk progression. Vad är det lika i det här fallet?
Höger.
Totala kvadrater på schackbrädet. Respektive. Vi har all data, allt som återstår är att koppla in den i formeln och beräkna.
För att föreställa oss åtminstone ungefär "skalan" för ett givet tal, transformerar vi med hjälp av gradens egenskaper:
Naturligtvis, om du vill, kan du ta en miniräknare och beräkna vilket nummer du slutar med, och om inte, måste du ta mitt ord för det: det slutliga värdet av uttrycket blir.
Det är:
quintillions quadrillion biljoner miljarder miljoner tusen.
Puh) Om du vill föreställa dig hur stor denna siffra är, uppskatta hur stor en ladugård som skulle behövas för att rymma hela spannmålsmängden.
Om ladugården är m hög och m bred skulle dess längd behöva sträcka sig i km, d.v.s. dubbelt så långt som från jorden till solen.
Om kungen var stark i matematik kunde han ha bjudit in vetenskapsmannen själv att räkna kornen, för för att räkna en miljon korn skulle han behöva minst en dags outtröttlig räkning, och med tanke på att det är nödvändigt att räkna kvintiljoner, kornen skulle behöva räknas under hela hans liv.
Låt oss nu lösa ett enkelt problem som involverar summan av termer för en geometrisk progression.
En elev i klass 5A Vasya blev sjuk i influensa, men fortsätter att gå till skolan. Varje dag infekterar Vasya två personer, som i sin tur infekterar ytterligare två personer, och så vidare. Det är bara folk i klassen. Om hur många dagar kommer hela klassen att vara sjuk i influensa?
Så den första termen i den geometriska progressionen är Vasya, det vill säga en person. Den :e termen av den geometriska progressionen är de två personer som han infekterade den första dagen efter sin ankomst. Den totala summan av progressionsterminerna är lika med antalet 5A-studenter. Följaktligen talar vi om en progression där:
Låt oss ersätta våra data med formeln för summan av termerna för en geometrisk progression:
Hela klassen kommer att bli sjuk inom några dagar. Tror du inte på formler och siffror? Försök själv skildra elevernas "infektion". Hände? Titta hur det ser ut för mig:
Räkna själv ut hur många dagar det skulle ta för elever att bli sjuka i influensa om var och en smittade en person och det bara fanns en person i klassen.
Vilket värde fick du? Det visade sig att alla började bli sjuka efter en dag.
Som du kan se liknar en sådan uppgift och ritningen för den en pyramid, där varje efterföljande "tar" nya människor. Men förr eller senare kommer ett ögonblick då den senare inte kan locka någon. I vårt fall, om vi föreställer oss att klassen är isolerad, sluter personen från kedjan (). Således, om en person var inblandad i en finansiell pyramid där pengar gavs om du tog med två andra deltagare, så skulle personen (eller i allmänhet) inte ta med någon, följaktligen skulle förlora allt som de investerade i denna ekonomiska bluff.
Allt som sades ovan hänvisar till en minskande eller ökande geometrisk progression, men, som ni minns, har vi en speciell typ - en oändligt minskande geometrisk progression. Hur beräknar man summan av dess medlemmar? Och varför har denna typ av progression vissa egenskaper? Låt oss ta reda på det tillsammans.
Så låt oss först titta igen på denna ritning av en oändligt minskande geometrisk progression från vårt exempel:
Låt oss nu titta på formeln för summan av en geometrisk progression, härledd lite tidigare:
eller
Vad strävar vi efter? Det stämmer, grafen visar att den tenderar mot noll. Det vill säga att, kommer att vara nästan lika, respektive, när man beräknar uttrycket får vi nästan. I detta avseende tror vi att när man beräknar summan av en oändligt minskande geometrisk progression, kan denna konsol försummas, eftersom den kommer att vara lika.
- formeln är summan av termerna för en oändligt minskande geometrisk progression.
VIKTIG! Vi använder formeln för summan av termer av en oändligt minskande geometrisk progression endast om villkoret uttryckligen säger att vi behöver hitta summan oändlig antal medlemmar.
Om ett specifikt tal n anges använder vi formeln för summan av n termer, även om eller.
Nu ska vi öva.
- Hitta summan av de första termerna av den geometriska progressionen med och.
- Hitta summan av termerna för en oändligt minskande geometrisk progression med och.
Jag hoppas att du var extremt försiktig. Låt oss jämföra våra svar:
Nu vet du allt om geometrisk progression, och det är dags att gå från teori till praktik. De vanligaste geometriska progressionsproblemen som man stöter på vid tentamen är problem med att beräkna sammansatt ränta. Det är dessa vi kommer att prata om.
Problem med att beräkna sammansatt ränta.
Du har säkert hört talas om den så kallade sammansatta ränteformeln. Förstår du vad det betyder? Om inte, låt oss ta reda på det, för när du väl förstår själva processen kommer du omedelbart att förstå vad geometrisk progression har med det att göra.
Vi går alla till banken och vet att det finns olika villkor för insättningar: detta inkluderar en löptid, tilläggstjänster och ränta med två olika sätt att beräkna det - enkelt och komplext.
MED enkel ränta allt är mer eller mindre klart: ränta uppbärs en gång vid slutet av insättningsperioden. Det vill säga, om vi säger att vi sätter in 100 rubel för ett år, kommer de att krediteras först i slutet av året. Följaktligen kommer vi att få rubel i slutet av insättningen.
Ränta på ränta- det här är ett alternativ där det händer räntekapitalisering, dvs. deras tillägg till insättningsbeloppet och efterföljande beräkning av inkomsten inte från det initiala, utan från det ackumulerade insättningsbeloppet. Kapitalisering sker inte konstant, men med viss frekvens. I regel är sådana perioder lika och oftast använder bankerna en månad, kvartal eller år.
Låt oss anta att vi sätter in samma rubel årligen, men med månatlig kapitalisering av insättningen. Vad gör vi?
Förstår du allt här? Om inte, låt oss ta reda på det steg för steg.
Vi tog med rubel till banken. I slutet av månaden bör vi ha ett belopp på vårt konto bestående av våra rubel plus ränta på dem, det vill säga:
Hålla med?
Vi kan ta det ur parentes och sedan får vi:
Håller med, denna formel är redan mer lik det vi skrev i början. Allt som återstår är att räkna ut procentsatserna
I problemformuleringen får vi veta om årskurser. Som ni vet multiplicerar vi inte med - vi omvandlar procenttal till decimalbråk, det vill säga:
Höger? Nu kan du fråga dig, var kom numret ifrån? Väldigt enkelt!
Jag upprepar: problemformuleringen säger om ÅRLIG ränta som uppkommer EN GÅNG I MÅNADEN. Som ni vet, om ett år av månader, kommer banken följaktligen att debitera oss en del av den årliga räntan per månad:
Insåg det? Försök nu att skriva hur denna del av formeln skulle se ut om jag sa att räntan beräknas dagligen.
Klarade du dig? Låt oss jämföra resultaten:
Bra gjort! Låt oss återgå till vår uppgift: skriv hur mycket som kommer att krediteras på vårt konto under den andra månaden, med hänsyn till att ränta uppkommer på det ackumulerade insättningsbeloppet.
Här är vad jag fick:
Eller med andra ord:
Jag tror att du redan har lagt märke till ett mönster och sett en geometrisk progression i allt detta. Skriv vad dess medlem kommer att vara lika med, eller, med andra ord, vilken summa pengar vi kommer att få i slutet av månaden.
Gjorde det? Låt oss kolla!
Som du kan se, om du lägger pengar på banken i ett år till en enkel ränta, kommer du att få rubel, och om till en sammansatt ränta får du rubel. Fördelen är liten, men detta händer bara under det e året, men under en längre period är kapitalisering mycket mer lönsamt:
Låt oss titta på en annan typ av problem som involverar sammansatt ränta. Efter det du har listat ut blir det elementärt för dig. Så, uppgiften:
Zvezda-företaget började investera i branschen år 2000, med kapital i dollar. Varje år sedan 2001 har den fått en vinst som är lika med föregående års kapital. Hur mycket vinst kommer Zvezda-företaget att få i slutet av 2003 om vinster inte togs ur cirkulationen?
Huvudstad i Zvezda-företaget 2000.
- kapital i Zvezda-företaget 2001.
- kapital i Zvezda-företaget 2002.
- kapital i Zvezda-företaget 2003.
Eller så kan vi skriva kort:
För vårt fall:
2000, 2001, 2002 och 2003.
Respektive:
rubel
Observera att vi i denna uppgift inte har en division vare sig med eller med, eftersom procentsatsen anges ÅRLIGT och beräknas ÅRLIGT. Det vill säga, när du läser ett problem om sammansatt ränta, var uppmärksam på vilken procentsats som ges och under vilken period den beräknas, och fortsätt först sedan till beräkningar.
Nu vet du allt om geometrisk progression.
Träning.
- Hitta termen för den geometriska progressionen om det är känt att, och
- Hitta summan av de första termerna av den geometriska progressionen om det är känt att, och
- MDM Capital-företaget började investera i branschen 2003, med kapital i dollar. Varje år sedan 2004 har den fått en vinst som är lika med föregående års kapital. MSK Cash Flows-företaget började investera i branschen 2005 till ett belopp av 10 000 $, och började gå med vinst 2006 på ett belopp av. Hur många dollar är kapitalet i ett företag större än det andra i slutet av 2007, om vinster inte togs ur cirkulation?
Svar:
- Eftersom problemformuleringen inte säger att progressionen är oändlig och det krävs för att hitta summan av ett specifikt antal av dess termer, utförs beräkningen enligt formeln:
MDM Capital Company:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- ökar med 100%, det vill säga 2 gånger.
Respektive:
rubel
MSK Cash Flows företag:2005, 2006, 2007.
- ökar med, det vill säga med gånger.
Respektive:
rubel
rubel
Låt oss sammanfatta.
1) Geometrisk progression ( ) är en numerisk sekvens, vars första term skiljer sig från noll, och varje term, med början från den andra, är lika med den föregående, multiplicerad med samma tal. Detta tal kallas nämnaren för en geometrisk progression.
2) Ekvationen för termerna för den geometriska progressionen är .
3) kan ta alla värden utom och.
- om, då alla efterföljande termer av progressionen har samma tecken - de är positiva;
- om, då alla efterföljande termer av progressionen alternativa tecken;
- när – progressionen kallas oändligt avtagande.
4) , at – egenskapen för geometrisk progression (intilliggande termer)
eller
, vid (lika avstånd)
När du hittar det, glöm inte det det borde finnas två svar.
Till exempel,
5) Summan av termerna för den geometriska progressionen beräknas med hjälp av formeln:
eller
eller
VIKTIG! Vi använder formeln för summan av termer av en oändligt minskande geometrisk progression endast om villkoret uttryckligen säger att vi behöver hitta summan av ett oändligt antal termer.
6) Problem på sammansatt ränta beräknas också med hjälp av formeln för den e termen av en geometrisk progression, förutsatt att medel inte har tagits ur cirkulation:
GEOMETRISK PROGRESSION. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA
Geometrisk progression( ) är en numerisk sekvens, vars första term skiljer sig från noll, och varje term, med början från den andra, är lika med den föregående, multiplicerad med samma tal. Detta nummer kallas nämnare för en geometrisk progression.
Nämnare för geometrisk progression kan ta vilket värde som helst förutom och.
- Om alla efterföljande termer av progressionen har samma tecken - de är positiva;
- om då alla efterföljande medlemmar av progressionen växlar tecken;
- när – progressionen kallas oändligt avtagande.
Ekvation av termer för geometrisk progression - .
Summan av termer för en geometrisk progression beräknas med formeln:
eller
Om progressionen minskar oändligt, då:
Bli en YouClever-student,
Förbered dig för Unified State Exam eller Unified State Exam i matematik,
Och få tillgång till YouClever-läroboken utan begränsningar...