LITEN VETENSKAPSAKADEMIEN FÖR SKOLBARN PÅ KRIM

"SÖKARE"

Avsnittet "Matematik"

GEOMETRISKA KONSTRUKTIONER MED EN DUBBELSIDIG LINJAL

Jag har gjort jobbet A

_____________

Klasselev

Vetenskaplig chef

INLEDNING………………………………………………………………………………………………..…..3

I. GEOMETRISKA KONSTRUKTIONER PÅ PLANET………………...4

I.1. Allmänna axiom för konstruktiv geometri. Axiom för matematiska instrument………………………………………………………………………………………………..4

I.2. ……………………….....5

I.3. Geometriska konstruktioner med en linjal…………………………………..7

jag.4. Grundläggande uppgifter för att bygga med en dubbelsidig linjal………………..8

I.5. Lösning av olika konstruktionsproblem …………………………………………12

I.6. Konstruktioner med ensidig linjal…………………………………………………20

I.7. Utbytbarhet av en dubbelsidig linjal med en kompass och en linjal....21

SLUTSATS……………………………………………………………………………….24

Lista över referenser…………………………………..………….25

Introduktion

Problem som involverar konstruktion med begränsade medel inkluderar problem som involverar konstruktion med enbart kompasser och en linjal, som beaktas i skolans läroplan. Är det möjligt att lösa konstruktionsproblem med bara en linjal? Ofta har du ingen kompass till hands, men du kan alltid hitta en linjal.

Problem med konstruktioner i geometri är ett fascinerande avsnitt. Intresset för det beror på skönheten och enkelheten i det geometriska innehållet. Relevansen av att överväga dessa problem ökar på grund av att de används i praktiken. Förmågan att använda en linjal för att lösa de problem som behandlas i detta arbete är av stor betydelse i praktiska aktiviteter, eftersom Vi står ständigt inför problem med att dela ett segment på mitten, dubbla ett givet segment osv.

Denna artikel undersöker de huvudsakliga konstruktionsuppgifterna som fungerar som grund för att lösa mer komplexa problem.

Som erfarenheten visar väcker bygguppgifter intresse och bidrar till aktiveringen av mental aktivitet. När man löser dem används aktivt kunskap om figurers egenskaper, förmågan att resonera utvecklas och geometriska konstruktioners färdigheter förbättras. Som ett resultat utvecklas konstruktiva förmågor, vilket är ett av målen med att studera geometri.

Hypotes: alla konstruktionsproblem som kan lösas med hjälp av en kompass och linjal kan endast lösas med en dubbelsidig linjal.

Studieobjekt: konstruktionsuppgifter och dubbelsidig linjal.

Forskningsmål: att bevisa att alla konstruktionsproblem endast kan lösas med hjälp av en dubbelsidig linjal.

Forskningsmål: att studera de teoretiska grunderna för att lösa konstruktionsproblem; lösa grundläggande konstruktionsproblem med hjälp av en dubbelsidig linjal; ge exempel på mer komplexa konstruktionsproblem; systematisera teoretiskt och praktiskt material.

I. GEOMETRISKA KONSTRUKTIONER PÅ PLANET

I.1. Allmänna axiom för konstruktiv geometri. Axiom för matematiska verktyg

För konstruktiv geometri är det nödvändigt att ha en korrekt och, för matematiska ändamål, fullständig beskrivning av ett visst verktyg. Denna beskrivning ges i form av axiom. Dessa axiom i abstrakt matematisk form uttrycker egenskaperna hos verkliga ritinstrument som används för geometriska konstruktioner.

De vanligaste geometriska konstruktionsverktygen är:linjal (ensidig) , kompass, tvåsidig linjal (med parallella kanter) och några andra.

A. Härskaraxiom.

Linjalen låter dig utföra följande geometriska konstruktioner:
a) konstruera ett segment som förbinder två konstruerade punkter;

b) konstruera en rät linje som går genom två konstruerade punkter;

c) konstruera en stråle som utgår från en konstruerad punkt och passerar genom en annan konstruerad punkt.

B. Kompassens axiom.

Kompassen låter dig utföra följande geometriska konstruktioner:
a) konstruera en cirkel om cirkelns mittpunkt och ett segment som är lika med cirkelns radie (eller dess ändar) har konstruerats;

B. Axiom för en dubbelsidig linjal.

Den dubbelsidiga linjalen låter dig:

a) utföra någon av de konstruktioner som anges i axiom A;

b) i vart och ett av de halvplan som definieras av den konstruerade linjen, konstruera en linje parallell med denna linje och som går från den på ett avståndA, Var A - ett segment fixerat för en given linjal (linjalens bredd);

c) om två punkter A och B är konstruerade, bestäm sedan om AB kommer att vara större än ett visst fast segmentA (linjalbredd), och om AB >A , konstruera sedan två par parallella linjer som går genom punkterna A respektive B och på avstånd från varandraA .

Förutom de listade verktygen kan du använda andra verktyg för geometriska konstruktioner: en godtycklig vinkel, en kvadrat, en linjal med märken, ett par räta vinklar, olika anordningar för att rita speciella kurvor, etc.

I.2. Allmänna principer för att lösa byggproblem

Bygguppgift består i det faktum att det krävs att en viss figur konstrueras med de angivna verktygen om någon annan figur ges och vissa relationer mellan elementen i den önskade figuren och elementen i denna figur anges.

Varje figur som uppfyller villkoren för problemet kallasbeslut denna uppgift.

Hitta en lösning konstruktionsuppgift innebär att reducera den till ett ändligt antal grundläggande konstruktioner, d.v.s. att indikera en ändlig sekvens av grundläggande konstruktioner, varefter den önskade figuren redan kommer att anses konstruerad i kraft av de accepterade axiomen för konstruktiv geometri. Listan över acceptabla grundläggande konstruktioner, och följaktligen framstegen med att lösa problemet, beror avsevärt på vilka specifika verktyg som används för konstruktioner.

Lös konstruktionsproblemet - Betyder att, hitta alla dess lösningar .

Den sista definitionen kräver ett visst förtydligande. Figurer som uppfyller villkoren för problemet kan skilja sig åt i både form eller storlek och position på planet. Skillnader i position på planet beaktas eller tas inte med i beräkningen beroende på formuleringen av själva konstruktionsproblemet, på om problemets tillstånd ger eller inte ger en viss placering av den önskade figuren i förhållande till några givna figurer .

Om en lösning på ett problem hittas, är det i framtiden tillåtet att använda denna lösning "som helhet", det vill säga utan att dela upp den i huvudkonstruktioner.

Det finns ett antal enkla geometriska konstruktionsproblem, som särskilt ofta ingår som komponenter för att lösa mer komplexa problem. Vi kommer att kalla dem elementära geometriska konstruktionsproblem. Listan över elementära uppgifter är naturligtvis villkorad. Grundläggande uppgifter inkluderar vanligtvis följande:

Dela detta segment på mitten.

Dela en given vinkel på mitten.

Konstruera på en given linje ett segment som är lika med det givna.

Konstruera en vinkel lika med en given.

Konstruera en linje som går genom en given punkt parallell med en given linje.

Konstruera en linje som går genom en given punkt och vinkelrät mot en given linje.

Indelning av ett segment i detta avseende.

Konstruera en triangel med hjälp av tre givna sidor.

Konstruera en triangel med hjälp av en sida och två angränsande vinklar.

Konstruera en triangel med två sidor och vinkeln mellan dem.

När man löser något lite komplext konstruktionsproblem uppstår frågan om hur man ska resonera för att hitta ett sätt att lösa problemet, för att få fram alla lösningar på problemet, för att ta reda på förutsättningarna för möjligheten att lösa problemet etc. Därför , när de löser konstruktiva problem använder de ett lösningsschema , som består av följande fyra steg:

1) analys;
2) konstruktion;
3) bevis;
4) forskning.

I.3. Geometriska konstruktioner med en linjal

Vi kommer att betrakta linjalen ur två synvinklar: som en linjal och som en dubbelsidig linjal.

1. Dubbelsidig linjal bredd A vi kommer att kalla en linjal med parallella kanter placerade på avstånd A från varandra, vilket gör det möjligt att direkt bygga:

a) en godtycklig rät linje;

b) en rät linje som går genom två punkter givna eller erhållna i processen att lösa problemet;

c) parallella linjer, som var och en går genom en av punkterna, vars avstånd är störreA (i denna konstruktion är linjalen i en sådan position att det på var och en av dess två parallella kanter finns en av de två givna punkterna; i det här fallet kommer vi att prata om direkt konstruktion).

Linjalens bredd i denna konstruktion anses vara konstant, och därför, om det i processen att lösa ett specifikt problem blir det nödvändigt att utföra en direkt konstruktion i förhållande till några erhållna punkterA Och I , då måste vi bevisa att längdenAB längre A .

Vi kommer att betrakta en punkt som konstruerad om den är en av data eller är skärningspunkten mellan två konstruerade linjer; i sin tur kommer vi att betrakta en rät linje som konstruerad om den passerar genom de konstruerade eller givna punkterna.

Med hjälp av en dubbelsidig linjal kan du konstruera följande.

a) Genom två valfria punkter kan du dra en rät linje, och bara en.

b) Oavsett den räta linjen finns det exakt två räta linjer i planet, parallella med det och åtskilda från det med ett avstånda .

c) Genom två punkter A och B vid AB A det är möjligt att dra två par parallella hetero; med AB = A du kan rita ett par parallella linjer, vars avstånd är lika stortA .

Om en, två, tre poäng ges kan inga nya poäng konstrueras

(Figur 1);

om fyra punkter ges, av vilka några tre (eller alla fyra) ligger på samma linje, så kan inga andra punkter konstrueras (fig. 2);

Om du får fyra punkter som ligger vid hörnen på ett parallellogram, kan du bara konstruera en punkt - dess mittpunkt. (Fig. 3).

Efter att ha accepterat ovanstående, låt oss överväga de problem som löses av en dubbelsidig linjal separat.

jag.4. Grundläggande uppgifter för att bygga med en dubbelsidig linjal

1
. Konstruera bisektrisen för vinkeln ABC.

Lösning: (Fig. 4)

A  (I C) Och b  (Ett band  b = D .

Vi får B D– bisektor  ABC.

Faktiskt erhållen av

att konstruera ett parallellogram är

romb, eftersom dess höjder är lika. ID –

diagonalen på en romb är en bisektrik ABC. Fig.4

2
. Dubbla den givna vinkeln ABC

Lösning : (Fig. 5) a) A  (AB),

A  (I C)= D , genom punkterna B och D

b direkt;

b) genom punkterna B ochD m  b

direkt,b Ç a = F .

Vi får Ð AB F = 2 Ð ABC .

Fig. 5

3 . Till en given rak linje M N i denna

rita en vinkelrät mot punkt A

Lösning : (Fig. 6)

1) (AA 1) || (BB 1) || (SS 1) –

direkt (B (M N),

MED Î (M N)); 2) till A och B

m || n - direkt,

m Ç (SS 1) = D .

Vi får (A D )  (M N ).

Fig. 6.

4
. Genom en given punkt inte ligga på

given rad, rita en vinkelrät

Till denna rad.

Lösning: Genom denna punkt O ritar vi

två linjer som skär en given

rät linje AB och dubbla vinklarna för den resulterande

trianglar intill denna

hetero.  OA N = 2  OAV och

OB N = 2  OVA (fig. 7).

Fig. 7

5. Konstruera en punkt som är symmetrisk till en given linje i förhållande till en given linje.

Lösning: se problem 4. (punkt O är symmetrisk med punktN. Fig. 7)

6. Gör en rak linje parallellt med denna

P
rak M N , genom punkt A, inte

tillhör linjen M N .

Lösning 1: (Fig. 8)

1)(AA 1) || (BB 1) || (SS 1) || (DD 1 ) || (КК 1) -

– direkt, (SA)Ç (BB1) = C2;

2) (Med 2 K) Ç (DD 1 ) = F .

(A F ) är den önskade räta linjen.

Fig 8

Lösning 2 . I fig. 8 är 1 numrerad

sekvens av raka linjer,

varav 1, 2 och 3 är parallella i

direkt konstruktion;

(A F) || (M N).

Fig.8 1

7
. Dela detta segment AB på mitten.

Lösning 1. (Fig. 9) (endast för det fall då linjalens bredd är mindre än längden på detta segment). Dra direkt två par parallella linjer genom

ändarna på detta segment och sedan diagonalen

den resulterande romben. O – mitten AB.

Ris. 9.

Lösning 2. (Fig. 9, a)

1) a || (Ett band b || (AB) – direkt;

2) (AR), (AR)Ç a = C, (AP) Ç b = D ;

3) (D I) Ç a = M, (SV) Ç b = N ;

4) (M N ) Ç (AB) = K;

5) (D TILL) Ç (A N ) = F ;

6) (B F ) Ç b = D 1, (B F ) Ç a = Ci;

7) (D I ) Ç (A D 1 ) = X,

(AC 1) Ç (SV) = Z.

8) (X Z) Ç (AB) =O. Vi får AO = OB.

Fig. 9,a

Lösning 3 .( Ris. 9, b)

Som bekant , i mitten trapets

baser, skärningspunkt

diagonaler och skärningspunkt

förlängningar av sidorna

ligga på samma räta linje.

1) m || (AB) – direkt;

2) C Î m , D Î m , (SOM) Ç (I D ) = TILL; Fig. 9,b

3) (NE) Ç (A D ) = F ; 4) (K F ) Ç (AB) =O. Vi får AO = OB.

I.5. Lösning av olika byggproblem

För att lösa följande konstruktionsproblem med enbart en dubbelsidig linjal används den direkta konstruktionen av parallella linjer och de sju huvudproblemen som ges ovan.

1. Rita två ömsesidigt vinkelräta linjer genom denna punkt.

R lösning: låt oss gå igenom denna punkt

två godtyckliga linjer,

och sedan - bisektorer

intilliggande hörn. (Bild 10)

Fig. 10

2. Givet ett segment A D given längd a.

Konstruera ett segment vars längd är lika med .

R
beslut : Låt oss genomföra m  A Och h || m genom

punkt A. f || (A D ) , k || (AD) direkt.

Låt oss rita AB och AC, där B =f  m ,

a C = m  k . På ett känt sätt

dela AB och AC på mitten och

låt oss rita triangelns medianer

ABC. Genom medianernas egendom

triangel, O D = - eftersträvas

segment (fig. 11)

Ris. elva

3. Konstruera ett segment vars längd är

lika med omkretsen av den givna triangeln.

Lösning: (Fig. 12). Låt oss konstruera bisektorer

två yttre hörn av triangeln, och sedan

3 toppar I låt oss rita vinkelräta

till dessa bisektorer.

DE = ett + b + s

Fig. 12

4. Givet ett längdsegment a. Konstruera längdsegment 2a, 3a.

R lösning: (Fig. 13)

1M N) || (AB) och (M 1 N 1 ) || (M N) || (M 2 N 2 ) –

Direkt;

2) (CA) och (CB) till A och B.

Segmenten A 1 B 1 och A 2 B 2 krävs.

En annan lösning på detta problem kan vara

erhållen från lösningen på problem 7.

Ris. 13

5. Två segment anges på en rät linje, vars längder är a och b . Konstruera segment vars längder är lika med ett + b , b -A, ( a + b )/2 och ( b - a )/2 .

Lösning: och för a + b(Fig. 14,a)

Fig. 14, a

b) för ( a + b)/2 (Fig. 14, b)

1) (A 1 B 1) || (A 2 B 2) || (AB) – direkt;

2) M Î (A 2 B 2), (MX) Ç (AiBi) = N, (M H) Ç (AiBi) = P;

3) (PY) Ç (A2B2) = L, (LZ ) Ç (AiBi) = O,

Vi får: N O = N.P. + P.O. =
.

Ris. 14, b

c) för b -A(Fig. 14, c)

Ris. 14,v

c) för ( b - a )/2 (Fig. 14,d)

Ris. 14,g

6
. Konstruera mitten av denna cirkel.

Lösning : (Fig. 15) Låt oss rita en rät linje AB,

skär cirkeln vid punkterna A och B;

Sol  AB, där C är skärningspunkten

med en cirkel.

Genom punkt C drar vi parallellt med AB

rak C D; MEDDskär en cirkel

vid punktenD.

Genom att anslutaDmed B och A med C får vi

den önskade punkten är cirkelns mittpunkt. Ris. 15

Lösning 2: (Fig. 16) Använd en dubbelsidig linjal och konstruera två parallella ackordAD OchFÖRE KRISTUS. . Vi får en likbent trapetsABCD. LåtaK OchP - skärningspunkter för linjerA.C. OchBD , AB OchDC . Sedan raktP K passerar genom mittpunkterna på trapetsens baser vinkelrät mot dem, vilket betyder att den passerar genom mitten av den givna cirkeln. Genom att på liknande sätt konstruera en annan sådan rät linje hittar vi cirkelns mittpunkt.

Ris. 16

7. En cirkelbåge ges. Konstruera cirkelns mittpunkt

Lösning . (Fig. 17) Markera tre punkter A, B och C på denna båge. Applicera en linjal på ändarna av segmentet AB och rita av dess kanter. Vi får två parallella linjer. Genom att ändra linjalens position ritar vi ytterligare två parallella linjer. Vi får en romb (ett parallellogram med lika höjder). En av diagonalerna på en romb är den vinkelräta bisektrisen mot segmentetAB , eftersom diagonalen för en romb ligger på den vinkelräta bisektaren till den andra diagonalen. På liknande sätt konstruerar vi den vinkelräta bisektrisen till segmentetA.C. . Skärningspunkten för de konstruerade halvledarna är centrum för den önskade cirkeln.

Ris. 17

8. Givet ett segment AB, en icke-parallell linje l och en punkt M på den. Använd en dubbelsidig linjal och konstruera skärningspunkterna för den räta linjen l med en cirkel med radien AB med centrum M.

Lösning: (Bild 18)

Låt oss slutföra triangelnA.B.M. till parallellogramABNM . Låt oss konstruera bisektorerna MT ochFRÖKENvinklar mellanMNoch rakl . Låt oss dra igenom poängenN linjer parallella med dessa bisektrar:NQ || FRÖKEN, NR || M.T.. MT│ FRÖKENsom bisektorer av intilliggande vinklar. Betyder att,NQ │ MT, det vill säga i en triangelNMQbisektrisen är höjden, därför är triangeln likbent:MQ = MN. Likaså,HERR. = MN. PoängFOchReftersträvas.

Ris. 18

9. Givet en linje l och ett segment OA parallellt med l. Använd en dubbelsidig linjal och konstruera skärningspunkterna för den räta linjen l med en cirkel med radien OA med centrum O.

Lösning: (Fig. 19, a)

Låt oss göra en direktl 1 , parallellt med linjenO.A. och på avstånd därifråna . Låt oss ta det på en rak linjel godtycklig punktB . LåtaB 1 - skärningspunkt för linjerO.B. Ochl 1 . Låt oss dra igenom poängenB 1 rak, parallellAB ; denna linje skär linjenO.A. vid punktenA 1 . Låt oss nu dra igenom punkternaO OchA 1 ett par parallella linjer, avståndet mellan dem ära (det kan finnas två sådana par av linjer); låtaX OchX 1 - skärningspunkter för en linje som går genom en punktO , med raka linjerl Ochl 1 . Därför attO.A. 1 = OXE 1 och ∆O.A. 1 X 1 ∆ OAX , sedan OA = OX, punktX eftersökt.

På liknande sätt konstruerar vi den andra skärningspunkten för cirkeln och linjen - punktenY(Fig. 18, b).

Ris. 18,a

Ris. 18, b

I.6.Konstruktioner med ensidig linjal

Z
Här överväger vi ett specialfall: låt poäng P ges,F, R 1 OchF 1 . och de ligger vid trapetsens hörn.

1. Dela segment P F itu

Lösning visas i figur 19

Givet poäng P,F, R 1 OchF 1 och parallella linjer

RF, R 1 F 1 . Låt oss genomföra RF 1  FR 1 = B , RR 1  QQ 1 = A

Låt oss koppla ihop punkterna A och B. AB RF = F– mitten

segment PF.

Ris. 19

2. Dubbla segmentet R 1 F 1.

R
beslut visas i figur 20. Låt oss bygga

punktF– mitten av segmentet PFoch anslut den

MedF 1. R 1 F FQ 1 = M. Låt oss genomföra RM. RM R 1 F 1 = R

jämlikhetRQoch P 1 F 1 följer av likheten

trianglar RMFOch RMF 1 ,

FMFOch R 1 MF 1 , och jämställdhet PFOchFQ.

Ris. 20

3
. Konstruera ett längdsegment n  R 1 F 1 .

m – 1 lika segment PF 2 , F 2 F 3, … F m -1 F m

Sen bygger vi (RR 1 ) OchF m F 1 och anslut

deras skärningspunkt A med punkter

F 2 , F 3, … F m Mottagenm -1 direkt

dela uppR 1 F 1 påm likvärdig delar.

Förm = 4 lösningen visas i figur 22

Fig. 22

I.7. Utbytbarhet av dubbelsidig linjal med kompass och linjal

Låt oss bevisa att en dubbelsidig linjal är utbytbar med en kompass och en linjal. För att göra detta bevisar vi följande påståenden:

Påstående 1: alla konstruktioner som kan göras med en kompass och linjal kan göras med en dubbelsidig linjal.

Eftersom när man konstruerar med en kompass och en linjal, så drar linjalen en linje genom två punkter, och kompassen konstruerar en cirkel (hittar en uppsättning punkter på samma avstånd från en given), så reduceras alla konstruktioner med en kompass och en linjal till konstruera skärningspunkten mellan två räta linjer, två cirklar och en cirkel med en rät linje.

Skärningen mellan två räta linjer kan konstrueras med hjälp av en linjal.

Skärningen av en cirkel och en rät linje (Fig. 23):

Konstruktion:Låt segmentet AB ges - cirkelns radie, en rät linjel , mitten av cirkel O, sedan:

1) Vi utför OS ||l , OS = AB.

2) Vi utför OS ||koch fjärr till en.

3) Vi genomförO.D., O.D. l = D; O.D. k) Som en följd av Thales sats

4) Enligt lagen om jämlikheternas transitivitet

5) Tänk påOMQE. OMQEär ett parallellogram, eftersom OM ||EQoch OE ||M.C.(linjalens sidor är parallella). Låt oss bevisa att detta är en romb.

5.1) UppförandeQZ O.C.OchQG PÅ, DåQG = QZ = a.

5.2)  OMQ =  RQM(ligger på tvären);  OS =PÅ, vilket var det som behövde bevisas.

Skärning av två cirklar: liknande.

Påstående 2: alla konstruktioner som kan göras med en dubbelsidig linjal kan göras med kompass och rätlina.

För att göra detta kommer vi att utföra konstruktionsstandarden för en dubbelsidig linjal med hjälp av en kompass och en linjal.

1) En rät linje med två punkter konstrueras enkelt med hjälp av en linjal.

2) Konstruktion av en rät linje parallell med en given och avlägsnad från den på ett givet avstånd:

2.1) Låt en rät linje geskoch längdsegmenta.

2.2) Konstruera en godtycklig rät linjeb k, låtk b= B.

2.3) Påbpå båda sidor om punktenBpå en rak linjebavsätt en bit längda, låt poängenCOchD.

2.4) Genom en punktCbygga en rak linjec k.

2.5) Genom en punktDbygga en rak linjed k.

2.6) DirektcOchd-krävs, eftersomFÖRE KRISTUS.OchBDlikvärdigagenom konstruktion och är lika med avståndet mellan den räta linjenkoch rak

3) Konstruktion av linjer parallella med varandra och passerar genom två givna punkter, och avståndet mellan dem är lika med det givna segmentet:

3.1) Låt poängen gesAOchBoch längdsegmenta.

3.2) Konstruera en cirkel med centrum i en punktAoch radiea.

3.3) Konstruera en tangent till en given cirkel genom en punktB; det finns två sådana tangenter ifBligger utanför cirkeln (omAB> a), en omBligger på cirkeln (omAB= a), ingen omBligger inuti cirkeln (AB< a). Denna tangent är en av linjerna vi letar efter; det återstår att passera genom punktenArät linje parallellt med den.

3.4) Eftersom en av linjerna är vinkelrät mot cirkelns radie som en tangent, är den andra också vinkelrät mot den (eftersom de är parallella), därför är avståndet mellan dem lika med radien, som genom konstruktion är lika meda, vilket är vad som krävdes för att erhållas.

Således har vi bevisat utbytbarheten av en dubbelsidig linjal och en kompass och linjal.

Slutsats: En dubbelsidig linjal är utbytbar med en kompass och en linjal.

Slutsats

Så frågan om möjligheten att använda en linjal för att lösa klassiska konstruktionsproblem med en kompass och en linjal har övervägts och lösts. Det visar sig att konstruktionsproblem kan lösas med endast en linjal med parallella kanter. Vid lösning av mer komplexa problem bör man vidare förlita sig på de så kallade grundkonstruktionerna som diskuteras i detta arbete.

Materialet som presenteras kan ha direkt tillämpning inte bara i matematiklektioner, i matematikcirkelklasser, utan också i praktiska aktiviteter.

Lista över begagnad litteratur

Aliev A.V. Geometriska konstruktioner. Matematik i skolan. 1978 nr 3

Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. M., Upplysning. 1981.

Depman I.Ya. Bakom sidorna i en lärobok i matematik. M.. Upplysning 1989.

Elensky Shch. I Pythagoras fotspår. M., Detgiz. 1961.

Encyklopedisk ordbok för en ung matematiker. M., Pedagogik. 1985

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt=">Konstruktion med linjal och kompassgeometri">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="> Konstruera ett segment lika med det givna Ú Problem A B"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="> Konstruera en vinkel lika med en given en Betrakta trianglar"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="> Konstruera bisektrisen för en vinkel Problem Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="> Konstruktion av vinkelräta linjer Ú Problem Givet en linje"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="> Konstruera mittpunkten av ett segment Uppgift Ú a Konstruera mittpunkten given"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Kommunal budgetutbildningsanstalt

gymnasieskola nr 34 med fördjupning av enskilda ämnen

MAN, fysik och matematik sektionen

"Geometriska konstruktioner med kompass och linjal"

Slutförd av: elev i årskurs 7 "A"

Batishcheva Victoria

Chef: Koltovskaya V.V.

Voronezh, 2013

3. Konstruera en vinkel lika med den givna.

P Låt oss rita en godtycklig cirkel med ett centrum i spets A för en given vinkel (Fig. 3). Låt B och C vara skärningspunkterna mellan cirkeln och vinkelns sidor. Med radien AB ritar vi en cirkel med centrum i punkt O, startpunkten för denna halvlinje. Låt oss beteckna skärningspunkten för denna cirkel med denna halvlinje som C 1 . Låt oss beskriva en cirkel med centrum C 1 och Fig. 3

flygplanets radie. Punkt B 1 skärningspunkten mellan de konstruerade cirklarna i det angivna halvplanet ligger på sidan av den önskade vinkeln.

6. Konstruktion av vinkelräta linjer.

Vi ritar en cirkel med en godtycklig radie r med ett centrum i punkt O i fig. 6. Cirkeln skär linjen i punkterna A och B.Från punkterna A och B ritar vi cirklar med radie AB. Låt melankoli C vara skärningspunkten för dessa cirklar. Vi fick punkterna A och B i det första steget, när vi konstruerade en cirkel med en godtycklig radie.

Den önskade räta linjen går genom punkterna C och O.

Fig. 6

kända problem

1.Brahmaguptas problem

Konstruera en inskriven fyrhörning med hjälp av dess fyra sidor. En lösning använder Apollonius-cirkeln.Låt oss lösa Apollonius problem genom att använda analogin mellan en tricirkel och en triangel. Hur vi hittar en cirkel inskriven i en triangel: vi konstruerar halveringspunktens skärningspunkt, släpper perpendikulära från den till triangelns sidor, baserna för perpendikulära (skärningspunkterna för vinkelrät med sidan på vilken den släpps) och ge oss tre punkter som ligger på den önskade cirkeln. Rita en cirkel genom dessa tre punkter - lösningen är klar. Vi kommer att göra detsamma med Apollonius problem.

2. Apollonius problem

Använd en kompass och linjal och konstruera en cirkel som tangerar de tre givna cirklarna. Enligt legenden formulerades problemet av Apollonius av Perga omkring 220 f.Kr. e. i boken "Touch", som gick förlorad, men restaurerades 1600 av François Viète, den "galliske Apollonius", som hans samtida kallade honom.

Om ingen av de givna cirklarna ligger inuti den andra, har detta problem 8 väsentligt olika lösningar.

Konstruktion av regelbundna polygoner.

P

korrekt (eller liksidig ) triangel - Det här vanlig polygonmed tre sidor, den första av de reguljära polygonerna. Allt sidor av en vanlig triangel är lika med varandra, och alla vinklarna är 60°. För att konstruera en liksidig triangel måste du dela cirkeln i 3 lika delar. För att göra detta är det nödvändigt att rita en båge med radien R av denna cirkel från endast ena änden av diametern, vi får den första och andra divisionen. Den tredje divisionen är i motsatt ände av diametern. Genom att koppla ihop dessa punkter får vi en liksidig triangel.

Vanlig hexagon Burkkonstruera med hjälp av en kompass och linjal. Nedanbyggmetoden angesgenom att dela cirkeln i 6 delar. Vi använder likheten mellan sidorna av en regelbunden hexagon och radien av den omskrivna cirkeln. Från de motsatta ändarna av en av cirkelns diametrar beskriver vi bågar med radien R. Skärningspunkterna för dessa bågar med en given cirkel kommer att dela den i 6 lika delar. Genom att sekventiellt koppla de hittade punkterna erhålls en vanlig hexagon.

Konstruktion av en vanlig femhörning.

P
en vanlig femhörning kan varakonstruerad med hjälp av en kompass och linjal, eller genom att passa in den i en givencirkel, eller konstruktion baserad på en given sida. Denna process beskrivs av Euclidi hans Elements omkring 300 f.Kr. e.

Här är en metod för att konstruera en vanlig femhörning i en given cirkel:

Konstruera en cirkel som femhörningen kommer att skrivas in i och markera dess centrum somO . (Detta är den gröna cirkeln i diagrammet till höger).

Välj en punkt på cirkelnA , som kommer att vara en av topparna i femhörningen. Konstruera en rak linje genomO OchA .

Konstruera en linje vinkelrät mot linjenO.A. , passerar genom punktenO . Ange en av dess skärningspunkter med cirkeln som en punktB .

Rita en poängC mitt emellanO OchB .

C genom punktenA . Markera dess skärningspunkt med linjenO.B. (inuti den ursprungliga cirkeln) som en punktD .

Rita en cirkel med mitten vidA genom punkt D, markera skärningspunkten för denna cirkel med originalet (grön cirkel) som punkterE OchF .

Rita en cirkel med mitten vidE genom punktenA G .

Rita en cirkel med mitten vidF genom punktenA . Märk dess andra skärningspunkt med den ursprungliga cirkeln som en punktH .

Konstruera en vanlig femhörningAEGHF .

Olösliga problem

Följande tre bygguppgifter sattes i antiken:

Vinkel tresektion - dela en godtycklig vinkel i tre lika stora delar.

Med andra ord är det nödvändigt att konstruera vinkeltrisektorer - strålar som delar vinkeln i tre lika delar. P. L. Wanzel bevisade 1837 att problemet är lösbart endast när t.ex. tresektion är möjlig för vinklar α = 360°/n, förutsatt att heltal n inte är delbart med 3. Men i pressen då och då (felaktigt ) metoder för att treskära en vinkel med kompass och linjal publiceras.

Fördubbling av kuben - klassiskt uråldrigt problem med att med en kompass och linjal konstruera kanten på en kub, vars volym är dubbelt så stor som en given kub.

I modern notation reduceras problemet till att lösa ekvationen. Allt handlar om problemet med att konstruera ett längdsegment. P. Wantzel bevisade 1837 att detta problem inte kunde lösas med hjälp av kompasser och linjal.

Kvadratera en cirkel - en uppgift som består i att hitta en konstruktion med hjälp av en kompass och en linjal av en kvadrat lika stor som den givna cirkeln.

Som du vet kan du med hjälp av en kompass och en linjal utföra alla 4 aritmetiska operationer och extrahera kvadratroten; därav följer att det är möjligt att kvadrera cirkeln om och endast om det är möjligt att konstruera ett segment med längden π med hjälp av ett ändligt antal sådana åtgärder. Olösbarheten av detta problem följer alltså av den icke-algebraiska naturen (transcendens) av talet π, vilket bevisades 1882 av Lindemann.

Ett annat välkänt problem som inte kan lösas med kompass och linjal ärkonstruera en triangel med hjälp av tre givna halvledarlängder .

Dessutom förblir detta problem olösligt även i närvaro av en trisektor.

Det var först på 1800-talet som det bevisades att alla tre problemen var olösliga med enbart kompass och rätlina. Frågan om möjligheten till konstruktion är helt löst med algebraiska metoder baserade på Galois teori.

VISSTE DU ATT...

(från geometriska konstruktioners historia)

En gång i tiden investerades en mystisk mening i konstruktionen av vanliga polygoner.

Således, pytagoreerna, anhängare av den religiösa och filosofiska läran som grundades av Pythagoras, och som levde i det antika Grekland (V Jag-jag Vårhundraden före Kristus BC), antog som ett tecken på deras förening en stjärnformad polygon bildad av diagonalerna på en vanlig femhörning.

Reglerna för den strikta geometriska konstruktionen av vissa vanliga polygoner anges i boken "Elements" av den antika grekiske matematikern Euclid, som levde iIIIV. FÖRE KRISTUS. För att utföra dessa konstruktioner föreslog Euclid att endast använda en linjal och en kompass, som vid den tiden inte hade en gångjärnsanordning för att ansluta benen (en sådan begränsning i instrument var ett oföränderligt krav i antik matematik).

Regelbundna polygoner användes i stor utsträckning i antik astronomi. Om Euclid var intresserad av konstruktionen av dessa figurer ur matematikens synvinkel, visade det sig för den antika grekiska astronomen Claudius Ptolemaios (cirka 90 - 160 e.Kr.) vara nödvändigt som ett hjälpverktyg för att lösa astronomiska problem. Så, i den första boken av Almagests, är hela det tionde kapitlet ägnat åt konstruktionen av vanliga femhörningar och dekagoner.

Men förutom rent vetenskapliga arbeten var konstruktionen av vanliga polygoner en integrerad del av böcker för byggare, hantverkare och konstnärer. Förmågan att avbilda dessa figurer har länge krävts inom arkitektur, smycken och konst.

De "tio böckerna om arkitektur" av den romerske arkitekten Vitruvius (som levde cirka 63-14 f.Kr.) säger att stadsmurarna borde ha formen av en vanlig polygon i plan, och fästningens torn "bör göras runda eller polygonala , för en fyrkant som ganska förstördes av belägringsvapen."

Utformningen av städerna var av stort intresse för Vitruvius, som ansåg att det var nödvändigt att planera gatorna så att huvudvindarna inte blåste längs dem. Man antog att det fanns åtta sådana vindar och att de blåste åt vissa håll.

Under renässansen var konstruktionen av reguljära polygoner, och i synnerhet femhörningen, inte ett enkelt matematiskt spel, utan var en nödvändig förutsättning för byggandet av fästningar.

Den vanliga hexagonen var föremål för en speciell studie av den store tyske astronomen och matematikern Johannes Kepler (1571-1630), som han talar om i sin bok "Nyårsgåva, eller sexkantiga snöflingor". När han diskuterar orsakerna till att snöflingor har en sexkantig form, noterar han särskilt följande: "... ett plan kan täckas utan luckor endast med följande figurer: liksidiga trianglar, kvadrater och regelbundna sexhörningar. Bland dessa figurer täcker den vanliga hexagonen det största området."

En av de mest kända forskarna som var involverade i geometriska konstruktioner var den store tyske konstnären och matematikern Albrecht Durer (1471 -1528), som tillägnade dem en betydande del av sin bok "Manualer...". Han föreslog regler för att konstruera vanliga polygoner med 3, 4, 5...16 sidor. Metoderna för att dela en cirkel som föreslagits av Dürer är inte universella en individuell teknik används i varje specifikt fall.

Dürer använde metoder för att konstruera vanliga polygoner i konstnärlig praktik, till exempel när han skapade olika sorters ornament och mönster för parkett. Han skissade sådana mönster under en resa till Nederländerna, där parkettgolv fanns i många hem.

Dürer komponerade ornament från vanliga polygoner, som är förbundna till ringar (ringar med sex liksidiga trianglar, fyra fyrkantar, tre eller sex sexhörningar, fjorton sjuhörningar, fyra oktagoner).

Slutsats

Så,geometriska konstruktioner är en metod för att lösa ett problem där svaret erhålls grafiskt. Konstruktioner utförs med ritverktyg med maximal precision och noggrannhet, eftersom lösningens korrekthet beror på detta.

Tack vare detta arbete blev jag bekant med historien om kompassens ursprung, blev mer bekant med reglerna för att utföra geometriska konstruktioner, fick ny kunskap och tillämpade den i praktiken.
Att lösa problem som involverar konstruktion med kompasser och en linjal är ett användbart tidsfördriv som låter dig ta en ny titt på de kända egenskaperna hos geometriska figurer och deras element.Denna artikel diskuterar de mest akuta problemen i samband med geometriska konstruktioner med hjälp av kompasser och linjaler. Huvudproblemen övervägs och deras lösningar ges. De givna problemen är av betydande praktiskt intresse, befäster förvärvade kunskaper i geometri och kan användas för praktiskt arbete.
Därmed har målet med arbetet uppnåtts, de tilldelade uppgifterna är klara.

I konstruktionsuppgifter kommer vi att överväga konstruktionen av en geometrisk figur, vilket kan göras med hjälp av en linjal och kompass.

Med hjälp av en linjal kan du:

godtycklig rak linje;

en godtycklig rät linje som går genom en given punkt;

en rät linje som går genom två givna punkter.

Med hjälp av en kompass kan du beskriva en cirkel med en given radie från ett givet centrum.

Med hjälp av en kompass kan du rita ett segment på en given linje från en given punkt.

Låt oss överväga de viktigaste bygguppgifterna.

Uppgift 1. Konstruera en triangel med givna sidor a, b, c (Fig. 1).

Lösning. Använd en linjal, rita en godtycklig rät linje och ta en godtycklig punkt B på den. Med hjälp av en kompassöppning som är lika med a, beskriver vi en cirkel med centrum B och radie a. Låt C vara punkten för dess skärningspunkt med linjen. Med en kompassöppning lika med c beskriver vi en cirkel från centrum B, och med en kompassöppning lika med b beskriver vi en cirkel från centrum C. Låt A vara skärningspunkten för dessa cirklar. Triangel ABC har sidor lika med a, b, c.

Kommentar. För att tre raka segment ska fungera som sidor i en triangel, är det nödvändigt att den största av dem är mindre än summan av de andra två (och< b + с).

Uppgift 2.

Lösning. Denna vinkel med vertex A och strålen OM visas i figur 2.

Låt oss rita en godtycklig cirkel med centrum i spetsen A för den givna vinkeln. Låt B och C vara skärningspunkterna för cirkeln med vinkelns sidor (fig. 3, a). Med radie AB ritar vi en cirkel med centrum i punkt O - startpunkten för denna stråle (Fig. 3, b). Låt oss beteckna skärningspunkten för denna cirkel med denna stråle som C 1 . Låt oss beskriva en cirkel med centrum C 1 och radie BC. Punkt B 1 i skärningspunkten mellan två cirklar ligger på sidan av den önskade vinkeln. Detta följer av likheten Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (det tredje tecknet på likhet i trianglar).

Uppgift 3. Konstruera bisektrisen för denna vinkel (Fig. 4).

Lösning. Från vertex A i en given vinkel, som från mitten, ritar vi en cirkel med godtycklig radie. Låt B och C vara punkterna för dess skärningspunkt med vinkelns sidor. Från punkterna B och C beskriver vi cirklar med samma radie. Låt D vara deras skärningspunkt, som skiljer sig från A. Stråle AD halverar vinkel A. Detta följer av likheten Δ ABD = Δ ACD (det tredje kriteriet för trianglars likhet).

Uppgift 4. Rita en vinkelrät bisektrik till detta segment (fig. 5).

Lösning. Med hjälp av en godtycklig men identisk kompassöppning (större än 1/2 AB) beskriver vi två bågar med mittpunkter i punkterna A och B, som kommer att skära varandra i vissa punkter C och D. Den räta linjen CD kommer att vara den önskade vinkelrät. I själva verket, som kan ses av konstruktionen, är var och en av punkterna C och D lika långt från A och B; därför måste dessa punkter ligga på den vinkelräta bisektrisen mot segment AB.

Uppgift 5. Dela detta segment på mitten. Det löses på samma sätt som problem 4 (se fig. 5).

Uppgift 6. Dra genom en given punkt en linje vinkelrät mot den givna linjen.

Lösning. Det finns två möjliga fall:

1) en given punkt O ligger på en given rät linje a (fig. 6).

Från punkt O ritar vi en cirkel med en godtycklig radie som skär linje a i punkterna A och B. Från punkterna A och B ritar vi cirklar med samma radie. Låt O 1 vara punkten för deras skärningspunkt, annorlunda än O. Vi får OO 1 ⊥ AB. I själva verket är punkterna O och O 1 lika långt från ändarna av segmentet AB och ligger därför på den vinkelräta bisektrisen till detta segment.

Exempel

Dela ett segment på mitten

Bisektionsproblem. Använd en kompass och linjal för att dela upp detta segment AB i två lika delar. En av lösningarna visas i figuren:

• Med hjälp av en kompass ritar vi cirklar med mittpunkter på punkter A Och B radie AB.
• Hitta skärningspunkter P Och F två konstruerade cirklar (bågar).
• Använd en linjal och rita ett segment eller en linje som går genom punkterna P Och F.
• Hitta önskad mittpunkt av segmentet AB- skärningspunkt AB Och PQ.

Formell definition

I konstruktionsproblem beaktas uppsättningen av alla punkter i planet, uppsättningen av alla linjer i planet och uppsättningen av alla cirklar i planet, där följande operationer är tillåtna:

1. Välj en punkt från uppsättningen av alla punkter:
   1. godtycklig punkt
   2. godtycklig punkt på en given linje
   3. godtycklig punkt på en given cirkel
   4. skärningspunkten för två givna linjer
   5. skärningspunkt/tangens för en given linje och en given cirkel
   6. skärningspunkter/tangens för två givna cirklar
2. "Genom att använda linjaler» välj en rad från uppsättningen av alla rader:
   1. godtycklig rät linje
   2. en godtycklig rät linje som går genom en given punkt
   3. en rät linje som går genom två givna punkter
3. "Genom att använda kompass» välj en cirkel från uppsättningen av alla cirklar:
   1. godtycklig krets
   2. en godtycklig cirkel med ett centrum i en given punkt
   3. en godtycklig cirkel med en radie lika med avståndet mellan två givna punkter
   4. en cirkel med centrum i en given punkt och med en radie lika med avståndet mellan två givna punkter

I villkoren för problemet anges en viss uppsättning punkter. Det krävs, med användning av ett ändligt antal operationer bland de tillåtna operationerna listade ovan, för att konstruera ytterligare en uppsättning punkter som står i ett givet förhållande till den ursprungliga uppsättningen.

Lösningen på konstruktionsproblemet innehåller tre väsentliga delar:

1. Beskrivning av metoden för att konstruera en given mängd.
2. Bevis på att uppsättningen konstruerad på det beskrivna sättet verkligen står i ett givet förhållande till originaluppsättningen. Vanligtvis utförs beviset för konstruktionen som ett regelbundet bevis på satsen, baserat på axiom och andra beprövade satser.
3. Analys av den beskrivna konstruktionsmetoden för dess tillämplighet på olika versioner av de initiala förhållandena, såväl som för unikheten eller icke-unikheten hos lösningen som erhålls med den beskrivna metoden.

kända problem

• Apollonius problem med att konstruera en cirkel som tangerar tre givna cirklar. Om ingen av de givna cirklarna ligger inuti den andra, har detta problem 8 väsentligt olika lösningar.
• Brahmaguptas problem med att konstruera en inskriven fyrhörning med hjälp av dess fyra sidor.

Konstruktion av regelbundna polygoner

Forntida geometrar visste hur man konstruerade korrekt n-gons för , , och .

Möjliga och omöjliga konstruktioner

Alla konstruktioner är inget annat än lösningar till någon ekvation, och koefficienterna för denna ekvation är relaterade till längden på givna segment. Därför är det bekvämt att prata om att konstruera ett tal - en grafisk lösning på en ekvation av en viss typ. Inom ramen för ovanstående krav är följande konstruktioner möjliga:

• Konstruktion av lösningar till linjära ekvationer.
• Konstruera lösningar till andragradsekvationer.

Med andra ord är det bara möjligt att konstruera tal lika med aritmetiska uttryck med hjälp av kvadratroten av de ursprungliga talen (längder på segment). Till exempel,

Variationer och generaliseringar

• Konstruktioner med en kompass. Enligt Mohr-Mascheroni-satsen kan man med hjälp av en kompass konstruera vilken figur som helst som kan konstrueras med en kompass och en linjal. I detta fall anses en rät linje vara konstruerad om två punkter anges på den.
• Konstruktioner med en linjal. Det är lätt att se att med hjälp av en linjal endast projektiv-invarianta konstruktioner kan utföras. I synnerhet är det omöjligt att ens dela upp ett segment i två lika delar, eller hitta mitten av en ritad cirkel. Men om det finns en förritad cirkel på planet med ett markerat centrum, med hjälp av en linjal, kan du utföra samma konstruktioner som med kompasser och en linjal (Poncelet-Steiners sats ( engelsk)), 1833. Om det finns två skåror på en linjal, så är konstruktioner som använder den likvärdiga med konstruktioner med kompasser och en linjal (Napoleon tog ett viktigt steg för att bevisa detta).
• Konstruktioner med verktyg med begränsad kapacitet. I problem av detta slag anses verktyg (i motsats till den klassiska formuleringen av problemet) inte vara idealiska, utan begränsade: en rät linje genom två punkter kan ritas med hjälp av en linjal endast om avståndet mellan dessa punkter inte överstiger en viss värde; radien för cirklar som ritas med en kompass kan begränsas uppifrån, under eller både ovan och under.
• Konstruktioner med platt origami. se Hujits regler

se även

• Dynamiska geometriprogram låter dig utföra konstruktioner med hjälp av en kompass och linjal på en dator.

Anteckningar

Litteratur

• A. Adler Teori om geometriska konstruktioner / Översättning från tyska av G. M. Fikhtengolts. - Tredje upplagan. - L.: Uchpedgiz, 1940. - 232 sid.
• I. I. Alexandrov Samling av geometriska konstruktionsproblem. - Artonde upplagan. - M.: Uchpedgiz, 1950. - 176 sid.
• B. I. Argunov, M. B. Balk. - Andra upplagan. - M.: Uchpedgiz, 1957. - 268 sid.
• A. M. Voronets Kompassens geometri. - M.-L.: ONTI, 1934. - 40 sid. - (Populärt bibliotek om matematik under L. A. Lyusterniks allmänna redaktion).
• V. A. Geiler Olösbara konstruktionsproblem // kylvätska. - 1999. - Nr 12. - P. 115-118.
• V. A. Kirichenko Konstruktioner med kompass och linjal och Galois teori // Sommarskola "Modern Mathematics". - Dubna, 2005.
• Yu. I. Manin Bok IV. Geometri // Encyclopedia of elementary mathematics. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 568 sid.
• Y. Petersen Metoder och teorier för att lösa geometriska konstruktionsproblem. - M.: E. Lissners och Y. Romans tryckeri, 1892. - 114 sid.
• V. V. Prasolov Tre klassiska byggproblem. Dubbla en kub, tresektion en vinkel, kvadratisk cirkel. - M.: Nauka, 1992. - 80 sid. - (Populära föreläsningar om matematik).
• J. Steiner Geometriska konstruktioner utförda med en rak linje och en fast cirkel. - M.: Uchpedgiz, 1939. - 80 sid.
• Valbar kurs i matematik. 7-9 / Jämf. I. L. Nikolskaya. - M.: Education, 1991. - S. 80. - 383 sid. - ISBN 5-09-001287-3

Wikimedia Foundation. 2010.

Se vad "Konstruktion med kompass och linjal" är i andra ordböcker:

Linjaler - få en fungerande kupong för rabatt på AllInstruments hos Akademika eller köp linjaler med vinst med fri leverans på rea hos AllInstruments

En gren av euklidisk geometri, känd sedan antiken. I konstruktionsuppgifter är följande operationer möjliga: Markera en godtycklig punkt på planet, en punkt på en av de konstruerade linjerna eller skärningspunkten för två konstruerade linjer. Med hjälp av... ... Wikipedia

Konstruktioner som använder kompasser och linjaler är en gren av euklidisk geometri känd sedan antiken. I konstruktionsuppgifter är följande operationer möjliga: Markera en godtycklig punkt på planet, en punkt på en av de konstruerade linjerna eller en punkt... ... Wikipedia

Substantiv, s., använd. jämföra ofta Morfologi: (nej) vad? konstruktion, vad? konstruktion, (jag ser) vad? konstruktion, vad? konstruktion, om vad? om konstruktion; pl. Vad? konstruktion, (nej) vad? konstruktioner, vad? konstruktioner, (jag ser) vad? konstruktion, med vad?... ... Dmitrievs förklarande ordbok

Lämna tillbaka