Presentation av logaritmer och deras egenskaper. Logaritmer och deras egenskaper

JOHN NAPER (1550-1617)

skotsk matematiker

uppfinnare av logaritmer.

På 1590-talet kom han på idén

logaritmiska beräkningar

och sammanställde de första tabellerna

logaritmer, men det är berömt

Verket "Description of Amazing Tables of Logarithms" publicerades först 1614.

Han är ansvarig för definitionen av logaritmer, en förklaring av deras egenskaper, tabeller över logaritmer, sinus, cosinus, tangenter och tillämpningar av logaritmer i sfärisk trigonometri.

Från logaritmernas historia

Logaritmer dök upp för 350 år sedan i samband med datorövningens behov.

På den tiden var det mycket krångliga beräkningar som måste göras för att lösa problem inom astronomi och navigering.

Den berömda astronomen Johannes Kepler var den första som introducerade logaritmtecknet - log 1624. Han använde logaritmer för att hitta Mars omloppsbana.

Ordet "logaritm" är av grekiskt ursprung, vilket betyder förhållandet mellan tal

0, a ≠1 är exponenten till vilken talet a måste höjas för att få b. "width="640"

Definition

Logaritmen för ett positivt tal b till basen a, där a0, a ≠1 är exponenten till vilken talet a måste höjas för att få b.

Beräkna:

stock 2 16; stock 2 64; stock 2 2;

log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

stock 3 27; stock 3 81; stock 3 3;

log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; logga 1/2 2.

Grundläggande logaritmisk identitet

Per definition av logaritm

Beräkna:

3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6;

10 log 102; (1/4) log (1/4) 6;

8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .

3 X X X R Finns inte för någon x " width="640"

Till vilka värden X det finns en logaritm

Finns inte alls

som X

1. Logaritmen av produkten av positiva tal är lika med summan av logaritmerna av faktorerna.

logga a (bc) = log a b + log a c

( b

c )

a logga a (före Kristus) =

a logga a b

=a logga a b + logga a c

a logga a c

a logga a b

a logga a c

1. Logaritmen av produkten av positiva tal är lika med summan av logaritmerna av faktorerna. log a (bc) = log a b + log a c

Exempel:

logga a

= logg a b-logg a c

= a logga a b - logga a c

a logga a b

a logga a

a logga a c

b = a logga a b

c = a logga a c

0; a ≠ 1; b 0; c 0. Exempel: 1 " width="640"

2. Logaritmen för kvoten av två positiva tal är lika med skillnaden mellan logaritmerna för utdelningen och divisorn.

logga a

= logg a b–logg a c,

a 0; a ≠ 1; b 0; c 0.

Exempel:

0; b 0; r R log a b r = r log a b Exempel a log a b =b 1,5 (a log a b) r =b r a rlog a b =b r " width="640"

3. Logaritmen för en potens med positiv bas är lika med exponenten gånger logaritmen för basen

logga a b r = r log a b

Exempel

a logga a b =b

(a logga a b ) r =b r

a rlog a b =b r

Formel för att flytta från en bas

logaritm till en annan, exempel.

A. Diesterweg

UTVECKLING OCH UTBILDNING KAN INTE GERAS ELLER KOMMUNIKERAS TILL NÅGON PERSON. ALL SOM VILL GÅ MED DEM MÅSTE FÅ DETTA GENOM EGEN AKTIVITET, EGEN STYRKA, EGEN SPÄNNING .

Bestäm ämnet för lektionen genom att lösa ekvationer

2 x =; 3 x =; 5 x = 1/125; 2 x = 1/4; 2 x = 4; 3 x = 81; 7 x = 1/7; 3 x = 1/81

Logaritm och dess egenskaper

John Napier, uppfinnare av logaritmer

1590 kom han på idén om logaritmiska beräkningar och sammanställde de första logaritmtabellerna och publicerade verket "Description of Amazing Tables of Logarithms." Detta arbete innehöll en definition av logaritmer och en förklaring av deras egenskaper. Uppfann glidregeln, ett beräkningsinstrument som använde Napier-tabeller för att förenkla beräkningar.

Logaritmisk linjal

Nuförtiden, med tillkomsten av kompakta miniräknare och datorer, behovet av att använda tabeller

Logaritmer och diaregler behövs inte längre.

Logaritmen för talet a 0 till basen a 0 och a 1 är exponenten till vilken talet a måste höjas för att få talet b.
- logaritm med en godtycklig bas.
Till exempel: a) log 3 81 = 4, eftersom 3 4 = 81; b) log 5 125 = 3, eftersom 5 3 = 125; c) log 0,516 = -4, eftersom (0,5) -4 = 16;

Tillämpning av logaritm: Bankkalkyler, geografi, beräkningar inom produktion, biologi, kemi, fysik, astronomi, psykologi, sociologi, musik.

Logaritmisk spiral i naturen

Nautilus skal

Arrangemang av frön på en solros

Egenskaper för logaritmer

log a 1 = 0.
log a a = 1.
log a xy = log a x + log a y.
log a x ∕ y = log a x - log a y.
log a x p = p log a x
log a р x = 1 ∕ р log a x

Om basen för logaritmen är 10, kallas logaritmen decimal:

Om basen för logaritmen är e 2,7, kallas logaritmen naturlig:

1. Hitta bas 4-logaritmen av 64.

Lösning: log 4 64 = 3, eftersom 4 3 = 64.

Svar: 3

2. Hitta numret x, om logg 5 x = 2

Lösning: logg 5 x = 2, x= 5 2 (per definition av logaritm), x = 25.

Svar : 25.

3. Beräkna: log 3 1/ 81 = x ,

Lösning: log 3 1/ 81 = x , 3 x = 1/ 81, x = – 4.

Svar: – 4.

1. Beräkna: log 6 12 + log 6 3

Lösning:

log 6 12 +log 6 3 = log 6 (12*3) = log 6 36 = log 6 6 2 = 2

Svar : 2.

2. Beräkna: log 5 250 – log 5 2.

Lösning:

log 5 250 – log 5 2 = log 5 (250/2) = log 5 125 = 3

Svar : 3.

3. Beräkna:

Lösning :

Svar: 8.

Lektionens ämne:

Logaritmer och deras egenskaper.

Esmaganbetov K.S. Matematiklärare.

Syftet med lektionen:

1.Utveckla förmågan att systematisera och generalisera logaritmers egenskaper; tillämpa dem när du förenklar uttryck.

2. Utveckling av medveten uppfattning om utbildningsmaterial, visuellt minne, matematiska tal av elever, för att bilda färdigheter för självinlärning, självorganisering och självkänsla, för att främja utvecklingen av kreativ aktivitet hos elever.

3. Främja kognitiv aktivitet, ingjuta i eleverna kärlek och respekt för ämnet, lära dem att se inte bara rigoritet och komplexitet i det, utan också logik, enkelhet och skönhet.

I. Brainstorming:

1) Vad är ett antiderivat?

2) Vilka typer av integraler känner du till?

3) Hur skiljer sig en bestämd integral från en obestämd integral?

4) Vilka ekvationer kallas irrationella?

5) Hur många regler finns det för att hitta antiderivat?

Frågor:

Grupparbete

Bestäm ämnet för lektionen med hjälp av ett anagram:
YMFIRAOL OCH KHI AVTSYOVS
Kriterier för att bedöma anagramgissning (1 poäng för ett korrekt svar, 0 poäng för ett felaktigt svar)

Logaritmer och deras egenskaper

Logaritm av ett positivt tal b till basen a, där a>0, a≠1, är exponenten till vilken talet a måste höjas för att få b.
Grundläggande logaritmisk identitet:

alogab= b,

Om basen för en logaritm är 10, kallas en sådan logaritm decimal.
Om basen för en logaritm är lika med talet e, så kallas en sådan logaritm naturlig

Egenskaper för logaritmer

Logaritmen för själva basen är 1:
Logaritmen av ett till valfri bas är lika med noll:
Logaritmen av produkten av två eller flera positiva tal är lika med summan av logaritmerna av faktorerna:
Logaritmen för kvoten av positiva tal är lika med skillnaden mellan logaritmerna för utdelningen och divisorn:
En potenss logaritm är lika med produkten av exponenten och logaritmen av dess bas:
Formel för att gå från bas b till bas a:

Kriterier för att utvärdera den tekniska kartan:

Ge matematisk information tydligt och logiskt - 1 poäng;
Eleven visar kunskap om matematiska symboler - 1 poäng;

Beräkna muntligt:

Bedömningskriterier för muntlig beräkning

för korrekt muntlig uträkning - 1 poäng
för felaktig muntlig uträkning - 0 poäng

Fizminutka

Två halvor

loga(x/y) loga x -loga y

Grupparbete:

Uppgift till grupp 1

Grupparbete: Uppgift för grupp 2 I lektionsflödesschemat använder du pilar för att koppla samman formlerna

logax +logay

Grupparbete: Uppgift för grupp 3 Fyll i formlerna i lektionsflödesschemat Kamratbedömning Kriterier för kamratbedömning

för att hitta formler korrekt - 1 poäng för gruppen;
För felaktigt hitta formler - 0 poäng.

Individuellt skriftligt arbete med differentierade uppgifter


	log 26 - log 2 (6/32)
	log 3 5 - log 3 135
	2 log 27 - log 2 49
	log 93+ log 9243

Lösning av Individuellt arbete med differentierade uppgifter

		log(8∙125) = log 1000 = 3
	log 26 - log 2 (6/32)	log 2 (6: (6/32)) = log 232 = 5
	log 3 5 - log 3 135	log 3 (5: 135)= log 3 (1:27)= -3
	2 log 27 - log 2 49	log 272 - log 249 = log 2(49:49) = log 2 1 = 0
	log 93+ log 9243	log 9(3∙243) = log 9729=3

Kriterier för bedömning av individuellt skriftligt arbete

för att korrekt lösa exempel i sin helhet - 5 poäng;
För korrekt stavning av matematiska symboler - 1 poäng;

Utveckling av prestationsutvärderingskriterier:

Betygskriterier: för 20 poäng och över – poäng "5"
för 16-19 poäng och över – få "4"
för 9 -15 poäng och över – få "3"

Skapande av kluster och deras skyddskriterier för utvärdering av kluster:

För korrekt skapande av ett kluster - 1 poäng;
För klusterdesignens elegans - 0,5 poäng;
För bra klusterskydd - 1 poäng

Reflexion

1. Vad vet jag om____
2. Vad vill jag veta_____
3. Vad jag lärde mig ____
4. Utvärdera ditt arbete i klassen_____

Läxa

1. Skriv en synkvin "Logarithms"

2. Läroboksuppgift: nr 241, nr 242

Bild 2

Lektionens mål:

Utbildning: Gå igenom definitionen av logaritm; bekanta dig med egenskaperna hos logaritmer; lära dig att tillämpa logaritmers egenskaper när du löser övningar.

Bild 3

Definition av logaritm

Logaritmen för ett positivt tal b till basen a, där a > 0 och a ≠ 1, är exponenten till vilken talet a måste höjas för att få talet b. Grundläggande logaritmisk identitet alogab=b (där a>0, a≠1, b>0)

Bild 4

Logaritmernas historia

Ordet logaritm kommer från två grekiska ord och det översätts som ett förhållande mellan tal. Under sextonde århundradet. Volymen av arbete i samband med att utföra ungefärliga beräkningar under loppet av att lösa olika problem, och i första hand problemen med astronomi, som har direkt praktisk tillämpning (vid bestämning av fartygens position av stjärnorna och solen), har ökat kraftigt. De största problemen uppstod när man utförde multiplikations- och divisionsoperationer. Försök att delvis förenkla dessa operationer genom att reducera dem till addition gav inte mycket framgång.

Bild 5

Logaritmer kom i praktiken ovanligt snabbt. Uppfinnarna av logaritmerna begränsade sig inte till att utveckla en ny teori. Ett praktiskt verktyg skapades - tabeller över logaritmer - som kraftigt ökade produktiviteten hos miniräknare. Låt oss tillägga att redan 1623, d.v.s. bara 9 år efter publiceringen av de första tabellerna uppfann den engelske matematikern D. Gunter den första linjalen, som blev ett arbetsredskap i många generationer. De första logaritmtabellerna sammanställdes oberoende av varandra av den skotske matematikern J. Napier (1550 - 1617) och schweizaren I. Burgi (1552 - 1632). Napiers tabeller inkluderade värdena för logaritmer för sinus, cosinus och tangenter för vinklar från 0 till 900 i steg om 1 minut. Burgi förberedde sina tabeller med logaritmer av tal, men de publicerades 1620, efter publiceringen av Napiers tabeller, och gick därför obemärkt förbi. Napier John (1550-1617)

Bild 6

Uppfinningen av logaritmer, genom att minska astronomens arbete, förlängde hans liv. P. S. Laplace Därför förlängde upptäckten av logaritmer, som reducerar multiplikationen och divisionen av tal till addition och subtraktion av deras logaritmer, enligt Laplace, räknarens livslängd.

Bild 7

Gradens egenskaper

ax ay = ax +y = ax –y (x)y = ax y

Bild 8

Beräkna:

Bild 9

Kolla upp:

Bild 10

EGENSKAPER HOS LOGARITMER

Bild 11

Tillämpning av det studerade materialet

a) log 153 + log 155 = log 15(3 5) = log 1515 =1, b) log 1545 – log 153 = log 15 = log 1515 = 1 c) log 243 = log 226 = 6 log 22 = 6, d ) log 7494 = log 7(72)4 = log 7 78 = 8 log 77 = 8. Sid. 93; nr. 290 291 - 294, 296* (udda exempel)

Bild 12

Hitta den andra halvan av formeln

Bild 13

Kolla upp:

Bild 14

Läxor: 1. Lär dig logaritmers egenskaper 2. Lärobok: § 16 s. 92-93; 3. Problembok: nr 290 291 296 (jämna exempel)

Bild 15

Fortsätt frasen: "Idag i lektion lärde jag mig..." "Idag i lektion lärde jag mig..." "Idag i lektion lärde jag mig..." "Idag i lektion upprepade jag..." "Idag i lektion förstärkte jag ...” Lektionen är över!

Bild 16

Läroböcker och läromedel som används: Mordkovich A.G. Algebra och början av analys. 11:e klass: lärobok på profilnivå / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov et al. - M.: Mnemosyna, 2007. Mordkovich A.G. Algebra och början av analys. 11:e klass: problembok på profilnivå / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov et al. - M.: Mnemosyne, 2007. Metodlitteratur som används: Mordkovich A.G. Algebra. 10-11: metodisk manual för lärare. – M.: Mnemosyne, 2000 (Kaliningrad: Amber Tale, GIPP). Matematik. Veckobilaga till tidningen "Första september".

Definition av derivat. Mittlinjen. Studie av en funktion för monotoni. Arbete: Konsolidering av det studerade materialet. Beräkna ungefär med hjälp av differential. Minimivärden för funktioner. Derivata och dess tillämpning i algebra och geometri. Funktionen i fråga. Uppgift. Olikhet. Tecken på ökande och minskande funktion. Punkt. Definition. Att hitta differentialen. Bevis på ojämlikheter.

““Integral” 11:e klass” - Hur besegrad du låg i det vanliga numret på sidan. Integral i litteraturen. Absolut integral, jag började drömma om dig på natten. Hitta på en fras. Vilken lycka jag upplevde när jag valde prototypen. Zamyatin Evgeny Ivanovich (1884-1937). Hitta antiderivator för funktioner. Motto. Roman "Vi" (1920). En serie byten och substitutioner ledde till lösningen av problemet. Illustration till romanen "Vi". Väsentlig. Integralgrupp. Algebralektion och påbörjad analys.

"Tillämpning av logaritmer" - Sedan den antika grekiske astronomen Hipparchus tid (2:a århundradet f.Kr.) har begreppet "stjärnstorlek" använts. Som vi ser invaderar logaritmer psykologins område. Från tabellen finner vi storleken på Capella (m1 = +0,2t) och Deneb (m2 = +1,3t). Volymenhet. Stjärnor, brus och logaritmer. Industribullers skadliga effekter på arbetarnas hälsa och produktion. Ämne: "LOGARITMER I ASTRONOMI." Napier (1550 - 1617) och schweizaren I. Burgi (1552 - 1632).

""Funktioner" algebra" - Beräkna. Låt oss göra ett bord. Studie av funktioner och konstruktion av deras grafer. Begreppet integral. Funktionen F kallas antiderivatan av funktionen f. Area av en krökt trapets. En funktion är en antiderivata av en funktion. Låt oss beräkna arean S för en kurvlinjär trapets. "Integral från a till b ef från x de x." Intervallmetod. Låt oss hitta skärningspunkterna för grafen med Ox (y = 0). Regler för differentiering. Låt oss hitta de största och minsta värdena för funktionen på segmentet.

"Exempel på logaritmiska ojämlikheter" - Förbered dig för Unified State Exam! Vilka funktioner ökar och vilka minskar? Lektionssammanfattning. Hitta rätt lösning. Ökande. Algebra 11:e klass. Uppgift: lösa logaritmiska ojämlikheter som föreslagits i Unified State Exam 2010-uppgifterna. Lycka till på Unified State Exam! Kluster att fylla i under lektionen: Lektionens mål: Hitta definitionsdomänen för funktionen. Sätt ett tecken > eller mellan siffrorna m och n<.(m, n >0). Grafer över logaritmiska funktioner.

"Den geometriska betydelsen av derivatan av en funktion" - Betydelsen av derivatan av en funktion. Algoritm för att komponera tangentekvationen. Geometrisk betydelse av derivata. Ekvation för en rät linje med en vinkelkoefficient. Tangentekvationer. Gör ett par. Sekant. Lektions ordförråd. Jag lyckades. Rätt matematisk idé. Beräkningsresultat. Sekantens gränsläge. Definition. Hitta lutningen. Skriv en ekvation för tangenten till grafen för funktionen.